معادله یک خط مستقیم به چهار شکل. معادله کلی یک خط

معادلات متعارف یک خط در فضا، معادلاتی هستند که خطی را تعریف می کنند که از یک نقطه معین به صورت هم خط با بردار جهت می گذرد.

بگذارید یک نقطه و یک بردار جهت داده شود. یک نقطه دلخواه روی یک خط قرار دارد لفقط در صورتی که بردارها و هم خطی باشند، یعنی شرط برای آنها برآورده شود:

.

معادلات فوق معادلات متعارف خط مستقیم هستند.

شماره متر , nو پپیش بینی های بردار جهت بر روی محورهای مختصات هستند. از آنجایی که بردار غیر صفر است، پس همه اعداد متر , nو پنمی تواند به طور همزمان برابر با صفر باشد. اما ممکن است یکی دو تا از آنها صفر شود. به عنوان مثال، در هندسه تحلیلی، ورودی زیر مجاز است:

,

به این معنی که پیش بینی های بردار روی محور اوهو اوزبرابر با صفر هستند. بنابراین، هر دو بردار و خط مستقیم که توسط معادلات متعارف تعریف شده اند، بر محورها عمود هستند. اوهو اوز، یعنی هواپیماها yOz .

مثال 1.معادلات خطی را در فضای عمود بر صفحه بنویسید و عبور از نقطه تلاقی این صفحه با محور اوز .

راه حل. بیایید نقطه تلاقی این صفحه با محور را پیدا کنیم اوز. از آنجایی که هر نقطه روی محور قرار دارد اوز، دارای مختصات است، پس با فرض در معادله داده شده از هواپیما x = y = 0، 4 می گیریم z- 8 = 0 یا z= 2. بنابراین نقطه تلاقی این صفحه با محور اوزدارای مختصات (0; 0; 2) است. از آنجایی که خط مورد نظر بر صفحه عمود است، با بردار عادی خود موازی است. بنابراین، بردار جهت دهنده خط مستقیم می تواند بردار عادی باشد هواپیما داده شده

حال بیایید معادلات لازم برای خط مستقیمی را که از یک نقطه عبور می کند، یادداشت کنیم آ= (0; 0; 2) در جهت بردار:

معادلات خطی که از دو نقطه داده شده می گذرد

یک خط مستقیم را می توان با دو نقطه که روی آن قرار دارد تعریف کرد و در این حالت، بردار جهت دهنده خط مستقیم می تواند بردار باشد. سپس معادلات متعارف خط شکل می گیرند

.

معادلات بالا خطی را مشخص می کند که از دو نقطه داده شده می گذرد.

مثال 2.معادله خطی در فضایی که از نقاط و .

راه حل. اجازه دهید معادلات خط مستقیم مورد نیاز را به شکل بالا در مرجع نظری بنویسیم:

.

از آنجا که، پس خط مستقیم مورد نظر عمود بر محور است اوه .

مستقیم به عنوان خط تقاطع هواپیماها

یک خط مستقیم در فضا را می توان به عنوان خط تقاطع دو صفحه غیر موازی و به عنوان مجموعه ای از نقاط که سیستمی از دو معادله خطی را برآورده می کند تعریف کرد.

معادلات سیستم را معادلات کلی یک خط مستقیم در فضا نیز می گویند.

مثال 3.معادلات متعارف یک خط در فضا را بنویسید که با معادلات کلی داده می شود

راه حل. برای نوشتن معادلات متعارف یک خط یا همان معادلات خطی که از دو نقطه داده شده می گذرد، باید مختصات هر دو نقطه روی خط را پیدا کنید. برای مثال، آنها می توانند نقاط تلاقی یک خط مستقیم با هر دو صفحه مختصات باشند yOzو xOz .

نقطه تقاطع یک خط و یک صفحه yOzآبسیسا دارد ایکس= 0. بنابراین با فرض در این سیستم معادلات ایکس= 0، سیستمی با دو متغیر دریافت می کنیم:

تصمیم او y = 2 , z= 6 همراه با ایکس= 0 یک نقطه را مشخص می کند آ(0؛ 2؛ 6) خط مورد نظر. سپس با فرض در سیستم معادلات داده شده y= 0، سیستم را دریافت می کنیم

تصمیم او ایکس = -2 , z= 0 همراه با y= 0 یک نقطه را مشخص می کند ب(-2؛ 0؛ 0) تقاطع یک خط با یک صفحه xOz .

حال بیایید معادلات خط عبور از نقاط را یادداشت کنیم آ(0؛ 2؛ 6) و ب (-2; 0; 0) :

,

یا بعد از تقسیم مخرج بر -2:

,

خطی که از نقطه K(x 0 ; y 0) می گذرد و موازی با خط y = kx + a است با فرمول پیدا می شود:

y - y 0 = k(x - x 0) (1)

جایی که k شیب خط است.

فرمول جایگزین:
خطی که از نقطه M 1 (x 1 ; y 1) و موازی با خط Ax+By+C=0 می گذرد با معادله نشان داده می شود.

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0. (2)

برای خطی که از نقطه K می گذرد معادله بنویسید ;) موازی با خط مستقیم y = x+ .

مثال شماره 1. معادله ای برای خط مستقیمی بنویسید که از نقطه M 0 (-2,1) می گذرد و همزمان:
الف) موازی با خط مستقیم 2x+3y -7 = 0.
ب) عمود بر خط مستقیم 2x+3y -7 = 0.
راه حل . بیایید معادله را با شیب به شکل y = kx + a نمایش دهیم. برای انجام این کار، تمام مقادیر به جز y را به سمت راست منتقل کنید: 3y = -2x + 7. سپس سمت راست را بر ضریب 3 تقسیم کنید. دریافت می کنیم: y = -2/3x + 7/3
بیایید معادله NK را پیدا کنیم که از نقطه K(-2;1) موازی با خط مستقیم y = -2 / 3 x + 7 / 3 عبور می کند.
با جایگزینی x 0 = -2، k = -2 / 3، y 0 = 1 دریافت می کنیم:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
یا
y = -2 / 3 x - 1 / 3 یا 3y + 2x +1 = 0

مثال شماره 2. معادله خطی موازی با خط 2x + 5y = 0 بنویسید و به همراه محورهای مختصات مثلثی را که مساحت آن 5 است تشکیل دهید.
راه حل . از آنجایی که خطوط موازی هستند، معادله خط مورد نظر 2x + 5y + C = 0 است. مساحت یک مثلث قائم الزاویه که a و b پاهای آن هستند. بیایید نقاط تلاقی خط مورد نظر را با محورهای مختصات پیدا کنیم:
;
.
بنابراین، A(-C/2،0)، B(0،-C/5). بیایید آن را در فرمول مساحت جایگزین کنیم: . ما دو راه حل دریافت می کنیم: 2x + 5y + 10 = 0 و 2x + 5y - 10 = 0.

مثال شماره 3. برای خطی که از نقطه (-2; 5) و موازی با خط 5x-7y-4=0 می گذرد، معادله ای بنویسید.
راه حل. این خط مستقیم را می توان با معادله y = 5 / 7 x - 4 / 7 (در اینجا a = 5 / 7) نشان داد. معادله خط مورد نظر y – 5 = 5 / 7 (x – (-2)) است، یعنی. 7(y-5)=5(x+2) یا 5x-7y+45=0.

مثال شماره 4. پس از حل مثال 3 (A=5، B=-7) با استفاده از فرمول (2)، 5(x+2)-7(y-5)=0 را پیدا می کنیم.

مثال شماره 5. برای خطی که از نقطه (-2;5) و موازی با خط 7x+10=0 می گذرد، معادله بنویسید.
راه حل. در اینجا A=7، B=0. فرمول (2) 7(x+2)=0 را می دهد، یعنی. x+2=0. فرمول (1) قابل اجرا نیست، زیرا این معادله را نمی توان با توجه به y حل کرد (این خط مستقیم موازی با ارتین است).

بگذارید خط از نقاط M 1 (x 1؛ y 1) و M 2 (x 2؛ y 2) عبور کند. معادله خط مستقیمی که از نقطه M 1 می گذرد به شکل y-y 1 = است ک (x - x 1)، (10.6)

جایی که ک - ضریب هنوز ناشناخته.

از آنجایی که خط مستقیم از نقطه M 2 می گذرد (x 2 y 2)، مختصات این نقطه باید معادله (10.6) را برآورده کند: y 2 -y 1 = ک (x 2 - x 1).

از اینجا جایگزین مقدار یافت شده را پیدا می کنیم ک در رابطه (10.6)، معادله خط مستقیمی را که از نقاط M 1 و M 2 می گذرد، بدست می آوریم:

فرض بر این است که در این معادله x 1 ≠ x 2، y 1 ≠ y 2

اگر x 1 = x 2، آنگاه خط مستقیمی که از نقاط M 1 (x 1,y I) و M 2 (x 2,y 2) می گذرد با محور ارتجاعی موازی است. معادله آن است x = x 1 .

اگر y 2 = y I، معادله خط را می توان به صورت y = y 1 نوشت، خط مستقیم M 1 M 2 موازی با محور آبسیسا است.

معادله یک خط در پاره ها

بگذارید خط مستقیم محور Ox را در نقطه M 1 (a;0) و محور Oy را در نقطه M 2 (0;b) قطع کند. معادله به شکل زیر خواهد بود:
آن ها
. این معادله نامیده می شود معادله یک خط مستقیم در پاره ها، زیرا اعداد a و b نشان می دهد که خط کدام بخش ها را در محورهای مختصات قطع می کند.

معادله خطی که از نقطه ای عمود بر یک بردار معین می گذرد

اجازه دهید معادله خط مستقیمی را پیدا کنیم که از نقطه معینی می گذرد Mo (x O; y o) عمود بر یک بردار غیر صفر معین n = (A; B).

بیایید یک نقطه دلخواه M(x; y) روی خط بگیریم و بردار M 0 M (x - x 0; y - y o) را در نظر بگیریم (شکل 1 را ببینید). از آنجایی که بردارهای n و M o M عمود هستند، حاصل ضرب اسکالر آنها برابر با صفر است:

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

معادله (10.8) نامیده می شود معادله یک خط مستقیم که از نقطه ای عمود بر یک بردار معین می گذرد .

بردار n= (A; B)، عمود بر خط، نرمال نامیده می شود بردار عادی این خط .

معادله (10.8) را می توان به صورت بازنویسی کرد Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

که در آن A و B مختصات بردار نرمال هستند، C = -Ax o - Vu o عبارت آزاد است. معادله (10.9) معادله کلی خط است(شکل 2 را ببینید).

Fig.1 Fig.2

معادلات متعارف خط

,

جایی که
- مختصات نقطه ای که خط از آن عبور می کند، و
- بردار جهت.

دایره منحنی مرتبه دوم

دایره مجموعه ای از تمام نقاط صفحه است که از یک نقطه معین فاصله دارند که مرکز نامیده می شود.

معادله متعارف یک دایره با شعاع آر متمرکز در یک نقطه
:

به طور خاص، اگر مرکز پایه با مبدأ مختصات منطبق باشد، معادله به شکل زیر خواهد بود:

بیضی

بیضی مجموعه ای از نقاط روی صفحه است که مجموع فواصل هر یک از آنها تا دو نقطه داده شده است. و که کانون نامیده می شود، یک کمیت ثابت است
، بیشتر از فاصله بین کانون ها است
.

معادله متعارف بیضی که کانون‌های آن روی محور Ox قرار دارند و مبدأ مختصات در وسط بین کانون‌ها به شکل است.
جی deآ طول محور نیمه اصلی؛ب - طول محور نیمه فرعی (شکل 2).

معادله یک خط در یک هواپیما.

همانطور که مشخص است، هر نقطه در هواپیما توسط دو مختصات در یک سیستم مختصات تعیین می شود. سیستم های مختصات بسته به انتخاب مبنا و مبدا می توانند متفاوت باشند.

تعریف. معادله خطرابطه y = f(x) بین مختصات نقاط تشکیل دهنده این خط نامیده می شود.

توجه داشته باشید که معادله یک خط را می توان به صورت پارامتری بیان کرد، یعنی هر مختصات هر نقطه از طریق برخی پارامترهای مستقل بیان می شود. تی.

یک مثال معمولی، مسیر حرکت یک نقطه متحرک است. در این مورد، نقش پارامتر توسط زمان بازی می شود.

معادله یک خط مستقیم در یک صفحه.

تعریف. هر خط مستقیم روی هواپیما را می توان با یک معادله مرتبه اول مشخص کرد

تبر + وو + سی = 0،

علاوه بر این، ثابت های A و B در یک زمان برابر با صفر نیستند، یعنی. A 2 + B 2  0. این معادله مرتبه اول نامیده می شود معادله کلی یک خط مستقیم

بسته به مقادیر ثابت های A، B و C، موارد خاص زیر ممکن است:

C = 0، A  0، B 0 - خط مستقیم از مبدأ عبور می کند

A = 0، B  0، C  0 (By + C = 0) - خط مستقیم موازی با محور Ox

B = 0، A  0، C  0 (Ax + C = 0) - خط مستقیم موازی با محور Oy

B = C = 0، A 0 - خط مستقیم با محور Oy منطبق است

A = C = 0، B 0 - خط مستقیم با محور Ox منطبق است

معادله یک خط مستقیم بسته به شرایط اولیه می تواند به اشکال مختلف ارائه شود.

معادله یک خط مستقیم از یک نقطه و بردار نرمال.

تعریف. در سیستم مختصات مستطیلی دکارتی، بردار با اجزای (A, B) عمود بر خط مستقیمی است که با معادله Ax + By + C = 0 به دست می‌آید.

مثال.معادله خطی را که از نقطه A(1, 2) عمود بر بردار می گذرد بیابید. (3, -1).

با A = 3 و B = -1، اجازه دهید معادله خط مستقیم را بسازیم: 3x – y + C = 0. برای یافتن ضریب C، مختصات نقطه داده شده A را در عبارت حاصل جایگزین می کنیم.

دریافت می کنیم: 3 – 2 + C = 0، بنابراین C = -1.

مجموع: معادله مورد نیاز: 3x – y – 1 = 0.

معادله خطی که از دو نقطه می گذرد.

اجازه دهید دو نقطه M 1 (x 1، y 1، z 1) و M 2 (x 2، y 2، z 2) در فضا داده شود، سپس معادله خطی که از این نقاط می گذرد، می شود:

اگر هر یک از مخرج ها صفر باشد، صورت مربوطه باید برابر با صفر باشد.

در صفحه، معادله خط مستقیم نوشته شده در بالا ساده شده است:

اگر x 1  x 2 و x = x 1، اگر x 1 = x 2.

کسر
=k نامیده می شود شیبسر راست.

مثال.معادله خطی که از نقاط A(1,2) و B(3,4) می گذرد را بیابید.

با استفاده از فرمول نوشته شده در بالا، دریافت می کنیم:

معادله یک خط مستقیم با استفاده از یک نقطه و شیب.

اگر معادله کلی خط مستقیم Ax + By + C = 0 به شکل کاهش یابد:

و تعیین کنید
، سپس معادله حاصل فراخوانی می شود معادله یک خط مستقیم با شیبک.

معادله یک خط مستقیم از یک نقطه و یک بردار جهت.

با قیاس با نقطه با در نظر گرفتن معادله یک خط مستقیم از یک بردار عادی، می توانید تعریف خط مستقیم را از طریق یک نقطه و بردار جهت دهنده خط مستقیم را وارد کنید.

تعریف. هر بردار غیر صفر ( 1,  2) که اجزای آن شرط A 1 + B 2 = 0 را برآورده می کند، بردار هدایت کننده خط نامیده می شود.

تبر + وو + سی = 0.

مثال.معادله یک خط با بردار جهت را پیدا کنید (1، -1) و عبور از نقطه A(1، 2).

معادله خط مورد نظر را به شکل Ax + By + C = 0 جستجو می کنیم. مطابق با تعریف، ضرایب باید شرایط زیر را داشته باشند:

1A + (-1)B = 0، یعنی. الف = ب.

سپس معادله خط مستقیم به این شکل است: Ax + Ay + C = 0 یا x + y + C/A = 0.

در x = 1، y = 2 ما C/A = -3 را دریافت می کنیم، یعنی. معادله مورد نیاز:

معادله یک خط مستقیم در پاره ها.

اگر در معادله کلی خط مستقیم Ах + Ву + С = 0 С 0، با تقسیم بر –С، به دست می آید:
یا

، جایی که

معنای هندسی ضرایب این است که ضریب آمختصات نقطه تقاطع خط با محور Ox است و ب– مختصات نقطه تلاقی خط مستقیم با محور Oy.

مثال.معادله کلی خط x – y + 1 = 0 معادله این خط را به صورت پاره ای بیابید.

C = 1،
، a = -1، b = 1.

معادله عادی یک خط

اگر دو طرف معادله Ax + By + C = 0 بر عدد تقسیم شود
که نامیده می شود عامل عادی سازی، سپس دریافت می کنیم

xcos + ysin - p = 0 -

معادله عادی یک خط

علامت  عامل نرمال کننده باید طوری انتخاب شود که С< 0.

p طول عمود کاهش یافته از مبدأ به خط مستقیم و  زاویه تشکیل شده توسط این عمود با جهت مثبت محور Ox است.

مثال.معادله کلی خط 12x – 5y – 65 = 0 داده شده است. نوشتن انواع معادلات برای این خط الزامی است.

معادله این خط در قطعات:

معادله این خط با شیب: (تقسیم بر 5)

معادله عادی یک خط:

; cos = 12/13; sin = -5/13; p = 5.

لازم به ذکر است که هر خط مستقیم را نمی توان با یک معادله در پاره ها نشان داد، به عنوان مثال، خطوط مستقیم موازی با محورها یا عبور از مبدا مختصات.

مثال.خط مستقیم بخش های مثبت مساوی را در محورهای مختصات قطع می کند. اگر مساحت مثلث تشکیل شده توسط این قطعات 8 سانتی متر مربع باشد، برای یک خط مستقیم معادله بنویسید.

معادله خط مستقیم:
, a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -4.

a = -4 با توجه به شرایط مسئله مناسب نیست.

جمع:
یا x + y – 4 = 0.

مثال.برای خط مستقیمی که از نقطه A(-2, -3) و مبدا می گذرد معادله بنویسید.

معادله خط مستقیم:
، جایی که x 1 = y 1 = 0; x 2 = -2; y 2 = -3.

زاویه بین خطوط مستقیم در یک صفحه.

تعریف. اگر دو خط y = k 1 x + b 1، y = k 2 x + b 2 داده شود، آنگاه زاویه تند بین این خطوط به صورت تعریف می شود.

.

اگر k 1 = k 2 دو خط موازی باشند.

دو خط عمود هستند اگر k 1 = -1 / k 2 .

قضیه. خطوط مستقیم Ax + Wu + C = 0 و A 1 x + B 1 y + C 1 وقتی ضرایب A متناسب باشند 0 = موازی هستند 1 =  الف، ب 1 =  ب. اگر همچنین ج 1 =  C، سپس خطوط بر هم منطبق می شوند.

مختصات نقطه تقاطع دو خط به عنوان راه حلی برای سیستم معادلات این خطوط پیدا می شود.

معادله خطی که از یک نقطه معین می گذرد

عمود بر این خط

تعریف. خط مستقیمی که از نقطه M 1 (x 1, y 1) می گذرد و عمود بر خط مستقیم y = kx + b با معادله نشان داده می شود:

فاصله از یک نقطه تا یک خط.

قضیه. اگر نقطه M(x) داده شود 0 ، y 0 ) سپس فاصله تا خط مستقیم Ах + Ву + С =0 به صورت تعریف می شود

.

اثبات بگذارید نقطه M 1 (x 1, y 1) قاعده عمودی باشد که از نقطه M به یک خط مستقیم داده شده کاهش یافته است. سپس فاصله بین نقاط M و M 1:

مختصات x 1 و y 1 را می توان با حل سیستم معادلات پیدا کرد:

معادله دوم سیستم معادله خطی است که از نقطه معین M 0 عمود بر یک خط معین می گذرد.

اگر معادله اول سیستم را به شکل زیر تبدیل کنیم:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0،

سپس با حل کردن، دریافت می کنیم:

با جایگزینی این عبارات به معادله (1)، متوجه می شویم:

.

قضیه ثابت شده است.

مثال.زاویه بین خطوط را تعیین کنید: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2 tg =
;  = /4.

مثال.نشان دهید که خطوط 3x – 5y + 7 = 0 و 10x + 6y – 3 = 0 عمود هستند.

ما پیدا می کنیم: k 1 = 3/5، k 2 = -5/3، k 1 k 2 = -1، بنابراین، خطوط عمود هستند.

مثال.رئوس مثلث A(0; 1)، B(6; 5)، C(12; -1) آورده شده است. معادله ارتفاع رسم شده از راس C را پیدا کنید.

معادله ضلع AB را پیدا می کنیم:
; 4x = 6y – 6;

2x – 3y + 3 = 0;

معادله ارتفاع مورد نیاز به این شکل است: Ax + By + C = 0 یا y = kx + b.

k = . سپس y =
. زیرا ارتفاع از نقطه C می گذرد، سپس مختصات آن این معادله را برآورده می کند:
از آنجا b = 17. مجموع:
.

پاسخ: 3x + 2y – 34 = 0.

هندسه تحلیلی در فضا

معادله یک خط در فضا.

معادله یک خط در فضا با یک نقطه و

بردار جهت

بیایید یک خط دلخواه و یک بردار بگیریم (m، n، p)، موازی با خط داده شده. بردار تماس گرفت بردار راهنماسر راست.

روی خط مستقیم دو نقطه دلخواه M 0 (x 0 , y 0 , z 0) و M (x, y, z) را می گیریم.

z

M 1

اجازه دهید بردار شعاع این نقاط را به صورت نشان دهیم و ، بدیهی است که - =
.

زیرا بردارها
و خطی هستند، پس رابطه درست است
= t، جایی که t برخی از پارامترها است.

در کل می توانیم بنویسیم: = + تی

زیرا این معادله با مختصات هر نقطه از خط برآورده می شود، سپس معادله حاصل می شود معادله پارامتریک یک خط.

این معادله برداری را می توان به صورت مختصات نشان داد:

با تبدیل این سیستم و معادل سازی مقادیر پارامتر t، معادلات متعارف یک خط مستقیم در فضا را به دست می آوریم:

.

تعریف. کسینوس جهتمستقیم، کسینوس های جهت بردار هستند که با استفاده از فرمول های زیر قابل محاسبه است:

;

.

از اینجا به دست می آید: m: n: p = cos : cos : cos.

اعداد m، n، p نامیده می شوند ضرایب زاویهسر راست. زیرا یک بردار غیر صفر است، پس m، n و p نمی توانند همزمان برابر با صفر باشند، اما یک یا دو عدد از این اعداد می توانند برابر با صفر باشند. در این حالت در معادله خط، اعداد مربوطه باید برابر با صفر قرار گیرند.

معادله یک خط مستقیم در گذر از فضا

از طریق دو نقطه

اگر در یک خط مستقیم در فضا دو نقطه دلخواه M 1 (x 1, y 1, z 1) و M 2 (x 2, y 2, z 2) را علامت گذاری کنیم، مختصات این نقاط باید معادله خط مستقیم را برآورده کند. به دست آمده در بالا:

.

علاوه بر این، برای نقطه M 1 می توانیم بنویسیم:

.

با حل این معادلات با هم به دست می آید:

.

این معادله خطی است که از دو نقطه در فضا می گذرد.

معادلات کلی یک خط مستقیم در فضا.

معادله خط مستقیم را می توان معادله خط تقاطع دو صفحه در نظر گرفت.

همانطور که در بالا توضیح داده شد، یک صفحه به شکل برداری را می توان با معادله مشخص کرد:

+ D = 0، جایی که

- هواپیما عادی؛ - شعاع بردار یک نقطه دلخواه در صفحه است.

این مقاله استخراج معادله یک خط مستقیم را نشان می دهد که از دو نقطه داده شده در یک سیستم مختصات مستطیلی واقع در یک صفحه می گذرد. اجازه دهید معادله یک خط مستقیم را که از دو نقطه داده شده در یک سیستم مختصات مستطیلی می گذرد استخراج کنیم. ما به وضوح چندین مثال مرتبط با مطالب تحت پوشش را نشان خواهیم داد و حل خواهیم کرد.

Yandex.RTB R-A-339285-1

قبل از به دست آوردن معادله خطی که از دو نقطه داده شده می گذرد، لازم است به نکاتی توجه شود. بدیهی است که می گوید از طریق دو نقطه واگرا در یک صفحه می توان یک خط مستقیم و فقط یک را رسم کرد. به عبارت دیگر، دو نقطه داده شده در یک صفحه با یک خط مستقیم که از این نقاط می گذرد، تعریف می شوند.

اگر صفحه با سیستم مختصات مستطیلی Oxy تعریف شود، هر خط مستقیمی که در آن نشان داده شده است با معادله یک خط مستقیم در صفحه مطابقت دارد. همچنین ارتباطی با بردار جهت دهنده خط مستقیم وجود دارد.

بیایید به مثالی از حل یک مشکل مشابه نگاه کنیم. لازم است معادله ای برای یک خط مستقیم ایجاد شود که از دو نقطه واگرا M 1 (x 1, y 1) و M 2 (x 2, y 2) واقع در سیستم مختصات دکارتی عبور می کند.

در معادله متعارف یک خط روی صفحه که به شکل x - x 1 a x = y - y 1 a y است، یک سیستم مختصات مستطیلی O x y با خطی مشخص می شود که در نقطه ای با مختصات M 1 (x) با آن قطع می شود. 1, y 1) با بردار راهنما a → = (a x , a y) .

لازم است یک معادله متعارف خط مستقیم a ایجاد شود که از دو نقطه با مختصات M 1 (x 1, y 1) و M 2 (x 2, y 2) عبور کند.

راست a دارای یک بردار جهت M 1 M 2 → با مختصات (x 2 - x 1، y 2 - y 1) است، زیرا نقاط M 1 و M 2 را قطع می کند. ما داده های لازم را به منظور تبدیل معادله متعارف با مختصات بردار جهت M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) و مختصات نقاط M 1 که روی آنها قرار دارد به دست آورده ایم. (x 1، y 1) و M 2 (x 2، y 2) . معادله ای به شکل x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 یا x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 به دست می آوریم.

شکل زیر را در نظر بگیرید.

در ادامه محاسبات، معادلات پارامتریک خطی را در صفحه ای که از دو نقطه با مختصات M 1 (x 1, y 1) و M 2 (x 2, y 2) می گذرد، یادداشت می کنیم. معادله ای به شکل x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ یا x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ به دست می آوریم. y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ .

بیایید نگاهی دقیق تر به حل چندین مثال بیندازیم.

مثال 1

معادله خط مستقیمی را که از 2 نقطه داده شده با مختصات M 1 - 5، 2 3، M 2 1، - 1 6 عبور می کند، بنویسید.

راه حل

معادله متعارف خطی که در دو نقطه با مختصات x 1، y 1 و x 2، y 2 متقاطع است، به شکل x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 است. با توجه به شرایط مسئله، داریم که x 1 = - 5، y 1 = 2 3، x 2 = 1، y 2 = - 1 6. لازم است مقادیر عددی را در معادله x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 جایگزین کنید. از اینجا دریافتیم که معادله متعارف به شکل x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 است.

پاسخ: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

اگر نیاز به حل مسئله با نوع دیگری از معادله دارید، ابتدا می توانید به معادله متعارف بروید، زیرا رسیدن از آن به هر معادله ساده تر است.

مثال 2

معادله کلی خط مستقیمی را که از نقاطی با مختصات M 1 (1, 1) و M 2 (4, 2) در سیستم مختصات O x y می گذرد بنویسید.

راه حل

ابتدا باید معادله متعارف یک خط معین را که از دو نقطه داده شده عبور می کند، یادداشت کنید. معادله ای به شکل x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 بدست می آوریم.

بیایید معادله متعارف را به شکل مورد نظر برسانیم، سپس به دست می آوریم:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

پاسخ: x - 3 y + 2 = 0 .

نمونه هایی از این کارها در کتاب های درسی مدرسه در خلال درس جبر مورد بحث قرار گرفت. مسائل مدرسه از این نظر متفاوت بودند که معادله یک خط مستقیم با ضریب زاویه شناخته شده بود که به شکل y = k x + b بود. اگر باید مقدار شیب k و عدد b را پیدا کنید که معادله y = k x + b خطی را در سیستم Oxy تعریف می کند که از نقاط M 1 (x 1, y 1) و M 2 ( می گذرد. x 2، y 2) ، که در آن x 1 ≠ x 2. وقتی x 1 = x 2 ، سپس ضریب زاویه ای مقدار بی نهایت را می گیرد و خط مستقیم M 1 M 2 با یک معادله کلی ناقص به شکل x - x 1 = 0 تعریف می شود. .

چون نقاط M 1و M 2روی یک خط مستقیم هستند، سپس مختصات آنها معادله y 1 = k x 1 + b و y 2 = k x 2 + b را برآورده می کند. حل سیستم معادلات y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b برای k و b ضروری است.

برای انجام این کار، k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 یا k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

با این مقادیر k و b، معادله خطی که از دو نقطه داده شده می گذرد تبدیل به y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x می شود. 1 یا y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

به خاطر سپردن چنین تعداد زیادی فرمول به طور همزمان غیرممکن است. برای این کار باید تعداد تکرارها را در حل مسائل افزایش داد.

مثال 3

معادله یک خط مستقیم با ضریب زاویه ای که از نقاطی با مختصات M 2 (2، 1) و y = k x + b عبور می کند، بنویسید.

راه حل

برای حل مسئله از فرمولی با شیب استفاده می کنیم که به شکل y = k x + b است. ضرایب k و b باید چنان مقداری داشته باشند که این معادله مطابق با یک خط مستقیم باشد که از دو نقطه با مختصات M 1 (- 7, - 5) و M 2 (2, 1) می گذرد.

نکته ها M 1و M 2روی یک خط مستقیم قرار می گیرند، سپس مختصات آنها باید معادله y = k x + b را به یک برابری واقعی تبدیل کند. از این نتیجه می گیریم که - 5 = k · (- 7) + b و 1 = k · 2 + b. بیایید معادله را در سیستم ترکیب کنیم - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b و حل کنیم.

پس از تعویض ما آن را دریافت می کنیم

5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

اکنون مقادیر k = 2 3 و b = - 1 3 در معادله y = k x + b جایگزین می شوند. دریافتیم که معادله مورد نیاز که از نقاط داده شده عبور می کند، معادله ای به شکل y = 2 3 x - 1 3 خواهد بود.

این روش حل، اتلاف زمان زیادی را از پیش تعیین می کند. راهی وجود دارد که در آن تکلیف به معنای واقعی کلمه در دو مرحله حل می شود.

اجازه دهید معادله متعارف خطی را بنویسیم که از M 2 (2, 1) و M 1 (- 7, - 5) می گذرد که به شکل x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5) است. ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

حالا بیایید به معادله شیب برویم. دریافت می کنیم که: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · (x + 7) = 9 · (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3.

پاسخ: y = 2 3 x - 1 3 .

اگر در فضای سه بعدی یک سیستم مختصات مستطیل شکل O x y z با دو نقطه داده شده غیر منطبق با مختصات M 1 (x 1, y 1, z 1) و M 2 (x 2, y 2, z 2) وجود داشته باشد، خط مستقیم M که از آنها 1 M 2 عبور می کند، لازم است معادله این خط به دست آید.

معادلات متعارف شکل x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z و معادلات پارامتری شکل x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z داریم. 1 + a z · λ می توانند خطی را در سیستم مختصات O x y z تعریف کنند که از نقاط دارای مختصات (x 1, y 1, z 1) با بردار جهت a → = (a x, a y, a z) عبور می کند.

راست M 1 M 2 دارای یک بردار جهت به شکل M 1 M 2 → = (x 2 - x 1، y 2 - y 1، z 2 - z 1)، که در آن خط مستقیم از نقطه M 1 می گذرد (x 1، y 1، z 1) و M 2 (x 2 , y 2 , z 2) ، بنابراین معادله متعارف می تواند به شکل x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 باشد. z 2 - z 1 یا x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1، به نوبه خود پارامتری x = x 1 + (x 2 - x 1 ) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ یا x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ z = z 2 + (z 2 - z 1) · λ .

نقاشی را در نظر بگیرید که 2 نقطه داده شده در فضا و معادله یک خط مستقیم را نشان می دهد.

مثال 4

معادله خطی را بنویسید که در یک سیستم مختصات مستطیلی O x y z از فضای سه بعدی تعریف شده است که از دو نقطه داده شده با مختصات M 1 (2, - 3, 0) و M 2 (1, - 3, - 5) عبور می کند.

راه حل

یافتن معادله متعارف ضروری است. از آنجایی که ما در مورد فضای سه بعدی صحبت می کنیم، به این معنی است که وقتی یک خط از نقاط داده شده عبور می کند، معادله متعارف مورد نظر به شکل x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z خواهد بود. - z 1 z 2 - z 1 .

با شرطی داریم که x 1 = 2، y 1 = - 3، z 1 = 0، x 2 = 1، y 2 = - 3، z 2 = - 5. بدین ترتیب معادلات لازم به صورت زیر نوشته می شود:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

پاسخ: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

اگر خطایی در متن مشاهده کردید، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید