Υπολογίστε με τον πιο ορθολογικό τρόπο. Ορθολογικοί τρόποι υπολογισμού

Το τρέχον επίπεδο ανάπτυξης των εργαλείων υπολογιστικού αυτοματισμού έχει δημιουργήσει την ψευδαίσθηση σε πολλούς ότι η ανάπτυξη υπολογιστικών δεξιοτήτων δεν είναι καθόλου απαραίτητη. Αυτό επηρέασε την ετοιμότητα των μαθητών. Ελλείψει αριθμομηχανής, ακόμη και απλές υπολογιστικές εργασίες γίνονται πρόβλημα για πολλούς.

Ταυτόχρονα, οι εξεταστικές εργασίες και το υλικό για τις εξετάσεις περιέχουν πολλές εργασίες, η λύση των οποίων απαιτεί την ικανότητα των εξεταζόμενων να οργανώνουν ορθολογικά τους υπολογισμούς.

Σε αυτό το άρθρο, θα εξετάσουμε ορισμένες μεθόδους για τη βελτιστοποίηση των υπολογισμών και την εφαρμογή τους για ανταγωνιστικές εργασίες.

Τις περισσότερες φορές, οι μέθοδοι βελτιστοποίησης υπολογισμών συνδέονται με την εφαρμογή των βασικών νόμων για την εκτέλεση αριθμητικών πράξεων.

Για παράδειγμα:

125 24 = 125 8 3 = 1000 3 = 3000; ή

98 16(100 - 2) 16 = 100 16 - 2 16 = 1600 - 32 = 1568 κ.λπ.

Μια άλλη κατεύθυνση - χρήση συντομευμένων τύπων πολλαπλασιασμού.

96 104 \u003d (100 - 4) (100 + 4) \u003d 100 2 - 4 2 \u003d 10000 - 16 \u003d 9984; ή

115 2 = (100 + 15) 2 = 10000 + 2 15 100 + 225 = 10525.

Το παρακάτω παράδειγμα είναι ενδιαφέρον για υπολογισμούς.

Υπολογίζω:

(197 · 203 + 298 · 302 + 13) / (1999 · 2001 + 2993 · 3007 + 50) =
= ((200 – 3) · (200 + 3) + (300 – 2) · (300 + 2) + 13) / ((2000 – 1) · (2000 + 1) + (3000 – 7) · (3000 + 7) + 50) =
= (200 2 – 3 2 + 300 2 – 2 2 + 13) / (2000 2 – 1 2 + 3000 2 – 7 2 – 50) =
= 130000 / 13000000 = 0,01

Αυτοί είναι σχεδόν τυπικοί τρόποι βελτιστοποίησης των υπολογισμών. Μερικές φορές προσφέρονται και πιο εξωτικά. Για παράδειγμα, εξετάστε τη μέθοδο πολλαπλασιασμού των διψήφιων αριθμών, το άθροισμα των μονάδων των οποίων είναι 10.

54 26 \u003d 50 30 + 4 (26 - 50) \u003d 1500 - 96 \u003d 1404 ή

43 87 = 40 90 + 3 (87 - 40) = 3600 + 141 = 3741.

Το σχήμα πολλαπλασιασμού μπορεί να γίνει κατανοητό από το σχήμα.

Από πού προκύπτει ένα τέτοιο σχήμα πολλαπλασιασμού;

Οι αριθμοί μας κατά συνθήκη έχουν τη μορφή: M = 10m + n, K = 10k + (10 – n). Ας δημιουργήσουμε ένα έργο:

M K = (10m + n)(10k + (10 – n)) =
= 100mk + 100m - 10mn + 10nk + 10n - n 2 =
= m(k + 1) 100 + n(10k + 10 – n) =
= (10m) (10 (k + 1)) + n (K – 10m) και η μέθοδος είναι δικαιολογημένη.

Υπάρχουν πολλοί έξυπνοι τρόποι για να μετατρέψετε τους μάλλον σύνθετους υπολογισμούς σε νοητικές εργασίες. Αλλά δεν μπορείτε να σκεφτείτε ότι όλοι πρέπει να θυμούνται αυτά και ένα σωρό άλλους έξυπνους τρόπους για να απλοποιήσουν τους υπολογισμούς. Είναι σημαντικό μόνο να μάθετε μερικά από τα βασικά. Η ανάλυση των άλλων έχει νόημα μόνο για την ανάπτυξη δεξιοτήτων στην εφαρμογή βασικών μεθόδων. Είναι η δημιουργική τους εφαρμογή που καθιστά δυνατή τη γρήγορη και σωστή επίλυση υπολογιστικών προβλημάτων.

Μερικές φορές, κατά την επίλυση παραδειγμάτων για υπολογισμό, είναι βολικό να μεταβείτε από τον μετασχηματισμό μιας παράστασης με αριθμούς στον μετασχηματισμό πολυωνύμων. Εξετάστε το ακόλουθο παράδειγμα.

Υπολογίστε με τον πιο ορθολογικό τρόπο:

3 1 / 117 4 1 / 110 -1 110 / 117 5 118 / 119 - 5 / 119

Λύση.

Έστω a = 1/117 και b = 1/119. Τότε 3 1 / 117 = 3 + a, 4 1 / 119 = 4 + b, 1 116 / 117 = 2 - a, 5 118 / 119 = 6 - b.

Έτσι, η δεδομένη έκφραση μπορεί να γραφτεί ως (3 + α) (4 + β) - (2 - α) (6 - β) - 5β.

Αφού εκτελέσουμε απλούς μετασχηματισμούς του πολυωνύμου, παίρνουμε 10a ή 10 / 117 .

Εδώ έχουμε καταλήξει ότι η τιμή της έκφρασής μας δεν εξαρτάται από το b. Και αυτό σημαίνει ότι έχουμε υπολογίσει όχι μόνο την τιμή αυτής της έκφρασης, αλλά και οποιαδήποτε άλλη που λαμβάνεται από το (3 + a) (4 + b) - (2 - a) (6 - b) - 5b αντικαθιστώντας τις τιμές ​του α και του β. Αν, για παράδειγμα, a = 5/329, τότε στην απάντηση παίρνουμε 50 / 329 , οτιδήποτε β.

Ας εξετάσουμε ένα άλλο παράδειγμα, το οποίο είναι σχεδόν αδύνατο να λυθεί με μια αριθμομηχανή, και η απάντηση είναι αρκετά απλή εάν γνωρίζετε την προσέγγιση επίλυσης παραδειγμάτων αυτού του τύπου.

Υπολογίζω

1 / 6 7 1024 – (7 512 + 1) (7 256 + 1) (7 128 + 1) (7 64 + 1) (7 32 + 1) (7 16 + 1) ( 7 8 + 1) (7 4 + 1) (7 2 + 1) (7 + 1)

Λύση.

Ας μεταμορφώσουμε την κατάσταση

1/6 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) (7 256 + 1) (7 128 + 1) (7 64 +1) (7 32 + 1) (7 16 + 1) (7 8 + 1 ) (7 4 + 1) (7 2 + 1) (7 + 1) (7 - 1) =

1/6 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) (7 256 + 1) (7 128 + 1) (7 64 + 1) (7 32 + 1) (7 16 + 1) ) (7 8 + 1) (7 4 + 1) (7 2 + 1) (7 2 – 1) =

1/6 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) (7 256 + 1) (7 128 + 1) (7 64 + 1) (7 32 + 1) (7 16 + 1) ) (7 8 + 1) (7 4 + 1) (7 4 – 1) =

1/6 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) (7 256 + 1) (7 128 + 1) (7 64 + 1) (7 32 + 1) (7 16 + 1) ) (7 8 + 1) (7 8 – 1) =

1/6 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) (7 256 +1) (7 128 + 1) (7 64 + 1) (7 32 + 1) (7 16 + 1) ) · (7 16 – 1) = … =

1/6 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) (7 512 - 1) = 1/6 7 1024 - 1/6 (7 1024 - 1) = 1/6

Εξετάστε ένα από τα παραδείγματα, που έχει ήδη γίνει εγχειρίδιο στην εξεταστική ύλη για το μάθημα του βασικού σχολείου.

Υπολογίστε το άθροισμα:

1/2 + 1 / (2 3) + 1 / (3 4) + 1 / (4 5) + ... + 1 / (120 121) =

= (1 – 1/2) + (1/2 – 1/3) + (1/3 – 1/4) + (1/4 – 1/5) + … + (1/120 – 1/121) =

= 1 – 1/121 = 120/121.

Δηλαδή, η μέθοδος αντικατάστασης κάθε κλάσματος με τη διαφορά δύο κλασμάτων μας επέτρεψε να λύσουμε αυτό το πρόβλημα. Το άθροισμα αποδείχθηκε ότι ήταν ζεύγη αντίθετων αριθμών με όλους εκτός από τον πρώτο και τον τελευταίο.

Αλλά αυτό το παράδειγμα μπορεί να γενικευτεί. Εξετάστε το άθροισμα:

k/(n (n + k)) + k/((n + k) (n + 2k)) + k/((n + 2k) (n + 3k)) + … + k/((n + ( Μ – 1)k) (n + mk))

Για αυτήν, ισχύουν όλοι οι ίδιοι συλλογισμοί που εκτελέστηκαν στο προηγούμενο παράδειγμα. Πράγματι:

1/n – 1/(n + k) = k/(n (n + k));

1/((n+k) – 1/(n + 2k) = k/((n + k) (n + 2k)) κ.λπ.

Στη συνέχεια κατασκευάζουμε την απάντηση σύμφωνα με το ίδιο σχήμα: 1/n – 1/(n + mk) = mk/(n (n + mk))

Και περισσότερα για τα «μεγάλα» ποσά.

Ποσό

X \u003d 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/512 + 1/1024

μπορεί να υπολογιστεί ως το άθροισμα 11 μελών μιας γεωμετρικής προόδου με παρονομαστή το 1/2 και το πρώτο μέλος 1. Όμως το ίδιο άθροισμα μπορεί να υπολογιστεί από έναν μαθητή της Ε' τάξης που δεν έχει ιδέα για προόδους. Για να γίνει αυτό, αρκεί να επιλέξουμε με επιτυχία έναν αριθμό που προσθέτουμε στο άθροισμα Χ. Αυτός ο αριθμός θα είναι 1/1024 εδώ.

Υπολογίζω

X + 1 / 1024 = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/512 + (1/1024 + 1 /1024) =
= 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/512 + 1/512 =
=1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/256 = … = 1 + 1/2 + 1/2 = 2.

Τώρα είναι προφανές ότι Χ = 2 – 1/1024 = 1 1023 / 1024 .

Η δεύτερη μέθοδος δεν είναι λιγότερο ελπιδοφόρα. Με αυτό, μπορείτε να υπολογίσετε το άθροισμα:

S = 9 + 99 + 999 + 9999 + ... + 99 999 999 999.

Εδώ ο "τυχερός" αριθμός είναι 11. Προσθέστε τον στο S και μοιράστε τον ομοιόμορφα και στους 11 όρους. Κάθε ένα από αυτά θα πάρει τότε 1. Τότε έχουμε:

S + 11 = 9 + 1 + 99 + 1 + 999 + 1 + 9999 + 1 + ... + 99 999 999 999 + 1 =
= 10 + 100 + 1000 + 10000 + ... + 100 000 000 000 = 111 111 111 110;

Επομένως, S = 111 111 111 110 – 11 = 111 111 111 099.

1 + 11 + 111 + 1111 + ... + 1 111 111 111?

site, με πλήρη ή μερική αντιγραφή του υλικού, απαιτείται σύνδεσμος στην πηγή.

Στο μακρινό παρελθόν, όταν το σύστημα λογισμών δεν είχε ακόμη εφευρεθεί, οι άνθρωποι μετρούσαν τα πάντα στα δάχτυλά τους. Με την έλευση της αριθμητικής και των βασικών μαθηματικών, έχει γίνει πολύ πιο εύκολο και πρακτικό να διατηρείτε αρχεία για αγαθά, προϊόντα και είδη οικιακής χρήσης. Ωστόσο, πώς μοιάζει το σύγχρονο σύστημα λογισμού: σε ποιους τύπους υπαρχόντων αριθμών χωρίζονται και τι σημαίνει η «ορθολογική μορφή αριθμών»; Ας το καταλάβουμε.

Πόσα είδη αριθμών υπάρχουν στα μαθηματικά;

Η ίδια η έννοια του «αριθμού» υποδηλώνει μια ορισμένη μονάδα οποιουδήποτε αντικειμένου, η οποία χαρακτηρίζει τους ποσοτικούς, συγκριτικούς ή τακτικούς δείκτες του. Για να υπολογίσετε σωστά τον αριθμό ορισμένων πραγμάτων ή να εκτελέσετε ορισμένες μαθηματικές πράξεις με αριθμούς (προσθήκη, πολλαπλασιασμός κ.λπ.), θα πρέπει πρώτα απ 'όλα να εξοικειωθείτε με τις ποικιλίες αυτών των ίδιων αριθμών.

Έτσι, οι υπάρχοντες αριθμοί μπορούν να χωριστούν στις ακόλουθες κατηγορίες:

1. Φυσικοί αριθμοί είναι εκείνοι οι αριθμοί με τους οποίους μετράμε τον αριθμό των αντικειμένων (ο μικρότερος φυσικός αριθμός είναι το 1, είναι λογικό η σειρά των φυσικών αριθμών να είναι άπειρη, δηλαδή να μην υπάρχει μεγαλύτερος φυσικός αριθμός). Το σύνολο των φυσικών αριθμών συνήθως συμβολίζεται με το γράμμα Ν.
2. Ολόκληροι αριθμοί. Αυτό το σύνολο περιλαμβάνει τα πάντα, ενώ προστίθενται αρνητικές τιμές, συμπεριλαμβανομένου του αριθμού "μηδέν". Ο προσδιορισμός του συνόλου των ακεραίων αριθμών γράφεται με τη μορφή του λατινικού γράμματος Z.
3. Ρητικοί αριθμοί είναι εκείνοι που μπορούμε νοερά να μετατρέψουμε σε κλάσμα, ο αριθμητής του οποίου θα ανήκει στο σύνολο των ακεραίων και ο παρονομαστής θα ανήκει σε φυσικούς αριθμούς. Παρακάτω θα αναλύσουμε πιο αναλυτικά τι σημαίνει «ορθός αριθμός» και θα δώσουμε μερικά παραδείγματα.
4. - ένα σύνολο που περιλαμβάνει όλα τα ορθολογικά και Αυτό το σύνολο συμβολίζεται με το γράμμα R.
5. Οι μιγαδικοί αριθμοί περιέχουν μέρος του πραγματικού και μέρος της μεταβλητής. Χρησιμοποιούνται για την επίλυση διαφόρων κυβικών εξισώσεων, οι οποίες, με τη σειρά τους, μπορούν να έχουν αρνητική έκφραση στους τύπους (i 2 = -1).

Τι σημαίνει «ορθολογικό»: το αναλύουμε με παραδείγματα

Εάν αυτοί οι αριθμοί που μπορούμε να αναπαραστήσουμε ως κοινό κλάσμα θεωρούνται ορθολογικοί, τότε αποδεικνύεται ότι όλοι οι θετικοί και οι αρνητικοί ακέραιοι περιλαμβάνονται επίσης στο σύνολο των ρητικών. Εξάλλου, οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός, για παράδειγμα 3 ή 15, μπορεί να αναπαρασταθεί ως κλάσμα, όπου ο παρονομαστής θα είναι ένας.

Κλάσματα: -9/3; Τα 7/5, 6/55 είναι παραδείγματα ρητών αριθμών.

Τι σημαίνει «ορθολογική έκφραση»;

Προχώρα. Έχουμε ήδη συζητήσει τι σημαίνει η ορθολογική μορφή των αριθμών. Ας φανταστούμε τώρα μια μαθηματική έκφραση που αποτελείται από το άθροισμα, τη διαφορά, το γινόμενο ή το πηλίκο διαφόρων αριθμών και μεταβλητών. Ακολουθεί ένα παράδειγμα: ένα κλάσμα, στον αριθμητή του οποίου είναι το άθροισμα δύο ή περισσότερων ακεραίων και ο παρονομαστής περιέχει και έναν ακέραιο και κάποια μεταβλητή. Είναι αυτή η έκφραση που ονομάζεται ορθολογική. Με βάση τον κανόνα "δεν μπορείτε να διαιρέσετε με το μηδέν", μπορείτε να μαντέψετε ότι η τιμή αυτής της μεταβλητής δεν μπορεί να είναι τέτοια ώστε η τιμή του παρονομαστή να γίνει μηδέν. Επομένως, όταν λύνετε μια ορθολογική έκφραση, πρέπει πρώτα να προσδιορίσετε το εύρος της μεταβλητής. Για παράδειγμα, εάν ο παρονομαστής περιέχει την ακόλουθη παράσταση: x+5-2, τότε αποδεικνύεται ότι το "x" δεν μπορεί να είναι ίσο με -3. Πράγματι, σε αυτήν την περίπτωση, ολόκληρη η έκφραση μετατρέπεται σε μηδέν, επομένως, κατά την επίλυση, είναι απαραίτητο να εξαιρεθεί ο ακέραιος αριθμός -3 για αυτήν τη μεταβλητή.

Πώς να λύσετε ορθολογικές εξισώσεις σωστά;

Οι ορθολογικές εκφράσεις μπορεί να περιέχουν αρκετά μεγάλο αριθμό αριθμών και ακόμη και 2 μεταβλητές, οπότε μερικές φορές η επίλυσή τους γίνεται δύσκολη. Για να διευκολυνθεί η λύση μιας τέτοιας έκφρασης, συνιστάται η εκτέλεση ορισμένων λειτουργιών με ορθολογικό τρόπο. Λοιπόν, τι σημαίνει «με ορθολογικό τρόπο» και ποιοι κανόνες πρέπει να εφαρμόζονται όταν αποφασίζεται;

1. Ο πρώτος τύπος, όταν αρκεί απλώς να απλοποιήσει την έκφραση. Για να το κάνετε αυτό, μπορείτε να καταφύγετε στη λειτουργία μείωσης του αριθμητή και του παρονομαστή σε μια μη αναγώγιμη τιμή. Για παράδειγμα, εάν ο αριθμητής περιέχει την παράσταση 18x και ο παρονομαστής 9x, τότε, μειώνοντας και τους δύο δείκτες κατά 9x, παίρνουμε μόνο έναν ακέραιο αριθμό ίσο με 2.
2. Η δεύτερη μέθοδος είναι πρακτική όταν έχουμε μονώνυμο στον αριθμητή και πολυώνυμο στον παρονομαστή. Ας δούμε ένα παράδειγμα: στον αριθμητή έχουμε 5x και στον παρονομαστή - 5x + 20x 2 . Σε αυτήν την περίπτωση, είναι καλύτερο να βγάλουμε τη μεταβλητή στον παρονομαστή εκτός παρενθέσεων, παίρνουμε την ακόλουθη μορφή του παρονομαστή: 5x(1+4x). Και τώρα μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον πρώτο κανόνα και να απλοποιήσετε την έκφραση μειώνοντας 5x στον αριθμητή και στον παρονομαστή. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε ένα κλάσμα της μορφής 1/1+4x.

Ποιες πράξεις μπορούν να εκτελεστούν με ρητούς αριθμούς;

Το σύνολο των ρητών αριθμών έχει μια σειρά από τις δικές του ιδιαιτερότητες. Πολλά από αυτά μοιάζουν πολύ με το χαρακτηριστικό που υπάρχει σε ακέραιους και φυσικούς αριθμούς, δεδομένου ότι οι τελευταίοι περιλαμβάνονται πάντα στο ρητό σύνολο. Εδώ είναι μερικές ιδιότητες των ρητών αριθμών, γνωρίζοντας ποιες, μπορείτε εύκολα να λύσετε οποιαδήποτε ορθολογική έκφραση.

1. Η ιδιότητα commutativity σας επιτρέπει να αθροίσετε δύο ή περισσότερους αριθμούς, ανεξάρτητα από τη σειρά τους. Με απλά λόγια, το άθροισμα δεν αλλάζει από αλλαγή στις θέσεις των όρων.
2. Η ιδιότητα διανομής επιτρέπει την επίλυση προβλημάτων χρησιμοποιώντας τον νόμο διανομής.
3. Και τέλος, οι πράξεις πρόσθεσης και αφαίρεσης.

Ακόμη και οι μαθητές γνωρίζουν τι σημαίνει ο "ορθολογικός τύπος αριθμών" και πώς να λύνουν προβλήματα με βάση τέτοιες εκφράσεις, επομένως ένας μορφωμένος ενήλικας πρέπει απλώς να θυμάται τουλάχιστον τα βασικά στοιχεία του συνόλου των ορθολογικών αριθμών.

Σε αυτό το άρθρο, θα αρχίσουμε να μελετάμε ρητοί αριθμοί. Εδώ δίνουμε ορισμούς ρητών αριθμών, δίνουμε τις απαραίτητες εξηγήσεις και δίνουμε παραδείγματα ρητών αριθμών. Μετά από αυτό, θα επικεντρωθούμε στο πώς να προσδιορίσουμε εάν ένας δεδομένος αριθμός είναι ρητός ή όχι.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Ορισμός και παραδείγματα ρητών αριθμών

Σε αυτή την υποενότητα δίνουμε αρκετούς ορισμούς των ρητών αριθμών. Παρά τις διαφορές στη διατύπωση, όλοι αυτοί οι ορισμοί έχουν την ίδια σημασία: οι ορθολογικοί αριθμοί ενώνουν ακέραιους και κλασματικούς αριθμούς, όπως οι ακέραιοι ενώνουν φυσικούς αριθμούς, τους αντίθετους αριθμούς τους και τον αριθμό μηδέν. Με άλλα λόγια, οι ορθολογικοί αριθμοί γενικεύουν ακέραιους και κλασματικούς αριθμούς.

Ας ξεκινήσουμε με ορισμοί ρητών αριθμώνπου εκλαμβάνεται ως το πιο φυσικό.

Από τον ηχητικό ορισμό προκύπτει ότι ένας ρητός αριθμός είναι:

• Οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός n . Πράγματι, οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένα συνηθισμένο κλάσμα, για παράδειγμα, 3=3/1.
• Οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός, ιδίως ο αριθμός μηδέν. Πράγματι, οποιοσδήποτε ακέραιος μπορεί να γραφτεί είτε ως θετικό κοινό κλάσμα, είτε ως αρνητικό κοινό κλάσμα ή ως μηδέν. Για παράδειγμα, 26=26/1 , .
• Οποιοδήποτε συνηθισμένο κλάσμα (θετικό ή αρνητικό). Αυτό δηλώνεται άμεσα από τον ορισμό των ρητών αριθμών.
• Οποιοσδήποτε μικτός αριθμός. Πράγματι, είναι πάντα δυνατό να αναπαρασταθεί ένας μεικτός αριθμός ως ακατάλληλο κοινό κλάσμα. Για παράδειγμα, και .
• Οποιοδήποτε πεπερασμένο δεκαδικό ή άπειρο περιοδικό κλάσμα. Αυτό συμβαίνει επειδή τα καθορισμένα δεκαδικά κλάσματα μετατρέπονται σε συνηθισμένα κλάσματα. Για παράδειγμα, και 0,(3)=1/3 .

Είναι επίσης σαφές ότι κάθε άπειρο μη επαναλαμβανόμενο δεκαδικό ΔΕΝ είναι ρητός αριθμός, αφού δεν μπορεί να αναπαρασταθεί ως κοινό κλάσμα.

Τώρα μπορούμε εύκολα να φέρουμε παραδείγματα ρητών αριθμών. Οι αριθμοί 4, 903, 100,321 είναι ρητικοί αριθμοί, αφού είναι φυσικοί αριθμοί. Οι ακέραιοι αριθμοί 58 , −72 , 0 , −833 333 333 είναι επίσης παραδείγματα ρητών αριθμών. Τα συνηθισμένα κλάσματα 4/9, 99/3, είναι επίσης παραδείγματα ρητών αριθμών. Οι ορθολογικοί αριθμοί είναι επίσης αριθμοί.

Τα παραπάνω παραδείγματα δείχνουν ότι υπάρχουν τόσο θετικοί όσο και αρνητικοί ορθολογικοί αριθμοί και ο ρητός αριθμός μηδέν δεν είναι ούτε θετικός ούτε αρνητικός.

Ο παραπάνω ορισμός των ρητών αριθμών μπορεί να διατυπωθεί σε συντομότερη μορφή.

Ορισμός.

Ρητοί αριθμοίκλήση αριθμών που μπορούν να γραφτούν ως κλάσμα z/n, όπου z είναι ακέραιος και n φυσικός αριθμός.

Ας αποδείξουμε ότι αυτός ο ορισμός των ρητών αριθμών είναι ισοδύναμος με τον προηγούμενο ορισμό. Γνωρίζουμε ότι μπορούμε να θεωρήσουμε τη ράβδο ενός κλάσματος ως σημάδι διαίρεσης, στη συνέχεια από τις ιδιότητες της διαίρεσης ακεραίων και τους κανόνες για τη διαίρεση ακεραίων ακολουθούν οι ακόλουθες ισότητες και . Έτσι, που είναι η απόδειξη.

Δίνουμε παραδείγματα ρητών αριθμών με βάση αυτόν τον ορισμό. Οι αριθμοί −5 , 0 , 3 και είναι ορθολογικοί αριθμοί, αφού μπορούν να γραφτούν ως κλάσματα με ακέραιο αριθμητή και φυσικό παρονομαστή της μορφής και αντίστοιχα.

Ο ορισμός των ρητών αριθμών μπορεί επίσης να δοθεί στην ακόλουθη διατύπωση.

Ορισμός.

Ρητοί αριθμοίείναι αριθμοί που μπορούν να γραφτούν ως πεπερασμένο ή άπειρο περιοδικό δεκαδικό κλάσμα.

Αυτός ο ορισμός είναι επίσης ισοδύναμος με τον πρώτο ορισμό, καθώς κάθε συνηθισμένο κλάσμα αντιστοιχεί σε πεπερασμένο ή περιοδικό δεκαδικό κλάσμα και αντίστροφα, και οποιοσδήποτε ακέραιος μπορεί να συσχετιστεί με ένα δεκαδικό κλάσμα με μηδενικά μετά την υποδιαστολή.

Για παράδειγμα, οι αριθμοί 5 , 0 , −13 , είναι παραδείγματα ορθολογικών αριθμών επειδή μπορούν να γραφτούν ως τα ακόλουθα δεκαδικά ψηφία 5.0 , 0.0 , −13.0 , 0.8 και −7,(18) .

Ολοκληρώνουμε τη θεωρία αυτής της ενότητας με τις ακόλουθες δηλώσεις:

• ακέραιοι και κλασματικοί αριθμοί (θετικοί και αρνητικοί) αποτελούν το σύνολο των ρητών αριθμών.
• Κάθε ρητός αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως κλάσμα με έναν ακέραιο αριθμητή και έναν φυσικό παρονομαστή, και κάθε τέτοιο κλάσμα είναι ένας ρητός αριθμός.
• Κάθε ρητός αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως πεπερασμένο ή άπειρο περιοδικό δεκαδικό κλάσμα και κάθε τέτοιο κλάσμα αντιπροσωπεύει κάποιο ρητό αριθμό.

Είναι λογικός αυτός ο αριθμός;

Στην προηγούμενη παράγραφο, ανακαλύψαμε ότι οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός, οποιοσδήποτε ακέραιος, οποιοδήποτε συνηθισμένο κλάσμα, οποιοσδήποτε μικτός αριθμός, οποιοδήποτε τελικό δεκαδικό κλάσμα, καθώς και κάθε περιοδικό δεκαδικό κλάσμα είναι ρητός αριθμός. Αυτή η γνώση μας επιτρέπει να «αναγνωρίζουμε» ρητούς αριθμούς από το σύνολο των γραπτών αριθμών.

Αλλά τι γίνεται αν ο αριθμός δίνεται ως μερικά , ή ως , κ.λπ., πώς να απαντήσετε στην ερώτηση, είναι λογικός ο δεδομένος αριθμός; Σε πολλές περιπτώσεις, είναι πολύ δύσκολο να απαντηθεί. Ας επισημάνουμε μερικές κατευθύνσεις για την πορεία της σκέψης.

Εάν ένας αριθμός ορίζεται ως αριθμητική παράσταση που περιέχει μόνο ρητούς αριθμούς και αριθμητικά πρόσημα (+, −, · και:), τότε η τιμή αυτής της παράστασης είναι ένας ρητός αριθμός. Αυτό προκύπτει από τον τρόπο με τον οποίο ορίζονται οι πράξεις σε ρητούς αριθμούς. Για παράδειγμα, αφού εκτελέσουμε όλες τις πράξεις στην παράσταση, παίρνουμε έναν ρητό αριθμό 18 .

Μερικές φορές, μετά από απλοποίηση των εκφράσεων και μια πιο σύνθετη μορφή, καθίσταται δυνατό να προσδιοριστεί εάν ένας δεδομένος αριθμός είναι λογικός.

Ας πάμε παρακάτω. Ο αριθμός 2 είναι ρητός αριθμός, αφού κάθε φυσικός αριθμός είναι ρητός. Τι γίνεται με τον αριθμό; Είναι λογικό; Αποδεικνύεται ότι όχι - δεν είναι ρητός αριθμός, είναι ένας παράλογος αριθμός (η απόδειξη αυτού του γεγονότος με αντίφαση δίνεται στο σχολικό βιβλίο για την άλγεβρα για την τάξη 8, που αναφέρεται παρακάτω στη λίστα αναφορών). Αποδεικνύεται επίσης ότι η τετραγωνική ρίζα ενός φυσικού αριθμού είναι ρητός αριθμός μόνο στις περιπτώσεις που η ρίζα είναι αριθμός που είναι το τέλειο τετράγωνο κάποιου φυσικού αριθμού. Για παράδειγμα, και είναι ρητοί αριθμοί, αφού 81=9 2 και 1024=32 2 , και οι αριθμοί και δεν είναι ορθολογικοί, αφού οι αριθμοί 7 και 199 δεν είναι τέλεια τετράγωνα φυσικών αριθμών.

Είναι λογικός ο αριθμός ή όχι; Σε αυτήν την περίπτωση, είναι εύκολο να διαπιστωθεί ότι, επομένως, αυτός ο αριθμός είναι λογικός. Είναι λογικός ο αριθμός; Αποδεικνύεται ότι η kη ρίζα ενός ακέραιου είναι ρητός αριθμός μόνο αν ο αριθμός κάτω από το ριζικό πρόσημο είναι η kη δύναμη κάποιου ακέραιου αριθμού. Επομένως, δεν είναι ρητός αριθμός, αφού δεν υπάρχει ακέραιος του οποίου η πέμπτη δύναμη είναι 121.

Η μέθοδος της αντίφασης μας επιτρέπει να αποδείξουμε ότι οι λογάριθμοι ορισμένων αριθμών, για κάποιο λόγο, δεν είναι ρητικοί αριθμοί. Για παράδειγμα, ας αποδείξουμε ότι - δεν είναι ρητός αριθμός.

Ας υποθέσουμε το αντίθετο, δηλαδή ας υποθέσουμε ότι είναι ρητός αριθμός και μπορεί να γραφτεί ως συνηθισμένο κλάσμα m/n. Στη συνέχεια, δώστε τις ακόλουθες ισότητες: . Η τελευταία ισότητα είναι αδύνατη, αφού στην αριστερή της πλευρά υπάρχει περιττός αριθμός 5 n , και στη δεξιά πλευρά υπάρχει ζυγός αριθμός 2 m . Επομένως, η υπόθεσή μας είναι λανθασμένη, επομένως δεν είναι ρητός αριθμός.

Εν κατακλείδι, αξίζει να τονιστεί ότι κατά την αποσαφήνιση του ορθολογισμού ή του παραλογισμού των αριθμών, θα πρέπει να απέχει από ξαφνικά συμπεράσματα.

Για παράδειγμα, δεν πρέπει να ισχυριστεί κανείς αμέσως ότι το γινόμενο των παράλογων αριθμών π και e είναι ένας παράλογος αριθμός, αυτό είναι «σαν προφανές», αλλά δεν έχει αποδειχθεί. Αυτό εγείρει το ερώτημα: "Γιατί το γινόμενο θα ήταν ρητός αριθμός"; Και γιατί όχι, γιατί μπορείτε να δώσετε ένα παράδειγμα παράλογων αριθμών, το γινόμενο των οποίων δίνει έναν ρητό αριθμό:.

Είναι επίσης άγνωστο αν οι αριθμοί και πολλοί άλλοι αριθμοί είναι ορθολογικοί ή όχι. Για παράδειγμα, υπάρχουν παράλογοι αριθμοί των οποίων η άρρητη ισχύς είναι ένας ρητός αριθμός. Για να το δείξουμε, ας δώσουμε έναν βαθμό της μορφής , η βάση αυτού του βαθμού και ο εκθέτης δεν είναι ρητικοί αριθμοί, αλλά και το 3 είναι ρητός αριθμός.

Βιβλιογραφία.

• Μαθηματικά. 6η τάξη: σχολικό βιβλίο. για γενική εκπαίδευση ιδρύματα / [Ν. Ya. Vilenkin και άλλοι]. - 22η έκδ., Rev. - Μ.: Μνημοσύνη, 2008. - 288 σελ.: εικ. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Αλγεβρα:εγχειρίδιο για 8 κύτταρα. γενική εκπαίδευση ιδρύματα / [Γιού. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; εκδ. S. A. Telyakovsky. - 16η έκδ. - Μ. : Εκπαίδευση, 2008. - 271 σελ. : Εγώ θα. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G.Μαθηματικά (εγχειρίδιο για υποψήφιους σε τεχνικές σχολές): Proc. επίδομα.- Μ.; Πιο ψηλά σχολείο, 1984.-351 σ., εικ.

Κοζίνοβα Αναστασία

ΔΗΜΟΤΙΚΟΣ ΜΗ ΤΥΠΙΚΟΣ ΠΡΟΫΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΓΕΝΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ

"ΛΥΚΕΙΟ №76"

ΠΟΙΟ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΜΥΣΤΙΚΟ ΤΗΣ ΟΡΘΟΛΟΓΙΚΗΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ;

Εκτελέστηκε:

Μαθητής 5 «Β» τάξη

Κοζίνοβα Αναστασία

Επόπτης:

Δάσκαλος μαθηματικών

Σίκλινα Τατιάνα

Νικολάεβνα

Novokuznetsk 2013

Εισαγωγή……………………………………………………………… 3

Το κύριο μέρος…………………………………………… 5-13

Συμπέρασμα και συμπεράσματα ……………………………… ...................... 13-14

Βιβλιογραφικές αναφορές………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………….

Αιτήσεις…………………………………………………………. 16-31

Εγώ. Εισαγωγή

Πρόβλημα: εύρεση των τιμών των αριθμητικών παραστάσεων

Στόχος της εργασίας:αναζήτηση, μελέτη υφιστάμενων μεθόδων και τεχνικών ορθολογικής μέτρησης, εφαρμογή τους στην πράξη.

Καθήκοντα:

1. Διεξάγετε μια μίνι έρευνα με τη μορφή ερωτηματολογίου μεταξύ των παράλληλων τάξεων.

2. Αναλύστε σχετικά με το θέμα της έρευνας: τη βιβλιογραφία που είναι διαθέσιμη στη σχολική βιβλιοθήκη, πληροφορίες στο σχολικό βιβλίο για τα μαθηματικά για την 5η τάξη, στο Διαδίκτυο.

3. Επιλέξτε τις πιο αποτελεσματικές μεθόδους και μέσα ορθολογικής καταμέτρησης.

4. Διεξαγωγή ταξινόμησης των υφιστάμενων μεθόδων ταχείας προφορικής και γραπτής μέτρησης.

5. Δημιουργήστε σημειώσεις που περιέχουν τεχνικές ορθολογικής μέτρησης για χρήση σε παράλληλες 5 τάξεις.

Αντικείμενο μελέτης: ορθολογικός λογαριασμός.

Αντικείμενο μελέτης: τρόποι ορθολογικής μέτρησης.

Για την αποτελεσματικότητα της ερευνητικής εργασίας, χρησιμοποίησα τις ακόλουθες μεθόδους: ανάλυση πληροφοριών που προέρχονται από διάφορους πόρους, σύνθεση, γενίκευση. δημοσκόπηση με τη μορφή ερωτηματολογίου. Το ερωτηματολόγιο αναπτύχθηκε από εμένα σύμφωνα με το σκοπό και τους στόχους της μελέτης, την ηλικία των ερωτηθέντων και παρουσιάζεται στο κύριο μέρος της εργασίας.

Κατά τη διάρκεια της ερευνητικής εργασίας εξετάστηκαν θέματα σχετικά με τις μεθόδους και τις τεχνικές της ορθολογικής μέτρησης και δόθηκαν συστάσεις για την εξάλειψη προβλημάτων με τις υπολογιστικές δεξιότητες, τη διαμόρφωση μιας υπολογιστικής κουλτούρας.

II. Κύριο μέρος

Διαμόρφωση της υπολογιστικής κουλτούρας των μαθητών

5-6 τάξεις.

Είναι προφανές ότι οι μέθοδοι ορθολογικής μέτρησης είναι απαραίτητο στοιχείο της υπολογιστικής κουλτούρας στη ζωή κάθε ανθρώπου, κυρίως λόγω της πρακτικής σημασίας τους, και οι μαθητές το χρειάζονται σχεδόν σε κάθε μάθημα.

Η υπολογιστική κουλτούρα είναι το θεμέλιο για τη μελέτη των μαθηματικών και άλλων ακαδημαϊκών κλάδων, καθώς, εκτός από το γεγονός ότι οι υπολογισμοί ενεργοποιούν τη μνήμη, την προσοχή, βοηθούν στην ορθολογική οργάνωση των δραστηριοτήτων και επηρεάζουν σημαντικά την ανθρώπινη ανάπτυξη.

Στην καθημερινή ζωή, στις προπονήσεις, όταν αποτιμάται κάθε λεπτό, είναι πολύ σημαντικό να εκτελείτε γρήγορα και ορθολογικά προφορικούς και γραπτούς υπολογισμούς χωρίς να κάνετε λάθη και χωρίς να χρησιμοποιείτε πρόσθετα υπολογιστικά εργαλεία.

Εμείς, οι μαθητές, αντιμετωπίζουμε αυτό το πρόβλημα παντού: στην τάξη, στο σπίτι, στο κατάστημα κ.λπ. Επιπλέον, μετά την 9η και την 11η τάξη, θα πρέπει να δώσουμε εξετάσεις με τη μορφή του IGA και της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης, όπου δεν επιτρέπεται η χρήση μικροϋπολογιστή. Ως εκ τούτου, το πρόβλημα του σχηματισμού μιας υπολογιστικής κουλτούρας σε κάθε άτομο, στοιχείο της οποίας είναι η γνώση των μεθόδων ορθολογικής μέτρησης, γίνεται εξαιρετικά σημαντικό.

Είναι ιδιαίτερα απαραίτητο να κυριαρχήσετε τις μεθόδους ορθολογικής μέτρησης.

στη μελέτη μαθημάτων όπως τα μαθηματικά, η ιστορία, η τεχνολογία, η επιστήμη των υπολογιστών κ.λπ., δηλαδή, η ορθολογική μέτρηση βοηθά στην κυριαρχία των σχετικών θεμάτων, στην καλύτερη πλοήγηση στο υλικό που μελετάται, σε καταστάσεις ζωής. Τι περιμένουμε λοιπόν; Πάμε στον κόσμο των μυστικών των Ορθολογικών μεθόδων μέτρησης!!!

Τι προβλήματα αντιμετωπίζουν οι μαθητές όταν κάνουν υπολογισμούς;

Συχνά, οι συνομήλικοι μου έχουν προβλήματα όταν εκτελούν διάφορες εργασίες στις οποίες είναι απαραίτητο να εκτελούνται υπολογισμοί με γρήγορο και βολικό τρόπο. . Γιατί???

Εδώ είναι μερικές εικασίες:

1. Ο μαθητής δεν κατέκτησε καλά το θέμα που μελετήθηκε

2. Ο μαθητής δεν επαναλαμβάνει την ύλη

3. Ο μαθητής έχει κακές δεξιότητες αριθμητικής

4. Ο μαθητής δεν θέλει να μελετήσει αυτό το θέμα

5. Ο μαθητής πιστεύει ότι δεν θα του είναι χρήσιμος.

Πήρα όλες αυτές τις υποθέσεις από την εμπειρία μου και την εμπειρία των συμμαθητών και των συμμαθητών μου. Ωστόσο, οι δεξιότητες ορθολογικής μέτρησης παίζουν σημαντικό ρόλο στις υπολογιστικές ασκήσεις, γι' αυτό έχω μελετήσει, εφαρμόσει και θέλω να σας παρουσιάσω μερικές τεχνικές ορθολογικής μέτρησης.

Ορθολογικές μέθοδοι προφορικών και γραπτών υπολογισμών.

Στην εργασία και τη ζωή, η ανάγκη για διάφορα είδη υπολογισμών προκύπτει συνεχώς. Η χρήση των απλούστερων μεθόδων νοητικής μέτρησης μειώνει την κούραση, αναπτύσσει την προσοχή και τη μνήμη. Η χρήση ορθολογικών μεθόδων υπολογισμού είναι απαραίτητη για την αύξηση της εργασίας, της ακρίβειας και της ταχύτητας των υπολογισμών. Η ταχύτητα και η ακρίβεια των υπολογισμών μπορεί να επιτευχθεί μόνο με την ορθολογική χρήση μεθόδων και μέσων μηχανοποίησης υπολογισμών, καθώς και με τη σωστή χρήση μεθόδων νοητικής μέτρησης.

Εγώ. Απλοποιημένες Τεχνικές Πρόσθεσης Αριθμών

Υπάρχουν τέσσερις μέθοδοι πρόσθεσης που σας επιτρέπουν να επιταχύνετε τους υπολογισμούς.

Μέθοδος διαδοχικής πρόσθεσης bitwise χρησιμοποιείται σε νοητικούς υπολογισμούς, καθώς απλοποιεί και επιταχύνει την άθροιση των όρων. Όταν χρησιμοποιείτε αυτήν τη μέθοδο, η πρόσθεση ξεκινά με τα υψηλότερα ψηφία: τα αντίστοιχα ψηφία του δεύτερου όρου προστίθενται στον πρώτο όρο.

Παράδειγμα. Ας βρούμε το άθροισμα των αριθμών 5287 και 3564 χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της διαδοχικής πρόσθεσης bitwise.

Λύση. Θα υπολογίσουμε με την εξής σειρά:

5 287 + 3 000 = 8 287;

8 287 + 500 = 8 787;

8 787 + 60 = 8 847;

8 847 + 4 = 8 851.

Απάντηση: 8 851

Ένας άλλος τρόπος διαδοχικής πρόσθεσης bitwise συνίσταται στο γεγονός ότι η υψηλότερη κατάταξη του δεύτερου όρου προστίθεται στο υψηλότερο ψηφίο του πρώτου όρου, στη συνέχεια το επόμενο ψηφίο του δεύτερου όρου προστίθεται στο επόμενο ψηφίο του πρώτου όρου και ούτω καθεξής.

Ας εξετάσουμε αυτή τη λύση στο συγκεκριμένο παράδειγμα, παίρνουμε:

5 000 + 3 000 = 8 000;

200 + 500 = 700;

Απάντηση: 8851.

μέθοδος στρογγυλού αριθμού . Ένας αριθμός που έχει ένα σημαντικό ψηφίο και τελειώνει με ένα ή περισσότερα μηδενικά ονομάζεται στρογγυλός αριθμός. Αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται όταν μπορούν να επιλεγούν δύο ή περισσότεροι όροι που μπορούν να συμπληρωθούν σε έναν στρογγυλό αριθμό. Η διαφορά μεταξύ του στρογγυλού αριθμού και του αριθμού που καθορίζεται στη συνθήκη υπολογισμού ονομάζεται συμπλήρωμα. Για παράδειγμα, 1000 - 978 = 22. Στην περίπτωση αυτή, ο αριθμός 22 είναι η αριθμητική πρόσθεση του αριθμού 978 στο 1000.

Για να προσθέσετε με τη μέθοδο στρογγυλών αριθμών, ένας ή περισσότεροι όροι κοντά στους στρογγυλούς αριθμούς πρέπει να στρογγυλοποιηθούν, να προσθέσετε στρογγυλούς αριθμούς και να αφαιρέσετε αριθμητικές προσθήκες από το άθροισμα που προκύπτει.

Παράδειγμα. Βρείτε το άθροισμα των αριθμών 1238 και 193 χρησιμοποιώντας τη μέθοδο στρογγυλών αριθμών.

Λύση. Στρογγυλοποιήστε τον αριθμό 193 στο 200 και προσθέστε ως εξής: 1 238 + 193 \u003d (1 238 + 200) - 7 \u003d 1 431. (συνειρμικός νόμος)

Μέθοδος ομαδοποίησης όρων . Αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται όταν οι όροι, όταν ομαδοποιούνται μαζί, δίνουν στρογγυλούς αριθμούς, οι οποίοι στη συνέχεια προστίθενται.

Παράδειγμα. Βρείτε το άθροισμα των αριθμών 74, 32, 67, 48, 33 και 26.

Λύση. Ας αθροίσουμε τους αριθμούς που ομαδοποιούνται ως εξής: (74 + 26) + (32 + 48) + (67 + 33) = 280.

(νόμος συνειρμικής μετατόπισης)

ή, όταν ομαδοποιούνται αριθμοί καταλήγουν σε ίσα αθροίσματα:

Παράδειγμα: 1+2+3+4+5+…+97+98+99+100= (1+100)+(2+99)+(3+98)+…=101x50=5050

(νόμος συνειρμικής μετατόπισης)

II. Τεχνικές απλοποιημένης αφαίρεσης αριθμών

Η μέθοδος της διαδοχικής αφαίρεσης bitwise. Αυτή η μέθοδος αφαιρεί διαδοχικά κάθε ψηφίο που αφαιρείται από το μειωμένο. Χρησιμοποιείται όταν οι αριθμοί δεν μπορούν να στρογγυλοποιηθούν.

Παράδειγμα. Βρείτε τη διαφορά μεταξύ των αριθμών 721 και 398.

Λύση. Ας εκτελέσουμε ενέργειες για να βρούμε τη διαφορά των δεδομένων αριθμών με την ακόλουθη σειρά:

αντιπροσωπεύστε τον αριθμό 398 ως άθροισμα: 300 + 90 + 8 = 398.

κάντε δυαδική αφαίρεση:

721 - 300 = 421; 421 - 90 = 331; 331 - 8 = 323.

μέθοδος στρογγυλού αριθμού . Αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται όταν το subtrahend είναι κοντά σε έναν στρογγυλό αριθμό. Για τον υπολογισμό, είναι απαραίτητο να αφαιρέσετε τον υποκατεστημένο, που λαμβάνεται ως στρογγυλό αριθμό, από τον μειωμένο, και να προσθέσετε την αριθμητική πρόσθεση στη διαφορά που προκύπτει.

Παράδειγμα. Ας υπολογίσουμε τη διαφορά μεταξύ των αριθμών 235 και 197 χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του στρογγυλού αριθμού.

Λύση. 235 - 197 = 235 - 200 + 3 = 38.

III. Τεχνικές απλοποιημένου πολλαπλασιασμού αριθμών

Πολλαπλασιασμός με ένα ακολουθούμενο από μηδενικά. Όταν πολλαπλασιάζουμε έναν αριθμό με έναν αριθμό που περιλαμβάνει μια μονάδα ακολουθούμενη από μηδενικά (10; 100; 1.000, κ.λπ.), του εκχωρούνται τόσα μηδενικά στα δεξιά όσα υπάρχουν στον πολλαπλασιαστή μετά τη μονάδα.

Παράδειγμα. Βρείτε το γινόμενο των αριθμών 568 και 100.

Λύση. 568 x 100 = 56.800.

μέθοδος πολλαπλασιασμού bitwise . Αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται όταν πολλαπλασιάζουμε έναν αριθμό με οποιονδήποτε μονοψήφιο αριθμό. Εάν χρειάζεται να πολλαπλασιάσετε έναν διψήφιο (τριψήφιο, τετραψήφιο κ.λπ.) αριθμό με έναν μονοψήφιο, τότε πρώτα ο μονοψήφιος πολλαπλασιαστής πολλαπλασιάζεται με δεκάδες άλλου παράγοντα, μετά με τις μονάδες του και το προκύπτον τα προϊόντα συνοψίζονται.

Παράδειγμα. Βρείτε το γινόμενο των αριθμών 39 και 7.

Λύση. 39 x 7 \u003d (30 + 9) x 7 \u003d (30 x 7) + (9 x 7) \u003d 210 + 63 \u003d 273. (διανεμητικός νόμος πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση)

μέθοδος στρογγυλού αριθμού . Αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται μόνο όταν ένας από τους παράγοντες είναι κοντά σε έναν στρογγυλό αριθμό. Ο πολλαπλασιαστής πολλαπλασιάζεται με έναν στρογγυλό αριθμό και μετά με την αριθμητική πρόσθεση και στο τέλος αφαιρείται ο δεύτερος από το πρώτο γινόμενο.

Παράδειγμα. Βρείτε το γινόμενο των αριθμών 174 και 69.

174 x 69 \u003d 174 x (70-1) \u003d 174 x 70 - 174 x 1 \u003d 12 180 - 174 \u003d 12 006. (διανεμητικός νόμος πολλαπλασιασμού σε σχέση με την αφαίρεση)

Ένας τρόπος επέκτασης ενός από τους παράγοντες. Σε αυτή τη μέθοδο, ένας από τους παράγοντες αρχικά αποσυντίθεται σε μέρη (όροι), στη συνέχεια ο δεύτερος παράγοντας πολλαπλασιάζεται με τη σειρά του με κάθε μέρος του πρώτου παράγοντα και τα προκύπτοντα γινόμενα αθροίζονται.

Παράδειγμα. Βρείτε το γινόμενο των αριθμών 13 και 325.

Ας αποσυνθέσουμε τον αριθμό 13 σε όρους: 13 \u003d 10 + 3. Ας πολλαπλασιάσουμε κάθε έναν από τους όρους που λαμβάνονται με 325: 10 x 325 \u003d 3 250; 3 x 325 = 975. Συνοψίζοντας τα προκύπτοντα προϊόντα: 3250 + 975 = 4225

Η εκμάθηση των δεξιοτήτων της ορθολογικής νοητικής μέτρησης θα κάνει την εργασία σας πιο αποτελεσματική. Αυτό είναι δυνατό μόνο με καλή γνώση όλων των παραπάνω αριθμητικών πράξεων. Η χρήση ορθολογικών μεθόδων μέτρησης επιταχύνει τους υπολογισμούς και παρέχει την απαραίτητη ακρίβεια. Αλλά όχι μόνο πρέπει να είστε σε θέση να υπολογίζετε, αλλά πρέπει επίσης να γνωρίζετε τον πίνακα πολλαπλασιασμού, τους νόμους των αριθμητικών πράξεων, τις κλάσεις και τα ψηφία.

Υπάρχουν νοητικά συστήματα μέτρησης που σας επιτρέπουν να μετράτε γρήγορα και ορθολογικά προφορικά. Θα δούμε μερικές από τις πιο συχνά χρησιμοποιούμενες τεχνικές.

1. Πολλαπλασιάζοντας έναν διψήφιο αριθμό με το 11.

Έχουμε μελετήσει αυτή τη μέθοδο, αλλά δεν την έχουμε μελετήσει μέχρι τέλους. το μυστικό αυτής της μεθόδου είναι ότι μπορεί να θεωρηθεί ως νόμοι των αριθμητικών πράξεων.

Παραδείγματα:

23x11 \u003d 23x (10 + 1) \u003d 23x10 + 23x1 \u003d 253 (διανεμητικός νόμος πολλαπλασιασμού σε σχέση με την πρόσθεση)

23x11=(20+3)x 11= 20x11+3x11=253 (νόμος διανομής και μέθοδος στρογγυλών αριθμών)

Μελετήσαμε αυτή τη μέθοδο, αλλά δεν ξέραμε άλλη. Το μυστικό του πολλαπλασιασμού των διψήφιων αριθμών με το 11.

Παρατηρώντας τα αποτελέσματα που προέκυψαν κατά τον πολλαπλασιασμό των διψήφιων αριθμών με το 11, παρατήρησα ότι μπορείτε να πάρετε την απάντηση με πιο βολικό τρόπο. : κατά τον πολλαπλασιασμό ενός διψήφιου αριθμού με το 11, τα ψηφία αυτού του αριθμού απομακρύνονται και το άθροισμα αυτών των ψηφίων τοποθετείται στη μέση.

α) 23 11=253, αφού 2+3=5;

β) 45 11=495, γιατί 4+5=9;

γ) 57 11=627, επειδή 5+7=12, δύο τοποθετήθηκαν στη μέση και ένα προστέθηκε στη θέση των εκατοντάδων.

δ) 78 11=858, αφού 7+8=15, τότε ο αριθμός των δεκάδων θα είναι ίσος με 5 και ο αριθμός των εκατοντάδων θα αυξηθεί κατά ένα και θα είναι ίσος με 8.

Βρήκα επιβεβαίωση αυτής της μεθόδου στο Διαδίκτυο.

2) Το γινόμενο διψήφιων αριθμών που έχουν τον ίδιο αριθμό δεκάδων και το άθροισμα των μονάδων είναι 10, δηλαδή 23 27. 34 36; 52 58 κ.λπ.

κανόνας: το ψηφίο των δεκάδων πολλαπλασιάζεται με το επόμενο ψηφίο της φυσικής σειράς, το αποτέλεσμα καταγράφεται και του αποδίδεται το γινόμενο των μονάδων.

α) 23 27 = 621. Πώς πήρες το 621; Πολλαπλασιάζουμε τον αριθμό 2 με 3 (το "δύο" ακολουθείται από το "τρία"), θα είναι 6 και στη συνέχεια θα αποδώσουμε το γινόμενο των μονάδων: 3 7 \u003d 21, αποδεικνύεται 621.

β) 34 36 = 1224, αφού 3 4 = 12, αποδίδουμε το 24 στον αριθμό 12, αυτό είναι το γινόμενο των μονάδων αυτών των αριθμών: 4 6.

γ) 52 58 \u003d 3016, αφού πολλαπλασιάζουμε τον αριθμό των δεκάδων 5 επί 6, θα είναι 30, αποδίδουμε το γινόμενο των 2 και 8, δηλαδή 16.

δ) 61 69=4209. Είναι σαφές ότι το 6 πολλαπλασιάστηκε με το 7 και πήρε 42. Και από πού προκύπτει το μηδέν; Πολλαπλασιάσαμε τις μονάδες και πήραμε: 1 9 \u003d 9, αλλά το αποτέλεσμα πρέπει να είναι διψήφιο, οπότε παίρνουμε 09.

3) Διαιρέστε τους τριψήφιους αριθμούς που έχουν τα ίδια ψηφία με το 37. Το αποτέλεσμα είναι το άθροισμα αυτών των πανομοιότυπων ψηφίων του τριψήφιου αριθμού (ή ένας αριθμός ίσος με το τριπλάσιο του ψηφίου του τριψήφιου αριθμού).

Παραδείγματα: α) 222:37=6. Αυτό είναι το άθροισμα 2+2+2=6. β) 333:37=9, γιατί 3+3+3=9.

γ) 777:37=21, δηλαδή σε 7+7+7=21.

δ) 888:37=24, γιατί 8+8+8=24.

Λαμβάνουμε επίσης υπόψη το γεγονός ότι 888:24=37.

III. συμπέρασμα

Για να ξετυλίξω το κύριο μυστικό στο θέμα της δουλειάς μου, έπρεπε να δουλέψω σκληρά - να ψάξω, να αναλύσω πληροφορίες, να ρωτήσω συμμαθητές, να επαναλάβω τις πρώιμες γνωστές μεθόδους και να βρω πολλές άγνωστες μεθόδους ορθολογικής μέτρησης και, τέλος, να καταλάβω ποιο είναι το μυστικό του; Και συνειδητοποίησα ότι το κύριο πράγμα είναι να γνωρίζω και να μπορώ να εφαρμόζω τα γνωστά, να βρίσκω νέες ορθολογικές μεθόδους μέτρησης, τον πίνακα πολλαπλασιασμού, τη σύνθεση του αριθμού (τάξεις και ψηφία), τους νόμους των αριθμητικών πράξεων. Εκτός,

αναζητήστε νέους τρόπους για να το κάνετε αυτό:

- Απλοποιημένες Τεχνικές Πρόσθεσης Αριθμών: (μέθοδος διαδοχικής πρόσθεσης bitwise, μέθοδος στρογγυλού αριθμού, μέθοδος αποσύνθεσης ενός από τους παράγοντες σε όρους).

-Τεχνικές απλοποιημένης αφαίρεσης αριθμών(μέθοδος διαδοχικής αφαίρεσης bitwise, μέθοδος στρογγυλών αριθμών).

-Τεχνικές απλοποιημένου πολλαπλασιασμού αριθμών(πολλαπλασιασμός με ένα ακολουθούμενο από μηδενικά, μέθοδος πολλαπλασιασμού bitwise, μέθοδος στρογγυλού αριθμού, μέθοδος επέκτασης ενός από τους παράγοντες ;

- Τα μυστικά της γρήγορης νοητικής καταμέτρησης(πολλαπλασιάζοντας έναν διψήφιο αριθμό με το 11: όταν πολλαπλασιάζουμε έναν διψήφιο αριθμό με το 11, τα ψηφία αυτού του αριθμού απομακρύνονται και το άθροισμα αυτών των ψηφίων τοποθετείται στη μέση· το γινόμενο των διψήφιων αριθμών που έχουν ίδιος αριθμός δεκάδων, και το άθροισμα των μονάδων είναι 10· Διαίρεση τριψήφιων αριθμών που αποτελούνται από πανομοιότυπα ψηφία, στον αριθμό 37. Υπάρχουν πιθανώς πολλοί περισσότεροι τέτοιοι τρόποι, οπότε θα συνεχίσω να εργάζομαι σε αυτό το θέμα το επόμενο έτος.

IV. Βιβλιογραφία

1. Savin A. P. Mathematical miniatures / A. P. Savin. - Μ .: Παιδική λογοτεχνία, 1991

2. Zubareva I.I., Μαθηματικά, τάξη 5: ένα εγχειρίδιο για μαθητές εκπαιδευτικών ιδρυμάτων / I.I. Zubareva, A.G. Μόρντκοβιτς. – Μ.: Μνημοσύνη, 2011

4. http://www. xreferat.ru

5. http://www. biografia.ru

6. http://www. Μαθηματικά-επανάληψη. en

V. Εφαρμογές

Μίνι μελέτη (έρευνα σε μορφή ερωτηματολογίου)

Για να προσδιορίσω τις γνώσεις των μαθητών σχετικά με την ορθολογική μέτρηση, διεξήγαγα μια έρευνα με τη μορφή ερωτηματολογίου για τις ακόλουθες ερωτήσεις:

* Γνωρίζετε ποιες είναι οι ορθολογικές μέθοδοι μέτρησης;

* Εάν ναι, πού, και αν όχι, γιατί όχι;

* Πόσους τρόπους ορθολογικής μέτρησης γνωρίζετε;

* Δυσκολεύεστε στο νοητικό μέτρημα;

* Πώς σπουδάζεις μαθηματικά; α) στο "5"? β) στο "4"? γ) στο "3"

* Τι σας αρέσει περισσότερο στα μαθηματικά;

α) παραδείγματα· β) καθήκοντα. γ) κλάσματα

* Πώς πιστεύετε, πού μπορεί να είναι χρήσιμη η νοητική καταμέτρηση, εκτός από τα μαθηματικά; * Θυμάστε τους νόμους των αριθμητικών πράξεων, αν ναι, ποιους;

Μετά από μια έρευνα, συνειδητοποίησα ότι οι συμμαθητές μου δεν γνωρίζουν αρκετά τους νόμους των αριθμητικών πράξεων, οι περισσότεροι από αυτούς έχουν προβλήματα με την ορθολογική μέτρηση, πολλοί μαθητές μετράνε αργά και με λάθη και όλοι θέλουν να μάθουν πώς να μετράνε γρήγορα, σωστά και ένας βολικός τρόπος. Επομένως, το θέμα της ερευνητικής μου εργασίας είναι εξαιρετικά σημαντικό για όλους τους μαθητές και όχι μόνο.

1. Ενδιαφέρουσες προφορικές και γραπτές μέθοδοι υπολογισμών που μελετήσαμε στα μαθήματα μαθηματικών, χρησιμοποιώντας τα παραδείγματα του σχολικού βιβλίου "μαθηματικά, τάξη 5":

Εδώ είναι μερικά από αυτά:

για να πολλαπλασιάσετε γρήγορα έναν αριθμό με το 5, αρκεί να σημειώσουμε ότι 5=10:2.

Για παράδειγμα, 43x5=(43x10):2=430:2=215;

48x5=(48:2)x10=24x10=240.

Για να πολλαπλασιάσετε έναν αριθμό με το 50 , μπορείτε να το πολλαπλασιάσετε με το 100 και να το διαιρέσετε με το 2.

Για παράδειγμα: 122x50=(122x100):2=12200:2=6100

Για να πολλαπλασιάσετε έναν αριθμό με το 25 , μπορείτε να το πολλαπλασιάσετε με το 100 και να το διαιρέσετε με το 4,

Για παράδειγμα, 32x25=(32x100):4=3200:4=800

Για να πολλαπλασιάσετε έναν αριθμό με το 125 , μπορείτε να το πολλαπλασιάσετε με το 1000 και να το διαιρέσετε με το 8,

Για παράδειγμα: 192x125=(192x1000):8=192000:8=24000

Για να φτιάξετε έναν στρογγυλό αριθμό που τελειώνει με δύο 0 διαιρούμενο με το 25 , μπορείτε να το διαιρέσετε με το 100 και να το πολλαπλασιάσετε με το 4.

Για παράδειγμα: 2400:25=(2400:100) x 4=24 x 4=96

Για να διαιρέσετε έναν στρογγυλό αριθμό με το 50 , μπορεί να διαιρεθεί με το 100 και να πολλαπλασιαστεί με το 2

Για παράδειγμα: 4500:50=(4500:100) x 2 =45 x 2 =90

Αλλά όχι μόνο πρέπει να είστε σε θέση να υπολογίζετε, αλλά πρέπει επίσης να γνωρίζετε τον πίνακα πολλαπλασιασμού, τους νόμους των αριθμητικών πράξεων, τη σύνθεση του αριθμού (τάξεις και ψηφία) και να έχετε τις δεξιότητες να τα χρησιμοποιήσετε

Νόμοι αριθμητικών πράξεων.

ένα + σι = σι + ένα

Μεταθετικός νόμος της πρόσθεσης

(ένα + σι) + ντο = ένα + (σι + ντο)

Συνειρμικός νόμος της πρόσθεσης

ένα · σι = σι · ένα

Ανταλλαγή νόμου πολλαπλασιασμού

(ένα · σι) · ντο = ένα · (σι · ντο)

Συνειρμικός νόμος πολλαπλασιασμού

(ένα = σι) · ντο = ένα · ντο = σι · ντο

Διανεμητικός νόμος πολλαπλασιασμού (σε σχέση με την πρόσθεση)

Προπαιδεία.

Τι είναι ο πολλαπλασιασμός;

Αυτή είναι μια έξυπνη προσθήκη.

Άλλωστε, είναι πιο έξυπνο να πολλαπλασιάζεις φορές,

Από το να αθροίσεις τα πάντα για μια ώρα.

Προπαιδεία

Όλοι το χρειαζόμαστε στη ζωή.

Και όχι χωρίς λόγο

ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕ το!

Βαθμοί και τάξεις

Προκειμένου να είναι βολικό η ανάγνωση και η απομνημόνευση αριθμών με μεγάλες τιμές, θα πρέπει να χωριστούν στις λεγόμενες "τάξεις": ξεκινώντας από τα δεξιά, ο αριθμός διαιρείται με ένα κενό σε τρία ψηφία "πρώτης τάξης", μετά σε τρία επιλέγονται περισσότερα ψηφία, «δεύτερη τάξη» κ.λπ. Ανάλογα με τη σημασία του αριθμού, η τελευταία τάξη μπορεί να τελειώνει με τρία, δύο ή ένα ψηφίο.

Για παράδειγμα, ο αριθμός 35461298 γράφεται ως εξής:

Αυτός ο αριθμός χωρίζεται σε κατηγορίες:

482 - πρώτη τάξη (κατηγορία μονάδων)

630 - δεύτερη κατηγορία (κατηγορία χιλιάδων)

35 - τρίτη τάξη (κατηγορία εκατομμυρίων)

Απαλλάσσω

Καθένα από τα ψηφία που απαρτίζουν την κλάση ονομάζεται κατηγορία της, η αντίστροφη μέτρηση της οποίας πηγαίνει επίσης προς τα δεξιά.

Για παράδειγμα, ο αριθμός 35 630 482 μπορεί να αποσυντεθεί σε κλάσεις και ψηφία:

482 - πρώτης τάξης

2 - πρώτο ψηφίο (ψηφίο μονάδας)

8 - δεύτερο ψηφίο (δεκαψήφιο)

4 - τρίτο ψηφίο (εκατοντάδες ψηφία)

630 - δεύτερη τάξη

0 - πρώτο ψηφίο (χιλιάδες ψηφίο)

3 - δεύτερο ψηφίο (ψηφίο δεκάδων χιλιάδων)

6 - τρίτο ψηφίο (εκατό χιλιάδες ψηφίο)

35 - τρίτη τάξη

5 - πρώτο ψηφίο (ψηφίο μονάδων εκατομμυρίων)

3 - δεύτερο ψηφίο (ψηφίο δεκάδων εκατομμυρίων)

Ο αριθμός 35 630 482 λέει:

Τριάντα πέντε εκατομμύρια εξακόσια τριάντα χιλιάδες τετρακόσιες ογδόντα δύο.

Προβλήματα με την ορθολογική μέτρηση και πώς να τα διορθώσετε

Ορθολογικές μέθοδοι απομνημόνευσης.

Ως αποτέλεσμα της έρευνας και των παρατηρήσεων από τα μαθήματα, παρατήρησα ότι ορισμένοι μαθητές επιλύουν κακώς διάφορα προβλήματα και ασκήσεις επειδή δεν είναι εξοικειωμένοι με ορθολογικές μεθόδους υπολογισμού.

1. Μία από τις μεθόδους είναι να φέρετε το μελετημένο υλικό σε ένα σύστημα που είναι βολικό για απομνημόνευση και αποθήκευση στη μνήμη.

2. Για να αποθηκευτεί το απομνημονευμένο υλικό από τη μνήμη σε ένα συγκεκριμένο σύστημα, πρέπει να γίνει κάποια εργασία στο περιεχόμενό του.

3. Στη συνέχεια, μπορείτε να αρχίσετε να κυριαρχείτε σε κάθε μεμονωμένο μέρος του κειμένου, να το ξαναδιαβάζετε και να προσπαθείτε να αναπαράγετε αμέσως (επαναλάβετε στον εαυτό σας ή φωναχτά) αυτό που διαβάσατε.

4. Μεγάλη σημασία για την αποστήθιση έχει η επανάληψη της ύλης. Αυτό αποδεικνύεται και από τη λαϊκή παροιμία: «Η επανάληψη είναι η μητέρα της μάθησης». Αλλά πρέπει επίσης να επαναληφθεί εύλογα και σωστά.

Το έργο της επανάληψης πρέπει να αναβιώσει αντλώντας εικονογραφήσεις ή παραδείγματα που δεν υπήρχαν πριν ή έχουν ήδη ξεχαστεί.

Με βάση τα παραπάνω, μπορούμε να διατυπώσουμε συνοπτικά τις ακόλουθες συστάσεις για την επιτυχή αφομοίωση του εκπαιδευτικού υλικού:

1. Ορίστε μια εργασία, θυμηθείτε γρήγορα και σταθερά το εκπαιδευτικό υλικό για μεγάλο χρονικό διάστημα.

2. Εστιάστε σε αυτά που πρέπει να μάθετε.

3. Κατανοήστε καλά το υλικό μελέτης.

4. Κάντε ένα σχέδιο του απομνημονευμένου κειμένου, επισημαίνοντας τις κύριες σκέψεις σε αυτό, χωρίστε το κείμενο σε μέρη.

5. Εάν το υλικό είναι μεγάλο, αφομοιώστε διαδοχικά το ένα μέρος μετά το άλλο και μετά αναφέρετε τα πάντα ως σύνολο.

6. Αφού διαβάσετε το υλικό, είναι απαραίτητο να το αναπαραγάγετε (πείτε τι διαβάστηκε).

7. Επαναλάβετε το υλικό μέχρι να ξεχαστεί.

8. Κατανείμετε την επανάληψη σε μεγαλύτερο χρονικό διάστημα.

9. Όταν απομνημονεύετε, χρησιμοποιήστε διαφορετικούς τύπους μνήμης (κυρίως σημασιολογική) και ορισμένα μεμονωμένα χαρακτηριστικά της μνήμης σας (οπτική, ακουστική ή κινητική).

10. Το δύσκολο υλικό πρέπει να επαναλαμβάνεται πριν πάτε για ύπνο, και μετά το πρωί, «για φρέσκια μνήμη».

11. Προσπαθήστε να εφαρμόσετε τις γνώσεις που έχετε αποκτήσει στην πράξη. Αυτός είναι ο καλύτερος τρόπος για να τα κρατήσετε στη μνήμη (όχι χωρίς λόγο λένε: «Η πραγματική μητέρα του δόγματος δεν είναι η επανάληψη, αλλά η εφαρμογή»).

12. Είναι απαραίτητο να αποκτήσετε περισσότερες γνώσεις, να μάθετε κάτι νέο.

Τώρα έχετε μάθει πώς να απομνημονεύετε γρήγορα και σωστά το υλικό που μελετήσατε.

Μια ενδιαφέρουσα τεχνική πολλαπλασιασμού ορισμένων αριθμών με το 9 σε συνδυασμό με την προσθήκη διαδοχικών φυσικών αριθμών από το 2 στο 10

12345x9+6=111111

123456x9+7=1111111

1234567x9+8=11111111

12345678x9+9=111111111

123456789x9+10=1111111111

Ενδιαφέρον παιχνίδι "Μάντεψε τον αριθμό"

Έχετε παίξει το παιχνίδι Guess the Number; Αυτό είναι ένα πολύ απλό παιχνίδι. Ας πούμε ότι σκέφτομαι έναν φυσικό αριθμό μικρότερο από 100, τον γράφω σε χαρτί (ώστε να μην υπάρχει τρόπος να εξαπατήσετε) και προσπαθείτε να τον μαντέψετε κάνοντας ερωτήσεις που μπορούν να απαντηθούν μόνο με "ναι" ή "όχι" . Μετά μαντεύεις τον αριθμό και προσπαθώ να τον μαντέψω. Όποιος μαντέψει με τις λιγότερες ερωτήσεις κερδίζει.

Πόσες ερωτήσεις χρειάζεστε για να μαντέψετε τον αριθμό μου; Δεν ξέρω? Αναλαμβάνω να μαντέψω τον αριθμό σας κάνοντας μόνο επτά ερωτήσεις. Πως? Αλλά, για παράδειγμα, πώς. Αφήστε σας να μαντέψετε τον αριθμό. Ρωτάω, "Είναι λιγότερο από 64;" - "Ναί". – «Λιγότερο από 32;» - "Ναί". - "Λιγότερο από 16;" - "Ναί". – «Λιγότερο από 8;» - "Οχι". - "Λιγότερο από 12;" - "Οχι". - "Λιγότερο από 14;" - "Ναί". - "Λιγότερο από 13;" - "Οχι". - "Ο αριθμός 13 έχει συλληφθεί."

Είναι σαφές? Διαιρώ το σύνολο των πιθανών αριθμών στο μισό, μετά το υπόλοιπο μισό πάλι στο μισό και ούτω καθεξής, μέχρι το υπόλοιπο να γίνει ένας αριθμός.

Αν σας άρεσε το παιχνίδι ή, αντίθετα, θέλετε περισσότερα, τότε πηγαίνετε στη βιβλιοθήκη και πάρτε το βιβλίο «Α. P. Savin (Μαθηματικές μινιατούρες). Σε αυτό το βιβλίο θα βρείτε πολλά ενδιαφέροντα και συναρπαστικά πράγματα. Εικόνα βιβλίου:

Σας ευχαριστώ όλους για την προσοχή σας

Και σου εύχομαι καλή επιτυχία!!!

Κατεβάστε:

Προεπισκόπηση:

Για να χρησιμοποιήσετε την προεπισκόπηση των παρουσιάσεων, δημιουργήστε έναν λογαριασμό Google (λογαριασμό) και συνδεθείτε: https://accounts.google.com

Λεζάντες διαφανειών:

Ποιο είναι το μυστικό της ορθολογικής μέτρησης;

Σκοπός της εργασίας: αναζήτηση πληροφοριών, μελέτη υφιστάμενων μεθόδων και τεχνικών ορθολογικής καταμέτρησης, εφαρμογή τους στην πράξη.

Εργασίες: 1. Διεξάγετε μια μίνι έρευνα με τη μορφή ερωτηματολογίου μεταξύ των παράλληλων τάξεων. 2. Αναλύστε σχετικά με το θέμα της έρευνας: τη βιβλιογραφία που είναι διαθέσιμη στη σχολική βιβλιοθήκη, πληροφορίες στο σχολικό βιβλίο για τα μαθηματικά για την 5η τάξη, καθώς και στο Διαδίκτυο. 3. Επιλέξτε τις πιο αποτελεσματικές μεθόδους και μέσα ορθολογικής καταμέτρησης. 4. Πραγματοποιήστε ταξινόμηση των υφιστάμενων μεθόδων ταχείας προφορικής και γραπτής καταμέτρησης. 5. Δημιουργήστε σημειώσεις που περιέχουν τεχνικές ορθολογικής μέτρησης για χρήση σε παράλληλες 5 τάξεις.

Όπως έχω ήδη πει, το θέμα της ορθολογικής καταμέτρησης είναι σχετικό όχι μόνο για τους μαθητές, αλλά για κάθε άτομο, για να βεβαιωθώ γι 'αυτό, διεξήγαγα μια έρευνα μεταξύ των μαθητών της 5ης τάξης. Οι ερωτήσεις και οι απαντήσεις της έρευνας σας παρουσιάζονται στην εφαρμογή.

Τι είναι ο ορθολογικός λογαριασμός; Ένας ορθολογικός λογαριασμός είναι ένας βολικός λογαριασμός (η λέξη rational σημαίνει βολικός, σωστός)

Γιατί οι μαθητές δυσκολεύονται;

Ακολουθούν ορισμένες υποθέσεις: Ο μαθητής: 1. Δεν κατέκτησε καλά το θέμα που μελετήθηκε. 2. Δεν επαναλαμβάνει το υλικό. 3. έχει κακές ικανότητες μέτρησης. 4 . πιστεύει ότι δεν θα το χρειαστεί.

Ορθολογικές μέθοδοι προφορικών και γραπτών υπολογισμών. Στην εργασία και τη ζωή, η ανάγκη για διάφορα είδη υπολογισμών προκύπτει συνεχώς. Η χρήση των απλούστερων μεθόδων νοητικής μέτρησης μειώνει την κούραση, αναπτύσσει την προσοχή και τη μνήμη.

Υπάρχουν τέσσερις μέθοδοι πρόσθεσης που σας επιτρέπουν να επιταχύνετε τους υπολογισμούς. Ι. Τεχνικές απλοποιημένης πρόσθεσης αριθμών

Η μέθοδος της διαδοχικής πρόσθεσης bitwise χρησιμοποιείται στους νοητικούς υπολογισμούς, καθώς απλοποιεί και επιταχύνει την άθροιση των όρων. Όταν χρησιμοποιείτε αυτήν τη μέθοδο, η πρόσθεση ξεκινά με τα υψηλότερα ψηφία: τα αντίστοιχα ψηφία του δεύτερου όρου προστίθενται στον πρώτο όρο. Παράδειγμα. Βρείτε το άθροισμα των αριθμών 5287 και 3564 χρησιμοποιώντας αυτή τη μέθοδο. Λύση. Θα υπολογίσουμε με την ακόλουθη σειρά: 5.287 + 3.000 = 8.287; 8287 + 500 = 8787; 8787 + 60 = 8847; 8847 + 4 = 8851 . Απάντηση: 8 851.

Ένας άλλος τρόπος διαδοχικής πρόσθεσης bit είναι ότι το υψηλότερο ψηφίο του δεύτερου όρου προστίθεται στο υψηλότερο ψηφίο του πρώτου όρου, μετά το επόμενο ψηφίο του δεύτερου όρου προστίθεται στο επόμενο ψηφίο του πρώτου όρου και ούτω καθεξής. Ας εξετάσουμε αυτή τη λύση στο συγκεκριμένο παράδειγμα, παίρνουμε: 5.000 + 3.000 = 8.000; 200 + 500 = 700; 80 + 60 = 140; 7 + 4 = 11 Απάντηση: 8851.

μέθοδος στρογγυλού αριθμού. Ένας αριθμός που τελειώνει σε ένα ή περισσότερα μηδενικά ονομάζεται στρογγυλός αριθμός. Αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται όταν μπορούν να επιλεγούν δύο ή περισσότεροι όροι που μπορούν να συμπληρωθούν σε έναν στρογγυλό αριθμό. Η διαφορά μεταξύ του στρογγυλού αριθμού και του αριθμού που καθορίζεται στη συνθήκη υπολογισμού ονομάζεται συμπλήρωμα. Για παράδειγμα, 1000 - 978 = 22. Σε αυτήν την περίπτωση, ο αριθμός 22 είναι το αριθμητικό συμπλήρωμα του αριθμού 978 έως το 1000. Για να προσθέσετε με τη μέθοδο στρογγυλών αριθμών, ένας ή περισσότεροι όροι κοντά στους στρογγυλούς αριθμούς πρέπει να στρογγυλοποιηθούν, να προσθέσετε στρογγυλούς αριθμούς και να αφαιρέσετε αριθμητικές προσθήκες από το άθροισμα που προκύπτει. Παράδειγμα. Βρείτε το άθροισμα των αριθμών 1238 και 193 χρησιμοποιώντας τη μέθοδο στρογγυλών αριθμών. Λύση. Στρογγυλοποιήστε τον αριθμό 193 στο 200 και προσθέστε ως εξής: 1238 + 193 = (1238 + 200) - 7 = 1431.

Μέθοδος ομαδοποίησης όρων. Αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται όταν οι όροι, όταν ομαδοποιούνται μαζί, δίνουν στρογγυλούς αριθμούς, οι οποίοι στη συνέχεια προστίθενται. Παράδειγμα. Να βρείτε το άθροισμα των αριθμών 74, 32, 67, 48, 33 και 26. Λύση. Ας αθροίσουμε τους αριθμούς που ομαδοποιούνται ως εξής: (74 + 26) + (32 + 48) + (67 + 33) = 280.

Μέθοδος πρόσθεσης με βάση την ομαδοποίηση όρων. Παράδειγμα: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…….+97+98+99+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)= 101x50=5050.

II. Τεχνικές απλοποιημένης αφαίρεσης αριθμών

Η μέθοδος της διαδοχικής αφαίρεσης bitwise. Αυτή η μέθοδος αφαιρεί διαδοχικά κάθε ψηφίο που αφαιρείται από το μειωμένο. Χρησιμοποιείται όταν οι αριθμοί δεν μπορούν να στρογγυλοποιηθούν. Παράδειγμα. Βρείτε τη διαφορά μεταξύ των αριθμών 721 και 398 . Ας εκτελέσουμε ενέργειες για να βρούμε τη διαφορά των δεδομένων αριθμών με την ακόλουθη σειρά: αντιπροσωπεύστε τον αριθμό 398 ως άθροισμα: 300 + 90 + 8 = 398; εκτελέστε μια αφαίρεση κατά bit: 721 - 300 = 421; 421 - 90 = 331; 331 - 8 = 323.

μέθοδος στρογγυλού αριθμού. Αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται όταν το subtrahend είναι κοντά σε έναν στρογγυλό αριθμό. Για τον υπολογισμό, είναι απαραίτητο να αφαιρέσετε τον υποκατεστημένο, που λαμβάνεται ως στρογγυλό αριθμό, από τον μειωμένο, και να προσθέσετε την αριθμητική πρόσθεση στη διαφορά που προκύπτει. Παράδειγμα. Ας υπολογίσουμε τη διαφορά μεταξύ των αριθμών 235 και 197 χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του στρογγυλού αριθμού. Λύση. 235 - 197 = 235 - 200 + 3 = 38.

III. Τεχνικές απλοποιημένου πολλαπλασιασμού αριθμών

Πολλαπλασιασμός με ένα ακολουθούμενο από μηδενικά. Όταν πολλαπλασιάζουμε έναν αριθμό με έναν αριθμό που περιλαμβάνει μια μονάδα ακολουθούμενη από μηδενικά (10; 100; 1.000, κ.λπ.), του εκχωρούνται τόσα μηδενικά στα δεξιά όσα υπάρχουν στον πολλαπλασιαστή μετά τη μονάδα. Παράδειγμα. Να βρείτε το γινόμενο των αριθμών 568 και 100. Λύση. 568 x 100 = 56.800.

Η μέθοδος του διαδοχικού bitwise πολλαπλασιασμού. Αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται όταν πολλαπλασιάζουμε έναν αριθμό με οποιονδήποτε μονοψήφιο αριθμό. Εάν χρειάζεται να πολλαπλασιάσετε έναν διψήφιο (τριψήφιο, τετραψήφιο κ.λπ.) αριθμό με ένα μόνο, τότε πρώτα ένας από τους παράγοντες πολλαπλασιάζεται με δεκάδες του άλλου παράγοντα, μετά με τις μονάδες του και τα γινόμενα που προκύπτουν είναι συνόψισε. Παράδειγμα. Ας βρούμε το γινόμενο των αριθμών 39 και 7. Λύση. 39 x 7 = (30 x 7) + (9 x 7) = 210 + 63 = 273.

μέθοδος στρογγυλού αριθμού. Αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται μόνο όταν ένας από τους παράγοντες είναι κοντά σε έναν στρογγυλό αριθμό. Ο πολλαπλασιαστής πολλαπλασιάζεται με έναν στρογγυλό αριθμό και μετά με την αριθμητική πρόσθεση και στο τέλος αφαιρείται ο δεύτερος από το πρώτο γινόμενο. Παράδειγμα. Ας βρούμε το γινόμενο των αριθμών 174 και 69. Λύση. 174 x 69 = (174 x 70) - (174 x 1) = 12.180 - 174 = 12.006.

Ένας τρόπος επέκτασης ενός από τους παράγοντες. Σε αυτή τη μέθοδο, ένας από τους παράγοντες αρχικά αποσυντίθεται σε μέρη (όροι), στη συνέχεια ο δεύτερος παράγοντας πολλαπλασιάζεται με τη σειρά του με κάθε μέρος του πρώτου παράγοντα και τα προκύπτοντα γινόμενα αθροίζονται. Παράδειγμα. Ας βρούμε το γινόμενο των αριθμών 13 και 325. Λύση. Ας αποσυνθέσουμε τον αριθμό σε όρους: 13 \u003d 10 + 3. Ας πολλαπλασιάσουμε κάθε έναν από τους όρους που λαμβάνονται με 325: 10 x 325 \u003d 3 250; 3 x 325 = 975 Αθροίζουμε τα γινόμενα που ελήφθησαν: 3.250 + 975 = 4.225.

Τα μυστικά της γρήγορης νοητικής καταμέτρησης. Υπάρχουν νοητικά συστήματα μέτρησης που σας επιτρέπουν να μετράτε γρήγορα και ορθολογικά προφορικά. Θα δούμε μερικές από τις πιο συχνά χρησιμοποιούμενες τεχνικές.

Πολλαπλασιάζοντας έναν διψήφιο αριθμό με το 11.

Παραδείγματα: 23x11= 23x(10+1) = 23x10+23x1=253 (διανεμητικός νόμος πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση) 23x11=(20+3)x 11= 20x11+3x11=253 (διανεμητικός νόμος και μέθοδος στρογγυλού αριθμού) Εμείς μελετήσαμε αυτή τη μέθοδο, αλλά δεν γνωρίζαμε ένα ακόμη μυστικό του πολλαπλασιασμού των διψήφιων αριθμών με το 11.

Παρατηρώντας τα αποτελέσματα που λαμβάνονται κατά τον πολλαπλασιασμό των διψήφιων αριθμών με το 11, παρατήρησα ότι μπορείτε να πάρετε την απάντηση με πιο βολικό τρόπο: όταν πολλαπλασιάζετε έναν διψήφιο αριθμό με 11, τα ψηφία αυτού του αριθμού απομακρύνονται και το άθροισμα αυτών ψηφία τοποθετούνται στη μέση. Παραδείγματα. α) 23 11=253, αφού 2+3=5; β) 45 11=495, γιατί 4+5=9; γ) 57 11=627, επειδή 5+7=12, δύο τοποθετήθηκαν στη μέση και ένα προστέθηκε στη θέση των εκατοντάδων. Βρήκα επιβεβαίωση αυτής της μεθόδου στο Διαδίκτυο.

2) Το γινόμενο διψήφιων αριθμών που έχουν τον ίδιο αριθμό δεκάδων και το άθροισμα των μονάδων είναι 10, δηλαδή 23 27. 34 36; 52 58 κλπ. Κανόνας: το ψηφίο των δεκάδων πολλαπλασιάζεται με το επόμενο ψηφίο της φυσικής σειράς, το αποτέλεσμα καταγράφεται και του αποδίδεται το γινόμενο των μονάδων. Παραδείγματα. α) 23 27 = 621. Πώς πήρες το 621; Πολλαπλασιάζουμε τον αριθμό 2 με 3 (το "δύο" ακολουθείται από το "τρία"), θα είναι 6 και στη συνέχεια θα εκχωρήσουμε το γινόμενο των μονάδων: 3 7 \u003d 21, αποδεικνύεται 621. β) 34 36 = 1224, αφού 3 4 = 12, αποδίδουμε το 24 στον αριθμό 12, αυτό είναι το γινόμενο των μονάδων αυτών των αριθμών: 4 6.

3) Διαίρεση τριψήφιων αριθμών που αποτελούνται από τα ίδια ψηφία με τον αριθμό 37. Το αποτέλεσμα είναι ίσο με το άθροισμα αυτών των πανομοιότυπων ψηφίων του τριψήφιου αριθμού (ή έναν αριθμό ίσο με το τριπλάσιο του ψηφίου του τριψήφιου αριθμού ). Παραδείγματα. α) 222:37=6. Αυτό είναι το άθροισμα 2+2+2=6. β) 333:37=9, γιατί 3+3+3=9. γ) 777:37=21, γιατί 7+7+7=21. δ) 888:37=24, αφού 8+8+8=24. Λαμβάνουμε επίσης υπόψη το γεγονός ότι 888:24=37.

Η εκμάθηση των δεξιοτήτων της ορθολογικής νοητικής μέτρησης θα κάνει την εργασία σας πιο αποτελεσματική. Αυτό είναι δυνατό μόνο με καλή γνώση όλων των παραπάνω αριθμητικών πράξεων. Η χρήση ορθολογικών μεθόδων μέτρησης επιταχύνει τους υπολογισμούς και παρέχει την απαραίτητη ακρίβεια.

Συμπέρασμα Για να ξετυλίξω το κύριο μυστικό στο θέμα της δουλειάς μου, έπρεπε να δουλέψω σκληρά - να ψάξω, να αναλύσω πληροφορίες, να ρωτήσω συμμαθητές, να επαναλάβω τις πρώιμες γνωστές μεθόδους και να βρω πολλές άγνωστες μεθόδους ορθολογικής μέτρησης και, τέλος, να καταλάβω τι είναι μυστικό? Και συνειδητοποίησα ότι το κύριο πράγμα είναι να γνωρίζω και να μπορώ να εφαρμόζω τα γνωστά, να βρίσκω νέες ορθολογικές μεθόδους μέτρησης, να γνωρίζω τον πίνακα πολλαπλασιασμού, τη σύνθεση του αριθμού (τάξεις και ψηφία), τους νόμους των αριθμητικών πράξεων. Εκτός από αυτό, αναζητήστε νέους τρόπους για να το κάνετε αυτό:

Τεχνικές για απλοποιημένη πρόσθεση αριθμών: (μέθοδος διαδοχικής πρόσθεσης bitwise, μέθοδος στρογγυλού αριθμού, μέθοδος αποσύνθεσης ενός από τους παράγοντες σε όρους). - Τεχνικές απλοποιημένης αφαίρεσης αριθμών (μέθοδος διαδοχικής αφαίρεσης bitwise, μέθοδος στρογγυλού αριθμού). - Τεχνικές απλοποιημένου πολλαπλασιασμού αριθμών (πολλαπλασιασμός με ένα ακολουθούμενο από μηδενικά, μέθοδος διαδοχικού πολλαπλασιασμού bitwise, μέθοδος στρογγυλού αριθμού, μέθοδος επέκτασης ενός από τους παράγοντες, - Μυστικά γρήγορης νοητικής μέτρησης (πολλαπλασιασμός διψήφιου αριθμού με 11: κατά τον πολλαπλασιασμό ενός διψήφιου αριθμού με το 11, τα ψηφία αυτού του αριθμού απομακρύνονται και στη μέση βάζουν το άθροισμα αυτών των ψηφίων· το γινόμενο των διψήφιων αριθμών που έχουν τον ίδιο αριθμό δεκάδων και το άθροισμα των μονάδων είναι 10· Η διαίρεση τριψήφιων αριθμών που αποτελούνται από τα ίδια ψηφία με τον αριθμό 37. Πιθανώς, υπάρχουν ακόμα πολλοί τέτοιοι τρόποι, οπότε θα συνεχίσω να εργάζομαι σε αυτό το θέμα το επόμενο έτος.

Κλείνοντας, θα ήθελα να ολοκληρώσω την ομιλία μου με τα εξής λόγια:

Σας ευχαριστώ όλους για την προσοχή σας, σας εύχομαι καλή επιτυχία!!!