L. 2-1 مفاهیم اساسی جبر برداری. عملیات خطی روی بردارها

تجزیه یک بردار بر اساس.

مفاهیم اساسی جبر برداری

بردار مجموعه ای از تمام قطعات جهت دار با طول و جهت یکسان است.
.

خواص:

عملیات خطی روی بردارها

1.

قانون متوازی الاضلاع:

با امتدو بردار و بردار نامیده می شود ، از مبدأ مشترک آنها می آید و قطری از متوازی الاضلاع است که بر روی بردارها ساخته شده است و هر دو در طرفین

قانون چند ضلعی:

برای ساختن مجموع هر تعداد بردار، باید ابتدای 2 را در پایان ترم 1 بردار، در پایان 2 - ابتدای سوم و غیره قرار دهید. برداری که چند خط حاصل را می بندد حاصل جمع است. آغاز آن مصادف با آغاز اول، و پایان آن با پایان آخرین.

خواص:

2.

محصول یک بردار در هر عدد ، برداری است که شرایط زیر را برآورده می کند:
.

خواص:

3.

با تفاوتبردارها و بردار نامیده می شود ، برابر با مجموع بردار است و بردار مقابل بردار ، یعنی
.

- قانون عنصر مقابل (بردار).

تجزیه یک بردار به یک پایه

مجموع بردارها به روشی منحصر به فرد تعیین می شود
(و فقط ). عمل معکوس، تجزیه یک بردار به چندین جزء، مبهم است: برای اینکه آن را بدون ابهام نشان دهید، باید جهت هایی را که بردار مورد نظر در امتداد آنها تجزیه می شود، یا همانطور که می گویند لازم است نشان دهید. اساس.

هنگام تعیین مبنا، الزام عدم همسطح بودن و غیرهمسطح بودن بردارها ضروری است. برای درک معنای این الزام، باید مفهوم وابستگی خطی و استقلال خطی بردارها را در نظر گرفت.

یک عبارت دلخواه از شکل: , نامیده می شود ترکیب خطیبردارها
.

ترکیب خطی چند بردار نامیده می شود ناچیز، اگر تمام ضرایب آن برابر با صفر باشد.

بردارها
نامیده می شوند وابسته خطی، اگر یک ترکیب خطی غیر پیش پا افتاده از این بردارها برابر با صفر باشد:
(1)، ارائه شده است
.
اگر برابری (1) فقط برای همه برقرار باشد
به طور همزمان برابر با صفر و سپس بردارهای غیر صفر است خواهد شد.

مستقل خطی هر دو بردار خطی به صورت خطی وابسته هستند و هر دو بردار غیر خطی مستقل هستند.

بیایید اثبات را با عبارت اول شروع کنیم.

اجازه دهید بردارها و خطی اجازه دهید نشان دهیم که آنها به صورت خطی وابسته هستند. در واقع، اگر آنها خطی باشند، تنها با یک عامل عددی با یکدیگر تفاوت دارند، یعنی.
، از این رو
. از آنجایی که ترکیب خطی به دست آمده به وضوح بی اهمیت و مساوی "0" است، پس بردارها و وابسته خطی

اکنون دو بردار غیر خطی را در نظر می گیریم و . اجازه دهید ثابت کنیم که آنها به صورت خطی مستقل هستند. ما برهان را با تناقض می سازیم.

بیایید فرض کنیم که آنها به صورت خطی وابسته هستند. سپس باید یک ترکیب خطی غیر پیش پا افتاده وجود داشته باشد
. بیایید این را فرض کنیم
، سپس
. برابری حاصل به این معنی است که بردارها و بر خلاف فرض اولیه ما، خطی هستند.

به همین ترتیب می توانیم ثابت کنیم: هر سه بردار همسطح به صورت خطی وابسته هستند و هر دو بردار غیرهمسطح به صورت خطی مستقل هستند..

با بازگشت به مفهوم مبنا و به مسئله تجزیه یک بردار در یک مبنای خاص، می توان گفت که اساس در صفحه و در فضا از مجموعه ای از بردارهای مستقل خطی تشکیل شده است.این مفهوم مبنا کلی است، زیرا آن را به فضای با هر تعداد ابعاد اعمال می شود.

عبارتی مانند:
، تجزیه برداری نامیده می شود توسط بردارها ,…,.

اگر مبنایی را در فضای سه بعدی در نظر بگیریم، تجزیه بردار بر اساس
خواهد شد
، کجا
-مختصات برداری.

در مسئله تجزیه یک بردار دلخواه در یک مبنای خاص، عبارت زیر بسیار مهم است: هر برداررا می توان به طور منحصر به فرد در یک مبنای معین گسترش داد
. به عبارت دیگر مختصات
برای هر بردار نسبت به پایه
بدون ابهام تعیین می شود.

معرفی یک پایه در فضا و در صفحه به ما اجازه می دهد تا هر بردار را اختصاص دهیم یک سه گانه (جفت) مرتب شده از اعداد - مختصات آن. این نتیجه بسیار مهم که به ما امکان می دهد بین اجسام هندسی و اعداد ارتباط برقرار کنیم، امکان توصیف و مطالعه تحلیلی موقعیت و حرکت اجسام فیزیکی را فراهم می کند.

مجموعه یک نقطه و یک مبنا نامیده می شود سیستم مختصات

اگر بردارهای تشکیل دهنده مبنا واحد و دو به دو عمود باشند، سیستم مختصات نامیده می شود. مستطیل شکل،و اساس متعارف.

L. 2-2 محصول بردارها

تجزیه یک بردار به یک پایه

یک بردار را در نظر بگیرید
، با مختصات آن داده می شود:
.

- اجزای برداری در امتداد جهت بردارهای پایه
.

بیان فرم
تجزیه برداری نامیده می شود بر اساس
.

به روشی مشابه می توانیم تجزیه کنیم بر اساس
بردار
:

.

کسینوس‌های زاویه‌ای که توسط بردار مورد نظر تشکیل شده‌اند با بردارهای پایه
نامیده می شوند کسینوس جهت

;
;
.

حاصل ضرب نقطه ای بردارها.

حاصل ضرب نقطه ای دو بردار و عددی برابر حاصل ضرب مدول این بردارها و کسینوس زاویه بین آنهاست

حاصل ضرب اسکالر دو بردار را می توان حاصل ضرب مدول یکی از این بردارها و پیش بینی متعامد بردار دیگر بر جهت بردار اول در نظر گرفت.
.

خواص:

اگر مختصات بردارها مشخص باشد
و
، پس از تجزیه بردارها به پایه
:
و
، بیایید پیدا کنیم

، زیرا
,
، آن

.

.

شرط عمود بودن بردارها:
.

شرایط تطبیق رؤسای:
.

حاصلضرب برداری بردارها

یا

وکتور محصول به وکتور به بردار چنین بردار نامیده می شود
، که شرایط را برآورده می کند:

خواص:

خواص جبری در نظر گرفته شده به ما امکان می دهد یک بیان تحلیلی برای محصول برداری از طریق مختصات بردارهای مؤلفه به صورت متعارف پیدا کنیم.

داده شده:
و
.

چون ،
,
,
,
,
,
، آن

. این فرمول را می توان به صورت خلاصه تر، به شکل یک تعیین کننده مرتبه سوم نوشت:

.

حاصلضرب مخلوط بردارها

حاصلضرب مخلوط سه بردار ,و عددی برابر با حاصلضرب بردار است
ضرب اسکالر در بردار .

برابری زیر درست است:
، بنابراین محصول ترکیبی نوشته می شود
.

همانطور که از تعریف بر می آید، حاصل حاصلضرب مخلوط سه بردار یک عدد است. این عدد معنای هندسی واضحی دارد:

ماژول محصول ترکیبی
برابر با حجم یک متوازی الاضلاع ساخته شده بر روی بردارهایی است که به یک مبدأ مشترک کاهش یافته است ,و .

خواص یک محصول مخلوط:

اگر بردارها ,,به صورت متعارف مشخص شده است
با مختصات آن، محصول مخلوط با استفاده از فرمول محاسبه می شود

.

در واقع، اگر
، آن

;
;
، سپس
.

اگر بردارها ,,همسطح هستند، سپس حاصل ضرب برداری
عمود بر بردار . و بالعکس، اگر
، پس حجم متوازی الاضلاع صفر است و این تنها در صورتی امکان پذیر است که بردارها همسطح باشند (وابسته خطی).

بنابراین، سه بردار همسطح هستند اگر و فقط اگر حاصلضرب مخلوط آنها صفر باشد.

وابستگی خطی و استقلال خطی بردارها.
اساس بردارها. سیستم مختصات افین

یک گاری با شکلات در سالن وجود دارد و هر بازدید کننده امروز یک زوج شیرین دریافت می کند - هندسه تحلیلی با جبر خطی. این مقاله به طور همزمان به دو بخش از ریاضیات عالی می پردازد و خواهیم دید که چگونه آنها در یک بسته بندی وجود دارند. استراحت کن، توئیکس بخور! ... لعنتی، چه چیز مزخرفی. هر چند باشه، گل نمیزنم، اما در نهایت، شما باید نگرش مثبتی نسبت به مطالعه داشته باشید.

وابستگی خطی بردارها, استقلال بردار خطی, اساس بردارهاو اصطلاحات دیگر نه تنها تفسیر هندسی دارند، بلکه بیش از همه معنای جبری دارند. خود مفهوم "بردار" از دیدگاه جبر خطی همیشه بردار "معمولی" نیست که بتوانیم آن را در یک صفحه یا در فضا به تصویر بکشیم. برای اثبات نیازی به جستجوی دور ندارید، سعی کنید بردار فضای پنج بعدی را ترسیم کنید . یا بردار آب و هوا که همین الان به Gismeteo رفتم: دما و فشار اتمسفر. مثال، البته، از نقطه نظر ویژگی های فضای برداری نادرست است، اما، با این وجود، هیچ کس رسمی کردن این پارامترها را به عنوان یک بردار ممنوع نمی کند. نفس پاییزی...

نه، من شما را با تئوری خسته نمی کنم، فضاهای برداری خطی، وظیفه این است که درک کنندتعاریف و قضایا اصطلاحات جدید (وابستگی خطی، استقلال، ترکیب خطی، مبنا و ...) برای همه بردارها از نظر جبری اعمال می شود، اما مثال های هندسی آورده می شود. بنابراین، همه چیز ساده، در دسترس و روشن است. علاوه بر مسائل هندسه تحلیلی، برخی از مسائل جبر معمولی را نیز در نظر خواهیم گرفت. برای تسلط بر مطالب، توصیه می شود با درس ها آشنا شوید وکتور برای آدمکو چگونه تعیین کننده را محاسبه کنیم؟

وابستگی و استقلال خطی بردارهای صفحه.
سیستم مختصات پایه و افین

بیایید صفحه میز کامپیوتر شما را در نظر بگیریم (فقط یک میز، میز کنار تخت، کف، سقف، هر چیزی که دوست دارید). وظیفه شامل اقدامات زیر خواهد بود:

1) پایه هواپیما را انتخاب کنید. به طور کلی، یک میز دارای طول و عرض است، بنابراین شهودی است که دو بردار برای ساختن پایه مورد نیاز است. واضح است که یک بردار کافی نیست، سه بردار زیاد است.

2) بر اساس مبنای انتخاب شده تنظیم سیستم مختصات(شبکه مختصات) برای اختصاص مختصات به تمام اشیاء روی جدول.

تعجب نکنید، در ابتدا توضیحات روی انگشتان خواهد بود. علاوه بر این، در مال شما. لطفا قرار دهید انگشت اشاره چپروی لبه میز به طوری که به مانیتور نگاه کند. این یک بردار خواهد بود. اکنون قرار دهید انگشت کوچک راستروی لبه میز به همین ترتیب - به طوری که به صفحه نمایشگر هدایت شود. این یک بردار خواهد بود. لبخند بزنید، عالی به نظر می رسید! در مورد بردارها چه می توانیم بگوییم؟ بردارهای داده خطی، که به معنی خطیاز طریق یکدیگر بیان می شود:
، خوب یا برعکس: ، جایی که عددی با صفر متفاوت است.

می توانید تصویری از این عمل را در کلاس مشاهده کنید. وکتور برای آدمک، جایی که قانون ضرب بردار در عدد را توضیح دادم.

آیا انگشتان شما اساس میز کامپیوتر را تعیین می کنند؟ بدیهی است که نه. بردارهای خطی به سمت جلو و عقب حرکت می کنند به تنهاییجهت، و یک هواپیما طول و عرض دارد.

چنین بردارهایی نامیده می شوند وابسته خطی.

مرجع: کلمات "خطی"، "خطی" بیانگر این واقعیت است که در معادلات و عبارات ریاضی مربع، مکعب، توان های دیگر، لگاریتم، سینوس و غیره وجود ندارد. فقط عبارات و وابستگی های خطی (درجه 1) وجود دارد.

دو بردار صفحه وابسته به خطاگر و فقط در صورتی که هم خط باشند.

انگشتان خود را روی میز ضربدری کنید تا هر زاویه ای بین آنها به جز 0 یا 180 درجه وجود داشته باشد. دو بردار صفحهخطی نهاگر و فقط اگر هم خطی نباشند وابسته هستند. بنابراین، اساس به دست می آید. نیازی به خجالت نیست که مبنا با بردارهای غیر عمود با طول های مختلف "کج" شده است. به زودی خواهیم دید که نه تنها زاویه 90 درجه برای ساخت آن مناسب است و نه تنها بردارهای واحد با طول مساوی.

هربردار هواپیما تنها راهبر اساس این اساس گسترش می یابد:
، اعداد واقعی کجا هستند. اعداد نامیده می شوند مختصات برداریدر این مبنا

همچنین گفته می شود که برداربه عنوان ارائه شده است ترکیب خطیبردارهای پایه. یعنی بیان نامیده می شود تجزیه برداریبر اساسیا ترکیب خطیبردارهای پایه

به عنوان مثال، می توان گفت که بردار در امتداد یک پایه متعامد از صفحه تجزیه می شود، یا می توانیم بگوییم که به صورت ترکیب خطی از بردارها نشان داده می شود.

فرمول بندی کنیم تعریف پایهبه طور رسمی: اساس هواپیمابه یک جفت بردار مستقل خطی (غیر خطی) می گویند، ، در حالی که هربردار صفحه ترکیبی خطی از بردارهای پایه است.

نکته اساسی در تعریف این واقعیت است که بردارها گرفته شده اند به ترتیب خاصی. پایه ها – این دو پایه کاملا متفاوت هستند! همانطور که می گویند، شما نمی توانید انگشت کوچک دست چپ خود را به جای انگشت کوچک دست راست خود قرار دهید.

ما اساس را مشخص کرده‌ایم، اما تنظیم یک شبکه مختصات و اختصاص مختصات به هر آیتم روی میز کامپیوتر شما کافی نیست. چرا کافی نیست؟ بردارها آزاد هستند و در کل صفحه سرگردان هستند. پس چگونه مختصات را به آن نقاط کوچک کثیف روی میز به جا مانده از یک آخر هفته وحشی اختصاص دهید؟ یک نقطه شروع مورد نیاز است. و چنین نقطه عطفی یک نقطه آشنا برای همه است - منشاء مختصات. بیایید سیستم مختصات را درک کنیم:

من با سیستم "مدرسه" شروع می کنم. در حال حاضر در درس مقدماتی وکتور برای آدمکمن برخی از تفاوت‌ها را بین سیستم مختصات مستطیلی و پایه متعارف برجسته کردم. این هم تصویر استاندارد:

وقتی صحبت می کنند سیستم مختصات مستطیلی، سپس اغلب آنها به معنای مبدا، محورهای مختصات و مقیاس در امتداد محورها هستند. سعی کنید «سیستم مختصات مستطیلی» را در یک موتور جستجو تایپ کنید، و خواهید دید که بسیاری از منابع به شما در مورد محورهای مختصات آشنا از کلاس پنجم تا ششم و نحوه رسم نقاط در هواپیما به شما می گویند.

از سوی دیگر، به نظر می رسد که یک سیستم مختصات مستطیلی را می توان به طور کامل بر اساس یک پایه متعارف تعریف کرد. و این تقریباً درست است. جمله بندی به شرح زیر است:

منشاء، و متعارفاساس تعیین شده است سیستم مختصات صفحه مستطیلی دکارتی . یعنی سیستم مختصات مستطیلی قطعابا یک نقطه و دو بردار متعامد واحد تعریف می شود. به همین دلیل است که نقشه ای را که در بالا ارائه کردم مشاهده می کنید - در مسائل هندسی، هم بردارها و هم محورهای مختصات اغلب (اما نه همیشه) ترسیم می شوند.

من فکر می کنم همه می دانند که استفاده از یک نقطه (منشا) و یک مبنای متعارف هر نقطه در هواپیما و هر بردار در هواپیمامختصات را می توان اختصاص داد. به بیان تصویری، "همه چیز در یک هواپیما را می توان شماره گذاری کرد."

آیا باید بردارهای مختصات واحد باشند؟ نه، آنها می توانند یک طول غیر صفر دلخواه داشته باشند. یک نقطه و دو بردار متعامد با طول غیر صفر دلخواه را در نظر بگیرید:

چنین مبنایی نامیده می شود قائم. مبدأ مختصات با بردارها توسط یک شبکه مختصات تعریف می شود و هر نقطه از صفحه، هر بردار مختصات خود را بر اساس یک مبنای مشخص دارد. به عنوان مثال، یا. ناراحتی آشکار این است که بردارهای مختصات در حالت کلیطول های متفاوتی غیر از وحدت دارند. اگر طول ها برابر با واحد باشند، مبنای متعارف معمولی به دست می آید.

! توجه داشته باشید : در پایه متعامد و همچنین در زیر در پایه های افین صفحه و فضا واحدهایی در امتداد محورها در نظر گرفته می شود. مشروط. به عنوان مثال، یک واحد در امتداد محور x شامل 4 سانتی متر است، یک واحد در امتداد محور دارای 2 سانتی متر است.

و سوال دوم که در واقع قبلا پاسخ داده شده این است که آیا زاویه بین بردارهای پایه باید برابر با 90 درجه باشد؟ نه! همانطور که در تعریف آمده است، بردارهای پایه باید باشند فقط غیر خطی. بر این اساس، زاویه می تواند هر چیزی به جز 0 و 180 درجه باشد.

نقطه ای در هواپیما به نام منشاء، و غیر خطیبردارها، ، مجموعه سیستم مختصات هواپیمای وابسته :

گاهی اوقات چنین سیستم مختصاتی نامیده می شود موربسیستم به عنوان مثال، نقاشی نقاط و بردارها را نشان می دهد:

همانطور که می دانید، سیستم مختصات افین حتی کمتر راحت است، فرمول های طول بردارها و بخش ها، که در قسمت دوم درس بحث کردیم، در آن کار نمی کنند. وکتور برای آدمک، بسیاری از فرمول های خوشمزه مربوط به حاصل ضرب اسکالر بردارها. اما قوانین جمع بردارها و ضرب یک بردار در یک عدد، فرمول های تقسیم یک قطعه در این رابطه و همچنین برخی از انواع دیگر مسائل که به زودی در نظر خواهیم گرفت معتبر هستند.

و نتیجه این است که راحت‌ترین حالت خاص یک سیستم مختصات افین، سیستم مستطیلی دکارتی است. به همین دلیل است که شما اغلب باید او را ببینید، عزیز من. با این حال، همه چیز در این زندگی نسبی است - موقعیت های زیادی وجود دارد که در آنها یک زاویه مایل (یا یک زاویه دیگر، برای مثال، قطبی) سیستم مختصات و انسان نماها ممکن است چنین سیستم هایی را دوست داشته باشند =)

بیایید به بخش عملی آن برویم. تمام اشکالات این درس هم برای سیستم مختصات مستطیلی و هم برای حالت افین کلی معتبر است. در اینجا هیچ چیز پیچیده ای وجود ندارد.

چگونه می توان هم خطی بردارهای صفحه را تعیین کرد؟

چیز معمولی به منظور دو بردار صفحه خطی بودند، لازم و کافی است که مختصات متناظر آنها متناسب باشداساساً، این یک تفصیل مختص به مختصات از رابطه آشکار است.

مثال 1

الف) بررسی کنید که آیا بردارها خطی هستند یا خیر .
ب) آیا بردارها مبنایی را تشکیل می دهند؟ ?

راه حل:
الف) اجازه دهید دریابیم که آیا برای بردارها وجود دارد یا خیر ضریب تناسب، به طوری که برابری ها برآورده شوند:

من مطمئناً در مورد نسخه "foppish" اعمال این قانون به شما خواهم گفت که در عمل بسیار خوب عمل می کند. ایده این است که فوراً نسبت را بسازید و ببینید درست است یا خیر:

بیایید نسبتی از نسبت مختصات مربوط به بردارها ایجاد کنیم:

کوتاه کنیم:
بنابراین، مختصات مربوطه متناسب هستند، بنابراین،

این رابطه می تواند برعکس باشد.

برای خودآزمایی، می توانید از این واقعیت استفاده کنید که بردارهای خطی به صورت خطی از طریق یکدیگر بیان می شوند. در این صورت برابری ها صورت می گیرد . اعتبار آنها را می توان به راحتی از طریق عملیات ابتدایی با بردارها تأیید کرد:

ب) دو بردار مسطح اگر خطی نباشند (مستقل خطی) پایه را تشکیل می دهند. ما بردارها را برای همخطی بودن بررسی می کنیم . بیایید یک سیستم ایجاد کنیم:

از معادله اول نتیجه می شود که , از معادله دوم نتیجه می شود که یعنی سیستم ناسازگار است(بدون راه حل). بنابراین، مختصات متناظر بردارها متناسب نیستند.

نتیجه گیری: بردارها به صورت خطی مستقل هستند و پایه را تشکیل می دهند.

نسخه ساده شده راه حل به این صورت است:

بیایید از مختصات مربوطه بردارها نسبتی درست کنیم :
، به این معنی که این بردارها به صورت خطی مستقل هستند و یک پایه را تشکیل می دهند.

به طور معمول، این گزینه توسط بررسی کنندگان رد نمی شود، اما در مواردی که برخی از مختصات برابر با صفر هستند، مشکل ایجاد می شود. مثل این: . یا مثل این: . یا مثل این: . چگونه می توان از طریق نسبت در اینجا کار کرد؟ (در واقع، شما نمی توانید بر صفر تقسیم کنید). به همین دلیل است که من راه حل ساده شده را "فروغ" نامیدم.

پاسخ:الف) ، ب) فرم.

یک مثال خلاقانه کوچک برای راه حل خودتان:

مثال 2

بردارها در چه مقدار پارامتر هستند آیا آنها خطی خواهند بود؟

در حل نمونه، پارامتر از طریق نسبت پیدا می شود.

یک روش جبری ظریف برای بررسی بردارها برای همخطی بودن وجود دارد.

برای دو بردار صفحه عبارات زیر معادل هستند:

2) بردارها اساس را تشکیل می دهند.
3) بردارها خطی نیستند.

+ 5) تعیین کننده متشکل از مختصات این بردارها غیر صفر است.

به ترتیب، عبارات مقابل زیر معادل هستند:
1) بردارها به صورت خطی وابسته هستند.
2) بردارها مبنایی را تشکیل نمی دهند.
3) بردارها خطی هستند.
4) بردارها را می توان به صورت خطی از طریق یکدیگر بیان کرد.
+ 5) دترمینان تشکیل شده از مختصات این بردارها برابر با صفر است.

من واقعاً، واقعاً امیدوارم که تا به حال همه اصطلاحات و عباراتی را که با آن روبرو شده اید درک کرده باشید.

بیایید نگاهی دقیق تر به نکته جدید، پنجم بیندازیم: دو بردار صفحه خطی هستند اگر و فقط در صورتی که تعیین کننده متشکل از مختصات بردارهای داده شده برابر با صفر باشد.: البته برای اعمال این ویژگی باید بتوانید تعیین کننده ها را پیدا کنید.

بیا تصمیم بگیریممثال 1 به روش دوم:

الف) دترمینان تشکیل شده از مختصات بردارها را محاسبه کنیم :
یعنی این بردارها هم خط هستند.

ب) دو بردار مسطح اگر خطی نباشند (مستقل خطی) پایه را تشکیل می دهند. بیایید دترمینان تشکیل شده از مختصات بردار را محاسبه کنیم :
، به این معنی که بردارها به صورت خطی مستقل هستند و یک پایه را تشکیل می دهند.

پاسخ:الف) ، ب) فرم.

این بسیار فشرده تر و زیباتر از یک راه حل با نسبت به نظر می رسد.

با کمک مواد در نظر گرفته شده، می توان نه تنها همخطی بردارها را تعیین کرد، بلکه موازی بودن قطعات و خطوط مستقیم را نیز اثبات کرد. بیایید چند مشکل با اشکال هندسی خاص را در نظر بگیریم.

مثال 3

رئوس یک چهارضلعی آورده شده است. ثابت کنید که چهارضلعی متوازی الاضلاع است.

اثبات: نیازی به ایجاد نقشه در مسئله نیست، زیرا راه حل صرفاً تحلیلی خواهد بود. بیایید تعریف متوازی الاضلاع را به خاطر بسپاریم:
متوازی الاضلاع چهار ضلعی که اضلاع مقابل آن به صورت جفت موازی باشند نامیده می شود.

بنابراین لازم است ثابت شود:
1) موازی بودن اضلاع مقابل و;
2) موازی بودن اضلاع مقابل و.

ما ثابت می کنیم:

1) بردارها را بیابید:

2) بردارها را بیابید:

نتیجه همان بردار است ("بر اساس مدرسه" - بردارهای برابر). خطی بودن کاملاً واضح است، اما بهتر است تصمیم را به وضوح و با ترتیب، رسمی کنیم. بیایید دترمینان تشکیل شده از مختصات بردار را محاسبه کنیم:
، به این معنی که این بردارها خطی هستند و .

نتیجه گیری: اضلاع مقابل یک چهار ضلعی به صورت جفت موازی هستند، یعنی طبق تعریف متوازی الاضلاع است. Q.E.D.

ارقام خوب و متفاوت تر:

مثال 4

رئوس یک چهارضلعی آورده شده است. ثابت کنید که چهارضلعی ذوزنقه است.

برای فرمول دقیق تر اثبات، البته بهتر است تعریف ذوزنقه را بدست آوریم، اما کافی است به سادگی به یاد بیاوریم که چگونه به نظر می رسد.

این وظیفه ای است که شما باید خودتان آن را حل کنید. راه حل کامل در پایان درس.

و اکنون زمان آن است که به آرامی از هواپیما به فضا حرکت کنیم:

چگونه می توان همخطی بردارهای فضایی را تعیین کرد؟

قانون بسیار شبیه است. برای اینکه دو بردار فضایی هم خط باشند کافی و لازم است که مختصات متناظر آنها متناسب باشد..

مثال 5

دریابید که آیا بردارهای فضای زیر هم خط هستند یا خیر:

الف)؛
ب)
V)

راه حل:
الف) بررسی کنیم که آیا ضریب تناسبی برای مختصات مربوط به بردارها وجود دارد یا خیر:

سیستم هیچ راه حلی ندارد، به این معنی که بردارها خطی نیستند.

"ساده شده" با بررسی نسبت رسمی می شود. در این مورد:
- مختصات مربوطه متناسب نیستند، به این معنی که بردارها هم خط نیستند.

پاسخ:بردارها خطی نیستند.

ب-ج) نکاتی برای تصمیم گیری مستقل است. از دو طریق آن را امتحان کنید.

روشی برای بررسی بردارهای فضایی برای همخطی بودن از طریق یک تعیین کننده مرتبه سوم وجود دارد که این روش در مقاله پوشش داده شده است حاصلضرب برداری بردارها.

همانند حالت صفحه، از ابزارهای در نظر گرفته شده می توان برای مطالعه موازی قطعات فضایی و خطوط مستقیم استفاده کرد.

به بخش دوم خوش آمدید:

وابستگی و استقلال خطی بردارها در فضای سه بعدی.
مبانی فضایی و سیستم مختصات وابسته

بسیاری از الگوهایی که در هواپیما بررسی کردیم برای فضا معتبر خواهند بود. من سعی کردم نکات تئوری را به حداقل برسانم، زیرا سهم شیر از اطلاعات قبلاً جویده شده است. با این حال، توصیه می کنم که قسمت مقدمه را با دقت مطالعه کنید، زیرا اصطلاحات و مفاهیم جدیدی ظاهر می شوند.

اکنون به جای صفحه میز کامپیوتر، فضای سه بعدی را بررسی می کنیم. ابتدا بیایید پایه آن را ایجاد کنیم. یک نفر الان در داخل خانه است، یک نفر بیرون است، اما به هر حال ما نمی توانیم از سه بعد: عرض، طول و ارتفاع فرار کنیم. بنابراین، برای ساخت یک پایه، سه بردار فضایی مورد نیاز خواهد بود. یک یا دو بردار کافی نیست، چهارمی اضافی است.

و دوباره روی انگشتانمان گرم می شویم. لطفا دست خود را بالا ببرید و در جهات مختلف باز کنید انگشت شست، اشاره و وسط. این ها بردار خواهند بود، در جهت های مختلف نگاه می کنند، طول های متفاوتی دارند و زوایای متفاوتی بین خود دارند. تبریک می گوییم، اساس فضای سه بعدی آماده است! به هر حال، نیازی به نشان دادن این به معلمان نیست، هر چقدر هم که انگشتان خود را بچرخانید، اما از تعاریف فراری نیست =)

بعد، بیایید یک سوال مهم از خود بپرسیم: آیا هر سه بردار اساس فضای سه بعدی را تشکیل می دهند؟? لطفا سه انگشت خود را محکم روی میز کامپیوتر فشار دهید. چه اتفاقی افتاد؟ سه بردار در یک صفحه قرار دارند و تقریباً یکی از ابعاد - ارتفاع را از دست داده ایم. چنین بردارهایی هستند همسطحو کاملاً بدیهی است که اساس فضای سه بعدی ایجاد نشده است.

لازم به ذکر است که بردارهای همسطح مجبور نیستند در یک صفحه قرار بگیرند، آنها می توانند در صفحات موازی باشند (فقط این کار را با انگشتان خود انجام ندهید، فقط سالوادور دالی این کار را انجام داد =)).

تعریف: بردارها نامیده می شوند همسطح، اگر صفحه ای وجود داشته باشد که با آن موازی باشند. منطقی است که در اینجا اضافه کنیم که اگر چنین صفحه ای وجود نداشته باشد، بردارها همسطح نخواهند بود.

سه بردار همسطح همیشه به صورت خطی وابسته هستند، یعنی به صورت خطی از طریق یکدیگر بیان می شوند. برای سادگی، اجازه دهید دوباره تصور کنیم که آنها در یک صفحه قرار دارند. اولا، بردارها نه تنها همسطح هستند، بلکه می توانند هم خط باشند، سپس هر بردار را می توان از طریق هر بردار بیان کرد. در حالت دوم، اگر برای مثال، بردارها هم خط نباشند، بردار سوم از طریق آنها به روشی منحصر به فرد بیان می شود: (و چرا به راحتی می توان از مطالب بخش قبل حدس زد).

عکس آن نیز صادق است: سه بردار غیرهمسطح همیشه به صورت خطی مستقل هستند، یعنی به هیچ وجه از طریق یکدیگر بیان نمی شوند. و بدیهی است که تنها چنین بردارهایی می توانند اساس فضای سه بعدی را تشکیل دهند.

تعریف: اساس فضای سه بعدیسه بردار مستقل خطی (غیر همسطح) نامیده می شود، به ترتیب خاصی گرفته شده استو هر بردار فضا تنها راهبر اساس یک مبنای معین تجزیه می شود، جایی که مختصات بردار در این پایه است

به شما یادآوری می کنم که می توانیم بگوییم که بردار به صورت نمایش داده می شود ترکیب خطیبردارهای پایه

مفهوم یک سیستم مختصات دقیقاً به همان صورت برای حالت صفحه معرفی شده است و هر سه بردار مستقل خطی کافی است.

منشاء، و غیر همسطحبردارها، به ترتیب خاصی گرفته شده است، مجموعه سیستم مختصات افین فضای سه بعدی :

البته، شبکه مختصات "مورب" و ناخوشایند است، اما، با این وجود، سیستم مختصات ساخته شده به ما اجازه می دهد قطعامختصات هر بردار و مختصات هر نقطه در فضا را تعیین کنید. مانند یک هواپیما، برخی از فرمول هایی که قبلاً ذکر کردم در سیستم مختصات نزدیک فضا کار نمی کنند.

همانطور که همه حدس می زنند، آشناترین و راحت ترین مورد خاص یک سیستم مختصات افین است سیستم مختصات فضایی مستطیلی:

نقطه ای در فضا به نام منشاء، و متعارفاساس تعیین شده است سیستم مختصات فضایی مستطیلی دکارتی . عکس آشنا:

قبل از حرکت به سمت کارهای عملی، اجازه دهید دوباره اطلاعات را سیستماتیک کنیم:

برای سه بردار فضایی عبارات زیر معادل هستند:
1) بردارها به صورت خطی مستقل هستند.
2) بردارها اساس را تشکیل می دهند.
3) بردارها همسطح نیستند.
4) بردارها را نمی توان به صورت خطی از طریق یکدیگر بیان کرد.
5) تعیین کننده، متشکل از مختصات این بردارها، با صفر متفاوت است.

به نظر من گزاره های مخالف قابل درک است.

وابستگی/استقلال خطی بردارهای فضا به طور سنتی با استفاده از یک تعیین کننده بررسی می شود (نقطه 5). کارهای عملی باقیمانده ماهیت جبری مشخصی خواهند داشت. وقت آن است که چوب هندسی را آویزان کنید و چوب بیسبال جبر خطی را به کار بگیرید:

سه بردار فضاهمسطح هستند اگر و فقط در صورتی که تعیین کننده متشکل از مختصات بردارهای داده شده برابر با صفر باشد: .

من می خواهم توجه شما را به یک نکته ظریف فنی جلب کنم: مختصات بردارها را می توان نه تنها در ستون ها، بلکه در ردیف ها نیز نوشت (مقدار تعیین کننده به این دلیل تغییر نمی کند - به ویژگی های تعیین کننده ها مراجعه کنید). اما در ستون ها بسیار بهتر است، زیرا برای حل برخی از مشکلات عملی مفیدتر است.

برای آن دسته از خوانندگانی که روش‌های محاسبه عوامل تعیین‌کننده را کمی فراموش کرده‌اند، یا شاید اصلاً درک کمی از آنها دارند، یکی از قدیمی‌ترین درس‌های خود را توصیه می‌کنم: چگونه تعیین کننده را محاسبه کنیم؟

مثال 6

بررسی کنید که آیا بردارهای زیر اساس فضای سه بعدی را تشکیل می دهند:

راه حل: در واقع کل راه حل به محاسبه دترمینان می رسد.

الف) دترمینان تشکیل شده از مختصات بردارها را محاسبه می کنیم (تعیین کننده در خط اول نشان داده می شود):

، به این معنی که بردارها مستقل خطی هستند (همسطح نیستند) و اساس فضای سه بعدی را تشکیل می دهند.

پاسخ دهید: این بردارها اساس را تشکیل می دهند

ب) این نقطه ای برای تصمیم گیری مستقل است. حل کامل و پاسخ در پایان درس.

همچنین وظایف خلاقانه وجود دارد:

مثال 7

در چه مقدار از پارامتر بردارها همسطح خواهند بود؟

راه حل: بردارها همسطح هستند اگر و فقط در صورتی که تعیین کننده تشکیل شده از مختصات این بردارها برابر با صفر باشد:

در اصل، شما باید یک معادله را با یک تعیین کننده حل کنید. ما مانند بادبادک‌ها روی ژربواها روی صفرها می‌چرخیم - بهتر است تعیین‌کننده را در خط دوم باز کنیم و فوراً از شر معایب خلاص شویم:

ساده‌سازی‌های بیشتری انجام می‌دهیم و ماده را به ساده‌ترین معادله خطی کاهش می‌دهیم:

پاسخ دهید: در

برای انجام این کار، بررسی اینجا آسان است، باید مقدار حاصل را با تعیین کننده اصلی جایگزین کنید و مطمئن شوید که ، دوباره آن را باز کنید.

در پایان، اجازه دهید به یک مشکل معمولی دیگر نگاه کنیم، که بیشتر ماهیت جبری دارد و به طور سنتی در یک دوره جبر خطی گنجانده شده است. آنقدر رایج است که سزاوار موضوع خاص خود است:

ثابت کنید که 3 بردار اساس فضای سه بعدی را تشکیل می دهند
و مختصات بردار 4 را در این مبنا پیدا کنید

مثال 8

بردارها داده شده است. نشان دهید که بردارها در فضای سه بعدی یک پایه تشکیل می دهند و مختصات بردار را در این مبنا پیدا کنید.

راه حل: ابتدا به شرط بپردازیم. بر اساس شرط، چهار بردار داده می شود، و همانطور که می بینید، آنها قبلاً مختصاتی دارند. اینکه این مبنا چیست برای ما جالب نیست. و نکته زیر جالب است: سه بردار ممکن است پایه جدیدی را تشکیل دهند. و مرحله اول کاملاً با حل مثال 6 منطبق است، باید بررسی شود که آیا بردارها واقعاً مستقل هستند یا خیر.

بیایید دترمینان تشکیل شده از مختصات بردار را محاسبه کنیم:

یعنی بردارها به صورت خطی مستقل هستند و اساس فضای سه بعدی را تشکیل می دهند.

! مهم است : مختصات برداری لزومایادداشت کنید به ستون هاتعیین کننده، نه در رشته ها. در غیر این صورت، در الگوریتم حل بعدی سردرگمی وجود خواهد داشت.