مثال مورد بحث در بالا به ما امکان می دهد نتیجه بگیریم که مقادیر مورد استفاده برای تجزیه و تحلیل به دلایل تصادفی بستگی دارد، بنابراین چنین متغیرهایی نامیده می شوند. تصادفی. در بیشتر موارد، آنها در نتیجه مشاهدات یا آزمایش‌ها ظاهر می‌شوند که در جداول خلاصه می‌شوند، در خط اول آن مقادیر مختلف مشاهده‌شده متغیر تصادفی X ثبت می‌شود، و در خط دوم - مربوطه. فرکانس ها بنابراین، این جدول نامیده می شود توزیع تجربی یک متغیر تصادفی Xیا سری های متغیر. برای سری تغییرات، مقدار میانگین، واریانس و انحراف استاندارد را پیدا کردیم.

مداوم، اگر مقادیر آن به طور کامل یک بازه عددی را پر کند.

متغیر تصادفی نامیده می شود گسسته، اگر بتوان تمام مقادیر آن را برشمرد (به ویژه اگر تعداد محدودی از مقادیر را بگیرد).

لازم به ذکر است دو خواص مشخصهجداول توزیع یک متغیر تصادفی گسسته:

همه اعداد در ردیف دوم جدول مثبت هستند.

مجموع آنها برابر با یک است.

مطابق با مطالعات انجام شده، می توان فرض کرد که با افزایش تعداد مشاهدات، توزیع تجربی به توزیع نظری ارائه شده به صورت جدولی نزدیک می شود.

یک ویژگی مهم یک متغیر تصادفی گسسته، انتظار ریاضی آن است.

انتظارات ریاضیمتغیر تصادفی گسسته X، با گرفتن مقادیر، , …, . با احتمالات, , … عدد نامیده می شود:

انتظار ریاضی را میانگین نیز می گویند.

از دیگر ویژگی های مهم یک متغیر تصادفی می توان به واریانس (8) و انحراف معیار (9) اشاره کرد.

جایی که: انتظار ریاضی از مقدار ایکس.

. (9)

نمایش گرافیکی اطلاعات بسیار واضح تر از جدولی است، بنابراین از توانایی صفحات گسترده MS Excel برای ارائه داده های قرار داده شده در آنها در قالب نمودارها، نمودارها و هیستوگرام های مختلف بسیار استفاده می شود. بنابراین، علاوه بر جدول، توزیع یک متغیر تصادفی نیز با استفاده از آن به تصویر کشیده شده است چند ضلعی توزیع. برای انجام این کار، نقاط دارای مختصات , , ... بر روی صفحه مختصات ساخته شده و توسط قطعات مستقیم به هم متصل می شوند.

برای به دست آوردن یک مستطیل توزیع با استفاده از MS Excel، باید:

1. برگه "Insert" ® "Area Chart" را در نوار ابزار انتخاب کنید.

2. ناحیه نمودار ظاهر شده در برگه MS Excel را با دکمه سمت راست ماوس فعال کنید و از دستور "Select Data" در منوی زمینه استفاده کنید.

برنج. 6. انتخاب منبع داده

ابتدا بیایید محدوده داده را برای نمودار تعریف کنیم. برای انجام این کار، در قسمت مناسب کادر محاوره ای "Select Data Source"، محدوده C6:I6 را وارد کنید (شامل مقادیر فرکانس به نام Row1، شکل 7) است.

برنج. 7. ردیف 1 را اضافه کنید

برای تغییر نام یک سری، دکمه تغییر ناحیه "Elements Legend (series)" را انتخاب کنید (شکل 7 را ببینید) و نام آن را بگذارید.

برای افزودن یک برچسب برای محور X، از دکمه "ویرایش" در ناحیه "برچسب های محور افقی (دسته ها)" استفاده کنید.
(شکل 8) و مقادیر سری را نشان دهید (محدوده $C$6:$I$6).

برنج. 8. نمای نهایی کادر محاوره ای "انتخاب منبع داده"

انتخاب یک دکمه در کادر محاوره ای Select Data Source
(شکل 8) به شما امکان می دهد چند ضلعی مورد نیاز توزیع یک متغیر تصادفی را بدست آورید (شکل 9).

برنج. 9. توزیع چندضلعی یک متغیر تصادفی

بیایید در طراحی اطلاعات گرافیکی دریافتی تغییراتی ایجاد کنیم:

یک برچسب محور x اضافه کنید.

برچسب محور Y را ویرایش کنید.

- بیایید یک عنوان برای نمودار "چند ضلعی توزیع" اضافه کنیم.

برای انجام این کار، تب "Work with charts" را در ناحیه نوار ابزار، برگه "Layout" و در نوار ابزار ظاهر شده، دکمه های مربوطه را انتخاب کنید: "Chart name"، "Axis names" (شکل 10).

برنج. 10. شکل نهایی چند ضلعی توزیع یک متغیر تصادفی

متغیر تصادفیکمیتی نامیده می شود که در نتیجه آزمایش می تواند یک یا مقدار دیگری را به خود بگیرد که از قبل مشخص نیست. متغیرهای تصادفی هستند ناپیوسته (گسسته)و مداومنوع مقادیر احتمالی مقادیر ناپیوسته را می توان از قبل برشمرد. مقادیر ممکن مقادیر پیوسته را نمی توان از قبل برشمرد و به طور مداوم یک شکاف مشخص را پر می کند.

مثالی از متغیرهای تصادفی گسسته:

1) تعداد ظاهر نشان در سه پرتاب سکه. (مقادیر ممکن عبارتند از 0;1;2;3)

2) فراوانی ظهور نشان در همان آزمایش. (مقادیر ممکن)

3) تعداد عناصر خراب در یک دستگاه متشکل از پنج عنصر. (مقادیر ممکن عبارتند از 0;1;2;3;4;5)

نمونه هایی از متغیرهای تصادفی پیوسته:

1) آبسیسا (مرتب) نقطه برخورد هنگام شلیک.

2) فاصله از نقطه برخورد تا مرکز هدف.

3) زمان عملکرد بدون خرابی دستگاه (لوله های رادیویی).

متغیرهای تصادفی با حروف بزرگ و مقادیر احتمالی آنها با حروف کوچک مربوطه نشان داده می شوند. به عنوان مثال، X تعداد ضربه با سه ضربه است. مقادیر ممکن: X 1 = 0، X 2 = 1، X 3 = 2، X 4 = 3.

یک متغیر تصادفی ناپیوسته X با مقادیر ممکن X 1 , X 2 , … , X n را در نظر بگیرید. هر یک از این مقادیر ممکن است، اما قطعی نیست، و مقدار X می تواند هر یک از آنها را با احتمالی بگیرد. در نتیجه آزمایش، کمیت X یکی از این مقادیر را می گیرد، یعنی یکی از گروه کامل رویدادهای ناسازگار رخ می دهد.

اجازه دهید احتمالات این رویدادها را با حروف p با شاخص های مربوطه نشان دهیم:

از آنجایی که رویدادهای ناسازگار یک گروه کامل را تشکیل می دهند، پس

یعنی مجموع احتمالات همه مقادیر ممکن متغیر تصادفی برابر با 1 است. این احتمال کل به نوعی بین مقادیر فردی توزیع می شود. اگر این توزیع را مشخص کنیم، یک متغیر تصادفی کاملاً از دیدگاه احتمالی توضیح داده می شود، یعنی دقیقاً مشخص کنیم که هر یک از رویدادها چه احتمالاتی دارند. (این به اصطلاح قانون توزیع متغیرهای تصادفی را ایجاد می کند.)

قانون توزیع یک متغیر تصادفیهر رابطه ای که بین مقادیر احتمالی یک متغیر تصادفی و احتمال مربوطه ارتباط برقرار کند نامیده می شود. (در مورد یک متغیر تصادفی، خواهیم گفت که تابع قانون توزیع معین است)

ساده ترین شکل تعیین قانون توزیع یک متغیر تصادفی جدولی است که مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی و احتمالات مربوط به آنها را فهرست می کند.

میز 1.

متغیرهای تصادفی. چند ضلعی توزیع متغیرهای تصادفی: گسسته و پیوسته. هنگام انجام یک آزمایش تصادفی، فضایی از رویدادهای ابتدایی شکل می گیرد - نتایج احتمالی این آزمایش. در نظر گرفته شده است که در این فضای از رویدادهای ابتدایی مقدار تصادفی X، اگر قانونی (قانونی) داده شود که بر اساس آن به هر رویداد ابتدایی یک عدد اختصاص داده شود. بنابراین، متغیر تصادفی X را می توان به عنوان یک تابع تعریف شده بر روی فضای رویدادهای ابتدایی در نظر گرفت. ■ تصادفی- مقداری که در طول هر آزمایش، بسته به دلایل تصادفی که نمی توان از قبل در نظر گرفت، یک یا مقدار عددی دیگر را می گیرد (از قبل مشخص نیست کدام یک). متغیرهای تصادفی با حروف بزرگ الفبای لاتین و مقادیر احتمالی یک متغیر تصادفی با حروف کوچک نشان داده می شوند. بنابراین، هنگامی که یک تاس پرتاب می شود، یک رویداد مرتبط با عدد x رخ می دهد، که در آن x تعداد نقاط پرتاب شده است. تعداد امتیازها یک مقدار تصادفی است و اعداد 1، 2، 3، 4، 5، 6 مقادیر احتمالی این مقدار هستند. فاصله ای که پرتابه هنگام شلیک از یک تفنگ پرواز می کند نیز یک متغیر تصادفی است (به نصب دید، قدرت و جهت باد، دما و عوامل دیگر بستگی دارد) و مقادیر ممکن. از این کمیت به یک بازه معین (a; b) تعلق دارد. ■ متغیر تصادفی گسسته- یک متغیر تصادفی که مقادیر ممکن مجزا و جدا شده را با احتمالات معین به خود می گیرد. تعداد مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی گسسته می تواند متناهی یا بی نهایت باشد. ■ متغیر تصادفی پیوستهیک متغیر تصادفی است که می تواند تمام مقادیر را از یک بازه محدود یا نامحدود بگیرد. تعداد مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی پیوسته بی نهایت است. به عنوان مثال، تعداد امتیازهای کاهش یافته هنگام پرتاب تاس، امتیاز یک کار کنترلی متغیرهای تصادفی گسسته هستند. مسافتی که پرتابه هنگام شلیک از تفنگ پرواز می کند، خطای اندازه گیری نشانگر زمان جذب مواد آموزشی، قد و وزن فرد متغیرهای تصادفی پیوسته هستند. قانون توزیع یک متغیر تصادفی- مطابقت بین مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی و احتمالات آنها، یعنی. هر مقدار ممکن x i با احتمال p i مرتبط است که با آن متغیر تصادفی می تواند این مقدار را بگیرد. قانون توزیع یک متغیر تصادفی را می توان به صورت جدولی (به صورت جدول)، تحلیلی (به صورت فرمول) و گرافیکی ارائه کرد. اجازه دهید یک متغیر تصادفی گسسته X مقادیر x 1 , x 2 , …, x n را با احتمالات p 1 , p 2 , …, p n به ترتیب بگیرد. P(X=x 1) = p 1، P(X=x 2) = p 2، …، P(X=x n) = p n. با انتساب جدولی قانون توزیع این مقدار، ردیف اول جدول حاوی مقادیر ممکن x 1، x 2، ...، x n، و دوم - احتمالات آنها است. ایکس x 1 x2 … x n پ p1 p2 … p n در نتیجه آزمایش، متغیر تصادفی گسسته X یک و تنها یکی از مقادیر ممکن را می گیرد، بنابراین رویدادهای X=x 1 , X=x 2 , …, X=x n یک گروه کامل از رویدادهای ناسازگار زوجی را تشکیل می دهند و بنابراین، مجموع احتمالات این رویدادها برابر است با یک، یعنی. p 1 + p 2 + ... + p n \u003d 1. قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته. توزیع چند ضلعی (چند ضلعی). همانطور که می دانید متغیر تصادفی متغیری است که بسته به مورد می تواند مقادیر خاصی را به خود اختصاص دهد. متغیرهای تصادفی با حروف بزرگ الفبای لاتین (X، Y، Z) و مقادیر آنها با حروف کوچک مربوطه (x، y، z) مشخص می شوند. متغیرهای تصادفی به دو دسته ناپیوسته (گسسته) و پیوسته تقسیم می شوند. متغیر تصادفی گسسته یک متغیر تصادفی است که فقط مجموعه ای محدود یا نامتناهی (قابل شمارش) از مقادیر با احتمالات غیر صفر معینی را می گیرد. قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسستهتابعی است که مقادیر یک متغیر تصادفی را با احتمالات مربوط به آنها مرتبط می کند. قانون توزیع را می توان به یکی از روش های زیر مشخص کرد. 1. قانون توزیع را می توان با جدول ارائه کرد: که در آن λ> 0، k = 0، 1، 2، …. ج) با استفاده از تابع توزیع F(x)، که برای هر مقدار x احتمال اینکه متغیر تصادفی X مقداری کمتر از x به خود بگیرد، تعیین می کند. F(x) = P(X< x). ویژگی های تابع F(x) 3. قانون توزیع را می توان به صورت گرافیکی مشخص کرد - توسط یک چند ضلعی توزیع (چند ضلعی) (به کار 3 مراجعه کنید). توجه داشته باشید که برای رفع برخی مشکلات نیازی به دانستن قانون توزیع نیست. در برخی موارد، دانستن یک یا چند عدد که مهمترین ویژگی های قانون توزیع را منعکس می کند، کافی است. این می تواند عددی باشد که معنای "مقدار متوسط" یک متغیر تصادفی را داشته باشد، یا عددی که اندازه متوسط ​​انحراف یک متغیر تصادفی از مقدار متوسط ​​آن را نشان می دهد. اعدادی از این نوع را مشخصه های عددی یک متغیر تصادفی می نامند. ویژگی های عددی اصلی یک متغیر تصادفی گسسته: انتظارات ریاضی (مقدار متوسط) از یک متغیر تصادفی گسسته M(X)=Σ x i p i . برای توزیع دو جمله ای M(X)=np، برای توزیع پواسون M(X)=λ پراکندگی یک متغیر تصادفی گسسته D(X)= M 2 یا D(X) = M(X 2)- 2 . تفاوت X–M(X) را انحراف یک متغیر تصادفی از انتظارات ریاضی آن می گویند. برای توزیع دو جمله ای D(X)=npq، برای توزیع پواسون D(X)=λ انحراف معیار (انحراف استاندارد) σ(X)=√D(X). · برای وضوح نمایش سری تغییرات، نمایش های گرافیکی آن از اهمیت بالایی برخوردار است. از نظر گرافیکی، یک سری متغیر می تواند به صورت چند ضلعی، هیستوگرام و تجمعی نمایش داده شود. · چند ضلعی توزیع (به معنای واقعی کلمه، چند ضلعی توزیع) یک خط شکسته نامیده می شود که در یک سیستم مختصات مستطیلی ساخته شده است. مقدار ویژگی بر روی ابسیسا، فرکانس های مربوطه (یا فرکانس های نسبی) - در امتداد ارتین رسم می شود. نقاط (یا ) توسط قطعات خط به هم متصل می شوند و یک چندضلعی توزیع به دست می آید. اغلب از چند ضلعی ها برای نمایش سری های تغییرات گسسته استفاده می شود، اما می توان از آنها برای سری های بازه ای نیز استفاده کرد. در این حالت، نقاط مربوط به نقاط میانی این فواصل بر روی محور آبسیسا رسم می شود.

چنین جدولی نامیده می شود نزدیک توزیعمتغیرهای تصادفی.

برای دادن شکل بصری به سری توزیع، آنها به نمایش گرافیکی آن متوسل می شوند: مقادیر احتمالی یک متغیر تصادفی در امتداد محور آبسیسا رسم می شود و احتمالات این مقادیر در امتداد محور ارتین رسم می شود. (برای وضوح، نقاط به دست آمده توسط پاره خط به هم متصل می شوند.)

شکل 1 - چند ضلعی توزیع

چنین رقمی نامیده می شود چند ضلعی توزیع. چند ضلعی توزیع، مانند سری توزیع، به طور کامل متغیر تصادفی را مشخص می کند. این شکلی از قانون توزیع است.

مثال:

یک آزمایش انجام می شود که در آن رویداد A ممکن است ظاهر شود یا نباشد.احتمال رویداد A = 0.3. یک متغیر تصادفی X در نظر گرفته می شود - تعداد وقوع رویداد A در این آزمایش. ساخت یک سری و چند ضلعی از توزیع X ضروری است.

جدول 2.

شکل 2 - تابع توزیع

تابع توزیعیک مشخصه جهانی یک متغیر تصادفی است. برای همه متغیرهای تصادفی وجود دارد: هم ناپیوسته و هم غیرپیوسته. تابع توزیع به طور کامل یک متغیر تصادفی را از دیدگاه احتمالی مشخص می کند، یعنی یکی از اشکال قانون توزیع است.

برای تعیین کمیت این توزیع احتمال، استفاده از احتمال رخداد X=x، بلکه از احتمال رویداد X راحت است.

تابع توزیع F(x) گاهی اوقات تابع توزیع انتگرال یا قانون توزیع انتگرال نیز نامیده می شود.

ویژگی های تابع توزیع یک متغیر تصادفی

1. تابع توزیع F(x) یک تابع غیر نزولی آرگومان آن است، یعنی برای ;

2. در منهای بی نهایت:

3. روی پلاس بی نهایت:

شکل 3 - نمودار تابع توزیع

نمودار تابع توزیعدر حالت کلی، نمودار یک تابع بدون کاهش است که مقادیر آن از 0 شروع می شود و به 1 می رسد.

با دانستن سری توزیع یک متغیر تصادفی، می توان تابع توزیع یک متغیر تصادفی را ساخت.

مثال:

برای شرایط مثال قبلی، یک تابع توزیع از یک متغیر تصادفی بسازید.

بیایید تابع توزیع X را بسازیم:

شکل 4 - تابع توزیع X

تابع توزیعاز هر متغیر تصادفی گسسته ناپیوسته، همیشه یک تابع گام ناپیوسته وجود دارد که جهش های آن در نقاط مربوط به مقادیر ممکن متغیر تصادفی رخ می دهد و برابر با احتمالات این مقادیر است. مجموع تمام جهش ها در تابع توزیع 1 است.

با افزایش تعداد مقادیر ممکن متغیر تصادفی و کاهش فواصل بین آنها، تعداد پرش ها بزرگتر می شود و خود پرش ها کوچکتر می شوند:

شکل 5

منحنی گام صاف تر می شود:

شکل 6

یک متغیر تصادفی به تدریج به یک مقدار پیوسته نزدیک می شود و تابع توزیع آن به یک تابع پیوسته نزدیک می شود. همچنین متغیرهای تصادفی وجود دارند که مقادیر ممکن آنها به طور مداوم یک شکاف مشخص را پر می کند، اما تابع توزیع آنها در همه جا پیوسته نیست. و در برخی نقاط می شکند. چنین متغیرهای تصادفی مختلط نامیده می شوند.

شکل 7

وظیفه 14.در قرعه کشی نقدی، 1 برد 1،000،000 روبلی، 10 برد از هر 100،000 روبل بازی می شود. و 100 برد 1000 روبلی. با تعداد کل بلیط 10000. قانون توزیع برنده های تصادفی را بیابید ایکسبرای صاحب یک بلیط بخت آزمایی

راه حل. مقادیر ممکن برای ایکس: ایکس 1 = 0; ایکس 2 = 1000; ایکس 3 = 100000;

ایکس 4 \u003d 1000000. احتمالات آنها به ترتیب برابر است: آر 2 = 0,01; آر 3 = 0,001; آر 4 = 0,0001; آر 1 = 1 – 0,01 – 0,001 – 0,0001 = 0,9889.

بنابراین، قانون توزیع سود ایکساز طریق جدول زیر قابل ارائه است:

وظیفه 15. متغیر تصادفی گسسته ایکستوسط قانون توزیع ارائه شده است:

یک چند ضلعی توزیع بسازید.

راه حل. ما یک سیستم مختصات مستطیلی می سازیم و در امتداد محور آبسیسا مقادیر ممکن را رسم می کنیم. x iو در امتداد محور y - احتمالات مربوطه p i. بیایید امتیاز بسازیم م 1 (1;0,2), م 2 (3;0,1), م 3 (6؛ 0.4) و م 4 (8؛ 0.3). با اتصال این نقاط با پاره خط، چند ضلعی توزیع مورد نظر را بدست می آوریم.

§2. ویژگی های عددی متغیرهای تصادفی

یک متغیر تصادفی کاملاً با قانون توزیع مشخص می شود. توصیف متوسط ​​یک متغیر تصادفی را می توان با استفاده از ویژگی های عددی آن به دست آورد

2.1. ارزش مورد انتظار پراکندگی.

اجازه دهید یک متغیر تصادفی مقادیری با احتمالات را بگیرد.

تعریف. انتظار ریاضی از یک متغیر تصادفی گسسته، مجموع حاصل از تمام مقادیر ممکن آن و احتمالات مربوطه است:

ویژگی های انتظار ریاضی.

پراکندگی یک متغیر تصادفی در اطراف مقدار میانگین با واریانس و انحراف استاندارد مشخص می شود.

پراکندگی یک متغیر تصادفی، انتظار ریاضی انحراف مجذور یک متغیر تصادفی از انتظار ریاضی آن است:

برای محاسبات از فرمول زیر استفاده می شود

خواص پراکندگی

2. که در آن متغیرهای تصادفی مستقل متقابل هستند.

3. انحراف معیار.

وظیفه 16.انتظارات ریاضی یک متغیر تصادفی را پیدا کنید ز = X+ 2Y، اگر انتظارات ریاضی متغیرهای تصادفی مشخص باشد ایکسو Y: م(ایکس) = 5, م(Y) = 3.

راه حل. ما از ویژگی های انتظار ریاضی استفاده می کنیم. سپس دریافت می کنیم:

م(X+ 2Y)= م(ایکس) + م(2Y) = م(ایکس) + 2م(Y) = 5 + 2 . 3 = 11.

وظیفه 17.واریانس یک متغیر تصادفی ایکسبرابر 3. واریانس متغیرهای تصادفی را بیابید: الف) –3 ایکس؛ب) 4 ایکس + 3.

راه حل. بیایید خواص 3، 4 و 2 پراکندگی را اعمال کنیم. ما داریم:

آ) D(–3ایکس) = (–3) 2 D(ایکس) = 9D(ایکس) = 9 . 3 = 27;

ب) D(4X + 3) = D(4ایکس) + D(3) = 16D(ایکس) + 0 = 16 . 3 = 48.

وظیفه 18.یک متغیر تصادفی مستقل داده می شود Yتعداد امتیازهایی است که با پرتاب یک قالب به دست می آید. قانون توزیع، انتظارات ریاضی، واریانس و انحراف معیار یک متغیر تصادفی را بیابید Y.

راه حل.جدول توزیع متغیر تصادفی Yبه نظر می رسد:

سپس م(Y) = 1 1/6 + 2 1/6 + 3 1/6+ 4 1/6+ 5 1/6+ 6 1/6 = 3.5;

D(Y) \u003d (1 - 3.5) 2 1/6 + (2 - 3.5) 2 / 6 + (3 - 3.5) 2 1/6 + (4 - 3.5) 2 / 6 + (5 - 3.5 -) 2 1/ 6 + (6 - 3.5) 2. 1/6 \u003d 2.917; σ (Y) =Ö 2,917 = 1,708.

وظیفه 14.در قرعه کشی نقدی، 1 برد 1،000،000 روبلی، 10 برد از هر 100،000 روبل بازی می شود. و 100 برد 1000 روبلی. با تعداد کل بلیط 10000. قانون توزیع برنده های تصادفی را بیابید ایکسبرای صاحب یک بلیط بخت آزمایی

راه حل. مقادیر ممکن برای ایکس: ایکس 1 = 0; ایکس 2 = 1000; ایکس 3 = 100000;

ایکس 4 \u003d 1000000. احتمالات آنها به ترتیب برابر است: آر 2 = 0,01; آر 3 = 0,001; آر 4 = 0,0001; آر 1 = 1 – 0,01 – 0,001 – 0,0001 = 0,9889.

بنابراین، قانون توزیع سود ایکساز طریق جدول زیر قابل ارائه است:

یک چند ضلعی توزیع بسازید.

راه حل. ما یک سیستم مختصات مستطیلی می سازیم و در امتداد محور آبسیسا مقادیر ممکن را رسم می کنیم. x iو در امتداد محور y - احتمالات مربوطه p i. بیایید امتیاز بسازیم م 1 (1;0,2), م 2 (3;0,1), م 3 (6؛ 0.4) و م 4 (8؛ 0.3). با اتصال این نقاط با پاره خط، چند ضلعی توزیع مورد نظر را بدست می آوریم.

§2. ویژگی های عددی متغیرهای تصادفی

یک متغیر تصادفی کاملاً با قانون توزیع مشخص می شود. توصیف متوسط ​​یک متغیر تصادفی را می توان با استفاده از ویژگی های عددی آن به دست آورد

2.1. ارزش مورد انتظار پراکندگی.

اجازه دهید یک متغیر تصادفی مقادیری با احتمالات را بگیرد.

تعریف. انتظار ریاضی از یک متغیر تصادفی گسسته، مجموع حاصل از تمام مقادیر ممکن آن و احتمالات مربوطه است:

.

ویژگی های انتظار ریاضی.

پراکندگی یک متغیر تصادفی در اطراف مقدار میانگین با واریانس و انحراف استاندارد مشخص می شود.

پراکندگی یک متغیر تصادفی، انتظار ریاضی انحراف مجذور یک متغیر تصادفی از انتظار ریاضی آن است:

برای محاسبات از فرمول زیر استفاده می شود

خواص پراکندگی

2. که در آن متغیرهای تصادفی مستقل متقابل هستند.

3. انحراف معیار .

وظیفه 16.انتظارات ریاضی یک متغیر تصادفی را پیدا کنید ز = X+ 2Y، اگر انتظارات ریاضی متغیرهای تصادفی مشخص باشد ایکسو Y: م(ایکس) = 5, م(Y) = 3.

راه حل. ما از ویژگی های انتظار ریاضی استفاده می کنیم. سپس دریافت می کنیم:

م(X+ 2Y)= م(ایکس) + م(2Y) = م(ایکس) + 2م(Y) = 5 + 2 . 3 = 11.

وظیفه 17.واریانس یک متغیر تصادفی ایکسبرابر 3. واریانس متغیرهای تصادفی را بیابید: الف) –3 ایکس؛ب) 4 ایکس + 3.

راه حل. بیایید خواص 3، 4 و 2 پراکندگی را اعمال کنیم. ما داریم:

آ) D(–3ایکس) = (–3) 2 D(ایکس) = 9D(ایکس) = 9 . 3 = 27;

ب) D(4X + 3) = D(4ایکس) + D(3) = 16D(ایکس) + 0 = 16 . 3 = 48.

وظیفه 18.یک متغیر تصادفی مستقل داده می شود Yتعداد امتیازهایی است که با پرتاب یک قالب به دست می آید. قانون توزیع، انتظارات ریاضی، واریانس و انحراف معیار یک متغیر تصادفی را بیابید Y.

راه حل.جدول توزیع متغیر تصادفی Yبه نظر می رسد:

سپس م(Y) = 1 1/6 + 2 1/6 + 3 1/6+ 4 1/6+ 5 1/6+ 6 1/6 = 3.5;

D(Y) \u003d (1 - 3.5) 2 1/6 + (2 - 3.5) 2 / 6 + (3 - 3.5) 2 1/6 + (4 - 3.5) 2 / 6 + (5 - 3.5 -) 2 1/ 6 + (6 - 3.5) 2. 1/6 \u003d 2.917; σ (Y) =Ö 2,917 = 1,708.