مساحت پایه منشور: از مثلث تا چند ضلعی. N. هندسه نیکیتین

در فیزیک، یک منشور مثلثی ساخته شده از شیشه اغلب برای مطالعه طیف نور سفید استفاده می شود، زیرا می تواند آن را در اجزای جداگانه خود تجزیه کند. در این مقاله فرمول حجم را در نظر خواهیم گرفت

منشور مثلثی چیست؟

قبل از ارائه فرمول حجم، اجازه دهید خواص این شکل را در نظر بگیریم.

برای به دست آوردن این، باید یک مثلث به هر شکلی بگیرید و آن را به موازات خودش تا فاصله ای حرکت دهید. رئوس مثلث در موقعیت های اولیه و نهایی باید توسط بخش های مستقیم به هم متصل شوند. شکل حجمی حاصل را منشور مثلثی می نامند. از پنج ضلع تشکیل شده است. دو تا از آنها را پایه می گویند: موازی و مساوی یکدیگرند. پایه های منشور مورد بحث مثلث هستند. سه ضلع باقیمانده متوازی الاضلاع هستند.

علاوه بر اضلاع، منشور مورد بحث با شش رأس (سه رأس برای هر پایه) و نه یال (6 یال در صفحات پایه ها قرار دارد و 3 یال از تلاقی اضلاع تشکیل می شود) مشخص می شود. اگر لبه های جانبی بر پایه ها عمود باشند، چنین منشوری مستطیل نامیده می شود.

تفاوت منشور مثلثی با سایر اشکال این کلاس در این است که همیشه محدب است (منشورهای چهار، پنج، ...، n ضلعی نیز می توانند مقعر باشند).

این یک شکل مستطیل شکل است که یک مثلث متساوی الاضلاع در قاعده آن قرار دارد.

حجم یک منشور مثلثی کلی

چگونه حجم یک منشور مثلثی را پیدا کنیم؟ فرمول به طور کلی شبیه به منشور از هر نوع است. دارای نماد ریاضی زیر است:

در اینجا h ارتفاع شکل است، یعنی فاصله بین پایه های آن، S o مساحت مثلث است.

مقدار S o را می توان در صورتی یافت که برخی از پارامترهای مثلث شناخته شده باشند، به عنوان مثال، یک ضلع و دو زاویه یا دو ضلع و یک زاویه. مساحت یک مثلث برابر است با نصف حاصلضرب ارتفاع آن و طول ضلعی که این ارتفاع به وسیله آن کاهش می یابد.

در مورد ارتفاع h شکل، پیدا کردن آن برای یک منشور مستطیلی ساده‌تر است. در حالت دوم، h با طول لبه کناری منطبق است.

حجم یک منشور مثلثی منظم

فرمول کلی حجم یک منشور مثلثی، که در بخش قبلی مقاله آورده شده است، می تواند برای محاسبه مقدار مربوط به یک منشور مثلثی معمولی استفاده شود. از آنجایی که قاعده آن یک مثلث متساوی الاضلاع است، مساحت آن برابر است با:

هر کسی می تواند این فرمول را دریافت کند اگر به یاد داشته باشد که در یک مثلث متساوی الاضلاع همه زوایا با یکدیگر برابر هستند و برابر با 60 درجه هستند. در اینجا علامت a طول ضلع مثلث است.

ارتفاع h طول لبه است. این به هیچ وجه با پایه یک منشور منظم مرتبط نیست و می تواند مقادیر دلخواه را بگیرد. در نتیجه، فرمول حجم یک منشور مثلثی از نوع صحیح به صورت زیر است:

پس از محاسبه ریشه، می توانید این فرمول را به صورت زیر بازنویسی کنید:

بنابراین، برای یافتن حجم یک منشور منظم با قاعده مثلثی، باید ضلع پایه را مربع کرد، این مقدار را در ارتفاع ضرب کرد و مقدار حاصل را در 0.433 ضرب کرد.

نوع شغل: 8
موضوع: منشور

وضعیت

در یک منشور مثلثی منظم ABCA_1B_1C_1، اضلاع پایه 4 و لبه های جانبی 10 هستند. سطح مقطع منشور را با صفحه ای که از وسط لبه های AB، AC، A_1B_1 و A_1C_1 می گذرد، بیابید.

نشان دادن راه حل

راه حل

شکل زیر را در نظر بگیرید.

بنابراین قطعه MN خط وسط مثلث A_1B_1C_1 است MN = \frac12 B_1C_1=2.به همین ترتیب، KL=\frac12BC=2.علاوه بر این، MK = NL = 10. نتیجه می شود که MNLK چهار ضلعی متوازی الاضلاع است. از آنجایی که MK\ موازی AA_1 است، سپس MK\perp ABC و MK\perp KL. بنابراین، MNLK چهار ضلعی یک مستطیل است. S_(MNLK) = MK\cdot KL = 20.

10\cdot 2 =

نوع شغل: 8
موضوع: منشور

وضعیت

پاسخ دهید

نشان دادن راه حل

راه حل

حجم یک منشور چهار گوش منظم ABCDA_1B_1C_1D_1 24 است. نقطه K وسط لبه CC_1 است. حجم هرم KBCD را پیدا کنید.

با توجه به شرط، KC ارتفاع هرم KBCD است. CC_1 ارتفاع منشور ABCDA_1B_1C_1D_1 است. از آنجایی که K نقطه وسط CC_1 است، پس KC=\frac12CC_1. اجازه دهید CC_1=H، سپس KC=\frac12H . همچنین توجه داشته باشید که S_(BCD)=\frac12S_(ABCD). سپس، V_(KBCD)= \frac13S_(BCD)\cdot\frac(H)(2)= \frac13\cdot\frac12S_(ABCD)\cdot\frac(H)(2)= \frac(1)(12)\cdot S_(ABCD)\cdot H=\frac(1)(12)V_(ABCDA_1B_1C_1D_1). از این رو،

10\cdot 2 =

V_(KBCD)=\frac(1)(12)\cdot24=2.

نوع شغل: 8
موضوع: منشور

وضعیت

منبع: «ریاضیات. آمادگی برای آزمون دولتی یکپارچه 2017. سطح نمایه." اد. F. F. Lysenko، S. Yu.

نشان دادن راه حل

راه حل

مساحت سطح جانبی یک منشور شش ضلعی منتظم که ضلع قاعده آن 6 و ارتفاع آن 8 است را پیدا کنید. · مساحت سطح جانبی منشور با فرمول سمت S پیدا می شود. = P پایه

10\cdot 2 =

V_(KBCD)=\frac(1)(12)\cdot24=2.

نوع شغل: 8
موضوع: منشور

وضعیت

آب در ظرفی به شکل یک منشور مثلثی منظم ریخته شد. سطح آب به 40 سانتی متر می رسد اگر در ظرف دیگری به همان شکل ریخته شود که ضلع پایه آن دو برابر اولی است؟ پاسخ خود را به سانتی متر بیان کنید.

نشان دادن راه حل

راه حل

بگذارید a ضلع پایه ظرف اول باشد، سپس 2 a ضلع پایه ظرف دوم باشد. طبق شرط، حجم مایع V در ظرف اول و دوم یکسان است. اجازه دهید سطحی که مایع در ظرف دوم به آن رسیده است را با H نشان دهیم. سپس V= \frac12\cdot a^2\cdot\sin60^(\circ)\cdot40= \frac(a^2\sqrt3)(4)\cdot40،و، V=\frac((2a)^2\sqrt3)(4)\cdot H.از اینجا \frac(a^2\sqrt3)(4)\cdot40=\frac((2a)^2\sqrt3)(4)\cdot H، 40 = 4 ساعت، H=10.

10\cdot 2 =

V_(KBCD)=\frac(1)(12)\cdot24=2.

نوع شغل: 8
موضوع: منشور

وضعیت

در یک منشور شش ضلعی منظم ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 همه یال ها برابر با 2 هستند. فاصله بین نقاط A و E_1 را پیدا کنید.

نشان دادن راه حل

راه حل

مثلث AEE_1 مستطیلی است، از آنجایی که لبه EE_1 عمود بر صفحه قاعده منشور است، زاویه AEE_1 یک زاویه قائمه خواهد بود.

سپس، توسط قضیه فیثاغورث، AE_1^2 = AE^2 + EE_1^2. بیایید AE را از مثلث AFE با استفاده از قضیه کسینوس پیدا کنیم. هر زاویه داخلی یک شش ضلعی منظم 120^(\circ) است. سپس AE^2=

AF^2+FE^2-2\cdot AF\cdot FE\cdot\cos120^(\circ)=

2^2+2^2-2\cdot2\cdot2\cdot\ چپ (-\frac12 \راست).

بنابراین، AE^2=4+4+4=12،

10\cdot 2 =

V_(KBCD)=\frac(1)(12)\cdot24=2.

نوع شغل: 8
موضوع: منشور

وضعیت

AE_1^2=12+4=16، AE_1=4.مساحت سطح جانبی یک منشور مستقیم را بیابید که در قاعده آن لوزی با قطرهای برابر با

نشان دادن راه حل

راه حل

4\sqrt5 · و 8 و یک لبه کناری برابر با 5.

مساحت سطح جانبی یک منشور مستقیم با استفاده از فرمول سمت S پیدا می شود. = P پایه

h = 4a\cdot h، که در آن P اساسی است. و h به ترتیب محیط قاعده و ارتفاع منشور برابر با 5 و a ضلع لوزی است. بیایید ضلع لوزی را با استفاده از این واقعیت که مورب های لوزی ABCD متقابلاً عمود هستند و بر نقطه تقاطع نصف می شوند، پیدا کنیم.

حجم منشور. حل مسئله

هندسه قدرتمندترین وسیله برای تقویت قوای ذهنی ما و توانمندسازی ما در تفکر و استدلال صحیح است.

• جی. گالیله
• هدف درس:
• آموزش حل مسائل مربوط به محاسبه حجم منشورها، خلاصه کردن و نظام مند کردن اطلاعات دانش آموزان در مورد یک منشور و عناصر آن، توسعه توانایی حل مسائل با پیچیدگی زیاد.

توسعه تفکر منطقی، توانایی کار مستقل، مهارت های کنترل متقابل و خودکنترلی، توانایی صحبت کردن و گوش دادن.

تجهیزات: کارت های کنترل، پروژکتور رسانه ای، ارائه "درس. حجم منشور، کامپیوترها.

پیشرفت درس

• دنده های جانبی منشور (شکل 2).
• سطح جانبی منشور (شکل 2، شکل 5).
• ارتفاع منشور (شکل 3، شکل 4).
• منشور مستقیم (شکل 2،3،4).
• یک منشور مایل (شکل 5).
• منشور صحیح (شکل 2، شکل 3).
• بخش مورب منشور (شکل 2).
• مورب منشور (شکل 2).
• بخش عمود بر منشور (شکل 3، شکل 4).
• سطح جانبی منشور.
• سطح کل منشور.
• حجم منشور.

1. بررسی تکالیف منزل (8 دقیقه)

نوت بوک ها را تعویض کنید، راه حل را در اسلایدها بررسی کنید و آن را علامت بزنید (اگر مشکل کامپایل شده است، 10 علامت بزنید)

با توجه به تصویر یک مسئله درست کنید و آن را حل کنید. دانش آموز از مسئله ای که تدوین کرده در هیئت دفاع می کند. شکل 6 و شکل 7.





فصل 2، §3
مشکل.2. طول تمام لبه های یک منشور مثلثی منظم با یکدیگر برابر است. اگر مساحت سطح منشور سانتی متر مربع باشد حجم منشور را محاسبه کنید (شکل 8)



فصل 2، §3
مسئله 5. قاعده منشور مستقیم ABCA 1B 1C1 یک مثلث قائم الزاویه ABC است (زاویه ABC=90 درجه)، AB=4cm. اگر شعاع دایره محصور در اطراف مثلث ABC 2.5 سانتی متر و ارتفاع منشور 10 سانتی متر باشد، حجم منشور را محاسبه کنید. (شکل 9).



فصل 2، §3
مسئله 29. طول ضلع قاعده منشور چهار گوش منتظم 3 سانتی متر است. مورب منشور با صفحه وجه جانبی زاویه 30 درجه تشکیل می دهد. حجم منشور را محاسبه کنید (شکل 10).



2. همکاری بین معلم و کلاس (2-3 دقیقه).

هدف: جمع بندی نتایج گرم کردن نظری (دانش آموزان به یکدیگر نمره می دهند)، یادگیری نحوه حل مسائل در مورد موضوع.

3. دقیقه فیزیکی (3 دقیقه)
4. حل مسئله (10 دقیقه)

در این مرحله، معلم کار پیشانی را روی تکرار روش‌های حل مسائل پلان‌سنجی و فرمول‌های پلان‌سنجی سازماندهی می‌کند.

کلاس به دو گروه تقسیم می شود، برخی مشکلات را حل می کنند، برخی دیگر در رایانه کار می کنند. سپس آنها تغییر می کنند.

از دانش آموزان خواسته می شود که تمام شماره 8 (شفاهی)، شماره 9 (شفاهی) را حل کنند. سپس به گروه ها تقسیم می شوند و به حل مسائل شماره 14، 30، شماره 32 اقدام می کنند.



فصل 2، §3، صفحات 66-67
مسئله 8. تمام لبه های یک منشور مثلثی منتظم با هم برابرند. اگر سطح مقطع صفحه ای که از لبه پایه پایینی و وسط ضلع پایه بالایی می گذرد برابر با سانتی متر باشد، حجم منشور را بیابید (شکل 11).



فصل 2، §3، صفحات 66-67
فصل 2، §3، صفحات 66-67قاعده منشور مستقیم لوزی است که یکی از قطرهای آن برابر با ضلع آن است.



فصل 2، §3، صفحات 66-67
محیط مقطع را با صفحه ای که از مورب اصلی قاعده پایینی می گذرد محاسبه کنید، اگر حجم منشور برابر باشد و تمام وجوه جانبی مربع باشند (شکل 13).مسئله 30



فصل 2، §3، صفحات 66-67
ABCA 1 B 1 C 1 یک منشور مثلثی منتظم است که تمام لبه های آن با یکدیگر برابر هستند، نقطه وسط یال BB 1 است. اگر حجم منشور برابر با (شکل 14) باشد، شعاع دایره ای را که در قسمت منشور توسط صفحه AOS محاط شده است، محاسبه کنید.مسئله 32



در منشور چهار گوش منتظم، مجموع مساحت قاعده ها برابر است با مساحت سطح جانبی. اگر قطر دایره ای که در نزدیکی مقطع منشور با صفحه ای که از دو راس قاعده پایینی و راس مخالف پایه بالایی می گذرد، 6 سانتی متر باشد، حجم منشور را محاسبه کنید (شکل 15).

5. دانش آموزان هنگام حل مسائل، پاسخ های خود را با پاسخ هایی که معلم نشان می دهد مقایسه می کنند. این یک نمونه راه حل برای یک مشکل با نظرات دقیق است ... کار فردی یک معلم با دانش آموزان "قوی" (10 دقیقه).

دانش آموزان به طور مستقل روی آزمون در رایانه کار می کنند

1) 152) 45 3) 104) 125) 18

1. ضلع قاعده منشور مثلثی منتظم برابر است و ارتفاع آن 5 است. حجم منشور را بیابید.

2. عبارت صحیح را انتخاب کنید.

1) حجم منشوری قائم الزاویه که قاعده آن مثلث قائم الزاویه باشد برابر است با حاصل ضرب مساحت قاعده و ارتفاع.

2) حجم یک منشور مثلثی منظم با فرمول V = 0.25a 2 h محاسبه می شود - که در آن a ضلع پایه است، h ارتفاع منشور است.

3) حجم منشور مستقیم برابر است با نصف حاصلضرب مساحت قاعده و ارتفاع.

4) حجم یک منشور چهار گوش منتظم با فرمول V = a 2 h - که a ضلع قاعده است، h ارتفاع منشور محاسبه می شود.

5) حجم یک منشور شش ضلعی منظم با فرمول V = 1.5a 2 h محاسبه می شود که a ضلع قاعده و h ارتفاع منشور است.

1) 92) 9 3) 4,54) 2,255) 1,125

3. ضلع قاعده منشور مثلثی منتظم برابر است با .

صفحه ای از سمت پایه پایینی و راس مخالف پایه بالایی کشیده می شود که با زاویه 45 درجه نسبت به پایه عبور می کند. حجم منشور را بیابید.

4. قاعده منشور راست لوزی است که ضلع آن 13 و یکی از قطرهای آن 24 است.

اگر قطر وجه جانبی 14 باشد حجم منشور را بیابید.

منشور مستقیم. سطح و حجم یک منشور مستقیم. § 68. VOLUME OF A DIRECT PRISM. 1. حجم منشور مثلثی راست.

اجازه دهید به طور جداگانه پایه منشور، یعنی مثلث ABC را رسم کنیم (شکل 307، a)، و آن را تا یک مستطیل بسازیم، که برای آن یک خط مستقیم KM از رأس B || AC و از نقاط A و C عمودهای AF و CE را روی این خط پایین می آوریم. مستطیل ACEF را می گیریم. با رسم ارتفاع BD مثلث ABC، می بینیم که مستطیل ACEF به 4 مثلث قائم الزاویه تقسیم می شود. علاوه بر این /\ همه = /\ BCD و /\ VAF = /\ VAD. این بدان معنی است که مساحت مستطیل ACEF دو برابر مساحت مثلث ABC است، یعنی برابر با 2S.

به این منشور با پایه ABC منشورهایی با پایه های ALL و BAF و ارتفاع وصل می کنیم § 68. VOLUME OF A DIRECT PRISM.(شکل 307، ب). یک متوازی الاضلاع مستطیل شکل با پایه به دست می آوریم
ACEF.

اگر این متوازی الاضلاع را با صفحه ای که از خطوط مستقیم BD و BB می گذرد تشریح کنیم، خواهیم دید که متوازی الاضلاع مستطیلی از 4 منشور با پایه تشکیل شده است.
BCD، ALL، BAD و BAF.

منشورهایی با پایه های BCD و VSE را می توان ترکیب کرد، زیرا پایه های آنها برابر است ( /\ ВСD = /\ BSE) و لبه های جانبی آنها نیز برابر هستند که بر همان صفحه عمود هستند. یعنی حجم این منشورها برابر است. حجم منشورهای دارای پایه BAD و BAF نیز برابر است.

بنابراین، معلوم می شود که حجم یک منشور مثلثی داده شده با یک پایه
ABC نصف حجم یک متوازی الاضلاع مستطیلی با پایه ACEF است.

می دانیم که حجم یک متوازی الاضلاع مستطیلی برابر با حاصل ضرب مساحت قاعده و ارتفاع آن است، یعنی در این حالت برابر با 2S است. § 68. VOLUME OF A DIRECT PRISM.. بنابراین حجم این منشور مثلثی راست برابر با S است § 68. VOLUME OF A DIRECT PRISM..

حجم یک منشور مثلثی راست برابر حاصل ضرب مساحت قاعده و ارتفاع آن است.

2. حجم منشور چند ضلعی راست.

برای یافتن حجم یک منشور چند ضلعی راست، به عنوان مثال یک منشور پنج ضلعی، با مساحت پایه S و ارتفاع § 68. VOLUME OF A DIRECT PRISM.، بیایید آن را به منشورهای مثلثی تقسیم کنیم (شکل 308).

با نشان دادن مساحت های پایه منشورهای مثلثی با S 1، S 2 و S 3، و حجم یک منشور چند ضلعی معین را با V، به دست می آوریم:

V = S 1 § 68. VOLUME OF A DIRECT PRISM.+ S 2 § 68. VOLUME OF A DIRECT PRISM.+ S 3 § 68. VOLUME OF A DIRECT PRISM.، یا
V = (S 1 + S 2 + S 3) § 68. VOLUME OF A DIRECT PRISM..

و در نهایت: V = S § 68. VOLUME OF A DIRECT PRISM..

به همین ترتیب، فرمول حجم یک منشور مستقیم با هر چندضلعی در قاعده آن مشتق شده است.

به معنی، حجم هر منشور راست برابر است با حاصل ضرب مساحت قاعده و ارتفاع آن.

تمرینات

1. حجم یک منشور مستقیم با متوازی الاضلاع در قاعده آن را با استفاده از داده های زیر محاسبه کنید:

2. حجم یک منشور مستقیم با مثلث در قاعده آن را با استفاده از داده های زیر محاسبه کنید:

3. حجم یک منشور مستقیم که در قاعده آن مثلث متساوی الاضلاع با ضلع 12 سانتی متر (32 سانتی متر، 40 سانتی متر) است را محاسبه کنید. ارتفاع منشور 60 سانتی متر.

4. حجم یک منشور مستقیم را که دارای مثلث قائم الزاویه در قاعده آن است با پایه های 12 سانتی متر و 8 سانتی متر (16 سانتی متر و 7 سانتی متر؛ 9 متر و 6 متر) محاسبه کنید. ارتفاع منشور 0.3 متر است.

5. حجم منشوری مستقیم را که در قاعده آن ذوزنقه ای با اضلاع موازی 18 سانتی متر و 14 سانتی متر و ارتفاع 7.5 سانتی متر دارد محاسبه کنید. ارتفاع منشور 40 سانتی متر است.

6. حجم کلاس درس خود (سالن تربیت بدنی، اتاق خود) را محاسبه کنید.

7. سطح کل مکعب 150 سانتی متر مربع (294 سانتی متر مربع، 864 سانتی متر مربع) است. حجم این مکعب را محاسبه کنید.

8. طول یک آجر ساختمانی 25.0 سانتی متر، عرض آن 12.0 سانتی متر، ضخامت آن 6.5 سانتی متر است.

9. برای ساختن یک دیوار آجری توپر به شکل متوازی الاضلاع مستطیلی به طول 12 متر، عرض 0.6 متر و ارتفاع 10 متر به چند قطعه آجر ساختمانی نیاز خواهد بود؟ (ابعاد آجر از تمرین 8.)

10. طول یک تخته تمیز 4.5 متر، عرض - 35 سانتی متر، ضخامت - 6 سانتی متر است. الف) حجم آن را محاسبه کنید.

11. چند تن یونجه را می توان در انبار علوفه ای که با سقف شیروانی پوشانده شده روی هم چید (شکل 309)، اگر طول یونجه 12 متر، عرض 8 متر، ارتفاع 3.5 متر و ارتفاع یونجه باشد. یال پشت بام 1.5 متر است؟ (وزن مخصوص یونجه را 0.2 در نظر بگیرید.)

12. لازم است خندقی به طول 0.8 کیلومتر حفر شود. در برش، خندق باید به شکل ذوزنقه با پایه های 0.9 متر و 0.4 متر باشد و عمق خندق باید 0.5 متر باشد (نقاشی 310). چند متر مکعب زمین باید حذف شود؟

منشورهای مختلف با یکدیگر متفاوت هستند. در عین حال، آنها اشتراکات زیادی دارند. برای پیدا کردن مساحت پایه منشور، باید نوع آن را بدانید.

نظریه عمومی

منشور هر چند وجهی است که اضلاع آن به شکل متوازی الاضلاع باشد. علاوه بر این، پایه آن می تواند هر چند وجهی باشد - از یک مثلث تا یک n-ضلعی. علاوه بر این، پایه های منشور همیشه با یکدیگر برابر هستند. چیزی که در مورد صورت های جانبی صدق نمی کند این است که اندازه آنها می تواند به طور قابل توجهی متفاوت باشد.

هنگام حل مسائل، نه تنها با مساحت پایه منشور مواجه می شویم. ممکن است نیاز به شناخت سطح جانبی داشته باشد، یعنی تمام وجوهی که پایه نیستند. سطح کامل، اتحاد تمام وجوه تشکیل دهنده منشور خواهد بود.

گاهی اوقات مشکلات مربوط به قد است. بر پایه ها عمود است. مورب چند وجهی قطعه ای است که هر دو راس را که به یک وجه تعلق ندارند را به صورت جفت به هم متصل می کند.

لازم به ذکر است که سطح پایه یک منشور مستقیم یا مایل به زاویه بین آنها و وجوه جانبی بستگی ندارد. اگر در صورت بالا و پایین ارقام یکسانی داشته باشند، مساحت آنها برابر خواهد بود.

منشور مثلثی

در پایه خود شکلی با سه رأس دارد، یعنی یک مثلث. همانطور که می دانید، ممکن است متفاوت باشد. اگر چنین است، کافی است به یاد داشته باشید که مساحت آن با نصف حاصلضرب پاها تعیین می شود.

نماد ریاضی به این صورت است: S = ½ av.

برای فهمیدن مساحت پایه به طور کلی، فرمول ها مفید هستند: حواصیل و آن که نیمی از ضلع آن توسط ارتفاع کشیده شده به آن گرفته شده است.

فرمول اول باید به صورت زیر نوشته شود: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). این نماد شامل یک نیم محیط (p) است، یعنی مجموع سه ضلع تقسیم بر دو.

دوم: S = ½ n a * a.

اگر می خواهید مساحت قاعده یک منشور مثلثی را که منظم است، پیدا کنید، مثلث متساوی الاضلاع است. یک فرمول برای آن وجود دارد: S = ¼ a 2 * √3.

منشور چهار گوش

پایه آن هر یک از چهارگوش های شناخته شده است. این می تواند مستطیل یا مربع، موازی یا لوزی باشد. در هر مورد، برای محاسبه مساحت پایه منشور، به فرمول خود نیاز دارید.

اگر پایه یک مستطیل باشد، مساحت آن به صورت زیر تعیین می شود: S = ab، که در آن a، b اضلاع مستطیل هستند.

وقتی صحبت از یک منشور چهار گوش به میان می آید، مساحت قاعده یک منشور منظم با استفاده از فرمول مربع محاسبه می شود. زیرا اوست که در بنیان نهفته است. S = a 2.

در موردی که پایه موازی است، برابری زیر مورد نیاز است: S = a * n a. این اتفاق می افتد که ضلع یک متوازی الاضلاع و یکی از زوایا داده می شود. سپس، برای محاسبه ارتفاع، باید از یک فرمول اضافی استفاده کنید: n a = b * sin A. علاوه بر این، زاویه A مجاور ضلع "b" است و ارتفاع n مخالف این زاویه است.

اگر در پایه منشور یک لوزی وجود دارد، برای تعیین مساحت آن به همان فرمول متوازی الاضلاع نیاز دارید (زیرا یک مورد خاص از آن است). اما می توانید از این نیز استفاده کنید: S = ½ d 1 d 2. در اینجا d 1 و d 2 دو قطر لوزی هستند.

منشور پنج ضلعی منظم

این مورد شامل تقسیم چند ضلعی به مثلث هایی است که مناطق آن آسان تر است. اگرچه اتفاق می افتد که ارقام می توانند تعداد رئوس متفاوتی داشته باشند.

از آنجایی که قاعده منشور یک پنج ضلعی منظم است، می توان آن را به پنج مثلث متساوی الاضلاع تقسیم کرد. سپس مساحت پایه منشور برابر است با مساحت یک مثلث (فرمول را می توان در بالا مشاهده کرد) ضرب در پنج.

منشور شش ضلعی منظم

طبق اصل توصیف شده برای منشور پنج ضلعی، می توان شش ضلعی قاعده را به 6 مثلث متساوی الاضلاع تقسیم کرد. فرمول مساحت پایه چنین منشوری مشابه فرمول قبلی است. فقط باید در شش ضرب شود.

فرمول به این صورت خواهد بود: S = 3/2 a 2 * √3.

وظایف

شماره 1. با توجه به یک خط مستقیم منظم، قطر آن 22 سانتی متر است، ارتفاع چند وجهی 14 سانتی متر است، مساحت پایه منشور و کل سطح را محاسبه کنید.

راه حل.قاعده منشور مربع است، اما ضلع آن ناشناخته است. می توانید مقدار آن را از قطر مربع (x) که مربوط به قطر منشور (d) و ارتفاع آن (h) است، پیدا کنید. x 2 = d 2 - n 2. از طرف دیگر، این قطعه "x" فرضیه در مثلثی است که پاهای آن برابر با ضلع مربع است. یعنی x 2 = a 2 + a 2. بنابراین معلوم می شود که a 2 = (d 2 - n 2)/2.

به جای d عدد 22 را جایگزین کنید و "n" را با مقدار آن جایگزین کنید - 14، معلوم می شود که ضلع مربع 12 سانتی متر است، اکنون فقط مساحت پایه را پیدا کنید: 12 * 12 = 144 سانتی متر 2.

برای پیدا کردن مساحت کل سطح، باید دو برابر مساحت پایه را اضافه کنید و ناحیه کناری را چهار برابر کنید. دومی را می توان به راحتی با استفاده از فرمول یک مستطیل پیدا کرد: ارتفاع چند وجهی و ضلع پایه را ضرب کنید. یعنی 14 و 12 این عدد برابر با 168 سانتی متر مربع خواهد بود. سطح کل منشور 960 سانتی متر مربع است.

پاسخ دهید.مساحت پایه منشور 144 سانتی متر مربع است. کل سطح 960 سانتی متر مربع است.

شماره 2. در پایه یک مثلث با ضلع 6 سانتی متر وجود دارد.

راه حل.از آنجایی که منشور منظم است، قاعده آن یک مثلث متساوی الاضلاع است. بنابراین، مساحت آن 6 است که در ¼ و جذر 3 ضرب می شود. یک محاسبه ساده به نتیجه می رسد: 9√3 سانتی متر مربع. این مساحت یک پایه منشور است.

تمام وجوه اضلاع یکسان هستند و مستطیل هایی با ضلع های 6 و 10 سانتی متر هستند برای محاسبه مساحت آنها کافی است این اعداد را ضرب کنید. سپس آنها را در سه ضرب کنید، زیرا منشور دقیقاً این تعداد وجه جانبی دارد. سپس مساحت سطح جانبی زخم 180 سانتی متر مربع است.

پاسخ دهید.مناطق: پایه - 9√3 سانتی متر مربع، سطح جانبی منشور - 180 سانتی متر مربع.