Πώς να αναπαραστήσετε μια έκφραση ως μονώνυμο. Αναγωγή μονωνύμου σε τυπική μορφή, παραδείγματα, λύσεις
Μονώνυμοςείναι μια έκφραση που είναι το γινόμενο δύο ή περισσότερων παραγόντων, καθένας από τους οποίους είναι ένας αριθμός που εκφράζεται με ένα γράμμα, ψηφία ή δύναμη (με έναν μη αρνητικό ακέραιο):
2ένα, ένα 3 x, 4αλφάβητο, -7x
Εφόσον το γινόμενο πανομοιότυπων παραγόντων μπορεί να γραφτεί ως δύναμη, μια μονή δύναμη (με μη αρνητικό ακέραιο εκθέτη) είναι επίσης μονώνυμο:
(-4) 3 , x 5 ,
Δεδομένου ότι ένας αριθμός (ακέραιος ή κλάσμα), που εκφράζεται με ένα γράμμα ή αριθμούς, μπορεί να γραφτεί ως γινόμενο αυτού του αριθμού με ένα, οποιοσδήποτε μεμονωμένος αριθμός μπορεί επίσης να θεωρηθεί ως μονώνυμο:
x, 16, -ένα,
Τυπική μορφή μονωνύμου
Τυπική μορφή μονωνύμουείναι ένα μονώνυμο που έχει μόνο έναν αριθμητικό παράγοντα, ο οποίος πρέπει να γραφτεί στην πρώτη θέση. Όλες οι μεταβλητές είναι με αλφαβητική σειρά και περιέχονται σε μονώνυμο μόνο μία φορά.
Οι αριθμοί, οι μεταβλητές και οι δυνάμεις των μεταβλητών ανήκουν επίσης σε μονώνυμα της τυπικής μορφής:
7, σι, x 3 , -5σι 3 z 2 - μονώνυμα τυπικής μορφής.
Ο αριθμητικός παράγοντας ενός μονωνύμου τυπικής μορφής ονομάζεται συντελεστής του μονωνύμου. Μονωνυμικοί συντελεστές ίσοι με 1 και -1 συνήθως δεν γράφονται.
Εάν ένα μονώνυμο τυπικής μορφής δεν έχει αριθμητικό παράγοντα, τότε θεωρείται ότι ο συντελεστής του μονωνύμου είναι ίσος με 1:
x 3 = 1 x 3
Εάν ένα μονώνυμο τυπικής μορφής δεν έχει αριθμητικό παράγοντα και του προηγείται το σύμβολο μείον, τότε θεωρείται ότι ο συντελεστής του μονωνύμου είναι ίσος με -1:
-x 3 = -1 · x 3
Αναγωγή μονωνύμου σε τυπική μορφή
Για να φέρετε ένα μονώνυμο σε τυπική μορφή, πρέπει:
- Πολλαπλασιάστε τους αριθμητικούς παράγοντες αν υπάρχουν αρκετοί από αυτούς. Αυξήστε έναν αριθμητικό παράγοντα σε δύναμη αν έχει εκθέτη. Βάλτε πρώτα τον αριθμητικό παράγοντα.
- Πολλαπλασιάστε όλες τις ίδιες μεταβλητές έτσι ώστε κάθε μεταβλητή να εμφανίζεται μόνο μία φορά στο μονώνυμο.
- Τακτοποιήστε τις μεταβλητές μετά τον αριθμητικό παράγοντα με αλφαβητική σειρά.
Παράδειγμα.Παρουσιάστε το μονώνυμο σε τυπική μορφή:
α) 3 yx 2 (-2) y 5 x; β) 6π.Χ · 0,5 3
αβ
α) 3 yx 2 (-2) y 5 xΔιάλυμα: x 2 xyy 5 = -6x 3 y 6
= 3 (-2) β) 6π.Χ · 0,5β) 6 · 0,5σι 3 3 = 6 0,5 = 3· 0,5 4 3 = 6 0,5
ντο
Ισχύς μονωνύμουΙσχύς μονωνύμου
είναι το άθροισμα των εκθετών όλων των γραμμάτων που περιλαμβάνονται σε αυτό.
Αν ένα μονώνυμο είναι αριθμός, δηλαδή δεν περιέχει μεταβλητές, τότε ο βαθμός του θεωρείται ίσος με μηδέν. Για παράδειγμα:
Επομένως, για να βρείτε τον βαθμό ενός μονωνύμου, πρέπει να προσδιορίσετε τον εκθέτη καθενός από τα γράμματα που περιλαμβάνονται σε αυτό και να προσθέσετε αυτούς τους εκθέτες. Αν ο εκθέτης ενός γράμματος δεν προσδιορίζεται, τότε είναι ίσος με ένα.
Παραδείγματα:
Από xο εκθέτης δεν προσδιορίζεται, που σημαίνει ότι είναι ίσος με 1. Το μονώνυμο δεν περιέχει άλλες μεταβλητές, που σημαίνει ότι ο βαθμός του είναι ίσος με 1.
Ένα μονώνυμο περιέχει μόνο μία μεταβλητή στη δεύτερη ισχύ, που σημαίνει ότι ο βαθμός αυτού του μονωνύμου είναι 2.
3) · 0,5 3 3 = 6 0,5 2 ρε
Δείκτης έναισούται με 1, εκθέτης σι- 3, ένδειξη 3 = 6 0,5- 2, ένδειξη ρε- 1. Ο βαθμός αυτού του μονωνύμου είναι ίσος με το άθροισμα αυτών των δεικτών.
ΕΓΩ. Οι παραστάσεις που αποτελούνται από αριθμούς, μεταβλητές και τις δυνάμεις τους χρησιμοποιώντας την ενέργεια του πολλαπλασιασμού ονομάζονται μονώνυμα.
Παραδείγματα μονωνύμων:
ΕΝΑ)ένα; σι) ab; V) 12; ΣΟΛ)-3c; ρε) 2a 2 ∙(-3,5b) 3 ; μι)-123,45xy 5 z; και) 8ac∙2,5a 2 ∙(-3c 3).
II. Αυτός ο τύπος μονωνύμου, όταν έρχεται πρώτος ο αριθμητικός παράγοντας (συντελεστής) και ακολουθούν οι μεταβλητές με τις δυνάμεις τους, ονομάζεται τυπικός τύπος μονωνύμου.
Έτσι, τα μονοώνυμα που δίνονται παραπάνω, κάτω από τα γράμματα α), β), γ), ΣΟΛ)Και μι)γραμμένο σε τυπική μορφή και τα μονώνυμα κάτω από τα γράμματα ρε)Και και)απαιτείται να το φέρετε σε μια τυπική μορφή, δηλαδή σε μια φόρμα όπου ο αριθμητικός παράγοντας έρχεται πρώτος, ακολουθούμενος από τους συντελεστές γραμμάτων με τους εκθέτες τους και οι συντελεστές γραμμάτων είναι με αλφαβητική σειρά. Ας παρουσιάσουμε μονώνυμα ρε)Και και)στην τυπική όψη.
ρε) 2α 2 ∙(-3,5β) 3=2a 2 ∙(-3,5) 3 ∙b 3 =-2a 2 ∙3,5∙3,5∙3,5∙b 3 = -85,75a 2 b 3;
και) 8ac∙2,5a 2 ∙(-3c 3)=-8∙2,5∙3a 3 c 3 = -60a 3 c 3 .
III.Το άθροισμα των εκθετών όλων των μεταβλητών που περιλαμβάνονται σε ένα μονώνυμο ονομάζεται βαθμός του μονωνύμου.
Παραδείγματα.Τι βαθμό έχουν τα μονώνυμα; α) - ζ);
α) α.Πρώτα;
σι) αβ.Δεύτερος: ΕΝΑστον πρώτο βαθμό και σιστην πρώτη δύναμη - το άθροισμα των δεικτών 1+1=2 ;
V) 12. Μηδέν, αφού δεν υπάρχουν συντελεστές γραμμάτων.
ΣΟΛ) -3γ.Πρώτα;
ρε) -85,75a 2 b 3 .Πέμπτος. Έχουμε περιορίσει αυτό το μονώνυμο σε τυπική μορφή, έχουμε ΕΝΑσε δεύτερο βαθμό και σιστο τρίτο. Ας αθροίσουμε τους δείκτες: 2+3=5 ;
μι) -123,45xy 5 z.Εβδομος. Προσθέσαμε τους εκθέτες των παραγόντων των γραμμάτων: 1+5+1=7 ;
και) -60a 3 c 3 .Έκτο, αφού το άθροισμα των εκθετών των παραγόντων του γράμματος 3+3=6 .
IV. Τα μονώνυμα που έχουν το ίδιο γράμμα ονομάζονται παρόμοια μονώνυμα.
Παράδειγμα.Να αναφέρετε όμοια μονώνυμα ανάμεσα στα δοσμένα μονώνυμα 1) -7).
1) 3aabbc; 2) -4,1a 3 π.Χ. 3) 56a 2 b 2 c; 4) 98,7a 2 bac; 5) 10aaa 2 x; 6) -2,3a 4 x; 7) 34 x 2 ε.
Ας παρουσιάσουμε τα μονώνυμα 1), 4) Και 5) στην τυπική όψη. Τότε η γραμμή δεδομένων μονωνύμων θα μοιάζει με αυτό:
1) 3a 2 b 2 c; 2) -4,1a 3 π.Χ. 3) 56a 2 b 2 c; 4) 98,7a 3 π.Χ. 5) 10a 4x; 6) -2,3a 4 x; 7) 34 x 2 ε.
Παρόμοια θα είναι αυτά που έχουν το ίδιο γράμμα, δηλ. 1) και 3) ; 2) και 4); 5) και 6).
1) 3α 2 β 2 γ και 3) 56a 2 b 2 c;
2) -4,1α 3 π.Χ και 4) 98,7a 3 π.Χ.
5) 10a 4 x και 6) -2,3a 4 x.
Σημειώσαμε ότι οποιοδήποτε μονώνυμο μπορεί να είναι φέρνουν σε τυπική μορφή. Σε αυτό το άρθρο θα καταλάβουμε τι ονομάζεται μεταφορά ενός μονωνύμου σε τυπική μορφή, ποιες ενέργειες επιτρέπουν τη διεξαγωγή αυτής της διαδικασίας και θα εξετάσουμε λύσεις σε παραδείγματα με λεπτομερείς επεξηγήσεις.
Πλοήγηση στη σελίδα.
Τι σημαίνει η μείωση ενός μονωνύμου σε τυπική μορφή;
Είναι βολικό να εργάζεστε με μονώνυμα όταν είναι γραμμένα σε τυπική μορφή. Ωστόσο, αρκετά συχνά τα μονώνυμα καθορίζονται με διαφορετική μορφή από την τυπική. Σε αυτές τις περιπτώσεις, μπορείτε πάντα να μεταβείτε από το αρχικό μονώνυμο σε ένα μονώνυμο της τυπικής φόρμας εκτελώντας μετασχηματισμούς ταυτότητας. Η διαδικασία διεξαγωγής τέτοιων μετασχηματισμών ονομάζεται αναγωγή ενός μονωνύμου σε τυπική μορφή.
Ας συνοψίσουμε τα παραπάνω επιχειρήματα. Μειώστε το μονώνυμο σε τυπική μορφή- αυτό σημαίνει την εκτέλεση πανομοιότυπων μετασχηματισμών με αυτό, ώστε να πάρει μια τυπική μορφή.
Πώς να φέρετε ένα μονώνυμο σε τυπική μορφή;
Ήρθε η ώρα να καταλάβουμε πώς να μειώσουμε τα μονώνυμα σε τυπική μορφή.
Όπως είναι γνωστό από τον ορισμό, τα μονώνυμα μη τυπικής μορφής είναι γινόμενα αριθμών, μεταβλητών και των δυνάμεών τους, και πιθανώς επαναλαμβανόμενων. Και ένα μονώνυμο της τυπικής φόρμας μπορεί να περιέχει στη σημειογραφία του μόνο έναν αριθμό και μη επαναλαμβανόμενες μεταβλητές ή τις δυνάμεις τους. Τώρα μένει να καταλάβουμε πώς να φέρουμε τα προϊόντα του πρώτου τύπου στον τύπο του δεύτερου;
Για να το κάνετε αυτό πρέπει να χρησιμοποιήσετε τα παρακάτω ο κανόνας για τη μείωση ενός μονωνύμου σε τυπική μορφήπου αποτελείται από δύο βήματα:
- Πρώτον, εκτελείται μια ομαδοποίηση αριθμητικών παραγόντων, καθώς και πανομοιότυπων μεταβλητών και οι δυνάμεις τους.
- Δεύτερον, υπολογίζεται και εφαρμόζεται το γινόμενο των αριθμών.
Ως αποτέλεσμα της εφαρμογής του αναφερόμενου κανόνα, οποιοδήποτε μονώνυμο θα μειωθεί σε τυπική μορφή.
Παραδείγματα, λύσεις
Το μόνο που μένει είναι να μάθουμε πώς να εφαρμόζουμε τον κανόνα από την προηγούμενη παράγραφο κατά την επίλυση παραδειγμάτων.
Παράδειγμα.
Μειώστε το μονώνυμο 3 x 2 x 2 σε τυπική μορφή.
Διάλυμα.
Ας ομαδοποιήσουμε αριθμητικούς παράγοντες και παράγοντες με μεταβλητή x. Μετά την ομαδοποίηση, το αρχικό μονώνυμο θα πάρει τη μορφή (3·2)·(x·x 2) . Το γινόμενο των αριθμών στις πρώτες αγκύλες είναι ίσο με 6 και ο κανόνας για τον πολλαπλασιασμό των δυνάμεων με τις ίδιες βάσεις επιτρέπει την παράσταση στις δεύτερες αγκύλες ως x 1 +2=x 3. Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε ένα πολυώνυμο της τυπικής μορφής 6 x 3.
Ακολουθεί μια σύντομη περίληψη της λύσης: 3 x 2 x 2 =(3 2) (x x 2)=6 x 3.
Απάντηση:
3 x 2 x 2 = 6 x 3.
Έτσι, για να φέρετε ένα μονώνυμο σε μια τυπική μορφή, πρέπει να είστε σε θέση να ομαδοποιήσετε παράγοντες, να πολλαπλασιάσετε αριθμούς και να εργαστείτε με δυνάμεις.
Για να εμπεδώσουμε το υλικό, ας λύσουμε ένα ακόμη παράδειγμα.
Παράδειγμα.
Να παρουσιάσετε το μονώνυμο σε τυπική μορφή και να δηλώσετε τον συντελεστή του.
Διάλυμα.
Το αρχικό μονώνυμο έχει έναν μόνο αριθμητικό παράγοντα στον συμβολισμό του -1, ας το μεταφέρουμε στην αρχή. Μετά από αυτό, θα ομαδοποιήσουμε χωριστά τους παράγοντες με τη μεταβλητή a, ξεχωριστά με τη μεταβλητή b, και δεν υπάρχει τίποτα για να ομαδοποιήσουμε τη μεταβλητή m, θα την αφήσουμε ως έχει, έχουμε 
. Αφού εκτελέσουμε πράξεις με μοίρες σε αγκύλες, το μονώνυμο θα πάρει την τυπική μορφή που χρειαζόμαστε, από την οποία μπορούμε να δούμε τον συντελεστή του μονωνύμου, ίσο με -1. Το μείον ένα μπορεί να αντικατασταθεί με ένα σύμβολο μείον: .
Η έννοια του μονωνύμου
Ορισμός μονωνύμου: Το μονώνυμο είναι μια αλγεβρική έκφραση που χρησιμοποιεί μόνο πολλαπλασιασμό.
Τυπική μορφή μονωνύμου
Ποια είναι η τυπική μορφή ενός μονωνύμου; Ένα μονώνυμο γράφεται σε τυπική μορφή, αν έχει αρχικά έναν αριθμητικό παράγοντα και αυτός ο παράγοντας ονομάζεται συντελεστής του μονωνύμου, υπάρχει μόνο ένα στο μονώνυμο, τα γράμματα του μονωνύμου είναι ταξινομημένα με αλφαβητική σειρά και κάθε γράμμα εμφανίζεται μόνο μία φορά.
Ένα παράδειγμα μονωνύμου σε τυπική μορφή:
Εδώ στην πρώτη θέση είναι ο αριθμός, ο συντελεστής του μονωνύμου, και αυτός ο αριθμός είναι μόνο ένας στο μονώνυμό μας, κάθε γράμμα εμφανίζεται μόνο μία φορά και τα γράμματα είναι ταξινομημένα με αλφαβητική σειρά, σε αυτήν την περίπτωση είναι το λατινικό αλφάβητο.
Ένα άλλο παράδειγμα μονωνύμου σε τυπική μορφή:
κάθε γράμμα εμφανίζεται μόνο μία φορά, είναι ταξινομημένα με λατινική αλφαβητική σειρά, αλλά πού είναι ο συντελεστής του μονωνύμου, δηλ. ο αριθμητικός παράγοντας που πρέπει να είναι πρώτος; Εδώ ισούται με ένα: 1 adm.
Μπορεί ο συντελεστής ενός μονωνύμου να είναι αρνητικός; Ναι, ίσως, για παράδειγμα: -5α.
Μπορεί ο συντελεστής ενός μονωνύμου να είναι κλασματικός; Ναι, ίσως, για παράδειγμα: 5.2a.
Αν ένα μονώνυμο αποτελείται μόνο από έναν αριθμό, δηλ. δεν έχει γράμματα, πώς μπορώ να το φέρω σε τυπική μορφή; Κάθε μονώνυμο που είναι αριθμός είναι ήδη σε τυπική μορφή, για παράδειγμα: ο αριθμός 5 είναι μονώνυμο σε τυπική μορφή.
Αναγωγή μονοωνύμων σε τυπική μορφή
Πώς να φέρετε ένα μονώνυμο σε τυπική μορφή; Ας δούμε παραδείγματα.
Αφήστε το μονώνυμο 2a4b να δοθεί, πρέπει να το φέρουμε σε τυπική μορφή. Πολλαπλασιάζουμε τους δύο αριθμητικούς του συντελεστές και παίρνουμε 8ab. Τώρα το μονώνυμο γράφεται σε τυπική μορφή, δηλ. έχει μόνο έναν αριθμητικό παράγοντα, γραμμένο στην πρώτη θέση, κάθε γράμμα στο μονώνυμο εμφανίζεται μόνο μία φορά και αυτά τα γράμματα είναι ταξινομημένα με αλφαβητική σειρά. Άρα 2a4b = 8ab.
Δίνεται: μονώνυμο 2a4a, φέρτε το μονώνυμο σε τυπική μορφή. Πολλαπλασιάζουμε τους αριθμούς 2 και 4, αντικαθιστώντας το γινόμενο aa με τη δεύτερη δύναμη του 2. Παίρνουμε: 8a 2 . Αυτή είναι η τυπική μορφή αυτού του μονωνύμου. Άρα 2a4a = 8a 2 .
Παρόμοια μονώνυμα
Τι είναι παρόμοια μονώνυμα; Εάν τα μονώνυμα διαφέρουν μόνο σε συντελεστές ή είναι ίσα, τότε ονομάζονται παρόμοια.
Παράδειγμα παρόμοιων μονωνύμων: 5a και 2a. Αυτά τα μονώνυμα διαφέρουν μόνο σε συντελεστές, πράγμα που σημαίνει ότι είναι παρόμοια.
Είναι παρόμοια τα μονώνυμα 5abc και 10cba; Ας φέρουμε το δεύτερο μονώνυμο σε τυπική μορφή και ας πάρουμε 10abc. Τώρα μπορούμε να δούμε ότι τα μονώνυμα 5abc και 10abc διαφέρουν μόνο στους συντελεστές τους, πράγμα που σημαίνει ότι είναι παρόμοια.
Προσθήκη μονωνύμων
Ποιο είναι το άθροισμα των μονώνυμων; Μπορούμε μόνο να αθροίσουμε παρόμοια μονώνυμα. Ας δούμε ένα παράδειγμα προσθήκης μονοωνύμων. Ποιο είναι το άθροισμα των μονοωνύμων 5a και 2a; Το άθροισμα αυτών των μονωνύμων θα είναι ένα μονώνυμο παρόμοιο με αυτά, ο συντελεστής του οποίου είναι ίσος με το άθροισμα των συντελεστών των όρων. Άρα, το άθροισμα των μονοωνύμων είναι 5a + 2a = 7a.
Περισσότερα παραδείγματα προσθήκης μονωνύμων:
2a 2 + 3a 2 = 5a 2
2a 2 b 3 c 4 + 3a 2 b 3 c 4 = 5a 2 b 3 c 4
Πάλι. Μπορείτε να προσθέσετε μόνο παρόμοια μονώνυμα.
Αφαίρεση μονοωνύμων
Ποια είναι η διαφορά μεταξύ των μονοωνύμων; Μπορούμε μόνο να αφαιρέσουμε παρόμοια μονώνυμα. Ας δούμε ένα παράδειγμα αφαίρεσης μονοωνύμων. Ποια είναι η διαφορά μεταξύ των μονοωνύμων 5a και 2a; Η διαφορά αυτών των μονωνύμων θα είναι ένα μονώνυμο όμοιο με αυτά, ο συντελεστής του οποίου είναι ίσος με τη διαφορά των συντελεστών αυτών των μονωνύμων. Άρα, η διαφορά των μονωνύμων είναι 5a - 2a = 3a.
Περισσότερα παραδείγματα αφαίρεσης μονωνύμων:
10a 2 - 3a 2 = 7a 2
5a 2 b 3 c 4 - 3a 2 b 3 c 4 = 2a 2 b 3 c 4
Πολλαπλασιασμός μονοωνύμων
Ποιο είναι το γινόμενο των μονοωνύμων; Ας δούμε ένα παράδειγμα:
εκείνοι. το γινόμενο των μονωνύμων ισούται με ένα μονώνυμα του οποίου οι συντελεστές αποτελούνται από τους παράγοντες των αρχικών μονοωνύμων.
Άλλο παράδειγμα:
2a 2 b 3 * a 5 b 9 = 2a 7 b 12 .
Πώς προέκυψε αυτό το αποτέλεσμα; Κάθε παράγοντας περιέχει "a" στη δύναμη: στον πρώτο - "a" στη δύναμη του 2, και στον δεύτερο - "a" στη δύναμη του 5. Αυτό σημαίνει ότι το γινόμενο θα περιέχει "a" στη δύναμη του 7, γιατί κατά τον πολλαπλασιασμό πανομοιότυπων γραμμάτων, οι εκθέτες των δυνάμεών τους αναδιπλώνονται:
A 2 * a 5 = a 7 .
Το ίδιο ισχύει και για τον παράγοντα «β».
Ο συντελεστής του πρώτου παράγοντα είναι δύο και ο δεύτερος είναι ένας, οπότε το αποτέλεσμα είναι 2 * 1 = 2.
Έτσι υπολογίστηκε το αποτέλεσμα: 2a 7 b 12.
Από αυτά τα παραδείγματα είναι σαφές ότι οι συντελεστές των μονωνύμων πολλαπλασιάζονται και τα πανομοιότυπα γράμματα αντικαθίστανται από το άθροισμα των δυνάμεών τους στο γινόμενο.
