فرمول حجم هرم بر حسب زاویه سه وجهی. فرمول های حجم یک هرم مثلثی منظم

یکی از ساده‌ترین شکل‌های حجمی، هرم مثلثی شکل است، زیرا از کمترین تعداد چهره‌هایی تشکیل شده است که می‌توان از آنها یک شکل در فضا تشکیل داد. در این مقاله فرمول هایی را در نظر خواهیم گرفت که با آن می توانید حجم یک هرم منظم مثلثی را پیدا کنید.

هرم مثلثی

طبق تعریف کلی، هرم چند ضلعی است که تمام رئوس آن به نقطه ای متصل است که در صفحه این چند ضلعی قرار ندارد. اگر دومی یک مثلث باشد، کل شکل یک هرم مثلثی نامیده می شود.

هرم در نظر گرفته شده از یک قاعده (مثلث) و سه وجه جانبی (مثلث) تشکیل شده است. نقطه ای که سه وجه جانبی به هم متصل می شوند راس شکل نامیده می شود. عمودی که از این راس به قاعده افت می کند، ارتفاع هرم است. اگر نقطه تقاطع عمود بر قاعده با نقطه تقاطع وسط مثلث در قاعده منطبق باشد، آنگاه از یک هرم منظم صحبت می کنند. در غیر این صورت شیب دار خواهد بود.

همانطور که گفته شد، قاعده هرم مثلثی می تواند یک مثلث کلی باشد. با این حال، اگر متساوی الاضلاع باشد، و خود هرم مستقیم باشد، آنها در مورد شکل سه بعدی صحیح صحبت می کنند.

هر کدام دارای 4 وجه، 6 لبه و 4 رأس است. اگر طول تمام لبه ها برابر باشد، به چنین شکلی چهار وجهی می گویند.

نوع عمومی

قبل از نوشتن یک هرم مثلثی منتظم، بیانی برای این کمیت فیزیکی برای یک هرم از نوع عمومی ارائه می دهیم. این عبارت به نظر می رسد:

در اینجا S o مساحت پایه است، h ارتفاع شکل است. این برابری برای هر نوع قاعده چند ضلعی هرمی و همچنین مخروط معتبر خواهد بود. اگر در قاعده مثلثی وجود داشته باشد که طول ضلع آن a و ارتفاع h o پایین آمده باشد، فرمول حجم به صورت زیر نوشته می شود:

فرمول های حجم یک هرم مثلثی منظم

مثلثی یک مثلث متساوی الاضلاع در قاعده دارد. مشخص است که ارتفاع این مثلث با تساوی به طول ضلع آن مربوط می شود:

با جایگزینی این عبارت به فرمول حجم یک هرم مثلثی، که در پاراگراف قبل نوشته شده است، دریافت می کنیم:

V = 1/6*a*h o *h = √3/12*a 2 *h.

حجم هرم منظم با قاعده مثلثی تابعی از طول ضلع قاعده و ارتفاع شکل است.

از آنجایی که هر چند ضلعی منظم را می توان در دایره ای نوشت که شعاع آن به طور منحصر به فرد طول ضلع چند ضلعی را تعیین می کند، پس این فرمول را می توان بر حسب شعاع r متناظر نوشت:

این فرمول به راحتی از فرمول قبلی بدست می آید، با توجه به اینکه شعاع r دایره محدود شده در طول ضلع a مثلث با عبارت تعیین می شود:

وظیفه تعیین حجم چهار وجهی

اجازه دهید نحوه استفاده از فرمول های بالا را در حل مسائل هندسی خاص نشان دهیم.

مشخص است که طول یال چهار ضلعی 7 سانتی متر است حجم هرم-چهارضلعی مثلثی منظم را بیابید.

به یاد بیاورید که چهار وجهی یک هرم مثلثی منظم است که در آن همه پایه ها با یکدیگر برابر هستند. برای استفاده از فرمول حجم یک هرم مثلثی منظم، باید دو مقدار را محاسبه کنید:

• طول ضلع مثلث؛
• ارتفاع شکل

اولین مقدار از شرط مشکل مشخص می شود:

برای تعیین ارتفاع، شکل نشان داده شده در شکل را در نظر بگیرید.

مثلث علامت گذاری شده ABC یک مثلث قائم الزاویه است که زاویه ABC آن 90 درجه است. سمت AC هیپوتنوز است که طول آن a است. با استدلال هندسی ساده می توان نشان داد که ضلع BC طول دارد:

توجه داشته باشید که طول BC شعاع دایره محصور شده به دور مثلث است.

h \u003d AB \u003d √ (AC 2 - BC 2) \u003d √ (a 2 - a 2/3) \u003d a * √ (2/3).

اکنون می توانید h و a را به فرمول مربوطه برای حجم جایگزین کنید:

V = √3/12*a 2 *a*√(2/3) = √2/12*a 3 .

بنابراین، فرمول حجم یک چهار وجهی را به دست آورده ایم. مشاهده می شود که حجم فقط به طول دنده بستگی دارد. اگر مقدار شرط مسئله را به عبارت جایگزین کنیم، جواب می‌گیریم:

V \u003d √2 / 12 * 7 3 ≈ 40.42 سانتی متر 3.

اگر این مقدار را با حجم مکعبی که دارای لبه یکسان است مقایسه کنیم، به این نتیجه می‌رسیم که حجم یک چهار وجهی 8.5 برابر کمتر است. این نشان می دهد که چهار وجهی یک شکل فشرده است که در برخی از مواد طبیعی تحقق می یابد. به عنوان مثال، مولکول متان چهار وجهی است و هر اتم کربن در الماس به چهار اتم دیگر متصل می شود تا یک چهار وجهی تشکیل دهد.

مشکل با اهرام همتتیک

بیایید یک مسئله هندسی کنجکاو را حل کنیم. فرض کنید که یک هرم منظم مثلثی با مقداری V 1 وجود دارد. اندازه این رقم را چند برابر باید کاهش داد تا یک هموتز هرمی با حجمی سه برابر کوچکتر از حجم اصلی به دست آید؟

بیایید حل مسئله را با نوشتن فرمول برای هرم معمولی اصلی شروع کنیم:

V 1 \u003d √3 / 12 * a 1 2 * h 1.

حجم شکل مورد نیاز شرط مسئله را با ضرب پارامترهای آن در ضریب k بدست آوریم. ما داریم:

V 2 = √3/12*k 2 *a 1 2 *k*h 1 = k 3 *V 1 .

از آنجایی که نسبت حجم ارقام از شرط مشخص است، مقدار ضریب k را به دست می آوریم:

k \u003d ∛ (V 2 / V 1) \u003d ∛ (1/3) ≈ 0.693.

توجه داشته باشید که ما مقدار مشابهی از ضریب k را برای یک نوع دلخواه از هرم به دست می‌آوریم و نه فقط برای یک مثلثی معمولی.

تعریف. صورت کناری- این مثلثی است که در آن یک زاویه در بالای هرم قرار دارد و ضلع مقابل آن با ضلع قاعده (چند ضلعی) منطبق است.

تعریف. دنده های کناریاضلاع مشترک وجه های جانبی هستند. هرم به اندازه گوشه های یک چندضلعی لبه دارد.

تعریف. ارتفاع هرمعمودی است که از بالا به قاعده هرم افتاده است.

تعریف. آپوتم- این عمود بر وجه جانبی هرم است که از بالای هرم به سمت پایه پایین آمده است.

تعریف. بخش مورب- این قسمتی از هرم است که توسط صفحه ای که از بالای هرم و مورب قاعده عبور می کند.

تعریف. هرم درست- این هرمی است که قاعده آن یک چندضلعی منتظم است و ارتفاع آن تا مرکز قاعده پایین می آید.

حجم و سطح هرم

فرمول. حجم هرماز طریق مساحت و ارتفاع پایه:

خواص هرمی

اگر تمام لبه های جانبی با هم برابر باشند، می توان یک دایره را در اطراف قاعده هرم ترسیم کرد و مرکز پایه با مرکز دایره منطبق است. همچنین عمود رها شده از بالا از مرکز پایه (دایره) عبور می کند.

اگر همه دنده های جانبی با هم برابر باشند، آنگاه آنها در زوایای یکسان به صفحه پایه متمایل می شوند.

دنده های جانبی زمانی برابر هستند که با صفحه پایه زوایای مساوی تشکیل دهند یا اگر بتوان دایره ای را در اطراف قاعده هرم توصیف کرد.

اگر وجوه جانبی در یک زاویه به صفحه قاعده متمایل شوند، می توان دایره ای را در قاعده هرم حک کرد و بالای هرم به مرکز آن کشیده شود.

اگر وجه‌های جانبی در یک زاویه به صفحه پایه متمایل شوند، آنگاه آپوتم‌های وجه‌های جانبی برابر هستند.

ویژگی های یک هرم منظم

1. بالای هرم از تمام زوایای قاعده فاصله دارد.

2. تمام لبه های جانبی برابر هستند.

3. همه دنده های جانبی در زوایای یکسانی نسبت به پایه متمایل هستند.

4. آپوتم تمام وجوه جانبی برابر است.

5. مساحت تمام وجوه جانبی برابر است.

6. همه وجوه دارای زوایای دو وجهی (مسطح) یکسانی هستند.

7. یک کره را می توان در اطراف هرم توصیف کرد. مرکز کره توصیف شده نقطه تلاقی عمودهایی خواهد بود که از وسط لبه ها عبور می کنند.

8. یک کره را می توان در یک هرم حک کرد. مرکز کره محاط شده، نقطه تقاطع نیمسازها خواهد بود که از زاویه بین لبه و پایه سرچشمه می گیرد.

9. اگر مرکز کره محاطی با مرکز کره محصور منطبق باشد، مجموع زوایای مسطح در راس برابر است با π یا بالعکس، یک زاویه برابر است با π / n، که در آن n عدد است. زوایای قاعده هرم

ارتباط هرم با کره

زمانی می توان یک کره را در اطراف هرم توصیف کرد که در قاعده هرم یک چندوجهی قرار داشته باشد که دور آن دایره ای توصیف شود (شرط لازم و کافی). مرکز کره نقطه تلاقی صفحاتی خواهد بود که به طور عمود از نقاط میانی لبه های جانبی هرم عبور می کنند.

یک کره همیشه می تواند در اطراف هرم مثلثی یا منظم توصیف شود.

اگر صفحات نیمساز زوایای دو وجهی داخلی هرم در یک نقطه همدیگر را قطع کنند (شرط لازم و کافی) یک کره را می توان در یک هرم حک کرد. این نقطه مرکز کره خواهد بود.

اتصال هرم با مخروط

مخروط در صورتی محاط شده در هرم نامیده می شود که رئوس آنها منطبق باشند و قاعده مخروط در قاعده هرم حک شده باشد.

یک مخروط را می توان در یک هرم حک کرد اگر آپوتم های هرم برابر باشد.

مخروط به دور هرم احاطه شده است که رئوس آنها منطبق باشند و قاعده مخروط دور قاعده هرم احاطه شده باشد.

یک مخروط را می توان در اطراف هرم توصیف کرد اگر تمام لبه های کناری هرم با یکدیگر برابر باشند.

اتصال یک هرم با یک استوانه

به هرم گفته می شود که در یک استوانه حک شده است اگر بالای هرم بر روی یک پایه استوانه باشد و قاعده هرم در پایه دیگر استوانه حک شده باشد.

اگر بتوان دایره ای را دور قاعده هرم محصور کرد، می توان یک استوانه را دور هرم محصور کرد.

تعریف. هرم بریده شده (منشور هرمی)- این یک چند وجهی است که بین قاعده هرم و صفحه مقطع موازی با قاعده قرار دارد. بنابراین هرم دارای یک پایه بزرگ و یک پایه کوچکتر است که شبیه به بزرگتر است. وجه های جانبی ذوزنقه ای هستند.

تعریف. هرم مثلثی (چهار ضلعی)- این هرمی است که در آن سه وجه و قاعده مثلث های دلخواه هستند.

یک چهار وجهی دارای چهار وجه و چهار رأس و شش یال است که در آن هر دو یال هیچ رئوس مشترکی ندارند اما با هم تماس ندارند.

هر رأس از سه وجه و یال تشکیل شده است که تشکیل می شوند زاویه سه وجهی.

قطعه ای که راس چهار ضلعی را به مرکز وجه مقابل متصل می کند نامیده می شود میانه چهار وجهی(GM).

دو میانیقطعه ای نامیده می شود که نقاط میانی لبه های مخالف را که با یکدیگر تماس ندارند (KL) را به هم وصل می کند.

همه دومیان ها و میانه های یک چهار وجهی در یک نقطه (S) قطع می شوند. در این حالت، دوسطح ها به نصف تقسیم می شوند و میانه ها به نسبت 3: 1 از بالا شروع می شوند.

تعریف. هرم مایلهرمی است که در آن یکی از لبه های آن با قاعده یک زاویه منفرد (β) تشکیل می دهد.

تعریف. هرم مستطیلیهرمی است که یکی از وجوه کناری آن عمود بر قاعده است.

تعریف. هرم زاویه دار حادهرمی است که در آن آپوتم بیش از نصف طول ضلع قاعده است.

تعریف. هرم ماتهرمی است که در آن آپوتم کمتر از نصف طول ضلع قاعده است.

تعریف. چهار وجهی منظمچهار وجهی که چهار وجه آن مثلث متساوی الاضلاع است. این یکی از پنج چند ضلعی منظم است. در یک چهار وجهی منتظم، تمام زوایای دو وجهی (بین وجهی) و زوایای سه وجهی (در یک راس) با هم برابرند.

تعریف. چهار وجهی مستطیلیچهار ضلعی نامیده می شود که بین سه یال در راس زاویه قائمه دارد (لبه ها عمود هستند). سه چهره تشکیل می شود زاویه سه وجهی مستطیلیو وجه ها مثلث قائم الزاویه هستند و قاعده یک مثلث دلخواه است. آپوتم هر صورت برابر است با نصف ضلع پایه ای که آپوتم روی آن می افتد.

تعریف. چهار وجهی ایزوهدرالچهار ضلعی به چهار وجهی گفته می شود که وجوه جانبی آن با یکدیگر برابر و قاعده آن مثلثی منتظم است. صورت های چنین چهار وجهی مثلث های متساوی الساقین هستند.

تعریف. چهار وجهی ارتوسنتریکچهار ضلعی نامیده می شود که در آن تمام ارتفاعات (عمود) که از بالا به طرف مقابل پایین می آیند در یک نقطه قطع می شوند.

تعریف. هرم ستارهچندوجهی که قاعده آن ستاره است نامیده می شود.

تعریف. دو هرمی- یک چندوجهی متشکل از دو هرم مختلف (اهرام را نیز می توان قطع کرد)، دارای یک پایه مشترک، و رئوس در طرفین مخالف صفحه پایه قرار دارند.

برای یافتن حجم هرم باید چندین فرمول را بدانید. بیایید آنها را در نظر بگیریم.

نحوه پیدا کردن حجم هرم - راه اول

حجم هرم را می توان با استفاده از ارتفاع و مساحت پایه آن پیدا کرد. V = 1/3*S*h. بنابراین، به عنوان مثال، اگر ارتفاع هرم 10 سانتی متر باشد و مساحت قاعده آن 25 سانتی متر مربع باشد، حجم آن برابر با V \u003d 1/3 * 25 * 10 \u003d 1 خواهد بود. /3 * 250 \u003d 83.3 سانتی متر 3

نحوه پیدا کردن حجم هرم - روش دوم

اگر یک چند ضلعی منظم در پایه هرم قرار داشته باشد، حجم آن را می توان با استفاده از فرمول زیر پیدا کرد: V \u003d na 2 h / 12 * tg (180 / n)، که در آن a ضلع چند ضلعی است که در آن قرار دارد. پایه و n تعداد اضلاع آن است. به عنوان مثال: قاعده یک شش ضلعی منتظم است، یعنی n = 6. از آنجایی که منظم است، همه اضلاع آن برابر هستند، یعنی همه a برابر هستند. فرض کنید a = 10 و h - 15. اعداد را در فرمول وارد می کنیم و یک پاسخ تقریبی می گیریم - 1299 cm 3

نحوه پیدا کردن حجم هرم - راه سوم

اگر یک مثلث متساوی الاضلاع در قاعده هرم قرار داشته باشد، حجم آن را می توان با فرمول زیر پیدا کرد: V = ha 2 /4√3، که در آن a ضلع مثلث متساوی الاضلاع است. به عنوان مثال: ارتفاع هرم 10 سانتی متر است، ضلع پایه 5 سانتی متر است. حجم برابر است با V \u003d 10 * 25 / 4 √ 3 \u003d 250 / 4 √ 3. معمولاً آنچه در مخرج محاسبه نمی شود و به همان شکل باقی می ماند. همچنین می توانید صورت و مخرج را در 4√3 ضرب کنید تا 1000√3/48 بدست آورید. با کاهش 125√ 3/6 سانتی متر 3 می گیریم.

نحوه پیدا کردن حجم هرم - راه چهارم

اگر مربعی در قاعده هرم قرار داشته باشد، حجم آن را می توان با فرمول زیر پیدا کرد: V = 1/3*h*a 2، که a اضلاع مربع هستند. به عنوان مثال: ارتفاع - 5 سانتی متر، ضلع مربع - 3 سانتی متر. V \u003d 1/3 * 5 * 9 \u003d 15 سانتی متر 3

نحوه پیدا کردن حجم هرم - راه پنجم

اگر هرم چهار وجهی است، یعنی تمام وجوه آن مثلث متساوی الاضلاع است، می توانید حجم هرم را با استفاده از فرمول زیر پیدا کنید: V = a. 3 √2/12، جایی که a لبه ای از چهار وجهی است. به عنوان مثال: لبه چهار وجهی \u003d 7. V \u003d 7 * 7 * 7√2 / 12 \u003d 343 سانتی متر 3

کلمه "هرم" به طور غیرارادی با غول های با شکوه در مصر مرتبط است و صلح فراعنه را صادقانه حفظ می کند. شاید به همین دلیل است که هرم را همه، حتی کودکان، بدون تردید می شناسند.

با این حال، بیایید سعی کنیم آن را یک تعریف هندسی ارائه دهیم. اجازه دهید چندین نقطه (A1، A2،...، An) را در هواپیما و یک نقطه دیگر (E) که به آن تعلق ندارد تصور کنیم. بنابراین، اگر نقطه E (بالا) به رئوس چند ضلعی تشکیل شده توسط نقاط A1، A2، ...، An (پایه) متصل شود، چند وجهی به دست می آید که به آن هرم می گویند. بدیهی است که چند ضلعی در قاعده هرم می تواند هر تعداد رئوس داشته باشد و بسته به تعداد آنها می توان هرم را مثلثی و چهار گوش، پنج ضلعی و ... نامید.

اگر از نزدیک به هرم نگاه کنید، مشخص می شود که چرا آن را نیز متفاوت تعریف کرده اند - به عنوان یک شکل هندسی با یک چند ضلعی در پایه، و مثلث هایی که توسط یک راس مشترک به عنوان وجه های جانبی متحد شده اند.

از آنجایی که هرم یک شکل فضایی است، پس چنین مشخصه کمی نیز دارد، زیرا از یک سوم مساوی شناخته شده حاصلضرب قاعده هرم و ارتفاع آن محاسبه می شود:

حجم هرم، هنگام استخراج فرمول، در ابتدا برای یک مثلثی محاسبه می شود، به عنوان مبنای نسبت ثابتی که این مقدار را به حجم یک منشور مثلثی با قاعده و ارتفاع یکسان مرتبط می کند، که، همانطور که معلوم می شود، محاسبه می شود. سه برابر بیشتر از این حجم است.

و از آنجایی که هر هرمی به مثلثی تقسیم می شود و حجم آن به ساختارهای انجام شده در اثبات بستگی ندارد، صحت فرمول حجمی فوق آشکار است.

در میان تمام اهرام، هرم‌های سمت راستی که پایه در آن قرار دارد، جدا ایستاده‌اند.

در مورد یک چند ضلعی نامنظم در پایه، برای محاسبه مساحت پایه، شما نیاز دارید:

• آن را به مثلث و مربع بشکنید؛

• مساحت هر یک از آنها را محاسبه کنید؛

• داده های دریافتی را اضافه کنید.

در مورد یک چند ضلعی منتظم در قاعده هرم، مساحت آن با استفاده از فرمول های آماده محاسبه می شود، بنابراین حجم هرم منظم بسیار ساده محاسبه می شود.

به عنوان مثال، برای محاسبه حجم هرم چهار گوش، اگر منظم باشد، طول ضلع یک چهار ضلعی منتظم (مربع) در قاعده را مجذور می کنیم و با ضرب در ارتفاع هرم، حاصل ضرب به دست آمده را بر تقسیم می کنیم. سه.

حجم هرم را می توان با استفاده از پارامترهای دیگر محاسبه کرد:

• به عنوان یک سوم حاصل ضرب شعاع توپ در هرم و مساحت کل سطح آن.

• به عنوان دو سوم حاصلضرب فاصله بین دو یال متقاطع به طور دلخواه گرفته شده و مساحت متوازی الاضلاع که نقاط میانی چهار یال باقی مانده را تشکیل می دهد.

حجم هرم نیز به سادگی در حالتی محاسبه می شود که ارتفاع آن با یکی از لبه های جانبی منطبق باشد، یعنی در مورد هرم مستطیلی.

وقتی صحبت از اهرام شد، نمی توان اهرام ناقصی که با بریدن هرم با صفحه موازی با پایه به دست می آید را نادیده گرفت. حجم آنها تقریباً برابر با اختلاف حجم کل هرم و بالای بریده شده است.

جلد اول هرم، اگرچه کاملاً به شکل امروزی آن نیست، اما برابر با 1/3 حجم منشور شناخته شده برای ما است، توسط دموکریتوس پیدا شد. ارشمیدس روش شمارش خود را «بدون اثبات» نامید، زیرا دموکریتوس به عنوان شکلی از صفحات بی‌نهایت نازک و مشابه به هرم نزدیک شد.

جبر برداری همچنین با استفاده از مختصات رئوس هرم، به سؤال یافتن حجم هرم پرداخت. هرم ساخته شده بر روی سه گانه بردارهای a,b,c برابر با یک ششم مدول حاصلضرب مخلوط بردارهای داده شده است.

در اینجا به تحلیل مثال های مرتبط با مفهوم حجم می پردازیم. برای حل چنین کارهایی باید فرمول حجم هرم را بدانید:

اس

h - ارتفاع هرم

پایه می تواند هر چند ضلعی باشد. اما در اکثر وظایف در امتحان، شرط، به عنوان یک قاعده، در مورد هرم های صحیح است. یکی از خواص آن را یادآوری کنم:

بالای یک هرم منظم به مرکز قاعده آن کشیده شده است

به برآمدگی اهرام مثلثی، چهار گوش و شش ضلعی منظم نگاه کنید (TOP VIEW):

می توانید در وبلاگی که به وظایف مربوط به یافتن حجم هرم پرداخته شده است.وظایف را در نظر بگیرید:

27087. حجم یک هرم مثلثی منتظم را که اضلاع قاعده آن برابر با 1 و ارتفاع آن برابر با ریشه سه است، بیابید.

اس- مساحت قاعده هرم

ساعت- ارتفاع هرم

مساحت پایه هرم را پیدا کنید، این یک مثلث منظم است. ما از فرمول استفاده می کنیم - مساحت یک مثلث برابر با نصف حاصلضرب اضلاع مجاور توسط سینوس زاویه بین آنها است، به این معنی:

پاسخ: 0.25

27088. ارتفاع یک هرم مثلثی منتظم با اضلاع قاعده 2 و حجم آن برابر با ریشه سه را بیابید.

مفاهیمی مانند ارتفاع هرم و ویژگی های پایه آن با فرمول حجمی مرتبط هستند:

اس- مساحت قاعده هرم

ساعت- ارتفاع هرم

ما خود حجم را می دانیم، می توانیم مساحت پایه را پیدا کنیم، زیرا اضلاع مثلث، که پایه است، مشخص است. با دانستن این مقادیر به راحتی می توانیم ارتفاع را پیدا کنیم.

برای پیدا کردن مساحت پایه، از فرمول استفاده می کنیم - مساحت یک مثلث برابر با نصف حاصلضرب اضلاع مجاور توسط سینوس زاویه بین آنها است، به این معنی:

بنابراین، با جایگزین کردن این مقادیر در فرمول حجم، می توانیم ارتفاع هرم را محاسبه کنیم:

ارتفاع سه است.

پاسخ: 3

27109. در هرم چهار گوش منتظم، ارتفاع 6، لبه کناری 10 است. حجم آن را بیابید.

حجم هرم با فرمول محاسبه می شود:

اس- مساحت قاعده هرم

ساعت- ارتفاع هرم

ما ارتفاع را می دانیم. شما باید مساحت پایه را پیدا کنید. اجازه دهید به شما یادآوری کنم که بالای یک هرم منظم به مرکز پایه آن کشیده شده است. قاعده هرم چهار گوش منظم مربع است. ما می توانیم مورب آن را پیدا کنیم. یک مثلث قائم الزاویه را در نظر بگیرید (که با رنگ آبی مشخص شده است):

پاره ای که مرکز مربع را به نقطه B متصل می کند، یک پایه است که برابر با نصف قطر مربع است. ما می توانیم این پا را با استفاده از قضیه فیثاغورث محاسبه کنیم:

بنابراین BD = 16. مساحت مربع را با استفاده از فرمول مساحت چهار ضلعی محاسبه کنید:

در نتیجه:

بنابراین، حجم هرم برابر است با:

جواب: 256

27178. در یک هرم چهار گوش منتظم ارتفاع 12 و حجم 200 است. لبه کناری این هرم را پیدا کنید.

ارتفاع هرم و حجم آن مشخص است، بنابراین می توانیم مساحت مربع را که قاعده است، پیدا کنیم. با دانستن مساحت یک مربع، می توانیم قطر آن را پیدا کنیم. علاوه بر این، با در نظر گرفتن یک مثلث قائم الزاویه، با استفاده از قضیه فیثاغورث، لبه جانبی را محاسبه می کنیم:

مساحت مربع (پایه هرم) را پیدا کنید:

قطر مربع را محاسبه کنید. از آنجایی که مساحت آن 50 است، ضلع برابر با ریشه پنجاه خواهد بود و طبق قضیه فیثاغورث:

نقطه O، BD مورب را به نصف تقسیم می کند، بنابراین ساق مثلث قائم الزاویه OB = 5.

بنابراین، می توانیم محاسبه کنیم که لبه کناری هرم برابر است با:

جواب: 13

245353. حجم هرم نشان داده شده در شکل را بیابید. قاعده آن چند ضلعی است که اضلاع مجاور آن عمود هستند و یکی از یال های کناری آن عمود بر صفحه قاعده و برابر با 3 است.

همانطور که بارها گفته شد - حجم هرم با فرمول محاسبه می شود:

اس- مساحت قاعده هرم

ساعت- ارتفاع هرم

لبه کناری عمود بر قاعده سه است، به این معنی که ارتفاع هرم سه است. قاعده هرم چند ضلعی است که مساحت آن عبارت است از:

به این ترتیب:

جواب: 27

27086. قاعده هرم مستطیلی است با اضلاع 3 و 4 حجم آن 16 است ارتفاع این هرم را بیابید.