میانه داده های نمونه تابع میانه در اکسل برای انجام تجزیه و تحلیل آماری

همراه با مقادیر میانگین، میانگین‌های ساختاری به عنوان ویژگی‌های آماری سری تغییرات توزیع‌ها محاسبه می‌شوند. روشو میانه.
روش(Mo) نشان دهنده مقدار مشخصه مورد مطالعه است که با بیشترین فراوانی تکرار می شود، یعنی. حالت - مقدار مشخصه ای که اغلب رخ می دهد.
میانه(من) مقدار صفتی است که در وسط جمعیت رتبه بندی شده (مرتب شده) قرار می گیرد، یعنی. میانه مقدار مرکزی یک سری تغییرات است.
ویژگی اصلی میانه این است که مجموع انحرافات مطلق مقادیر مشخصه از میانه کمتر از هر مقدار دیگری است ∑|x i - Me|=min.

تعیین حالت و میانه از داده های گروه بندی نشده

در نظر بگیریم تعیین حالت و میانه از داده های گروه بندی نشده. فرض کنید یک تیم کاری متشکل از 9 نفر دارای دسته بندی تعرفه های زیر است: 4 3 4 5 3 3 6 2 6. از آنجایی که این تیپ بیشترین کارگر رده 3 را دارد، این رده تعرفه ای معین خواهد بود. مو = 3.
برای تعیین میانه، باید یک رتبه بندی انجام شود: 2 3 3 3 4 4 5 6 6 . کارگر مرکزی در این مجموعه کارگر رده 4 است، بنابراین این رده میانه خواهد بود. اگر سری رتبه بندی شده شامل تعداد زوج واحد باشد، میانه به عنوان میانگین دو مقدار مرکزی تعریف می شود.
اگر حالت متداول ترین نوع مقدار مشخصه را منعکس کند، آنگاه میانه عملاً توابع میانگین را برای یک جمعیت ناهمگن انجام می دهد که از قانون عادی توزیع تبعیت نمی کند. اجازه دهید اهمیت شناختی آن را با مثال زیر نشان دهیم.
فرض کنید باید میانگین درآمد یک گروه از افراد متشکل از 100 نفر را مشخص کنیم که 99 نفر از آنها در بازه 100 تا 200 دلار در ماه درآمد دارند و درآمد ماهانه دومی 50000 دلار است (جدول 1).
جدول 1 - درآمد ماهانه گروه مورد مطالعه. اگر از میانگین حسابی استفاده کنیم، میانگین درآمد تقریباً 600 تا 700 دلار به دست می‌آید که شباهت چندانی با درآمد بخش اصلی گروه ندارد. میانه که در این مورد برابر با من = 163 دلار است، به ما امکان می دهد تا توصیفی عینی از سطح درآمد 99٪ این گروه از افراد ارائه دهیم.
بیایید تعیین حالت و میانه را با استفاده از داده های گروه بندی شده (سری های توزیع) در نظر بگیریم.
فرض کنید که توزیع کارگران کل شرکت به عنوان یک کل بر اساس دسته تعرفه به شکل زیر است (جدول 2).
جدول 2 - توزیع کارگران شرکت بر اساس دسته تعرفه

محاسبه مد و میانه برای یک سری گسسته

محاسبه حالت و میانه برای سری های بازه ای

محاسبه حالت و میانه برای یک سری تغییرات

تعیین حالت از یک سری تغییرات گسسته

یک سری از مقادیر مشخصه ساخته شده قبلی، مرتب شده بر اساس مقدار، استفاده می شود. اگر اندازه نمونه فرد باشد، مقدار مرکزی را می گیریم. اگر حجم نمونه زوج باشد، میانگین حسابی دو مقدار مرکزی را می گیریم.
تعیین حالت از یک سری تغییرات گسسته: رده تعرفه 5 بیشترین فراوانی را دارد (60 نفر) بنابراین مودال است. مو = 5.
برای تعیین مقدار میانه یک مشخصه، تعداد واحد میانه سری (N Me) با استفاده از فرمول زیر به دست می آید: , که در آن n حجم جامعه است.
در مورد ما: .
مقدار کسری حاصل که همیشه زمانی اتفاق می افتد که تعداد واحدهای جمعیت زوج باشد، نشان می دهد که نقطه میانی دقیق بین 95 تا 96 کارگر قرار دارد. باید مشخص شود کارگرانی که این شماره سریال ها را دارند جزو کدام گروه هستند. این را می توان با محاسبه فرکانس های انباشته شده انجام داد. در گروه اول که فقط 12 نفر هستند کارگری با این اعداد وجود ندارد و در گروه دوم (12+48=60) هیچ کارگری وجود ندارد. کارگران سال 95 و 96 در گروه سوم قرار دارند (12+48+56=116) بنابراین میانه طبقه تعرفه 4 است.

محاسبه مد و میانه در سری های بازه ای

بر خلاف سری تغییرات گسسته، تعیین مد و میانه از سری های بازه ای نیاز به محاسبات خاصی بر اساس فرمول های زیر دارد:
, (5.6)
جایی که x 0- حد پایین بازه مودال (فاصله با بالاترین فرکانس معین نامیده می شود).
من- مقدار فاصله مودال؛
f Mo- فرکانس بازه مودال؛
f Mo -1- فرکانس فاصله قبل از مدال؛
f Mo +1- فرکانس بازه بعد از حالت مودال.
(5.7)
جایی که x 0- حد پایین بازه میانه (میانگین اولین بازه ای است که فرکانس انباشته آن بیش از نیمی از مجموع فرکانس ها است).
من- مقدار فاصله متوسط؛
S Me -1- فاصله انباشته قبل از میانه؛
f Me- فرکانس بازه میانه.
اجازه دهید کاربرد این فرمول ها را با استفاده از داده های جدول نشان دهیم. 3.
فاصله با مرزهای 60 – 80 در این توزیع معین خواهد بود، زیرا بالاترین فرکانس را دارد. با استفاده از فرمول (5.6)، حالت را تعریف می کنیم:

برای تعیین فاصله میانه، لازم است فرکانس انباشته شده هر بازه بعدی را تعیین کنیم تا زمانی که از نصف مجموع فرکانس های انباشته شده (در مورد ما 50٪) تجاوز کند (جدول 5.11).
مشخص شد که میانگین فاصله با مرزهای 100 - 120 هزار روبل است. اکنون میانه را تعیین می کنیم:

جدول 3 - توزیع جمعیت فدراسیون روسیه بر اساس سطح متوسط ​​درآمد اسمی سرانه پولی در مارس 1994.

گروه ها بر اساس سطح متوسط ​​درآمد سرانه ماهانه، هزار روبل.	سهم جمعیت، %
تا 20	1,4
20 – 40	7,5
40 – 60	11,9
60 – 80	12,7
80 – 100	11,7
100 – 120	10,0
120 – 140	8,3
140 –160	6,8
160 – 180	5,5
180 – 200	4,4
200 – 220	3,5
220 – 240	2,9
240 – 260	2,3
260 – 280	1,9
280 – 300	1,5
بیش از 300	7,7
جمع	100,0

جدول 4 - تعیین فاصله میانه
بنابراین، میانگین حسابی، حالت و میانه را می توان به عنوان یک مشخصه تعمیم یافته مقادیر یک ویژگی خاص برای واحدهای یک جمعیت رتبه بندی شده استفاده کرد.
مشخصه اصلی مرکز توزیع میانگین حسابی است که با این واقعیت مشخص می شود که تمام انحرافات از آن (مثبت و منفی) به صفر می رسد. میانه با این واقعیت مشخص می شود که مجموع انحرافات از آن در مدول حداقل است و مد مقدار مشخصه ای است که اغلب رخ می دهد.
نسبت حالت، میانه و میانگین حسابی ماهیت توزیع مشخصه را در مجموع نشان می دهد و به ما امکان می دهد عدم تقارن آن را ارزیابی کنیم. در توزیع های متقارن، هر سه مشخصه منطبق هستند. هرچه اختلاف بین حالت و میانگین حسابی بیشتر باشد، سری نامتقارن تر است. برای سری های نسبتاً نامتقارن، تفاوت بین حالت و میانگین حسابی تقریباً سه برابر بیشتر از اختلاف بین میانه و میانگین است، یعنی:
|Mo –`x| = 3 | من –`x|.

تعیین مد و میانه به روش گرافیکی

حالت و میانه در یک سری بازه ای را می توان به صورت گرافیکی تعیین کرد. حالت توسط هیستوگرام توزیع تعیین می شود. برای این کار بلندترین مستطیل را انتخاب کنید که در این حالت مودال است. سپس راس سمت راست مستطیل مودال را به گوشه سمت راست بالای مستطیل قبلی وصل می کنیم. و راس سمت چپ مستطیل معین - با گوشه سمت چپ بالای مستطیل بعدی. از نقطه تقاطع آنها عمود بر محور آبسیسا را ​​پایین می آوریم. آبسیسا نقطه تقاطع این خطوط حالت توزیع خواهد بود (شکل 5.3).


برنج. 5.3. تعیین گرافیکی حالت با استفاده از هیستوگرام.


برنج. 5.4. تعیین گرافیکی میانه توسط تجمع
برای تعیین میانه از نقطه ای در مقیاس فرکانس های انباشته شده (فرکانس ها) مربوط به 50٪، یک خط مستقیم به موازات محور آبسیسا ترسیم می شود تا زمانی که با انباشته قطع شود. سپس از نقطه تقاطع، یک عمود بر محور x پایین می آید. آبسیسا نقطه تقاطع میانه است.

ربع، دهک، صدک

به طور مشابه، با یافتن میانه در سری تغییرات توزیع، می توانید مقدار ویژگی را برای هر واحد از سری رتبه بندی شده بیابید. بنابراین، برای مثال، می توانید مقدار ویژگی را برای واحدهایی که یک سری را به چهار قسمت مساوی، به 10 یا 100 قسمت تقسیم می کنند، بیابید. به این مقادیر «چارک»، «دهک»، «درصد» می گویند.
ربع ها ارزش یک ویژگی را نشان می دهند که جمعیت رتبه بندی شده را به 4 قسمت مساوی تقسیم می کند.
یک چارک پایینی (Q 1) وجود دارد که ¼ از جمعیت را با کمترین مقادیر مشخصه جدا می کند و یک چارک بالایی (Q 3) که ¼ از بخشی را با بالاترین مقادیر ویژگی جدا می کند. این به این معنی است که 25 درصد از واحدهای جمعیت از نظر ارزش Q 1 کوچکتر خواهند بود. 25% از واحدها بین Q 1 و Q 2 قرار خواهند گرفت. 25% بین Q 2 و Q 3 است و 25% باقی مانده از Q 3 ​​بیشتر است. چارک میانی Q2 میانه است.
برای محاسبه چارک ها با استفاده از سری تغییرات بازه ای، از فرمول های زیر استفاده می شود:
, ,
جایی که x Q 1- حد پایین بازه حاوی چارک پایین (فاصله با فرکانس انباشته تعیین می شود، اولین مورد بیش از 25٪).
x Q 3- حد پایین بازه حاوی چارک بالایی (فاصله با فرکانس انباشته تعیین می شود، اولین مورد بیش از 75٪).
من- اندازه فاصله؛
S Q 1-1- فرکانس انباشته فاصله قبل از بازه حاوی چارک پایین.
S Q 3-1- فرکانس انباشته فاصله قبل از بازه حاوی چارک بالایی؛
f Q 1- فرکانس بازه حاوی چارک پایین.
f Q 3- فرکانس بازه حاوی چارک بالایی.
بیایید محاسبه چارک های پایین و بالایی را با توجه به داده های جدول در نظر بگیریم. 5.10. چارک پایین در محدوده 60 تا 80 است که فراوانی تجمعی آن 33.5 درصد است. چارک بالایی در محدوده 160 تا 180 با فرکانس انباشته 75.8٪ قرار دارد. با در نظر گرفتن این موضوع دریافت می کنیم:
,
.
علاوه بر چارک ها، دهک ها را می توان در محدوده تغییرات توزیع تعیین کرد - گزینه هایی که سری تغییرات رتبه بندی شده را به ده قسمت مساوی تقسیم می کنند. دهک اول (d 1) جمعیت را به نسبت 1/10 به 9/10 تقسیم می کند، دهک دوم (d 1) - به نسبت 2/10 به 8/10 و غیره.
آنها با استفاده از فرمول محاسبه می شوند:
, .
مقادیر مشخصه ای که سری را به صد قسمت تقسیم می کند صدک نامیده می شود. نسبت میانه ها، چارک ها، دهک ها و صدک ها در شکل 1 ارائه شده است. 5.5.

حقوق در بخش‌های مختلف اقتصاد، سطح دما و بارندگی در یک قلمرو برای دوره‌های زمانی قابل مقایسه، بازده محصولات کشت شده در مناطق جغرافیایی مختلف و غیره. با این حال، میانگین به هیچ وجه تنها شاخص تعمیم‌کننده نیست - در برخی موارد. برای ارزیابی دقیق تر، مقدار مناسب میانه است. در آمار، به طور گسترده ای به عنوان یک ویژگی توصیفی کمکی برای توزیع یک ویژگی در یک جمعیت خاص استفاده می شود. بیایید بفهمیم که چگونه با میانگین تفاوت دارد و همچنین چرا لازم است از آن استفاده کنیم.

میانه در آمار: تعریف و ویژگی ها

وضعیت زیر را تصور کنید: 10 نفر به همراه مدیر در یک شرکت کار می کنند. کارگران معمولی 1000 UAH و مدیر آنها که مالک نیز است 10000 UAH دریافت می کند. اگر میانگین حسابی را محاسبه کنیم، معلوم می شود که میانگین حقوق در این شرکت 1900 UAH است. آیا این گفته درست خواهد بود؟ یا بیایید این مثال را در نظر بگیریم: در همان بخش بیمارستان 9 نفر با دمای 36.6 درجه سانتیگراد و یک نفر که دمای آن 41 درجه سانتیگراد است وجود دارد. میانگین حسابی در این حالت برابر است با: (36.6*9+41)/10 = 37.04 درجه سانتی گراد. اما این بدان معنا نیست که همه افراد حاضر بیمار هستند. همه اینها نشان می دهد که میانگین به تنهایی اغلب کافی نیست و به همین دلیل است که میانه علاوه بر آن استفاده می شود. در آمار به این اندیکاتور گزینه ای گفته می شود که دقیقا در وسط سری تغییرات سفارش داده شده قرار دارد. اگر آن را برای مثال های خود محاسبه کنیم، به ترتیب 1000 UAH دریافت می کنیم. و 36.6 درجه سانتی گراد. به عبارت دیگر، میانه در آمار، مقداری است که یک سری را به نصف تقسیم می کند، به گونه ای که در دو طرف آن (پایین یا بالا) تعداد واحدهای یکسانی در یک جمعیت معین وجود دارد. به دلیل این خاصیت، این شاخص چندین نام دیگر دارد: صدک 50 یا چندک 0.5.

چگونه میانه را در آمار پیدا کنیم

روش محاسبه این مقدار تا حد زیادی به نوع سری تغییرات ما بستگی دارد: گسسته یا فاصله ای. در مورد اول، میانه به سادگی در آمار یافت می شود. تنها کاری که باید انجام دهید این است که مجموع فرکانس ها را پیدا کنید، آن را بر 2 تقسیم کنید و سپس ½ به نتیجه اضافه کنید. بهتر است اصل محاسبه را با استفاده از مثال زیر توضیح دهید. فرض کنید داده‌های مربوط به باروری را گروه‌بندی کرده‌ایم و می‌خواهیم بفهمیم که میانگین چیست.

شماره گروه خانواده بر اساس تعداد فرزندان	تعداد خانواده ها

پس از چند محاسبات ساده، متوجه می شویم که شاخص مورد نیاز: 195/2 + ½ = گزینه است. برای اینکه بفهمید این به چه معناست، باید به ترتیب فرکانس ها را جمع آوری کنید و از کوچکترین گزینه ها شروع کنید. بنابراین، مجموع دو خط اول به ما 30 می دهد. واضح است که در اینجا 98 گزینه وجود ندارد. اما اگر فراوانی گزینه سوم (70) را به نتیجه اضافه کنید، مجموع برابر با 100 به دست می آید. دقیقاً شامل گزینه 98 است، یعنی میانه خانواده ای خواهد بود که دو فرزند دارد.

در مورد سری فاصله معمولاً از فرمول زیر استفاده می شود:

M e = X Me + i Me * (∑f/2 - S Me-1)/f Me، که در آن:

• X Me - اولین مقدار فاصله متوسط.
• ∑f - تعداد سری ها (مجموع فرکانس های آن).
• i Ме - مقدار محدوده میانه؛
• f Me - فرکانس محدوده میانه.
• S Ме-1 مجموع فرکانس های تجمعی در محدوده های قبل از میانه است.

باز هم، درک آن بدون مثال بسیار دشوار است. فرض کنید اطلاعاتی در مورد مقدار وجود دارد

حقوق، هزار روبل.		فرکانس های انباشته شده

برای استفاده از فرمول بالا، ابتدا باید فاصله میانی را تعیین کنیم. به عنوان چنین محدوده ای، محدوده ای را انتخاب کنید که فرکانس انباشته آن بیش از نیمی از مجموع فرکانس ها باشد یا برابر با آن باشد. بنابراین، با تقسیم 510 بر 2، متوجه می شویم که این معیار با فاصله زمانی با ارزش حقوق 250000 روبل مطابقت دارد. تا 300000 روبل. اکنون می توانید تمام داده ها را در فرمول جایگزین کنید:

M e = X Me + i Me * (∑f/2 - S Me-1)/f Me = 250 + 50 * (510/2 - 170) / 115 = 286.96 هزار روبل.

امیدواریم مقاله ما مفید بوده باشد و اکنون درک روشنی از اینکه میانگین در آمار چیست و چگونه باید محاسبه شود، دارید.

برای محاسبه میانه در MS EXCEL، یک تابع خاص MEDIAN() وجود دارد. در این مقاله ما میانه را تعریف می کنیم و یاد می گیریم که چگونه آن را برای یک نمونه و برای قانون توزیع داده شده یک متغیر تصادفی محاسبه کنیم.

بیا شروع کنیم با میانه هابرای نمونه ها(یعنی برای مجموعه ای ثابت از مقادیر).

میانه نمونه

میانه(میانگین) عددی است که وسط یک مجموعه اعداد است: نیمی از اعداد مجموعه بزرگتر از میانه، و نیمی از اعداد کمتر از میانه.

برای محاسبه میانه هاابتدا لازم است (مقادیر در نمونه). مثلا، میانهبرای نمونه (2; 3; 3; 4 ; 5 7; 10) 4 خواهد بود. زیرا فقط در نمونه 7 مقدار، سه مورد از آنها کمتر از 4 هستند (یعنی 2؛ 3؛ 3)، و سه مقدار بزرگتر هستند (یعنی 5؛ 7؛ 10).

اگر مجموعه شامل تعداد زوج باشد، برای دو عدد وسط مجموعه محاسبه می شود. مثلا، میانهبرای نمونه (2; 3; 3 ; 6 ; 7; 10) 4.5 خواهد بود، زیرا (3+6)/2=4.5.

برای تعیین میانه هادر MS EXCEL تابعی به همین نام MEDIAN()، نسخه انگلیسی MEDIAN() وجود دارد.

میانهلزوماً با . تطابق تنها زمانی رخ می دهد که مقادیر موجود در نمونه به طور متقارن نسبت به توزیع شده باشند میانگین. به عنوان مثال، برای نمونه ها (1; 2; 3 ; 4 ; 5; 6) میانهو میانگینبرابر با 3.5

اگر شناخته شود تابع توزیع F(x) یا تابع چگالی احتمال پ(ایکس)، آن میانهمی توان از معادله پیدا کرد:

به عنوان مثال، با حل تحلیلی این معادله برای توزیع Lognormal lnN(μ; σ2)، به دست می آوریم که میانهبا استفاده از فرمول =EXP(μ) محاسبه می شود. وقتی μ=0، میانه 1 است.

به نکته توجه کنید توابع توزیع، برای کدام اف(x)=0.5(تصویر بالا را ببینید) . آبسیسا این نقطه برابر با 1 است. این مقدار میانه است که طبیعتاً با مقدار محاسبه شده قبلی با استفاده از فرمول em مطابقت دارد.

در MS EXCEL میانهبرای توزیع لگ نرمال LnN(0;1) را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد =LOGNORM.REV(0.5،0،1).

توجه داشته باشید: به یاد بیاورید که انتگرال از در کل دامنه تعیین متغیر تصادفی برابر با یک است.

بنابراین خط میانه (x=Median) مساحت زیر نمودار را تقسیم می کند توابع چگالی احتمالبه دو قسمت مساوی

با توجه به اینکه محقق اطلاعاتی از حجم فروش در هر صرافی ندارد، محاسبه میانگین حسابی برای تعیین میانگین قیمت هر دلار غیرعملی است.

میانه یک سری اعداد

با این حال، می توان مقدار ویژگی را تعیین کرد که به آن میانه (Me) می گویند. میانه

در مثال ما

عدد میانه: NoMe = ;

روش

جدول 3.6.

f- مجموع فرکانس های سری؛

S فرکانس های تجمعی

12_

_

S - فرکانس های انباشته شده

در شکل 3.2. هیستوگرام توزیع بانک ها بر اساس حاشیه سود نشان داده شده است (طبق جدول 3.6).

x - مقدار سود، میلیون روبل،

f تعداد بانک ها است.

"مدین سری سفارش داده شده"

متن نسخه HTML انتشار

نکات درس جبر در کلاس هفتم

موضوع درس: «میدانه یک سری سفارشی».

معلم مدرسه Ozyornaya، شعبه مدرسه متوسطه MCOU Burkovskaya Eremenko Tatyana Alekseevna
اهداف:
مفهوم میانه به عنوان یک مشخصه آماری یک سری مرتب. توانایی یافتن میانه برای سریال های مرتب شده با تعداد زوج و فرد را توسعه دهید. برای توسعه توانایی تفسیر مقادیر میانه بسته به موقعیت عملی، برای تحکیم مفهوم میانگین حسابی مجموعه ای از اعداد. مهارت های کار مستقل را توسعه دهید. علاقه خود را به ریاضیات توسعه دهید.
در طول کلاس ها

کار شفاهی.
ردیف ها داده می شود: 1) 4; 1 8; 5 1 2)؛ 9; 3; 0.5; ; 3) 6; 0.2; ; 4 6; 7.3; 6. پیدا کنید: الف) بزرگترین و کوچکترین مقادیر هر سری. ب) محدوده هر ردیف؛ ج) حالت هر ردیف.
II. توضیح مطالب جدید
طبق کتاب درسی کار کنید. 1. مسئله را از بند 10 کتاب درسی در نظر بگیریم. سریال سفارشی یعنی چی؟ تاکید می کنم قبل از یافتن میانه، همیشه باید سری داده را سفارش دهید. 2. روی تابلو با قوانین یافتن میانه برای سریال هایی با تعداد جمله زوج و فرد آشنا می شویم:
میانه

منظم

ردیف
شماره
با

فرد

عدد

اعضا
عددی است که در وسط نوشته شده است و
میانه

سریال سفارش داده شده
شماره
با تعداد اعضا زوج
میانگین حسابی دو عدد نوشته شده در وسط نامیده می شود.
میانه

دلخواه

ردیف
میانه 1 3 1 7 5 4 سری مرتب شده مربوطه نامیده می شود.
توجه می کنم که شاخص ها بر اساس میانگین حسابی، حالت و میانه هستند

متفاوت

مشخص کردن

داده ها،

اخذ شده

نتیجه

مشاهدات

III. شکل گیری مهارت ها و توانایی ها.
گروه 1. تمرین هایی در مورد استفاده از فرمول ها برای یافتن میانه یک سری مرتب و نامرتب. 1.
№ 186.
راه حل:الف) تعداد اعضای سریال پ= 9; میانه مه= 41; ب) پ= 7، ردیف مرتب شده است، مه= 207; V) پ= 6، ردیف مرتب شده است، مه= = 21; ز) پ= 8، ردیف مرتب شده است، مه= = 2.9. جواب: الف) 41; ب) 207; در 21; د) 2.9. دانش آموزان در مورد چگونگی یافتن میانه نظر می دهند. 2. میانگین حسابی و میانه یک سری اعداد را بیابید: الف) 27، 29، 23، 31، 21، 34. V)؛ 1. ب) 56، 58، 64، 66، 62، 74. راه حل:برای یافتن میانه، لازم است هر ردیف را مرتب کنید: الف) 21، 23، 27، 29، 31، 34. پ = 6; ایکس = = 27,5; مه= = 28; 20 22 2 + 2، 6 3، 2 2 + 1125 ; ; ; 3636 21 23 27 29 31 34 165 66 +++++ = 27 29 2 + ب) 56، 58، 62، 64، 66، 74.

چگونه میانه را در آمار پیدا کنیم

پ = 6; ایکس = 63,3; مه= = 63; V)؛ 1. پ = 5; ایکس = : 5 = 3: 5 = 0,6; مه = . 3.
№ 188
(شفاهی). پاسخ: بله؛ ب) خیر؛ ج) خیر؛ د) بله. 4. دانستن اینکه یک سری سفارش داده شده شامل تیاعداد، کجا تی- یک عدد فرد، تعداد عضوی را که میانه اگر است نشان دهید تیبرابر است با: الف) 5; ب) 17; ج) 47; د) 201. جواب: الف) 3; ب) 9; ج) 24; د) 101. گروه دوم. کارهای عملی برای یافتن میانه سری مربوطه و تفسیر نتیجه به دست آمده. 1.
№ 189.
راه حل:تعداد اعضای سریال پ= 12. برای یافتن میانه، سری باید مرتب شود: 136، 149، 156، 158، 168، 174، 178، 179، 185، 185، 185، 194. میانه سری مه= = 176. خروجی ماهانه بیشتر از میانگین برای اعضای زیر آرتل بود: 56 58 62 64 66 74 380 66 +++++ =≈ 62 64 2 + 1125 ; ; ; 3636 1125 12456 18 1:5:5 6336 6 6 ++++ ⎛⎞ ++++ = = ⎜⎟ ⎝⎠ 2 3 67 12217 xx+ + = 1) کویتکو؛ 4) بابکوف؛ 2) بارانوف؛ 5) ریلوف؛ 3) آنتونوف؛ 6) آستافیف. جواب: 176. 2.
№ 192.
راه حل:بیایید سری داده ها را مرتب کنیم: 30، 31، 32، 32، 32، 32، 32، 32، 33، 35، 35، 36، 36، 36، 38، 38، 38، 40، 40، 42. تعداد اعضای سریال پ= 20. تاب آ = ایکسحداکثر - ایکس min = 42 – 30 = 12. مد مو= 32 (این مقدار 6 بار رخ می دهد - بیشتر از سایرین). میانه مه= = 35. در این مورد، محدوده بیشترین تغییر را در زمان پردازش قطعه نشان می دهد. حالت معمولی ترین مقدار زمان پردازش را نشان می دهد. میانه - زمان پردازش، که نیمی از ترنرها از آن تجاوز نکردند. پاسخ: 12; 32; 35.
IV. خلاصه درس.
– میانه یک سری اعداد چیست؟ – آیا میانه یک سری از اعداد با هیچ یک از اعداد سری منطبق نیست؟ – میانه یک سری مرتب شده حاوی 2 چه عددی است پشماره؟ 2 پ- 1 عدد؟ – چگونه میانه یک سریال نامرتب را پیدا کنیم؟
مشق شب:
№ 187, № 190, № 191, № 254. 10 11 35 35 22 xx + + =

به بخش آموزش عمومی پایه

حالت و میانه

مقادیر متوسط ​​نیز شامل حالت و میانه است.

میانه و مد اغلب به عنوان یک مشخصه میانگین در جمعیت هایی استفاده می شود که محاسبه میانگین (حساب، هارمونیک و غیره) غیرممکن یا غیرعملی است.

به عنوان مثال، یک بررسی نمونه از 12 صرافی تجاری در Omsk امکان ثبت قیمت های مختلف دلار را هنگام فروش آن فراهم کرد (داده های 10 اکتبر 1995 با نرخ تبدیل دلار -4493 روبل).

با توجه به اینکه محقق اطلاعاتی از حجم فروش در هر صرافی ندارد، محاسبه میانگین حسابی برای تعیین میانگین قیمت هر دلار غیرعملی است. با این حال، می توان مقدار ویژگی را تعیین کرد که به آن میانه (Me) می گویند. میانهدر وسط ردیف رتبه بندی شده قرار دارد و آن را به نصف تقسیم می کند.

محاسبه میانه برای داده های گروه بندی نشده به شرح زیر است:

الف) مقادیر فردی مشخصه را به ترتیب صعودی مرتب کنید:

4500 4500 4535 4540 4550 4560 4560 4560 4560 4570 4570 4570

ب) عدد ترتیبی میانه را با استفاده از فرمول تعیین کنید:

در مثال ما این بدان معنی است که میانه در این مورد بین مقادیر ششم و هفتم ویژگی در سری رتبه بندی شده قرار دارد، زیرا این سری دارای تعداد زوجی از مقادیر فردی است. بنابراین، Me برابر است با میانگین حسابی مقادیر همسایه: 4550، 4560.

ج) روش محاسبه میانه را در مورد تعداد فرد مقادیر فردی در نظر بگیرید.

فرض کنید ما نه 12، بلکه 11 نقطه مبادله ارز را مشاهده می کنیم، سپس سری رتبه بندی شده به این صورت خواهد بود (نقطه 12 را کنار بگذارید):

4500 4500 4535 4540 4550 4560 4560 4560 4560 4570 4570

عدد میانه: NoMe = ;

در جایگاه ششم = 4560 است که میانه است: Me = 4560. در دو طرف آن تعداد نقاط یکسانی وجود دارد.

روش- این رایج ترین مقدار یک مشخصه در میان واحدهای یک جمعیت معین است. با یک مقدار مشخصه خاص مطابقت دارد.

در مورد ما، قیمت معین به ازای هر دلار را می توان 4560 روبل نامید: این مقدار 4 بار، بیشتر از بقیه، تکرار می شود.

در عمل، حالت و میانه معمولاً با استفاده از داده های گروه بندی شده یافت می شوند. در نتیجه گروه بندی، مجموعه ای از توزیع های بانک ها بر اساس میزان سود دریافتی سال به دست آمد (جدول 3.6.).

جدول 3.6.

گروه بندی بانک ها بر اساس میزان سود دریافتی سال

برای تعیین میانه، باید مجموع فرکانس های تجمعی را محاسبه کنید. افزایش کل تا زمانی ادامه می یابد که مجموع انباشته فرکانس ها از نصف مجموع فرکانس ها تجاوز کند. در مثال ما، مجموع فرکانس های انباشته شده (12) بیش از نیمی از تمام مقادیر (20:2) است. این مقدار مربوط به بازه میانه است که حاوی میانه (5.5 - 6.4) است. بیایید مقدار آن را با استفاده از فرمول تعیین کنیم:

مقدار اولیه بازه حاوی میانه کجاست.

- مقدار فاصله متوسط؛

f- مجموع فرکانس های سری؛

- مجموع فرکانس های تجمعی قبل از بازه میانه؛

- فرکانس بازه میانه.

بنابراین 50 درصد بانک ها 6.1 میلیون روبل سود دارند و 50 درصد بانک ها بیش از 6.1 میلیون روبل سود دارند.

بالاترین فرکانس نیز مربوط به فاصله 5.5 - 6.4 است، یعنی. حالت باید در این فاصله باشد. مقدار آن را با استفاده از فرمول تعیین می کنیم:

مقدار اولیه بازه حاوی حالت کجاست.

- مقدار فاصله مودال؛

- فرکانس بازه مودال؛

- فرکانس فاصله قبل از مدال؛

- فرکانس بازه بعد از حالت مدال.

فرمول حالت داده شده را می توان در سری تغییرات با فواصل مساوی استفاده کرد.

بنابراین، در این جمعیت، رایج ترین اندازه سود 6.10 میلیون روبل است.

میانه و حالت را می توان به صورت گرافیکی تعیین کرد. میانه توسط تجمع تعیین می شود (شکل 3.1.). برای ساخت آن باید فرکانس ها و فرکانس های تجمعی را محاسبه کرد. فرکانس‌های تجمعی نشان می‌دهند که چند واحد جمعیت دارای مقادیر مشخصه‌ای هستند که بیشتر از مقدار مورد نظر نیستند و با جمع متوالی فرکانس‌های بازه‌ای تعیین می‌شوند. هنگام ساخت یک سری توزیع فاصله تجمعی، حد پایین اولین بازه با فرکانس برابر با صفر و حد بالایی مربوط به کل فرکانس یک بازه معین است. حد بالایی بازه دوم مربوط به فرکانس تجمعی برابر با مجموع فرکانس های دو بازه اول و غیره است.

بیایید با توجه به داده های جدول یک منحنی تجمعی بسازیم. 6 در مورد توزیع بانک ها بر اساس حاشیه سود.

S فرکانس های تجمعی

12_

_

3.7-4.6 4.6-5.5 5.5-6.4 6.4-7.3 7.3-8.2 X سود

برنج. 3.1. انباشته های سری توزیع بانک ها بر اساس حاشیه سود:

x - مقدار سود، میلیون روبل،

S - فرکانس های انباشته شده

برای تعیین میانه، ارتفاع بزرگ‌ترین مختصات، که با اندازه کل جمعیت مطابقت دارد، به نصف تقسیم می‌شود. یک خط مستقیم از طریق نقطه حاصل، به موازات محور آبسیسا، کشیده می شود تا زمانی که با انباشته قطع شود. آبسیسا نقطه تقاطع میانه است.

حالت توسط هیستوگرام توزیع تعیین می شود. هیستوگرام به شکل زیر ساخته شده است:

بخش های مساوی روی محور آبسیسا رسم می شود که در مقیاس پذیرفته شده با اندازه فواصل سری تغییرات مطابقت دارد. مستطیل هایی بر روی قطعاتی ساخته می شوند که مساحت آنها متناسب با فرکانس (یا فرکانس) بازه است.

میانه در آمار

3.2. هیستوگرام توزیع بانک ها بر اساس حاشیه سود نشان داده شده است (طبق جدول 3.6).

3.7-4.6 4.6-5.5 5.5-6.4 6.4-7.3 7.3-8.2 X

برنج. 3.2. توزیع بانک های تجاری بر اساس حاشیه سود:

x - مقدار سود، میلیون روبل،

f تعداد بانک ها است.

برای تعیین حالت، راس سمت راست مستطیل مودال را به گوشه سمت راست بالای مستطیل قبلی و راس سمت چپ مستطیل مدال را به گوشه سمت چپ بالای مستطیل بعدی متصل می کنیم. آبسیسا نقطه تقاطع این خطوط حالت توزیع خواهد بود.

میانه (آمار)

میانه (آمار)، در آمار ریاضی، عددی که یک نمونه را مشخص می کند (به عنوان مثال، مجموعه ای از اعداد). اگر همه عناصر نمونه متفاوت باشند، میانه تعداد نمونه است به طوری که دقیقاً نیمی از عناصر نمونه بزرگتر از آن و نیمی دیگر از آن کوچکتر باشند. به طور کلی تر، میانه را می توان با ترتیب دادن عناصر یک نمونه به ترتیب صعودی یا نزولی و گرفتن عنصر میانی یافت. به عنوان مثال، نمونه (11، 9، 3، 5، 5) پس از سفارش به (3، 5، 5، 9، 11) تبدیل می شود و میانه آن عدد 5 است. اگر نمونه دارای تعداد زوج باشد، میانه ممکن است به طور منحصر به فرد تعیین نشود: برای داده های عددی، بیشتر اوقات از نصف مجموع دو مقدار مجاور استفاده می شود (یعنی میانه مجموعه (1، 3، 5، 7) برابر با 4 در نظر گرفته می شود).

به عبارت دیگر، میانه در آمار، مقداری است که یک سری را به نصف تقسیم می کند، به گونه ای که در دو طرف آن (پایین یا بالا) تعداد واحدهای یکسانی در یک جمعیت معین وجود دارد.

وظیفه شماره 1. محاسبه میانگین حسابی، مقادیر مدال و میانه

به دلیل این خاصیت، این شاخص چندین نام دیگر دارد: صدک 50 یا چندک 0.5.

• مقدار متوسط
  
• میانه
  
• روش
  

میانه (آمار)

میانه (آمار)، در آمار ریاضی، عددی که یک نمونه را مشخص می کند (به عنوان مثال، مجموعه ای از اعداد). اگر همه عناصر نمونه متفاوت باشند، میانه تعداد نمونه است به طوری که دقیقاً نیمی از عناصر نمونه بزرگتر از آن و نیمی دیگر از آن کوچکتر باشند. به طور کلی تر، میانه را می توان با ترتیب دادن عناصر یک نمونه به ترتیب صعودی یا نزولی و گرفتن عنصر میانی یافت. به عنوان مثال، نمونه (11، 9، 3، 5، 5) پس از سفارش به (3، 5، 5، 9، 11) تبدیل می شود و میانه آن عدد 5 است.

5.5 حالت و میانه. محاسبه آنها در سری تغییرات گسسته و بازه ای

اگر تعداد زوجی از عناصر در نمونه وجود داشته باشد، میانه ممکن است به طور یکتا تعیین نشود: برای داده های عددی، بیشتر اوقات از نصف مجموع دو مقدار مجاور استفاده می شود (یعنی میانه مجموعه (1، 3، 5، 7) برابر با 4 در نظر گرفته می شود.

به عبارت دیگر، میانه در آمار، مقداری است که یک سری را به نصف تقسیم می کند، به گونه ای که در دو طرف آن (پایین یا بالا) تعداد واحدهای یکسانی در یک جمعیت معین وجود دارد. به دلیل این خاصیت، این شاخص چندین نام دیگر دارد: صدک 50 یا چندک 0.5.

زمانی که گزینه‌های افراطی سری رتبه‌بندی‌شده (کوچک‌ترین و بزرگترین) در مقایسه با بقیه، بیش از حد بزرگ یا بیش از حد کوچک باشند، از میانه به جای میانگین حسابی استفاده می‌شود.

تابع MEDIAN گرایش مرکزی را اندازه گیری می کند که مرکز مجموعه ای از اعداد در یک توزیع آماری است. سه روش رایج برای تعیین گرایش مرکزی وجود دارد:

• مقدار متوسط- میانگین حسابی که با جمع کردن مجموعه ای از اعداد و سپس تقسیم مجموع حاصل بر تعداد آنها محاسبه می شود.
  به عنوان مثال، میانگین اعداد 2، 3، 3، 5، 7 و 10 برابر با 5 است که حاصل تقسیم مجموع 30 آنها بر مجموع 6 آنها است.
• میانه- عددی که وسط یک مجموعه اعداد است: نیمی از اعداد دارای مقادیر بزرگتر از میانه و نیمی از اعداد دارای مقادیر کمتر هستند.
  به عنوان مثال، میانه برای اعداد 2، 3، 3، 5، 7 و 10 4 خواهد بود.
• روش- عددی که اغلب در یک مجموعه معین از اعداد یافت می شود.
  به عنوان مثال، حالت اعداد 2، 3، 3، 5، 7 و 10 3 خواهد بود.

درس جبر پایه هفتم.

موضوع: میانه به عنوان یک مشخصه آماری.

معلم اگورووا N.I.

هدف درس: ایجاد ایده در دانش آموزان از میانه مجموعه ای از اعداد و توانایی محاسبه آن برای مجموعه های عددی ساده، برای تثبیت مفهوم میانگین حسابی مجموعه ای از اعداد.

نوع درس: توضیح مطالب جدید.

در طول کلاس ها

1. لحظه سازمانی.

موضوع درس را اطلاع رسانی کنید و اهداف آن را تدوین کنید.

2. به روز رسانی دانش قبلی.

سوالات دانش آموزان:

میانگین حسابی مجموعه اعداد چیست؟

میانگین حسابی در کجای مجموعه ای از اعداد قرار دارد؟

میانگین حسابی مجموعه ای از اعداد چیست؟

معمولاً از میانگین حسابی مجموعه ای از اعداد در کجا استفاده می شود؟

وظایف شفاهی:

میانگین حسابی مجموعه ای از اعداد را پیدا کنید:

بررسی تکالیف

کتاب درسی: شماره 169، شماره 172.

3. مطالعه مطالب جدید.

در درس قبل با مشخصه آماری مانند میانگین حسابی مجموعه ای از اعداد آشنا شدیم. امروز درسی را به یکی دیگر از ویژگی های آماری اختصاص خواهیم داد - میانه.

نه تنها میانگین حسابی نشان می دهد که اعداد هر مجموعه در کجای خط اعداد قرار دارند و مرکز آنها کجاست. شاخص دیگر میانه است.

میانه یک مجموعه اعداد عددی است که مجموعه را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند. به جای «میانگین»، می توانید بگویید «وسط».

ابتدا بیایید نمونه هایی از نحوه یافتن میانه را بررسی کنیم و سپس یک تعریف دقیق ارائه کنیم.

مثال شفاهی زیر را با استفاده از پروژکتور در نظر بگیرید

در پایان سال تحصیلی 11 دانش آموز پایه هفتم استاندارد دوی 100 متر را پاس کردند. نتایج زیر ثبت شد:

پس از اینکه بچه ها مسافت را دویدند، پتیا به معلم نزدیک شد و از او پرسید که نتیجه او چیست.

معلم پاسخ داد: «بیشترین میانگین نتیجه: 16.9 ثانیه».

"چرا؟" - پتیا تعجب کرد. – از این گذشته، میانگین حسابی همه نتایج تقریباً 18.3 ثانیه است و من بیش از یک ثانیه بهتر دویدم. و به طور کلی، نتیجه کاتیا (18.4) بسیار نزدیکتر از من است.

نتیجه شما متوسط ​​است، زیرا پنج نفر بهتر از شما دویدند و پنج نفر بدتر. یعنی تو درست وسط هستی.» معلم گفت.

الگوریتمی برای یافتن میانه مجموعه ای از اعداد بنویسید:

مجموعه عددی را مرتب کنید (یک سری رتبه بندی شده بسازید).

همزمان اعداد "بزرگترین" و "کوچکترین" مجموعه اعداد معین را خط بکشید تا زمانی که یک یا دو عدد باقی بماند.

اگر یک عدد باقی مانده باشد، آن میانه است.

اگر دو عدد باقی بماند، میانه میانگین حسابی دو عدد باقی مانده خواهد بود.

از دانش آموزان دعوت کنید تا به طور مستقل تعریف میانه مجموعه ای از اعداد را فرموله کنند، سپس تعریف میانه را در کتاب درسی بخوانند (ص 40)، سپس شماره 186 (الف، ب)، شماره 187 (الف) را حل کنند. کتاب درسی (ص 41).

اظهار نظر:

توجه دانش آموزان را به یک واقعیت مهم جلب کنید: میانه عملاً نسبت به انحرافات قابل توجه مقادیر شدید فردی مجموعه اعداد حساس نیست. در آمار به این خاصیت پایداری می گویند. پایداری یک شاخص آماری یک ویژگی بسیار مهم است، ما را در برابر خطاهای تصادفی و داده های غیرقابل اعتماد فردی بیمه می کند.

4. تلفیق مطالب مورد مطالعه.

حل مسئله.

بیایید میانگین حسابی x، Me-median را نشان دهیم.

مجموعه اعداد: 1،3،5،7،9.

x=(1+3+5+7+9):5=25:5=5،

مجموعه اعداد: 1،3،5،7،14.

x=(1+3+5+7+14):5=30:5=6.

الف) مجموعه اعداد: 3،4،11،17،21

ب) مجموعه اعداد: 17،18،19،25،28

ج) مجموعه اعداد: 25، 25، 27، 28، 29، 40، 50

نتیجه گیری: میانه مجموعه ای از اعداد متشکل از تعداد فرد فرد برابر با عدد وسط است.

الف) مجموعه ای از اعداد: 2، 4، 8، 9.

من = (4+8):2=12:2=6

ب) مجموعه ای از اعداد: 1،3،5،7،8،9.

من = (5+7):2=12:2=6

میانه مجموعه ای از اعداد حاوی تعداد زوج برابر با نصف مجموع دو عدد وسط است.

دانش آموز در طول فصل نمرات زیر را در جبر دریافت کرد:

5, 4, 2, 5, 5, 4, 4, 5, 5, 5.

میانگین و میانه این مجموعه را بیابید.

بیایید میانگین نمره، یعنی میانگین حسابی را پیدا کنیم:

x= (5+4+2+5+5+4+4+5+5+5): 10=44:10 = 4.4

بیایید میانه این مجموعه اعداد را پیدا کنیم:

بیایید مجموعه اعداد را مرتب کنیم: 2،4،4،4،5،5،5،5،5،5

فقط 10 عدد وجود دارد، برای یافتن میانه باید دو عدد وسط را بردارید و نیمی از مجموع آنها را پیدا کنید.

من = (5+5): 2 = 5

سوال از دانش آموزان: اگر شما معلم بودید، چه نمره ای به این دانش آموز می دادید؟ پاسخت رو توجیه کن.

رئیس شرکت 300000 روبل حقوق دریافت می کند. سه نفر از معاونان او هر کدام 150000 روبل، چهل کارمند - هر کدام 50000 روبل دریافت می کنند. و حقوق خانم نظافتچی 10000 روبل است. میانگین حسابی و میانه حقوق در شرکت را پیدا کنید. استفاده از کدام یک از این ویژگی ها برای رئیس جمهور برای اهداف تبلیغاتی مفیدتر است؟

x = (300000+3·150000+40·50000+10000):(1+3+40+1) = 2760000:45=61333.33 (مالش.)

شماره 6. شفاهی.

الف) یک مجموعه در صورتی که نهمین جمله آن میانه باشد چند عدد وجود دارد؟

ب) چند عدد در یک مجموعه وجود دارد که میانه آن میانگین حسابی جمله های هفتم و هشتم باشد؟

ج) در یک مجموعه از هفت عدد، بزرگترین عدد 14 افزایش می یابد. آیا این میانگین حسابی و میانه را تغییر می دهد؟

د) هر یک از اعداد مجموعه 3 برابر می شود. برای میانگین حسابی و میانه چه اتفاقی می افتد؟

شیرینی در فروشگاه بر حسب وزن به فروش می رسد. ماشا برای اینکه بفهمد در یک کیلوگرم چند آب نبات وجود دارد، تصمیم گرفت وزن یک آب نبات را پیدا کند. او چندین آب نبات وزن کرد و نتایج زیر را گرفت:

12, 13, 14, 12, 15, 16, 14, 13, 11.

هر دو ویژگی برای تخمین وزن یک آب نبات مناسب هستند، زیرا آنها تفاوت زیادی با یکدیگر ندارند.

بنابراین برای توصیف اطلاعات آماری از میانگین حسابی و میانه استفاده شده است. در بسیاری از موارد، یکی از ویژگی ها ممکن است معنای معنی داری نداشته باشد (مثلاً داشتن اطلاعات در مورد زمان تصادفات جاده ای، صحبت در مورد میانگین حسابی این داده ها به سختی منطقی است).

تکلیف: بند 10، شماره 186 (ج، د)، شماره 190.

5. خلاصه درس. انعکاس.

1. "تحقیقات آماری: جمع آوری و گروه بندی داده های آماری"

   درس

   … موضوعات، پیشنهاد برای هفتم کلاس. برنامه ریزی موضوعی. § 1. آماریمشخصات. P 1. میانگین حسابی، محدوده و حالت 1h. P 2. میانهچگونهآماریمشخصه …

2. برنامه کاری برنامه درسی جبر در پایه هفتم (سطح پایه) یادداشت توضیحی

   برنامه کاری

   ... بند 10 میانهچگونهآماریمشخصه 23 ص 9 میانگین حسابی، محدوده و حالت 24 آزمون شماره 2 در موضوع …

3. برنامه کاری ریاضیات. کلاس پنجم ص. کاناشی. 2011

   برنامه کاری

   ... معادلات. میانگین حسابی، محدوده و حالت. میانهچگونهآماریمشخصه. هدف، نظام مند کردن و خلاصه کردن اطلاعات در مورد ... و مهارت های به دست آمده در درس هامطابق با موضوعات(خوب جبر 10 کلاس). 11 کلاس(4 ساعت در هفته ...

4. دستور شماره 51 مورخ 30 اوت 2012 برنامه کاری جبر پایه هفتم

   برنامه کاری

   ... مطالب آموزشی میانهچگونهآماریمشخصهتعریف میانگین حسابی، محدوده، حالت و میانه هاچگونهآماریمشخصاتجلویی و انفرادی ...

5. برنامه کار در ریاضی پایه هفتم پایه پایه پایه (1)

   برنامه کاری

   چگونه میانه یک سریال را پیدا کنیم

   یکسان، چگونهساعت 6 کلاس. در حال مطالعه موضوعاتبا آشنایی دانش آموزان با ساده ترین آنها به پایان می رسد آماریمشخصات: متوسط ​​... M.: انتشارات "Genzher"، 2009. 3. Zhokhov, V.I. درس هاجبردر 7 کلاس: کتاب برای معلم / V. I. ژخوف ...

سایر اسناد مشابه ...

در سال 1906 دانشمند بزرگ و اصلاح نژاد مشهور فرانسیس گالتون از نمایشگاه سالانه دستاوردهای دام و طیور در غرب انگلستان بازدید کرد و در آنجا کاملاً تصادفی آزمایش جالبی را انجام داد.

همان‌طور که جیمز سوروویکی، نویسنده کتاب «حکمت جمعیت» اشاره می‌کند، در نمایشگاه گالتون به مسابقه‌ای علاقه‌مند بود که در آن مردم باید وزن گاو سلاخی شده را حدس می‌زدند. کسی که نزدیک‌ترین عدد را به عدد واقعی می‌زند برنده اعلام می‌شود.

گالتون به دلیل تحقیر توانایی های فکری مردم عادی شهرت داشت. او معتقد بود که فقط متخصصان واقعی می توانند اظهارات دقیقی در مورد وزن گاو داشته باشند. و 787 شرکت کننده در مسابقه متخصص نبودند.

دانشمند قرار بود با محاسبه میانگین پاسخ های شرکت کنندگان، بی کفایتی جمعیت را ثابت کند. تعجب او را تصور کنید وقتی معلوم شد نتیجه ای که به دست آورده تقریباً دقیقاً با وزن واقعی گاو مطابقت دارد!

متوسط ​​- اواخر اختراع

البته صحت پاسخ محقق را شگفت زده کرد. اما حتی قابل توجه تر این واقعیت است که گالتون حتی به استفاده از مقدار متوسط ​​فکر کرد.

در دنیای امروز، میانگین ها و به اصطلاح میانه ها در هر نقطه یافت می شوند: میانگین دما در نیویورک در ماه آوریل 52 درجه فارنهایت است. استفن کری به طور میانگین 30 امتیاز در هر بازی کسب می کند. متوسط ​​درآمد خانواده در ایالات متحده 51939 دلار در سال است.

با این حال، این ایده که بسیاری از نتایج مختلف را می توان با یک عدد نشان داد کاملاً جدید است. تا قرن هفدهم از میانگین ها اصلا استفاده نمی شد.

مفهوم میانگین و میانه چگونه پدید آمد و توسعه یافت؟ و چگونه توانست در زمان ما به تکنیک اصلی اندازه گیری تبدیل شود؟

غلبه میانگین ها بر میانه ها پیامدهای گسترده ای برای درک ما از اطلاعات داشته است. و غالباً مردم را گمراه می کرد.

مقادیر میانگین و میانه

تصور کنید که دارید داستانی درباره چهار نفر تعریف می کنید که دیشب با شما در یک رستوران شام خوردند. به یکی از آنها 20 سال، به دیگری 30، به سومی 40 و به چهارمی 50 سال می دهید. درباره سن آنها در داستان خود چه می گویید؟

به احتمال زیاد آنها را میانسالی می نامید.

میانگین اغلب برای انتقال اطلاعات در مورد چیزی و همچنین برای توصیف مجموعه ای از اندازه گیری ها استفاده می شود. از نظر فنی، میانگین همان چیزی است که ریاضیدانان آن را «میانگین حسابی» می نامند - مجموع تمام اندازه گیری ها تقسیم بر تعداد اندازه گیری ها.

اگرچه کلمه میانگین اغلب به عنوان مترادف برای میانه استفاده می شود، دومی بیشتر به وسط چیزی اشاره دارد. این کلمه از کلمه لاتین Medianus به معنای وسط آمده است.

ارزش میانه در یونان باستان

تاریخچه ارزش متوسط ​​با آموزه های فیثاغورث ریاضیدان یونان باستان آغاز می شود. برای فیثاغورث و مکتب او، میانه تعریف روشنی داشت و با آنچه که امروز می‌فهمیم بسیار متفاوت بود. این فقط در ریاضیات استفاده شد، نه در تجزیه و تحلیل داده ها.

در مکتب فیثاغورث، مقدار میانه، عدد میانی در یک دنباله سه ترمی از اعداد، در رابطه «برابر» با اصطلاحات همسایه آن بود. رابطه "برابر" می تواند به معنای فاصله مساوی باشد. به عنوان مثال، عدد 4 در سری 2،4،6. با این حال، می تواند یک پیشرفت هندسی را نیز بیان کند، مانند 10 در دنباله 1،10،100.

چرچیل آیزنهارت، آماردان، توضیح می دهد که در یونان باستان، مقدار متوسط ​​برای نشان دادن یا جایگزینی مجموعه ای از اعداد استفاده نمی شد. این به سادگی وسط را نشان می داد و اغلب در برهان های ریاضی استفاده می شد.

آیزنهارت ده سال را صرف مطالعه میانگین و میانه کرد. در ابتدا، او تلاش کرد تا کارکرد نمایندگی میانه را در ساخت‌های علمی اولیه بیابد. در عوض، او کشف کرد که بیشتر فیزیکدانان و ستاره شناسان اولیه بر اندازه گیری های هوشمندانه تکیه می کنند و فاقد روش شناسی برای انتخاب بهترین نتیجه از میان مشاهدات بسیار هستند.

محققان مدرن نتیجه‌گیری خود را بر اساس جمع‌آوری مقادیر زیادی از داده‌ها، مانند زیست‌شناسانی که ژنوم انسان را مطالعه می‌کنند، قرار می‌دهند. دانشمندان باستانی می توانستند چندین اندازه گیری انجام دهند، اما آنها فقط بهترین ها را برای ساختن نظریه های خود انتخاب کردند.

همانطور که مورخ نجوم اتو نوگباور نوشت: "این با میل آگاهانه مردم باستان برای به حداقل رساندن مقدار داده های تجربی در علم مطابقت دارد، زیرا آنها به دقت مشاهدات مستقیم اعتقاد نداشتند."

به عنوان مثال، بطلمیوس، ریاضیدان و ستاره شناس یونانی، قطر زاویه ای ماه را با استفاده از روش های رصدی و تئوری حرکت زمین محاسبه کرد. نتیجه او 31'20 بود. امروزه می دانیم که قطر ماه بسته به فاصله آن از زمین از 29'20 تا 34'6 متغیر است. بطلمیوس از داده‌های کمی در محاسبات خود استفاده می‌کرد، اما دلایل زیادی برای باور دقیق بودن آنها داشت.

آیزنهارت می نویسد: «باید در نظر داشت که رابطه بین مشاهده و نظریه در دوران باستان با امروز متفاوت بود. نتایج مشاهدات نه به‌عنوان حقایقی که نظریه را باید با آن‌ها تنظیم کرد، بلکه به‌عنوان موارد خاصی که تنها به‌عنوان نمونه‌های گویا از صدق نظریه مفید هستند، درک می‌شدند.»

دانشمندان در نهایت به معیارهای معرف داده ها روی خواهند آورد، اما در ابتدا نه ابزار و نه میانه در این نقش استفاده نمی شد. از دوران باستان تا به امروز، مفهوم ریاضی دیگری به عنوان نماینده ای به کار رفته است: مجموع نیمی از مقادیر شدید.

نصف مجموع مقادیر شدید

ابزارهای علمی جدید تقریباً همیشه از نیاز به حل یک مشکل خاص در برخی رشته ها ناشی می شوند. نیاز به یافتن بهترین مقدار در میان اندازه‌گیری‌های متعدد از نیاز به تعیین دقیق موقعیت جغرافیایی ناشی می‌شود.

غول فکری قرن یازدهم البیرونی به عنوان یکی از اولین افرادی شناخته می شود که از روش شناسی معانی معرف استفاده کرد. البیرونی نوشت که وقتی اندازه‌گیری‌های زیادی در اختیار داشت و می‌خواست بهترین را در میان آنها بیابد، از «قانون» زیر استفاده کرد: باید عدد مربوط به وسط بین دو مقدار شدید را پیدا کنید. هنگام محاسبه نیمی از مقادیر افراطی، تمام اعداد بین مقادیر حداکثر و حداقل در نظر گرفته نمی شوند، اما میانگین فقط این دو عدد پیدا می شود.

البیرونی این روش را در زمینه های مختلف از جمله محاسبه طول جغرافیایی شهر غزنی که در افغانستان امروزی قرار دارد و همچنین در مطالعات خود در مورد خواص فلزات استفاده کرد.

با این حال، در چند قرن اخیر، نصف مجموع مقادیر افراطی کمتر و کمتر مورد استفاده قرار گرفته است. در واقع، در علم مدرن اصلاً موضوعیت ندارد. مقدار نصف با مقدار میانه جایگزین شده است.

رفتن به میانگین

در اوایل قرن نوزدهم، استفاده از مقدار میانه/میانگین به روشی رایج برای یافتن دقیق ترین مقدار معرف از گروهی از داده ها تبدیل شد. فردریش فون گاوس، ریاضیدان برجسته زمان خود، در سال 1809 می نویسد: «اعتقاد بر این بود که اگر عدد معینی با چندین مشاهدات مستقیم انجام شده در شرایط یکسان تعیین شده باشد، میانگین حسابی واقعی ترین مقدار است. اگر کاملاً سختگیرانه نباشد، حداقل به واقعیت نزدیک است و بنابراین همیشه می‌توانید به آن تکیه کنید.»

چرا این تغییر در روش شناسی رخ داد؟

پاسخ به این سوال بسیار دشوار است. چرچیل آیزنهارت در مطالعه خود پیشنهاد می کند که روش یافتن میانگین حسابی ممکن است در زمینه اندازه گیری انحراف مغناطیسی، یعنی در یافتن تفاوت بین جهت سوزن قطب نما که به سمت شمال و شمال واقعی است، سرچشمه گرفته باشد. این بعد در دوران اکتشافات بزرگ جغرافیایی بسیار مهم بود.

آیزنهارت دریافت که تا اواخر قرن شانزدهم، اکثر دانشمندانی که انحراف مغناطیسی را اندازه‌گیری می‌کردند، از روش ad hoc (به لاتین «به این، برای این مناسبت، برای این منظور») برای انتخاب دقیق‌ترین اندازه‌گیری استفاده می‌کردند.

اما در سال 1580، دانشمند ویلیام بورو به طور دیگری به این مشکل برخورد کرد. او هشت اندازه گیری مختلف از انحراف را انجام داد و پس از مقایسه آنها، به این نتیجه رسید که دقیق ترین مقدار بین 11 ⅓ تا 11 ¼ درجه است. او احتمالاً یک میانگین حسابی را محاسبه کرده است که در این محدوده بوده است. با این حال، خود بورو آشکارا رویکرد خود را یک روش جدید نمی خواند.

قبل از سال 1635، هیچ مورد واضحی از استفاده از میانگین به عنوان یک عدد معرف وجود نداشت. با این حال، در آن زمان بود که اخترشناس انگلیسی هنری گلبراند دو اندازه گیری متفاوت از انحراف مغناطیسی انجام داد. یکی از آنها در صبح (11 درجه) و دیگری در بعد از ظهر (11 درجه و 32 دقیقه) گرفته شد. او با محاسبه واقعی ترین ارزش، نوشت:

اگر میانگین حسابی را پیدا کنیم، با احتمال زیاد می‌توان گفت که نتیجه یک اندازه‌گیری دقیق باید حدود 11 درجه و 16 دقیقه باشد.

به احتمال زیاد این اولین بار بود که از مقدار میانگین به عنوان نزدیکترین مقدار به مقدار واقعی استفاده می شد!

کلمه "متوسط" در زبان انگلیسی در اوایل قرن شانزدهم برای نشان دادن ضرر مالی ناشی از خسارت وارد شده به کشتی یا محموله آن در طول یک سفر استفاده شد. در طول صد سال بعد، دقیقاً این تلفات را تعیین کرد که به عنوان میانگین حسابی محاسبه شد. به عنوان مثال، اگر یک کشتی در طول سفر آسیب ببیند و خدمه مجبور شوند برای حفظ وزن کشتی، مقداری کالا را به دریا بیندازند، سرمایه‌گذاران متحمل ضررهای مالی معادل میزان سرمایه‌گذاری خود می‌شوند - این ضررها به همان روش محاسبه می‌شوند. میانگین حسابی بنابراین به تدریج مقادیر میانگین و میانگین حسابی نزدیکتر شدند.

ارزش متوسط

امروزه از میانگین یا میانگین حسابی به عنوان روش اصلی برای انتخاب یک مقدار معرف برای مجموعه ای از اندازه گیری ها استفاده می شود. چگونه این اتفاق افتاد؟ چرا این نقش به ارزش متوسط ​​داده نشد؟

فرانسیس گالتون قهرمان میانه شد

اصطلاح «میانگین» - عبارت میانی در یک سری اعداد که سری را به نصف تقسیم می کند - تقریباً همزمان با میانگین حسابی ظاهر شد. در سال 1599، ادوارد رایت، ریاضیدان، که روی مسئله انحراف قطب نما طبیعی کار می کرد، برای اولین بار استفاده از مقدار میانه را پیشنهاد کرد.

«...فرض کنید تعداد زیادی کماندار به سمت هدف خاصی شلیک می کنند. هدف متعاقبا حذف می شود. چگونه می توانید بفهمید که هدف کجا بوده است؟ شما باید محل وسط بین تمام فلش ها را پیدا کنید. به همین ترتیب، در میان بسیاری از نتایج مشاهداتی، نتیجه ای که در وسط قرار دارد به حقیقت نزدیک تر خواهد بود.

میانه به طور گسترده ای در قرن نوزدهم مورد استفاده قرار گرفت و به بخشی ضروری از هر تجزیه و تحلیل داده در آن زمان تبدیل شد. فرانسیس گالتون، تحلیلگر برجسته قرن نوزدهم نیز از آن استفاده کرد. در داستان توزین گاو که در ابتدای این مقاله گفته شد، گالتون در ابتدا از مقدار متوسط ​​به عنوان نماینده نظر جمعیت استفاده کرد.

بسیاری از تحلیلگران، از جمله گالتون، میانه را ترجیح می دهند زیرا محاسبه آن برای مجموعه داده های کوچک آسان تر است.

با این حال، میانگین هرگز محبوب تر از میانگین نبوده است. این به احتمال زیاد به دلیل ویژگی‌های آماری ویژه ذاتی میانگین و همچنین رابطه آن با توزیع نرمال بود.

رابطه بین میانگین و توزیع نرمال

هنگامی که ما اندازه گیری های زیادی انجام می دهیم، نتایج، همانطور که آماردان ها می گویند، "به طور معمول توزیع می شوند." این بدان معنی است که اگر این داده ها بر روی یک نمودار رسم شوند، نقاط روی آن چیزی شبیه به یک زنگ را نشان می دهند. اگر آنها را به هم وصل کنید، یک منحنی "زنگ شکل" خواهید داشت. بسیاری از آمارها با توزیع نرمال مطابقت دارد، مانند قد افراد، هوش و بالاترین دمای سالانه.

هنگامی که داده ها به طور معمول توزیع می شوند، میانگین به بالاترین نقطه در منحنی زنگی بسیار نزدیک خواهد بود و تعداد بسیار زیادی از اندازه گیری ها نزدیک به میانگین خواهد بود. حتی فرمولی وجود دارد که پیش بینی می کند چند اندازه گیری تا حدودی از میانگین فاصله می گیرند.

بنابراین، محاسبه میانگین اطلاعات اضافی زیادی را در اختیار محققان قرار می دهد.

ارتباط بین مقدار متوسط ​​و انحراف استاندارد مزیت بزرگی به آن می دهد، زیرا مقدار میانه چنین ارتباطی را ندارد. این ارتباط بخش مهمی از تجزیه و تحلیل داده های تجربی و پردازش آماری اطلاعات است. به همین دلیل است که میانگین به هسته اصلی آمار و همه علومی تبدیل شده است که برای نتیجه‌گیری بر داده‌های متعدد تکیه می‌کنند.

مزیت میانگین نیز به این دلیل است که به راحتی توسط کامپیوتر قابل محاسبه است. اگرچه محاسبه مقدار میانه برای گروه کوچکی از داده ها به تنهایی آسان است، نوشتن یک برنامه کامپیوتری که میانگین را پیدا کند بسیار ساده تر است. اگر از مایکروسافت اکسل استفاده می کنید، احتمالاً می دانید که محاسبه تابع میانه به آسانی تابع میانگین نیست.

در نتیجه، به دلیل اهمیت علمی زیاد و سهولت استفاده، مقدار متوسط ​​به ارزش اصلی تبدیل شد. با این حال، این گزینه همیشه بهترین نیست.

مزایای ارزش متوسط

در بسیاری از موارد وقتی می خواهیم مقدار مرکزی یک توزیع را محاسبه کنیم، مقدار میانه معیار بهتری است. این به این دلیل است که مقدار متوسط ​​تا حد زیادی توسط نتایج اندازه گیری شدید تعیین می شود.

بسیاری از تحلیلگران بر این باورند که استفاده بدون فکر از میانگین ها تأثیر منفی بر درک ما از اطلاعات کمی دارد. مردم به میانگین نگاه می‌کنند و فکر می‌کنند که «هنجار» است. اما در واقع، می تواند توسط هر عضوی که به شدت از یک سری همگن متمایز است، تعیین کند.

تصور کنید یک تحلیلگر می خواهد ارزش نماینده پنج خانه را بداند. ارزش چهار خانه 100000 دلار و خانه پنجم 900000 دلار است. بنابراین میانگین 200000 دلار و میانگین 100000 دلار خواهد بود. در این مورد، مانند بسیاری موارد دیگر، مقدار متوسط ​​درک بهتری از آنچه می‌توان «استاندارد» نامید، ارائه می‌کند.

با تشخیص اینکه مقادیر افراطی چقدر می توانند بر میانگین تأثیر بگذارند، از میانه برای منعکس کردن تغییرات در درآمد خانوار ایالات متحده استفاده می شود.

رسانه‌ها همچنین نسبت به داده‌های کثیفی که امروزه تحلیلگران با آن سروکار دارند، حساسیت کمتری دارند. بسیاری از آماردانان و تحلیلگران با نظرسنجی از مردم در اینترنت اطلاعات جمع آوری می کنند. اگر کاربر به طور تصادفی یک صفر اضافی به پاسخ اضافه کند که 100 را به 1000 تبدیل می کند، این خطا تأثیر بسیار قوی تری بر میانگین نسبت به میانه خواهد داشت.

متوسط ​​یا میانه؟

انتخاب بین میانگین و میانگین پیامدهای گسترده ای دارد، از درک ما از اثرات داروها بر سلامت گرفته تا دانش ما در مورد بودجه استاندارد خانواده.

همانطور که جمع آوری و تجزیه و تحلیل داده ها به طور فزاینده ای نحوه درک ما از جهان را شکل می دهد، ارزش کمیت هایی که استفاده می کنیم نیز افزایش می یابد. در دنیای ایده آل، تحلیلگران از میانگین و میانه برای بیان نموداری داده ها استفاده می کنند.

اما ما در شرایط محدود زمان و توجه زندگی می کنیم. به دلیل این محدودیت ها، اغلب نیاز داریم که فقط یک چیز را انتخاب کنیم. و در بسیاری از موارد، مقدار متوسط ​​ارجحیت دارد.