فرمول های ادغام توسط قطعات با مثال. انتگرال های مختلط

تابع F(x) متمایز پذیر در بازه معین X فراخوانی می شود ضد مشتق تابع f(x)، یا انتگرال f(x)، اگر برای هر x ∈X برابری زیر برقرار باشد:

F" (x) = f(x). (8.1)

یافتن تمام پاد مشتق ها برای یک تابع معین، آن نامیده می شود ادغام. تابع انتگرال نامعین f(x) در یک بازه معین X مجموعه ای از تمام توابع ضد مشتق برای تابع f(x) است. تعیین -

اگر F(x) پاد مشتق تابع f(x) باشد، ∫ f(x)dx = F(x) + C، (8.2)

که در آن C یک ثابت دلخواه است.

جدول انتگرال ها

مستقیماً از تعریف، ویژگی های اصلی انتگرال نامعین و لیستی از انتگرال های جدولی را به دست می آوریم:

1) d∫f(x)dx=f(x)

2)∫df(x)=f(x)+C

3) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx (a=const)

4) 🔻(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx+∫g(x)dx

فهرست انتگرال های جدولی

1. ∫x m dx = x m+1 /(m + 1) +C; (m ≠ -1)

3.∫a x dx = a x /ln a + C (a>0، a ≠1)

4.∫e x dx = e x + C

5.∫sin x dx = cosx + C

6.∫cos x dx = - sin x + C

7. = آرکتان x + C

8. = arcsin x + C

10. = - ctg x + C

جایگزینی متغیر

برای ادغام بسیاری از توابع، از روش جایگزینی متغیر یا تعویض ها،به شما امکان می دهد انتگرال ها را به شکل جدولی کاهش دهید.

اگر تابع f(z) روی [α,β] پیوسته باشد، تابع z =g(x) مشتق پیوسته و α ≤ g(x) ≤ β دارد، سپس

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫f(z)dz، (8.3)

علاوه بر این، پس از ادغام در سمت راست، جایگزینی z=g(x) باید انجام شود.

برای اثبات آن کافی است انتگرال اصلی را به شکل زیر بنویسید:

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).

مثلا:

روش ادغام توسط قطعات

فرض کنید u = f(x) و v = g(x) توابعی باشند که پیوسته دارند. سپس با توجه به کار،

d(uv))= udv + vdu یا udv = d(uv) - vdu.

برای عبارت d(uv)، ضد مشتق بدیهی است که uv خواهد بود، بنابراین فرمول برقرار است:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

این فرمول بیانگر قاعده است یکپارچه سازی توسط قطعات. ادغام عبارت udv=uv"dx را به ادغام عبارت vdu=vu"dx هدایت می کند.

اجازه دهید، برای مثال، شما می خواهید ∫xcosx dx را پیدا کنید. اجازه دهید u = x، dv = cosxdx، پس du=dx، v=sinx قرار دهیم. سپس

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

قاعده ادغام توسط قطعات نسبت به جایگزینی متغیرها دامنه محدودتری دارد. اما کلاس های کاملی از انتگرال ها وجود دارد، برای مثال،

∫x k ln m xdx، ∫x k sinbxdx، ∫ x k cosbxdx، ∫x k e ax و موارد دیگر که دقیقاً با استفاده از ادغام توسط قطعات محاسبه می‌شوند.

انتگرال معین

مفهوم انتگرال معین به شرح زیر معرفی می شود. اجازه دهید یک تابع f(x) در یک بازه تعریف شود. اجازه دهید بخش [a,b] را به تقسیم کنیم nقسمت های نقطه a= x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x i = x i - x i-1. مجموع شکل f(ξ i)Δ x i نامیده می شود جمع انتگرال، و حد آن در λ = maxΔx i → 0، اگر وجود داشته باشد و متناهی باشد، نامیده می شود. انتگرال معینتوابع f(x) از آقبل از بو تعیین شده است:

F(ξ i)Δx i (8.5).

تابع f(x) در این حالت فراخوانی می شود قابل ادغام در بازه، اعداد a و b نامیده می شوند حد پایین و بالایی انتگرال.

خواص زیر برای یک انتگرال معین صادق است:

4)، (k = const، k∈R)؛

5)

6)

7) f(ξ)(b-a) (ξ∈).

آخرین خاصیت نامیده می شود قضیه ارزش میانگین.

فرض کنید f(x) روی . سپس روی این قطعه یک انتگرال نامعین وجود دارد

∫f(x)dx = F(x) + C

و صورت می گیرد فرمول نیوتن لایب نیتس، اتصال انتگرال معین به انتگرال نامعین:

F(b) - F(a). (8.6)

تفسیر هندسی: انتگرال معین مساحت ذوزنقه منحنی شکل است که از بالا با منحنی y=f(x)، خطوط مستقیم x=a و x=b و پاره ای از محور محدود شده است. گاو نر.

انتگرال های نامناسب

انتگرال با حد نامتناهی و انتگرال توابع ناپیوسته (نامحدود) نامیده می شوند. مال خودت نیست انتگرال های نادرست از نوع اول -این انتگرال ها در یک بازه بی نهایت هستند که به صورت زیر تعریف می شوند:

(8.7)

اگر این حد وجود داشته باشد و متناهی باشد، نامیده می شود انتگرال نادرست همگرا f(x)در بازه [a,+ ∞)، و تابع f(x) فراخوانی می شود قابل ادغام در یک بازه بی نهایت[a,+ ∞). در غیر این صورت، انتگرال گفته می شود وجود ندارد یا متفاوت است.

انتگرال های نامناسب در بازه های (-∞،b] و (-∞، + ∞) به طور مشابه تعریف می شوند:

اجازه دهید مفهوم انتگرال یک تابع نامحدود را تعریف کنیم. اگر f(x) برای همه مقادیر پیوسته باشد ایکسبخش، به جز نقطه c، که در آن f(x) ناپیوستگی نامتناهی دارد، پس انتگرال نادرست نوع دوم f(x) از a تا bمبلغ نامیده می شود:

اگر این حدود وجود داشته باشد و متناهی باشد. تعیین:

نمونه هایی از محاسبات انتگرال

مثال 3.30.∫dx/(x+2) را محاسبه کنید.

راه حل.بگذارید t = x+2 را نشان دهیم، سپس dx = dt، ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +C.

مثال 3.31. ∫ tgxdx را پیدا کنید.

راه حل.🔻 tgxdx = 🔻sinx/cosxdx = - 🔻dcosx/cosx. بگذارید t=cosx، سپس ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

مثال3.32 . ∫dx/sinx را پیدا کنید

راه حل.

مثال3.33. پیدا کردن .

راه حل. = .

مثال3.34 . ∫arctgxdx را پیدا کنید.

راه حل. بیایید با قطعات ادغام کنیم. اجازه دهید u=arctgx، dv=dx را نشان دهیم. سپس du = dx/(x 2 +1)، v=x، از آنجا ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; زیرا
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

مثال3.35 . ∫lnxdx را محاسبه کنید.

راه حل.با اعمال فرمول یکپارچه سازی قطعات، به دست می آوریم:
u=lnx، dv=dx، du=1/x dx، v=x. سپس ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.

مثال3.36 . ∫e x sinxdx را محاسبه کنید.

راه حل.اجازه دهید u = e x، dv = sinxdx، سپس du = e x dx، v =∫ sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx را نشان دهیم. ما همچنین انتگرال ∫e x cosxdx را با قطعات ادغام می کنیم: u = e x، dv = cosxdx، du=e x dx، v=sinx. ما داریم:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. رابطه ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx را به دست آوردیم که از آن 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C.

مثال 3.37. J = ∫cos(lnx)dx/x را محاسبه کنید.

راه حل.از آنجایی که dx/x = dlnx، پس J= ∫cos(lnx)d(lnx). با جایگزینی lnx تا t، به جدول انتگرال J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C می رسیم.

مثال 3.38 . J = را محاسبه کنید.

راه حل.با توجه به اینکه = d(lnx)، lnx = t را جایگزین می کنیم. سپس J = .

مثال 3.39 . انتگرال J = را محاسبه کنید .

راه حل.ما داریم: . بنابراین =
=
=. به این صورت وارد می شود: sqrt(tan(x/2)).

و اگر در پنجره نتیجه روی Show stepها در گوشه بالا سمت راست کلیک کنید، یک راه حل دقیق دریافت خواهید کرد.

ماشین حساب انتگرال ها را با شرح اقدامات به صورت DETAIL به زبان روسی و به صورت رایگان حل می کند!

حل انتگرال نامعین

این یک سرویس آنلاین در یک قدم:

حل انتگرال های معین

این یک سرویس آنلاین در یک قدم:

• عبارت انتگرال (تابع انتگرال) را وارد کنید
• یک حد پایین تر برای انتگرال وارد کنید
• یک حد بالایی برای انتگرال وارد کنید

حل انتگرال دوگانه

• عبارت انتگرال (تابع انتگرال) را وارد کنید

حل انتگرال های نامناسب

• عبارت انتگرال (تابع انتگرال) را وارد کنید
• محدوده بالایی ادغام (یا + بی نهایت) را وارد کنید
• ناحیه پایین ادغام (یا - بی نهایت) را وارد کنید

رفتن به: سرویس آنلاین "انتگرال نامناسب" →

حل انتگرال های سه گانه

• عبارت انتگرال (تابع انتگرال) را وارد کنید
• حد پایین و بالایی را برای اولین منطقه ادغام وارد کنید
• حد پایین و بالایی را برای منطقه ادغام دوم وارد کنید
• حد پایین و بالایی را برای ناحیه سوم ادغام وارد کنید

رفتن به: سرویس آنلاین "Triple Integral" →

این سرویس به شما امکان می دهد تا خود را بررسی کنید محاسباتبرای صحت

ممکن ها

• پشتیبانی از تمام توابع ریاضی ممکن: سینوس، کسینوس، توان، مماس، کوتانژانت، ریشه مربع و مکعب، توان، نمایی و غیره.
• مثال هایی برای ورودی وجود دارد، هم برای انتگرال های نامعین و هم برای انتگرال های نامناسب و معین.
• خطاهای عباراتی را که وارد می کنید تصحیح می کند و گزینه های خود را برای ورودی ارائه می دهد.
• حل عددی انتگرال های معین و نامناسب (شامل انتگرال های دوتایی و سه گانه).
• پشتیبانی از اعداد مختلط و همچنین پارامترهای مختلف (شما می توانید نه تنها متغیر ادغام، بلکه سایر متغیرهای پارامتر را در عبارت انتگرال مشخص کنید)

یکپارچه سازی توسط قطعات- روشی که برای حل انتگرال های معین و نامعین استفاده می شود، زمانی که یکی از انتگرال ها به راحتی قابل انتگرال و دیگری قابل تفکیک باشد. یک روش نسبتاً رایج برای یافتن انتگرال ها، هم نامعین و هم معین. علامت اصلی هنگامی که شما نیاز به استفاده از آن دارید یک تابع مشخص است که از حاصل ضرب دو تابع تشکیل شده است که نمی توان آنها را به صورت نقطه خالی ادغام کرد.

فرمول

برای استفاده موفقیت آمیز از این روش، باید فرمول ها را درک کرده و یاد بگیرید.

فرمول ادغام توسط قطعات در انتگرال نامعین:

$$ \int udv = uv - \int vdu $$

فرمول ادغام توسط قطعات در یک انتگرال معین:

$$ \int \limits_(a)^(b) udv = uv \bigg |_(a)^(b) - \int \limits_(a)^(b) vdu $$

نمونه هایی از راه حل ها

اجازه دهید در عمل مثال هایی از راه حل های یکپارچه سازی توسط قطعات را در نظر بگیریم، که اغلب توسط معلمان در طول آزمون ها پیشنهاد می شود. لطفاً توجه داشته باشید که در زیر نماد انتگرال حاصلضرب دو تابع وجود دارد. این نشانه مناسب بودن این روش برای راه حل است.

مثال 1

انتگرال $ \int xe^xdx $ را پیدا کنید

راه حل

می بینیم که انتگرال از دو تابع تشکیل شده است که یکی از آنها پس از تمایز، فوراً به وحدت تبدیل می شود و دیگری به راحتی ادغام می شود. برای حل انتگرال از روش یکپارچه سازی توسط قطعات استفاده می کنیم. فرض کنید $ u = x \rightarrow du=dx $ و $ dv = e^x dx \rightarrow v=e^x $ مقادیر یافت شده را در اولین فرمول ادغام جایگزین می کنیم و به دست می آوریم: $$ \int xe^x dx = xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C $$ اگر نمی توانید مشکل خود را حل کنید، آن را برای ما ارسال کنید. ما راه حل دقیق ارائه خواهیم داد. شما می توانید پیشرفت محاسبات را مشاهده کرده و اطلاعاتی به دست آورید. این به شما کمک می کند نمره خود را به موقع از معلم خود بگیرید!

پاسخ

$$ \int xe^x dx = xe^x - e^x + C $$

مثال 4

انتگرال $ \int \limits_0 ^1 (x+5) 3^x dx $ را محاسبه کنید

راه حل

با قیاس با مثال های حل شده قبلی، متوجه خواهیم شد که کدام تابع را بدون مشکل ادغام کنیم، کدام را متمایز کنیم. لطفا توجه داشته باشید که اگر $ (x+5) $ را متمایز کنیم، این عبارت به طور خودکار به unity تبدیل می شود که به نفع ما خواهد بود. بنابراین ما این کار را انجام می دهیم: $$ u=x+5 \rightarrow du=dx, dv=3^x dx \rightarrow v=\frac(3^x)(ln3) $$ اکنون تمام توابع مجهول پیدا شده اند و می توان آنها را در فرمول دوم برای ادغام توسط قطعات برای یک انتگرال معین قرار داد. $$ \int \limits_0 ^1 (x+5) 3^x dx = (x+5) \frac(3^x)(\ln 3) \bigg |_0 ^1 - \int \limits_0 ^1 \frac (3^x dx)(\ln 3) = $$ $$ = \frac(18)(\ln 3) - \frac(5)(\ln 3) - \frac(3^x)(\ln^2 3)\bigg| _0 ^1 = \frac(13)(\ln 3) - \frac(3)(\ln^2 3)+\frac(1)(\ln^2 3) = \frac(13)(\ln 3 )-\frac(4)(\ln^2 3) $$

پاسخ

$$ \int\limits_0 ^1 (x+5)3^x dx = \frac(13)(\ln 3)-\frac(4)(\ln^2 3) $$

با یک انتگرال معین از یک تابع پیوسته f(ایکس) در بخش پایانی [ آ, ب] (جایی که ) افزایش برخی از ضد مشتقات آن در این بخش است. (به طور کلی، اگر موضوع انتگرال نامعین را تکرار کنید، درک به طور قابل توجهی آسان تر خواهد شد) در این مورد، از نماد استفاده می شود.

همانطور که در نمودارهای زیر مشاهده می شود (افزایش تابع ضد مشتق با نشان داده شده است)، یک انتگرال معین می تواند یک عدد مثبت یا منفی باشد(به عنوان تفاوت بین مقدار ضد مشتق در حد بالا و مقدار آن در حد پایین محاسبه می شود، یعنی به عنوان مثال اف(ب) - اف(آ)).

شماره آو ببه ترتیب حد پایین و بالای ادغام و بخش [ آ, ب] - بخش ادغام.

بنابراین، اگر اف(ایکس) – برخی تابع ضد مشتق برای f(ایکس) سپس طبق تعریف

(38)

برابری (38) نامیده می شود فرمول نیوتن لایب نیتس . تفاوت اف(ب) – اف(آ) به طور خلاصه به شرح زیر نوشته شده است:

بنابراین فرمول نیوتن لایب نیتس را به صورت زیر می نویسیم:

(39)

اجازه دهید ثابت کنیم که انتگرال معین به این بستگی ندارد که کدام پاد مشتق از انتگرال هنگام محاسبه آن گرفته شود. اجازه دهید اف(ایکس) و F( ایکس) پاد مشتق دلخواه انتگرال هستند. از آنجایی که اینها ضد مشتقات یک تابع هستند، با یک جمله ثابت تفاوت دارند: Ф( ایکس) = اف(ایکس) + سی. از همین رو

این نشان می دهد که در بخش [ آ, ب] افزایش همه ضد مشتقات تابع f(ایکس) مطابقت دادن

بنابراین، برای محاسبه یک انتگرال معین، لازم است هر پاد مشتق انتگرال را پیدا کنیم، یعنی. ابتدا باید انتگرال نامعین را پیدا کنید. ثابت با از محاسبات بعدی مستثنی شده است. سپس فرمول نیوتن-لایبنیتس اعمال می شود: مقدار حد بالایی به تابع ضد مشتق جایگزین می شود. ب , بیشتر - مقدار حد پایین آ و مابه التفاوت محاسبه می شود F(b) - F(a) . عدد حاصل یک انتگرال معین خواهد بود..

در آ = بطبق تعریف پذیرفته شده است

مثال 1.

راه حل. ابتدا بیایید انتگرال نامعین را پیدا کنیم:

استفاده از فرمول نیوتن-لایبنیتس برای ضد مشتق

(در با= 0)، دریافت می کنیم

با این حال، هنگام محاسبه انتگرال معین، بهتر است که ضد مشتق را جداگانه پیدا نکنید، بلکه بلافاصله انتگرال را به شکل (39) بنویسید.

مثال 2.انتگرال معین را محاسبه کنید

راه حل. با استفاده از فرمول

خواص انتگرال معین

قضیه 2.مقدار انتگرال معین به تعیین متغیر انتگرال گیری بستگی ندارد، یعنی

(40)

اجازه دهید اف(ایکس) – ضد مشتق برای f(ایکس). برای f(تی) ضد مشتق همان تابع است اف(تی) که در آن متغیر مستقل فقط به صورت متفاوت تعیین می شود. از این رو،

بر اساس فرمول (39) تساوی آخر به معنای برابری انتگرال ها است

قضیه 3.عامل ثابت را می توان از علامت انتگرال معین خارج کرد، یعنی

(41)

قضیه 4.انتگرال معین مجموع جبری تعداد محدودی از توابع برابر است با مجموع جبری انتگرال های معین این توابع.، یعنی

(42)

قضیه 5.اگر قسمتی از انتگرال به قطعات تقسیم شود، آنگاه انتگرال معین در کل بخش برابر است با مجموع انتگرال های معین روی قطعات آن.، یعنی اگر

(43)

قضیه 6.هنگام تنظیم مجدد حدود انتگرال، قدر مطلق انتگرال معین تغییر نمی کند، بلکه فقط علامت آن تغییر می کند.، یعنی

(44)

قضیه 7(قضیه مقدار میانگین). یک انتگرال معین برابر است با حاصل ضرب طول بخش انتگرال گیری و مقدار انتگرال در نقطه ای از داخل آن.، یعنی

(45)

قضیه 8.اگر حد بالایی یکپارچگی بیشتر از حد پایین باشد و انتگرال غیر منفی (مثبت) باشد، انتگرال معین نیز غیر منفی (مثبت) است، یعنی. اگر

قضیه 9.اگر حد بالایی یکپارچگی بیشتر از حد پایین باشد و توابع و پیوسته باشند، نابرابری

را می توان ترم به ترم ادغام کرد، یعنی

(46)

ویژگی های انتگرال معین، ساده کردن محاسبه مستقیم انتگرال ها را ممکن می سازد.

مثال 5.انتگرال معین را محاسبه کنید

با استفاده از قضایای 4 و 3 و هنگام یافتن پاد مشتق - انتگرال جدول (7) و (6) به دست می آوریم.

انتگرال معین با حد بالایی متغیر

اجازه دهید f(ایکس) – پیوسته روی قطعه [ آ, ب] تابع و اف(ایکس) ضد مشتق آن است. انتگرال معین را در نظر بگیرید

(47)

و از طریق تیمتغیر ادغام طوری تعیین می شود که با کران بالایی اشتباه نشود. وقتی تغییر می کند ایکسانتگرال معین (47) نیز تغییر می کند، یعنی. تابعی از حد بالایی یکپارچگی است ایکس، که با آن نشان می دهیم اف(ایکس) یعنی

(48)

اجازه دهید ثابت کنیم که تابع اف(ایکس) یک ضد مشتق برای است f(ایکس) = f(تی). در واقع، متمایز کردن اف(ایکس)، ما گرفتیم

زیرا اف(ایکس) – ضد مشتق برای f(ایکس)، آ اف(آ) یک مقدار ثابت است.

تابع اف(ایکس) – یکی از بی نهایت پاد مشتق برای f(ایکس)، یعنی آن که ایکس = آبه صفر می رسد این عبارت در صورتی به دست می آید که در برابری (48) قرار دهیم ایکس = آو از قضیه 1 پاراگراف قبل استفاده کنید.

محاسبه انتگرال های معین به روش انتگرال گیری توسط قطعات و روش تغییر متغیر

جایی که طبق تعریف اف(ایکس) – ضد مشتق برای f(ایکس). اگر متغیر را در انتگرال تغییر دهیم

سپس مطابق فرمول (16) می توانیم بنویسیم

در این بیان

تابع ضد مشتق برای

در واقع، مشتق آن، با توجه به قانون تمایز توابع پیچیده، برابر است

بگذارید α و β مقادیر متغیر باشند تی، که برای آن تابع

بر این اساس ارزش ها را می گیرد آو ب، یعنی

اما طبق فرمول نیوتن-لایبنیتس، تفاوت اف(ب) – اف(آ) وجود دارد

حل انتگرال ها کار آسانی است، اما فقط برای تعداد معدودی. این مقاله برای کسانی است که می خواهند یاد بگیرند که انتگرال ها را بفهمند، اما چیزی یا تقریباً هیچ چیز در مورد آنها نمی دانند. انتگرال ... چرا مورد نیاز است؟ چگونه آن را محاسبه کنیم؟ انتگرال معین و نامعین چیست؟ اگر تنها استفاده ای که از یک انتگرال می شناسید استفاده از قلاب قلاب بافی به شکل نماد یکپارچه برای به دست آوردن چیزهای مفید از مکان های صعب العبور است، پس خوش آمدید! دریابید که چگونه انتگرال ها را حل کنید و چرا نمی توانید بدون آن کار کنید.

ما مفهوم "انتگرال" را مطالعه می کنیم

ادغام در مصر باستان شناخته شده بود. البته نه به شکل امروزی اش، اما همچنان. از آن زمان، ریاضیدانان کتاب های زیادی در این زمینه نوشته اند. به خصوص خود را متمایز کردند نیوتن و لایب نیتس ، اما ماهیت چیزها تغییر نکرده است. چگونه انتگرال ها را از ابتدا بفهمیم؟ به هیچ وجه! برای درک این مبحث، همچنان به دانش اولیه مبانی آنالیز ریاضی نیاز دارید. ما قبلاً اطلاعاتی در مورد، لازم برای درک انتگرال ها در وبلاگ خود داریم.

انتگرال نامعین

اجازه دهید عملکردی داشته باشیم f(x) .

تابع انتگرال نامعین f(x) این تابع نامیده می شود F(x) ، که مشتق آن برابر با تابع است f(x) .

به عبارت دیگر، انتگرال مشتق معکوس یا ضد مشتق است. به هر حال، در مورد چگونگی در مقاله ما بخوانید.

یک پاد مشتق برای همه توابع پیوسته وجود دارد. همچنین، اغلب یک علامت ثابت به ضد مشتق اضافه می شود، زیرا مشتقات توابعی که با یک ثابت متفاوت هستند، مطابقت دارند. فرآیند یافتن انتگرال را انتگرال می گویند.

مثال ساده:

برای اینکه به طور مداوم ضد مشتقات توابع ابتدایی را محاسبه نکنید، راحت است آنها را در یک جدول خلاصه کنید و از مقادیر آماده استفاده کنید:

انتگرال معین

وقتی با مفهوم انتگرال سروکار داریم، با کمیت های بی نهایت کوچک سروکار داریم. انتگرال به محاسبه مساحت یک شکل، جرم یک جسم غیریکنواخت، مسافت طی شده در هنگام حرکت ناهموار و موارد دیگر کمک می کند. باید به خاطر داشت که انتگرال مجموع تعداد بی نهایت زیادی از جمله های بی نهایت کوچک است.

به عنوان مثال، نموداری از یک تابع را تصور کنید. چگونه مساحت شکل محدود شده با نمودار یک تابع را پیدا کنیم؟

با استفاده از یک انتگرال! اجازه دهید ذوزنقه منحنی را که توسط محورهای مختصات و نمودار تابع محدود شده است، به بخش های بی نهایت کوچک تقسیم کنیم. به این ترتیب شکل به ستون های نازک تقسیم می شود. مجموع مساحت ستون ها مساحت ذوزنقه خواهد بود. اما به یاد داشته باشید که چنین محاسبه ای نتیجه تقریبی خواهد داشت. با این حال، هرچه قطعات کوچکتر و باریکتر باشند، محاسبه دقیق تر خواهد بود. اگر آنها را به حدی کاهش دهیم که طول به صفر برسد، مجموع مساحت قطعات به مساحت شکل متمایل می شود. این یک انتگرال معین است که به صورت زیر نوشته شده است:

نقاط a و b حد ادغام نامیده می شود.

باری علیباسوف و گروه "اینتگرال"

راستی! برای خوانندگان ما اکنون 10٪ تخفیف در نظر گرفته شده است

قوانین محاسبه انتگرال برای آدمک ها

خواص انتگرال نامعین

چگونه یک انتگرال نامعین را حل کنیم؟ در اینجا به ویژگی های انتگرال نامعین می پردازیم که در حل مثال ها مفید خواهد بود.

• مشتق انتگرال برابر با انتگرال است:

• ثابت را می توان از زیر علامت انتگرال خارج کرد:

• انتگرال مجموع برابر است با مجموع انتگرال ها. این در مورد تفاوت نیز صادق است:

ویژگی های یک انتگرال معین

• خطی بودن:

• علامت انتگرال در صورت تعویض حدود یکپارچه تغییر می کند:

• در هرنکته ها آ, بو با:

قبلاً فهمیدیم که انتگرال معین حد یک جمع است. اما چگونه می توان یک مقدار خاص را هنگام حل یک مثال به دست آورد؟ برای این کار فرمول نیوتن-لایب نیتس وجود دارد:

نمونه هایی از حل انتگرال ها

در زیر چندین نمونه از یافتن انتگرال نامعین را بررسی خواهیم کرد. ما به شما پیشنهاد می کنیم پیچیدگی های راه حل را خودتان بفهمید و اگر چیزی نامشخص است، سوالات خود را در نظرات بپرسید.

برای تقویت مطالب، ویدئویی در مورد چگونگی حل انتگرال ها در عمل تماشا کنید. اگر فوراً انتگرال داده نشد، ناامید نشوید. با یک سرویس حرفه ای برای دانش آموزان تماس بگیرید، و هر انتگرال سه گانه یا منحنی روی یک سطح بسته در توان شما خواهد بود.