تقارن به عنوان معیار زیبایی ظاهری. عدم تقارن صورت: علل اختلالات پاتولوژیک و روش های اصلاح آنها

)
تاریخ: 2017-10-17 بازدیدها: 18 963 مقطع تحصیلی: 5.0

هدف از آموزش:عدم تقارن صورت را در 3 نقطه (ابرو، چشم، لب) اصلاح کنید.

صورت یک فرد، درست مانند بدن، متقارن نیست، و این تعجب آور نیست.

با این حال، مواردی وجود دارد که عدم تقارن صورت شدید است و باعث ناراحتی روحی شما می شود. اجازه دهید فوراً رزرو کنم که همه انواع عدم تقارن را نمی توان با تمرینات اصلاح کرد.

عدم تقارن را نمی توان با تمرینات اصلاح کرد اگر:

• ناشی از ناهنجاری های استخوانی است.
• ناهنجاری های پاتولوژیک؛
• نوریت بسیار "قدیمی" عصب صورت؛
• در برخی موارد، عواقب تزریق بوتکس به اصطلاح عوارض جانبی است.

دلایل عدم تقارن

همچنین عدم تقارن صورت تا حد زیادی به وضعیت بدن شما بستگی دارد. درباره رابطه صورت و بدن

به طور خلاصه، با اسکولیوز، لوردوز، انحرافات لگن و سایر تغییرات در سیستم اسکلتی عضلانی، عدم تقارن رخ می دهد و اصلاح آن باید از پاشنه پا شروع شود!

اما عدم تقارن می تواند پیامد حالت های بیش از حد چهره، حالات چهره و عادات رفتاری باشد. همه اینها وقتی مشخص می شود که مثلاً به چهره خود در ویدیو نگاه کنید.

لبخند بزنید، صحبت کنید، فقط یک طرف آن را بجوید یا مدام یکی از ابروهایتان را بالا بیاورید. وجود حافظه عضلانی را به خاطر دارید؟ و او شما را به یاد می آورد و ابروی فعال خود را همیشه به سمت بالا می کشد و یک چشم را کوچکتر نشان می دهد.

چگونه عدم تقارن را اندازه گیری کنیم؟

چگونه تقارن صورت را بررسی کنیم؟ نیاز به عکس! موهایتان را از صورتتان دور کنید و بخواهید از شما عکس بگیرد. عکس مانند یک پاسپورت است: ما لبخند نمی زنیم، سعی نمی کنیم در عکس عالی به نظر برسیم.

یک خط کش می گیریم و یک خط افقی در امتداد چشم ها (مردمک ها)، ابروها و لب ها می کشیم. از چشم ها شروع کنید. از این گذشته، سطح روحی درونی ما (سطح) فقط در ناحیه چشم به سمت افق متمایل می شود تا بتوانید نرم راه بروید و زمین نخورید.

حالا بیایید به 3 خط حاصل نگاه کنیم. شاید یک ابرو بالاتر و دیگری پایین تر باشد، ممکن است گوشه های لب در یک خط نباشند.

به یاد داشته باشید که مقادیر قابل قبولی برای عدم تقارن وجود دارد و این کاملا طبیعی است و نیازی به تنظیم ندارد.

در جایی که انحرافات از افق وجود دارد، باید با عضلات کار کنید و برای برخی، اصلاح کلیشه های رفتاری کافی خواهد بود و همه چیز در صورت قرار می گیرد.

تمرینات صورت برای عدم تقارن

بیایید به تمرینات بپردازیم، به هر حال، آنها را می توان با هر یک از مجموعه ها ترکیب کرد: , . فقط آنها را به برنامه آموزشی خود اضافه کنید. به عنوان مثال، در حین انجام دادن، سپس تمریناتی را برای اصلاح عدم تقارن همان ناحیه انجام دهید.

در مثال من گزینه اصلاح عدم تقارن یک طرفه صورت را در نظر دارم، وقتی قسمتی از صورت که در پایین تر از نیمه آن قرار دارد بدتر کار می کند، کمتر احساس می کنید! به عنوان مثال، ابروی چپ، چشم چپ، گوشه چپ لب پایین تر از سمت راست صورت قرار دارد - به چنین عدم تقارن ONE-SIDED می گویند.

عدم تقارن صورت می تواند مورب یا پیچیده باشد. در چنین مواردی بهتر است تمرینات را به صورت جداگانه انتخاب کنید.

30 تکرار توصیه می شود، در آخرین شمارش تاخیر ایستا 5 ثانیه وجود دارد. این آموزش مبتنی بر اجرای "BASE" است - تمرینات اساسی با اضافه کردن تمرینات ویژه برای اصلاح عدم تقارن یک منطقه خاص.

پیشانی. اصلاح وضعیت ابرو

تمرین شماره 1: ابروهای خود را بالا ببرید

این یک تمرین اساسی است. هنگام اجرای آن به ابروهای خود توجه کنید؟ کدام یک بدتر بالا می رود؟ کدام یک را کمتر احساس می کنید؟

انگشتان خود را بالای ابرو قرار دهید. ابروهای خود را با قدرت به سمت بالا فشار دهید و از انگشتان خود برای مقاومت استفاده کنید. اطمینان حاصل کنید که در طول تمرین هیچ چین و چروک افقی روی پیشانی وجود ندارد، سعی کنید شانه های خود را شل کنید و آنها را پایین بیاورید، پوست بالای ابروها را محکم ببندید. پس از اتمام تمرین، انگشتان خود را به پیشانی خود بزنید.

بیایید به مجموعه ای از تمرینات برای اصلاح موقعیت های مختلف ارتفاع ابرو برویم:

تمرین شماره 2: بالا بردن متناوب ابروها

انگشتان خود را روی پیشانی، بالای ابروهای خود قرار دهید و از فالانژهای خود استفاده کنید تا پوست را به آرامی نگه دارید تا در چین ها جمع نشود. حالا ابروهایتان را به طور متناوب بالا بیاورید: حالا سمت چپ، حالا سمت راست.

احساس کنید کدام یک از ابروها بدتر بالا می رود یا هنگام بالا بردن یکی از ابروهای آنها تنش و ناراحتی ایجاد می شود. ابرویی که بدتر بالا می‌رود باید با 2 بار کشیده شود: 1-بالاکردن، 2-کشیدن. پس از اتمام تمرین، انگشتان خود را به پیشانی خود بزنید.

تمرین شماره 3: بالا بردن یک ابرو

بعد از اینکه ابرویی را پیدا کردید که بدتر عمل می کند و در پایین تر قرار دارد، باید آن را جداگانه "تربیت کنید".

ابرویی که در بالا قرار دارد را با دست ثابت می کنیم و دیگری را بالا می آوریم و با فالانژ انگشتان خود پوست بالای ابرو را نگه می داریم تا به صورت چین خورده جمع نشود. پس از اتمام تمرین، انگشتان خود را به پیشانی خود بزنید.

چشم ها

فیلم کلی:

تمرین شماره 1: برای تقویت پلک بالا

این یک تمرین اساسی است. در حین اجرا، احساسات زیر انگشتان اشاره خود را زیر نظر داشته باشید؛ زیر یکی از انگشتان خود، نبض داشته باشید؛ لرزش عضلات کمتر مشخص خواهد شد. وقتی این چشم را می بندید، سعی کنید پلک پایین را با پلک بالایی خود کمی بیشتر فشار دهید. مهم! با انگشتانتان زیاد فشار ندهید و پوست را در جهات مختلف کشش ندهید!

گوشه های چشم را با انگشتان خود می گیریم و با کمی تلاش چشمانمان را می بندیم و پلک بالایی را روی پلک پایین فشار می دهیم. سعی کنید ابروهای خود را در جای خود نگه دارید و پشت پلک بالایی خود به پایین خزیده نشوید و پیشانی خود را شل کنید. سپس چشمانمان را باز می کنیم. پس از اتمام تمرین، چشمان خود را پلک بزنید.

تمرین شماره 2: کار متناوب چشم

بیایید یکی یکی چشمانمان را ببندیم. انگشت اشاره و وسط را بدون فشار یا کشیدن پوست در گوشه چشم قرار می دهیم. چشمانمان را به نوبت می بندیم: چپ، راست، چپ.... وقتی یک چشم را می بندید، باید چشم دیگر را باز نگه دارید. حتما پیشانی خود را شل کنید تا ابرو همراه با پلک بالا به سمت پایین نیفتد. پس از اتمام تمرین، چشمان خود را پلک بزنید.

گوشه های لب

فیلم کلی:

ورزش شماره 1: به بالا بردن گوشه های افتاده لب کمک می کند

این یک تمرین اساسی است. از انگشتان خود برای تثبیت ناحیه نازولبیال (از گوشه دهان تا سوراخ بینی) استفاده کنید. گوشه های لب خود را به سمت بالا بالا بیاورید، انگار که لبخند می زنید، با انگشتان خود مقاومت کنید، حرکت گوشه های لب زیر چشم بالا می رود، در حالی که مرکز لب شما شل است. سعی کنید اجازه ندهید انگشتان از روی صورتتان عبور کنند؛ وقتی بلند می کنید، گوشه لب روی انگشتانتان قرار می گیرد.

تمرین شماره 2: به طور متناوب بالا بردن گوشه لب

از انگشتان خود برای تثبیت ناحیه نازولبیال (از گوشه دهان تا سوراخ بینی) استفاده کنید. به طور متناوب گوشه های لب را بالا می آوریم، انگار با یک گوشه لبمان لبخند می زنیم، با انگشتانمان مقاومت می کنیم، حرکت گوشه های لب زیر چشم بالا می رود، در حالی که مرکز لبمان است. آرام است سعی کنید اجازه ندهید انگشتان از روی صورتتان عبور کنند؛ وقتی بلند می کنید، گوشه لب روی انگشتانتان قرار می گیرد.

تمرین شماره 3: بالا بردن یک گوشه لب

با استفاده از انگشتان، ناحیه نازولبیال (از گوشه دهان تا سوراخ بینی) را از کنار گوشه لب که در زیر قرار دارد ثابت می کنیم. فقط گوشه مخالف دهان را با دست ثابت می کنیم تا درگیر کار نشود. گوشه لبمان را به سمت بالا بلند می کنیم، انگار با یک گوشه لبمان لبخند می زنیم، با انگشتانمان مقاومت می کنیم، حرکت گوشه لب زیر چشم بالا می رود، در حالی که مرکز لبمان شل است. . سعی کنید اجازه ندهید انگشتان از روی صورتتان عبور کنند؛ وقتی بلند می کنید، گوشه لب روی انگشتانتان قرار می گیرد.

P.S.من برنامه های فردی را برای آموزش چهره سازی ایجاد می کنم و کلاس ها را از طریق اسکایپ تدریس می کنم. اگر شما علاقه مندید -

ایجاد عدم تقارن صورت به چیزی شبیه به احساس تبدیل شده است، زیرا عدم تقارن به ندرت قابل توجه است. معلوم شد که افراد از نظر میزان عدم تقارن به اندازه ویژگی های صورتشان با هم تفاوت دارند. این نه تنها با اندازه گیری ها، بلکه با مقایسه پرتره های متشکل از عکس های نیمه راست و چپ (یکی از آنها باید هنگام چاپ وارونه شود) با یک پرتره معمولی از یک فرد که دقیقاً از جلو گرفته شده است تأیید شد. نتایج چهره های کاملا متفاوت است.

تقارن کامل در جهان وجود ندارد. این اشتباه است که تقارن صورت را شرطی ضروری برای زیبایی آن بدانیم. ترکیبی از ویژگی های ارثی نمی تواند در چهره کودک منعکس شود. برای ارزیابی زیبایی یک چهره، آنچه مهم است ترکیب ویژگی ها و عدم تقارن جزئی است که اتفاقاً در چهره همه افراد وجود دارد و به هیچ وجه از محاسن پرتره کم نمی کند. حتی در تصاویر مجسمه سازی ونوس میلو و آپولو بلودر، چهره آنها تقارن کامل ندارد. با دلایل خوب می توان گفت که هیچ چهره ای با تقارن دقیق غیرقابل انکار نیمه راست و چپ وجود ندارد. احتمالاً به همین دلیل است که کلودیوس جالینوس نوشته است که "زیبایی واقعی در کمال هدف بیان می شود و اولین هدف همه بخش ها مصلحت سازه است." بدون شک حق با پی.اف.لزگافت بود که نوشت: «با رشد هماهنگ همه ماهیچه‌ها و گروه‌های عضلانی، صورت بیان قطعی خود را از دست می‌دهد. فردیت ویژگی های صورت از طریق استفاده مکرر از عضلات مربوطه به دست می آید.

میشل موناگان

بنابراین، ما باید عدم تقارن صورت، یعنی ناهمسانی نیمه راست و چپ آن را به عنوان یک واقعیت تشخیص دهیم: یکی از آنها، به طور معمول، گسترده تر است، دیگری باریک تر، یکی بالاتر است، دیگری پایین تر است. . علت عدم تقارن در بیشتر موارد نابرابری عناصر ساختاری استخوان های جمجمه است. در صورت انسان، افزایش عدم تقارن با ویژگی های حالات صورت (عدم تقارن فیزیولوژیکی) تعیین می شود.

نائومی واتس

کارهای علمی وجود دارد که در آنها دانشمندان الگوهای زیر را از عدم تقارن صورت شناسایی می کنند. اگر نیمی از صورت بلندتر باشد، باریک تر نیز می شود. در این حالت ابرو بالاتر از سمت مقابل و نیمه پهن تر صورت قرار می گیرد و شقاق کف دست بزرگتر است. به نظر می رسد که چشم در کل به سمت بالا چرخیده است. نیمه چپ صورت معمولاً بالاتر از سمت راست است. بسیاری از نویسندگان هنوز بر این باورند که نیمه راست صورت بزرگتر از سمت چپ است، برجسته تر است و مردانگی را نشان می دهد. نیمه چپ به طور کلی نرم تر است، که نشان دهنده زنانگی است.

کیت باسورث

عدم تقارن صورت از دیرباز به عنوان بازتابی از عدم تقارن کلی بدن مشاهده شده است. تلاش شد تا چهره در پرتره با استفاده از نیمه دقیق عکس و تصویر آینه آن بازسازی شود. نیمه راست و چپ تصاویر متفاوتی تولید کردند. آنها با نسخه اصلی مطابقت نداشتند. عدم تقارن تقلید، اگرچه بر روی عدم تناسب نیمه راست و چپ جمجمه صورت لایه لایه است، اما ویژگی های خاص خود را دارد. مشخص شده است که تنظیم عصبی عضلات راست صورت غنی تر است، حرکات سر و چشم ها به سمت راست با سهولت بیشتری تکثیر می شوند. حتی خم کردن چشم راست هم عادتی تر است.

کاندیدای علوم پزشکی، جراح پلاستیک ""

در قرن پانزدهم، لئوناردو داوینچی نقاشی‌هایی خلق کرد که نسبت‌های «الهی» صورت و بدن انسان را نشان می‌داد، که هنوز استاندارد هستند (شکل 1). با این حال، این نسبت ها این واقعیت را در نظر نمی گیرند که در طبیعت زنده هیچ اشیایی کاملاً متقارن وجود ندارد: در هر یک از آنها همیشه یک وحدت تقارن و عدم تقارن وجود دارد.

برنج. 1.

در طول تاریخ، مردم سعی کرده‌اند زیبایی را «اندازه‌گیری» کنند، آن را با استفاده از فرمول‌های ریاضی یا نسبت‌های هندسی توصیف کنند و از این طریق امکان بازآفرینی آن را فراهم کنند. بنابراین، در یونان باستان، نظم و هماهنگی مشاهده شده در طبیعت در تصاویر درخشان خدایان و الهه ها که در مجسمه های زیبا جاودانه شده بودند، تجسم یافت.

به گفته مجسمه سازان یونانی، تقارن مشخصه هماهنگی، تناسب و هماهنگی بدن طبیعی و بدن انسان است. بنابراین، مفاهیم تقارن و زیبایی یکسان است. کافی است ساختار کاملاً متقارن بناهای معماری، الگوهای تکرار شونده طبیعی تزئینات سنتی، هماهنگی شگفت انگیز گلدان های یونانی را به یاد آوریم (شکل 2).

حقیقت عدم تقارن چهره و بدن انسان برای هنرمندان و مجسمه سازان دنیای باستان شناخته شده بود و توسط آنها برای افزودن بیان و معنویت به آثاری که خلق می کردند استفاده می کردند.

نمونه بارز عدم تقارن، صورت زهره میلو است (شکل 3). طرفداران تقارن از عدم تقارن فرم های این معیار عمومی پذیرفته شده زیبایی زنانه انتقاد کردند و معتقد بودند که صورت زهره اگر متقارن باشد زیباتر می شود. با این حال، با نگاهی به عکس های ترکیبی، می بینیم که اینطور نیست.

مفهوم "تقارن" مستقیماً با هارمونی مرتبط است.این کلمه از کلمه یونانی باستان συμμετρία (تناسب) می آید و به معنای چیزی هماهنگ و متناسب در یک شی است. مفهوم تقارن "آینه" برای انسان قابل استفاده است. این تقارن منبع اصلی تحسین زیبایی شناختی ما از بدن متناسب انسان است.

این تقارن نه تنها زیبا، بلکه کاربردی است. بنابراین، اندام های متقارن به شما این امکان را می دهند که به راحتی در فضا حرکت کنید، محل قرارگیری چشم ها به شما امکان می دهد تصویر بصری درستی ایجاد کنید و تیغه بینی مستقیم تنفس کافی را تضمین می کند. با این حال، تقارن موجودات زنده به دلیل ناهمواری رشد و عملکرد، با دقت ریاضی خود را نشان نمی دهد.

تقارن صورت و استانداردهای زیبایی

با گذشت زمان، استانداردهای زیبایی تغییر کرده است، اما اصول و پارامترهای تعیین کننده روابط و تناسبات صورت، و بر این اساس، جذابیت آن، از زمان های قدیم حفظ شده است. برای اینکه یک چهره هماهنگ باشد، باید قسمت های مختلف آن به نسبت معینی به هم مرتبط باشند که از طریق آن تعادل کلی حاصل شود. هیچ قسمتی از صورت وجود ندارد یا جدا از دیگران عمل نمی کند. هر گونه تغییر در قسمت خاصی از صورت، تأثیر واقعی یا ظاهری بر ادراک سایر اجزا و صورت به عنوان یک کل خواهد داشت.

طبیعی است که تمام نسبت های صورت انسان فقط به دلیل زیبایی شناسی آن تقریبی استبه چند دلیل:

• اولا، نسبت های صورت بسته به سن، جنسیت، رشد فیزیکی فرد تغییر می کند و تا حد زیادی توسط ویژگی های ساختاری فردی تعیین می شود.
• ثانیا، ارزیابی تناسب بسته به موقعیت سر دشوارتر می شود
• مشکل سوم در عدم تقارن صورت انسان است که اغلب در شکل بینی، موقعیت شکاف چشم و ابروها و موقعیت گوشه های دهان ظاهر می شود. دو طرف صورت، تصویر آینه ای یکسانی ایجاد نمی کنند، حتی اگر صورت کاملاً درست در نظر گرفته شود.

بنابراین، واقعیت عدم تقارن صورت، که با نابرابری نیمه راست و چپ بیان می شود، که یکی از آنها، به عنوان یک قاعده، گسترده تر و بالاتر است، دیگری باریک تر و پایین تر، امروزه به طور کلی پذیرفته شده است.

از عکس های ارائه شده در شکل 4، مشخص است که چهره های کاملاً متقارن به وضوح با تصویر اصلی یک چهره با عدم تقارن طبیعی متفاوت هستند. به نظر ما "مصنوعی" چهره های متقارن کمتر جذاب به نظر می رسندمانند عکس های اصلی، اگرچه ما چهره بازیگرانی را انتخاب کردیم که ظاهرشان بالاترین امتیاز را برای ایجاد پرتره های ترکیبی داشت. علاوه بر این، این چهره ها هستند که با تقارن برجسته تر از آنچه در بیشتر افراد مشاهده می شود متمایز می شوند، اما عدم تقارن جزئی فقط بر جذابیت آنها تأکید می کند.

زیبایی در عدم تقارن؟

بنابراین، آیا عدم تقارن ذاتی همه ما در واقع زیباست یا خیر؟ کاملاً بدیهی است که نقض قابل توجه تقارن در ساختار چهره را جذاب نمی دانیم. با این حال، انحرافات کوچک از تقارن باعث ایجاد ناهماهنگی نمی شود، بلکه فقط به طور مطلوب فردیت را برجسته می کند.

اکثر بیمارانی که به جراح پلاستیک مراجعه می کنند، متوجه عدم تقارن تناسبات صورت و بدن خود نمی شوند. بنابراین، یکی از وظایف مهم جراح در طول مشاوره، جلب توجه بیمار به ویژگی‌های تناسب او و توصیف جزئیات تغییرات آتی در نتیجه عمل است. اصلاح عدم تقارن صورت با استفاده از روش های کم تهاجمی مانند و.

بنابراین، عدم تقارن مشخص معمولاً غیر زیبایی تلقی می شود و در چنین مواردی تمایل به دستیابی به ظاهری متقارن تر کاملاً طبیعی است و می تواند به عنوان نشانه ای برای جراحی پلاستیک باشد. با این حال، عدم تقارن جزئی صورت فقط آن را جذاب و فردی می کند و بنابراین نباید برای تقارن مطلق تلاش کرد.

تقارن و تناسب مؤلفه های مهم زیبایی بیرونی یک فرد و در برخی موارد شاخص سلامت هستند. اما همه نمی دانند که چگونه نسبت و تقارن صورت و بدن خود را ارزیابی کنند. این دقیقاً همان چیزی است که در مورد آن صحبت خواهیم کرد.

آیا بینی بلند اصلاً نمی تواند ظاهر انسان را خراب کند؟ قطعا بله. اگر بینی متناسب با صورت او باشد.

برای ارزیابی نسبت های صورت خود، باید به آینه بروید و سه فاصله را اندازه بگیرید:
از خط مو روی پیشانی تا پل بینی
از پل بینی تا لب بالایی
از لب بالا تا چانه.

اگر آنها برابر باشند، شما صاحب خوشبخت چهره متناسب هستید.

اگر نه، پس یک تناسب وجود دارد که اصلاً دلیل بر ناامیدی نیست. اولاً این ممکن است دارای جذابیت و اصالت خاصی از چهره باشد و ثانیاً می توان نسبت ها را تغییر داد.

افزایش یا کاهش فاصله اول را می توان با استفاده از مدل مو و همچنین فرم دادن به ابروها به دست آورد. فاصله دوم تقریبا همیشه با تغییر طول بینی اصلاح می شود. فاصله سوم را می توان از نظر بصری تحت تأثیر رژ لب به درستی انتخاب شده یا یک معیار بادوام تر - بزرگ کردن لب ها قرار داد.

ارزیابی تقارن صورت نیز آسان است. شما باید به محل و شکل تشکیلات تشریحی جفتی توجه کنید: ابروها، چشم ها، گوش ها، چین های نازولبیال.

اگر آنها در یک سطح قرار داشته باشند و شکل یکسانی داشته باشند، صورت متقارن است. تقارن صورت نه تنها از نظر زیبایی شناختی بسیار مهم است. اختلال ناگهانی آن یک علامت تشخیصی مهم برای تعدادی از بیماری های عصبی جدی است.

ساده ترین راه برای قضاوت نسبت های بدن بر اساس حجم آن است: سینه، کمر و باسن.

در یک مرد متناسب با ساختار، حجم سینه غالب است. از نظر هندسی، شکل مرد ایده آل یک مثلث متساوی الساقین است که وارونه شده است.

در یک شکل زن متناسب، حجم سینه و باسن تقریباً با یکدیگر برابر است. و اندازه کمر شما باید 1/3 کمتر از این دو حجم باشد. کافی است استاندارد معروف را یادآوری کنیم: 90 - 60 - 90 سانتی متر. با این حال، نسبت 120cm-80cm-120cm کمتر متناسب نیست. بیان هندسی ایده آل، شکل ساعت شنی است.

از نظر بصری نسبت های مورد نیاز با لباس، کرست و تمرینات بدنی خاص به دست می آید. با این حال، مناطق مشکلی وجود دارد که اصلاح آنها بسیار دشوار است، به عنوان مثال، "شلوارهای" بدنام - قسمت بالایی سطوح جانبی ران ها. انجام صحیح لیپوساکشن می تواند در اینجا کمک موثری کند.

تقارن بدن نیز توسط تشکیلات زوجی ارزیابی می شود. استخوان های ترقوه، نوک سینه ها، تیغه های شانه، خارهای ایلیاک فوقانی قدامی و چین های سرینی باید در یک سطح باشند.

شایان ذکر است که نقض قابل مشاهده تقارن بدن همیشه دلیلی برای بررسی کامل سیستم اسکلتی عضلانی است.

به طور کلی، هنگام ارزیابی ظاهر خود با هر پارامتر، خواه تناسب، تقارن یا چیز دیگری باشد، نیازی نیست که بیش از حد حساس باشید.

برخی از ویژگی ها، ناقصی ها، عدم تناسب چیزی است که ما را از یکدیگر متمایز می کند و بنابراین ما را منحصر به فرد می کند.

فعلاً نخواهیم فهمید که آیا یک شخص کاملاً متقارن واقعاً وجود دارد یا خیر. البته هر کس یک خال، یک تار مو یا جزئیات دیگری خواهد داشت که تقارن بیرونی را می شکند. چشم چپ هرگز دقیقاً مشابه چشم راست نیست و گوشه های دهان در ارتفاعات متفاوتی قرار دارند، حداقل برای بیشتر افراد. با این حال اینها فقط تناقضات جزئی هستند. هیچ کس شک نخواهد کرد که از نظر ظاهری یک فرد به طور متقارن ساخته شده است: دست چپ همیشه با راست مطابقت دارد و هر دو دست دقیقاً یکسان هستند! متوقف کردن. ارزش توقف در اینجا را دارد. اگر واقعاً دست‌هایمان دقیقاً یکسان بود، می‌توانستیم آن‌ها را در هر زمانی تغییر دهیم. مثلاً می‌توان با پیوند، کف دست چپ را به دست راست پیوند زد، یا به‌طور ساده‌تر، دستکش چپ را به دست راست پیوند زد، اما در واقع اینطور نیست.

خب البته همه می‌دانند که شباهت بین دست‌ها، گوش‌ها، چشم‌ها و سایر قسمت‌های بدن ما مانند یک شی و انعکاس آن در آینه است. کتاب پیش روی شما به مباحث تقارن و انعکاس آینه اختصاص دارد.

بسیاری از هنرمندان به تقارن و تناسبات بدن انسان توجه زیادی داشتند، حداقل تا زمانی که میل به دنبال کردن هرچه بیشتر طبیعت در آثار خود را برانگیخت. قوانین پرودورتیوس که توسط آلبرشت دورر و لئوناردو داوینچی گردآوری شده است به خوبی شناخته شده است. طبق این قوانین، بدن انسان نه تنها متقارن، بلکه متناسب است. لئوناردو کشف کرد که بدن در یک دایره و یک مربع قرار می گیرد. دورر به دنبال اندازه گیری واحدی بود که با طول تنه یا ساق در رابطه معینی باشد (او طول بازو تا آرنج را چنین اندازه گیری می دانست).

در مکاتب مدرن نقاشی، اندازه عمودی سر اغلب به عنوان یک معیار واحد در نظر گرفته می شود. با یک فرض معین می توانیم طول بدن را هشت برابر اندازه سر فرض کنیم. در نگاه اول این عجیب به نظر می رسد. اما نباید فراموش کنیم که اکثر افراد قد بلند جمجمه ای کشیده دارند و برعکس، به ندرت می توان مردی کوتاه قد و چاق با سر کشیده را ملاقات کرد.

اندازه سر نه تنها با طول بدن، بلکه با اندازه سایر قسمت های بدن نیز متناسب است. همه مردم بر این اصل بنا شده اند، به همین دلیل است که ما به طور کلی شبیه یکدیگر هستیم. (در چند صفحه به شباهت یا تشابه باز خواهیم گشت.) با این حال، نسبت های ما فقط تقریباً یکسان است و بنابراین افراد فقط مشابه هستند، اما یکسان نیستند. در هر صورت همه ما متقارن هستیم! علاوه بر این، برخی از هنرمندان به ویژه در آثار خود بر این تقارن تأکید دارند.

تقارن کامل خسته کننده است

و در لباس ، شخص معمولاً سعی می کند تصور تقارن را حفظ کند: آستین سمت راست با سمت چپ مطابقت دارد ، ساق شلوار راست با سمت چپ مطابقت دارد.

دکمه های کت و روی پیراهن دقیقاً در وسط قرار می گیرند و اگر از آن دور شوند، در فواصل متقارن قرار می گیرند. به ندرت یک زن شجاعت کافی برای پوشیدن لباس واقعا نامتقارن را دارد (در ادامه خواهیم دید که انحرافات شدید از تقارن تا چه حد مجاز است).

اما در پس زمینه این تقارن کلی، در جزئیات کوچک عمداً اجازه عدم تقارن را می دهیم، به عنوان مثال، موهای خود را در یک قسمت کناری شانه می کنیم - در سمت چپ یا راست. یا مثلاً قرار دادن یک جیب نامتقارن روی سینه روی کت و شلوار، که اغلب توسط یک روسری تأکید می شود. یا گذاشتن حلقه در انگشت حلقه فقط یک دست. سفارشات و نشان ها فقط در یک طرف سینه (معمولاً در سمت چپ) پوشیده می شوند.

تقارن کامل بی عیب و نقص به طرز غیر قابل تحملی خسته کننده به نظر می رسد. این انحرافات کوچک از آن است که ویژگی های مشخصه و فردی می دهد. سلف پرتره معروف آلبرشت دورر در نگاه اول کاملاً متقارن به نظر می رسد. اما، با نگاهی دقیق تر، متوجه جزئیات نامتقارن کوچکی خواهید شد که به تصویر سرزندگی و سرزندگی می بخشد: یک تار مو در نزدیکی محل جدا شدن.

و در عین حال گاهی انسان سعی می کند بر تفاوت چپ و راست تاکید و تقویت کند. در قرون وسطی، مردان در یک زمان شلوارهایی با پاهای مختلف می پوشیدند (مثلاً یکی قرمز و دیگری سیاه یا سفید). و این روزها شلوار جین با تکه های روشن یا لکه های رنگی رایج بود. اما چنین مدی همیشه کوتاه مدت است. فقط انحرافات با درایت و ملایم از تقارن برای مدت طولانی باقی می ماند.

شباهت چیست؟

ما اغلب می گوییم که دو نفر شبیه یکدیگر هستند. بچه ها معمولا شبیه والدینشان هستند (حداقل به گفته مادربزرگشان). مشابه، اما نه همان!

بیایید سعی کنیم بفهمیم که منظور از شباهت یا شباهت در ریاضیات چیست. برای شکل های مشابه، بخش های مربوطه با یکدیگر متناسب هستند. در مورد ما، می توانیم این وضعیت را به صورت زیر فرموله کنیم: بینی های مشابه شکل یکسانی دارند، اما ممکن است در اندازه متفاوت باشند. در این مورد، هر قسمت از بینی (مثلاً پل بینی) باید متناسب با بقیه باشد.

این قانون شباهت گاهی مملو از شکار است. به عنوان مثال، در یک مشکل مانند این:

ارتفاع برج A 10 متر است و در فاصله ای X از آن یک برج شش متری B وجود دارد. اگر خطوط مستقیمی از پا و بالای برج A از بالای برج B ترسیم کنیم، به ترتیب به هم می رسند. ، پای و بالای برج C که 15 متر ارتفاع دارد. فاصله برج A تا برج B چقدر است؟

به نظر می رسد برای حل این مشکل کافی است یک قطب نما و یک خط کش را بردارید. اما بلافاصله معلوم می شود که تعداد بی نهایت پاسخ وجود خواهد داشت. به عبارت دیگر، نمی توان پاسخ روشنی برای سوال در مورد ارزش X وجود داشت.

در این کتاب اغلب با مشکلاتی مواجه می شوید که نیاز به تفکر دارد. این معنای آموزشی خاصی دارد. مشکلاتی از این دست، حتی اگر راه حلی نداشته باشند، مانند آنچه در بالا ارائه شد، به مشکلی مربوط می شود که در محدوده دانش ما قرار دارد. در بیشتر موارد، اینها همان محدودیت هایی هستند که «عقل سلیم» معروف در برابر آنها تسلیم می شود، و تنها تفکر منطقی کاملاً ریاضی، همراه با علوم طبیعی، می تواند به تصمیم درست منجر شود.

بیایید دوباره به انسان بپردازیم: هنگام مقایسه موجودات زنده، اگر نسبت آنها منطبق باشد، شباهت به وضوح احساس می شود. بنابراین، کودکان و بزرگسالان می توانند مشابه باشند. اگرچه جرم و اندازه هر قسمت از بدن، خواه بینی یا دهان، متفاوت است، نسبت افراد مشابه یکسان است.

یک مثال قابل توجه از شباهت، تخمین بصری فاصله با استفاده از انگشت شست است. به این ترتیب مردان نظامی و ملوانان فاصله بین دو نقطه روی زمین یا دریا را تخمین می زنند و آنها را با عرض یک انگشت یا مشت مقایسه می کنند. در ساده ترین حالت، یک چشم را می بندند و با چشم باز به انگشت دست دراز شده نگاه می کنند و از آن به عنوان بینایی استفاده می کنند.

هنگام مشاهده با شست دست دراز شده (یک بار با چشم چپ و دیگری با چشم راست)، انگشت حدود 6 درجه "پرش" می شود.

اگر چشمی را که قبلاً بسته بودید باز کنید (و چشم دیگر را ببندید)، انگشت فاصله قابل مشاهده ای را به طرفین منتقل می کند. بر حسب درجه، این فاصله 6 درجه است. و علاوه بر این، بزرگی این «جهش» (در حد خطای مجاز) برای همه مردم یکسان است! بنابراین، شرکت سمت راست، یک پسر با قد دو متر، و کوچکترین - سمت چپ، تنها شصت متر قد، با مقایسه این "پرش" انگشت، همان مقدار را دریافت می کند.

دلیل این پدیده در نهایت در شباهت افراد و البته در قوانین اپتیک حاکم بر دید ما نهفته است.

"قانون مشت" نیز - به معنای واقعی کلمه - برای تخمین تقریبی اندازه زاویه شناخته شده است. اگر با یک چشم به مشت دست دراز شده (این بار با همان چشم) نگاه کنیم، عرض مشت 10 درجه و فاصله بین دو استخوان فالانژها 3 درجه خواهد بود. مشت و شست باز شده به پهلو 15 درجه خواهد بود. با ترکیب این اندازه ها می توانید تقریباً تمام زوایای روی زمین را اندازه گیری کنید.

و در نهایت یک معیار زاویه ای دیگر از بدن ما که می تواند برای کارهای خانه مفید باشد. زاویه بین انگشت شست و انگشت کوچک کف دست کشیده 90 درجه است. این بعید به نظر می رسد، اما می توانید بلافاصله با قرار دادن انگشتان دراز کف دست خود در گوشه کتاب ما، همه چیز را بررسی کنید. انگشت کوچک خود را دقیقاً به موازات یک لبه قرار دهید و دست خود را در امتداد آن به سمت پایین حرکت دهید تا انگشت شست شما نیز روی لبه پایینی قرار گیرد. مطمئنی؟

البته، در اینجا گاهی اوقات خطا نسبتاً بزرگ است، زیرا بسته به سن و رشد دست، انگشت شست را می توان در فواصل مختلف عقب انداخت. اما برای اولین آزمایش، که به شما امکان می دهد تصمیم بگیرید که آیا زاویه اندازه گیری شده به طور قابل توجهی از زاویه راست منحرف می شود، این روش کاملاً مناسب است.

LINELAND و FLATLAND

افرادی که دارای تخیل هستند مدتهاست متوجه شده اند که قوانین تطابق، که برای فضای دو بعدی بسیار سخت است، هنگامی که در عمل اعمال می شوند، اغلب نیاز به استفاده از بعد سوم دارند.

هنگام چیدن میز برای یک پذیرایی رسمی، دستمال سفره ها معمولاً به صورت مثلثی تا می شوند. اما به محض اینکه این مثلث ها را در یک پشته جمع آوری کنید، یکی روی دیگری، متوجه می شوید که دو نوع از این مثلث ها وجود دارد: برخی فوراً به یکدیگر «مطابق» می شوند، در حالی که برخی دیگر باید «در سمت راست» چرخانده شوند. ” هنگامی که کسی سعی می کند محصول نهایی را روی هم بگذارد، مشکل مشابهی هنگام مهر زدن قطعات کوچک رخ می دهد.

شاعران و نویسندگان تمایل دارند در مورد موقعیت های کم و بیش احتمالی خیال پردازی کنند. بنابراین، آثاری وجود دارد که در آنها زندگی در فضای دو بعدی (جایی که نمی توانید "دستمال سفره" را برگردانید) به تصویر کشیده شده است.

برخی از نویسندگان از این هم فراتر می روند و سعی می کنند زندگی را در فضای یک بعدی، در سرزمین مستقیم - لاین لند تصور کنند. Lineland فقط توسط چوب های چوبی نازک زندگی می کند که در ساده ترین حالت هیچ تفاوتی با یکدیگر ندارند. با این حال، به محض اینکه به آنها سر می دهید (مسابقه بلافاصله به ذهن می رسد!)، آنها بلافاصله دو احتمال دارند.

یا سر همه مسابقات به یک جهت است - سپس ترکیب آنها هیچ مشکلی ایجاد نمی کند. یا برخی از کبریت ها با سر به سمت چپ و برخی با سر به سمت راست دراز می کشند. ریاضیدان اهل لاین لند هیچ توانایی عملی برای تبدیل مسابقات "چپ" به "راست" ندارد. اما یک ریاضیدان از سرزمین مسطح - Flatland، که یک بعد بیشتر دارد، بلافاصله یک راه حل ساده پیدا می کند: او کبریت را در هواپیما می چرخاند.

با این حال، به گفته برخی از نویسندگان، زندگی در فلاتلند چندان ساده نیست. بیایید تصور کنیم که ساکنان این کشور مستطیل های کوچکی هستند که در یکی از گوشه ها یک چشم دارند (و فقط یک چشم دارند). چنین مستطیلی البته فقط در هواپیما دیده می شود و او هرگز موفق نمی شود از بالا به این هواپیما نگاه کند. بنابراین هیچ Flatlander هرگز نمی تواند تصور کند که او واقعاً چه شکلی است: برای این کار نیاز به نمایی از فضای سه بعدی است. خانه های Flatlanders شبیه خانه های نقاشی های کودکان است. با این تفاوت که درها کناری بودند و فقط در همان صفحه باز می شدند. اما لولاهای در باید خارج از هواپیما، بالا یا پایین آن ساخته شوند. علاوه بر این، سیستم پیچیده ای از تکیه گاه ها برای جلوگیری از فروریختن دیوار خانه زمانی که ساکنان آن می خواستند در را باز کنند، مورد نیاز است. و دو فلتلندر فقط در صورتی می توانستند به یکدیگر نگاه کنند که یکی از آنها بتواند روی سرش بایستد.

اگر فلاتلند دو نفر در آن زندگی می کردند، وضعیت حتی پیچیده تر می شد. بیایید بگوییم فلتلندرهای چپ و راست. تصور همه عواقب احتمالی چنین شرایطی به تخیل زیادی نیاز دارد، به خصوص با توجه به اینکه عادت داریم به سه بعدی فکر کنیم!

از آنجایی که هم Lineland و هم Flatland به صورت طنزآمیز به نویسندگان ارائه شده اند، جای تعجب نیست که ادبیاتی در مورد این موضوع در انگلستان پدید آمد.

در سال 1880 معلم انگلیسی ادوین آبونی ابوت کتابی در مورد فلاتلند و ساکنان آن نوشت ( Abbott E. E. Flatland. در کتاب: Abbott E. E. Flatland. برگر دی اسفرلندیا. -م.: میر، 1355). Abbott's Flatlander که در خواب خود را در Lineland پیدا کرده است، بیهوده تلاش می کند تا ساکنان آنجا را متقاعد کند که هواپیما وجود دارد.

در جریان اکشن، یکی از Flatlanders موفق به درک فضای سه بعدی می شود که به همین دلیل به عنوان "دیوانه ترین دیوانه" شناخته می شود.

بیش از بیست سال بعد، در سال 1907، سی جی هینتون رمان The Flatland Incident را منتشر کرد. در آن، دو نفر از مردم Flatland به جنگ می پردازند. از آنجایی که همه Flatlanders با یک جهت روبرو هستند، یکی از مردم همیشه در یک نقطه ضعف ناامید کننده است: او نمی تواند برگردد و در جهت درست حمله کند - دشمن منفور دائماً روی گردن او نشسته است. اما در نهایت خوب برنده می شود. برخی از سرهای هوشمند متوجه می شوند که Flatland روی یک توپ قرار دارد و بنابراین، می توانید در اطراف آن بدوید و پشت خطوط دشمن قرار بگیرید.

نویسنده رمان داستان خود را بر این فرض ضمنی بنا می‌کند که Flatlanders تنها می‌توانند در جهت‌های کلی خاصی حرکت کنند که از انحراف‌های جانبی جلوگیری می‌کند، و غیرممکن است که دشمن را سرنگون کنند.

همانطور که مشاهده می شود، پیچیده ترین نظریه ها در مورد زندگی در فضای دو بعدی ارائه شده است، اما هرگز کاربرد پیدا نکرده اند. احتمالاً اگر لاین‌لند و فلت‌لند برای توضیح نظریه بازتاب آینه‌ای مورد نیاز نبودند و اگر گردآورندگان مسائل اطلاعاتی مجبور نبودند بارها و بارها برای استخراج ایده‌ها به فلات‌لند مراجعه نمی‌کردند، هم این کتاب‌ها و هم نویسندگان آنها مدت‌ها پیش فراموش می‌شدند. از دو بعدی بودن آن (به هر حال، چندی پیش یک کارتون در مجارستان درباره سفر دانش آموز آدولار به فلاتلند ساخته شد).

از جمله، Flatlanders کالاها را با چرخاندن سکوها روی دایره ها حمل می کنند. هر بار که بار از دایره عبور می کند، افسر حمل و نقل آنجا دایره را به جلو می چرخاند و آن را در مقابل سکو قرار می دهد.

بسیاری از مشکلات جالب اینجا به وجود می آید. اما ما فقط به یک چیز علاقه داریم: اگر محور چرخ با سرعت 10 متر در دقیقه حرکت کند، بار با چه سرعتی حرکت می کند؟

ما در مورد ماشین زمینی خود می دانیم که یک چرخ (به طور دقیق تر، یک محور چرخ) نمی تواند سریعتر از کل ماشین حرکت کند. اما در یک وسیله نقلیه زمینی، چرخ به طور محکم به بار متصل نیست. پس از بازتاب، درک اینکه بار در اینجا در دو حرکت درگیر است، دشوار نیست.

اولاً در امتداد محور چرخش چرخ حرکت می کند (این همان ماشین است). و علاوه بر این، بار هنوز در اطراف دور چرخ می چرخد ​​و در عین حال با سرعتی برابر با سرعت چرخش محور است. بنابراین به طور کلی بار با سرعت دو برابر چرخ می چرخد. البته بار باید سریعتر حرکت کند زیرا چرخها همیشه پشت می مانند و باید دائماً به جلو حرکت داده شوند.

برخی از خوانندگان فکر می کنند: "مشکل واقعا جالب است، اما چه؟"

با این حال، اصل عملیاتی حمل و نقل زمینی جایگاه خود را در فناوری ما پیدا می کند. بنابراین، یک طراح که در یک اتاق کوچک (به عنوان مثال، نزدیک یک آسانسور کوچک) طراحی می کند، مجبور می شود لولاها را رها کند. او در را به دو نیم تقسیم می کند (البته اگر چنین ترفندی به ذهنش برسد!) که موازی یکدیگر هستند. نیمی از درب به طور ثابت به محور غلتک متصل است و دومی در امتداد محیط این غلتک حرکت می کند. در حالی که یک نیمی از عرض درب حرکت می کند، نیمی دیگر موفق می شود در کل عرض درب (با سرعت دو برابر) بچرخد.

بیایید به فانتزی های فلت لند و نویسندگان از حق نگاه نکنیم. بیایید فرض کنیم که Flatlanders در واقع روی سطح توپ زندگی می کنند. این سطح آنقدر بزرگ است که ساکنان ممکن است متوجه انحنای آن نشوند. به طور طبیعی، آنها فکر می کنند که در یک هواپیما زندگی می کنند، زیرا نمی توانند یک کره را تصور کنند: بالاخره بعد سوم، اصولاً برای آنها ناآشنا است. بنابراین، اساتید سرزمین هموار ریاضیات زمین مسطح را توسعه می دهند که در مدارس مطالعه می شود. برای مثال، کودکان در آنجا تعریف زیر را به خاطر می سپارند: دو خط موازی در فاصله محدودی قطع می شوند. یا: مجموع زوایای یک مثلث از 180 درجه بیشتر شود. ما اهل فضای سه بعدی می دانیم که سطح کروی یک فضای غیراقلیدسی دو بعدی است که در هندسه معمول اقلیدسی نمی گنجد.

با نگاهی به کره زمین، می بینیم که دو نصف النهار، به موازات خط استوا، در قطب قطع می شوند. با نگاهی به کره زمین، همچنین می توانید ببینید که دو نصف النهار با خط استوا زاویه 90 درجه تشکیل می دهند. در نقطه تقاطع در قطب، زاویه دیگری ظاهر می شود. و مجموع هر سه زاویه در هر صورت بیشتر از 180 درجه است. اما فلاتلندرهای فقیر، البته، حتی نمی توانند همه اینها را تصور کنند. آنها مطمئن هستند که در هواپیما زندگی می کنند.

یکی از ریاضیدانان شکاک، کارل فردریش گاوس (1777-1855)، به طور جدی متعجب بود که آیا ما انسان ها نیز در موقعیت فلاتلندرها قرار داریم؟ شاید، گاوس فکر می‌کرد، ما نیز در دنیایی غیر اقلیدسی زندگی می‌کنیم، اما به آن توجه نمی‌کنیم. اگر اینطور بود، فضا منحنی می شد (که البته نمی توانستیم تصور کنیم) و یک مثلث به اندازه کافی بزرگ مجموع زوایایی غیر از 180 درجه داشت. گاوس مثلث بین بروکن، اینسلبرگ و هوه هاگن را اندازه گرفت، اما هیچ انحراف قابل توجهی از 180 درجه پیدا نکرد. این، البته، نمی تواند به عنوان یک دلیل غیرقابل انکار عمل کند، زیرا مثلث هنوز می تواند بسیار کوچک باشد.

با این حال، نمی توان فضای غیر اقلیدسی را که در نظریه نسبیت مورد بحث قرار گرفت، به سادگی مقایسه کرد. من و شما، Flatlanders و Gauss، در مورد یک مسئله کاملاً هندسی و مکانی صحبت می کنیم و اینکه آیا بدیهیات خاص درست هستند (مثلاً تقاطع دو خط موازی در بی نهایت). طرفداران نظریه نسبیت زمان را به عنوان چهارمین مختصات فضایی معرفی می کنند.

در مورد تطابق

دو شکل مسطح در صورتی که تمام زوایای آنها و پاره خط بین نقاط متناظر با هم برابر باشند.

در مدرسه قضایای همگرایی مثلث ها را مطالعه می کنیم. به عنوان مثال ثابت شده است که مساحت مثلث ها اگر یک ضلع و دو زاویه مجاور منطبق باشند برابر است. این بدان معناست که اگرچه می‌توانید از یک ضلع و دو زاویه مجاور برای ساخت مثلث استفاده کنید، اما مثلث‌ها باید در تمام قسمت‌هایشان مطابقت داشته باشند.

در گفتار محاوره‌ای (که در این کتاب از آن استفاده می‌کنیم) می‌توان گفت که صفحه‌های متجانس دقیقاً روی هم قرار می‌گیرند، یا برعکس، اگر یک شکل دقیقاً روی دیگری قرار گرفته باشد، آن‌گاه همخوان هستند. همین امر در مورد اجسام سه بعدی نیز صدق می کند: اگر بتوان آنها را با هم ترکیب کرد، آنگاه متجانس هستند.

به مثلث های نشان داده شده در تصویر نگاه کنید. همه آنها با هم هماهنگ هستند. بدیهی است که هر دو مثلثی که در سمت چپ قرار گرفته اند، اگر به سادگی آنها را جابجا کنید، مناسب خواهند بود. اما مثلثی که در سمت راست قرار گرفته، اگرچه با دو مثلث سمت چپ همخوانی دارد، تنها با حرکت در صفحه نمی‌توانیم آن را با آنها ترکیب کنیم. مهم نیست که چگونه آن را در صفحه بچرخانیم، هرگز با هیچ یک از مثلث های چپ تراز نخواهد شد. برای رسیدن به این هدف، باید مثلث را بالای هواپیما بلند کنید، آن را در فضا بچرخانید و دوباره روی هواپیما قرار دهید. اما اگر موقعیت‌های نسبی مثلث‌ها را با جابجایی و معکوس مقایسه کنیم، خواهیم دید که در هر دو حالت اضلاع مختلف آنها بر هم منطبق است. هنگام برش، سطح پایین یک مثلث کاغذی با سطح بالایی مثلث دوم همپوشانی دارد. جهت فضایی سطح ورق کاغذ تغییر نکرده است. در این مورد ما در مورد تطابق یکسان صحبت می کنیم. اگر هنگام چرخش در فضا، هر دو سطح بالای کاغذ در یک راستا قرار گیرند، شکل های صاف را آینه-همگون می نامند.

متجانس ارقام مسطحی هستند که ما آنها را مساوی می دانیم و می توانند با جابجایی در یک صفحه یا چرخش در فضا با یکدیگر ترکیب شوند.

همگرایی مثلث ها

همخوانی خاصیت تطابق اشکال مسطح هندسی با یکدیگر در اندازه و شکل است.

ارقام همسان آنهایی هستند که می توانند با چرخش و/یا جابجایی با یکدیگر ترکیب شوند.

ارقام متجانس آینه ای آنهایی هستند که ترکیب آنها به عملیات اضافی بازتاب آینه نیاز دارد.

چهار علامت همخوانی مثلث وجود دارد. مثلث ها متجانس هستند اگر:

1) سه ضلع یک مثلث برابر است با سه ضلع مثلث دیگر (S، S، S).

2) دو ضلع و زاويه داخلي يك مثلث محصور بين آنها برابر با دو ضلع و زاويه داخلي مثلث ديگري كه بين آنها محصور شده است (S, W, S).

3) دو ضلع و زاویه داخلی مقابل بزرگتر یک مثلث برابر با دو ضلع و زاویه مقابل بزرگتر مثلث دیگر (S، S، W) است.

4) ضلع و هر دو زاویه داخلی مجاور آن یک مثلث با ضلع و هر دو زاویه داخلی مجاور آن مثلث دیگر (W, S, W) برابر است.

شباهت

همزمانی شکل های مسطح از نظر شکل، اما نه در اندازه، شباهت نامیده می شود.

هر زاویه یکی از شکل ها با زاویه ای برابر از یک شکل مشابه مطابقت دارد.

در چنین ارقامی، بخش های مربوطه متناسب هستند.

با جابجایی، چرخش و (یا) آینه‌کاری، می‌توان دو شکل مشابه را در موقعیت همسانی قرار داد. در این موقعیت، اضلاع متناظر هر دو شکل با یکدیگر موازی هستند.

تقارن محوری

اجازه دهید صفحه با یک خط مستقیم s به دو نیم صفحه تقسیم شود. اگر اکنون یک نیم صفحه را حول خط 5 در 180 درجه بچرخانیم، تمام نقاط این نیم صفحه با نقاط نیم صفحه دیگر منطبق خواهند شد.

خط مستقیم s را محور تقارن می نامند.

با توجه به این که نقاط روی نیم صفحه معکوس نسبت به موقعیت اصلی خود در وضعیت آینه ای قرار می گیرند، به این وارونگی، بازتاب اسپکولار نیز می گویند. اگر خطوطی را روی یک نیم صفحه بکشید که جهات چرخش خاصی را نشان می دهد، پس از انعکاس آینه این جهت به سمت مخالف تغییر می کند. بنابراین، یک عملیات آینه‌کاری منفرد، ارقام متجانس آینه را تولید می‌کند. دو عملیات از این دست منجر به ارقام یکسانی می شود. آنها با یک تغییر یا چرخش مطابقت دارند.

تقارن شعاعی

شکل های متقارن شعاعی را می توان با چرخش حول نقطه S با یکدیگر تراز کرد. این نقطه مرکز تقارن نامیده می شود.

هنگام چرخش، نقاط مربوطه از شکل ها ترکیب می شوند. جهت چرخش تغییر نمی کند. شکلی که به این شکل منعکس شده است به طور یکسان مطابق است.

عملیات چرخش بعدی به هیچ وجه بر هویت فیگورها تأثیر نخواهد گذاشت. در زاویه چرخش 180 درجه، ما از تقارن مرکزی صحبت می کنیم.

ترفند تاس

معلمان می گویند که بازی با بلوک ها تخیل فضایی را توسعه می دهد. و بنابراین والدین جعبه های فرزندان خود را با مکعب های روشن پوشیده شده با تکه هایی از تصاویر از افسانه های محبوب می خرند. با تا زدن این مکعب ها به روش صحیح، کلاه قرمزی با گرگ خاکستری یا سفید برفی با هفت کوتوله را خواهید دید.

در واقع، این نوع مکعب ها و پازل ها تخیل فضایی را نه تنها در کودکان، بلکه در همه - از جوان تا پیر - توسعه می دهند. گاهی اوقات می‌توانیم یک مکعب را از اشکال مختلف کنده‌ها تا کنیم.

با بررسی دقیق تر این عناصر منفرد، به نظر می رسد که حداقل دو مورد از آنها شکل و اندازه یکسانی دارند، اما مانند یک دستکش چپ و راست به یکدیگر مرتبط هستند. بدیهی است که سازندگان این نوع پازل ها امیدوارند که بازیکنان بلافاصله متوجه این تفاوت نشوند. اگر به یاد بیاوریم که چند بار دستکش راست و چپ را با هم اشتباه گرفته ایم، باید اعتراف کنیم که چنین امیدهایی بی اساس نیست.

ترکیب این عناصر تقریبا غیرممکن است. لازم به ذکر است که وقتی در اینجا (یا در جایی پایین تر) از عبارت «عملاً ممکن» استفاده می کنیم، به معنای اجرای چنین کاری در عمل است.

اما روش های ریاضی یا فیزیکی نیز وجود دارد که ترکیب عناصر را حداقل از نظر تئوری یا با توجه به علائم خارجی ممکن می کند - این موضوع مورد بررسی بیشتر خواهد بود. و از آنجایی که ما در مورد ترکیب یک عنصر با عنصر دیگر صحبت می کردیم، باید به یک شرایط مهم به ویژه توجه شود. در Flatland می توان با خارج کردن آنها از هواپیما و چرخاندن آنها در فضا، آنها را با هم ترکیب کرد. در Lineland، به همین ترتیب، فقط یک بعد دیگر مورد نیاز است: یک چرخش در صفحه، و بخش ها سازگار می شوند.

اما ما فقط می توانیم ساختمان های فضایی را در فضا بچرخانیم! و از آنجایی که بعد چهارم، علیرغم تمام استدلال های گاوس، به روی ما بسته است، حتی تصور کردن آن دشوار است که چگونه عملاً (!) می توانیم "آجر" خود را در جایی غیر از فضای سه بعدی مستقر کنیم تا با هم هماهنگ شوند!

در زندگی روزمره، ما اغلب مجبوریم پازل های مشابهی را حل کنیم (تاکید می کنم: آنها را عملی حل کنید، نه بازی!)، مثلاً هنگام بسته بندی وسایل مختلف. یا مثلا رادیاتورهای حرارت مرکزی را تصور کنید. برخی از آنها دارای شیر تنظیم در سمت چپ و برخی دیگر آن را در سمت راست دارند. چگونه چندین رادیاتور را به یک باتری متصل کنیم؟

یخچال و فریزر، اجاق گاز و سایر وسایل خانه معمولاً با دستگیره ها، کلیدها و شیرهای دست راست و چپ طراحی می شوند. توانایی فوق العاده چرخاندن چنین اجسامی در بعد چهارم، هر کسی که با حمل و نقل و نصب آنها سر و کار دارد را بسیار خوشحال می کند.

به دیکشنری نگاه کنید!

در ابتدای کتاب انسان را موجودی متقارن نامیدیم. پس از آن، اصطلاح "تقارن" دیگر استفاده نشد. با این حال، احتمالاً قبلاً متوجه شده اید که در همه مواردی که پاره خط ها، شکل های مسطح یا اجسام فضایی مشابه بودند، اما بدون اعمال اضافی، ترکیب آنها غیرممکن بود، "عملا" غیرممکن بود، ما با پدیده تقارن مواجه شدیم. این عناصر مانند یک نقاشی و تصویر آینه آن با یکدیگر مطابقت داشتند. مثل دست چپ و راست. اگر زحمت نگاه کردن به «فرهنگ لغات بیگانه» را بکنیم، متوجه خواهیم شد که تقارن به معنای «تناسب، مطابقت کامل در ترتیب اجزای کل نسبت به خط وسط، مرکز... نقاط نسبت به نقطه (مرکز تقارن)، خط مستقیم (محور تقارن) یا صفحه (صفحه تقارن)، که در آن هر دو نقطه متناظر بر روی یک خط مستقیم قرار دارند که از مرکز تقارن می گذرد، در همان عمود بر محور یا صفحه تقارن در یک فاصله از آنها قرار دارند..." ( فرهنگ لغات بیگانه: ویرایش. هفتم، بازنگری شده -م. زبان روسی 1980، ص. 465)

و این همه چیز نیست، همانطور که اغلب در مورد کلمات خارجی اتفاق می افتد، کلمه "تقارن" معانی زیادی دارد. این دقیقاً مزیت چنین عباراتی است: آنها را می توان در مواردی استفاده کرد که کسی نمی خواهد تعریف واضحی ارائه دهد یا به سادگی تفاوت واضحی بین دو شی نمی داند.

زمانی که ناهماهنگی های جزئی اجازه استفاده از کلمه متقارن را نمی دهد، اصطلاح «متناسب» را در رابطه با یک شخص، یک تصویر یا هر شیء به کار می بریم.

از آنجایی که در حال جستجو در کتاب های مرجع هستیم، بیایید نگاهی به فرهنگ لغت دایره المعارف بیندازیم ( فرهنگ لغت دایره المعارف شوروی - م.: دایره المعارف شوروی، 1980، ص. 1219-1220). ما در اینجا شش مقاله را خواهیم یافت که با کلمه "تقارن" شروع می شوند. علاوه بر این، این کلمه در بسیاری از مقالات دیگر آمده است.

در ریاضیات، کلمه "تقارن" حداقل هفت معنی دارد (از جمله چند جمله ای های متقارن، ماتریس های متقارن). در منطق روابط متقارن وجود دارد. تقارن نقش مهمی در کریستالوگرافی دارد (در این کتاب بیشتر در این مورد خواهید خواند). مفهوم تقارن در زیست شناسی به طرز جالبی تفسیر می شود. شش نوع مختلف تقارن را شرح می دهد. به عنوان مثال، ما یاد می گیریم که ctenophore ها نامتقارن هستند، در حالی که گل های Snapdragon به صورت دو طرفه متقارن هستند. متوجه خواهیم شد که تقارن در موسیقی و رقص (رقص) وجود دارد. در اینجا به تناوب ضربان بستگی دارد. به نظر می رسد که بسیاری از آهنگ ها و رقص های محلی به طور متقارن ساخته شده اند.

بنابراین، باید در مورد چه نوع تقارن صحبت کنیم، توافق کنیم. صرف نظر از ماهیت اشیاء مورد بررسی، علاقه اصلی برای ما تقارن آینه ای خواهد بود - تقارن چپ و راست. خواهیم دید که این محدودیت ظاهری ما را به دنیای علم و فناوری بسیار دور خواهد برد و به ما اجازه خواهد داد که هر از گاهی توانایی های مغز خود را (از آنجایی که برای تقارن برنامه ریزی شده است) آزمایش کنیم.

بازی نقطه و خط

ما هنوز Lineland و Flatland را ترک نکرده ایم. و این دلیل خاصی دارد. حتی اگر هیچ ساکنی در آنجا وجود نداشته باشد، پس خطوط مستقیم و هواپیماها خود کاملا واقعی هستند!

بیایید به این فکر کنیم که چگونه چیزها با تقارن روی یک خط مستقیم ایستاده اند. با کمک دو مسابقه می توانیم به سادگی دو مورد ممکن را تصور کنیم. (ما قبلاً برخی از جنبه های این وضعیت را بررسی کرده ایم.) کبریت ها می توانند با سر در یک جهت قرار گیرند. سپس آنها به راحتی با هم قرار می گیرند. یا با سرها (یا نوک ها) روبروی یکدیگر. در این حالت، نقطه ای در خط مستقیم وجود دارد که می توان آینه را به گونه ای در آن قرار داد که به نظر می رسد کبریت با انعکاس آن هماهنگ باشد. به عبارت دیگر، یک مرکز تقارن روی خط مستقیم وجود دارد. باید تصور کنیم که آینه در یک نقطه قرار می گیرد و نیمی از یک خط مستقیم در آن منعکس می شود. در استدلال ریاضی این کاملا امکان پذیر است.

ارقام مسطح در محورهای تقارن "انعکاس" می یابند

هنگام ساختن روی هواپیما، آینه ما ممکن است همچنان یک نقطه یا شاید یک خط مستقیم باقی بماند. احتمالاً صحیح تر است که آن را به ترتیب معکوس بگوییم: یک خط مستقیم یا یک نقطه به عنوان یک آینه عمل می کند. از این گذشته ، اگر یک خط مستقیم در جایی وجود داشته باشد ، یک مرکز نقطه تقارن روی آن امکان پذیر است.

بازتاب‌های آینه‌ای نیمه‌های صفحات شبیه به صفحات واقعی هستند: با چرخش صفحه حول یک خط مستقیم - آینه - می‌توان آن را با بازتاب ترکیب کرد، از این رو عبارت "محور تقارن" را بیان می‌کند.

یک دایره دارای بی نهایت محور تقارن است. "برگ شبدر" - فقط یک

بنابراین، اکنون می دانیم که یک مرکز تقارن و یک محور تقارن چیست و همچنین یک شی (بیایید این کلمه خنثی را بگیریم) متقارن است اگر نیمی از آن به دیگری مرتبط باشد، مانند تصویر و تصویر آینه ای آن.

یک دایره دارای بی نهایت محور تقارن است و همه آنها از یک مرکز تقارن مشترک عبور می کنند. برای سایر شکل ها، تعداد محورهای تقارن محدود است، اما همچنان همه محورها (دو یا بیشتر) از مرکز تقارن عبور می کنند. این بدان معنی است که می توانیم شکل را با یک زاویه خاص بچرخانیم (حداکثر 180 درجه) و دوباره دقیقاً در همان مکان قبل از چرخش قرار می گیرد.

بیایید استدلال خود را در مورد تقارن آینه ای ادامه دهیم. به راحتی می توان تعیین کرد که هر شکل صفحه متقارن را می توان با استفاده از یک آینه با خودش تراز کرد. تعجب آور است که چنین شکل های پیچیده ای مانند یک ستاره پنج پر یا یک پنج ضلعی متساوی الاضلاع نیز متقارن هستند. همانطور که از تعداد محورها بر می آید، آنها با تقارن بالا متمایز می شوند. و بالعکس: درک اینکه چرا چنین شکل به ظاهر منظم، مانند متوازی الاضلاع مورب، نامتقارن است، چندان آسان نیست. در ابتدا به نظر می رسد که یک محور تقارن می تواند به موازات یکی از اضلاع آن حرکت کند. اما به محض اینکه ذهنی سعی می کنید از آن استفاده کنید، بلافاصله متقاعد می شوید که اینطور نیست. مارپیچ نیز نامتقارن است.

به اندازه کافی عجیب، چنین شکل به ظاهر "متقارن"، مانند متوازی الاضلاع، نه تنها محورهای تقارن، بلکه به طور کلی تقارن آینه ای نیز ندارد.

در حالی که ارقام متقارن کاملاً با بازتاب آنها مطابقت دارند ، موارد نامتقارن با آن متفاوت است: از چرخش مارپیچی از راست به چپ ، در آینه یک پیچش مارپیچی از چپ به راست دریافت خواهید کرد. این ویژگی اغلب در بازی های دسته جمعی و مسابقاتی که در تلویزیون انجام می شود استفاده می شود. از بازیکنان خواسته می شود تا در آینه نگاه کنند و تعدادی شکل نامتقارن مانند یک مارپیچ بکشند. و سپس دوباره مارپیچ "دقیقا همان" را بکشید، اما بدون آینه. مقایسه هر دو نقاشی نشان می دهد که مارپیچ ها متفاوت بودند: یکی از چپ به راست می پیچد، دیگری از راست به چپ.

اما آنچه در اینجا در زندگی عملی مانند یک شوخی به نظر می رسد نه تنها برای کودکان، بلکه برای بزرگسالان نیز مشکلات زیادی ایجاد می کند. بچه ها اغلب حروفی را از داخل می نویسند. N لاتین شبیه I است، به جای S و Z به S و Z تبدیل می شود. اگر به حروف الفبای لاتین با دقت نگاه کنیم (و اینها نیز در اصل، اشکال مسطح هستند!)، در میان آنها متقارن خواهیم دید. و نامتقارن حروفی مانند N، S، Z دارای یک محور تقارن واحد نیستند (همانطور که F، G، J، L، P، Q و R). اما N، S و Z به خصوص برای نوشتن "معکوس" آسان است ( آنها مرکز تقارن دارند. - تقریبا ویرایش کنید). تمام حروف بزرگ دیگر حداقل یک محور تقارن دارند. حروف A، M، T، U، V، W و Y را می توان در طول محور طولی تقارن به نصف تقسیم کرد. حروف B، C، D، E، I، K - محور عرضی تقارن. حروف H، O و X هر کدام دو محور متقارن عمود بر هم دارند.

اگر حروف را در مقابل یک آینه قرار دهید و آن را موازی با خط قرار دهید، متوجه خواهید شد که حروفی که محور تقارن آنها به صورت افقی است را نیز می توان در آینه خواند. اما آنهایی که محورشان عمودی است یا اصلاً وجود ندارد "ناخوانا" می شوند.

این سوال که چرا حروف با محور طولی متفاوت از حروف با محور عرضی رفتار می کنند بسیار جالب است. شاید شما هم به آن فکر کنید. در ادامه به دلیل این پدیده خواهیم پرداخت.

کودکانی هستند که با دست چپ می نویسند و تمام حروفشان به صورت آینه ای و منعکس شده بیرون می آید. خاطرات لئوناردو داوینچی با فونت آینه ای نوشته شده است. احتمالاً هیچ دلیل قانع‌کننده‌ای وجود ندارد که ما را مجبور کند که نامه‌ها را به روشی که انجام می‌دهیم بنویسیم. بعید است که تسلط بر فونت آینه ای دشوارتر از فونت معمولی ما باشد.

املا آسان تر نخواهد بود، و برخی از کلمات، مانند OTTO، به هیچ وجه تغییر نمی کنند. زبان هایی وجود دارد که در آنها طرح کلی کاراکترها بر اساس وجود تقارن است. بنابراین، در نوشتار چینی، هیروگلیف به معنای وسط واقعی است.

در معماری از محورهای تقارن به عنوان ابزاری برای بیان طراحی معماری استفاده می شود. در مهندسی، محورهای تقارن به وضوح در جایی مشخص می شوند که برآورد انحراف از موقعیت صفر ضروری است، به عنوان مثال، روی فرمان یک کامیون یا روی فرمان یک کشتی.

دنیای ما در آینه

از Lineland ایده مرکز تقارن و از Flatland ایده یک محور تقارن را گرفتیم. در دنیای سه بعدی اجسام فضایی، جایی که ما زندگی می کنیم، به همین ترتیب سطوح تقارن وجود دارد. یک "آینه" همیشه یک بعد کمتر از جهانی دارد که منعکس می کند. وقتی به اجسام گرد نگاه می کنیم، فوراً مشخص می شود که آنها دارای صفحات تقارن هستند، اما تعیین تعداد دقیق آنها همیشه آسان نیست.

بیایید یک توپ را جلوی آینه بگذاریم و به آرامی آن را بچرخانیم: تصویر آینه به هیچ وجه با تصویر اصلی تفاوتی نخواهد داشت، البته اگر توپ هیچ ویژگی متمایزی روی سطح خود نداشته باشد. توپ پینگ پنگ سطوح بی شماری از تقارن را نشان می دهد. بیایید یک چاقو برداریم، نیمی از توپ را برش دهیم و آن را جلوی آینه قرار دهیم. تصویر آینه ای دوباره این نیمه را به یک توپ کامل کامل می کند.

اما اگر یک کره را بگیریم و تقارن آن را با در نظر گرفتن خطوط جغرافیایی مشخص شده روی آن در نظر بگیریم، آنگاه یک صفحه تقارن پیدا نخواهیم کرد.

در فلاتلند، شکلی با محورهای تقارن بی‌شماری یک دایره بود. بنابراین، ما نباید تعجب کنیم که در فضا خواص مشابه ذاتی توپ هستند. اما اگر یک دایره منحصر به فرد باشد، در دنیای سه بعدی یک سری کامل از اجسام با تعداد بی نهایت صفحه تقارن وجود دارد: یک استوانه مستقیم با یک دایره در پایه، یک مخروط با یک دایره یا نیمکره پایه، یک توپ یا قسمتی از یک توپ. یا بیایید مثال هایی از زندگی بگیریم: یک سیگار، یک سیگار، یک لیوان، یک کیک پوندی مخروطی شکل با بستنی، یک تکه سیم، یک پیپ.

اگر نگاه دقیق‌تری به این اجسام بیندازیم، متوجه می‌شویم که همه آن‌ها به یک شکل از یک دایره تشکیل شده‌اند، از طریق تعداد نامتناهی محور تقارن، صفحات تقارن بی‌شماری وجود دارد. بیشتر این اجسام (به آنها اجسام انقلابی گفته می شود) البته دارای یک مرکز تقارن (مرکز دایره) نیز هستند که حداقل یک محور تقارن از آن عبور می کند.

به عنوان مثال، محور بستنی به وضوح قابل مشاهده است. از وسط دایره (از بستنی بیرون زده!) تا انتهای تیز مخروط قیف می رود. ما مجموع عناصر تقارن یک جسم را به عنوان نوعی اندازه گیری تقارن درک می کنیم. توپ، بدون شک، از نظر تقارن، تجسم بی نظیری از کمال، یک ایده آل است. یونانیان باستان آن را به عنوان کامل ترین بدن، و دایره، به طور طبیعی، به عنوان کامل ترین شکل صاف درک می کردند.

به طور کلی، این ایده ها تا به امروز کاملا قابل قبول هستند. علاوه بر این، فیلسوفان یونانی به این نتیجه رسیدند که جهان بدون شک باید بر اساس مدل یک ایده آل ریاضی ساخته شود. از این نتیجه گیری اشتباهاتی به وجود آمد که در ادامه به پیامدهای آن خواهیم پرداخت. واضح است که یونانیان باستان هنوز پفک بستنی نداشتند! در غیر این صورت، چنین جسم پروزائی که دارای سطوح بی شماری از تقارن است، می تواند سیستم هماهنگ آنها را مختل کند.

اگر برای مقایسه به یک مکعب نگاه کنیم، خواهیم دید که 9 صفحه تقارن دارد. سه تای آن‌ها وجه‌های آن را نصف می‌کنند و شش مورد از رئوس آن عبور می‌کنند. در مقایسه با توپ، البته این کافی نیست.

آیا اجسامی وجود دارند که از نظر تعداد صفحات، موقعیت میانی بین یک کره و یک مکعب را اشغال کنند؟ بدون شک - بله. فقط باید به خاطر داشت که یک دایره، در اصل، از چند ضلعی تشکیل شده است. ما در مدرسه هنگام محاسبه عدد π از این طریق گذشتیم. اگر یک هرم n ضلعی بر روی هر n ضلعی قرار دهیم، می توانیم n صفحه تقارن را از میان آن رسم کنیم.

می توان سیگار 32 وجهی را تهیه کرد که تقارن مناسبی داشته باشد!

اما اگر با این وجود، مکعب را به عنوان یک جسم متقارن تر از پوند بستنی بدنام درک کنیم، این به دلیل ساختار سطح است. توپ فقط یک سطح دارد. مکعب دارای شش عدد از آنها است - با توجه به تعداد چهره ها، و هر وجه با یک مربع نشان داده می شود. یک قیف بستنی از دو سطح تشکیل شده است: یک دایره و یک پوسته مخروطی شکل.

برای بیش از دو هزار سال (احتمالاً به دلیل درک مستقیم)، به طور سنتی به اجسام هندسی "متناسب" ترجیح داده می شود. افلاطون فیلسوف یونانی (427-347 قبل از میلاد) کشف کرد که تنها پنج جسم سه بعدی را می توان از شکل های مسطح منظم و متجانس ساخت.

از چهار مثلث منظم (متساوی الاضلاع) یک چهار وجهی (چهارضلعی) به دست می آید. از هشت مثلث منظم می توانید یک هشت وجهی (هشت ضلعی) و در نهایت از بیست مثلث منظم - یک ایکو وجهی بسازید. و فقط از چهار، هشت یا بیست مثلث یکسان می توان یک جسم هندسی سه بعدی به دست آورد. از مربع ها می توانید فقط یک شکل حجمی - یک شش ضلعی (هگزا وجهی) و از پنج ضلعی متساوی الاضلاع - دوازده وجهی (دوده وجهی) بسازید.

و چه چیزی در دنیای سه بعدی ما کاملاً فاقد تقارن آینه ای است؟

اگر در Flatland یک مارپیچ مسطح بود، پس در دنیای ما مطمئناً یک پله مارپیچ یا یک مته مارپیچ خواهد بود. علاوه بر این، هزاران چیز و شی نامتقارن دیگر در زندگی و فناوری اطراف ما وجود دارد. به عنوان یک قاعده، پیچ دارای یک موضوع سمت راست است. اما گاهی چپ هم پیدا می شود. بنابراین، برای ایمنی بیشتر، سیلندرهای پروپان به یک رزوه سمت چپ مجهز شده اند، به طوری که یک شیر کاهنده در نظر گرفته شده، به عنوان مثال، برای سیلندر با گاز دیگر، نمی تواند روی آنها پیچ شود. در زندگی روزمره، این بدان معنی است که هنگام کمپینگ، قبل از پخت و پز روی اجاق گاز، همیشه باید سعی کنید که سیلندر از چه طریقی باز شود.

بین توپ و مکعب، از یک سو، و راه پله مارپیچ، از سوی دیگر، هنوز درجات زیادی از تقارن وجود دارد. می توانیم به تدریج صفحات تقارن، محورها و مرکز را از مکعب کم کنیم تا به حالت عدم تقارن کامل برسیم.

ما، مردم، تقریباً در انتهای این سری از تقارن ایستاده ایم، تنها با یک صفحه تقارن که بدن ما را به دو نیمه چپ و راست تقسیم می کند. درجه تقارن ما مانند فلدسپات معمولی است (کانی که گنیس یا گرانیت را همراه با میکا و کوارتز تشکیل می دهد).

پنج جامد افلاطونی

برای چندوجهی معمولی عبارات زیر درست است:

1. در هر چند وجهی (از جمله آنهایی که منظم هستند)، مجموع تمام زوایای بین یالهای همگرا در یک راس همیشه کمتر از 360 درجه است.

2. با قضیه اویلر برای چندوجهی محدب

که e تعداد رئوس، ƒ تعداد وجه ها و k تعداد یال ها است.

وجه های چند وجهی منتظم فقط می توانند چندضلعی های منظم زیر باشند:

3، 4 یا 5 مثلث متساوی الاضلاع با زاویه 60 درجه. شش مثلث از این قبیل قبلاً 60 درجه X 6 = 360 درجه می دهند و بنابراین نمی توانند زاویه چند وجهی را محدود کنند.

سه مربع (90 درجه X 3 = 270 درجه)، 3 پنج ضلعی منظم (108 درجه X 3 = 324 درجه)، 3 شش ضلعی منظم (120 درجه X 3 = 360 درجه) یک زاویه چند وجهی را مشخص می کنند.

از قضیه اویلر و شکل وجوه چنین بر می آید که فقط 5 چند وجهی منظم وجود دارد:

جدول پنج چند وجهی منظم

اشکال صورت	عدد				جامدات افلاطونی
	چهره ها در یک راس	قله ها	چهره ها	دنده
مثلث های متساوی الاضلاع	3	4	4	6	چهار وجهی
یکسان	4	6	8	12	هشت وجهی
یکسان	5	12	20	30	Icosahedron
مربع ها	3	8	6	12	شش وجهی (مکعب)
پنج ضلعی های صحیح	3	20	12	20	پنتاگون- دوازده وجهی

(هر وجهی از دوازده وجهی پنتاگون یک شکل پنج ضلعی است که در آن چهار ضلع با یکدیگر مساوی هستند، اما با ضلع پنجم متفاوت هستند. - تقریبا ترجمه)