مثال مورد بحث در بالا به ما امکان می دهد نتیجه بگیریم که مقادیر مورد استفاده برای تجزیه و تحلیل به دلایل تصادفی بستگی دارد، بنابراین چنین متغیرهایی نامیده می شوند. تصادفی. در بیشتر موارد، آنها در نتیجه مشاهدات یا آزمایش‌هایی به وجود می‌آیند که در ردیف اول جدول‌بندی شده‌اند که مقادیر مختلف مشاهده‌شده متغیر تصادفی X و در ردیف دوم فرکانس‌های مربوطه ثبت می‌شود. به همین دلیل این جدول نامیده می شود توزیع تجربی متغیر تصادفی Xیا سری تغییرات. برای سری تغییرات، میانگین، پراکندگی و انحراف استاندارد را پیدا کردیم.

مداوم، اگر مقادیر آن یک بازه عددی معین را به طور کامل پر کند.

متغیر تصادفی نامیده می شود گسسته، اگر تمام مقادیر آن را بتوان شماره گذاری کرد (به ویژه اگر تعداد محدودی از مقادیر را بگیرد).

دو نکته قابل توجه است خواص مشخصهجداول توزیع متغیر تصادفی گسسته:

همه اعداد در ردیف دوم جدول مثبت هستند.

مجموع آنها برابر با یک است.

مطابق با تحقیق انجام شده، می توان فرض کرد که با افزایش تعداد مشاهدات، توزیع تجربی به توزیع نظری که به صورت جدولی ارائه شده است، نزدیک می شود.

یک ویژگی مهم یک متغیر تصادفی گسسته، انتظار ریاضی آن است.

انتظارات ریاضیمتغیر تصادفی گسسته X، با گرفتن مقادیر،، ...، .با احتمالات،، ...، عدد نامیده می شود:

مقدار مورد انتظار نیز میانگین نامیده می شود.

از دیگر ویژگی های مهم یک متغیر تصادفی می توان به واریانس (8) و انحراف معیار (9) اشاره کرد.

جایی که: انتظار ریاضی از مقدار ایکس.

. (9)

نمایش گرافیکی اطلاعات بسیار بصری تر از جدولی است، بنابراین از توانایی صفحات گسترده MS Excel برای ارائه داده های موجود در آنها در قالب نمودارها، نمودارها و هیستوگرام های مختلف اغلب استفاده می شود. بنابراین، علاوه بر جدول، توزیع یک متغیر تصادفی نیز با استفاده از آن به تصویر کشیده شده است چند ضلعی توزیع. برای این کار، نقاطی با مختصات , , ... بر روی صفحه مختصات ساخته شده و توسط قطعات مستقیم به هم متصل می شوند.

برای به دست آوردن یک مستطیل توزیع با استفاده از MS Excel، باید:

1. برگه "Insert" ® "Area Chart" را در نوار ابزار انتخاب کنید.

2. ناحیه نموداری را که در برگه MS Excel ظاهر می شود با دکمه سمت راست ماوس فعال کنید و از دستور "Select data" در منوی زمینه استفاده کنید.

برنج. 6. انتخاب منبع داده

ابتدا بیایید محدوده داده را برای نمودار تعریف کنیم. برای انجام این کار، محدوده C6:I6 را در ناحیه مناسب کادر محاوره ای "انتخاب منبع داده" وارد کنید (مقادیر فرکانس به نام Series1، شکل 7 را نشان می دهد).

برنج. 7. اضافه کردن ردیف 1

برای تغییر نام یک سری، باید دکمه تغییر ناحیه "Elements Legend (series)" را انتخاب کنید (شکل 7 را ببینید) و آن را نامگذاری کنید.

برای افزودن برچسب محور X، باید از دکمه «ویرایش» در قسمت «برچسب‌های محور افقی (دسته‌ها)» استفاده کنید.
(شکل 8) و مقادیر سری را نشان دهید (محدوده $C$6:$I$6).

برنج. 8. نمای نهایی کادر محاوره ای "انتخاب منبع داده".

انتخاب یک دکمه در کادر محاوره ای Select Data Source
(شکل 8) به ما امکان می دهد چند ضلعی توزیع مورد نیاز یک متغیر تصادفی را بدست آوریم (شکل 9).

برنج. 9. چند ضلعی توزیع یک متغیر تصادفی

بیایید در طراحی اطلاعات گرافیکی حاصل تغییراتی ایجاد کنیم:

بیایید یک برچسب برای محور X اضافه کنیم.

بیایید برچسب محور Y را ویرایش کنیم.

- بیایید یک عنوان برای نمودار "چند ضلعی توزیع" اضافه کنیم.

برای انجام این کار، برگه "کار با نمودارها" را در ناحیه نوار ابزار، تب "Layout" و در نوار ابزار ظاهر شده، دکمه های مربوطه را انتخاب کنید: "عنوان نمودار"، "عناوین محورها" (شکل 10).

برنج. 10. نمای نهایی چند ضلعی توزیع متغیر تصادفی

متغیر تصادفیکمیتی است که در نتیجه آزمایش، می تواند مقداری را به خود بگیرد که از قبل مشخص نیست. متغیرهای تصادفی وجود دارد ناپیوسته (گسسته)و مداومنوع مقادیر احتمالی مقادیر ناپیوسته را می توان از قبل فهرست کرد. مقادیر ممکن مقادیر پیوسته را نمی توان از قبل فهرست کرد و به طور مداوم یک شکاف مشخص را پر می کند.

مثالی از متغیرهای تصادفی گسسته:

1) تعداد دفعات ظاهر شدن نشان در سه پرتاب سکه. (مقادیر ممکن 0;1;2;3)

2) فراوانی ظاهر شدن نشان در همان آزمایش. (مقادیر ممکن)

3) تعداد عناصر خراب در یک دستگاه متشکل از پنج عنصر. (مقادیر ممکن 0;1;2;3;4;5)

نمونه هایی از متغیرهای تصادفی پیوسته:

1) آبسیسا (مرتب) نقطه برخورد هنگام شلیک.

2) فاصله از نقطه برخورد تا مرکز هدف.

3) Uptime دستگاه (رادیو تیوب).

متغیرهای تصادفی با حروف بزرگ و مقادیر احتمالی آنها با حروف کوچک مربوطه نشان داده می شوند. به عنوان مثال، X تعداد ضربه با سه ضربه است. مقادیر ممکن: X 1 = 0، X 2 = 1، X 3 = 2، X 4 = 3.

بیایید یک متغیر تصادفی ناپیوسته X با مقادیر ممکن X 1، X 2، ...، X n در نظر بگیریم. هر یک از این مقادیر ممکن است، اما قطعی نیست، و مقدار X می تواند هر یک از آنها را با احتمالی بگیرد. در نتیجه آزمایش، مقدار X یکی از این مقادیر را خواهد گرفت، یعنی یکی از گروه کامل رویدادهای ناسازگار رخ خواهد داد.

اجازه دهید احتمالات این رویدادها را با حروف p با شاخص های مربوطه نشان دهیم:

از آنجایی که رویدادهای ناسازگار یک گروه کامل را تشکیل می دهند، پس

یعنی مجموع احتمال همه مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی برابر با 1 است. این احتمال کل به نوعی بین مقادیر فردی توزیع می شود. اگر این توزیع را تعریف کنیم، یک متغیر تصادفی به طور کامل از دیدگاه احتمالی توصیف می شود، یعنی دقیقاً مشخص می کنیم که هر یک از رویدادها دارای چه احتمالی هستند. (این به اصطلاح قانون توزیع متغیرهای تصادفی را ایجاد می کند.)

قانون توزیع یک متغیر تصادفیهر رابطه ای است که بین مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی و احتمال مربوطه ارتباط برقرار می کند. (در مورد یک متغیر تصادفی خواهیم گفت که تابع قانون توزیع معین است)

ساده ترین شکل تعیین قانون توزیع یک متغیر تصادفی، جدولی است که مقادیر ممکن متغیر تصادفی و احتمالات مربوطه را فهرست می کند.

میز 1.

متغیرهای تصادفی. چند ضلعی توزیع

متغیرهای تصادفی: گسسته و پیوسته.

هنگام انجام یک آزمایش تصادفی، فضایی از رویدادهای ابتدایی شکل می گیرد - نتایج احتمالی این آزمایش. اعتقاد بر این است که در این فضای رویدادهای ابتدایی وجود دارد مقدار تصادفی X، اگر قانون (قاعده ای) داده شود که طبق آن هر رویداد ابتدایی با یک عدد مرتبط باشد. بنابراین، متغیر تصادفی X را می توان به عنوان یک تابع تعریف شده بر روی فضای رویدادهای ابتدایی در نظر گرفت.

■ متغیر تصادفی- کمیتی که در طول هر آزمایش، بسته به دلایل تصادفی که نمی توان از قبل در نظر گرفت، یک یا مقدار عددی دیگر را می گیرد (از قبل مشخص نیست کدام یک). متغیرهای تصادفی با حروف بزرگ الفبای لاتین و مقادیر احتمالی یک متغیر تصادفی با حروف کوچک نشان داده می شوند. بنابراین، هنگام پرتاب یک قالب، یک رویداد مرتبط با عدد x رخ می دهد، که در آن x تعداد نقاط چرخانده شده است. تعداد امتیازها یک متغیر تصادفی است و اعداد 1، 2، 3، 4، 5، 6 مقادیر احتمالی این مقدار هستند. مسافتی که پرتابه هنگام شلیک از یک تفنگ طی می کند نیز یک متغیر تصادفی است (بسته به نصب دید، قدرت و جهت باد، دما و سایر عوامل) و مقادیر احتمالی این مقدار متعلق است. به یک فاصله معین (الف؛ ب).

■ متغیر تصادفی گسسته- یک متغیر تصادفی که مقادیر ممکن مجزا و جدا شده را با احتمالات معین به خود می گیرد. تعداد مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی گسسته می تواند متناهی یا بی نهایت باشد.

■ متغیر تصادفی پیوسته- یک متغیر تصادفی که می تواند تمام مقادیر را از یک بازه محدود یا نامتناهی بگیرد. تعداد مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی پیوسته بی نهایت است.

به عنوان مثال، تعداد نقاط پرتاب شده هنگام پرتاب تاس، امتیاز یک آزمون متغیرهای تصادفی گسسته هستند. مسافتی که پرتابه هنگام شلیک از تفنگ پرواز می کند، خطای اندازه گیری نشانگر زمان تسلط بر مطالب آموزشی، قد و وزن فرد متغیرهای تصادفی پیوسته هستند.

قانون توزیع یک متغیر تصادفی- مطابقت بین مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی و احتمالات آنها، به عنوان مثال. هر مقدار ممکن x i با احتمال p i مرتبط است که با آن متغیر تصادفی می تواند این مقدار را بگیرد. قانون توزیع یک متغیر تصادفی را می توان به صورت جدولی (به صورت جدول)، تحلیلی (به صورت فرمول) و گرافیکی مشخص کرد.

اجازه دهید یک متغیر تصادفی گسسته X مقادیر x 1 , x 2 , …, x n را به ترتیب با احتمالات p 1 , p 2 , …, p n بگیرد. P(X=x 1) = p 1، P(X=x 2) = p 2، …، P(X=x n) = p n. هنگام تعیین قانون توزیع این کمیت در جدول، سطر اول جدول حاوی مقادیر ممکن x 1، x 2، ...، x n و سطر دوم احتمالات آنها را در بر می گیرد.

ایکس	x 1	x 2	…	x n
پ	ص 1	p2	…	p n

در نتیجه آزمون، یک متغیر تصادفی گسسته X یک و تنها یکی از مقادیر ممکن را می گیرد، بنابراین رویدادهای X=x 1، X=x 2، ...، X=x n یک گروه کامل از ناسازگارهای زوجی را تشکیل می دهند. رویدادها، و بنابراین، مجموع احتمالات این رویدادها برابر با یک است، یعنی. p 1 + p 2 +… + p n = 1.

قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته. چند ضلعی توزیع (چند ضلعی).

همانطور که می دانید متغیر تصادفی متغیری است که بسته به مورد می تواند مقادیر خاصی را به خود اختصاص دهد. متغیرهای تصادفی با حروف بزرگ الفبای لاتین (X، Y، Z) و مقادیر آنها با حروف کوچک مربوطه (x، y، z) نشان داده می شوند. متغیرهای تصادفی به دو دسته ناپیوسته (گسسته) و پیوسته تقسیم می شوند.

متغیر تصادفی گسسته یک متغیر تصادفی است که فقط مجموعه ای محدود یا نامتناهی (قابل شمارش) از مقادیر با احتمالات غیر صفر معینی را می گیرد.

قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسستهتابعی است که مقادیر یک متغیر تصادفی را با احتمالات مربوط به آنها مرتبط می کند. قانون توزیع را می توان به یکی از روش های زیر مشخص کرد.

1. قانون توزیع را می توان با جدول ارائه کرد:

که در آن λ> 0، k = 0، 1، 2، ….

ج) با استفاده از تابع توزیع F(x)، که برای هر مقدار x احتمال اینکه متغیر تصادفی X مقداری کمتر از x بگیرد، تعیین می‌کند. F(x) = P(X< x).

ویژگی های تابع F(x)

3. قانون توزیع را می توان به صورت گرافیکی مشخص کرد - توسط یک چند ضلعی توزیع (چند ضلعی) (به کار 3 مراجعه کنید).

توجه داشته باشید که برای رفع برخی مشکلات نیازی به دانستن قانون توزیع نیست. در برخی موارد، دانستن یک یا چند عدد که مهمترین ویژگی های قانون توزیع را منعکس می کند، کافی است. این می تواند عددی باشد که معنای "مقدار متوسط" یک متغیر تصادفی را داشته باشد، یا عددی که میانگین اندازه انحراف یک متغیر تصادفی از مقدار میانگین آن را نشان می دهد. اعدادی از این نوع را مشخصه های عددی یک متغیر تصادفی می نامند.

ویژگی های عددی پایه یک متغیر تصادفی گسسته:

انتظارات ریاضی (مقدار متوسط) از یک متغیر تصادفی گسسته M(X)=Σ x i p i .
برای توزیع دو جمله ای M(X)=np، برای توزیع پواسون M(X)=λ
پراکندگی یک متغیر تصادفی گسسته D(X)= M2 یا D(X) = M(X2)-2. تفاوت X–M(X) را انحراف یک متغیر تصادفی از انتظارات ریاضی آن می گویند.
برای توزیع دو جمله ای D(X)=npq، برای توزیع پواسون D(X)=λ
میانگین انحراف مربع (انحراف استاندارد) σ(X)=√D(X).

· برای وضوح ارائه یک سری تغییرات، تصاویر گرافیکی آن از اهمیت بالایی برخوردار است. از نظر گرافیکی، یک سری تغییرات را می توان به صورت چند ضلعی، هیستوگرام و انباشته به تصویر کشید.

· چند ضلعی توزیع (به معنای واقعی کلمه یک چند ضلعی توزیع) یک خط شکسته نامیده می شود که در یک سیستم مختصات مستطیل شکل ساخته شده است. مقدار صفت بر روی ابسیسا، فرکانس های مربوطه (یا فرکانس های نسبی) - بر روی مختصات رسم می شود. نقاط (یا) توسط قطعات خط مستقیم به هم متصل می شوند و یک چندضلعی توزیع به دست می آید. اغلب، چند ضلعی ها برای نشان دادن سری تغییرات گسسته استفاده می شوند، اما می توان از آنها برای سری های بازه ای نیز استفاده کرد. در این حالت، نقاط مربوط به نقاط میانی این فواصل بر روی محور آبسیسا رسم می شود.

X i	X 1	X 2	…	Xn
P i	P 1	P2	…	Pn

این جدول نامیده می شود نزدیک توزیعمتغیرهای تصادفی.

برای دادن ظاهر بصری به سری توزیع، آنها به نمایش گرافیکی آن متوسل می شوند: مقادیر احتمالی متغیر تصادفی در امتداد محور آبسیسا ترسیم می شود و احتمالات این مقادیر در امتداد محور ارتین رسم می شود. (برای وضوح، نقاط به دست آمده توسط بخش های خط مستقیم به هم متصل می شوند.)

شکل 1 - چند ضلعی توزیع

این رقم نامیده می شود چند ضلعی توزیع. چند ضلعی توزیع، مانند سری توزیع، به طور کامل متغیر تصادفی را مشخص می کند. یکی از اشکال قانون توزیع است.

مثال:

یک آزمایش انجام می شود که در آن رویداد A ممکن است ظاهر شود یا نباشد. احتمال رویداد A = 0.3. ما یک متغیر تصادفی X را در نظر می گیریم - تعداد وقوع رویداد A در یک آزمایش معین. لازم است یک سری و چند ضلعی از توزیع مقدار X ساخته شود.

جدول 2.

X i
P i	0,7	0,3

شکل 2 - تابع توزیع

تابع توزیعیک مشخصه جهانی یک متغیر تصادفی است. برای همه متغیرهای تصادفی وجود دارد: هم ناپیوسته و هم غیر پیوسته. تابع توزیع به طور کامل یک متغیر تصادفی را از دیدگاه احتمالی مشخص می کند، یعنی یکی از اشکال قانون توزیع است.

برای توصیف کمی این توزیع احتمال، استفاده از احتمال رویداد X=x، بلکه از احتمال رویداد X راحت است.

تابع توزیع F(x) گاهی اوقات تابع توزیع تجمعی یا قانون توزیع تجمعی نیز نامیده می شود.

ویژگی های تابع توزیع یک متغیر تصادفی

1. تابع توزیع F(x) یک تابع غیر نزولی آرگومان آن است، یعنی برای ;

2. در منهای بی نهایت:

3. روی پلاس بی نهایت:

شکل 3 - نمودار تابع توزیع

نمودار تابع توزیعبه طور کلی، یک نمودار از یک تابع بدون کاهش است که مقادیر آن از 0 شروع می شود و به 1 می رسد.

با دانستن سری توزیع یک متغیر تصادفی، می توان تابع توزیع متغیر تصادفی را ساخت.

مثال:

برای شرایط مثال قبلی، تابع توزیع متغیر تصادفی را بسازید.

بیایید تابع توزیع X را بسازیم:

شکل 4 - تابع توزیع X

تابع توزیعاز هر متغیر تصادفی گسسته ناپیوسته، همیشه یک تابع گام ناپیوسته وجود دارد که جهش های آن در نقاط مربوط به مقادیر ممکن متغیر تصادفی رخ می دهد و برابر با احتمالات این مقادیر است. مجموع تمام پرش های تابع توزیع برابر با 1 است.

با افزایش تعداد مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی و کاهش فواصل بین آنها، تعداد پرش ها بزرگتر می شود و خود پرش ها کوچکتر می شوند:

شکل 5

منحنی پلکانی صاف تر می شود:

شکل 6

متغیر تصادفی به تدریج به یک مقدار پیوسته و تابع توزیع آن به یک تابع پیوسته نزدیک می شود. همچنین متغیرهای تصادفی وجود دارد که مقادیر ممکن آنها به طور مداوم یک بازه مشخص را پر می کند، اما تابع توزیع در همه جا پیوسته نیست. و در نقاط خاصی می شکند. چنین متغیرهای تصادفی مختلط نامیده می شوند.

شکل 7

مسئله 14.در قرعه کشی نقدی، 1 برد 1،000،000 روبل، 10 برد از 100،000 روبل بازی می شود. و 100 برد از هر 1000 روبل. با تعداد کل بلیط های 10000. قانون توزیع برنده های تصادفی را بیابید ایکسبرای صاحب یک بلیط بخت آزمایی

راه حل. مقادیر ممکن برای ایکس: ایکس 1 = 0; ایکس 2 = 1000; ایکس 3 = 100000;

ایکس 4 = 1000000. احتمالات آنها به ترتیب برابر است: آر 2 = 0,01; آر 3 = 0,001; آر 4 = 0,0001; آر 1 = 1 – 0,01 – 0,001 – 0,0001 = 0,9889.

بنابراین، قانون توزیع برد ایکساز طریق جدول زیر قابل ارائه است:

مسئله 15. متغیر تصادفی گسسته ایکستوسط قانون توزیع آمده است:

یک چند ضلعی توزیع بسازید.

راه حل. بیایید یک سیستم مختصات مستطیلی بسازیم و مقادیر ممکن را در امتداد محور آبسیسا رسم خواهیم کرد. x iو در امتداد محور ترتیب - احتمالات مربوطه p i. بیایید نقاط را رسم کنیم م 1 (1;0,2), م 2 (3;0,1), م 3 (6; 0.4) و م 4 (8; 0.3). با اتصال این نقاط با پاره های خط مستقیم، چندضلعی توزیع مورد نظر را به دست می آوریم.

§2. ویژگی های عددی متغیرهای تصادفی

یک متغیر تصادفی کاملاً با قانون توزیع مشخص می شود. با استفاده از مشخصه های عددی یک متغیر تصادفی می توان توصیف متوسطی از آن به دست آورد

2.1. ارزش مورد انتظار پراکندگی.

اجازه دهید یک متغیر تصادفی مقادیری را با احتمالات متناسب با آن بگیرد.

تعریف. انتظار ریاضی از یک متغیر تصادفی گسسته، مجموع حاصل از تمام مقادیر ممکن آن و احتمالات مربوطه است:

ویژگی های انتظار ریاضی.

پراکندگی یک متغیر تصادفی حول مقدار میانگین با پراکندگی و انحراف معیار مشخص می شود.

واریانس یک متغیر تصادفی، انتظار ریاضی انحراف مجذور یک متغیر تصادفی از انتظار ریاضی آن است:

برای محاسبات از فرمول زیر استفاده می شود

خواص پراکندگی.

2. که در آن متغیرهای تصادفی مستقل متقابل هستند.

3. انحراف معیار.

مسئله 16.انتظارات ریاضی یک متغیر تصادفی را پیدا کنید ز = X+ 2Y، اگر انتظارات ریاضی متغیرهای تصادفی مشخص باشد ایکسو Y: م(ایکس) = 5, م(Y) = 3.

راه حل. ما از ویژگی های انتظار ریاضی استفاده می کنیم. سپس دریافت می کنیم:

م(X+ 2Y)= م(ایکس) + م(2Y) = م(ایکس) + 2م(Y) = 5 + 2 . 3 = 11.

مسئله 17.واریانس یک متغیر تصادفی ایکسبرابر 3 است. واریانس متغیرهای تصادفی را بیابید: الف) –3 ایکس؛ب) 4 ایکس + 3.

راه حل. بیایید خواص 3، 4 و 2 پراکندگی را اعمال کنیم. ما داریم:

آ) D(–3ایکس) = (–3) 2 D(ایکس) = 9D(ایکس) = 9 . 3 = 27;

ب) D(4X+ 3) = D(4ایکس) + D(3) = 16D(ایکس) + 0 = 16 . 3 = 48.

مسئله 18.یک متغیر تصادفی مستقل داده می شود Y- تعداد امتیازهایی که هنگام پرتاب قالب به دست می آید. قانون توزیع، انتظارات ریاضی، پراکندگی و انحراف معیار یک متغیر تصادفی را بیابید Y.

راه حل.جدول توزیع متغیر تصادفی Yدارای فرم:

سپس م(Y) = 1 1/6 + 2 1/6 + 3 1/6+ 4 1/6+ 5 1/6+ 6 1/6 = 3.5;

D(Y) = (1 - 3.5) 2 1/6 + (2 - 3.5) 2 / 6 + (3 - 3.5) 2 1/6 + (4 - 3.5) 2 / 6 + (5 - -3.5) 2 1/6 + (6 – 3.5) 2. 1/6 = 2.917; σ (Y) =Ö 2,917 = 1,708.