معادله نمایی چیست و چگونه آن را حل کنیم. روش های حل معادلات نمایی

در مرحله آماده سازی برای آزمون نهایی، دانش آموزان دبیرستانی باید دانش خود را در مورد "معادلات نمایی" ارتقا دهند. تجربه سال های گذشته نشان می دهد که چنین وظایفی برای دانش آموزان مشکلات خاصی ایجاد می کند. بنابراین، دانش آموزان دبیرستانی، صرف نظر از سطح آمادگی خود، نیاز به تسلط کامل بر نظریه، به خاطر سپردن فرمول ها و درک اصل حل چنین معادلاتی دارند. فارغ التحصیلان با آموختن کنار آمدن با این نوع مشکلات می توانند در هنگام قبولی در آزمون دولتی واحد ریاضی روی نمرات بالایی حساب کنند.

برای تست امتحان با Shkolkovo آماده شوید!

بسیاری از دانش آموزان هنگام مرور مطالبی که پوشش داده اند با مشکل یافتن فرمول های مورد نیاز برای حل معادلات مواجه می شوند. کتاب درسی مدرسه همیشه در دسترس نیست و انتخاب اطلاعات لازم در مورد یک موضوع در اینترنت زمان زیادی می برد.

پورتال آموزشی Shkolkovo از دانش آموزان دعوت می کند تا از پایگاه دانش ما استفاده کنند. ما در حال اجرای یک روش کاملاً جدید برای آمادگی برای آزمون نهایی هستیم. با مطالعه در وب سایت ما، می توانید شکاف های دانش را شناسایی کنید و به کارهایی که بیشترین مشکل را ایجاد می کنند توجه کنید.

معلمان Shkolkovo تمام مطالب لازم برای موفقیت در آزمون دولتی واحد را به ساده ترین و در دسترس ترین شکل جمع آوری، سیستماتیک و ارائه کردند.

تعاریف و فرمول های اساسی در بخش "پیشینه نظری" ارائه شده است.

برای درک بهتر مطالب، توصیه می کنیم تکمیل تکالیف را تمرین کنید. مثال های معادلات نمایی با راه حل های ارائه شده در این صفحه را با دقت مرور کنید تا الگوریتم محاسبه را درک کنید. پس از آن، به انجام وظایف در بخش "دایرکتوری ها" ادامه دهید. می توانید با ساده ترین کارها شروع کنید یا مستقیماً به حل معادلات نمایی پیچیده با چندین مجهول یا . پایگاه داده تمرینات در وب سایت ما به طور مداوم تکمیل و به روز می شود.

نمونه هایی با شاخص هایی که برای شما مشکل ایجاد کرده اند را می توان به "موارد دلخواه" اضافه کرد. به این ترتیب می توانید به سرعت آنها را پیدا کنید و راه حل را با معلم خود در میان بگذارید.

برای گذراندن موفقیت آمیز آزمون دولتی واحد، هر روز در پورتال Shkolkovo مطالعه کنید!

معادلات نمایی معادلاتی هستند که در آنها مجهول در توان وجود دارد. ساده ترین معادله نمایی به این شکل است: a x = a b، که در آن a> 0، a 1، x مجهول است.

ویژگی های اصلی توان هایی که معادلات نمایی به وسیله آنها تبدیل می شوند: a>0، b>0.

هنگام حل معادلات نمایی، از خواص زیر تابع نمایی نیز استفاده می شود: y = a x، a > 0، a1:

برای نمایش یک عدد به عنوان توان، از هویت لگاریتمی پایه استفاده کنید: b = , a > 0, a1, b > 0.

مسائل و تست های مبحث "معادلات نمایی"

• معادلات نمایی

  درس: 4 تکلیف: 21 تست: 1

• معادلات نمایی - مباحث مهم برای بررسی آزمون دولتی واحد در ریاضیات

  وظایف: 14

• سیستم های معادلات نمایی و لگاریتمی - توابع نمایی و لگاریتمی درجه 11

  درس: 1 تکلیف: 15 تست: 1

• §2.1. حل معادلات نمایی

  درس: 1 وظایف: 27

• §7 معادلات و نابرابری های نمایی و لگاریتمی - بخش 5. توابع نمایی و لگاریتمی، درجه 10

  درس: 1 وظایف: 17

برای حل موفقیت آمیز معادلات نمایی، باید ویژگی های پایه توان ها، ویژگی های تابع نمایی و هویت لگاریتمی پایه را بدانید.

هنگام حل معادلات نمایی، از دو روش اصلی استفاده می شود:

1. انتقال از معادله a f(x) = a g(x) به معادله f(x) = g(x);
2. معرفی خطوط جدید

مثال ها.

1. معادلات کاهش یافته به ساده ترین. آنها با تقلیل دو طرف معادله به توانی با پایه یکسان حل می شوند.

3 x = 9 x – 2.

راه حل:

3 x = (3 2) x – 2 ;
3 x = 3 2x - 4 ;
x = 2x -4;
x = 4.

پاسخ: 4.

2. معادلات حل شده با خارج کردن عامل مشترک از پرانتز.

راه حل:

3 x – 3 x – 2 = 24
3 x – 2 (3 2 – 1) = 24
3 x - 2 × 8 = 24
3 x – 2 = 3
x – 2 = 1
x = 3.

پاسخ: 3.

3. معادلات حل شده با استفاده از تغییر متغیر.

راه حل:

2 2x + 2 x - 12 = 0
2 x = y را نشان می دهیم.
y 2 + y - 12 = 0
y 1 = - 4; y2 = 3.
الف) 2 x = - 4. معادله هیچ راه حلی ندارد، زیرا 2 x > 0.
ب) 2 x = 3; 2 x = 2 log 2 3 ; x = log 2 3.

پاسخ:لاگ 2 3.

4. معادلات حاوی توان با دو پایه متفاوت (غیر قابل تقلیل).

3 × 2 x + 1 - 2 × 5 x - 2 = 5 x + 2 x - 2.

3× 2 x + 1 – 2 x – 2 = 5 x – 2 × 5 x – 2
2 x – 2 × 23 = 5 x – 2
× 23
2 x – 2 = 5 x – 2
(5/2) x– 2 = 1
x – 2 = 0
x = 2.

پاسخ: 2.

5. معادلاتی که نسبت به a x و b x همگن هستند.

فرم کلی: .

9 x + 4 x = 2.5 × 6 x.

راه حل:

3 2x – 2.5 × 2 x × 3 x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x - 2.5 × (3/2) x + 1 = 0.
(3/2) x = y را نشان می دهیم.
y 2 - 2.5y + 1 = 0،
y 1 = 2; y 2 = ½.

پاسخ: log 3/2 2; - لاگ 3/2 2.

حل معادلات نمایی. مثال ها.

توجه!
اضافی وجود دارد
مواد در بخش ویژه 555.
برای کسانی که خیلی "نه خیلی..." هستند
و برای کسانی که "خیلی...")

چه اتفاقی افتاده است معادله نمایی? این معادله ای است که مجهولات (x) و عبارات با آنها در آن قرار دارند شاخص هابرخی درجات و فقط آنجا! مهم است.

شما آنجا هستید نمونه هایی از معادلات نمایی:

3 x 2 x = 8 x + 3

توجه داشته باشید! بر اساس درجه (زیر) - فقط اعداد. که در شاخص هادرجه (بالا) - طیف گسترده ای از عبارات با X. اگر به طور ناگهانی X در معادله در جایی غیر از یک نشانگر ظاهر شود، برای مثال:

این یک معادله از نوع مختلط خواهد بود. چنین معادلاتی قوانین روشنی برای حل آنها ندارند. فعلا آنها را در نظر نخواهیم گرفت. در اینجا به آن خواهیم پرداخت حل معادلات نماییدر خالص ترین شکل آن

در واقع، حتی معادلات نمایی خالص نیز همیشه به وضوح حل نمی شوند. اما انواع خاصی از معادلات نمایی وجود دارد که می توانند و باید حل شوند. اینها انواعی هستند که ما در نظر خواهیم گرفت.

حل معادلات نمایی ساده

اول، بیایید یک چیز بسیار اساسی را حل کنیم. مثلا:

حتی بدون هیچ نظریه ای، با انتخاب ساده مشخص می شود که x = 2. دیگه هیچی درسته!؟ هیچ مقدار دیگری از X کار نمی کند. حال بیایید به حل این معادله نمایی پیچیده نگاه کنیم:

ما چه کرده ایم؟ ما، در واقع، به سادگی همان پایه ها (سه گانه) را بیرون انداختیم. کاملا بیرون انداخته شده و خبر خوب این است که میخ را به سرمان زدیم!

در واقع، اگر در یک معادله نمایی چپ و راست وجود داشته باشد هماناعداد در هر توانی، این اعداد را می توان حذف کرد و توان ها را برابر کرد. ریاضیات اجازه می دهد. برای حل یک معادله بسیار ساده تر باقی مانده است. عالیه، درسته؟)

با این حال، بیایید قاطعانه به یاد داشته باشیم: شما می توانید پایه ها را فقط زمانی حذف کنید که اعداد پایه در سمت چپ و راست در انزوا عالی باشند!بدون هیچ همسایه و ضرایبی. بیایید در معادلات بگوییم:

2 x +2 x+1 = 2 3، یا

دوتا قابل حذف نیست!

خوب، ما به مهمترین چیز مسلط شدیم. چگونه از عبارات نمایی بد به معادلات ساده تر حرکت کنیم.

"آن زمان است!" - تو بگو. "چه کسی چنین درس ابتدایی در آزمون ها و امتحانات می دهد!؟"

من باید موافقت کنم. هیچ کس نخواهد. اما اکنون می‌دانید که هنگام حل مثال‌های پیچیده کجا را هدف بگیرید. باید به فرمی که همان عدد پایه در سمت چپ و راست است آورده شود. سپس همه چیز آسان تر خواهد شد. در واقع، این یک کلاسیک از ریاضیات است. نمونه اصلی را می گیریم و آن را به نمونه دلخواه تبدیل می کنیم ماذهن البته طبق قوانین ریاضی.

بیایید به نمونه هایی نگاه کنیم که به تلاش بیشتری برای کاهش آنها به ساده ترین نیاز دارند. به آنها زنگ بزنیم معادلات نمایی ساده

حل معادلات نمایی ساده مثال ها.

هنگام حل معادلات نمایی، قوانین اصلی هستند اقدامات با درجهبدون آگاهی از این اقدامات هیچ چیز کار نخواهد کرد.

به اعمال دارای درجه، باید مشاهده شخصی و نبوغ را اضافه کرد. آیا به اعداد پایه یکسانی نیاز داریم؟ بنابراین ما آنها را در مثال به صورت صریح یا رمزگذاری شده جستجو می کنیم.

بیایید ببینیم چگونه این کار در عمل انجام می شود؟

اجازه دهید مثالی برای ما آورده شود:

2 2x - 8 x+1 = 0

اولین نگاه دقیق به زمینه.آنها... با هم فرق دارند! دو و هشت. اما برای ناامید شدن خیلی زود است. وقت آن است که آن را به خاطر بسپاریم

دو و هشت از نظر درجه نسبی هستند.) کاملاً ممکن است بنویسیم:

8 x+1 = (2 3) x+1

اگر فرمول را از عملیات با درجه به یاد بیاوریم:

(a n) m = a nm

این عالی عمل می کند:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3 (x+1)

مثال اصلی به این شکل شروع شد:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

انتقال می دهیم 2 3 (x+1)در سمت راست (هیچ کس عملیات ابتدایی ریاضیات را لغو نکرده است!)، دریافت می کنیم:

2 2x = 2 3 (x+1)

این عملاً تمام است. برداشتن پایه ها:

ما این هیولا را حل می کنیم و می گیریم

این جواب درست است.

در این مثال، دانستن قدرت های دو به ما کمک کرد. ما شناخته شده استدر هشت، دو رمزگذاری شده وجود دارد. این تکنیک (رمزگذاری پایه های مشترک تحت اعداد مختلف) یک تکنیک بسیار محبوب در معادلات نمایی است! بله، و در لگاریتم نیز. شما باید بتوانید قدرت اعداد دیگر را در اعداد تشخیص دهید. این برای حل معادلات نمایی بسیار مهم است.

واقعیت این است که افزایش هر عددی به هر توانی مشکلی ندارد. ضرب کنید، حتی روی کاغذ، و تمام. به عنوان مثال، هر کسی می تواند 3 را به توان پنجم برساند. اگر جدول ضرب را بدانید 243 درست می شود.) اما در معادلات نمایی، خیلی بیشتر اوقات نیازی به بالا بردن به توان نیست، بلکه برعکس... پیدا کنید چه عددی به چه درجه ایپشت عدد 243 یا مثلاً 343 پنهان شده است... اینجا هیچ ماشین حسابی به شما کمک نمی کند.

شما باید قدرت برخی از اعداد را با دید بدانید، درست است... بیایید تمرین کنیم؟

تعیین کنید که اعداد چه قدرت ها و چه اعدادی هستند:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

پاسخ ها (البته در آشفتگی!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

اگر با دقت نگاه کنید، یک واقعیت عجیب را می بینید. پاسخ ها به طور قابل توجهی بیشتر از وظایف هستند! خوب، اتفاق می افتد... مثلاً 2 6، 4 3، 8 2 - این همه 64 است.

فرض کنید شما اطلاعات مربوط به آشنایی با اعداد را یادداشت کرده اید.) همچنین یادآور می شوم که برای حل معادلات نمایی از ما استفاده می کنیم. همهذخیره دانش ریاضی از جمله کسانی که از طبقات متوسطه و متوسطه هستند. شما مستقیماً به دبیرستان نرفتید، درست است؟)

به عنوان مثال، هنگام حل معادلات نمایی، قرار دادن عامل مشترک خارج از پرانتز اغلب کمک می کند (سلام به کلاس هفتم!). بیایید به یک مثال نگاه کنیم:

3 2x+4 -11 9 x = 210

و باز هم اولین نگاه به پایه هاست! پایه درجات متفاوت است... سه و نه. اما ما می خواهیم که آنها یکسان باشند. خب، در این صورت خواسته کاملا برآورده می شود!) زیرا:

9 x = (3 2) x = 3 2x

استفاده از قوانین مشابه برای برخورد با مدرک:

3 2x+4 = 3 2x ·3 4

عالی است، می توانید آن را یادداشت کنید:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

به همین دلایل مثال زدیم. خب بعدش چیه!؟ شما نمی توانید سه نفر را بیرون بیندازید... بن بست؟

اصلا. جهانی ترین و قدرتمندترین قانون تصمیم گیری را به خاطر بسپارید هر کستکالیف ریاضی:

اگر نمی دانید به چه چیزی نیاز دارید، آنچه می توانید انجام دهید!

ببین همه چیز درست میشه).

آنچه در این معادله نمایی وجود دارد می توانانجام دادن؟ بله، در سمت چپ فقط التماس می کند که از پرانتز خارج شود! ضریب کلی 3 2x به وضوح به این اشاره دارد. بیایید امتحان کنیم، سپس خواهیم دید:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

مثال همیشه بهتر و بهتر می شود!

ما به یاد داریم که برای حذف زمینه ها نیاز به مدرک تحصیلی خالص و بدون ضریب داریم. عدد 70 ما را اذیت می کند. بنابراین هر دو طرف معادله را بر 70 تقسیم می کنیم، به دست می آید:

اوه! همه چیز بهتر شد!

این پاسخ نهایی است.

با این حال اتفاق می افتد که تاکسی بر همین اساس محقق می شود، اما حذف آنها ممکن نیست. این در انواع دیگر معادلات نمایی اتفاق می افتد. بیایید به این نوع تسلط پیدا کنیم.

جایگزینی متغیر در حل معادلات نمایی. مثال ها.

بیایید معادله را حل کنیم:

4 x - 3 2 x +2 = 0

اول - طبق معمول. بیایید به یک پایه برویم. به یک دونه.

4 x = (2 2) x = 2 2x

معادله را بدست می آوریم:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

و اینجا جایی است که ما می گذریم. تکنیک های قبلی، مهم نیست که چگونه به آن نگاه کنید، کارساز نخواهد بود. ما باید روش قدرتمند و جهانی دیگری را از زرادخانه خود بیرون بکشیم. نامیده می شود جایگزینی متغیر

ماهیت روش به طرز شگفت آوری ساده است. به جای یک نماد پیچیده (در مورد ما - 2 x) یکی دیگر ساده تر (مثلا - t) را می نویسیم. چنین جایگزینی به ظاهر بی معنی منجر به نتایج شگفت انگیزی می شود!) همه چیز واضح و قابل درک می شود!

بنابراین اجازه دهید

سپس 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

در معادله ما تمام توان ها را با x با t جایگزین می کنیم:

خوب، آیا به شما طلوع می کند؟) آیا هنوز معادلات درجه دوم را فراموش کرده اید؟ با حل از طریق تفکیک، دریافت می کنیم:

نکته اصلی اینجا این است که متوقف نشویم، همانطور که اتفاق می افتد... این هنوز پاسخی نیست، ما به x نیاز داریم، نه t. بیایید به X ها برگردیم، یعنی. ما یک جایگزین معکوس می کنیم. ابتدا برای t 1:

به این معنا که،

یک ریشه پیدا شد. ما به دنبال مورد دوم از t 2 هستیم:

هوم... 2 x سمت چپ، 1 در سمت راست... مشکل؟ اصلا! کافی است به یاد داشته باشید (از عملیات با قدرت ها، بله...) که یک واحد است هرعدد به توان صفر هر هر چه نیاز باشد ما آن را نصب می کنیم. ما به دوتا نیاز داریم به معنای:

الان همین است. ما 2 ریشه گرفتیم:

این پاسخ است.

در حل معادلات نماییدر پایان گاهی اوقات شما با نوعی بیان ناخوشایند مواجه می شوید. نوع:

هفت را نمی توان با یک توان ساده به دو تبدیل کرد. اقوام نیستن... چطوری باشیم؟ ممکن است کسی گیج شود ... اما شخصی که در این سایت موضوع "لگاریتم چیست؟" را خوانده است. ، فقط با احتیاط لبخند می زند و با دستی محکم پاسخ کاملا صحیح را می نویسد:

چنین پاسخی در وظایف "B" در آزمون یکپارچه دولتی وجود ندارد. در آنجا یک شماره خاص مورد نیاز است. اما در وظایف "C" آسان است.

در این درس مثال هایی از حل رایج ترین معادلات نمایی ارائه می شود. بیایید نکات اصلی را برجسته کنیم.

نکات کاربردی:

1. اول از همه، نگاه می کنیم زمینهدرجه. ما در تعجب هستیم که آیا امکان ساخت آنها وجود دارد یا خیر همسان.بیایید سعی کنیم این کار را با استفاده فعال انجام دهیم اقدامات با درجهفراموش نکنید که اعداد بدون x را نیز می توان به توان تبدیل کرد!

2. ما سعی می کنیم معادله نمایی را زمانی که در سمت چپ و راست وجود دارد به شکلی در بیاوریم هماناعداد در هر قدرتی ما استفاده می کنیم اقدامات با درجهو فاکتورسازیآنچه را می توان با اعداد شمارش کرد، ما می شماریم.

3. اگر نکته دوم کار نکرد، از جایگزینی متغیر استفاده کنید. نتیجه ممکن است معادله ای باشد که به راحتی قابل حل باشد. اغلب - مربع. یا کسری که به مربع نیز تقلیل می یابد.

4. برای حل موفقیت آمیز معادلات نمایی، باید قدرت برخی از اعداد را از روی دید بدانید.

طبق معمول، در پایان درس از شما دعوت می شود تا کمی تصمیم بگیرید.) خودتان. از ساده به پیچیده.

حل معادلات نمایی:

سخت تر:

2 x+3 - 2 x+2 - 2 x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0.5x+1 - 8 = 0

محصول ریشه ها را پیدا کنید:

2 3 + 2 x = 9

اتفاق افتاد؟

خب، پس یک مثال بسیار پیچیده (البته در ذهن قابل حل است...):

7 0.13x + 13 0.7x+1 + 2 0.5x+1 = -3

چه جالب تر؟ پس در اینجا یک مثال بد برای شما وجود دارد. برای افزایش سختی بسیار وسوسه انگیز است. اجازه دهید اشاره کنم که در این مثال، چیزی که شما را نجات می دهد، نبوغ و جهانی ترین قانون برای حل تمام مسائل ریاضی است.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

یک مثال ساده تر، برای آرامش):

9 2 x - 4 3 x = 0

و برای دسر. مجموع ریشه های معادله را پیدا کنید:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

بله بله! این یک معادله از نوع مختلط است! که در این درس به آن توجه نکردیم. چرا آنها را در نظر بگیرید، آنها باید حل شوند!) این درس برای حل معادله کاملاً کافی است. خوب، شما نیاز به نبوغ دارید... و ممکن است کلاس هفتم به شما کمک کند (این یک اشاره است!).

پاسخ ها (به هم ریخته، با نقطه ویرگول از هم جدا شده اند):

1 2 3; 4 هیچ راه حلی وجود ندارد؛ 2 -2 -5; 4 0.

آیا همه چیز موفق است؟ عالی.

مشکلی وجود دارد؟ مشکلی نیست! بخش ویژه 555 تمام این معادلات نمایی را با توضیحات دقیق حل می کند. چی، چرا و چرا. و البته، اطلاعات ارزشمند بیشتری در مورد کار با انواع معادلات نمایی وجود دارد. نه فقط اینها.)

آخرین سوال جالبی که باید در نظر گرفت. در این درس با معادلات نمایی کار کردیم. چرا من اینجا یک کلمه در مورد ODZ نگفتم؟در معادلات، اتفاقاً این یک چیز بسیار مهم است ...

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری بیایید یاد بگیریم - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.