روش معکوس گاوسی روش گاوسی (حذف متوالی مجهولات)
حل سیستم معادلات خطی با استفاده از روش گاوس.فرض کنید باید راه حلی برای سیستم پیدا کنیم nمعادلات خطی با nمتغیرهای ناشناخته
تعیین کننده ماتریس اصلی آن با صفر متفاوت است.
ماهیت روش گاوسشامل حذف متوالی متغیرهای ناشناخته است: ابتدا حذف x 1از تمام معادلات سیستم، با شروع از دوم، بیشتر حذف می شود x 2از تمام معادلات، از معادله سوم، و به همین ترتیب، تا زمانی که فقط متغیر مجهول در آخرین معادله باقی بماند. x n. این فرآیند تبدیل معادلات سیستم برای حذف متوالی متغیرهای مجهول نامیده می شود روش گاوسی مستقیم. پس از تکمیل پیشروی رو به جلو روش گاوسی، از آخرین معادله پیدا می کنیم x n، با استفاده از این مقدار از معادله ماقبل آخری که محاسبه می کنیم xn-1و به همین ترتیب از اولین معادله ای که پیدا کردیم x 1. فرآیند محاسبه متغیرهای مجهول در هنگام حرکت از آخرین معادله سیستم به اولین معادله نامیده می شود معکوس روش گاوسی.
اجازه دهید به طور خلاصه الگوریتم حذف متغیرهای ناشناخته را شرح دهیم.
ما این را فرض می کنیم، زیرا همیشه می توانیم با تنظیم مجدد معادلات سیستم به این امر دست یابیم. متغیر ناشناخته را حذف کنید x 1از تمام معادلات سیستم، با شروع از دوم. برای انجام این کار، به معادله دوم سیستم، معادله اول را با ضرب در و به معادله سوم، اولین، ضرب در و غیره را اضافه می کنیم. نهمیناولی را به معادله اضافه می کنیم، ضرب در . سیستم معادلات پس از چنین تبدیل ها شکل خواهد گرفت 
کجا و 
.
اگر بیان می کردیم به همین نتیجه می رسیدیم x 1از طریق سایر متغیرهای ناشناخته در معادله اول سیستم و عبارت حاصل با تمام معادلات جایگزین شد. بنابراین متغیر x 1از تمام معادلات، از معادله دوم حذف می شود.
در مرحله بعد، به روشی مشابه ادامه می دهیم، اما فقط با بخشی از سیستم حاصل که در شکل مشخص شده است 
برای انجام این کار، به معادله سوم سیستم، دومی را با ضرب در، به معادله چهارم اضافه می کنیم، دومی را ضرب می کنیم و به همین ترتیب. نهمینبه معادله دومی را ضرب می کنیم. سیستم معادلات پس از چنین تبدیل ها شکل خواهد گرفت 
کجا و 
. بنابراین متغیر x 2از تمام معادلات که از سوم شروع می شود حذف می شوند.
در ادامه به حذف ناشناخته ها می پردازیم x 3، در این حالت با قسمتی از سیستم که در شکل مشخص شده است به طور مشابه عمل می کنیم 
بنابراین پیشروی مستقیم روش گاوسی را تا زمانی که سیستم شکل بگیرد ادامه می دهیم 
از این لحظه معکوس روش گاوسی را شروع می کنیم: محاسبه می کنیم x nاز آخرین معادله به عنوان، با استفاده از مقدار به دست آمده x nما پیدا می کنیم xn-1از معادله ماقبل آخر و غیره پیدا می کنیم x 1از معادله اول
مثال.
حل سیستم معادلات خطی 
روش گاوس
از آغاز قرن های 16-18، ریاضیدانان به شدت شروع به مطالعه توابع کرده اند، که به لطف آن چیزهای زیادی در زندگی ما تغییر کرده است. فناوری کامپیوتر بدون این دانش به سادگی وجود نخواهد داشت. مفاهیم، قضایا و تکنیک های حل مختلفی برای حل مسائل پیچیده، معادلات خطی و توابع ایجاد شده است. یکی از این روش ها و تکنیک های جهانی و منطقی برای حل معادلات خطی و سیستم های آنها، روش گاوس بود. ماتریس ها، رتبه آنها، تعیین کننده - همه چیز را می توان بدون استفاده از عملیات پیچیده محاسبه کرد.
SLAU چیست
در ریاضیات، مفهوم SLAE وجود دارد - یک سیستم معادلات جبری خطی. او چگونه است؟ این مجموعه ای از معادلات m با n کمیت مجهول مورد نیاز است که معمولاً به صورت x، y، z، یا x 1، x 2 ... x n یا نمادهای دیگر نشان داده می شود. حل یک سیستم معین با استفاده از روش گاوسی به معنای یافتن همه مجهولات است. اگر سیستمی تعداد مجهولات و معادلات یکسانی داشته باشد، آن را سیستم مرتبه n می نامند.
محبوب ترین روش ها برای حل SLAE
در مؤسسات آموزشی آموزش متوسطه، روش های مختلفی برای حل چنین سیستم هایی مورد مطالعه قرار می گیرد. اغلب اینها معادلات ساده ای هستند که از دو مجهول تشکیل شده اند، بنابراین هر روش موجود برای یافتن پاسخ آنها زمان زیادی نمی برد. این می تواند مانند یک روش جایگزینی باشد، زمانی که دیگری از یک معادله مشتق شده و به معادله اصلی جایگزین می شود. یا روش تفریق و جمع ترم به ترم. اما روش گاوس ساده ترین و جهانی ترین در نظر گرفته می شود. حل معادلات با هر تعداد مجهول را ممکن می سازد. چرا این تکنیک خاص عقلانی تلقی می شود؟ همه چیز ساده است. خوبی روش ماتریسی این است که نیازی به بازنویسی نمادهای غیر ضروری چندین بار به عنوان مجهول نیست؛ کافی است عملیات حسابی روی ضرایب انجام دهید - و نتیجه قابل اعتمادی خواهید گرفت.
SLAEها در عمل در کجا استفاده می شوند؟
راه حل SLAE ها نقاط تقاطع خطوط روی نمودار توابع هستند. در عصر رایانه پیشرفته ما، افرادی که از نزدیک با توسعه بازی ها و سایر برنامه ها مرتبط هستند باید بدانند چگونه چنین سیستم هایی را حل کنند، چه چیزی را نشان می دهند و چگونه صحت نتیجه حاصل را بررسی کنند. اغلب برنامه نویسان برنامه های ماشین حساب جبر خطی ویژه ای را توسعه می دهند که شامل یک سیستم معادلات خطی نیز می شود. روش گاوس به شما امکان می دهد تمام راه حل های موجود را محاسبه کنید. سایر فرمول ها و تکنیک های ساده شده نیز استفاده می شود.
معیار سازگاری SLAU
چنین سیستمی تنها در صورتی قابل حل است که سازگار باشد. برای وضوح، اجازه دهید SLAE را به شکل Ax=b نشان دهیم. اگر rang(A) برابر با rang(A,b) باشد راه حل دارد. در این مورد، (A,b) یک ماتریس فرم توسعه یافته است که می توان از ماتریس A با بازنویسی آن با عبارت های آزاد به دست آورد. به نظر می رسد که حل معادلات خطی با استفاده از روش گاوسی بسیار آسان است.
شاید برخی از نمادها کاملاً مشخص نباشند، بنابراین لازم است همه چیز را با یک مثال در نظر بگیریم. فرض کنید یک سیستم وجود دارد: x+y=1; 2x-3y=6. این فقط از دو معادله تشکیل شده است که در آنها 2 مجهول وجود دارد. سیستم تنها در صورتی راه حل خواهد داشت که رتبه ماتریس آن با رتبه ماتریس توسعه یافته برابر باشد. رتبه چیست؟ این تعداد خطوط مستقل سیستم است. در مورد ما، رتبه ماتریس 2 است. ماتریس A شامل ضرایبی است که در نزدیکی مجهولات قرار دارند و ضرایب واقع در پشت علامت "=" نیز در ماتریس توسعه یافته قرار می گیرند.
چرا SLAE ها را می توان به صورت ماتریسی نشان داد؟
بر اساس معیار سازگاری طبق قضیه اثبات شده کرونکر-کاپلی، یک سیستم معادلات جبری خطی را می توان به صورت ماتریسی نشان داد. با استفاده از روش آبشار گاوسی، می توانید ماتریس را حل کنید و یک پاسخ قابل اعتماد برای کل سیستم دریافت کنید. اگر رتبه یک ماتریس معمولی برابر با رتبه ماتریس توسعه یافته آن باشد، اما کمتر از تعداد مجهولات باشد، آنگاه سیستم دارای تعداد بی نهایت پاسخ است.
تبدیل های ماتریسی
قبل از رفتن به حل ماتریس ها، باید بدانید که چه اقداماتی را می توان روی عناصر آنها انجام داد. چندین تغییر اساسی وجود دارد:
- با بازنویسی سیستم به صورت ماتریسی و حل آن، می توانید تمام عناصر سری را در یک ضریب ضرب کنید.
- برای تبدیل ماتریس به شکل متعارف، می توانید دو ردیف موازی را با هم عوض کنید. شکل متعارف به این معنی است که تمام عناصر ماتریس که در امتداد مورب اصلی قرار دارند یک و بقیه به صفر تبدیل می شوند.
- عناصر مربوط به ردیف های موازی ماتریس را می توان به یکدیگر اضافه کرد.
روش جردن-گاوس
ماهیت حل سیستم های معادلات خطی همگن و ناهمگن با استفاده از روش گاوسی حذف تدریجی مجهولات است. فرض کنید سیستمی متشکل از دو معادله داریم که در آن دو مجهول وجود دارد. برای پیدا کردن آنها، باید سیستم را از نظر سازگاری بررسی کنید. معادله بسیار ساده با روش گاوس حل می شود. لازم است ضرایب واقع در نزدیکی هر مجهول را به صورت ماتریسی یادداشت کنید. برای حل سیستم، باید ماتریس توسعه یافته را بنویسید. اگر یکی از معادلات دارای تعداد مجهول کمتری باشد، باید به جای عنصر گمشده، عدد صفر قرار داده شود. همه روش‌های تبدیل شناخته شده برای ماتریس اعمال می‌شوند: ضرب، تقسیم بر یک عدد، اضافه کردن عناصر مربوط به سری به یکدیگر و موارد دیگر. به نظر می رسد که در هر ردیف لازم است یک متغیر با مقدار "1" بگذارید، بقیه باید به صفر کاهش یابد. برای درک دقیق تر، لازم است روش گاوس را با مثال در نظر بگیریم.
یک مثال ساده از حل یک سیستم 2x2
برای شروع، بیایید یک سیستم ساده از معادلات جبری را در نظر بگیریم که در آن 2 مجهول وجود خواهد داشت.
بیایید آن را در یک ماتریس توسعه یافته بازنویسی کنیم.
برای حل این سیستم معادلات خطی، تنها دو عمل مورد نیاز است. ما باید ماتریس را به شکل متعارف برسانیم تا مواردی در امتداد مورب اصلی وجود داشته باشد. بنابراین، با انتقال از فرم ماتریس به سیستم، معادلات 1x+0y=b1 و 0x+1y=b2 را بدست می آوریم، که در آن b1 و b2 پاسخ های حاصل در فرآیند حل هستند.
- اولین اقدام هنگام حل یک ماتریس توسعه یافته این خواهد بود: ردیف اول باید در -7 ضرب شود و عناصر مربوطه را به ردیف دوم اضافه کرد تا از شر یک مجهول در معادله دوم خلاص شود.
- از آنجایی که حل معادلات با استفاده از روش گاوس مستلزم کاهش ماتریس به شکل متعارف است، بنابراین لازم است همان عملیات را با معادله اول انجام دهیم و متغیر دوم را حذف کنیم. برای انجام این کار، خط دوم را از خط اول کم می کنیم و پاسخ مورد نیاز - راه حل SLAE را می گیریم. یا همانطور که در شکل نشان داده شده است، ردیف دوم را در ضریب ۱- ضرب می کنیم و عناصر ردیف دوم را به ردیف اول اضافه می کنیم. این همان است.
همانطور که می بینیم، سیستم ما با روش جردن-گاوس حل شد. ما آن را به شکل مورد نیاز بازنویسی می کنیم: x=-5، y=7.
نمونه ای از محلول 3x3 SLAE
فرض کنید سیستم پیچیده تری از معادلات خطی داریم. روش گاوس امکان محاسبه پاسخ را حتی برای به ظاهر گیج کننده ترین سیستم فراهم می کند. بنابراین، برای عمیق‌تر کردن روش محاسبه، می‌توانید به یک مثال پیچیده‌تر با سه مجهول بروید.
مانند مثال قبلی، سیستم را به شکل یک ماتریس توسعه یافته بازنویسی می کنیم و شروع به آوردن آن به شکل متعارف خود می کنیم.
برای حل این سیستم، باید اقدامات بسیار بیشتری نسبت به مثال قبلی انجام دهید.
- ابتدا باید ستون اول را یک عنصر واحد و بقیه را صفر کنید. برای این کار، معادله اول را در -1 ضرب کرده و معادله دوم را به آن اضافه کنید. مهم است که به یاد داشته باشید که ما خط اول را به شکل اصلی بازنویسی می کنیم و خط دوم را به شکل اصلاح شده بازنویسی می کنیم.
- بعد، همین مجهول اول را از معادله سوم حذف می کنیم. برای این کار عناصر ردیف اول را در -2 ضرب کنید و به ردیف سوم اضافه کنید. اکنون خطوط اول و دوم به شکل اصلی خود بازنویسی می شوند و سوم - با تغییرات. همانطور که از نتیجه می بینید، اولین مورد را در ابتدای مورب اصلی ماتریس و صفرهای باقیمانده به دست آوردیم. چند مرحله دیگر، و سیستم معادلات با روش گاوسی به طور قابل اعتماد حل خواهد شد.
- اکنون باید عملیات را روی سایر عناصر ردیف ها انجام دهید. اقدامات سوم و چهارم را می توان در یکی ترکیب کرد. باید خطوط دوم و سوم را بر 1- تقسیم کنیم تا منهای روی مورب خلاص شویم. ما قبلاً خط سوم را به فرم مورد نیاز آورده ایم.
- بعد خط دوم را به شکل متعارف می آوریم. برای این کار، عناصر ردیف سوم را در -3 ضرب می کنیم و به ردیف دوم ماتریس اضافه می کنیم. از نتیجه مشخص می شود که خط دوم نیز به شکل مورد نیاز ما کاهش می یابد. باقی مانده است که چند عملیات دیگر انجام دهیم و ضرایب مجهولات را از خط اول حذف کنیم.
- برای ایجاد 0 از عنصر دوم یک ردیف، باید ردیف سوم را در -3 ضرب کنید و به ردیف اول اضافه کنید.
- مرحله تعیین کننده بعدی اضافه کردن عناصر ضروری ردیف دوم به ردیف اول خواهد بود. به این ترتیب شکل متعارف ماتریس و بر این اساس، پاسخ را می گیریم.
همانطور که می بینید، حل معادلات با استفاده از روش گاوس بسیار ساده است.
مثالی از حل یک سیستم معادلات 4*4
برخی از سیستم های پیچیده تر از معادلات را می توان با استفاده از روش گاوسی با استفاده از برنامه های کامپیوتری حل کرد. لازم است ضرایب مجهولات را در سلول های خالی موجود وارد کنید و خود برنامه گام به گام نتیجه مورد نیاز را محاسبه می کند و هر عمل را با جزئیات شرح می دهد.
دستورالعمل های گام به گام برای حل چنین مثالی در زیر توضیح داده شده است.
در مرحله اول ضرایب رایگان و اعداد مجهولات در سلول های خالی وارد می شوند. بنابراین، همان ماتریس توسعه یافته ای را که به صورت دستی می نویسیم، دریافت می کنیم.
و تمام عملیات حسابی لازم برای رساندن ماتریس توسعه یافته به شکل متعارف خود انجام می شود. درک این نکته ضروری است که پاسخ به یک سیستم معادلات همیشه اعداد صحیح نیست. گاهی اوقات راه حل ممکن است از اعداد کسری باشد.
بررسی صحت محلول
روش جردن-گاوس بررسی صحت نتیجه را فراهم می کند. برای اینکه بفهمید آیا ضرایب به درستی محاسبه می شوند، فقط باید نتیجه را با سیستم معادلات اصلی جایگزین کنید. سمت چپ معادله باید با سمت راست پشت علامت مساوی مطابقت داشته باشد. اگر پاسخ ها مطابقت ندارند، باید سیستم را مجدداً محاسبه کنید یا سعی کنید روش دیگری را برای حل SLAE های شناخته شده خود، مانند جایگزینی یا تفریق و جمع ترم به ترم، در آن اعمال کنید. به هر حال، ریاضیات علمی است که تعداد زیادی روش حل مختلف دارد. اما به یاد داشته باشید: نتیجه باید همیشه یکسان باشد، مهم نیست از چه روش راه حلی استفاده کرده اید.
روش گاوس: رایج ترین خطاها هنگام حل SLAE
هنگام حل سیستم های خطی معادلات، اغلب خطاهایی مانند انتقال نادرست ضرایب به شکل ماتریس رخ می دهد. سیستم هایی وجود دارند که در آنها تعدادی مجهول در یکی از معادلات وجود ندارد؛ سپس، هنگام انتقال داده ها به یک ماتریس توسعه یافته، می توان آنها را از دست داد. در نتیجه، هنگام حل این سیستم، نتیجه ممکن است با نتیجه واقعی مطابقت نداشته باشد.
اشتباه بزرگ دیگر ممکن است نوشتن اشتباه نتیجه نهایی باشد. لازم است به وضوح درک کنید که ضریب اول با اولین ناشناخته از سیستم، دوم - به دوم و غیره مطابقت دارد.
روش گاوس حل معادلات خطی را با جزئیات شرح می دهد. به لطف آن، انجام عملیات لازم و یافتن نتیجه مناسب آسان است. علاوه بر این، این یک ابزار جهانی برای یافتن پاسخ قابل اعتماد برای معادلات با هر پیچیدگی است. شاید به همین دلیل است که اغلب هنگام حل SLAE از آن استفاده می شود.
تعریف و توصیف روش گاوسی
روش تبدیل گاوسی (همچنین به عنوان روش حذف متوالی متغیرهای مجهول از یک معادله یا ماتریس شناخته می شود) برای حل سیستم های معادلات خطی یک روش کلاسیک برای حل سیستم های معادلات جبری (SLAE) است. از این روش کلاسیک برای حل مسائلی مانند به دست آوردن ماتریس های معکوس و تعیین رتبه یک ماتریس نیز استفاده می شود.
تبدیل با استفاده از روش گاوسی شامل ایجاد تغییرات متوالی کوچک (بنیادی) در یک سیستم معادلات جبری خطی است که منجر به حذف متغیرها از آن از بالا به پایین با تشکیل یک سیستم مثلثی جدید از معادلات می شود که معادل معادلات اصلی است. یکی
تعریف 1
این بخش از محلول راه حل گاوسی پیشرو نامیده می شود، زیرا کل فرآیند از بالا به پایین انجام می شود.
پس از تقلیل سیستم اصلی معادلات به یک مثلثی، همه متغیرهای سیستم از پایین به بالا پیدا می شوند (یعنی اولین متغیرهای یافت شده دقیقاً در آخرین خطوط سیستم یا ماتریس قرار دارند). این قسمت از محلول به عنوان معکوس راه حل گاوسی نیز شناخته می شود. الگوریتم او به این صورت است: ابتدا متغیرهای نزدیک به انتهای سیستم معادلات یا ماتریس محاسبه می‌شوند، سپس مقادیر به‌دست‌آمده بالاتر جایگزین می‌شوند و بنابراین متغیر دیگری پیدا می‌شود و به همین ترتیب.
شرح الگوریتم روش گاوسی
دنباله ای از اقدامات برای حل کلی یک سیستم معادلات با استفاده از روش گاوسی شامل اعمال متناوب ضربه های رو به جلو و عقب به ماتریس بر اساس SLAE است. فرض کنید سیستم معادلات اولیه به شکل زیر باشد:
$\begin(cases) a_(11) \cdot x_1 +...+ a_(1n) \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_(m1) \cdot x_1 + a_(mn) \cdot x_n = b_m \end(موارد)$
برای حل SLAE ها با استفاده از روش گاوسی، لازم است که سیستم اصلی معادلات را به صورت ماتریس بنویسیم:
$A = \begin(pmatrix) a_(11) & … & a_(1n) \\ \vdots & … & \vdots \\ a_(m1) & … & a_(mn) \end(pmatrix)$, $b =\begin(pmatrix) b_1 \\ \vdots \\ b_m \end(pmatrix)$
ماتریس $A$ ماتریس اصلی نامیده می شود و نشان دهنده ضرایب متغیرهای نوشته شده به ترتیب است و $b$ ستون عبارت های آزاد آن نامیده می شود. ماتریس $A$ که از طریق یک نوار با ستونی از عبارت های آزاد نوشته می شود، ماتریس توسعه یافته نامیده می شود:
$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & … & a_(1n) & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & ...\\ a_(m1) & … & a_( mn) & b_m \end(آرایه)$
اکنون لازم است با استفاده از تبدیل های ابتدایی در سیستم معادلات (یا روی ماتریس ، زیرا این راحت تر است) آن را به شکل زیر در آورید:
$\begin(موارد) α_(1j_(1)) \cdot x_(j_(1)) + α_(1j_(2)) \cdot x_(j_(2))...+ α_(1j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(1j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_1 \\ α_(2j_(2)) \cdot x_(j_(2)). ..+ α_(2j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(2j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_2 \\ ...\\ α_( rj_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(rj_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \ \ 0 = β_m \end(موارد)$ (1)
ماتریسی که از ضرایب سیستم تبدیل شده معادله (1) به دست می آید، ماتریس پله ای نامیده می شود؛ ماتریس های گام معمولاً به این صورت هستند:
$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & a_(12) & a_(13) & b_1 \\ 0 & a_(22) & a_(23) & b_2\\ 0 & 0 & a_(33) & b_3 \end(array)$
این ماتریس ها با مجموعه ای از ویژگی های زیر مشخص می شوند:
- تمام خطوط صفر آن پس از خطوط غیر صفر آمده است
- اگر ردیفی از یک ماتریس با عدد $k$ غیر صفر باشد، آنگاه سطر قبلی همان ماتریس صفرهای کمتری نسبت به این ماتریس با عدد $k$ دارد.
پس از به دست آوردن ماتریس گام، لازم است متغیرهای حاصل را جایگزین معادلات باقیمانده (شروع از انتها) کرده و مقادیر باقیمانده متغیرها را بدست آوریم.
قوانین اساسی و تبدیل های مجاز هنگام استفاده از روش گاوس
هنگام ساده سازی یک ماتریس یا سیستم معادلات با استفاده از این روش، فقط باید از تبدیل های ابتدایی استفاده کنید.
چنین تبدیل‌هایی به عنوان عملیاتی در نظر گرفته می‌شوند که می‌توانند بدون تغییر معنای آن، روی یک ماتریس یا سیستم معادلات اعمال شوند:
- تنظیم مجدد چندین خط،
- اضافه کردن یا کم کردن یک ردیف از ماتریس یک ردیف دیگر از آن،
- ضرب یا تقسیم یک رشته در یک ثابت که برابر با صفر نیست،
- خطی متشکل از تنها صفرها که در فرآیند محاسبه و ساده سازی سیستم به دست آمده است، باید حذف شود،
- شما همچنین باید خطوط متناسب غیر ضروری را حذف کنید و برای سیستم تنها موردی را با ضرایب انتخاب کنید که برای محاسبات بیشتر مناسب تر و راحت تر است.
تمام تحولات ابتدایی برگشت پذیر هستند.
تجزیه و تحلیل سه مورد اصلی که هنگام حل معادلات خطی با استفاده از روش تبدیل ساده گاوسی ایجاد می شود.
هنگام استفاده از روش گاوسی برای حل سیستم ها سه مورد وجود دارد:
- وقتی یک سیستم ناسازگار است، یعنی هیچ راه حلی ندارد
- سیستم معادلات دارای یک راه حل و یک راه حل منحصر به فرد است و تعداد سطرها و ستون های غیر صفر در ماتریس با یکدیگر برابر است.
- این سیستم دارای تعداد معینی یا مجموعه ای از راه حل های ممکن است و تعداد ردیف های موجود در آن کمتر از تعداد ستون ها است.
نتیجه یک راه حل با یک سیستم ناسازگار
برای این گزینه، هنگام حل یک معادله ماتریسی با استفاده از روش گاوسی، به دست آوردن خطی با عدم امکان تحقق برابری معمول است. بنابراین، اگر حداقل یک برابری نادرست رخ دهد، سیستم های منتج و اصلی، بدون توجه به معادلات دیگری که دارند، راه حلی ندارند. مثالی از یک ماتریس ناسازگار:
$\begin(array)(ccc|c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)$
در خط آخر یک برابری غیرممکن به وجود آمد: $0 \cdot x_(31) + 0 \cdot x_(32) + 0 \cdot x_(33) = 1$.
سیستمی از معادلات که تنها یک راه حل دارد
این سیستم ها پس از کاهش به یک ماتریس پله ای و حذف سطرهای با صفر، تعداد سطرها و ستون های یکسانی در ماتریس اصلی دارند. در اینجا ساده ترین مثال از چنین سیستمی است:
$\begin(موارد) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \end (موارد)$
بیایید آن را به شکل ماتریس بنویسیم:
$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \end(array)$
برای به صفر رساندن سلول اول ردیف دوم، ردیف بالا را در 2-$ ضرب می کنیم و آن را از ردیف پایین ماتریس کم می کنیم و ردیف بالایی را به شکل اصلی خود می گذاریم، در نتیجه موارد زیر را داریم. :
$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \end(array)$
این مثال را می توان به صورت یک سیستم نوشت:
$\begin(موارد) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \end (موارد)$
معادله پایین مقدار زیر را برای $x$ به دست می دهد: $x_2 = 3 \frac(1)(3)$. این مقدار را در معادله بالایی جایگزین کنید: $x_1 – 3 \frac(1)(3)$، ما x_1$ = 1 \frac(2)(3)$ را دریافت می کنیم.
سیستمی با راه حل های ممکن
این سیستم با تعداد کمتری از ردیف های مهم نسبت به تعداد ستون های موجود در آن مشخص می شود (ردیف های ماتریس اصلی در نظر گرفته می شوند).
متغیرها در چنین سیستمی به دو نوع اساسی و رایگان تقسیم می شوند. هنگام تبدیل چنین سیستمی، متغیرهای اصلی موجود در آن باید در ناحیه سمت چپ تا علامت "=" رها شوند و متغیرهای باقی مانده باید به سمت راست برابری منتقل شوند.
چنین سیستمی فقط یک راه حل کلی خاص دارد.
اجازه دهید سیستم معادلات زیر را تجزیه و تحلیل کنیم:
$\begin(موارد) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \end (موارد)$
بیایید آن را به شکل ماتریس بنویسیم:
$\begin(array)(cccc|c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \end (array)$
وظیفه ما یافتن یک راه حل کلی برای سیستم است. برای این ماتریس، متغیرهای پایه $y_1$ و $y_3$ خواهند بود (برای $y_1$ - چون اول می‌آید، و در مورد $y_3$ - بعد از صفرها قرار دارد).
به عنوان متغیرهای پایه، دقیقاً آنهایی را انتخاب می کنیم که اولین ردیف هستند و برابر با صفر نیستند.
متغیرهای باقیمانده رایگان نامیده می شوند که باید از طریق آنها متغیرهای اساسی را بیان کنیم.
با استفاده از اصطلاح reverse stroke، سیستم را از پایین به بالا تجزیه و تحلیل می کنیم؛ برای این کار ابتدا $y_3$ را از خط پایین سیستم بیان می کنیم:
$5y_3 – 4y_4 = 1$
$5y_3 = 4y_4 + 1$
$y_3 = \frac(4/5)y_4 + \frac(1)(5)$.
اکنون $y_3$ بیان شده را در معادله بالایی سیستم $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$ جایگزین می کنیم: $2y_1 + 3y_2 - (\frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5)) + y_4 = 1 دلار
$y_1$ را بر حسب متغیرهای رایگان $y_2$ و $y_4$ بیان می‌کنیم:
$2y_1 + 3y_2 - \frac(4)(5)y_4 - \frac(1)(5) + y_4 = 1$
$2y_1 = 1 – 3y_2 + \frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5) – y_4$
$2y_1 = -3y_2 - \frac(1)(5)y_4 + \frac(6)(5)$
$y_1 = -1.5x_2 – 0.1y_4 + 0.6$
محلول آماده است.
مثال 1
حل کردن لجن با استفاده از روش گاوسی. مثال ها. مثالی از حل یک سیستم معادلات خطی که با ماتریس 3 در 3 به روش گاوسی ارائه شده است.
$\begin(موارد) 4x_1 + 2x_2 - x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 - 3x_3 = 0 \end(موارد)$
بیایید سیستم خود را به شکل یک ماتریس توسعه یافته بنویسیم:
$\begin(array)(ccc|c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$
اکنون، برای راحتی و عملی بودن، باید ماتریس را طوری تبدیل کنید که $1$ در گوشه بالای بیرونی ترین ستون باشد.
برای انجام این کار، به خط 1 باید خط را از وسط، ضرب در $-1$ اضافه کنید، و خط وسط را همانطور که هست بنویسید، معلوم می شود:
$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$
$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \end (آرایه) $
خطوط بالا و آخر را در $-1 دلار ضرب کنید و همچنین خطوط آخر و وسط را عوض کنید:
$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \end(array)$
$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \end(array)$
و خط آخر را بر 3 دلار تقسیم کنید:
$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end(array)$
ما سیستم معادلات زیر را معادل معادله اصلی بدست می آوریم:
$\begin(موارد) x_1 + x_2 - x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \پایان (موارد)$
از معادله بالا $x_1$ را بیان می کنیم:
$x1 = 1 + x_3 – x_2 = 1 + 1 – 3 = -1$.
مثال 2
مثالی از حل یک سیستم تعریف شده با استفاده از ماتریس 4 در 4 با استفاده از روش گاوسی
$\begin(array)(cccc|c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 و 37 \\ \end (آرایه)$.
در ابتدا، خطوط بالایی را به دنبال آن عوض می کنیم تا 1 دلار در گوشه سمت چپ بالا به دست آوریم:
$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 و 37 \\ \end (آرایه)$.
حالا خط بالایی را در -2$ ضرب کنید و به 2 و 3 اضافه کنید. به خط 4، ما خط 1 را، ضرب در $-3$ اضافه می کنیم:
$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & - 1 و 3 و -1 و 4 \\ \end(آرایه)$
حالا به خط شماره 3، خط 2 را ضرب در 4$ اضافه می کنیم و به خط 4، خط 2 را ضرب در $1$ اضافه می کنیم.
$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \end(آرایه)$
خط 2 را در $-1$ ضرب می کنیم و خط 4 را بر $3$ تقسیم می کنیم و خط 3 را جایگزین می کنیم.
$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 و 10 \\ \end (آرایه)$
حالا ماقبل آخر را ضربدر 5$ به خط آخر اضافه می کنیم.
$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 و 0 \\ \پایان (آرایه)$
ما سیستم معادلات حاصل را حل می کنیم:
$\begin(موارد) m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3y + 2g + m = 11\ پایان (موارد)$
1. سیستم معادلات جبری خطی
1.1 مفهوم سیستم معادلات جبری خطی
سیستم معادلات شرایطی است که شامل اجرای همزمان چندین معادله با توجه به چندین متغیر است. سیستمی از معادلات جبری خطی (از این پس SLAE نامیده می شود) که حاوی m معادلات و n مجهول است، سیستمی به شکل نامیده می شود:
که در آن اعداد a ij ضرایب سیستم نامیده می شوند، اعداد b i اصطلاحات آزاد نامیده می شوند. یک ijو b i(i=1,…, m؛ b=1,…, n) برخی از اعداد شناخته شده را نشان می دهد و x 1،…، x n- ناشناخته. در تعیین ضرایب یک ijشاخص اول i تعداد معادله را نشان می دهد و j دوم تعداد مجهولی است که این ضریب در آن قرار دارد. اعداد x n باید پیدا شوند. نوشتن چنین سیستمی به شکل ماتریس فشرده راحت است: AX=B.در اینجا A ماتریس ضرایب سیستم است که ماتریس اصلی نامیده می شود.
– بردار ستون مجهولات xj. بردار ستونی از عبارت های آزاد bi است.
حاصل ضرب ماتریس های A*X تعریف می شود، زیرا در ماتریس A به تعداد سطر در ماتریس X (n قطعه) ستون وجود دارد.
ماتریس توسعه یافته یک سیستم، ماتریس A سیستم است که با ستونی از عبارت های آزاد تکمیل می شود
1.2 حل سیستم معادلات جبری خطی
راه حل یک سیستم معادلات، مجموعه منظمی از اعداد (مقادیر متغیرها) است که هنگام جایگزینی آنها به جای متغیرها، هر یک از معادلات سیستم به یک برابری واقعی تبدیل می شود.
راه حل یک سیستم n مقدار مجهولات x1=c1, x2=c2,…, xn=cn است که با جایگزینی آن همه معادلات سیستم به برابری های واقعی تبدیل می شوند. هر راه حلی برای سیستم می تواند به عنوان یک ماتریس ستونی نوشته شود
سیستم معادلات اگر حداقل یک راه حل داشته باشد سازگار و اگر هیچ جوابی نداشته باشد ناسازگار نامیده می شود.
به یک سیستم ثابت گفته می شود که اگر یک راه حل داشته باشد معین است و اگر بیش از یک راه حل داشته باشد نامشخص است. در حالت دوم، هر یک از راه حل های آن را یک راه حل خاص سیستم می نامند. به مجموعه تمام راه حل های خاص، راه حل کلی می گویند.
حل یک سیستم به معنای یافتن سازگاری یا ناسازگاری آن است. اگر سیستم سازگار است، راه حل کلی آن را پیدا کنید.
دو سیستم اگر راه حل کلی یکسانی داشته باشند معادل (معادل) نامیده می شوند. به عبارت دیگر، سیستم ها در صورتی معادل هستند که هر راه حل یکی از آنها راه حل دیگری باشد و بالعکس.
تبدیلی که اعمال آن یک سیستم را به یک سیستم جدید معادل با سیستم اصلی تبدیل می کند، تبدیل معادل یا معادل نامیده می شود. مثال‌هایی از تبدیل‌های معادل شامل تبدیل‌های زیر است: مبادله دو معادله یک سیستم، مبادله دو مجهول به همراه ضرایب همه معادلات، ضرب هر دو طرف هر معادله یک سیستم در عددی غیر صفر.
یک سیستم معادلات خطی همگن نامیده می شود که تمام جمله های آزاد برابر با صفر باشند:
یک سیستم همگن همیشه سازگار است، زیرا x1=x2=x3=…=xn=0 راه حلی از سیستم است. این راه حل صفر یا بی اهمیت نامیده می شود.
2. روش حذف گاوسی
2.1 ماهیت روش حذف گاوسی
روش کلاسیک برای حل سیستم های معادلات جبری خطی روش حذف متوالی مجهولات است - روش گاوسی(به آن روش حذف گاوسی نیز گفته می شود). این یک روش حذف متوالی متغیرها است، زمانی که با استفاده از تبدیل های ابتدایی، یک سیستم معادلات به یک سیستم معادل یک شکل پله ای (یا مثلثی) کاهش می یابد، که از آن همه متغیرهای دیگر به ترتیب یافت می شوند، که از آخرین (توسط) شروع می شود. تعداد) متغیرها
فرآیند حل با استفاده از روش گاوسی شامل دو مرحله است: حرکت به جلو و عقب.
1. سکته مستقیم.
در مرحله اول، به اصطلاح حرکت مستقیم انجام می شود، زمانی که از طریق دگرگونی های ابتدایی روی ردیف ها، سیستم به شکل پلکانی یا مثلثی در می آید و یا مشخص می شود که سیستم ناسازگار است. یعنی از بین عناصر ستون اول ماتریس، یک غیر صفر را انتخاب کنید، با مرتب کردن مجدد سطرها، آن را به بالاترین موقعیت منتقل کنید و سطر اول حاصل را از سطرهای باقیمانده پس از تنظیم مجدد کم کنید و آن را در یک مقدار ضرب کنید. برابر با نسبت عنصر اول هر یک از این ردیف ها به اولین عنصر ردیف اول است، بنابراین ستون زیر آن را صفر می کند.
پس از تکمیل این تبدیل‌ها، سطر اول و ستون اول به صورت ذهنی خط کشیده می‌شوند و تا زمانی که یک ماتریس صفر باقی بماند ادامه می‌یابد. اگر در هر تکرار هیچ عنصر غیر صفر در بین عناصر ستون اول وجود نداشت، به ستون بعدی بروید و عملیات مشابهی را انجام دهید.
در مرحله اول (سکته مغزی مستقیم)، سیستم به شکل پلکانی (به ویژه مثلثی) کاهش می یابد.
سیستم زیر دارای فرم گام به گام است:
,
ضرایب aii عناصر اصلی (پیشرو) سیستم نامیده می شوند.
(اگر a11=0، ردیف های ماتریس را طوری مرتب کنید که آ 11 برابر 0 نبود. این همیشه ممکن است، زیرا در غیر این صورت ماتریس حاوی یک ستون صفر است، تعیین کننده آن برابر با صفر است و سیستم ناسازگار است).بیایید سیستم را با حذف مجهول x1 در همه معادلات به جز معادله اول (با استفاده از تبدیل های ابتدایی سیستم) تبدیل کنیم. برای انجام این کار، دو طرف معادله اول را در ضرب کنید
و ترم به ترم را با معادله دوم سیستم اضافه کنید (یا از معادله دوم جمله به جمله را در عدد اول تفریق کنید، ضربدر ). سپس هر دو طرف معادله اول را در ضرب کرده و به معادله سوم سیستم اضافه می کنیم (یا از سومین معادله اول را در عدد کم می کنیم). بنابراین، خط اول را به ترتیب در یک عدد ضرب می کنیم و به آن اضافه می کنیم منخط هفتم، برای i= 2, 3, …,nبا ادامه این فرآیند، یک سیستم معادل به دست می آوریم:
- مقادیر جدید ضرایب برای مجهولات و عبارات آزاد در آخرین معادلات m-1 سیستم که با فرمول تعیین می شود: بنابراین، در مرحله اول، تمام ضرایب موجود در زیر اولین عنصر اصلی a 11 از بین می روند
0، در مرحله دوم عناصری که در زیر عنصر اصلی دوم a 22 (1) قرار دارند از بین می روند (اگر 22 (1) 0 باشد) و غیره. با ادامه این روند، در نهایت در مرحله (m-1) سیستم اصلی را به یک سیستم مثلثی تبدیل می کنیم.اگر در فرآیند کاهش سیستم به شکل گام به گام، معادلات صفر ظاهر شوند، یعنی. برابری‌های شکل 0=0، کنار گذاشته می‌شوند. اگر معادله ای از فرم ظاهر شود
سپس این نشان دهنده ناسازگاری سیستم است. اینجاست که پیشرفت مستقیم روش گاوس به پایان می رسد.
2. سکته مغزی معکوس.
در مرحله دوم، به اصطلاح حرکت معکوس انجام می شود که ماهیت آن بیان همه متغیرهای اساسی به دست آمده بر حسب متغیرهای غیر اساسی و ساختن یک سیستم اساسی از راه حل ها است، یا اگر همه متغیرها پایه باشند. ، سپس تنها جواب سیستم معادلات خطی را به صورت عددی بیان کنید.
این روش با آخرین معادله شروع می شود، که از آن متغیر پایه مربوطه بیان می شود (فقط یک عدد در آن وجود دارد) و جایگزین معادلات قبلی می شود و به همین ترتیب "پله ها" را بالا می برد.
هر خط دقیقاً مربوط به یک متغیر پایه است، بنابراین در هر مرحله به جز آخرین (بالاترین)، وضعیت دقیقاً مورد خط آخر را تکرار می کند.
توجه: در عمل، راحت تر است که نه با سیستم، بلکه با ماتریس توسعه یافته آن کار کنید و تمام تبدیلات اولیه را در ردیف های آن انجام دهید. راحت است که ضریب a11 برابر با 1 باشد (معادلات را دوباره مرتب کنید یا هر دو طرف معادله را بر a11 تقسیم کنید).
2.2 نمونه هایی از حل SLAE با استفاده از روش گاوسی
در این بخش با استفاده از سه مثال مختلف نشان خواهیم داد که چگونه روش گاوسی می تواند SLAE ها را حل کند.
مثال 1. یک SLAE مرتبه سوم را حل کنید.
بیایید ضرایب را تنظیم مجدد کنیم
در خط دوم و سوم برای انجام این کار، آنها را به ترتیب در 2/3 و 1 ضرب کنید و به خط اول اضافه کنید:
در اینجا می توانید یک سیستم معادلات خطی را به صورت رایگان حل کنید روش گاوس آنلایناندازه های بزرگ در اعداد مختلط با یک راه حل بسیار دقیق. ماشین حساب ما می تواند به صورت آنلاین هر دو سیستم معین و نامعین معمول معادلات خطی را با استفاده از روش گاوسی که تعداد بی نهایت راه حل دارد حل کند. در این صورت، در پاسخ، وابستگی برخی از متغیرها را از طریق متغیرهای رایگان دیگر دریافت خواهید کرد. شما همچنین می توانید سیستم معادلات را برای سازگاری آنلاین با استفاده از راه حل گاوس بررسی کنید.
در مورد روش
هنگام حل آنلاین یک سیستم معادلات خطی با استفاده از روش گاوسی، مراحل زیر انجام می شود.
- ماتریس توسعه یافته را می نویسیم.
- در واقع راه حل به گام های رو به جلو و عقب روش گاوسی تقسیم می شود. گام مستقیم روش گاوسی کاهش یک ماتریس به شکل گام به گام است. معکوس روش گاوسی کاهش یک ماتریس به یک فرم گام به گام ویژه است. اما در عمل راحت تر است که بلافاصله آنچه را که در بالا و پایین عنصر مورد نظر قرار دارد، صفر کنید. ماشین حساب ما دقیقاً از این روش استفاده می کند.
- توجه به این نکته ضروری است که هنگام حل با استفاده از روش گاوسی، وجود حداقل یک ردیف صفر در ماتریس با سمت راست غیر صفر (ستون عبارات آزاد) نشان دهنده ناسازگاری سیستم است. در این حالت راه حلی برای سیستم خطی وجود ندارد.
برای درک بهتر نحوه عملکرد الگوریتم گاوسی به صورت آنلاین، هر مثالی را وارد کنید، "راه حل بسیار دقیق" را انتخاب کنید و راه حل آن را به صورت آنلاین مشاهده کنید.
