Γιατί δεν μπορείτε να διαιρέσετε με το μηδέν; Σχολικό μάθημα μαθηματικών: γιατί δεν μπορείτε να διαιρέσετε με το μηδέν στο σχολείο.

"Δεν μπορείτε να διαιρέσετε με το μηδέν!" - οι περισσότεροι μαθητές μαθαίνουν αυτόν τον κανόνα από την καρδιά, χωρίς να κάνουν ερωτήσεις. Όλα τα παιδιά ξέρουν τι είναι το «Δεν μπορείς» και τι θα συμβεί αν ρωτήσεις ως απάντηση: «Αλλά στην πραγματικότητα, είναι πολύ ενδιαφέρον και σημαντικό να ξέρεις γιατί δεν μπορείς.

Το θέμα είναι ότι οι τέσσερις πράξεις της αριθμητικής - πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός και διαίρεση - είναι στην πραγματικότητα άνισες. Οι μαθηματικοί αναγνωρίζουν μόνο δύο από αυτά ως έγκυρα - πρόσθεση και πολλαπλασιασμό. Αυτές οι πράξεις και οι ιδιότητές τους περιλαμβάνονται στον ίδιο τον ορισμό της έννοιας του αριθμού. Όλες οι άλλες ενέργειες χτίζονται με τον ένα ή τον άλλο τρόπο από αυτά τα δύο.

Θα εξετάσουμε την αφαίρεση, για παράδειγμα. Τι σημαίνει 5 - 3; Ο μαθητής θα απαντήσει απλά: πρέπει να πάρετε πέντε αντικείμενα, να αφαιρέσετε (να αφαιρέσετε) τρία από αυτά και να δείτε πόσα απομένουν. Αλλά οι μαθηματικοί βλέπουν αυτό το πρόβλημα εντελώς διαφορετικά. Δεν υπάρχει αφαίρεση, μόνο πρόσθεση. Επομένως, ο συμβολισμός 5 - 3 σημαίνει έναν αριθμό που, όταν προστεθεί στον αριθμό 3, θα δώσει τον αριθμό 5. Δηλαδή, το 5 - 3 είναι απλώς μια συντομογραφία της εξίσωσης: x 3 = 5. Δεν υπάρχει αφαίρεση στο αυτή η εξίσωση. Υπάρχει μόνο μια εργασία - να βρείτε έναν κατάλληλο αριθμό.

Το ίδιο συμβαίνει και με τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση. Το λήμμα 8:4 μπορεί να γίνει κατανοητό ως το αποτέλεσμα της διαίρεσης οκτώ στοιχείων σε τέσσερις ίσους σωρούς. Αλλά στην πραγματικότητα, είναι απλώς μια συντομογραφία της εξίσωσης 4 * x = 8.

Εδώ γίνεται σαφές γιατί είναι αδύνατο (ή μάλλον αδύνατο) να διαιρεθεί με το μηδέν. Η εγγραφή 5: 0 είναι μια συντομογραφία για το 0 * x = 5. Δηλαδή, αυτή η εργασία είναι να βρούμε έναν αριθμό που, όταν πολλαπλασιαστεί με το 0, θα δώσει 5. Αλλά ξέρουμε ότι όταν πολλαπλασιαζόμαστε με 0, παίρνουμε πάντα 0. Αυτό είναι μια εγγενής ιδιότητα του μηδενός, αυστηρά μιλώντας, μέρος του ορισμού του.

Δεν υπάρχει τέτοιος αριθμός που όταν πολλαπλασιαστεί με το 0 θα δώσει κάτι διαφορετικό από το μηδέν. Δηλαδή το πρόβλημά μας δεν έχει λύση. (Ναι, αυτό συμβαίνει· δεν έχει κάθε πρόβλημα λύση.) Αυτό σημαίνει ότι η καταχώριση 5:0 δεν αντιστοιχεί σε κανένα συγκεκριμένο αριθμό, και απλώς δεν σημαίνει τίποτα, και επομένως δεν έχει νόημα. Το ανούσιο αυτού του λήμματος εκφράζεται εν συντομία λέγοντας ότι δεν μπορείτε να διαιρέσετε με το μηδέν.

Οι πιο προσεκτικοί αναγνώστες σε αυτό το μέρος σίγουρα θα ρωτήσουν: είναι δυνατόν να διαιρέσουμε το μηδέν με το μηδέν; Στην πραγματικότητα, η εξίσωση 0 * x = 0 μπορεί να λυθεί με ασφάλεια. Για παράδειγμα, μπορούμε να πάρουμε x = 0, και μετά να πάρουμε 0 * 0 = 0. Άρα, 0: 0=0; Αλλά ας μην βιαζόμαστε. Ας προσπαθήσουμε να πάρουμε x = 1. Παίρνουμε 0 * 1 = 0. σωστά; Άρα 0:0 = 1; Αλλά με αυτόν τον τρόπο μπορείτε να πάρετε οποιονδήποτε αριθμό και να πάρετε 0: 0 = 5, 0: 0 = 317, κ.λπ.

Αλλά αν κάποιος αριθμός είναι κατάλληλος, τότε δεν έχουμε λόγο να επιλέξουμε κάποιο από αυτά. Δηλαδή, δεν μπορούμε να πούμε σε ποιον αριθμό αντιστοιχεί το λήμμα 0:0 Και αν ναι, τότε αναγκαζόμαστε να παραδεχτούμε ότι και αυτό το λήμμα δεν έχει νόημα. Αποδεικνύεται ότι ακόμη και το μηδέν δεν μπορεί να διαιρεθεί με το μηδέν. (Στη μαθηματική ανάλυση, υπάρχουν περιπτώσεις όπου, χάρη σε πρόσθετες συνθήκες του προβλήματος, μπορεί κανείς να δώσει προτίμηση σε μία από τις πιθανές λύσεις της εξίσωσης 0 * x = 0· σε τέτοιες περιπτώσεις, οι μαθηματικοί μιλούν για "Αποκάλυψη της αβεβαιότητας", αλλά στην αριθμητική τέτοιες περιπτώσεις δεν συμβαίνουν Αυτή είναι η ιδιαιτερότητα του Υπάρχουν πράξεις διαίρεσης.

Λοιπόν, οι πιο σχολαστικοί, έχοντας διαβάσει ως εδώ, μπορεί να ρωτήσουν: γιατί συμβαίνει να μην μπορείτε να διαιρέσετε με το μηδέν, αλλά μπορείτε να αφαιρέσετε το μηδέν; Κατά μία έννοια, εδώ ξεκινούν τα πραγματικά μαθηματικά. Μπορείτε να απαντήσετε μόνο αν εξοικειωθείτε με τους επίσημους μαθηματικούς ορισμούς των αριθμητικών συνόλων και των πράξεων σε αυτά. Δεν είναι τόσο δύσκολο, αλλά για κάποιο λόγο δεν διδάσκεται στο σχολείο. Αλλά σε διαλέξεις για τα μαθηματικά στο πανεπιστήμιο, πρώτα απ 'όλα, θα σας διδάξουν ακριβώς αυτό.

Δεν μπορείτε να διαιρέσετε με το μηδέν!» - Οι περισσότεροι μαθητές μαθαίνουν αυτόν τον κανόνα από έξω, χωρίς να κάνουν ερωτήσεις. Όλα τα παιδιά ξέρουν τι είναι το «δεν μπορείς» και τι θα συμβεί αν ρωτήσεις ως απάντηση: «Γιατί;» Αλλά στην πραγματικότητα, είναι πολύ ενδιαφέρον και σημαντικό να γνωρίζουμε γιατί δεν είναι δυνατό.
Το θέμα είναι ότι οι τέσσερις πράξεις της αριθμητικής - πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός και διαίρεση - είναι στην πραγματικότητα άνισες. Οι μαθηματικοί αναγνωρίζουν μόνο δύο από αυτά ως έγκυρα - πρόσθεση και πολλαπλασιασμό. Αυτές οι πράξεις και οι ιδιότητές τους περιλαμβάνονται στον ίδιο τον ορισμό της έννοιας του αριθμού. Όλες οι άλλες ενέργειες χτίζονται με τον ένα ή τον άλλο τρόπο από αυτά τα δύο.

Σκεφτείτε, για παράδειγμα, την αφαίρεση. Τι σημαίνει 5 – 3; Ο μαθητής θα απαντήσει απλά: πρέπει να πάρετε πέντε αντικείμενα, να αφαιρέσετε (να αφαιρέσετε) τρία από αυτά και να δείτε πόσα απομένουν. Αλλά οι μαθηματικοί βλέπουν αυτό το πρόβλημα εντελώς διαφορετικά. Δεν υπάρχει αφαίρεση, μόνο πρόσθεση. Επομένως, ο συμβολισμός 5 – 3 σημαίνει έναν αριθμό που, όταν προστεθεί στον αριθμό 3, θα δώσει τον αριθμό 5. Δηλαδή, το 5 – 3 είναι απλώς μια συντομογραφία της εξίσωσης: x + 3 = 5. Δεν υπάρχει αφαίρεση σε αυτή την εξίσωση. Υπάρχει μόνο μια εργασία - να βρείτε έναν κατάλληλο αριθμό.

Το ίδιο συμβαίνει και με τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση. Το λήμμα 8:4 μπορεί να γίνει κατανοητό ως το αποτέλεσμα της διαίρεσης οκτώ στοιχείων σε τέσσερις ίσους σωρούς. Αλλά στην πραγματικότητα είναι απλώς μια συντομευμένη μορφή της εξίσωσης 4 x = 8.

Εδώ γίνεται σαφές γιατί είναι αδύνατο (ή μάλλον αδύνατο) να διαιρεθεί με το μηδέν. Η εγγραφή 5: 0 είναι μια συντομογραφία για το 0 x = 5. Δηλαδή, αυτή η εργασία είναι να βρούμε έναν αριθμό που, όταν πολλαπλασιαστεί με το 0, θα δώσει 5. Αλλά ξέρουμε ότι όταν πολλαπλασιαστεί με 0, το αποτέλεσμα είναι πάντα 0. Αυτό είναι μια εγγενής ιδιότητα του μηδενός, αυστηρά μιλώντας, μέρος του ορισμού του.

Δεν υπάρχει τέτοιος αριθμός που όταν πολλαπλασιαστεί με το 0 θα δώσει κάτι διαφορετικό από το μηδέν. Δηλαδή το πρόβλημά μας δεν έχει λύση. (Ναι, αυτό συμβαίνει· δεν έχει κάθε πρόβλημα λύση.) Αυτό σημαίνει ότι η καταχώριση 5:0 δεν αντιστοιχεί σε κανένα συγκεκριμένο αριθμό, και απλώς δεν σημαίνει τίποτα και επομένως δεν έχει νόημα. Το ανούσιο αυτού του λήμματος εκφράζεται εν συντομία λέγοντας ότι δεν μπορείτε να διαιρέσετε με το μηδέν.

Οι πιο προσεκτικοί αναγνώστες σε αυτό το μέρος σίγουρα θα ρωτήσουν: είναι δυνατόν να διαιρέσουμε το μηδέν με το μηδέν; Πράγματι, η εξίσωση 0 x = 0 μπορεί να λυθεί με ασφάλεια. Για παράδειγμα, μπορούμε να πάρουμε x = 0, και μετά να πάρουμε 0 · 0 = 0. Άρα, 0: 0=0; Αλλά ας μην βιαζόμαστε. Ας προσπαθήσουμε να πάρουμε x = 1. Παίρνουμε 0 · 1 = 0. Σωστό; Άρα 0:0 = 1; Αλλά με αυτόν τον τρόπο μπορείτε να πάρετε οποιονδήποτε αριθμό και να πάρετε 0: 0 = 5, 0: 0 = 317, κ.λπ.
Αλλά αν κάποιος αριθμός είναι κατάλληλος, τότε δεν έχουμε λόγο να επιλέξουμε κάποιο από αυτά. Δηλαδή, δεν μπορούμε να πούμε σε ποιον αριθμό αντιστοιχεί το λήμμα 0:0 Και αν ναι, τότε αναγκαζόμαστε να παραδεχτούμε ότι και αυτό το λήμμα δεν έχει νόημα. Αποδεικνύεται ότι ακόμη και το μηδέν δεν μπορεί να διαιρεθεί με το μηδέν. (Στη μαθηματική ανάλυση, υπάρχουν περιπτώσεις όπου, λόγω πρόσθετων συνθηκών του προβλήματος, μπορεί κανείς να δώσει προτίμηση σε μία από τις πιθανές λύσεις της εξίσωσης 0 x = 0· σε τέτοιες περιπτώσεις, οι μαθηματικοί μιλούν για «αποκάλυψη αβεβαιότητας», αλλά τέτοια οι περιπτώσεις δεν εμφανίζονται στην αριθμητική.)
Αυτή είναι η ιδιαιτερότητα της επιχείρησης διαίρεσης. Πιο συγκεκριμένα, η πράξη του πολλαπλασιασμού και ο αριθμός που σχετίζεται με αυτήν έχουν μηδέν.

Λοιπόν, οι πιο σχολαστικοί, έχοντας διαβάσει ως εδώ, μπορεί να ρωτήσουν: γιατί συμβαίνει να μην μπορείτε να διαιρέσετε με το μηδέν, αλλά μπορείτε να αφαιρέσετε το μηδέν; Κατά μία έννοια, εδώ ξεκινούν τα πραγματικά μαθηματικά. Μπορείτε να απαντήσετε μόνο αν εξοικειωθείτε με τους επίσημους μαθηματικούς ορισμούς των αριθμητικών συνόλων και των πράξεων σε αυτά. Δεν είναι τόσο δύσκολο, αλλά για κάποιο λόγο δεν διδάσκεται στο σχολείο. Αλλά στις διαλέξεις μαθηματικών στο πανεπιστήμιο, αυτό θα διδαχτείτε πρώτα από όλα.

Η διαίρεση με το 0 εγείρει πολλά ερωτήματα μεταξύ εκείνων των ανθρώπων που σπούδασαν μαθηματικά και είχαν επαφή μαζί τους μόνο στο στάδιο της σχολικής εκπαίδευσης. Την ώρα που το παιδί αρχίζει να μαθαίνει τις πράξεις του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης γενικότερα, έρχεται στη διαίρεση με το μηδέν. Αυτή τη στιγμή, ο δάσκαλος λέει, τις περισσότερες φορές, ότι δεν μπορείτε να διαιρέσετε με το μηδέν και... αυτό είναι.

Οι εξηγήσεις έχουν τελειώσει σε αυτό το στάδιο. Είναι αδύνατο, ακόμα κι αν ραγίσεις

Ο μαθητής βρίσκεται αντιμέτωπος με ένα δίλημμα - να πάρει τους δασκάλους στα λόγια τους και απλώς να γράψει ότι δεν υπάρχει απάντηση στο παράδειγμα όπου εμφανίζεται μια τέτοια πράξη ή να προσπαθήσει να κατανοήσει αυτό το ζήτημα. Αλλά η πλειονότητα των γονέων, που αποφοίτησαν από το σχολείο πριν από πολύ καιρό και πέταξαν με ασφάλεια όλη τη γνώση που τους τύμπανα κατά τη διάρκεια του σχολείου (εκτός από αυτές που τους ήταν τουλάχιστον κατά κάποιο τρόπο χρήσιμες στη ζωή), δεν μπορούν πραγματικά να βοηθήσουν. είτε αυτό το θέμα. Και η λύση είναι σχετικά απλή. Είναι καλό αν ο δάσκαλος προσεγγίσει το ερώτημα γιατί δεν μπορείτε να διαιρέσετε με το μηδέν από μια δημιουργική προοπτική. Για να γίνει αυτό, θα αρκεί να πραγματοποιήσετε συνηθισμένες λειτουργίες με σαφή επίδειξη της διαδικασίας. Για τι πράγμα μιλάμε;

Επίδειξη διαφορετικών επιχειρήσεων διαίρεσης χρησιμοποιώντας ενέργειες που μπορεί να καταλάβει ο καθένας

Μπορείτε να πάρετε πολλά μήλα, ας πούμε έξι από αυτά, και να εξηγήσετε ότι το 6 είναι ο αριθμός που πρέπει να διαιρεθεί, δηλαδή, σύμφωνα με τους μαθηματικούς όρους που έχετε μάθει, είναι το μέρισμα.

Ο δάσκαλος στέκεται κοντά στον πίνακα και υπάρχουν 6 μήλα στο τραπέζι μπροστά του. Στη συνέχεια καλεί δύο άτομα από την τάξη και μοιράζει αυτά τα μήλα εξίσου μεταξύ τους. Δηλαδή, δύο άτομα σε αυτήν την περίπτωση ενεργούν ως διαιρέτες - ο αριθμός με τον οποίο πρέπει να διαιρεθεί το μέρισμα. Ο δάσκαλος δίνει τρία μήλα σε κάθε μαθητή. Δηλαδή, η διαδικασία διαίρεσης συμβαίνει ακριβώς όταν ο δάσκαλος πέρασε τα μήλα στα χέρια των μαθητών. Και τρία μήλα στα χέρια του κάθε παιδιού είναι το πηλίκο της διαίρεσης.

Διαιρώντας το μηδέν με έναν αριθμό - που δείχνει την προέλευση της διαδικασίας

Το ερώτημα γιατί δεν μπορείτε να διαιρέσετε με το μηδέν προκύπτει από την αντίθετη κατάσταση - γιατί μπορείτε να διαιρέσετε το μηδέν με έναν αριθμό; Τώρα είμαστε έξυπνοι και ξέρουμε ότι οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να διαιρεθεί με έναν άλλο, και θα διαιρεθεί με ένα σύνολο ή θα εμφανιστεί ένα κλάσμα, ή ακόμα και ένα αρνητικό πρόσημο, μια ρίζα ή ο αριθμός Pi - όλα είναι πιθανά. Αλλά υπάρχει ένα μυστήριο με το μηδέν και αυτό είναι.

Τι συμβαίνει όταν διαιρούμε το μηδέν με έναν αριθμό;

Για να εξηγήσουμε ότι δεν μπορείτε να διαιρέσετε με το μηδέν, ας δούμε πρώτα τι συμβαίνει όταν το 0 διαιρείται με έναν συγκεκριμένο αριθμό. Ο ίδιος δάσκαλος στέκεται κοντά στον πίνακα και δεν υπάρχει τίποτα στο τραπέζι του. Μπροστά του είναι το κενό, το μηδέν. Όταν οι μαθητές τον πλησιάζουν και απλώνουν τα χέρια τους για να λάβουν το πηλίκο τους, ο δάσκαλος μοιράζεται αυτό το πηλίκο μαζί του απλά αγγίζοντας τις παλάμες τους. Δηλαδή, είχε ένα μεγάλο τίποτα, και αυτό το τίποτα το έδωσε σε δύο μαθητές. Έτσι, γίνεται σαφές ότι η διαίρεση του μηδενός με οποιονδήποτε αριθμό λαμβάνει χώρα, επειδή η διαδικασία μεταφοράς έχει πραγματοποιηθεί. Η μόνη διαφορά είναι ότι με μηδενικό αποτέλεσμα.

Περίπτωση τρίτη

Μια παρόμοια τρίτη κατάσταση πρέπει να πραγματοποιηθεί για να φανεί γιατί είναι αδύνατο να διαιρεθεί με το μηδέν. Ο δάσκαλος έχει πάλι τα ίδια έξι μήλα στα χέρια του ή στο τραπέζι μπροστά του όπως στην πρώτη κατάσταση. Αλλά διαιρούμε με το μηδέν, οπότε κανείς δεν έρχεται σε αυτόν για μήλα.

Δηλαδή, αυτοί οι δύο μαθητές που ανέβηκαν νωρίτερα στην πρώτη κατάσταση αντιπροσώπευαν τον αριθμό 2. Για να αναπαραστήσουν τον αριθμό 0, αποδεικνύεται ότι δεν πρέπει να εμφανιστεί κανείς. Όπως θυμόμαστε, η διαδικασία της διαίρεσης είναι η μεταφορά των μήλων από τα χέρια του δασκάλου στα χέρια των μαθητών. Αλλά τώρα δεν υπάρχουν μαθητές, και η διαδικασία διαίρεσης δεν συμβαίνει σε κανέναν. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο αποδεικνύεται ότι η διαίρεση με το μηδέν είναι αδύνατη. Για τα παιδιά σε σχολικό επίπεδο, αυτή είναι μια στοιχειώδης εξήγηση.

Απλό και εύκολο να εξηγηθεί. Και μετά αφήστε τους καθηγητές του ινστιτούτου να κάνουν το ίδιο

Μετά την είσοδο σε ένα ανώτατο εκπαιδευτικό ίδρυμα και τη μελέτη της έννοιας του ορίου, για παράδειγμα, το ερώτημα γιατί δεν μπορεί κανείς να διαιρέσει με το μηδέν αφαιρείται, επειδή αποδεικνύεται ότι αυτό μπορεί να γίνει. Η διαίρεση κάτι με το μηδέν οδηγεί σε άπειρο, αβεβαιότητα.

Η άπειρη διάσταση ενός τέτοιου αποτελέσματος δεν έχει ακόμη πλήρως προσδιοριστεί και ένα άτομο που δεν έχει ειδική μαθηματική εκπαίδευση δεν είναι σε θέση να καταλάβει γιατί αυτό χρειάζεται, ποιοι στόχοι επιδιώχθηκαν κατά την επίλυση αυτής της λειτουργίας και τι δίνει γενικά . Αλλά για τους μαθητές σχολικής ηλικίας, η εξήγηση που περιγράφεται παραπάνω είναι αρκετή για να ικανοποιήσει την επιθυμία τους να καταλάβουν γιατί είναι ακόμα αδύνατο να διαιρεθεί με το μηδέν - όχι απλώς να το πείτε και να αντιμετωπίσετε τα παιδιά με ένα γεγονός, αλλά να τους δώσετε μια ενδιαφέρουσα και διασκεδαστική εξήγηση .

Γιατί δεν μπορείτε να διαιρέσετε με το μηδέν; - Οι περισσότεροι μαθητές μαθαίνουν αυτόν τον κανόνα από έξω, χωρίς να κάνουν ερωτήσεις. Όλα τα παιδιά ξέρουν τι είναι το «δεν μπορείς» και τι θα συμβεί αν ρωτήσεις ως απάντηση: «Γιατί;» Αλλά στην πραγματικότητα, είναι πολύ ενδιαφέρον και σημαντικό να γνωρίζουμε γιατί δεν είναι δυνατό. Το θέμα είναι ότι οι τέσσερις πράξεις της αριθμητικής - πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός και διαίρεση - είναι στην πραγματικότητα άνισες. Οι μαθηματικοί αναγνωρίζουν μόνο δύο από αυτά ως έγκυρα - πρόσθεση και πολλαπλασιασμό. Αυτές οι πράξεις και οι ιδιότητές τους περιλαμβάνονται στον ίδιο τον ορισμό της έννοιας του αριθμού. Όλες οι άλλες ενέργειες χτίζονται με τον ένα ή τον άλλο τρόπο από αυτά τα δύο. Σκεφτείτε, για παράδειγμα, την αφαίρεση. Τι σημαίνει 5 – 3; Ο μαθητής θα απαντήσει απλά: πρέπει να πάρετε πέντε αντικείμενα, να αφαιρέσετε (να αφαιρέσετε) τρία από αυτά και να δείτε πόσα απομένουν. Αλλά οι μαθηματικοί βλέπουν αυτό το πρόβλημα εντελώς διαφορετικά. Δεν υπάρχει αφαίρεση, μόνο πρόσθεση. Επομένως, ο συμβολισμός 5 – 3 σημαίνει έναν αριθμό που, όταν προστεθεί στον αριθμό 3, θα δώσει τον αριθμό 5. Δηλαδή, το 5 – 3 είναι απλώς μια συντομογραφία της εξίσωσης: x + 3 = 5. Δεν υπάρχει αφαίρεση σε αυτή την εξίσωση. Υπάρχει μόνο μια εργασία - να βρείτε έναν κατάλληλο αριθμό.Το ίδιο συμβαίνει και με τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση. Το λήμμα 8:4 μπορεί να γίνει κατανοητό ως το αποτέλεσμα της διαίρεσης οκτώ στοιχείων σε τέσσερις ίσους σωρούς. Αλλά στην πραγματικότητα είναι απλώς μια συντομευμένη μορφή της εξίσωσης 4 x = 8.Εδώ γίνεται σαφές γιατί είναι αδύνατο (ή μάλλον αδύνατο) να διαιρεθεί με το μηδέν. Η εγγραφή 5: 0 είναι μια συντομογραφία για το 0 x = 5. Δηλαδή, αυτή η εργασία είναι να βρούμε έναν αριθμό που, όταν πολλαπλασιαστεί με το 0, θα δώσει 5. Αλλά ξέρουμε ότι όταν πολλαπλασιαστεί με 0, το αποτέλεσμα είναι πάντα 0. Αυτό είναι μια εγγενής ιδιότητα του μηδενός, αυστηρά μιλώντας, μέρος του ορισμού του.Δεν υπάρχει τέτοιος αριθμός που όταν πολλαπλασιαστεί με το 0 θα δώσει κάτι διαφορετικό από το μηδέν. Δηλαδή το πρόβλημά μας δεν έχει λύση. (Ναι, αυτό συμβαίνει· δεν έχει κάθε πρόβλημα λύση.) Αυτό σημαίνει ότι η καταχώριση 5:0 δεν αντιστοιχεί σε κανένα συγκεκριμένο αριθμό, και απλώς δεν σημαίνει τίποτα και επομένως δεν έχει νόημα. Το ανούσιο αυτού του λήμματος εκφράζεται εν συντομία λέγοντας ότι δεν μπορείτε να διαιρέσετε με το μηδέν.Οι πιο προσεκτικοί αναγνώστες σε αυτό το μέρος σίγουρα θα ρωτήσουν: είναι δυνατόν να διαιρέσουμε το μηδέν με το μηδέν; Πράγματι, η εξίσωση 0 x = 0 μπορεί να λυθεί με ασφάλεια. Για παράδειγμα, μπορούμε να πάρουμε x = 0, και μετά να πάρουμε 0 · 0 = 0. Άρα, 0: 0=0; Αλλά ας μην βιαζόμαστε. Ας προσπαθήσουμε να πάρουμε x = 1. Παίρνουμε 0 · 1 = 0. Σωστό; Άρα 0:0 = 1; Αλλά με αυτόν τον τρόπο μπορείτε να πάρετε οποιονδήποτε αριθμό και να πάρετε 0: 0 = 5, 0: 0 = 317, κ.λπ.Αλλά αν κάποιος αριθμός είναι κατάλληλος, τότε δεν έχουμε λόγο να επιλέξουμε κάποιο από αυτά. Δηλαδή, δεν μπορούμε να πούμε σε ποιον αριθμό αντιστοιχεί το λήμμα 0:0 Και αν ναι, τότε αναγκαζόμαστε να παραδεχτούμε ότι και αυτό το λήμμα δεν έχει νόημα. Αποδεικνύεται ότι ακόμη και το μηδέν δεν μπορεί να διαιρεθεί με το μηδέν. (Στη μαθηματική ανάλυση, υπάρχουν περιπτώσεις όπου, λόγω πρόσθετων συνθηκών του προβλήματος, μπορεί κανείς να δώσει προτίμηση σε μία από τις πιθανές λύσεις της εξίσωσης 0 x = 0· σε τέτοιες περιπτώσεις, οι μαθηματικοί μιλούν για «αποκάλυψη αβεβαιότητας», αλλά τέτοια οι περιπτώσεις δεν εμφανίζονται στην αριθμητική.)Αυτή είναι η ιδιαιτερότητα της επιχείρησης διαίρεσης. Πιο συγκεκριμένα, η πράξη του πολλαπλασιασμού και ο αριθμός που σχετίζεται με αυτήν έχουν μηδέν. Λοιπόν, οι πιο σχολαστικοί, έχοντας διαβάσει ως εδώ, μπορεί να ρωτήσουν: γιατί συμβαίνει να μην μπορείτε να διαιρέσετε με το μηδέν, αλλά μπορείτε να αφαιρέσετε το μηδέν; Κατά μία έννοια, εδώ ξεκινούν τα πραγματικά μαθηματικά. Μπορείτε να απαντήσετε μόνο αν εξοικειωθείτε με τους επίσημους μαθηματικούς ορισμούς των αριθμητικών συνόλων και των πράξεων σε αυτά. Δεν είναι τόσο δύσκολο, αλλά για κάποιο λόγο δεν διδάσκεται στο σχολείο. Αλλά στις διαλέξεις μαθηματικών στο πανεπιστήμιο, αυτό θα διδαχτείτε πρώτα από όλα.

Όλοι ή σχεδόν όλοι από το σχολικό πρόγραμμα ξέρουν ότι είναι αδύνατο να κάνουμε το μηδέν. Είναι αλήθεια ότι αυτό μας παρουσιάστηκε ως αξίωμα, λένε, είναι αδύνατο, τελεία. Αλλά γιατί όχι και τι θα γίνει αν προσπαθήσεις; Δεν είναι σε θέση κάθε δάσκαλος να απαντήσει σε μια τέτοια ερώτηση.

Γιατί λοιπόν δεν μπορείτε να διαιρέσετε με το μηδέν;

Είναι γνωστό ότι η διαίρεση, ως τέτοια, είναι μία από τις τέσσερις κύριες αριθμητικές μεθόδους χειρισμού αριθμών. Τα άλλα τρία είναι η αφαίρεση, η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός. Ωστόσο, οι επιστήμονες θεωρούν ότι μόνο δύο από αυτά είναι πλήρεις και ως εκ τούτου η προτεραιότητα είναι μεγαλύτερη. Όσοι από εμάς, μετά το σχολείο, πήγαμε για σπουδές σε πανεπιστήμια και ιδρύματα, με άλλα λόγια, ακολουθήσαμε την τριτοβάθμια εκπαίδευση, μάθαμε ότι, καταρχήν, μπορείς να διαιρέσεις με το μηδέν, αλλά το αποτέλεσμα είναι άπειρο. Αποδεικνύεται περίεργο ότι αν πολλαπλασιάσετε με το μηδέν, το αποτέλεσμα γίνεται τίποτα, δηλαδή το ίδιο το μηδέν, αλλά αν διαιρέσετε με αυτό, θα έχετε άπειρο, το οποίο είναι δύσκολο για τον ανθρώπινο εγκέφαλο να κατανοήσει και υποδεικνύεται από ένα συγκεκριμένο εικονίδιο στο τη μορφή ενός σχήματος οκτώ που βρίσκεται στο πλάι του.

Γιατί λοιπόν όχι; Έτσι, οποιοσδήποτε αριθμός διαιρούμενος με το μηδέν μπορεί να γραφτεί με αντίστροφη σειρά. Με άλλα λόγια, εάν ως αποτέλεσμα μιας τέτοιας διαίρεσης θεωρητικά προέκυψε ένας ορισμένος αριθμός, ας τον ονομάσουμε Α, τότε για να γράψουμε την ενέργεια με την αντίστροφη σειρά, το Α πρέπει να είναι τέτοιο ώστε μετά τον πολλαπλασιασμό του με το μηδέν να προκύπτει ένας διαιρετικός αριθμός. . Αλλά είναι γνωστό ότι οποιοσδήποτε αριθμός πολλαπλασιαζόμενος με το μηδέν δίνει ένα σύνολο μηδέν, επειδή λαμβάνεται μηδέν φορές, δηλαδή όχι μία φορά Το αποτέλεσμα οποιασδήποτε έκφρασης μπορεί να συνδυαστεί σε αυτόν τον τύπο:

(Οποιοσδήποτε αριθμός) / 0 = άπειρο.

Είναι περίεργο ότι ο μαθηματικός όρος «άπειρο» διαφέρει από τη φιλοσοφική εκδοχή. Αυτή η ποσότητα μπορεί να μετρηθεί καθαρά θεωρητικά, επομένως, δεν έχει όρια, αλλά έχει, όπως ήταν, όγκο.

Μεμονωμένη περίπτωση

Μια πολύ ιδιαίτερη περίπτωση είναι η διαίρεση του μηδενός με το μηδέν, γιατί σε αυτήν την περίπτωση, θεωρητικά, το αποτέλεσμα της ενέργειας μπορεί να είναι οτιδήποτε. Αλλά τότε υπάρχει άπειρος αριθμός απαντήσεων σε αυτό το ερώτημα, και κατά συνέπεια, η απάντηση ακούγεται ακόμα πιο αληθινή: το άπειρο.

Δεν υπάρχει απολύτως καμία ανάγκη για τους μαθητές να εξηγήσουν όλες αυτές τις λεπτές αποχρώσεις, εκτός αυτού, το μυαλό του παιδιού δεν αντιλαμβάνεται και δεν φαντάζεται καλά τον περίπλοκο όρο "άπειρο", επομένως είναι πολύ πιο εύκολο και ακόμη πιο αποτελεσματικό να θεσπιστεί απαγόρευση αυτής της δράσης. Αυτό μοιάζει με το πώς απαγορεύεται πρώτα τα παιδιά και μόνο τότε, καθώς μεγαλώνουν, εξηγείται η φύση κάθε συγκεκριμένου «όχι».

Γνωρίζεις;

• Η καμηλοπάρδαλη θεωρείται το ψηλότερο ζώο στον κόσμο, το ύψος της φτάνει τα 5,5 μέτρα. Κυρίως λόγω του μακριού λαιμού. Παρά το γεγονός ότι σε [...]
• Πολλοί θα συμφωνήσουν ότι οι γυναίκες σε αυτή τη θέση γίνονται ιδιαίτερα δεισιδαιμονικές, είναι πιο επιρρεπείς από άλλες σε κάθε είδους δεισιδαιμονίες και […]
• Είναι σπάνιο να συναντήσεις ένα άτομο που δεν βρίσκει τη τριανταφυλλιά όμορφη. Αλλά, ταυτόχρονα, είναι κοινή γνώση. Ότι τέτοια φυτά είναι αρκετά τρυφερά [...]
• Όποιος μπορεί να πει με σιγουριά ότι δεν γνωρίζει ότι οι άνδρες παρακολουθούν ταινίες πορνό θα πει ψέματα με τον πιο κραυγαλέο τρόπο. Φυσικά φαίνονται, απλά [...]
• Πιθανώς δεν υπάρχει ιστότοπος ή φόρουμ αυτοκινήτων που να σχετίζεται με το αυτοκίνητο στον Παγκόσμιο Ιστό όπου η ερώτηση σχετικά με […]
• Το σπουργίτι είναι ένα αρκετά κοινό πουλί στον κόσμο του μικρού μεγέθους και του ετερόκλητου χρώματος. Όμως η ιδιαιτερότητά του έγκειται στο γεγονός ότι [...]
• Το γέλιο και τα δάκρυα, ή μάλλον το κλάμα, είναι δύο άμεσα αντίθετα συναισθήματα. Αυτό που είναι γνωστό για αυτούς είναι ότι και οι δύο είναι συγγενείς, και όχι [...]