Estudiar el tema exacto: números naturales: qué son los números, ejemplos y propiedades. Números antinaturales

En matemáticas existen varios conjuntos diferentes de números: reales, complejos, enteros, racionales, irracionales,... En nuestro La vida cotidiana La mayoría de las veces utilizamos números naturales, ya que los encontramos al contar y al buscar, designando el número de objetos.

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¿Qué números se llaman números naturales?

A partir de diez dígitos se puede escribir absolutamente cualquier suma de clases y rangos existentes. Se consideran valores naturales aquellos que se utilizan:

• Al contar cualquier objeto (primero, segundo, tercero, ... quinto, ... décimo).
• Al indicar el número de artículos (uno, dos, tres...)

Los valores de N son siempre enteros y positivos. No existe un N mayor porque el conjunto de valores enteros es ilimitado.

¡Atención! Los números naturales se obtienen al contar objetos o al indicar su cantidad.

Absolutamente cualquier número se puede descomponer y presentar en forma de términos numéricos, por ejemplo: 8.346.809=8 millones+346 mil+809 unidades.

Establecer N

El conjunto N está en el conjunto. real, entero y positivo. En el diagrama de conjuntos se ubicarían unos en otros, ya que el conjunto de los naturales forma parte de ellos.

El conjunto de los números naturales se denota con la letra N. Este conjunto tiene principio, pero no final.

También hay un conjunto extendido N, donde se incluye el cero.

Número natural más pequeño

En la mayoría de las escuelas de matemáticas, el valor más pequeño de N se considera una unidad, ya que la ausencia de objetos se considera vacío.

Pero en las escuelas de matemáticas extranjeras, por ejemplo en la francesa, se considera natural. La presencia de cero en la serie facilita la prueba. algunos teoremas.

Una serie de valores N que incluye cero se llama extendida y se denota con el símbolo N0 (índice cero).

Serie de números naturales

N serie es una secuencia de todos los N conjuntos de dígitos. Esta secuencia no tiene fin.

La peculiaridad de la serie natural es que el siguiente número diferirá en uno del anterior, es decir, aumentará. Pero los significados no puede ser negativo.

¡Atención! Para facilitar el conteo, existen clases y categorías:

• Unidades (1, 2, 3),
• Decenas (10, 20, 30),
• Cientos (100, 200, 300),
• Miles (1000, 2000, 3000),
• Decenas de miles (30.000),
• Cientos de miles (800.000),
• Millones (4000000), etc.

Todo N

Todos los N están en el conjunto de valores reales, enteros y no negativos. Ellos son suyos parte integral.

Estos valores llegan al infinito, pueden pertenecer a las clases de millones, miles de millones, quintillones, etc.

Por ejemplo:

• Cinco manzanas, tres gatitos
• Diez rublos, treinta lápices,
• Cien kilogramos, trescientos libros,
• Un millón de estrellas, tres millones de personas, etc.

Secuencia en N

En diferentes escuelas de matemáticas puedes encontrar dos intervalos a los que pertenece la secuencia N:

de cero a más infinito, incluidos los extremos, y de uno a más infinito, incluidos los extremos, es decir, todo respuestas enteras positivas.

N conjuntos de dígitos pueden ser pares o impares. Consideremos el concepto de rareza.

Impar (cualquier número impar termina en los números 1, 3, 5, 7, 9) y dos tienen resto. Por ejemplo, 7:2=3,5, 11:2=5,5, 23:2=11,5.

¿Qué significa incluso N?

Cualquier suma par de clases termina en números: 0, 2, 4, 6, 8. Cuando incluso N se divide por 2, no quedará resto, es decir, el resultado es la respuesta completa. Por ejemplo, 50:2=25, 100:2=50, 3456:2=1728.

¡Importante! Una serie numérica de N no puede constar únicamente de valores pares o impares, ya que deben alternarse: al par siempre le sigue el impar, le sigue el par nuevamente, etc.

Propiedades norte

Como todos los demás conjuntos, N tiene sus propias propiedades especiales. Consideremos las propiedades de la serie N (no extendida).

• El valor que es menor y que no sigue a ningún otro es uno.
• N representa una secuencia, es decir, un valor natural sigue a otro(excepto uno, es el primero).
• Cuando realizamos operaciones computacionales en N sumas de dígitos y clases (suma, multiplicación), entonces la respuesta siempre resulta natural significado.
• La permutación y combinación se pueden utilizar en los cálculos.
• Cada valor posterior no puede ser menor que el anterior. También en la serie N se aplicará la siguiente ley: si el número A es menor que B, entonces en la serie numérica siempre habrá un C para el cual se cumple la igualdad: A+C=B.
• Si tomamos dos expresiones naturales, por ejemplo A y B, entonces una de las expresiones será verdadera para ellas: A = B, A es mayor que B, A es menor que B.
• Si A es menor que B y B es menor que C, entonces se sigue que que A es menor que C.
• Si A es menor que B, entonces se sigue que: si les sumamos la misma expresión (C), entonces A + C es menor que B + C. También es cierto que si estos valores se multiplican por C, entonces AC es menor que AB.
• Si B es mayor que A, pero menor que C, entonces es cierto: B-A es menor que C-A.

¡Atención! Todas las desigualdades anteriores también son válidas en la dirección opuesta.

¿Cómo se llaman los componentes de la multiplicación?

En muchos problemas simples e incluso complejos, encontrar la respuesta depende de las habilidades de los estudiantes.

Enteros Nos resultan muy familiares y naturales. Y esto no es de extrañar, ya que su conocimiento comienza desde los primeros años de nuestra vida en un nivel intuitivo.

La información contenida en este artículo crea una comprensión básica de los números naturales, revela su propósito e inculca las habilidades para escribir y leer números naturales. Para una mejor comprensión del material, se proporcionan los ejemplos e ilustraciones necesarios.

Navegación de páginas.

Números naturales – representación general.

La siguiente opinión no carece de lógica: el surgimiento de la tarea de contar objetos (primer, segundo, tercer objeto, etc.) y la tarea de indicar el número de objetos (uno, dos, tres objetos, etc.) llevó a la creación de una herramienta para solucionarlo, este fue el instrumento números enteros.

De esta frase queda claro El objetivo principal de los números naturales.– llevar información sobre el número de cualquier artículo o el número de serie de un artículo determinado en el conjunto de artículos considerados.

Para que una persona pueda utilizar números naturales, deben ser de alguna manera accesibles tanto a la percepción como a la reproducción. Si expresa cada número natural, será perceptible de oído, y si representa un número natural, podrá verlo. Estas son las formas más naturales de transmitir y percibir números naturales.

Entonces, comencemos a adquirir las habilidades de representar (escribir) y expresar (leer) números naturales, mientras aprendemos su significado.

Notación decimal de un número natural.

Primero debemos decidir desde dónde comenzaremos al escribir números naturales.

Recordemos las imágenes de los siguientes personajes (las mostraremos separadas por comas): 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Las imágenes mostradas son una grabación del llamado números. Acordemos de inmediato no voltear, inclinar ni distorsionar los números al grabar.

Ahora aceptemos que en la notación de cualquier número natural solo pueden estar presentes los dígitos indicados y no pueden estar presentes otros símbolos. Convengamos también en que los dígitos en la notación de un número natural tienen la misma altura, están dispuestos en una línea uno tras otro (casi sin sangría) y a la izquierda hay un dígito distinto del dígito 0 .

A continuación se muestran algunos ejemplos de escritura correcta de números naturales: 604 , 777 277 , 81 , 4 444 , 1 001 902 203, 5 , 900 000 (tenga en cuenta: las sangrías entre los números no siempre son las mismas; se discutirá más sobre esto al revisar). De los ejemplos anteriores queda claro que la notación de un número natural no necesariamente contiene todos los dígitos. 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ; algunos o todos los dígitos involucrados en la escritura de un número natural pueden repetirse.

Publicaciones 014 , 0005 , 0 , 0209 No son registros de números naturales, ya que hay un dígito a la izquierda. 0 .

Escribir un número natural, realizado teniendo en cuenta todos los requisitos descritos en este párrafo, se llama notación decimal de un número natural.

Además no distinguiremos entre números naturales y su escritura. Expliquemos esto: más adelante en el texto usaremos frases como “dado un número natural 582 ", lo que significará que se da un número natural, cuya notación tiene la forma 582 .

Números naturales en el sentido del número de objetos.

Ha llegado el momento de comprender el significado cuantitativo que conlleva el número natural escrito. El significado de los números naturales en términos de numeración de objetos se analiza en el artículo Comparación de números naturales.

Comencemos con números naturales, cuyas entradas coinciden con las entradas de dígitos, es decir, con números. 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 Y 9 .

Imaginemos que abrimos los ojos y vemos algún objeto, por ejemplo, como este. En este caso, podemos escribir lo que vemos. 1 artículo. El número natural 1 se lee como " uno"(declinación del número “uno”, así como otros números, daremos en el párrafo), para el número 1 se ha adoptado otro nombre - “ unidad».

Sin embargo, el término “unidad” tiene varios valores, además del número natural. 1 , llamar a algo considerado en su conjunto. Por ejemplo, cualquier elemento entre muchos puede denominarse unidad. Por ejemplo, cualquier manzana de un conjunto de manzanas es una unidad, cualquier bandada de pájaros de un conjunto de bandadas de pájaros también es una unidad, etc.

Ahora abrimos los ojos y vemos: . Es decir, vemos un objeto y otro objeto. En este caso, podemos escribir lo que vemos. 2 sujeto. Número natural 2 , se lee " dos».

Asimismo, - 3 Asunto (leer " tres" sujeto), - 4 (« cuatro") sujeto, - 5 (« cinco»), - 6 (« seis»), - 7 (« Siete»), - 8 (« ocho»), - 9 (« nueve") elementos.

Entonces, desde la posición considerada, los números naturales. 1 , 2 , 3 , …, 9 indicar cantidad elementos.

Un número cuya notación coincide con la notación de un dígito. 0 , llamado " cero" El número cero NO es un número natural, sin embargo, se suele considerar junto con los números naturales. Recuerde: cero significa la ausencia de algo. Por ejemplo, cero elementos no son un solo elemento.

En los siguientes párrafos del artículo continuaremos revelando el significado de los números naturales en términos de indicar cantidades.

Números naturales de una sola cifra.

Evidentemente, el registro de cada uno de los números naturales. 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 consta de un carácter, un número.

Definición.

números naturales de una sola cifra– estos son números naturales, cuya escritura consta de un signo: un dígito.

Enumeremos todos los números naturales de un solo dígito: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . En total hay nueve números naturales de un solo dígito.

Números naturales de dos y tres cifras.

Primero, definamos los números naturales de dos dígitos.

Definición.

Números naturales de dos cifras– estos son números naturales, cuya grabación consta de dos signos: dos dígitos (diferentes o iguales).

Por ejemplo, un número natural 45 – números de dos dígitos 10 , 77 , 82 también de dos dígitos, y 5 490 , 832 , 90 037 – no de dos dígitos.

Averigüemos qué significado tienen los números de dos dígitos, mientras nos basaremos en el significado cuantitativo de los números naturales de un solo dígito que ya conocemos.

Para empezar, introduzcamos el concepto. diez.

Imaginemos esta situación: abrimos los ojos y vimos un conjunto que consta de nueve objetos y un objeto más. En este caso hablan de 1 diez (una docena) de artículos. Si se consideran juntos una decena y otra decena, entonces se habla de 2 decenas (dos docenas). Si sumamos otra decena a dos decenas, tendremos tres decenas. Siguiendo este proceso, obtendremos cuatro decenas, cinco decenas, seis decenas, siete decenas, ocho decenas y finalmente nueve decenas.

Ahora podemos pasar a la esencia de los números naturales de dos cifras.

Para hacer esto, veamos un número de dos dígitos como dos números de un solo dígito: uno está a la izquierda en la notación de un número de dos dígitos y el otro está a la derecha. El número de la izquierda indica el número de decenas y el número de la derecha indica el número de unidades. Además, si hay un dígito en el lado derecho de un número de dos dígitos 0 , entonces esto significa la ausencia de unidades. Este es el objetivo de los números naturales de dos dígitos en términos de indicar cantidades.

Por ejemplo, un número natural de dos cifras. 72 corresponde 7 docenas y 2 unidades (es decir, 72 manzanas es un conjunto de siete docenas de manzanas y dos manzanas más), y el número 30 respuestas 3 docenas y 0 no hay unidades, es decir, unidades que no se combinan en decenas.

Respondamos la pregunta: "¿Cuántos números naturales de dos cifras hay?" Contéstales 90 .

Pasemos a la definición de números naturales de tres cifras.

Definición.

Números naturales cuya notación consta de 3 señales - 3 Los números (diferentes o repetidos) se llaman. tres dígitos.

Ejemplos de números naturales de tres dígitos son 372 , 990 , 717 , 222 . Enteros 7 390 , 10 011 , 987 654 321 234 567 no son de tres dígitos.

Para comprender el significado inherente a los números naturales de tres dígitos, necesitamos el concepto cientos.

El conjunto de diez decenas es 1 cien (cien). ciento cien es 2 cientos. Doscientos cien son trescientos. Y así sucesivamente, tenemos cuatrocientos, quinientos, seiscientos, setecientos, ochocientos y finalmente novecientos.

Ahora veamos un número natural de tres dígitos como tres números naturales de un solo dígito, uno detrás del otro de derecha a izquierda en la notación de un número natural de tres dígitos. El número de la derecha indica el número de unidades, el siguiente número indica el número de decenas y el siguiente número indica el número de centenas. Números 0 por escrito, un número de tres dígitos significa la ausencia de decenas y (o) unidades.

Por tanto, un número natural de tres cifras 812 corresponde 8 cientos, 1 diez y 2 unidades; número 305 - trescientos ( 0 decenas, es decir, no hay decenas que no se combinen en centenas) y 5 unidades; número 470 – cuatro centenas y siete decenas (no hay unidades que no se combinen en decenas); número 500 – cinco centenas (no hay decenas que no se combinen en centenas, ni unidades que no se combinen en decenas).

De manera similar, se pueden definir cuatro dígitos, cinco dígitos, seis dígitos, etc. números naturales.

Números naturales de varios dígitos.

Entonces, pasemos a la definición de números naturales multivaluados.

Definición.

Números naturales de varios dígitos- estos son números naturales, cuya notación consta de dos, tres o cuatro, etc. señales. En otras palabras, los números naturales de varios dígitos son de dos dígitos, tres dígitos, cuatro dígitos, etc. números.

Digamos de inmediato que un conjunto que consta de mil cien es mil, mil mil es un millón, mil millones es mil millones, mil billones es un billón. A mil billones, mil billones, etc., también se les puede dar su propio nombre, pero no hay ninguna necesidad especial de ello.

Entonces, ¿cuál es el significado de los números naturales de varios dígitos?

Consideremos un número natural de varios dígitos como números naturales de un solo dígito que se suceden uno tras otro de derecha a izquierda. El número de la derecha indica el número de unidades, el siguiente número es el número de decenas, el siguiente es el número de centenas, luego el número de miles, luego el número de decenas de miles, luego cientos de miles, luego el número de millones, luego el número de decenas de millones, luego cientos de millones, luego – el número de miles de millones, luego – el número de decenas de miles de millones, luego – cientos de miles de millones, luego – billones, luego – decenas de billones, luego – cientos de billones y así sucesivamente.

Por ejemplo, un número natural de varios dígitos. 7 580 521 corresponde 1 unidad, 2 docenas, 5 cientos, 0 miles, 8 Decenas de miles, 5 cientos de miles y 7 millones.

Así, aprendimos a agrupar unidades en decenas, decenas en centenas, centenas en millares, miles en decenas de millares, etc., y descubrimos que los números en la notación de un número natural de varios dígitos indican el número correspondiente del grupos anteriores.

Lectura de números naturales, clases.

Ya hemos mencionado cómo se leen los números naturales de un solo dígito. Aprendamos de memoria el contenido de las siguientes tablas.

¿Cómo se leen los números restantes de dos dígitos?

Expliquemos con un ejemplo. Leamos el número natural. 74 . Como descubrimos anteriormente, este número corresponde a 7 docenas y 4 unidades, es decir, 70 Y 4 . Pasamos a las tablas que acabamos de registrar, y el número 74 lo leemos como: “Setenta y cuatro” (no pronunciamos la conjunción “y”). Si necesitas leer un número 74 en la frase: "No 74 manzanas" (caso genitivo), sonará así: "No hay setenta y cuatro manzanas". Otro ejemplo. Número 88 - Este 80 Y 8 , por lo tanto, leemos: “Ochenta y ocho”. Y he aquí un ejemplo de frase: "Está pensando en ochenta y ocho rublos".

Pasemos a leer números naturales de tres cifras.

Para ello tendremos que aprender algunas palabras nuevas más.

Queda por mostrar cómo se leen los números naturales restantes de tres dígitos. En este caso, utilizaremos las habilidades que ya hemos adquirido en la lectura de números de una y dos cifras.

Veamos un ejemplo. leamos el numero 107 . Este número corresponde 1 ciento y 7 unidades, es decir, 100 Y 7 . Pasando a las tablas, leemos: “Ciento siete”. Ahora digamos el número. 217 . Este número es 200 Y 17 , por lo tanto, leemos: “Doscientos diecisiete”. Asimismo, 888 - Este 800 (ochocientos) y 88 (ochenta y ocho), leemos: “Ochocientos ochenta y ocho”.

Pasemos a leer números de varios dígitos.

Para leer, la entrada de un número natural de varios dígitos se divide, comenzando desde la derecha, en grupos de tres dígitos, y en el grupo más a la izquierda puede haber 1 , o 2 , o 3 números. Estos grupos se llaman clases. La clase de la derecha se llama clase de unidades. La clase que le sigue (de derecha a izquierda) se llama clase de miles, siguiente clase - millones de clase, próximo - mil millones de clase, viene lo siguiente clase de billón. Puede dar los nombres de las siguientes clases, pero números naturales, cuya notación consiste en 16 , 17 , 18 etc. Los signos no suelen leerse, ya que son muy difíciles de percibir de oído.

Mire ejemplos de cómo dividir números de varios dígitos en clases (para mayor claridad, las clases están separadas entre sí por una pequeña sangría): 489 002 , 10 000 501 , 1 789 090 221 214 .

Pongamos los números naturales escritos en una tabla que facilite aprender a leerlos.

Para leer un número natural, llamamos a sus números constituyentes por clase de izquierda a derecha y sumamos el nombre de la clase. Al mismo tiempo, no pronunciamos el nombre de la clase de unidades y también nos saltamos aquellas clases que componen tres dígitos. 0 . Si la entrada de clase tiene un número a la izquierda 0 o dos dígitos 0 , entonces ignoramos estos números 0 y lee el número obtenido al descartar estos números 0 . P.ej, 002 leerse como “dos”, y 025 - como en "veinticinco".

leamos el numero 489 002 según las reglas dadas.

Leemos de izquierda a derecha,

• lee el numero 489 , que representa la clase de miles, es “cuatrocientos ochenta y nueve”;
• sumamos el nombre de la clase, obtenemos “cuatrocientos ochenta y nueve mil”;
• Más adelante en la clase de unidades vemos. 002 , hay ceros a la izquierda, los ignoramos, por lo tanto 002 leer como "dos";
• no es necesario añadir el nombre de la clase de unidad;
• al final tenemos 489 002 - “cuatrocientos ochenta y nueve mil dos”.

Empecemos a leer el número. 10 000 501 .

• A la izquierda en la clase de millones vemos el número. 10 , léase “diez”;
• agregamos el nombre de la clase, tenemos “diez millones”;
• luego vemos la entrada 000 en la clase de miles, ya que los tres dígitos son dígitos 0 , luego nos saltamos esta clase y pasamos a la siguiente;
• la clase de unidades representa el número 501 , que leemos “quinientos uno”;
• De este modo, 10 000 501 - diez millones quinientos uno.

Hagamos esto sin una explicación detallada: 1 789 090 221 214 - “un billón setecientos ochenta y nueve mil noventa millones doscientos veintiún mil doscientos catorce”.

Entonces, la base de la habilidad de leer números naturales de varios dígitos es la capacidad de dividir números de varios dígitos en clases, el conocimiento de los nombres de las clases y la capacidad de leer números de tres dígitos.

Los dígitos de un número natural, el valor del dígito.

Al escribir un número natural, el significado de cada dígito depende de su posición. Por ejemplo, un número natural 539 corresponde 5 cientos, 3 docenas y 9 unidades, por lo tanto, la cifra 5 por escrito el numero 539 determina el número de centenas, dígito 3 – el número de decenas y el dígito 9 - número de unidades. Al mismo tiempo dicen que la cifra. 9 costos en dígitos de unidades y numero 9 es valor del dígito unitario, número 3 costos en lugar de las decenas y numero 3 es valor posicional de las decenas, y la figura 5 -V lugar de cientos y numero 5 es valor posicional de centenas.

De este modo, descargar- por un lado, esta es la posición de un dígito en la notación de un número natural y, por otro lado, el valor de este dígito, determinado por su posición.

Las categorías reciben nombres. Si observa los números en la notación de un número natural de derecha a izquierda, corresponderán a los siguientes dígitos: unidades, decenas, centenas, miles, decenas de miles, cientos de miles, millones, decenas de millones y pronto.

Es conveniente recordar los nombres de las categorías cuando se presentan en forma de tabla. Escribamos una tabla que contenga los nombres de 15 categorías.

Tenga en cuenta que la cantidad de dígitos de un número natural dado es igual a la cantidad de caracteres involucrados en escribir este número. Por tanto, la tabla grabada contiene los nombres de los dígitos de todos los números naturales, cuya grabación contiene hasta 15 caracteres. Los siguientes rangos también tienen sus propios nombres, pero rara vez se utilizan, por lo que no tiene sentido mencionarlos.

Utilizando una tabla de dígitos es conveniente determinar los dígitos de un número natural dado. Para hacer esto, necesitas escribir este número natural en esta tabla de modo que haya un dígito en cada dígito y el dígito más a la derecha esté en el dígito de las unidades.

Pongamos un ejemplo. Escribamos un número natural. 67 922 003 942 en la tabla, y los dígitos y los significados de estos dígitos serán claramente visibles.

El número en este número es 2 se encuentra en el lugar de las unidades, dígito 4 – en el lugar de las decenas, dígito 9 – en el lugar de las centenas, etc. Deberías prestar atención a los números. 0 , ubicado en las categorías de decenas de miles y cientos de miles. Números 0 en estos dígitos significa la ausencia de unidades de estos dígitos.

También vale la pena mencionar los llamados dígitos más bajo (menor) y más alto (más significativo) de un número natural de varios dígitos. Rango más bajo (junior) de cualquier número natural de varios dígitos es el dígito de las unidades. El dígito más alto (más significativo) de un número natural. es el dígito correspondiente al dígito más a la derecha en el registro de este número. Por ejemplo, el dígito de orden inferior del número natural 23.004 es el dígito de las unidades y el dígito más alto es el dígito de las decenas de miles. Si en la notación de un número natural nos movemos por dígitos de izquierda a derecha, entonces cada dígito posterior más bajo (más joven) el anterior. Por ejemplo, el rango de miles es inferior al rango de decenas de miles, y más aún el rango de miles es inferior al rango de cientos de miles, millones, decenas de millones, etc. Si en la notación de un número natural nos movemos por dígitos de derecha a izquierda, entonces cada dígito posterior más alto (mayor) el anterior. Por ejemplo, el dígito de las centenas es más antiguo que el de las decenas y, más aún, que el de las unidades.

En algunos casos (por ejemplo, al realizar sumas o restas), no se utiliza el número natural en sí, sino la suma de los términos de los dígitos de este número natural.

Brevemente sobre el sistema numérico decimal.

Entonces, nos familiarizamos con los números naturales, el significado inherente a ellos y la forma de escribir números naturales usando diez dígitos.

En general, el método de escribir números usando signos se llama sistema de numeración. El significado de un dígito en una notación numérica puede depender o no de su posición. Los sistemas numéricos en los que el valor de un dígito en un número depende de su posición se denominan posicional.

Por lo tanto, los números naturales que examinamos y el método para escribirlos indican que utilizamos un sistema numérico posicional. Cabe señalar que el número tiene un lugar especial en este sistema numérico. 10 . De hecho, el conteo se realiza en decenas: diez unidades se combinan para formar una decena, una docena de decenas se combinan para formar una centena, una docena de centenas se combinan para formar un millar, y así sucesivamente. Número 10 llamado base sistema numérico dado, y el sistema numérico en sí se llama decimal.

Además del sistema numérico decimal, existen otros, por ejemplo, en informática se utiliza el sistema numérico posicional binario, y cuando se trata de medir el tiempo nos encontramos con el sistema sexagesimal.

Bibliografía.

• Matemáticas. Cualquier libro de texto para quinto grado de instituciones de educación general.

Enteros– números que se utilizan para contar objetos . Cualquier número natural se puede escribir usando diez. números: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Este tipo de número se llama decimal

La secuencia de todos los números naturales se llama natural al lado de .

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ...

lo mas pequeño El número natural es uno (1). En la serie natural, cada número siguiente es 1 mayor que el anterior. Serie natural sin fin, no hay ningún número más grande en él.

El significado de un dígito depende de su lugar en el registro numérico. Por ejemplo, el número 4 significa: 4 unidades si está en el último lugar en el registro numérico. (en lugar de unidades); 4 diez, si esta en el penúltimo lugar (en el lugar de las decenas); 4 cientos, si esta en tercer lugar desde el final (V lugar de cientos).

El número 0 significa ausencia de unidades de esta categoría en la notación decimal de un número. También sirve para designar el número “ cero" Este número significa "ninguno". El resultado 0:3 en un partido de fútbol significa que el primer equipo no marcó ni un solo gol al rival.

Cero no incluye a los números naturales. Y, de hecho, contar objetos nunca empieza desde cero.

Si la notación de un número natural consta de un signo. – un dígito, entonces se llama inequívoco. Aquellos. inequívoconúmero natural– un número natural, cuya notación consta de un signo – un dígito. Por ejemplo, los números 1, 6, 8 son de un solo dígito.

Doble digitonúmero natural– un número natural cuya notación consta de dos caracteres – dos dígitos.

Por ejemplo, los números 12, 47, 24, 99 son números de dos dígitos.

Además, según la cantidad de caracteres de un número determinado, dan nombres a otros números:

números 326, 532, 893 – tres dígitos;

números 1126, 4268, 9999 – cuatro dígitos etc.

Dos dígitos, tres dígitos, cuatro dígitos, cinco dígitos, etc. los números se llaman números de varios dígitos .

Para leer números de varios dígitos, se dividen, comenzando por la derecha, en grupos de tres dígitos cada uno (el grupo más a la izquierda puede constar de uno o dos dígitos). Estos grupos se llaman clases.

Millón– esto es mil mil (1000 mil), se escribe 1 millón o 1.000.000.

mil millones- Eso son 1000 millones. Se escribe como mil millones o 1.000.000.000.

Los primeros tres dígitos de la derecha forman la clase de unidades, los tres siguientes, la clase de miles, luego vienen las clases de millones, miles de millones, etc. (Figura 1).

Arroz. 1. Clase de millones, clase de miles y clase de unidades (de izquierda a derecha)

El número 15389000286 está escrito en la cuadrícula de bits (Fig. 2).

Arroz. 2. Cuadrícula de bits: número 15 mil millones 389 millones 286

Este número tiene 286 unidades en la clase de unidades, cero unidades en la clase de miles, 389 unidades en la clase de millones y 15 unidades en la clase de miles de millones.

Definición

Los números naturales son números destinados a contar objetos. Para registrar números naturales se utilizan 10 números arábigos (0–9), que forman la base del sistema numérico decimal generalmente aceptado para cálculos matemáticos.

Secuencia de números naturales

Los números naturales forman una serie que comienza en 1 y abarca el conjunto de todos los números enteros positivos. Esta secuencia consta de los números 1,2,3,.... Esto significa que en la serie natural:

1. Hay un número más pequeño y no más grande.
2. Cada número posterior es mayor que el anterior en 1 (a excepción de la unidad en sí).
3. Como los números tienden al infinito, crecen sin límite.

A veces se introduce 0 en una serie de números naturales, lo cual es aceptable y luego se habla de expandido series naturales.

clases de números naturales

Cada dígito de un número natural expresa un dígito determinado. El último es siempre el número de unidades del número, el anterior es el número de decenas, el tercero desde el final es el número de centenas, el cuarto es el número de miles, y así sucesivamente.

• en el número 276: 2 centenas, 7 decenas, 6 unidades
• en el número 1098: 1 mil, 9 decenas, 8 unidades; Aquí falta el lugar de las centenas porque se expresa como cero.

Para números grandes y muy grandes, puede ver una tendencia estable (si examina el número de derecha a izquierda, es decir, del último dígito al primero):

• los últimos tres dígitos del número son unidades, decenas y centenas;
• los tres anteriores son unidades, decenas y centenas de millar;
• los tres delante de ellos (es decir, los dígitos 7, 8 y 9 del número, contando desde el final) son unidades, decenas y centenas de millones, etc.

Es decir, cada vez que se trata de tres dígitos, es decir, unidades, decenas y centenas de un nombre mayor. Estos grupos forman clases. Y si en la vida cotidiana tienes que lidiar con las tres primeras clases con más o menos frecuencia, entonces conviene enumerar las demás, porque no todo el mundo recuerda sus nombres de memoria.

• La cuarta clase, que sigue a la clase de millones y que representa números de 10 a 12 dígitos, se llama mil millones (o mil millones);
• 5to grado – billón;
• 6º grado: billones;
• 7mo grado – quintillones;
• 8º grado – sextillón;
• 9no grado – septillón.

Suma de números naturales

La suma de números naturales es una operación aritmética que permite obtener un número que contiene la misma cantidad de unidades que hay en los números que se están sumando.

El signo de suma es el signo "+". Los números sumados se llaman sumandos y el resultado resultante se llama suma.

Los números pequeños se suman (suman) oralmente; por escrito, dichas acciones se escriben en una línea.

Los números de varios dígitos que son difíciles de sumar mentalmente generalmente se agregan en una columna. Para ello se escriben los números uno debajo del otro, alineados por el último dígito, es decir, se escriben el lugar de las unidades debajo del lugar de las unidades, el lugar de las centenas debajo del lugar de las centenas, y así sucesivamente. A continuación debes sumar los dígitos en pares. Si la suma de dígitos ocurre con una transición a través de una decena, entonces esta decena se fija como una unidad encima del dígito de la izquierda (es decir, el siguiente) y se suma con los dígitos de este dígito.

Si no se agregan 2, sino más números a una columna, al resumir los dígitos del lugar, no 1 decena, sino varios, pueden resultar redundantes. En este caso, el número de dichas decenas se transfiere al siguiente dígito.

Restar números naturales

La resta es una operación aritmética, la inversa de la suma, que se reduce al hecho de que utilizando la suma disponible y uno de los términos, es necesario encontrar otro, un término desconocido. El número del que se resta se llama minuendo; el número que se está restando es sustraendible. El resultado de la resta se llama diferencia. El signo utilizado para denotar la acción de restar es “-”.

Al pasar a la suma, el sustraendo y la diferencia se convierten en sumandos y el minuendo se convierte en una suma. La suma se suele utilizar para comprobar la exactitud de la resta y viceversa.

Aquí 74 es el minuendo, 18 es el sustraendo, 56 es la diferencia.

Un requisito previo para restar números naturales es el siguiente: el minuendo debe ser mayor que el sustraendo. Sólo que en este caso la diferencia resultante será también un número natural. Si la acción de resta se realiza para una serie natural extendida, entonces se permite que el minuendo sea igual al sustraendo. Y el resultado de la resta en este caso será 0.

Nota: si el sustraendo es igual a cero, entonces la operación de resta no cambia el valor del minuendo.

La resta de números de varios dígitos generalmente se realiza en una columna. Los números se escriben de la misma forma que para la suma. La resta se realiza para los dígitos correspondientes. Si resulta que el minuendo es menor que el sustraendo, entonces toman uno del dígito anterior (ubicado a la izquierda), que, después de la transferencia, naturalmente se convierte en 10. Esta decena se suma con el número del dígito dado. siendo minado y luego se realiza la resta. Luego, al restar el siguiente dígito, asegúrese de tener en cuenta que el que se está reduciendo se ha convertido en 1 menos.

Producto de números naturales

El producto (o multiplicación) de números naturales es una operación aritmética que representa encontrar la suma de un número arbitrario de términos idénticos. Para escribir la acción de multiplicación, use el signo “·” (a veces “×” o “*”). Por ejemplo: 3·5=15.

La acción de multiplicar es indispensable cuando es necesario sumar una gran cantidad de términos. Por ejemplo, si necesita sumar el número 4 7 veces, entonces multiplicar 4 por 7 es más fácil que realizar la siguiente suma: 4+4+4+4+4+4+4.

Los números que se multiplican se llaman factores, el resultado de la multiplicación se llama producto. En consecuencia, el término “producto” puede, según el contexto, expresar tanto el proceso de multiplicación como su resultado.

Los números de varios dígitos se multiplican en una columna. Para ello, los números se escriben de la misma forma que para la suma y la resta. Se recomienda escribir primero el más largo de los 2 números (arriba). En este caso, el proceso de multiplicación será más sencillo y, por tanto, más racional.

Al multiplicar en una columna, los dígitos de cada uno de los dígitos del segundo número se multiplican secuencialmente por los dígitos del primer número, comenzando desde su final. Una vez encontrado el primer producto de este tipo, escriba el dígito de las unidades y tenga en cuenta el dígito de las decenas. Al multiplicar el dígito del 2º número por el siguiente dígito del 1º número, se suma al producto el dígito que se tiene en cuenta. Y nuevamente, anota las unidades del resultado obtenido y recuerda las decenas. Cuando se multiplica por el último dígito del primer número, el número obtenido de esta manera se escribe en su totalidad.

Los resultados de multiplicar el dígito del segundo dígito del segundo número se escriben en la segunda fila, desplazándolo 1 celda hacia la derecha. Etcétera. El resultado será una "escalera". Se deben sumar todas las filas de números resultantes (de acuerdo con la regla de suma de columnas). Las celdas vacías deben considerarse llenas de ceros. La suma resultante es el producto final.

Nota

1. El producto de cualquier número natural por 1 (o 1 por un número) es igual al número mismo. Por ejemplo: 376·1=376; 1·86=86.
2. Cuando uno de los factores o ambos factores son iguales a 0, entonces el producto es igual a 0. Por ejemplo: 32·0=0; 0·845=845; 0·0=0.

División de números naturales

La división es una operación aritmética mediante la cual, dado un producto conocido y uno de los factores, se puede encontrar otro factor desconocido. La división es la inversa de la multiplicación y se utiliza para comprobar si una multiplicación se ha realizado correctamente (y viceversa).

El número que se divide se llama dividendo; el número que se divide es el divisor; el resultado de la división se llama cociente. El signo de división es “:” (a veces, con menos frecuencia, “÷”).

Aquí 48 es el dividendo, 6 es el divisor y 8 es el cociente.

No todos los números naturales se pueden dividir entre sí. En este caso, divida con resto. Consiste en el hecho de que se selecciona un factor para el divisor de modo que su producto por el divisor sea un número lo más cercano posible en valor al dividendo, pero menor que él. El divisor se multiplica por este factor y se resta del dividendo. La diferencia será el resto de la división. El producto de un divisor y un factor se llama cociente incompleto. Atención: ¡el saldo debe ser menor que el multiplicador seleccionado! Si el resto es mayor, significa que el multiplicador se eligió incorrectamente y debe aumentarse.

Seleccionamos un factor para 7. En este caso es el número 5. Hallamos el cociente incompleto: 7·5=35. Calculamos el resto: 38-35=3. Desde 3<7, то это означает, что число 5 было подобрано верно. Результат деления следует записать так: 38:7=5 (остаток 3).

Los números de varios dígitos se dividen en una columna. Para ello, escribe el dividendo y el divisor uno al lado del otro, separando el divisor con una línea vertical y una horizontal. En el dividendo se aísla el primer dígito o los primeros dígitos (a la derecha), los cuales deben representar un número que sea mínimamente suficiente para dividir por el divisor (es decir, este número debe ser mayor que el divisor). Para este número, se selecciona un cociente incompleto, como se describe en la regla de división con resto. El dígito del multiplicador utilizado para encontrar el cociente parcial se escribe debajo del divisor. El cociente incompleto se escribe debajo del número que se está dividiendo, alineado a la derecha. Encuentra su diferencia. Anota el siguiente dígito del dividendo escribiéndolo junto a esta diferencia. Para el número resultante, el cociente parcial se encuentra nuevamente escribiendo el dígito del multiplicador seleccionado junto al anterior debajo del divisor. Etcétera. Estas acciones se llevan a cabo hasta que se agoten las cifras del dividendo. Después de esto, la división se considera completa. Si el dividendo y el divisor se dividen por un entero (sin resto), entonces la última diferencia dará cero. De lo contrario, se obtendrá el número restante.

exponenciación

La exponenciación es una operación matemática que implica multiplicar un número arbitrario de números idénticos. Por ejemplo: 2·2·2·2.

Estas expresiones se escriben en la forma: una x,

Dónde a– un número multiplicado por sí mismo, X– el número de tales factores.

Números naturales primos y compuestos

Todo número natural, excepto el 1, se puede dividir en al menos 2 números: uno y él mismo. Según este criterio, los números naturales se dividen en primos y compuestos.

Los números primos son números que son divisibles sólo por 1 y por sí mismos. Los números que son divisibles por más de estos 2 números se llaman números compuestos. Una unidad divisible únicamente por sí misma no es ni simple ni compuesta.

Los números primos son: 2,3,5,7,11,13,17,19, etc. Ejemplos de números compuestos: 4 (divisible por 1,2,4), 6 (divisible por 1,2,3,6), 20 (divisible por 1,2,4,5,10,20).

Todo número compuesto se puede descomponer en factores primos. Por factores primos nos referimos a sus divisores, que son números primos.

Ejemplo de factorización prima:

Divisores de números naturales

Un divisor es un número por el cual un número dado se puede dividir sin dejar resto.

De acuerdo con esta definición, los números primos naturales tienen 2 divisores, los números compuestos tienen más de 2 divisores.

Muchos números tienen factores comunes. Un divisor común es un número que divide los números dados sin dejar resto.

• Los números 12 y 15 tienen como divisor común 3.
• Los números 20 y 30 tienen divisores comunes 2,5,10.

De particular importancia es el máximo común divisor (MCD). Este número, en particular, es útil para poder encontrarlo para fracciones reductoras. Para encontrarlo, debes descomponer los números dados en factores primos y representarlos como el producto de sus factores primos comunes, tomados en sus potencias más pequeñas.

Necesitas encontrar el mcd de los números 36 y 48.

Divisibilidad de los números naturales.

No siempre es posible determinar a simple vista si un número es divisible por otro sin resto. En tales casos resulta útil la correspondiente prueba de divisibilidad, es decir, una regla mediante la cual en cuestión de segundos se puede determinar si los números se pueden dividir sin resto. El signo “” se utiliza para indicar divisibilidad.

Minimo común multiplo

Esta cantidad (denominada LOC) es el número más pequeño que es divisible por cada uno de los dados. El MCM se puede encontrar para un conjunto arbitrario de números naturales.

NOC, como GCD, tiene un significado práctico importante. Entonces, es el MCM el que hay que encontrar llevando fracciones ordinarias a un denominador común.

El MCM se determina factorizando números dados en factores primos. Para formarlo, tome un producto que consta de cada uno de los factores primos que aparecen (al menos para 1 número), representado en el grado máximo.

Necesitas encontrar el MCM de los números 14 y 24.

Promedio

La media aritmética de un número arbitrario (pero finito) de números naturales es la suma de todos estos números dividida por el número de términos:

La media aritmética es un valor promedio de un conjunto numérico.

Los números dados son 2,84,53,176,17,28. Necesitas encontrar su media aritmética.