Σε ένα πρακτικό μάθημα, θα εξετάσουμε αυτό το μονοπάτι και θα συγκρίνουμε τα αποτελέσματα της προσομοίωσης με μια θεωρητική λύση. Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων συστημάτων ουράς

Μαθηματικό (αφηρημένο) αντικείμενο, τα στοιχεία του οποίου είναι (Εικ. 2.1):

• εισερχόμενη (εισερχόμενη) ροή εφαρμογών (απαιτήσεις) για εξυπηρέτηση.
• συσκευές εξυπηρέτησης (κανάλια).
• μια ουρά αιτήσεων σε αναμονή εξυπηρέτησης.
• ροή εξόδου (εξερχόμενη) των εξυπηρετούμενων αιτημάτων.
• τη ροή των αιτημάτων για μετέπειτα φροντίδα μετά τη διακοπή της υπηρεσίας·
• ροή μη εξυπηρετούμενων αιτημάτων.

Αίτηση(αίτημα, απαίτηση, κλήση, πελάτης, μήνυμα, πακέτο) - ένα αντικείμενο που εισέρχεται στο QS και απαιτεί σέρβις στη συσκευή. Το σύνολο των διαδοχικών αιτήσεων που κατανέμονται σε μορφή χρόνου ροή εισόδου εφαρμογών.

Ρύζι. 2.1.

συσκευή σέρβις(συσκευή, συσκευή, κανάλι, γραμμή, εργαλείο, αυτοκίνητο, δρομολογητής κ.λπ.) - Στοιχείο QS, σκοπός του οποίου είναι η εξυπηρέτηση των αιτημάτων.

Υπηρεσία- καθυστέρηση της αίτησης στη συσκευή σέρβις για κάποιο χρονικό διάστημα.

Διάρκεια υπηρεσίας- χρόνος καθυστέρησης (service) της εφαρμογής στη συσκευή.

Συσκευή αποθήκευσης(buffer, input buffer, output buffer) - ένα σύνολο θέσεων αναμονής για εφαρμογές μπροστά από τη συσκευή εξυπηρέτησης. Αριθμός θέσεων αναμονής - χωρητικότητα αποθήκευσης.

Μια αίτηση που λαμβάνεται από τον ΚΟΑ μπορεί να είναι σε δύο καταστάσεις:

• 1) υπηρεσία(στη συσκευή)
• 2) προσδοκίες(στον συσσωρευτή), εάν όλες οι συσκευές είναι απασχολημένες με την εξυπηρέτηση άλλων αιτημάτων.

Οι αξιώσεις στο έντυπο συσσωρευτή και σε αναμονή υπηρεσίας στροφήεφαρμογές. Ο αριθμός των εφαρμογών στον συσσωρευτή σε αναμονή υπηρεσίας - μήκος ουράς.

Προσωρινή πειθαρχία(Πειθαρχία ουράς) - ο κανόνας για την εισαγωγή εισερχόμενων εφαρμογών στη μονάδα δίσκου (buffer).

Υπηρεσιακή πειθαρχία- ο κανόνας για την επιλογή αιτημάτων από την ουρά για σέρβις στη συσκευή.

Μια προτεραιότητα- δικαίωμα προαίρεσης (σύλληψη πόρων) για είσοδο στον συσσωρευτή ή επιλογή από την ουρά για σέρβις στις εφαρμογές συσκευών μιας κατηγορίας σε σχέση με εφαρμογές άλλων κλάσεων.

Υπάρχουν πολλά συστήματα ουράς που διαφέρουν ως προς τη δομική και λειτουργική οργάνωση. Ταυτόχρονα, η ανάπτυξη αναλυτικών μεθόδων για τον υπολογισμό των δεικτών απόδοσης του QS σε πολλές περιπτώσεις περιλαμβάνει έναν αριθμό περιορισμών και υποθέσεων που περιορίζουν το σύνολο των υπό μελέτη QS. Να γιατί δεν υπάρχει γενικό αναλυτικό μοντέλο για μια αυθαίρετη πολύπλοκη δομή QS.

Το αναλυτικό μοντέλο QS είναι ένα σύνολο εξισώσεων ή τύπων που επιτρέπουν τον προσδιορισμό των πιθανοτήτων των καταστάσεων του συστήματος κατά τη διάρκεια της λειτουργίας του και των δεικτών απόδοσης με βάση τις γνωστές παραμέτρους της εισερχόμενης ροής και των καναλιών εξυπηρέτησης, της προσωρινής αποθήκευσης και των κλάδων υπηρεσιών.

Η αναλυτική μοντελοποίηση του QS διευκολύνεται πολύ εάν οι διεργασίες που συμβαίνουν στο QS είναι Μαρκοβιανές (η ροή των εφαρμογών είναι η απλούστερη, οι χρόνοι εξυπηρέτησης κατανέμονται εκθετικά). Σε αυτή την περίπτωση, όλες οι διαδικασίες στο QS μπορούν να περιγραφούν με συνηθισμένες διαφορικές εξισώσεις και στην οριακή περίπτωση - για στατικές καταστάσεις - με γραμμικές αλγεβρικές εξισώσεις και, αφού τις λύσουμε με οποιεσδήποτε διαθέσιμες μεθόδους σε πακέτα μαθηματικού λογισμικού, να προσδιορίσουμε τους επιλεγμένους δείκτες απόδοσης .

Στα συστήματα IM, κατά την εφαρμογή του QS, γίνονται αποδεκτοί οι ακόλουθοι περιορισμοί και υποθέσεις:

• εφαρμογή που έχει εισαχθεί στο σύστημα στη στιγμήτίθεται σε λειτουργία εάν δεν υπάρχουν αιτήματα στην ουρά και η συσκευή είναι δωρεάν.
• στη συσκευή για συντήρηση ανά πάσα στιγμή μπορεί να είναι μόνο έναςαίτηση;
• μετά το τέλος της εξυπηρέτησης οποιουδήποτε αιτήματος στη συσκευή, επιλέγεται το επόμενο αίτημα από την ουρά για άμεση εξυπηρέτηση, δηλαδή η συσκευή δεν αδρανείεάν υπάρχει τουλάχιστον μία εφαρμογή στην ουρά.
• η παραλαβή των αιτήσεων στο QS και η διάρκεια της υπηρεσίας τους δεν εξαρτώνται από τον αριθμό των αιτήσεων που υπάρχουν ήδη στο σύστημα ή από άλλους παράγοντες.
• η διάρκεια των αιτημάτων εξυπηρέτησης δεν εξαρτάται από την ένταση των αιτημάτων που εισέρχονται στο σύστημα.

Ας σταθούμε σε ορισμένα στοιχεία του QS με περισσότερες λεπτομέρειες.

Εισαγωγή (εισερχόμενη) ροή εφαρμογών. Η ροή των γεγονότωνονομάζεται μια ακολουθία ομοιογενών γεγονότων που ακολουθούν το ένα μετά το άλλο και συμβαίνουν σε ορισμένα, γενικά, τυχαίοςσημεία στο χρόνο. Εάν το συμβάν συνίσταται στην εμφάνιση αξιώσεων, έχουμε ροή εφαρμογής.Για να περιγράψουμε τη ροή των εφαρμογών στη γενική περίπτωση, είναι απαραίτητο να ορίσουμε τα χρονικά διαστήματα t = t k - t k-1ανάμεσα σε παρακείμενες στιγμές t k _ kκαι t kπαραλαβή αιτήσεων με αύξοντες αριθμούς προς την - 1 και προς τηναντίστοιχα (προς την - 1, 2, ...; t 0 - 0 - αρχική χρονική στιγμή).

Το κύριο χαρακτηριστικό της ροής εφαρμογής είναι Χ ένταση- ο μέσος αριθμός εφαρμογών που φτάνουν στην είσοδο QS ανά μονάδα χρόνου. Τιμή t = 1/Χορίζει το μέσο χρονικό διάστημα μεταξύ δύο διαδοχικών εντολών.

Η ροή ονομάζεται ντετερμινιστικήεάν υπάρχουν χρονικά διαστήματα t ναμεταξύ γειτονικών εφαρμογών λαμβάνουν ορισμένες προ-γνωστές τιμές. Αν τα μεσοδιαστήματα είναι ίδια (x έως= t για όλους k = 1, 2, ...), τότε καλείται η ροή τακτικός.Για μια πλήρη περιγραφή της κανονικής ροής αιτημάτων, αρκεί να ορίσετε την ένταση ροής Χή την τιμή του διαστήματος t = 1/Χ.

Ένα ρεύμα στο οποίο υπάρχουν χρονικά διαστήματα x kμεταξύ γειτονικών εφαρμογών ονομάζονται τυχαίες μεταβλητές τυχαίος.Για μια πλήρη περιγραφή μιας τυχαίας ροής εφαρμογών στη γενική περίπτωση, είναι απαραίτητο να ορίσετε τους νόμους κατανομής F fc (x fc) για κάθε ένα από τα χρονικά διαστήματα x k, k = 1,2,....

Τυχαία ροή στην οποία όλα τα χρονικά διαστήματα x b x 2,... μεταξύ γειτονικών διαδοχικών πελατών είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές που περιγράφονται από τις συναρτήσεις διανομής FjCij), F 2 (x 2), ... αντίστοιχα, ονομάζεται ροή με περιορισμένη συνέπεια.

Ονομάζεται τυχαία ροή επαναλαμβανόμενος,εάν όλα τα χρονικά διαστήματα xb t 2 , ... κατανέμεται μεταξύ των εφαρμογών σύμφωνα με τον ίδιο νόμο F(t). Υπάρχουν πολλές επαναλαμβανόμενες ροές. Κάθε νόμος διανομής δημιουργεί τη δική του επαναλαμβανόμενη ροή. Οι επαναλαμβανόμενες ροές είναι αλλιώς γνωστές ως ροές Palm.

Αν η ένταση Χκαι ο νόμος κατανομής F(t) των διαστημάτων μεταξύ διαδοχικών αιτημάτων δεν αλλάζει με το χρόνο, τότε η ροή των αιτημάτων καλείται ακίνητοςΔιαφορετικά, η ροή της εφαρμογής είναι μη στάσιμος.

Αν σε κάθε στιγμή του χρόνου t kμόνο ένας πελάτης μπορεί να εμφανιστεί στην είσοδο του QS, τότε καλείται η ροή πελατών συνήθης.Εάν μπορούν να εμφανιστούν περισσότερες από μία εφαρμογές ανά πάσα στιγμή, τότε η ροή των εφαρμογών είναι έκτακτος,ή ομάδα.

Η ροή των αιτημάτων ονομάζεται ροή κανένα αποτέλεσμα,εάν ληφθούν αιτήσεις Ανεξάρτητατο ένα από το άλλο, δηλ. η στιγμή παραλαβής της επόμενης αίτησης δεν εξαρτάται από το πότε και πόσες αιτήσεις έχουν ληφθεί πριν από αυτή τη στιγμή.

Μια σταθερή συνηθισμένη ροή χωρίς επακόλουθο ονομάζεται το πιο απλό.

Τα χρονικά διαστήματα t μεταξύ των αιτημάτων στην απλούστερη ροή κατανέμονται ανάλογα εκθετικός (παραδειγματικός) νόμος:με συνάρτηση κατανομής F(t) = 1 - e~ m;πυκνότητα κατανομής/(f) = Χε~"Ελ,όπου Χ > 0 - παράμετρος κατανομής - η ένταση της ροής των εφαρμογών.

Η απλούστερη ροή ονομάζεται συχνά Poisson.Το όνομα προέρχεται από το γεγονός ότι για αυτή τη ροή η πιθανότητα P fc (At) να συμβεί ακριβώς προς τηναιτήσεις για ένα ορισμένο χρονικό διάστημα Καθορίζεται το At Ο νόμος του Poisson:

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι η ροή Poisson, σε αντίθεση με την απλούστερη, μπορεί να είναι:

• ακίνητος,εάν η ένταση Χδεν αλλάζει με την πάροδο του χρόνου.
• μη ακίνητο,εάν ο ρυθμός ροής εξαρτάται από το χρόνο: Χ= >.(t).

Ταυτόχρονα, η απλούστερη ροή, εξ ορισμού, είναι πάντα ακίνητη.

Οι αναλυτικές μελέτες των μοντέλων ουράς πραγματοποιούνται συχνά με την υπόθεση της απλούστερης ροής αιτημάτων, η οποία οφείλεται σε μια σειρά από αξιοσημείωτα χαρακτηριστικά που είναι εγγενή σε αυτήν.

1. Άθροιση (ενοποίηση) ροών. Η απλούστερη ροή στη θεωρία QS είναι παρόμοια με τον νόμο κανονικής κατανομής στη θεωρία πιθανοτήτων: η μετάβαση στο όριο για μια ροή που είναι το άθροισμα ροών με αυθαίρετα χαρακτηριστικά με άπειρη αύξηση του αριθμού των όρων και μείωση της έντασής τους οδηγεί στην απλούστερη ροή.

Αθροισμα Νανεξάρτητες σταθερές συνηθισμένες ροές με εντάσεις x x x 2 ,..., Χ Νσχηματίζει την απλούστερη ροή με ένταση

X=Y,^iυπό την προϋπόθεση ότι οι προστιθέμενες ροές έχουν περισσότερες ή

λιγότερο εξίσου μικρό αντίκτυπο στη συνολική ροή. Στην πράξη, η συνολική ροή είναι κοντά στην απλούστερη στο N > 5. Άρα όταν αθροίζονται ανεξάρτητες απλούστερες ροές, η συνολική ροή θα είναι η απλούστερηγια οποιαδήποτε αξία Ν.

• 2. Πιθανολογική αραίωση της ροής. πιθανολογικός(αλλά μη ντετερμινιστικό) αραίωση η απλούστερη ροήεφαρμογές, στις οποίες οποιαδήποτε εφαρμογή τυχαία με κάποια πιθανότητα Rαποκλείεται από τη ροή ανεξάρτητα από το αν εξαιρούνται ή όχι άλλες εφαρμογές, οδηγεί στον σχηματισμό η απλούστερη ροήμε ένταση Χ* = pX,όπου Χ- ένταση της αρχικής ροής. Η ροή των εξαιρεμένων εφαρμογών με ένταση Χ** = (1 - ρ)Χ- πολύ πρωτόζωοροή.
• 3. Αποτελεσματικότητα. Εάν τα κανάλια (συσκευές) εξυπηρέτησης έχουν σχεδιαστεί για την απλούστερη ροή αιτημάτων με ένταση Χ,τότε η εξυπηρέτηση άλλων τύπων ροών (με την ίδια ένταση) θα παρέχεται με όχι μικρότερη απόδοση.
• 4. Απλότητα. Η υπόθεση της απλούστερης ροής εφαρμογών επιτρέπει σε πολλά μαθηματικά μοντέλα να λάβουν με σαφή μορφή την εξάρτηση των δεικτών QS από παραμέτρους. Ο μεγαλύτερος αριθμός αναλυτικών αποτελεσμάτων λήφθηκε για την απλούστερη ροή εφαρμογών.

Η ανάλυση μοντέλων με ροές εφαρμογών που διαφέρουν από τα απλούστερα συνήθως περιπλέκει τους μαθηματικούς υπολογισμούς και δεν επιτρέπει πάντα την απόκτηση μιας ρητής αναλυτικής λύσης. Η πιο απλή ροή πήρε το όνομά της ακριβώς λόγω αυτού του χαρακτηριστικού.

Οι εφαρμογές ενδέχεται να έχουν διαφορετικά δικαιώματα για την έναρξη της υπηρεσίας. Στην περίπτωση αυτή, οι αιτήσεις λέγονται ότι είναι ετερογενής.Τα πλεονεκτήματα ορισμένων ροών εφαρμογών έναντι άλλων κατά την έναρξη της υπηρεσίας καθορίζονται από προτεραιότητες.

Ένα σημαντικό χαρακτηριστικό της ροής εισόδου είναι ο συντελεστής διακύμανσης

όπου t int - μαθηματική προσδοκία του μήκους του διαστήματος. σχετικά με- τυπική απόκλιση του μήκους του διαστήματος x int (τυχαία μεταβλητή) .

Για την απλούστερη ροή (a = -, m = -) έχουμε v = 1. Για τους περισσότερους

πραγματικές ροές 0

Κανάλια εξυπηρέτησης (συσκευές). Το κύριο χαρακτηριστικό του καναλιού είναι η διάρκεια της υπηρεσίας.

Διάρκεια υπηρεσίας- ο χρόνος που πέρασε η εφαρμογή στη συσκευή - στη γενική περίπτωση, η τιμή είναι τυχαία. Στην περίπτωση μη ομοιόμορφου φορτίου του QS, οι χρόνοι εξυπηρέτησης για αιτήματα διαφορετικών κατηγοριών μπορεί να διαφέρουν ανάλογα με τους νόμους διανομής ή μόνο από τις μέσες τιμές. Σε αυτήν την περίπτωση, συνήθως θεωρείται ότι οι χρόνοι εξυπηρέτησης για αιτήματα κάθε κλάσης είναι ανεξάρτητοι.

Συχνά, οι επαγγελματίες υποθέτουν ότι η διάρκεια των αιτημάτων εξυπηρέτησης κατανέμεται εκθετικός νόμοςπράγμα που απλοποιεί σε μεγάλο βαθμό τους αναλυτικούς υπολογισμούς. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι οι διεργασίες που συμβαίνουν σε συστήματα με εκθετική κατανομή χρονικών διαστημάτων είναι Μάρκοφδιαδικασίες:

όπου γ - ένταση εξυπηρέτησης,εδώ p = _--; t 0 bsl - μαθηματικά-

τικ χρόνος αναμονής για σέρβις.

Εκτός από την εκθετική κατανομή, υπάρχουν οι κατανομές Erlang /c, οι υπερεκθετικές κατανομές, οι τριγωνικές κατανομές και μερικές άλλες. Αυτό δεν πρέπει να μας μπερδεύει, καθώς αποδεικνύεται ότι η τιμή των κριτηρίων απόδοσης QS εξαρτάται ελάχιστα από τη μορφή του νόμου κατανομής χρόνου υπηρεσίας.

Στη μελέτη του QS, η ουσία της υπηρεσίας, η ποιότητα της υπηρεσίας, πέφτει εκτός προσοχής.

Τα κανάλια μπορούν να είναι απολύτως αξιόπιστοεκείνοι. μην αποτύχεις. Αντίθετα, μπορεί να γίνει αποδεκτό στη μελέτη. Τα κανάλια μπορεί να έχουν απόλυτη αξιοπιστία.Σε αυτή την περίπτωση, το μοντέλο QS είναι πολύ πιο περίπλοκο.

Η αποτελεσματικότητα του QS εξαρτάται όχι μόνο από τις παραμέτρους των ροών εισόδου και των καναλιών εξυπηρέτησης, αλλά και από τη σειρά με την οποία εξυπηρετούνται τα εισερχόμενα αιτήματα, π.χ. από τρόπους διαχείρισης της ροής των εφαρμογών όταν εισέρχονται στο σύστημα και αποστέλλονται για σέρβις.

Οι τρόποι διαχείρισης της ροής των αιτήσεων καθορίζονται από τους κλάδους:

• buffering?
• υπηρεσία.

Οι κλάδοι αποθήκευσης και συντήρησης μπορούν να ταξινομηθούν σύμφωνα με τα ακόλουθα κριτήρια:

• διαθεσιμότητα προτεραιοτήτων μεταξύ εφαρμογών διαφορετικών κατηγοριών·
• μια μέθοδος για την ώθηση εφαρμογών από την ουρά (για την αποθήκευση στην προσωρινή μνήμη) και την εκχώρηση αιτημάτων υπηρεσίας (για κλάδους υπηρεσιών).
• έναν κανόνα για την προκαταρκτική ή την επιλογή αιτημάτων υπηρεσίας·
• ικανότητα αλλαγής προτεραιοτήτων.

Μια παραλλαγή της ταξινόμησης των κλάδων προσωρινής αποθήκευσης (ουρά) σύμφωνα με τα αναφερόμενα χαρακτηριστικά φαίνεται στο σχ. 2.2.

Εξαρτάται από διαθεσιμότηταή έλλειψη προτεραιοτήτωνμεταξύ εφαρμογών διαφορετικών τάξεων, όλοι οι κλάδοι προσωρινής αποθήκευσης μπορούν να χωριστούν σε δύο ομάδες: μη προτεραιότητας και προτεραιότητας.

Με μέθοδος ώθησης εφαρμογών από την αποθήκευσημπορούν να διακριθούν οι ακόλουθες κατηγορίες κλάδων αποθήκευσης:

• χωρίς να παραγκωνιστούν αιτήματα - τα αιτήματα που εισήλθαν στο σύστημα και βρήκαν ότι η μονάδα δίσκου ήταν πλήρως γεμάτη χάνονται.
• με τη μετατόπιση της εφαρμογής αυτής της κλάσης, δηλ. την ίδια κατηγορία με την αίτηση που ελήφθη·
• με μετατόπιση της εφαρμογής από την κατηγορία χαμηλότερης προτεραιότητας.
• με τη μετατόπιση της εφαρμογής από την ομάδα των τάξεων χαμηλής προτεραιότητας.

Ρύζι. 2.2.

Οι κλάδοι προσωρινής αποθήκευσης μπορούν να χρησιμοποιήσουν τα ακόλουθα κανόνες για την απόρριψη αιτημάτων από τον συσσωρευτή:

• τυχαία μετατόπιση?
• εξαίρεση της τελευταίας παραγγελίας, δηλ. μπήκε στο σύστημα αργότερα από όλα?
• παραγκωνίζοντας μια «μεγάλη» παραγγελία, δηλ. βρίσκεται στον συσσωρευτή περισσότερο από όλες τις προηγουμένως ληφθείσες εφαρμογές.

Στο σχ. Το 2.3 δείχνει την ταξινόμηση των κλάδων για την εξυπηρέτηση εφαρμογών σύμφωνα με τα ίδια χαρακτηριστικά όπως και για τους κλάδους της προσωρινής αποθήκευσης.

Μερικές φορές η χωρητικότητα αποθήκευσης στα μοντέλα θεωρείται απεριόριστη, αν και σε ένα πραγματικό σύστημα είναι περιορισμένη. Μια τέτοια υπόθεση δικαιολογείται όταν η πιθανότητα απώλειας μιας παραγγελίας σε ένα πραγματικό σύστημα λόγω υπερχείλισης χωρητικότητας αποθήκευσης είναι μικρότερη από 10 _3. Στην περίπτωση αυτή, η πειθαρχία δεν έχει ουσιαστικά καμία επίδραση στην εκτέλεση των αιτημάτων.

Εξαρτάται από διαθεσιμότηταή έλλειψη προτεραιοτήτωνΑνάμεσα σε αιτήματα διαφορετικών κατηγοριών, όλοι οι κλάδοι υπηρεσιών, καθώς και οι κλάδοι προσωρινής αποθήκευσης, μπορούν να χωριστούν σε δύο ομάδες: μη προτεραιότητας και προτεραιότητας.

Με πώς εκχωρούνται τα εισιτήρια υπηρεσίαςΟι κλάδοι υπηρεσιών μπορούν να χωριστούν σε κλάδους:

• ενιαία λειτουργία;
• ομαδική λειτουργία?
• συνδυασμένη λειτουργία.

Ρύζι. 2.3.

Σε κλάδους υπηρεσιών ενιαία λειτουργίαεξυπηρέτηση κάθε φορά έχει ανατεθεί μόνο έναςαίτημα, για το οποίο οι ουρές σαρώνονται μετά το τέλος της εξυπηρέτησης του προηγούμενου αιτήματος.

Σε κλάδους υπηρεσιών ομαδική λειτουργίαεξυπηρέτηση κάθε φορά εκχωρείται μια ομάδα αιτημάτωνμία ουρά, για την οποία οι ουρές σαρώνονται μόνο αφού έχουν εξυπηρετηθεί όλα τα αιτήματα από την ομάδα που είχε εκχωρηθεί προηγουμένως. Η νέα ομάδα εισιτηρίων μπορεί να περιλαμβάνει όλα τα εισιτήρια της δεδομένης ουράς. Ανατέθηκαν ομαδικά αιτήματα επιλεγμένα διαδοχικά από την ουράκαι εξυπηρετούνται από τη συσκευή, μετά την οποία η επόμενη ομάδα εφαρμογών μιας άλλης ουράς ανατίθεται για εξυπηρέτηση σύμφωνα με την καθορισμένη πειθαρχία υπηρεσιών.

Συνδυασμένη λειτουργία- ένας συνδυασμός μονών και ομαδικών καταστάσεων, όταν μέρος των ουρών αιτημάτων υποβάλλεται σε επεξεργασία σε απλή λειτουργία και το άλλο μέρος - σε λειτουργία ομάδας.

Οι κλάδοι υπηρεσιών μπορούν να χρησιμοποιήσουν τους ακόλουθους κανόνες επιλογής αιτημάτων υπηρεσίας.

Μη προτεραιότητα(οι εφαρμογές δεν έχουν προνόμια πρώιμης υπηρεσίας - σύλληψη πόρων):

• υπηρεσία προτεραιότητας FIFO (πρώτη σε - πρώτα έξω,πρώτος μέσα - πρώτος έξω)
• αντίστροφη υπηρεσία- η εφαρμογή επιλέγεται από την ουρά στη λειτουργία LIFO (τελευταία μέσα - πρώτα έξω,τελευταίος μέσα, πρώτος έξω)
• τυχαία υπηρεσία- η εφαρμογή επιλέγεται από την ουρά στη λειτουργία ΑΚΡΑ (τυχαίος- τυχαία)
• κυκλική υπηρεσία- οι εφαρμογές επιλέγονται στη διαδικασία κυκλικής δημοσκόπησης των μονάδων δίσκου με τη σειρά 1, 2, HΑΠΟ H- τον αριθμό των μονάδων δίσκου), μετά την οποία επαναλαμβάνεται η καθορισμένη σειρά.

Προτεραιότητα(οι εφαρμογές έχουν προνόμια για έγκαιρη εξυπηρέτηση - σύλληψη πόρων):

• Με σχετικές προτεραιότητες- εάν κατά τη διάρκεια της τρέχουσας εξυπηρέτησης ενός αιτήματος εισέλθουν στο σύστημα αιτήματα με υψηλότερες προτεραιότητες, τότε η εξυπηρέτηση του τρέχοντος αιτήματος, ακόμη και χωρίς προτεραιότητα, δεν διακόπτεται και τα αιτήματα που λαμβάνονται αποστέλλονται στην ουρά. Οι σχετικές προτεραιότητες παίζουν ρόλο μόνο στο τέλος της τρέχουσας υπηρεσίας της εφαρμογής όταν επιλέγεται ένα νέο αίτημα υπηρεσίας από την ουρά.
• Με απόλυτες προτεραιότητες- με την παραλαβή ενός αιτήματος με υψηλή προτεραιότητα, η εξυπηρέτηση ενός αιτήματος χαμηλής προτεραιότητας διακόπτεται και το ληφθέν αίτημα αποστέλλεται για εξυπηρέτηση. μια διακοπείσα εφαρμογή μπορεί να επιστραφεί στην ουρά ή να αφαιρεθεί από το σύστημα. εάν η εφαρμογή επιστρέψει στην ουρά, τότε η περαιτέρω εξυπηρέτησή της μπορεί να πραγματοποιηθεί από το σημείο που έχει διακοπεί ή εκ νέου.
• συν μικτές προτεραιότητες- Οι αυστηροί περιορισμοί στον χρόνο αναμονής στην ουρά για την εξυπηρέτηση μεμονωμένων εφαρμογών απαιτούν την ανάθεση απόλυτων προτεραιοτήτων σε αυτές. Ως αποτέλεσμα, ο χρόνος αναμονής για εφαρμογές με χαμηλές προτεραιότητες μπορεί να αποδειχθεί απαράδεκτα μεγάλος, αν και μεμονωμένες αιτήσεις έχουν ένα περιθώριο χρόνου αναμονής. Για την εκπλήρωση περιορισμών σε όλους τους τύπους αιτημάτων, μαζί με απόλυτες προτεραιότητες, σε ορισμένα αιτήματα μπορούν να ανατεθούν σχετικές προτεραιότητες και τα υπόλοιπα μπορούν να εξυπηρετηθούν σε λειτουργία χωρίς προτεραιότητα.
• Με εναλλασσόμενες προτεραιότητες- ανάλογο σχετικών προτεραιοτήτων, η προτεραιότητα λαμβάνεται υπόψη μόνο κατά τις στιγμές ολοκλήρωσης της τρέχουσας εξυπηρέτησης μιας ομάδας αιτημάτων μιας ουράς και εκχώρησης μιας νέας ομάδας για εξυπηρέτηση.
• προγραμματισμένη υπηρεσία- οι αξιώσεις διαφορετικών κατηγοριών (που βρίσκονται σε διαφορετικούς χώρους αποθήκευσης) επιλέγονται για εξυπηρέτηση σύμφωνα με ένα συγκεκριμένο χρονοδιάγραμμα που καθορίζει τη σειρά ψηφοφορίας στις ουρές των εφαρμογών, για παράδειγμα, στην περίπτωση τριών κατηγοριών εφαρμογών (καταστημάτων), το χρονοδιάγραμμα μπορεί να φαίνεται όπως (2, 1, 3, 3, 1, 2) ή (1, 2, 3, 3, 2, 1).

Στα συστήματα άμεσων μηνυμάτων υπολογιστών, κατά κανόνα, η πειθαρχία εφαρμόζεται από προεπιλογή FIFO.Ωστόσο, διαθέτουν εργαλεία που παρέχουν στον χρήστη τη δυνατότητα να οργανώσει τους κλάδους υπηρεσιών που χρειάζεται, μεταξύ άλλων σύμφωνα με το χρονοδιάγραμμα.

Οι αιτήσεις που λαμβάνονται από την ΚΟΑ χωρίζονται σε κατηγορίες. Στο QS, το οποίο είναι ένα αφηρημένο μαθηματικό μοντέλο, Οι εφαρμογές ανήκουν σε διαφορετικές κατηγορίεςσε περίπτωση που διαφέρουν στο προσομοιωμένο πραγματικό σύστημα κατά τουλάχιστον ένα από τα ακόλουθα χαρακτηριστικά:

• διάρκεια της υπηρεσίας·
• προτεραιότητες.

Εάν οι εφαρμογές δεν διαφέρουν ως προς τη διάρκεια και τις προτεραιότητες της υπηρεσίας, μπορούν να αντιπροσωπεύονται από εφαρμογές της ίδιας κατηγορίας, ακόμη και όταν προέρχονται από διαφορετικές πηγές.

Για μια μαθηματική περιγραφή των κλάδων υπηρεσιών με μικτές προτεραιότητες, χρησιμοποιούμε μήτρα προτεραιότητας,που είναι ένας τετραγωνικός πίνακας Q = (q, ;), εγώ, j - 1,..., I, I - ο αριθμός των κατηγοριών εφαρμογών που εισέρχονται στο σύστημα.

Στοιχείο q(j matrix ορίζει την προτεραιότητα των αιτημάτων κλάσης Εγώσε σχέση με τις εφαρμογές της τάξης? και μπορεί να λάβει τις ακόλουθες τιμές:

• 0 - χωρίς προτεραιότητα.
• 1 - σχετική προτεραιότητα.
• 2 - απόλυτη προτεραιότητα.

Τα στοιχεία του πίνακα προτεραιότητας πρέπει να ικανοποιούν τα ακόλουθα απαιτήσεις:

• q n= 0, αφού δεν μπορούν να τεθούν προτεραιότητες μεταξύ αιτημάτων της ίδιας κλάσης.
• αν q (j = 1 ή 2 τότε q^ = 0, αφού εφαρμογές κλάσης if Εγώέχουν προτεραιότητα έναντι των αιτημάτων της τάξης j,τότε το τελευταίο δεν μπορεί να υπερισχύει των ταξικών αξιώσεων Εγώ (i,j = 1, ..., Ι).

Εξαρτάται από ευκαιρίες για αλλαγή προτεραιοτήτωνΚατά τη λειτουργία του συστήματος, οι κλάδοι προτεραιότητας του buffering και του service χωρίζονται σε δύο κατηγορίες:

• 1) με στατικές προτεραιότητες,που δεν αλλάζουν με την πάροδο του χρόνου.
• 2) με δυναμικές προτεραιότητες,η οποία μπορεί να αλλάξει κατά τη λειτουργία του συστήματος ανάλογα με διάφορους παράγοντες, για παράδειγμα, όταν επιτευχθεί μια ορισμένη κρίσιμη τιμή του μήκους ουράς των εφαρμογών μιας κλάσης που δεν έχει προτεραιότητα ή έχει χαμηλή προτεραιότητα, μπορεί να δοθεί υψηλότερη προτεραιότητα.

Στα συστήματα υπολογιστών IM, υπάρχει απαραίτητα ένα μόνο στοιχείο (αντικείμενο) μέσω του οποίου, και μόνο μέσω αυτού, εισάγονται αιτήματα στο μοντέλο. Από προεπιλογή, όλες οι καταχωρημένες εφαρμογές δεν έχουν προτεραιότητα. Υπάρχουν όμως δυνατότητες εκχώρησης προτεραιοτήτων στην ακολουθία 1, 2, ..., συμπεριλαμβανομένης της εκτέλεσης του μοντέλου, π.χ. στη δυναμική.

Εξερχόμενη ροήείναι η ροή των εξυπηρετούμενων αιτημάτων που εξέρχονται από το QS. Σε πραγματικά συστήματα, οι εφαρμογές περνούν από διάφορα QS: επικοινωνία διαμετακόμισης, αγωγός παραγωγής κ.λπ. Σε αυτήν την περίπτωση, η εξερχόμενη ροή είναι η εισερχόμενη ροή για το επόμενο QS.

Η εισερχόμενη ροή του πρώτου QS, έχοντας περάσει από τα επόμενα QS, είναι παραμορφωμένη και αυτό περιπλέκει την αναλυτική μοντελοποίηση. Ωστόσο, θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι με την απλούστερη ροή εισόδου και εκθετική υπηρεσία(εκείνοι. στα συστήματα Markov) η ροή εξόδου είναι επίσης η απλούστερη.Εάν ο χρόνος εξυπηρέτησης έχει μη εκθετική κατανομή, τότε η εξερχόμενη ροή όχι μόνο δεν είναι απλή, αλλά ούτε και επαναλαμβανόμενη.

Σημειώστε ότι τα χρονικά διαστήματα μεταξύ των εξερχόμενων αιτημάτων δεν είναι ίδια με τα διαστήματα εξυπηρέτησης. Μετά από όλα, μπορεί να αποδειχθεί ότι μετά το τέλος της επόμενης υπηρεσίας, το QS είναι σε αδράνεια για κάποιο χρονικό διάστημα λόγω της έλλειψης εφαρμογών. Σε αυτήν την περίπτωση, το διάστημα εξερχόμενης ροής αποτελείται από το χρόνο αδράνειας του QS και το διάστημα εξυπηρέτησης του πρώτου αιτήματος που έφτασε μετά το χρόνο διακοπής λειτουργίας.

Στο QS, εκτός από την εξερχόμενη ροή των εξυπηρετούμενων αιτημάτων, μπορεί να υπάρχει ροή μη εξυπηρετούμενων αιτημάτων.Εάν ένα τέτοιο QS λαμβάνει μια επαναλαμβανόμενη ροή και η υπηρεσία είναι εκθετική, τότε η ροή των μη εξυπηρετούμενων πελατών είναι επίσης επαναλαμβανόμενη.

Δωρεάν ουρές καναλιών. Σε πολυκαναλικό QS, μπορούν να σχηματιστούν ουρές ελεύθερων καναλιών. Ο αριθμός των δωρεάν καναλιών είναι μια τυχαία τιμή. Οι ερευνητές μπορεί να ενδιαφέρονται για διάφορα χαρακτηριστικά αυτής της τυχαίας μεταβλητής. Συνήθως, αυτός είναι ο μέσος αριθμός καναλιών που καταλαμβάνει η υπηρεσία ανά διάστημα έρευνας και οι συντελεστές φορτίου τους.

Όπως σημειώσαμε προηγουμένως, σε πραγματικά αντικείμενα, οι αιτήσεις εξυπηρετούνται διαδοχικά σε πολλά QS.

Ένα πεπερασμένο σύνολο διαδοχικά διασυνδεδεμένων QS που επεξεργάζονται εφαρμογές που κυκλοφορούν σε αυτά ονομάζεται δίκτυο αναμονής (Semo) (Εικ. 2.4, ένα).

Ρύζι. 2.4.

SEMO ονομάζεται επίσης πολυφασικό QS.

Θα εξετάσουμε ένα παράδειγμα κατασκευής ενός QEMO IM αργότερα.

Τα κύρια στοιχεία του QS είναι οι κόμβοι (U) και οι πηγές (γεννήτριες) αιτημάτων (G).

Κόμποςτα δίκτυα είναι ένα σύστημα αναμονής.

Πηγή- μια γεννήτρια εφαρμογών που εισέρχονται στο δίκτυο και απαιτούν ορισμένα στάδια εξυπηρέτησης στους κόμβους του δικτύου.

Ένα γράφημα χρησιμοποιείται για μια απλοποιημένη εικόνα του QEMO.

Κόμης Σέμο- ένα κατευθυνόμενο γράφημα (διγράφημα), οι κορυφές του οποίου αντιστοιχούν στους κόμβους QEM και τα τόξα αντιπροσωπεύουν τις μεταβάσεις των εφαρμογών μεταξύ των κόμβων (Εικ. 2.4, β).

Έτσι, εξετάσαμε τις βασικές έννοιες του QS. Αλλά στην ανάπτυξη συστημάτων υπολογιστών για IM και τη βελτίωσή τους, χρησιμοποιείται επίσης αναγκαστικά το τεράστιο δημιουργικό δυναμικό που περιέχεται σήμερα στην αναλυτική μοντελοποίηση του QS.

Για μια καλύτερη αντίληψη αυτού του δημιουργικού δυναμικού, ως πρώτη προσέγγιση, ας σταθούμε στην ταξινόμηση των μοντέλων QS.

Εικόνα 0 - 2 Ροές συμβάντων (α) και η απλούστερη ροή (β)

10.5.2.1. σταθερότητα

Η ροή ονομάζεται ακίνητη , εάν η πιθανότητα να σημειωθεί ένας ή άλλος αριθμός γεγονότων σε μια στοιχειώδη χρονική περίοδο μήκος τ (

Σχήμα 0-2 , ένα)εξαρτάται μόνο από το μήκος του τμήματος και δεν εξαρτάται από το πού ακριβώς στον άξονα t αυτή η περιοχή βρίσκεται.

Η σταθερότητα της ροής σημαίνει την ομοιομορφία της στο χρόνο. τα πιθανοτικά χαρακτηριστικά μιας τέτοιας ροής δεν αλλάζουν με το χρόνο. Συγκεκριμένα, η λεγόμενη ένταση (ή «πυκνότητα») της ροής των γεγονότων, ο μέσος αριθμός γεγονότων ανά μονάδα χρόνου για μια σταθερή ροή, πρέπει να παραμείνει σταθερή. Αυτό, φυσικά, δεν σημαίνει ότι ο πραγματικός αριθμός των γεγονότων που εμφανίζονται ανά μονάδα χρόνου είναι σταθερός· η ροή μπορεί να έχει τοπικές συγκεντρώσεις και σπάνιες. Είναι σημαντικό ότι για μια σταθερή ροή αυτές οι συγκεντρώσεις και η αραίωση δεν είναι κανονικής φύσης και ο μέσος αριθμός γεγονότων που εμπίπτουν σε ένα μόνο χρονικό διάστημα παραμένει σταθερός για ολόκληρη την υπό εξέταση περίοδο.

Στην πράξη, υπάρχουν συχνά ροές γεγονότων που (τουλάχιστον για περιορισμένο χρονικό διάστημα) μπορούν να θεωρηθούν στάσιμα. Για παράδειγμα, η ροή των κλήσεων που φτάνουν στο τηλεφωνικό κέντρο, ας πούμε, στο διάστημα από 12 έως 13 ώρες μπορεί να θεωρηθεί στάσιμη. Η ίδια ροή δεν θα είναι πλέον ακίνητη για μια ολόκληρη μέρα (τη νύχτα, η ένταση της ροής των κλήσεων είναι πολύ μικρότερη από ό,τι κατά τη διάρκεια της ημέρας). Σημειώστε ότι το ίδιο συμβαίνει με τις περισσότερες από τις φυσικές διαδικασίες που ονομάζουμε "στάσιμες" στην πραγματικότητα, είναι ακίνητες μόνο για περιορισμένο χρονικό διάστημα και η επέκταση αυτής της περιόδου στο άπειρο είναι απλώς ένα βολικό τέχνασμα που χρησιμοποιείται για απλοποίηση.

10.5.2.2. Χωρίς επακόλουθο

Η ροή των γεγονότων ονομάζεται ροή χωρίς αποτέλεσμα , εάν για οποιαδήποτε μη επικαλυπτόμενα χρονικά διαστήματα, ο αριθμός των γεγονότων που εμπίπτουν σε ένα από αυτά δεν εξαρτάται από το πόσα συμβάντα έπεσαν στο άλλο (ή άλλα, εάν λαμβάνονται υπόψη περισσότερα από δύο τμήματα).

Σε τέτοια ρεύματα, τα γεγονότα που σχηματίζουν το ρεύμα εμφανίζονται σε διαδοχικά χρονικά σημεία ανεξάρτητα το ένα από το άλλο. Για παράδειγμα, η ροή των επιβατών που εισέρχονται στο σταθμό του μετρό μπορεί να θεωρηθεί ροή χωρίς επιπτώσεις, επειδή οι λόγοι που προκάλεσαν την άφιξη ενός μεμονωμένου επιβάτη τη συγκεκριμένη στιγμή και όχι κάποια άλλη, κατά κανόνα, δεν σχετίζονται με παρόμοιους λόγους για άλλους επιβάτες. Εάν εμφανιστεί μια τέτοια εξάρτηση, παραβιάζεται η προϋπόθεση για την απουσία επακόλουθου αποτελέσματος.

Σκεφτείτε, για παράδειγμα, τη ροή των εμπορευματικών τρένων που κινούνται κατά μήκος μιας σιδηροδρομικής γραμμής. Εάν, για λόγους ασφαλείας, δεν μπορούν να διαδέχονται το ένα το άλλο πιο συχνά παρά σε χρονικά διαστήματα t0 , τότε υπάρχει μια εξάρτηση μεταξύ των γεγονότων στη ροή και παραβιάζεται η προϋπόθεση της μη επακόλουθης επίδρασης. Ωστόσο, εάν το μεσοδιάστημα t0 είναι μικρό σε σύγκριση με το μέσο διάστημα μεταξύ των τρένων, τότε μια τέτοια παράβαση είναι ασήμαντη.

Εικόνα 0 - 3 Κατανομή Poisson

Σκεφτείτε στον άξονα t η απλούστερη ροή γεγονότων με ένταση λ. (Εικόνα 0-2 β) . Θα μας ενδιαφέρει ένα τυχαίο χρονικό διάστημα T μεταξύ γειτονικών γεγονότων σε αυτό το ρεύμα. βρείτε τον νόμο διανομής του. Αρχικά, ας βρούμε τη συνάρτηση διανομής:

F(t) = P(T ( 0-2)

δηλαδή η πιθανότητα ότι η τιμή του Τ θα έχει τιμή μικρότερη απόt. Αφήστε στην άκρη από την αρχή του διαστήματος T (πόντους t0) τμήμα t και να βρείτε την πιθανότητα ότι το διάστημα T θα είναι λιγότερο t . Για να γίνει αυτό, είναι απαραίτητο για ένα τμήμα μήκους t , δίπλα σε ένα σημείο t0 , τουλάχιστον μία επίσκεψη συμβάντος νήματος. Ας υπολογίσουμε την πιθανότητα αυτού F(t) μέσω της πιθανότητας του αντίθετου γεγονότος (ανά τμήμα t δεν θα εμφανιστούν συμβάντα ροής):

F (t) \u003d 1 - P 0

Πιθανότητα P 0βρίσκουμε με τον τύπο (1), υποθέτονταςΜ = 0:

οπότε η συνάρτηση κατανομής της τιμής T θα είναι:

(0-3)

Να βρεθεί η πυκνότητα κατανομής f(t) τυχαία μεταβλητή Τ,είναι απαραίτητο να διαφοροποιηθεί η έκφραση (0-1) κατάt:

0-4)

Ο νόμος κατανομής με πυκνότητα (0-4) ονομάζεται εκθετικός (ή εκθετική ). Η τιμή λ ονομάζεται παράμετρος υποδειγματικό δίκαιο.

Εικόνα 0 - 4 Εκθετική Κατανομή

Βρείτε τα αριθμητικά χαρακτηριστικά μιας τυχαίας μεταβλητής Τ- μαθηματική προσδοκία (μέση τιμή) M[t]=mt , και διασπορά D t . Εχουμε

( 0-5)

(ενσωμάτωση κατά εξαρτήματα).

Η διασπορά της τιμής του Τ είναι:

(0-6)

Εξάγοντας την τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης, βρίσκουμε την τυπική απόκλιση της τυχαίας μεταβλητής Τ.

Άρα, για μια εκθετική κατανομή, η μαθηματική προσδοκία και η τυπική απόκλιση είναι ίσες μεταξύ τους και είναι αντίστροφες της παραμέτρου λ, όπου λ. ένταση ροής.

Έτσι, η εμφάνιση Μ Τα γεγονότα σε ένα δεδομένο χρονικό διάστημα αντιστοιχούν στην κατανομή Poisson και η πιθανότητα ότι τα χρονικά διαστήματα μεταξύ των γεγονότων θα είναι μικρότερα από κάποιο προκαθορισμένο αριθμό αντιστοιχεί στην εκθετική κατανομή. Όλα αυτά είναι απλώς διαφορετικές περιγραφές της ίδιας στοχαστικής διαδικασίας.

Παράδειγμα QS-1 .

Για παράδειγμα, εξετάστε ένα τραπεζικό σύστημα σε πραγματικό χρόνο που εξυπηρετεί μεγάλο αριθμό πελατών. Κατά τις ώρες αιχμής, οι αιτήσεις από ταμίες τραπεζών που εργάζονται με πελάτες σχηματίζουν μια ροή Poisson και φτάνουν κατά μέσο όρο δύο ανά 1 δευτερόλεπτο (λ = 2).Η ροή αποτελείται από αιτήματα που φτάνουν με ρυθμό 2 αιτημάτων ανά δευτερόλεπτο.

Υπολογίστε την πιθανότητα P ( m ) εμφανίσεις m μηνύματα σε 1 s. Αφού λ = 2, από τον προηγούμενο τύπο έχουμε

Αντικατάσταση m = 0, 1, 2, 3, λαμβάνουμε τις ακόλουθες τιμές (έως τέσσεριςδεκαδικά ψηφία):

Εικόνα 0 - 5 Παράδειγμα απλούστερης ροής

Περισσότερα από 9 μηνύματα σε 1 δευτερόλεπτο είναι επίσης πιθανά, αλλά η πιθανότητα είναι πολύ μικρή (περίπου 0,000046).

Η κατανομή που προκύπτει μπορεί να αναπαρασταθεί ως ιστόγραμμα (φαίνεται στο σχήμα).

Παράδειγμα CMO-2.

Μια συσκευή (διακομιστής) που επεξεργάζεται τρία μηνύματα σε 1s.

Ας υπάρχει εξοπλισμός που μπορεί να επεξεργαστεί τρία μηνύματα σε 1 s (μ=3). Κατά μέσο όρο, λαμβάνονται δύο μηνύματα σε 1 δευτερόλεπτα και σύμφωναντο Κατανομή Poisson. Ποιο ποσοστό αυτών των μηνυμάτων θα υποβληθεί σε επεξεργασία αμέσως μετά τη λήψη;

Η πιθανότητα ότι ο ρυθμός άφιξης θα είναι μικρότερος ή ίσος με 3 s δίνεται από

Εάν το σύστημα μπορεί να επεξεργαστεί το πολύ 3 μηνύματα σε 1 δευτερόλεπτο, τότε η πιθανότητα να μην υπερφορτωθεί είναι

Με άλλα λόγια, το 85,71% των μηνυμάτων θα εξυπηρετηθεί άμεσα και το 14,29% με κάποια καθυστέρηση. Όπως μπορείτε να δείτε, σπάνια θα συμβεί καθυστέρηση στην επεξεργασία ενός μηνύματος για χρόνο μεγαλύτερο από τον χρόνο επεξεργασίας 3 μηνυμάτων. Ο χρόνος επεξεργασίας 1 μηνύματος είναι κατά μέσο όρο 1/3 s. Επομένως, μια καθυστέρηση μεγαλύτερη από 1 δευτερόλεπτο θα είναι σπάνια, κάτι που είναι αρκετά αποδεκτό για τα περισσότερα συστήματα.

Παράδειγμα ΚΟΑ 3

· Εάν ένας ταμίας τράπεζας είναι απασχολημένος κατά το 80% του χρόνου εργασίας του και αφιερώνει τον υπόλοιπο χρόνο περιμένοντας πελάτες, τότε μπορεί να θεωρηθεί ως συσκευή με συντελεστή χρησιμοποίησης 0,8.

· Εάν το κανάλι επικοινωνίας χρησιμοποιείται για τη μετάδοση συμβόλων 8-bit με ρυθμό 2400 bps, δηλαδή μεταδίδονται το πολύ 2400/8 σύμβολα σε 1 δευτερόλεπτο, και χτίζουμε ένα σύστημα στο οποίο η συνολική ποσότητα δεδομένων είναι 12000 σύμβολα που αποστέλλονται από διάφορες συσκευές μέσω καναλιού ανά απασχολημένο λεπτό (συμπεριλαμβανομένου συγχρονισμού, χαρακτήρων τέλους μηνύματος, χαρακτήρων ελέγχου κ.λπ.), τότε ο ρυθμός χρήσης του εξοπλισμού του καναλιού επικοινωνίας κατά τη διάρκεια αυτού του λεπτού είναι ίσος με

· Εάν η μηχανή πρόσβασης αρχείων ώρας κατειλημμένης πραγματοποιεί 9000 προσβάσεις αρχείων και ο χρόνος ανά πρόσβαση είναι 300 ms κατά μέσο όρο, τότε η χρήση υλικού της μηχανής πρόσβασης σε ώρα κατειλημμένης ώρας είναι

Η έννοια της χρήσης εξοπλισμού θα χρησιμοποιείται αρκετά συχνά. Όσο πιο κοντά είναι η χρήση του εξοπλισμού στο 100%, τόσο μεγαλύτερη η καθυστέρηση και μεγαλύτερη η ουρά.

Χρησιμοποιώντας τον προηγούμενο τύπο, μπορείτε να συντάξετε πίνακες τιμών συνάρτησης Poisson, από τους οποίους μπορείτε να προσδιορίσετε την πιθανότητα λήψηςΜ ή περισσότερα μηνύματα σε μια δεδομένη χρονική περίοδο. Για παράδειγμα, εάν κατά μέσο όρο 3,1 μηνύματα ανά δευτερόλεπτο [δηλ. ε. λ = 3.1], τότε η πιθανότητα λήψης 5 ή περισσότερων μηνυμάτων σε ένα δεδομένο δευτερόλεπτο είναι 0,2018 (γιαΜ = 5 στον πίνακα). Ή σε αναλυτική μορφή

Χρησιμοποιώντας αυτήν την έκφραση, ο αναλυτής συστημάτων μπορεί να υπολογίσει την πιθανότητα το σύστημα να μην πληροί ένα δεδομένο κριτήριο φορτίου.

Συχνά μπορούν να γίνουν αρχικοί υπολογισμοί για τις τιμές φορτίου εξοπλισμού.

p ≤ 0,9

Αυτές οι τιμές μπορούν να ληφθούν χρησιμοποιώντας πίνακες Poisson.

Έστω πάλι ο μέσος ρυθμός άφιξης μηνύματος λ = 3,1 μηνύματα/s. Από τους πίνακες προκύπτει ότι η πιθανότητα λήψης 6 ή περισσότερων μηνυμάτων σε 1 s είναι 0,0943. Επομένως, αυτός ο αριθμός μπορεί να ληφθεί ως κριτήριο φορτίου για αρχικούς υπολογισμούς.

10.6.2. Προκλήσεις Σχεδιασμού

Με τον τυχαίο χαρακτήρα της άφιξης μηνυμάτων στη συσκευή, η τελευταία αφιερώνει μέρος του χρόνου στην επεξεργασία ή την εξυπηρέτηση κάθε μηνύματος, με αποτέλεσμα να σχηματίζονται ουρές. Η ουρά στην τράπεζα περιμένει την απελευθέρωση του ταμία και του υπολογιστή του (τερματικό). Η ουρά μηνυμάτων στην προσωρινή μνήμη εισόδου του υπολογιστή περιμένει να επεξεργαστεί από τον επεξεργαστή. Η ουρά των αιτημάτων για συστοιχίες δεδομένων περιμένει την απελευθέρωση καναλιών κ.λπ. Ουρές μπορεί να σχηματιστούν σε όλα τα σημεία συμφόρησης του συστήματος.

Όσο υψηλότερο είναι το ποσοστό χρήσης του εξοπλισμού, τόσο μεγαλύτερες είναι οι ουρές που προκύπτουν. Όπως θα φανεί παρακάτω, είναι δυνατό να σχεδιαστεί ένα σύστημα που να λειτουργεί ικανοποιητικά με συντελεστή χρησιμοποίησης ρ = 0,7, αλλά ένας συντελεστής μεγαλύτερος από ρ > 0,9 μπορεί να οδηγήσει σε κακή ποιότητα υπηρεσιών. Με άλλα λόγια, εάν ένας σύνδεσμος μαζικών δεδομένων έχει φορτίο 20%, είναι απίθανο να υπάρχει ουρά σε αυτόν. Σε περίπτωση φόρτωσης? είναι 0,9, τότε, κατά κανόνα, θα σχηματιστούν ουρές, μερικές φορές πολύ μεγάλες.

Ο συντελεστής χρήσης εξοπλισμού είναι ίσος με την αναλογία του φορτίου του εξοπλισμού προς το μέγιστο φορτίο που μπορεί να αντέξει αυτός ο εξοπλισμός ή είναι ίσος με τον λόγο του χρόνου κατάληψης του εξοπλισμού προς το συνολικό χρόνο λειτουργίας του.

Κατά το σχεδιασμό ενός συστήματος, είναι σύνηθες να υπολογίζεται ο συντελεστής χρήσης για διάφορους τύπους εξοπλισμού. σχετικά παραδείγματα θα δοθούν σε επόμενα κεφάλαια. Η γνώση αυτών των συντελεστών σας επιτρέπει να υπολογίσετε τις ουρές για τον αντίστοιχο εξοπλισμό.

· Ποιο είναι το μήκος της ουράς;

· Πόσο χρόνο θα πάρει;

Ερωτήσεις αυτού του τύπου μπορούν να απαντηθούν χρησιμοποιώντας τη θεωρία ουρών.

10.6.3. Συστήματα ουράς, οι κατηγορίες και τα κύρια χαρακτηριστικά τους

Για το QS, οι ροές συμβάντων είναι ροές αιτημάτων, ροές αιτημάτων «εξυπηρέτησης», κ.λπ. Η μεταφορά του σε αναλυτικούς τύπους είναι δυνατή μόνο στις απλούστερες περιπτώσεις.

Ωστόσο, η συσκευή της θεωρίας αναμονής "Markovian" μπορεί επίσης να είναι χρήσιμη στην περίπτωση που η διαδικασία που συμβαίνει στο QS είναι διαφορετική από τη Markov· με τη βοήθειά της, τα χαρακτηριστικά απόδοσης QS μπορούν να εκτιμηθούν κατά προσέγγιση. Πρέπει να σημειωθεί ότι όσο πιο πολύπλοκο είναι το QS, όσο περισσότερα κανάλια υπηρεσιών περιέχει, τόσο πιο ακριβείς είναι οι κατά προσέγγιση τύποι που λαμβάνονται χρησιμοποιώντας τη θεωρία Markov. Επιπλέον, σε πολλές περιπτώσεις, για να ληφθούν τεκμηριωμένες αποφάσεις για τη διαχείριση της λειτουργίας του QS, δεν είναι καθόλου απαραίτητο να έχουμε ακριβή γνώση όλων των χαρακτηριστικών του, συχνά αρκετά προσεγγιστικών, ενδεικτικών.

Τα QS ταξινομούνται σε συστήματα με:

αποτυχίες (με απώλειες). Σε τέτοια συστήματα, ένα αίτημα που φτάνει τη στιγμή που όλα τα κανάλια είναι απασχολημένα λαμβάνει «άρνηση», αποχωρεί από το QS και δεν συμμετέχει στην περαιτέρω διαδικασία εξυπηρέτησης.

αναμονή (με ουρά). Σε τέτοια συστήματα, ένα αίτημα που φθάνει όταν όλα τα κανάλια είναι απασχολημένα τίθεται στην ουρά και περιμένει έως ότου ένα από τα κανάλια γίνει ελεύθερο. Όταν το κανάλι είναι ελεύθερο, μία από τις εφαρμογές στην ουρά γίνεται αποδεκτή για εξυπηρέτηση.

Η υπηρεσία (πειθαρχία ουράς) σε ένα σύστημα αναμονής μπορεί να είναι

τακτικός (οι αιτήσεις επιδίδονται με τη σειρά παραλαβής),

· διαταραγμένος(οι αιτήσεις υποβάλλονται με τυχαία σειρά) ή

σωρός (η τελευταία εφαρμογή επιλέγεται πρώτη από την ουρά).

Προτεραιότητα

ο με στατική προτεραιότητα

ο με δυναμική προτεραιότητα

(στην τελευταία περίπτωση εκ των προτέρων το tet μπορεί, για παράδειγμα, να αυξάνεται με το χρόνο αναμονής για το αίτημα).

Τα συστήματα με ουρά χωρίζονται σε συστήματα

· με απεριόριστη αναμονή και

· με περιορισμένο αναμονή.

Σε συστήματα με απεριόριστη αναμονή, κάθε αίτημα που φτάνει τη στιγμή που δεν υπάρχουν δωρεάν κανάλια μπαίνει στην ουρά και περιμένει «υπομονετικά» την απελευθέρωση του καναλιού που θα το δεχτεί για service. Οποιαδήποτε αίτηση ληφθεί από τον ΚΟΑ αργά ή γρήγορα θα επιδοθεί.

Σε συστήματα με περιορισμένη αναμονή, επιβάλλονται ορισμένοι περιορισμοί στην παραμονή της εφαρμογής στην ουρά. Αυτοί οι περιορισμοί ενδέχεται να ισχύουν

· μήκος ουράς (ο αριθμός των εφαρμογών ταυτόχρονα στο σύστημα ουράς με περιορισμένο μήκος ουράς),

· ο χρόνος που η εφαρμογή παραμένει στην ουρά (μετά από μια ορισμένη περίοδο παραμονής στην ουρά, η εφαρμογή φεύγει από την ουρά και το σύστημα φεύγει με περιορισμένο χρόνο αναμονής),

· συνολικός χρόνος που αφιερώνει η εφαρμογή στο QS

και τα λοιπά.

Ανάλογα με τον τύπο του QS, κατά την αξιολόγηση της αποτελεσματικότητάς του, μπορούν να χρησιμοποιηθούν ορισμένες τιμές (δείκτες απόδοσης). Για παράδειγμα, για ένα QS με αστοχίες, ένα από τα σημαντικότερα χαρακτηριστικά της παραγωγικότητάς του είναι το λεγόμενο απόλυτο εύρος ζώνηςο μέσος αριθμός αιτημάτων που μπορεί να εξυπηρετήσει το σύστημα ανά μονάδα χρόνου.

Μαζί με το απόλυτο θεωρείται συχνά σχετική απόδοση CMO είναι το μέσο μερίδιο των εισερχόμενων αιτημάτων που εξυπηρετούνται από το σύστημα (ο λόγος του μέσου αριθμού αιτημάτων που εξυπηρετούνται από το σύστημα ανά μονάδα χρόνου προς τον μέσο αριθμό αιτημάτων που λαμβάνονται κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου).

Εκτός από τις απόλυτες και τις σχετικές αποδόσεις στην ανάλυση του QS με αστοχίες, μπορεί, ανάλογα με το έργο της μελέτης, να μας ενδιαφέρουν και άλλα χαρακτηριστικά, για παράδειγμα:

· μέσος αριθμός απασχολημένων καναλιών.

· μέσος σχετικός χρόνος διακοπής λειτουργίας του συστήματος στο σύνολό του και ενός μεμονωμένου καναλιού

και τα λοιπά.

Τα αναμενόμενα QS έχουν ελαφρώς διαφορετικά χαρακτηριστικά. Προφανώς, για ένα QS με απεριόριστο χρόνο αναμονής, τόσο η απόλυτη όσο και η σχετική απόδοση χάνουν το νόημά τους, αφού κάθε αξίωση φτάνει νωρίς.ή αργότερα θα σερβιριστεί. Για ένα τέτοιο QS, τα σημαντικά χαρακτηριστικά είναι:

· ο μέσος αριθμός αιτήσεων στην ουρά.

· ο μέσος αριθμός εφαρμογών στο σύστημα (στην ουρά και υπό εξυπηρέτηση)·

· μέσος χρόνος αναμονής για μια εφαρμογή στην ουρά.

· ο μέσος χρόνος που αφιερώνει μια εφαρμογή στο σύστημα (στην ουρά και υπό εξυπηρέτηση)·

καθώς και άλλα χαρακτηριστικά προσδοκίας.

Για ένα QS με περιορισμένη αναμονή, ενδιαφέρουν και οι δύο ομάδες χαρακτηριστικών: τόσο η απόλυτη όσο και η σχετική απόδοση και τα χαρακτηριστικά αναμονής.

Για να αναλυθεί η διαδικασία που συμβαίνει στο QS, είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε τις κύριες παραμέτρους του συστήματος: τον αριθμό των καναλιών Π,ένταση ροής εφαρμογήςλ , την απόδοση κάθε καναλιού (ο μέσος αριθμός αιτημάτων μ που εξυπηρετούνται από το κανάλι ανά μονάδα χρόνου), τις προϋποθέσεις για το σχηματισμό της ουράς (περιορισμοί, εάν υπάρχουν).

Ανάλογα με τις τιμές αυτών των παραμέτρων, εκφράζονται τα χαρακτηριστικά της αποδοτικότητας λειτουργίας QS.

10.6.4. Τύποι υπολογισμού χαρακτηριστικών QS για την περίπτωση σέρβις με μία συσκευή

Εικόνα 0 - 6 Μοντέλο συστήματος αναμονής με ουρά

Τέτοιες ουρές μπορούν να δημιουργηθούν από μηνύματα στην είσοδο του επεξεργαστή που περιμένουν να υποστούν επεξεργασία. Μπορούν να προκύψουν κατά τη λειτουργία σταθμών συνδρομητών που είναι συνδεδεμένοι σε κανάλι επικοινωνίας πολλαπλών σημείων. Αντίστοιχα, ουρές αυτοκινήτων σχηματίζονται στα πρατήρια καυσίμων. Ωστόσο, αν υπάρχουν περισσότερες από μία είσοδοι στην υπηρεσία, έχουμε μια ουρά με πολλές συσκευές και η ανάλυση γίνεται πιο περίπλοκη.

Εξετάστε την περίπτωση της απλούστερης ροής αιτημάτων υπηρεσίας.

Ο σκοπός της θεωρίας της ουράς που παρουσιάζεται εδώ είναι να προσεγγίσει το μέσο μέγεθος της ουράς, καθώς και τον μέσο χρόνο που αφιερώνουν τα μηνύματα σε αναμονή σε ουρές. Είναι επίσης επιθυμητό να εκτιμηθεί πόσο συχνά η ουρά υπερβαίνει ένα ορισμένο μήκος. Αυτές οι πληροφορίες θα μας επιτρέψουν να υπολογίσουμε, για παράδειγμα, την απαιτούμενη ποσότητα μνήμης buffer για την αποθήκευση ουρών μηνυμάτων και σχετικών προγραμμάτων, τον απαιτούμενο αριθμό γραμμών επικοινωνίας, τα απαιτούμενα μεγέθη buffer για διανομείς κ.λπ. Θα είναι δυνατός ο υπολογισμός των χρόνων απόκρισης.

Κάθε ένα από τα χαρακτηριστικά ποικίλλει ανάλογα με τα μέσα που χρησιμοποιούνται.

Σκεφτείτε μια ουρά με έναν μόνο διακομιστή. Κατά το σχεδιασμό ενός υπολογιστικού συστήματος, οι περισσότερες ουρές αυτού του τύπου υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τους παραπάνω τύπους.συντελεστής διακύμανσης χρόνου υπηρεσίας

Ο τύπος Khinchin-Polachek χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του μήκους της ουράς στη σχεδίαση πληροφοριακών συστημάτων. Εφαρμόζεται στην περίπτωση μιας εκθετικής κατανομής του χρόνου άφιξης για οποιαδήποτε κατανομή του χρόνου υπηρεσίας και κάθε πειθαρχία ελέγχου, εφόσον η επιλογή του επόμενου μηνύματος για υπηρεσία δεν εξαρτάται από τον χρόνο εξυπηρέτησης.

Κατά το σχεδιασμό συστημάτων, υπάρχουν τέτοιες καταστάσεις όταν δημιουργούνται ουρές όταν η πειθαρχία ελέγχου εξαρτάται αναμφίβολα από τον χρόνο εξυπηρέτησης. Για παράδειγμα, σε ορισμένες περιπτώσεις, μπορεί να επιλέξουμε να χρησιμοποιήσουμε πρώτα πιο σύντομα μηνύματα για την εξυπηρέτηση, προκειμένου να έχουμε ταχύτερο μέσο χρόνο εξυπηρέτησης. Κατά τη διαχείριση μιας γραμμής επικοινωνίας, είναι δυνατό να εκχωρήσετε μεγαλύτερη προτεραιότητα στα μηνύματα εισαγωγής παρά στα μηνύματα εξόδου, επειδή τα πρώτα είναι πιο σύντομα. Σε τέτοιες περιπτώσεις, δεν είναι πλέον απαραίτητο να χρησιμοποιείται η εξίσωση Khinchin

Οι περισσότεροι χρόνοι εξυπηρέτησης στα πληροφοριακά συστήματα βρίσκονται κάπου μεταξύ αυτών των δύο περιπτώσεων. Οι χρόνοι εξυπηρέτησης που είναι σταθεροί είναι σπάνιοι. Ακόμη και ο χρόνος πρόσβασης στον σκληρό δίσκο δεν είναι σταθερός λόγω της διαφορετικής θέσης των συστοιχιών δεδομένων στην επιφάνεια. Ένα παράδειγμα που απεικονίζει την περίπτωση του σταθερού χρόνου υπηρεσίας είναι η κατάληψη της γραμμής επικοινωνίας για τη μετάδοση μηνυμάτων σταθερού μήκους.

Από την άλλη πλευρά, η διασπορά του χρόνου εξυπηρέτησης δεν είναι τόσο μεγάλη όσο στην περίπτωση μιας αυθαίρετης ή εκθετικής κατανομής, δηλ.σs σπάνια φτάνει σε αξίεςt s. Αυτή η περίπτωση θεωρείται μερικές φορές η "χειρότερη περίπτωση" και επομένως χρησιμοποιούνται τύποι που αναφέρονται στην εκθετική κατανομή των χρόνων εξυπηρέτησης. Ένας τέτοιος υπολογισμός μπορεί να δώσει κάπως υπερεκτιμημένα μεγέθη ουρών και χρόνους αναμονής, αλλά αυτό το σφάλμα δεν είναι τουλάχιστον επικίνδυνο.

Η εκθετική κατανομή των χρόνων εξυπηρέτησης δεν είναι σίγουρα η χειρότερη περίπτωση που πρέπει να αντιμετωπίσει κανείς στην πραγματικότητα. Ωστόσο, εάν οι χρόνοι εξυπηρέτησης που λαμβάνονται από τον υπολογισμό των ουρών αποδεικνύονται χειρότερα κατανεμημένοι από τους χρόνους που κατανέμονται εκθετικά, αυτό είναι συχνά ένα προειδοποιητικό σήμα για τον προγραμματιστή. Εάν η τυπική απόκλιση είναι μεγαλύτερη από τη μέση τιμή, τότε συνήθως υπάρχει ανάγκη διόρθωσης των υπολογισμών.

Εξετάστε το ακόλουθο παράδειγμα. Υπάρχουν έξι τύποι μηνυμάτων με χρόνους εξυπηρέτησης 15, 20, 25, 30, 35 και 300. Ο αριθμός των μηνυμάτων για κάθε τύπο είναι ο ίδιος. Η τυπική απόκλιση αυτών των χρόνων είναι κάπως υψηλότερη από τον μέσο όρο τους. Η τιμή του τελευταίου χρόνου σέρβις είναι πολύ μεγαλύτερη από τις άλλες. Αυτό θα έχει ως αποτέλεσμα τα μηνύματα να βρίσκονται στην ουρά πολύ περισσότερο από ό,τι αν οι χρόνοι εξυπηρέτησης ήταν της ίδιας σειράς. Σε αυτή την περίπτωση, κατά το σχεδιασμό, είναι σκόπιμο να ληφθούν μέτρα για τη μείωση του μήκους της ουράς. Για παράδειγμα, εάν αυτοί οι αριθμοί σχετίζονται με το μήκος μηνυμάτων, τότε ίσως τα πολύ μεγάλα μηνύματα θα πρέπει να χωριστούν σε μέρη.

10.6.6. Παράδειγμα υπολογισμού

Κατά το σχεδιασμό ενός τραπεζικού συστήματος, είναι επιθυμητό να γνωρίζετε τον αριθμό των πελατών που θα πρέπει να περιμένουν στην ουρά για ένα ταμείο κατά τις ώρες αιχμής.

Ο χρόνος απόκρισης του συστήματος και η τυπική του απόκλιση υπολογίζονται λαμβάνοντας υπόψη τον χρόνο εισαγωγής δεδομένων από το σταθμό εργασίας, εκτύπωσης και επεξεργασίας εγγράφων.

Οι ενέργειες του ταμία ήταν χρονομετρημένες. Ο χρόνος εξυπηρέτησης ts είναι ίσος με τον συνολικό χρόνο που αφιερώνει ο ταμίας στον πελάτη. Το ποσοστό χρησιμοποίησης του ταμία ρ είναι ανάλογο με το χρόνο απασχόλησής του. Εάν λ είναι ο αριθμός των πελατών κατά τις ώρες αιχμής, τότε το ρ για το ταμείο είναι

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν 30 πελάτες την ώρα τις ώρες αιχμής. Κατά μέσο όρο, ένας ταμίας ξοδεύει 1,5 λεπτό ανά πελάτη. Επειτα

ρ = (1,5 * 30) / 60 = 0,75

δηλαδή το ταμείο χρησιμοποιείται κατά 75%.

Ο αριθμός των ατόμων στη σειρά μπορεί να εκτιμηθεί γρήγορα χρησιμοποιώντας γραφήματα. Από αυτά προκύπτει ότι αν ρ = 0,75, τότε ο μέσος αριθμός nq ατόμωνστη σειρά στο ταμείο βρίσκεται μεταξύ 1,88 και 3,0 ανάλογα με την τυπική απόκλιση για t s .

Ας υποθέσουμε ότι η μέτρηση της τυπικής απόκλισης για tμικρό έδωσε τιμή 0,5 min. Επειτα

σ s = 0,33 t s

Από το γράφημα στο πρώτο σχήμα, βρίσκουμε ότι nq = 2,0, δηλαδή, κατά μέσο όρο, δύο πελάτες θα περιμένουν στο ταμείο.

Ο συνολικός χρόνος που ξοδεύει ένας πελάτης στο ταμείο μπορεί να βρεθεί ως

t ∑ = t q + t s = 2,5 λεπτά + 1,5 λεπτά = 4 λεπτά

όπου t s υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο Khinchin-Polachek.

10.6.7. παράγοντα κέρδους

Αναλύοντας τις καμπύλες στα σχήματα, βλέπουμε ότι όταν ο εξοπλισμός που εξυπηρετεί την ουρά χρησιμοποιείται περισσότερο από 80%, οι καμπύλες αρχίζουν να αυξάνονται με ανησυχητικό ρυθμό. Το γεγονός αυτό είναι πολύ σημαντικό στο σχεδιασμό συστημάτων μετάδοσης δεδομένων. Εάν σχεδιάζουμε ένα σύστημα με περισσότερο από 80% χρήση υλικού, τότε μια ελαφρά αύξηση της επισκεψιμότητας μπορεί να οδηγήσει σε δραστική πτώση της απόδοσης του συστήματος ή ακόμα και σε κατάρρευση.

Αύξηση της εισερχόμενης κίνησης κατά μικρό αριθμό x%. οδηγεί σε αύξηση του μεγέθους της ουράς κατά περίπου

Εάν το ποσοστό χρήσης του εξοπλισμού είναι 50%, τότε αυτή η αύξηση είναι ίση με 4ts% για την εκθετική κατανομή του χρόνου εξυπηρέτησης. Αν όμως η χρήση του εξοπλισμού είναι 90%, τότε η αύξηση του μεγέθους της ουράς είναι 100ts%, δηλαδή 25 φορές μεγαλύτερη. Μια ελαφρά αύξηση του φορτίου στο 90% της χρήσης εξοπλισμού οδηγεί σε 25πλάσια αύξηση των μεγεθών της ουράς σε σύγκριση με την περίπτωση χρήσης εξοπλισμού 50%.

Ομοίως, ο χρόνος ουράς αυξάνεται κατά

Με έναν εκθετικά κατανεμημένο χρόνο υπηρεσίας, αυτή η τιμή έχει την τιμή 4 t s2 για χρήση εξοπλισμού ίση με 50% και 100 t s2 για συντελεστή 90%, δηλαδή πάλι 25 φορές χειρότερο.

Επιπλέον, για μικρούς παράγοντες χρήσης εξοπλισμού, η επίδραση των αλλαγών στο σs στο μέγεθος της ουράς είναι ασήμαντη. Ωστόσο, για μεγάλους συντελεστές, η μεταβολή σμικρό επηρεάζει πολύ το μέγεθος της ουράς. Επομένως, κατά το σχεδιασμό συστημάτων με υψηλή χρήση εξοπλισμού, είναι επιθυμητό να λαμβάνετε ακριβείς πληροφορίες σχετικά με την παράμετροσ μικρό. Ανακρίβεια της υπόθεσης σχετικά με την εκθετικότητα της κατανομής του tμικρόείναι πιο αισθητή σε μεγάλες τιμές του ρ. Επιπλέον, εάν ο χρόνος εξυπηρέτησης αυξηθεί ξαφνικά, κάτι που είναι δυνατό στα κανάλια επικοινωνίας κατά τη μετάδοση μεγάλων μηνυμάτων, τότε στην περίπτωση ενός μεγάλου ρ, σχηματίζεται μια σημαντική ουρά.

Πολύ συχνά, κατά την ανάλυση των οικονομικών συστημάτων, πρέπει να λυθούν τα λεγόμενα προβλήματα ουράς που προκύπτουν στην ακόλουθη κατάσταση. Αφήστε να αναλυθεί το σύστημα συντήρησης αυτοκινήτου που αποτελείται από έναν ορισμένο αριθμό σταθμών διαφορετικής χωρητικότητας. Σε κάθε σταθμό (στοιχείο συστήματος), μπορεί να προκύψουν τουλάχιστον δύο τυπικές καταστάσεις:

1. ο αριθμός των αιτήσεων είναι πολύ υψηλός για αυτόν τον σταθμό, υπάρχουν ουρές και πρέπει να πληρώσετε για καθυστερήσεις σέρβις.
2. ο σταθμός λαμβάνει πολύ λίγα αιτήματα και τώρα είναι ήδη απαραίτητο να ληφθούν υπόψη οι απώλειες που προκαλούνται από τη διακοπή λειτουργίας του σταθμού.

Είναι σαφές ότι ο στόχος της ανάλυσης συστήματος σε αυτή την περίπτωση είναι να προσδιορίσει κάποια σχέση μεταξύ των απωλειών εισοδήματος που οφείλονται ουρέςκαι απώλειες λόγω μόνο εγώσταθμούς.

Θεωρία Ουρών– ένα ειδικό τμήμα της θεωρίας συστημάτων είναι ένα τμήμα της θεωρίας πιθανοτήτων στο οποίο μελετώνται τα συστήματα ουράς με χρήση μαθηματικών μοντέλων.

Σύστημα ουράς (QS)- αυτό είναι ένα μοντέλο που περιλαμβάνει: 1) μια τυχαία ροή απαιτήσεων, κλήσεων ή πελατών που χρειάζονται εξυπηρέτηση. 2) τον αλγόριθμο για την υλοποίηση αυτής της υπηρεσίας. 3) κανάλια (συσκευές) για συντήρηση.

Παραδείγματα ΚΟΑ είναι ταμεία, βενζινάδικα, αεροδρόμια, πωλητές, κομμωτήρια, γιατροί, τηλεφωνικά κέντρα και άλλες εγκαταστάσεις που εξυπηρετούν ορισμένες εφαρμογές.

Πρόβλημα θεωρίας ουράςσυνίσταται στην ανάπτυξη συστάσεων για την ορθολογική κατασκευή των QS και την ορθολογική οργάνωση της εργασίας τους προκειμένου να διασφαλιστεί η υψηλή απόδοση εξυπηρέτησης με βέλτιστο κόστος.

Το κύριο χαρακτηριστικό των προβλημάτων αυτής της κατηγορίας είναι η σαφής εξάρτηση των αποτελεσμάτων της ανάλυσης και των συστάσεων που λαμβάνονται από δύο εξωτερικούς παράγοντες: τη συχνότητα παραλαβής και την πολυπλοκότητα των παραγγελιών (και επομένως τον χρόνο εκτέλεσής τους).

Αντικείμενο της θεωρίας της ουράς είναι η δημιουργία μιας σχέσης μεταξύ της φύσης της ροής των εφαρμογών, της απόδοσης ενός ξεχωριστού καναλιού εξυπηρέτησης, του αριθμού των καναλιών και της αποτελεσματικότητας της υπηρεσίας.

Οπως και Χαρακτηριστικά QSλαμβάνονται υπόψη:

• το μέσο ποσοστό των αιτήσεων που απορρίπτονται και αφήνουν το σύστημα χωρίς εξυπηρέτηση·
• μέσος χρόνος διακοπής λειτουργίας μεμονωμένων καναλιών και του συστήματος συνολικά·
• μέσος χρόνος αναμονής στην ουρά.
• την πιθανότητα η ληφθείσα αίτηση να εξυπηρετηθεί άμεσα·
• νόμος κατανομής μήκους ουράς και άλλοι.

Προσθέτουμε ότι οι αιτήσεις (απαιτήσεις) εισέρχονται στο QS τυχαία (σε τυχαίες στιγμές), με σημεία συμπύκνωσης και σπανιότητας. Ο χρόνος εξυπηρέτησης κάθε απαίτησης είναι επίσης τυχαίος, μετά τον οποίο το κανάλι εξυπηρέτησης ελευθερώνεται και είναι έτοιμο να εκπληρώσει την επόμενη απαίτηση. Κάθε QS, ανάλογα με τον αριθμό των καναλιών και την απόδοσή τους, έχει μια συγκεκριμένη χωρητικότητα. Διακίνηση SMOμπορεί απόλυτος(μέσος αριθμός αιτήσεων που εξυπηρετούνται ανά μονάδα χρόνου) και συγγενής(μέση αναλογία του αριθμού των αιτήσεων που εξυπηρετήθηκαν προς τον αριθμό των υποβληθέντων).

3.1 Μοντέλα συστημάτων ουράς.

Κάθε QS μπορεί να χαρακτηριστεί από την έκφραση: (α / β / γ) : (δ / ε / στ) , όπου

ένα - κατανομή της ροής εισόδου των εφαρμογών·

σι - κατανομή της ροής εξόδου των εφαρμογών.

ντο – διαμόρφωση του μηχανισμού εξυπηρέτησης.

ρε – πειθαρχία στην ουρά

μι – μπλοκ αναμονής.

φά είναι η χωρητικότητα της πηγής.

Τώρα ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά σε κάθε χαρακτηριστικό.

Ροή εισόδου εφαρμογών- τον αριθμό των αιτήσεων που έλαβε το σύστημα. Χαρακτηρίζεται από την ένταση της ροής εισόδου μεγάλο.

Ροή εξόδου εφαρμογών– τον ​​αριθμό των αιτήσεων που εξυπηρετούνται από το σύστημα. Χαρακτηρίζεται από την ένταση της ροής εξόδου Μ.

διαμόρφωση συστήματοςυποδηλώνει τον συνολικό αριθμό καναλιών και κόμβων υπηρεσίας. Το SMO μπορεί να περιέχει:

1. ένα κανάλιυπηρεσίες (ένας διάδρομος προσγείωσης, ένας πωλητής)·
2. ένα κανάλι υπηρεσίας, συμπεριλαμβανομένου πολλαπλούς σειριακούς κόμβους(καντίνα, κλινική, μεταφορέας)?
3. πολλά παρόμοια κανάλιαυπηρεσίες που συνδέονται παράλληλα (βενζινάδικα, γραφείο πληροφοριών, σιδηροδρομικός σταθμός).

Έτσι, διακρίνεται το μονοκάναλο και το πολυκάναλο QS.

Από την άλλη πλευρά, εάν όλα τα κανάλια υπηρεσιών στο QS είναι κατειλημμένα, τότε η προσεγγιζόμενη εφαρμογή μπορεί να παραμείνει στην ουρά ή να εγκαταλείψει το σύστημα (για παράδειγμα, ένα ταμιευτήριο και ένα τηλεφωνικό κέντρο). Σε αυτή την περίπτωση, μιλάμε για συστήματα με ουρά (αναμονή) και συστήματα με αστοχίες.

Στροφήείναι ένα σύνολο εφαρμογών που έχουν εισέλθει στο σύστημα για σέρβις και βρίσκονται σε αναμονή εξυπηρέτησης. Η ουρά χαρακτηρίζεται από το μήκος της ουράς και την πειθαρχία της.

Πειθαρχία στην ουράείναι ο κανόνας για την εξυπηρέτηση των αιτημάτων από την ουρά. Οι κύριοι τύποι ουρών περιλαμβάνουν τα ακόλουθα:

1. Το PERPPO (πρώτος έρχεται, πρώτος σερβίρεται) είναι ο πιο κοινός τύπος.
2. POSPPO (τελευταία προσέλευση - πρώτη εξυπηρέτηση)
3. SOP (τυχαία επιλογή εφαρμογών) - από την τράπεζα δεδομένων.
4. PR - υπηρεσία προτεραιότητας.

Μήκος ουράςμπορεί

• απεριόριστο - τότε μιλάμε για ένα σύστημα με καθαρή προσδοκία.
• ίσο με μηδέν - τότε μιλούν για ένα σύστημα με αποτυχίες.
• περιορισμένο μήκος (σύστημα μικτού τύπου).

μπλοκ αναμονής– «χωρητικότητα» του συστήματος - ο συνολικός αριθμός των εφαρμογών στο σύστημα (στην ουρά και στην υπηρεσία). Με αυτόν τον τρόπο, e=c+ρε.

Χωρητικότητα πηγήςπου δημιουργεί αιτήματα υπηρεσιών είναι ο μέγιστος αριθμός αιτημάτων που μπορούν να εισέλθουν στο QS. Για παράδειγμα, σε ένα αεροδρόμιο, η χωρητικότητα της πηγής περιορίζεται από τον αριθμό όλων των υπαρχόντων αεροσκαφών και η χωρητικότητα πηγής ενός τηλεφωνικού κέντρου είναι ίση με τον αριθμό των κατοίκων της Γης, δηλ. μπορεί να θεωρηθεί απεριόριστο.

Ο αριθμός των μοντέλων QS αντιστοιχεί στον αριθμό των πιθανών συνδυασμών αυτών των στοιχείων.

3.2 Ροή εισόδου απαιτήσεων.

Με κάθε τέντωμα του χρόνου ένα, ένα+ Τ ], ας συσχετίσουμε μια τυχαία μεταβλητή Χ, ίσο με τον αριθμό των αιτημάτων που έλαβε το σύστημα κατά τη διάρκεια του χρόνου Τ.

Η ροή των αιτημάτων ονομάζεται ακίνητος, εάν ο νόμος κατανομής δεν εξαρτάται από το αρχικό σημείο του διαστήματος ένα, αλλά εξαρτάται μόνο από το μήκος του δεδομένου διαστήματος Τ. Για παράδειγμα, η ροή των αιτήσεων στο τηλεφωνικό κέντρο κατά τη διάρκεια της ημέρας ( Τ\u003d 24 ώρες) δεν μπορεί να θεωρηθεί ακίνητο, αλλά από 13 έως 14 ώρες ( Τ\u003d 60 λεπτά) - μπορείτε.

Η ροή ονομάζεται κανένα αποτέλεσμα, εάν το ιστορικό της ροής δεν επηρεάζει τη λήψη απαιτήσεων στο μέλλον, π.χ. οι απαιτήσεις είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους.

Η ροή ονομάζεται συνήθης, εάν δεν μπορούν να εισέλθουν περισσότερα από ένα αιτήματα στο σύστημα σε πολύ σύντομο χρονικό διάστημα. Για παράδειγμα, η ροή προς το κομμωτήριο είναι συνηθισμένη, αλλά όχι προς το ληξιαρχείο. Αν όμως ως τυχαία μεταβλητή Χεξετάστε τα ζεύγη εφαρμογών που εισέρχονται στο γραφείο μητρώου, τότε μια τέτοια ροή θα είναι συνηθισμένη (δηλαδή, μερικές φορές μια έκτακτη ροή μπορεί να μειωθεί σε μια συνηθισμένη).

Η ροή ονομάζεται το πιο απλό, αν είναι ακίνητο, χωρίς αποτέλεσμα και συνηθισμένο.

Κύριο θεώρημα.Αν η ροή είναι η απλούστερη, τότε η r.v. X [α. ένα + Τ] διανέμεται σύμφωνα με το νόμο Poisson, δηλ. .

Συμπέρασμα 1. Η απλούστερη ροή ονομάζεται επίσης ροή Poisson.

Συνέπεια 2. Μ(Χ)= Μ(Χ [ ένα , ένα + Τ ] )= μεγάλοΤ, δηλ. στη διάρκεια Τ μεγάλοΤεφαρμογές. Επομένως, για μία μονάδα χρόνου, το σύστημα λαμβάνει κατά μέσο όρο μεγάλοεφαρμογές. Αυτή η τιμή ονομάζεται έντασηροή εισόδου.

Σκεφτείτε το ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ .

Το στούντιο δέχεται κατά μέσο όρο 3 αιτήσεις την ημέρα. Υποθέτοντας ότι η ροή είναι η απλούστερη, βρείτε την πιθανότητα ο αριθμός των αιτημάτων να είναι τουλάχιστον 5 μέσα στις επόμενες δύο ημέρες.

Λύση.

Σύμφωνα με την αποστολή, μεγάλο=3, Τ=2 ημέρες, ροή εισόδου Poisson, n ³5. κατά την επίλυση, είναι βολικό να εισάγουμε το αντίθετο γεγονός, το οποίο συνίσταται στο γεγονός ότι κατά τη διάρκεια του χρόνου Τθα ληφθούν λιγότερες από 5 αιτήσεις. Επομένως, σύμφωνα με τον τύπο Poisson, παίρνουμε

^

3.3 Κατάσταση συστήματος. Πίνακας και γράφημα μεταβάσεων.

Σε μια τυχαία χρονική στιγμή, το QS περνά από τη μια κατάσταση στην άλλη: αλλάζει ο αριθμός των κατειλημμένων καναλιών, ο αριθμός των αιτημάτων και των ουρών κ.λπ.. Έτσι, το QS με nκανάλια και ένα μήκος ουράς ίσο με Μ, μπορεί να βρίσκεται σε μία από τις ακόλουθες καταστάσεις:

μι 0 – όλα τα κανάλια είναι δωρεάν.

μι 1 – ένα κανάλι είναι κατειλημμένο.

μι n– όλα τα κανάλια είναι κατειλημμένα.

μι n +1 – όλα τα κανάλια είναι κατειλημμένα και ένα αίτημα βρίσκεται στην ουρά.

μι n + Μ– όλα τα κανάλια και όλες οι θέσεις στην ουρά είναι κατειλημμένα.

Ένα παρόμοιο σύστημα με αποτυχίες μπορεί να είναι σε καταστάσεις μι 0 – μι n .

Για ένα QS με καθαρή προσδοκία, υπάρχει ένα άπειρο σύνολο καταστάσεων. Με αυτόν τον τρόπο, κατάσταση μι n QS την ώρα t είναι η ποσότητα n εφαρμογές (απαιτήσεις) που βρίσκονται στο σύστημα σε μια δεδομένη στιγμή, π.χ. n= n(t) - τυχαία τιμή, μι n (t) είναι τα αποτελέσματα αυτής της τυχαίας μεταβλητής, και Π n (t) είναι η πιθανότητα το σύστημα να βρίσκεται σε κατάσταση μι n .

Γνωρίζουμε ήδη την κατάσταση του συστήματος. Σημειώστε ότι δεν είναι όλες οι καταστάσεις του συστήματος ισοδύναμες. Η κατάσταση του συστήματος ονομάζεται πηγήεάν το σύστημα μπορεί να φύγει από αυτή την κατάσταση αλλά δεν μπορεί να επιστρέψει σε αυτήν. Η κατάσταση του συστήματος ονομάζεται απομονωμένος,εάν το σύστημα δεν μπορεί να βγει ή να εισέλθει σε αυτήν την κατάσταση.

Για την οπτικοποίηση των εικόνων των καταστάσεων του συστήματος, χρησιμοποιούνται διαγράμματα (τα λεγόμενα γραφήματα μετάβασης), στα οποία τα βέλη υποδεικνύουν τις πιθανές μεταβάσεις του συστήματος από τη μια κατάσταση στην άλλη, καθώς και τις πιθανότητες τέτοιων μεταβάσεων.

Εικόνα 3.1 - γράφημα μετάβασης

Comp.	Ε 0	Ε 1	Ε 2
Ε 0	Ρ 0,0	Ρ 0.1	Ρ 0.2
Ε 1	Ρ 1.0	R 1.1	R 1.2
Ε 2	R 2.0	R 2.2	R 2.2

Μερικές φορές είναι επίσης βολικό να χρησιμοποιείτε τον πίνακα μετάβασης. Στην περίπτωση αυτή, η πρώτη στήλη σημαίνει τις αρχικές καταστάσεις του συστήματος (τρέχουσα), και στη συνέχεια δίνονται οι πιθανότητες μετάβασης από αυτές τις καταστάσεις σε άλλες.

Αφού το σύστημα θα περάσει αναγκαστικά από ένα

κατάσταση σε άλλη, τότε το άθροισμα των πιθανοτήτων σε κάθε γραμμή είναι πάντα ίσο με μία.

3.4 Μονοκάναλο QS.

3.4.1 Μονοκάναλο QS με βλάβες.

Θα εξετάσουμε συστήματα που πληρούν τις απαιτήσεις:

(P/E/1):(–/1/¥) . Ας υποθέσουμε επίσης ότι ο χρόνος εξυπηρέτησης ενός πελάτη δεν εξαρτάται από τον αριθμό των πελατών που εισέρχονται στο σύστημα. Εδώ και κάτω, το "P" σημαίνει ότι η ροή εισόδου κατανέμεται σύμφωνα με το νόμο Poisson, δηλ. Το απλούστερο, "E" σημαίνει ότι η ροή εξόδου κατανέμεται εκθετικά. Επίσης εδώ και παρακάτω δίνονται οι κύριοι τύποι χωρίς απόδειξη.

Για ένα τέτοιο σύστημα, δύο καταστάσεις είναι δυνατές: μι 0 - το σύστημα είναι δωρεάν και μι 1 – το σύστημα είναι απασχολημένο. Ας δημιουργήσουμε έναν πίνακα μετάβασης. Ας πάρουμε ρεtείναι ένα απειροελάχιστο χρονικό διάστημα. Έστω το γεγονός Α συνίσταται στο γεγονός ότι στο σύστημα κατά τη διάρκεια του χρόνου ρεtέλαβε ένα αίτημα. Το γεγονός Β συνίσταται στο γεγονός ότι κατά τη διάρκεια του χρόνου ρεtένα αίτημα εξυπηρετήθηκε. Εκδήλωση ΑΛΛΑ Εγώ , κ- στη διάρκεια ρεtτο σύστημα θα φύγει από το κράτος μι Εγώσε κατάσταση μι κ. Επειδή μεγάλοείναι η ένταση της ροής εισόδου, στη συνέχεια κατά τη διάρκεια του χρόνου ρεtεισέρχεται στο σύστημα κατά μέσο όρο l*Dtαπαιτήσεις. Δηλαδή η πιθανότητα λήψης μιας αξίωσης Ρ(Α)=μεγάλο* ρεt, και την πιθανότητα του αντίθετου συμβάντος Р(Α)=1-l*Dt.Ρ(Β)=φά(ρεt)= Π(σι< ρε t)=1- μι - Μ ρε t = Μ ρεt- την πιθανότητα έγκαιρης εξυπηρέτησης του αιτήματος ρεt. Στη συνέχεια A 00 - η αίτηση δεν θα παραληφθεί ή θα παραληφθεί, αλλά θα επιδοθεί. A 00 \u003d Ā + A * V. R 00 \u003d 1 - l*Dt. (το λάβαμε υπόψη (ρεt) 2 είναι μια απειροελάχιστη τιμή)

A 01 - η αίτηση θα ληφθεί, αλλά δεν θα επιδοθεί. Α 01 = Α * . R 01 = l*Dt.

Και 10 - η αίτηση θα επιδοθεί και δεν θα υπάρξει νέα. A 10 \u003d B * ένα. R 10 = m*Dt.

Και 11 - η αίτηση δεν θα επιδοθεί ή θα έρθει νέα που δεν έχει ακόμη επιδοθεί. Α 11 = +V * A. R 01 = 1- m*Dt.

Έτσι, παίρνουμε τον πίνακα μετάβασης:

Comp.	Ε 0	Ε 1
Ε 0	1-l * Dt	μεγάλο * Dt
Ε 1	Μ * Dt	1-μ * Dt

Πιθανότητα διακοπής λειτουργίας του συστήματος και αστοχίας.

Ας βρούμε τώρα την πιθανότητα το σύστημα να βρίσκεται σε κατάσταση μι 0 σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή t(εκείνοι. R 0 ( t) ). Γράφημα συνάρτησης
φαίνεται στο σχήμα 3.2.

Η ασύμπτωτη του γραφήματος είναι μια ευθεία γραμμή
.

Προφανώς, από κάποιο σημείο t,

1

Εικόνα 3.2

Τελικά το καταλαβαίνουμε
και
, όπου R 1 (t) είναι η πιθανότητα ότι τη στιγμή t το σύστημα είναι απασχολημένο (δηλαδή είναι σε κατάσταση μι 1 ).

Είναι προφανές ότι στην αρχή της λειτουργίας QS, η συνεχιζόμενη διαδικασία δεν θα είναι στατική: θα είναι μια «μεταβατική», μη στατική λειτουργία. Μετά από κάποιο χρονικό διάστημα (που εξαρτάται από τις εντάσεις των ροών εισόδου και εξόδου), αυτή η διαδικασία θα σταματήσει και το σύστημα θα μεταβεί σε μια σταθερή, σταθερή κατάσταση λειτουργίας και τα πιθανοτικά χαρακτηριστικά δεν θα εξαρτώνται πλέον από το χρόνο.

Σταθερός τρόπος λειτουργίας και συντελεστής φορτίου συστήματος.

Εάν η πιθανότητα το σύστημα να βρίσκεται σε κατάσταση μι κ, δηλ. R κ (t), δεν εξαρτάται από το χρόνο t, τότε λένε ότι το QS έχει καθιερώσει στατική λειτουργίαδουλειά. Ταυτόχρονα, η αξία
που ονομάζεται συντελεστής φορτίου συστήματος(ή η μειωμένη πυκνότητα της ροής των εφαρμογών). Μετά για τις πιθανότητες R 0 (t) και R 1 (t) παίρνουμε τους παρακάτω τύπους:
,
. Μπορείτε επίσης να συμπεράνετε: Όσο μεγαλύτερος είναι ο συντελεστής φορτίου του συστήματος, τόσο πιο πιθανό είναι να αποτύχει το σύστημα (δηλαδή, η πιθανότητα το σύστημα να είναι απασχολημένο).

Το πλυντήριο αυτοκινήτων διαθέτει μία μονάδα για συντήρηση. Τα αυτοκίνητα φτάνουν σε διανομή Poisson με ρυθμό 5 αυτοκίνητα/ώρα. Ο μέσος χρόνος σέρβις για ένα αυτοκίνητο είναι 10 λεπτά. Βρείτε την πιθανότητα ότι ένα αυτοκίνητο που πλησιάζει θα βρει το σύστημα απασχολημένο εάν το QS βρίσκεται σε στάση.

Λύση.Σύμφωνα με την αποστολή, μεγάλο=5, Μ y =5/6. Πρέπει να βρούμε την πιθανότητα R 1 είναι η πιθανότητα αστοχίας του συστήματος.
.

3.4.2 Μονοκάναλο QS με απεριόριστο μήκος ουράς.

Θα εξετάσουμε συστήματα που ικανοποιούν τις απαιτήσεις: (Ρ/Ε/1):(d/¥/¥). Το σύστημα μπορεί να βρίσκεται σε μία από τις πολιτείες μι 0 , …, μι κ, … Η ανάλυση δείχνει ότι μετά από κάποιο χρονικό διάστημα ένα τέτοιο σύστημα αρχίζει να λειτουργεί σε σταθερή λειτουργία εάν η ένταση της ροής εξόδου υπερβαίνει την ένταση της ροής εισόδου (δηλαδή, ο συντελεστής φορτίου συστήματος είναι μικρότερος από ένα). Λαμβάνοντας υπόψη αυτή τη συνθήκη, παίρνουμε το σύστημα των εξισώσεων

λύνοντας το οποίο βρίσκουμε ότι . Έτσι, υπό την προϋπόθεση ότι y<1, получим
Τελικά,
και
είναι η πιθανότητα το QS να βρίσκεται στην κατάσταση μι κσε μια τυχαία χρονική στιγμή.

Μέση χαρακτηριστικά του συστήματος.

Λόγω της ανομοιόμορφης λήψης απαιτήσεων στο σύστημα και των διακυμάνσεων του χρόνου εξυπηρέτησης, σχηματίζεται ουρά στο σύστημα. Για ένα τέτοιο σύστημα, μπορείτε να εξερευνήσετε:

• n – τον ​​αριθμό των απαιτήσεων στο QS (στην ουρά και στην υπηρεσία).
• v – μήκος ουράς
• w – χρόνος αναμονής έναρξης της υπηρεσίας·
• w 0 είναι ο συνολικός χρόνος που δαπανάται στο σύστημα.

Θα μας ενδιαφέρει μέτρια χαρακτηριστικά(δηλαδή, παίρνουμε τη μαθηματική προσδοκία των θεωρούμενων τυχαίων μεταβλητών και θυμόμαστε ότι y<1).

είναι ο μέσος αριθμός εφαρμογών στο σύστημα.

είναι το μέσο μήκος ουράς.

είναι ο μέσος χρόνος αναμονής για την έναρξη της υπηρεσίας, δηλ. χρόνος αναμονής στην ουρά.

- ο μέσος χρόνος που ξοδεύει η εφαρμογή στο σύστημα - στην ουρά και για εξυπηρέτηση.

Στο πλυντήριο αυτοκινήτων, υπάρχει ένα τετράγωνο για σέρβις και υπάρχει θέση για την ουρά. Τα αυτοκίνητα φτάνουν σε διανομή Poisson με ρυθμό 5 αυτοκίνητα/ώρα. Ο μέσος χρόνος σέρβις για ένα αυτοκίνητο είναι 10 λεπτά. Βρείτε όλα τα μέσα χαρακτηριστικά QS.

Λύση. μεγάλο=5, Μ=60min/10min = 6. Συντελεστής φορτίου y =5/6. Στη συνέχεια, ο μέσος αριθμός αυτοκινήτων στο σύστημα
, μέσο μήκος ουράς
, ο μέσος χρόνος αναμονής για την έναρξη της υπηρεσίας
ώρες = 50 λεπτά και τέλος ο μέσος χρόνος παραμονής στο σύστημα
ώρα.

3.4.3 Μονοκάναλο QS μικτού τύπου.

Ας υποθέσουμε ότι το μήκος της ουράς είναι Μαπαιτήσεις. Στη συνέχεια, για οποιαδήποτε μικρό£ Μ, η πιθανότητα εύρεσης του QS στην κατάσταση μι 1+ μικρό, υπολογίζεται με τον τύπο
, δηλ. μια αίτηση επιδίδεται και μια άλλη μικρόοι εφαρμογές βρίσκονται στην ουρά.

Η πιθανότητα διακοπής λειτουργίας του συστήματος είναι
,

και η πιθανότητα αστοχίας του συστήματος είναι
.

Δίνονται τρία μονοκάναλα συστήματα, για το καθένα μεγάλο=5, Μ =6. Αλλά το πρώτο σύστημα είναι με αποτυχίες, το δεύτερο είναι με καθαρή αναμονή και το τρίτο είναι με περιορισμένο μήκος ουράς, Μ=2. Βρείτε και συγκρίνετε τις πιθανότητες διακοπής λειτουργίας αυτών των τριών συστημάτων.

Λύση.Συντελεστής φορτίου για όλα τα συστήματα y=5/6. Για ένα σύστημα με αστοχίες
. Για ένα σύστημα με καθαρή προσδοκία
. Για ένα σύστημα με περιορισμένο μήκος ουράς
. Το συμπέρασμα είναι προφανές: όσο περισσότερες εφαρμογές βρίσκονται στην ουρά, τόσο μικρότερη είναι η πιθανότητα διακοπής λειτουργίας του συστήματος.

3.5 Πολυκαναλικό QS.

3.5.1 Πολυκαναλικό QS με βλάβες.

Θα εξετάσουμε τα συστήματα (Р/Е/s):(-/s/¥) με την υπόθεση ότι ο χρόνος υπηρεσίας δεν εξαρτάται από τη ροή εισόδου και όλες οι γραμμές λειτουργούν ανεξάρτητα. Τα πολυκαναλικά συστήματα, εκτός από τον συντελεστή φορτίου, μπορούν να χαρακτηριστούν και από τον συντελεστή
, όπου μικρό– αριθμός καναλιών εξυπηρέτησης. Εξερευνώντας το πολυκαναλικό QS, λαμβάνουμε τους ακόλουθους τύπους (φόρμουλες Erlang) για την πιθανότητα το σύστημα να βρίσκεται σε κατάσταση μι κσε τυχαίο χρόνο:

, k=0, 1, …

συνάρτηση κόστους.

Όπως και με τα μονοκάναλα συστήματα, η αύξηση του συντελεστή φορτίου οδηγεί σε αύξηση της πιθανότητας αστοχίας του συστήματος. Από την άλλη πλευρά, η αύξηση του αριθμού των γραμμών εξυπηρέτησης οδηγεί σε αύξηση της πιθανότητας διακοπής λειτουργίας του συστήματος ή των μεμονωμένων καναλιών. Επομένως, είναι απαραίτητο να βρεθεί ο βέλτιστος αριθμός καναλιών εξυπηρέτησης για αυτό το QS. Ο μέσος αριθμός δωρεάν γραμμών εξυπηρέτησης μπορεί να βρεθεί από τον τύπο
. Ας παρουσιάσουμε το C( μικρό) – συνάρτηση κόστους QS ανάλογα με Με 1 – το κόστος μιας άρνησης (κύρωση για ανεκπλήρωτη αίτηση) και από Με 2 - το κόστος διακοπής λειτουργίας μιας γραμμής ανά μονάδα χρόνου.

Για να βρείτε τη βέλτιστη επιλογή, πρέπει να βρείτε (και αυτό μπορεί να γίνει) την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης κόστους: ΑΠΟ(μικρό) = με 1* μεγάλο * Π μικρό +γ 2*, το γράφημα του οποίου φαίνεται στο Σχήμα 3.3:

Εικόνα 3.3

Η αναζήτηση για την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης κόστους είναι ότι βρίσκουμε πρώτα τις τιμές της μικρό =1, μετά για μικρό =2, μετά για μικρό =3, κ.λπ. μέχρι σε κάποιο βήμα η τιμή της συνάρτησης С( μικρό) δεν θα είναι μεγαλύτερο από το προηγούμενο. Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση έχει φτάσει στο ελάχιστο της και άρχισε να μεγαλώνει. Η απάντηση είναι ο αριθμός των καναλιών εξυπηρέτησης (τιμή μικρό) για τα οποία η συνάρτηση κόστους είναι ελάχιστη.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ .

Πόσες γραμμές εξυπηρέτησης πρέπει να περιέχουν QS με βλάβες, αν μεγάλο\u003d 2 reb / ​​ώρα, Μ\u003d 1 reb / ​​ώρα, η ποινή για κάθε αποτυχία είναι 7 χιλιάδες ρούβλια, το κόστος διακοπής λειτουργίας για μία γραμμή είναι 2 χιλιάδες ρούβλια. σε ώρα;

Λύση. y = 2/1=2. Με 1 =7, Με 2 =2.

Ας υποθέσουμε ότι το QS έχει δύο κανάλια εξυπηρέτησης, δηλ. μικρό =2. Επειτα
. Συνεπώς, Γ(2) = γ 1 *μεγάλο*Π 2 +γ 2 *(2- y*(1-σελ 2 )) = =7*2*0.4+2*(2-2*0.6)=7.2.

Ας το προσποιηθούμε μικρό =3. Επειτα
, Γ(3) = γ 1 *μεγάλο*Π 3 +γ 2 *
=5.79.

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν τέσσερα κανάλια, δηλ. μικρό =4. Επειτα
,
, C(4) = γ 1 *μεγάλο*Π 4 +γ 2 *
=5.71.

Ας υποθέσουμε ότι το QS έχει πέντε κανάλια εξυπηρέτησης, δηλ. μικρό =5. Επειτα
, C(5) = 6,7 - περισσότερο από την προηγούμενη τιμή. Επομένως, ο βέλτιστος αριθμός καναλιών υπηρεσίας είναι τέσσερα.

3.5.2 Πολυκαναλικό QS με ουρά.

Θα εξετάσουμε τα συστήματα (Р/Е/s):(d/d+s/¥) με την υπόθεση ότι ο χρόνος υπηρεσίας δεν εξαρτάται από τη ροή εισόδου και όλες οι γραμμές λειτουργούν ανεξάρτητα. Θα πούμε ότι το σύστημα έχει εγκατασταθεί σταθερή λειτουργία, εάν ο μέσος αριθμός εισερχόμενων αξιώσεων είναι μικρότερος από τον μέσο αριθμό αξιώσεων που εξυπηρετούνται σε όλες τις γραμμές του συστήματος, π.χ. μεγάλο

P(w>0) είναι η πιθανότητα να περιμένετε να ξεκινήσει η υπηρεσία,
.

Το τελευταίο χαρακτηριστικό επιτρέπει την επίλυση του προβλήματος του προσδιορισμού του βέλτιστου αριθμού καναλιών υπηρεσίας με τέτοιο τρόπο ώστε η πιθανότητα αναμονής για την έναρξη της υπηρεσίας να είναι μικρότερη από έναν δεδομένο αριθμό. Για να γίνει αυτό, αρκεί να υπολογίσουμε την πιθανότητα προσδοκίας διαδοχικά για μικρό =1, μικρό =2, μικρό=3 κ.λπ.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ .

SMO - ένας σταθμός ασθενοφόρου μιας μικρής μικροπεριφέρειας. μεγάλο= 3 κλήσεις την ώρα, και Μ= 4 κλήσεις την ώρα για μία ομάδα. Πόσα πληρώματα πρέπει να βρίσκονται στο σταθμό ώστε η πιθανότητα αναμονής για έξοδο να είναι μικρότερη από 0,01;

Λύση.Συντελεστής φορτίου συστήματος y =0,75. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν δύο διαθέσιμες ομάδες. Ας βρούμε την πιθανότητα να περιμένουμε να ξεκινήσει η υπηρεσία μικρό =2.
,
.

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν τρεις ταξιαρχίες, δηλ. μικρό=3. Σύμφωνα με τους τύπους, το παίρνουμε αυτό R 0 =8/17, P(w>0)=0.04>0.01 .

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν τέσσερα πληρώματα στο σταθμό, δηλ. μικρό=4. Τότε το καταλαβαίνουμε R 0 =416/881, P(w>0)=0.0077<0.01 . Επομένως, θα πρέπει να υπάρχουν τέσσερις ταξιαρχίες στο σταθμό.

3.6 Ερωτήσεις για αυτοέλεγχο

1. Το θέμα και οι εργασίες της θεωρίας της ουράς.
2. QS, τα μοντέλα και τις ονομασίες τους.
3. Ροή εισαγωγής απαιτήσεων. Η ένταση της ροής εισόδου.
4. Κατάσταση του συστήματος. Πίνακας και γράφημα μεταβάσεων.
5. Μονοκάναλο QS με βλάβες.
6. Μονοκάναλο QS με ουρά. Χαρακτηριστικά.
7. Σταθερός τρόπος λειτουργίας. Συντελεστής φορτίου συστήματος.
8. Πολυκαναλικό QS με βλάβες.
9. Βελτιστοποίηση συνάρτησης κόστους.
10. Πολυκαναλικό QS με ουρά. Χαρακτηριστικά.

3.7 Ασκήσεις για ανεξάρτητη εργασία

1. Το σνακ μπαρ στο βενζινάδικο έχει έναν πάγκο. Τα αυτοκίνητα φτάνουν σύμφωνα με μια διανομή Poisson, με μέσο όρο 2 αυτοκίνητα ανά 5 λεπτά. Κατά μέσο όρο, 1,5 λεπτό είναι αρκετό για να ολοκληρωθεί μια παραγγελία, αν και η διάρκεια της υπηρεσίας κατανέμεται σύμφωνα με έναν εκθετικό νόμο. Βρείτε: α) την πιθανότητα ο στάβλος να είναι αδρανής. β) μέση απόδοση. γ) η πιθανότητα ο αριθμός των αυτοκινήτων που θα φτάσουν να είναι τουλάχιστον 10.
2. Το μηχάνημα ακτίνων Χ σάς επιτρέπει να εξετάζετε κατά μέσο όρο 7 άτομα την ώρα. Η ένταση των επισκεπτών είναι 5 άτομα την ώρα. Υποθέτοντας σταθερή λειτουργία, προσδιορίστε τα μέσα χαρακτηριστικά.
3. Ο χρόνος υπηρεσίας στο QS υπακούει σε έναν εκθετικό νόμο,
   Μ = 7 απαιτήσεις ανά ώρα. Βρείτε την πιθανότητα ότι α) ο χρόνος υπηρεσίας είναι μεταξύ 3 και 30 λεπτών. β) η αξίωση θα επιδοθεί εντός μίας ώρας. Χρησιμοποιήστε τον πίνακα τιμών συνάρτησης μι Χ .
4. Υπάρχει ένα αγκυροβόλιο στο λιμάνι του ποταμού, η ένταση της ροής εισόδου είναι 5 σκάφη την ημέρα. Η ένταση των εργασιών φόρτωσης και εκφόρτωσης είναι 6 πλοία την ημέρα. Έχοντας υπόψη τον στατικό τρόπο λειτουργίας, προσδιορίστε όλα τα μέσα χαρακτηριστικά του συστήματος.
5. μεγάλο=3, Μ=2, η ποινή για κάθε αποτυχία είναι 5 και το κόστος διακοπής λειτουργίας ανά γραμμή είναι 2;
6. Ποιος είναι ο βέλτιστος αριθμός καναλιών υπηρεσίας που πρέπει να έχει ένα QS εάν μεγάλο=3, Μ =1, η ποινή για κάθε αστοχία είναι 7 και το κόστος διακοπής λειτουργίας ανά γραμμή είναι 3;
7. Ποιος είναι ο βέλτιστος αριθμός καναλιών υπηρεσίας που πρέπει να έχει ένα QS εάν μεγάλο=4, Μ=2, η ποινή για κάθε αστοχία είναι 5 και το κόστος διακοπής λειτουργίας ανά γραμμή είναι 1;
8. Προσδιορίστε τον αριθμό των διαδρόμων για αεροσκάφη, με την προϋπόθεση ότι η πιθανότητα αναμονής πρέπει να είναι μικρότερη από 0,05. Ταυτόχρονα, η ένταση της ροής εισόδου είναι 27 αεροσκάφη την ημέρα και η ένταση της υπηρεσίας τους είναι 30 αεροσκάφη την ημέρα.
9. Πόσες ισοδύναμες ανεξάρτητες γραμμές μεταφοράς πρέπει να έχει ένα συνεργείο για να εξασφαλίσει ρυθμό εργασίας στον οποίο η πιθανότητα αναμονής για την επεξεργασία των προϊόντων πρέπει να είναι μικρότερη από 0,03 (κάθε προϊόν παράγεται από μία γραμμή). Είναι γνωστό ότι η ένταση λήψης παραγγελιών είναι 30 προϊόντα την ώρα και η ένταση επεξεργασίας ενός προϊόντος σε μία γραμμή είναι 36 προϊόντα την ώρα.
10. Μια συνεχής τυχαία μεταβλητή Χ κατανέμεται σύμφωνα με έναν εκθετικό νόμο με την παράμετρο l=5. Βρείτε τη συνάρτηση κατανομής, τα χαρακτηριστικά και την πιθανότητα να χτυπήσετε το r.v. X στην περιοχή από 0,17 έως 0,28.
11. Ο μέσος αριθμός κλήσεων που φτάνουν στο PBX σε ένα λεπτό είναι 3. Υποθέτοντας ότι η ροή είναι Poisson, βρείτε την πιθανότητα ότι σε 2 λεπτά θα υπάρξουν: α) δύο κλήσεις. β) λιγότερες από δύο κλήσεις. γ) τουλάχιστον δύο κλήσεις.
12. Υπάρχουν 17 εξαρτήματα σε ένα κουτί, 4 από τα οποία είναι ελαττωματικά. Ο συναρμολογητής τραβάει 5 κομμάτια τυχαία. Βρείτε την πιθανότητα ότι α) όλα τα εξαγόμενα μέρη είναι υψηλής ποιότητας. β) ανάμεσα στα εξαγόμενα μέρη 3 ελαττωματικά.
13. Πόσα κανάλια πρέπει να έχει ένα QS με αποτυχίες αν μεγάλο\u003d 2 reb / ​​ώρα, Μ\u003d 1 reb / ​​ώρα, η ποινή για κάθε αποτυχία είναι 8 χιλιάδες ρούβλια, το κόστος διακοπής λειτουργίας για μία γραμμή είναι 2 χιλιάδες ρούβλια. σε ώρα;

1. Μονοκάναλο QS με βλάβες.

Παράδειγμα.Αφήστε ένα μονοκάναλο QS με βλάβες να αντιπροσωπεύει ένα καθημερινό πρατήριο (OD) για το πλύσιμο αυτοκινήτων. Η εφαρμογή - ένα αυτοκίνητο που έφτασε σε μια στιγμή που το ταχυδρομείο είναι απασχολημένο - απορρίπτεται η εξυπηρέτηση.

Ρυθμός ροής οχήματος = 1,0 (όχημα ανά ώρα).

Ο μέσος χρόνος εξυπηρέτησης είναι 1,8 ώρες.

Η ροή του αυτοκινήτου και η ροή υπηρεσιών είναι τα πιο απλά.

Απαιτείται να καθοριστείσε οριακές τιμές σταθερής κατάστασης:

Σχετικό εύρος ζώνης q;

Απόλυτο εύρος ζώνης ΑΛΛΑ ;

Πιθανότητες αποτυχίας Π ανοιχτό.

Χρειάζεται σύγκριση πραγματικόςΔιακίνηση QS με ονομαστικός, που θα ήταν αν κάθε αυτοκίνητο εξυπηρετούνταν ακριβώς 1,8 ώρα και τα αυτοκίνητα ακολουθούσαν το ένα μετά το άλλο χωρίς διάλειμμα.

2. Μονοκάναλο QS με αναμονή

Χαρακτηριστικό συστήματος

Ø Το SMO έχει ένα κανάλι.

Ø Η εισερχόμενη ροή αιτημάτων για εξυπηρέτηση είναι η απλούστερη ροή με ένταση.

Ø Η ένταση της ροής υπηρεσίας είναι ίση με m (δηλαδή, κατά μέσο όρο, ένα συνεχώς απασχολημένο κανάλι θα εκδώσει m αιτήματα εξυπηρέτησης).

Ø Η διάρκεια της υπηρεσίας είναι μια τυχαία μεταβλητή που υπόκειται σε νόμο εκθετικής κατανομής.

Ø Η ροή υπηρεσιών είναι η απλούστερη ροή γεγονότων Poisson.

Ø Το αίτημα, που ελήφθη τη στιγμή που το κανάλι είναι απασχολημένο, μπαίνει στην ουρά και περιμένει για σέρβις.

Γράφημα κατάστασης

Οι καταστάσεις QS έχουν την ακόλουθη ερμηνεία:

μικρό 0 - "Το κανάλι είναι δωρεάν"

μικρό 1 - "το κανάλι είναι απασχολημένο" (δεν υπάρχει ουρά).

μικρό 2 - "το κανάλι είναι απασχολημένο" (μία εφαρμογή βρίσκεται στην ουρά).

…………………………………………………….

sn- "Το κανάλι είναι απασχολημένο" ( n-1 εφαρμογές βρίσκονται στην ουρά).

SN- "Το κανάλι είναι απασχολημένο" ( Ν- 1 αιτήσεις βρίσκονται στην ουρά).

Η στατική διαδικασία σε αυτό το σύστημα περιγράφεται από το ακόλουθο σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων:

Η λύση στο σύστημα των εξισώσεων είναι:

3. Μονοκάναλο QS με περιορισμένη ουρά.

Μήκος ουράς :( Ν - 1)

Χαρακτηριστικά συστήματος:

1. Πιθανότητα άρνησης παροχής υπηρεσιών στο σύστημα:

2. Σχετική απόδοση του συστήματος:

3. Απόλυτη απόδοση του συστήματος:

4. Μέσος αριθμός εφαρμογών στο σύστημα:

5. Μέσος χρόνος παραμονής μιας αίτησης στο σύστημα:

6. Μέση διάρκεια παραμονής του πελάτη (αίτηση) στην ουρά:

7. Μέσος αριθμός εφαρμογών (πελάτες) στην ουρά (μήκος ουράς):

Παράδειγμα.

Μια εξειδικευμένη διαγνωστική θέση είναι ένα μονοκάναλο QS.

Ο αριθμός των χώρων στάθμευσης για αυτοκίνητα που περιμένουν διαγνωστικά είναι περιορισμένος και ίσος με 3 [( Ν- 1) = 3]. Εάν όλοι οι χώροι στάθμευσης είναι κατειλημένοι, δηλαδή υπάρχουν ήδη τρία αυτοκίνητα στην ουρά, τότε το επόμενο αυτοκίνητο που έφτασε για διαγνωστικά δεν μπαίνει στην ουρά σέρβις.

Η ροή των αυτοκινήτων που φτάνουν για διαγνωστικά κατανέμεται σύμφωνα με το νόμο του Poisson και έχει ένταση 0,85 (αυτοκίνητα ανά ώρα).

Ο χρόνος του διαγνωστικού αυτοκινήτου κατανέμεται σύμφωνα με τον εκθετικό νόμο και ισούται με 1,05 ώρες κατά μέσο όρο.

4. Μονοκάναλο QS με αναμονή

χωρίς όριο μήκους ουράς

Οι προϋποθέσεις για τη λειτουργία του QS παραμένουν αμετάβλητες, λαμβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι ο N .

Ο σταθερός τρόπος λειτουργίας ενός τέτοιου QS υπάρχει:

Για οποιονδηποτε n= 0, 1, 2, ... και πότε λ < μ .

Το σύστημα εξισώσεων που περιγράφει τη λειτουργία του QS:

Η λύση του συστήματος εξισώσεων έχει τη μορφή:

2. Μέση διάρκεια παραμονής πελάτη στο σύστημα:

3. Μέσος αριθμός πελατών στην ουρά εξυπηρέτησης:

4. Μέση διάρκεια παραμονής του πελάτη στην ουρά:

Παράδειγμα.

Μια εξειδικευμένη διαγνωστική θέση είναι ένα μονοκάναλο QS. Ο αριθμός των χώρων στάθμευσης για αυτοκίνητα που περιμένουν διαγνωστικά δεν είναι περιορισμένος. Η ροή των αυτοκινήτων που φτάνουν για διαγνωστικά κατανέμεται σύμφωνα με το νόμο Poisson και έχει ένταση λ = 0,85 (αυτοκίνητα ανά ώρα). Ο χρόνος του διαγνωστικού αυτοκινήτου κατανέμεται σύμφωνα με τον εκθετικό νόμο και ισούται με 1,05 ώρες κατά μέσο όρο.

Απαιτείται ο προσδιορισμός των πιθανοτικών χαρακτηριστικών ενός διαγνωστικού σταθμού που λειτουργεί σε ακίνητη λειτουργία.

Ως αποτέλεσμα της επίλυσης του προβλήματος, είναι απαραίτητο να προσδιοριστούν οι τελικές τιμές των ακόλουθων πιθανολογικών χαρακτηριστικών:

ü πιθανότητες καταστάσεων συστήματος (διαγνωστικός σταθμός).

ü ο μέσος αριθμός αυτοκινήτων στο σύστημα (σε υπηρεσία και στην ουρά).

ü τη μέση διάρκεια παραμονής του αυτοκινήτου στο σύστημα (σε υπηρεσία και στην ουρά).

ü ο μέσος αριθμός αυτοκινήτων στην ουρά σέρβις.

το μέσο χρονικό διάστημα που περνά ένα αυτοκίνητο σε μια ουρά.

1. Παράμετρος της ροής εξυπηρέτησης και η μειωμένη ένταση της ροής του αυτοκινήτου:

μ = 0,952; ψ = 0,893.

2. Περιοριστικές πιθανότητες της κατάστασης του συστήματος:

Π 0 (t) καθορίζει το χρονικό διάστημα κατά το οποίο η διαγνωστική θέση αναγκάζεται να είναι ανενεργή (αδράνεια). Στο παράδειγμα, το ποσοστό αυτό είναι 10,7%, αφού Π 0 (t) = 0,107.

3. Μέσος αριθμός αυτοκινήτων στο σύστημα

(σε υπηρεσία και σε σειρά):

4. Μέση διάρκεια παραμονής πελάτη στο σύστημα

5. Μέσος αριθμός αυτοκινήτων στην ουρά σέρβις:

6. Μέση διάρκεια παραμονής του αυτοκινήτου στην ουρά:

7. Σχετική απόδοση του συστήματος:

q= 1, δηλαδή, κάθε αίτημα που εισέρχεται στο σύστημα θα εξυπηρετείται.

8. Απόλυτο εύρος ζώνης:

Ο σχεδιασμός παρουσίασης του υλικού παρουσιάζεται στο αρχείο "TMO"

Ερωτήσεις και εργασίες

(σύμφωνα με τον Afanasiev M.Yu.)

Ερώτηση 1.Ένας εργάτης συντηρεί τριάντα αργαλειούς, διασφαλίζοντας ότι ξεκινούν μετά από ένα σπάσιμο του νήματος. Το μοντέλο ενός τέτοιου συστήματος ουράς μπορεί να χαρακτηριστεί ως:

1) πολυκαναλικό μονοφασικό με περιορισμένο πληθυσμό.

2) μονοκαναλικό μονοφασικό με απεριόριστο πληθυσμό.

3) μονοκαναλικό πολυφασικό με περιορισμένο πληθυσμό.

4) μονοκαναλική μονοφασική με περιορισμένο πληθυσμό.

5) πολυκαναλικό μονοφασικό με απεριόριστο πληθυσμό.

Ερώτηση 2.Στη θεωρία της ουράς, για να περιγράψουμε την απλούστερη ροή αιτημάτων που φτάνουν στην είσοδο του συστήματος, χρησιμοποιείται η κατανομή πιθανότητας:

1) κανονικό?

2) εκθετική?

3) Poisson;

4) διωνυμικό?

Ερώτηση 3.Στη θεωρία της ουράς, θεωρείται ότι ο αριθμός των πελατών σε έναν πληθυσμό είναι:

1) σταθερό ή μεταβλητό.

2) περιορισμένη ή απεριόριστη?

3) γνωστό ή άγνωστο?

4) τυχαίο ή ντετερμινιστικό.

5) Τίποτα από τα παραπάνω δεν ισχύει.

Ερώτηση 4.Οι δύο κύριες παράμετροι που καθορίζουν τη διαμόρφωση ενός συστήματος ουράς είναι:

1) ποσοστό παραλαβής και ποσοστό υπηρεσίας.

2) κανόνας διάρκειας ουράς και υπηρεσίας.

3) κατανομή του χρόνου μεταξύ των αιτήσεων και κατανομή του χρόνου υπηρεσίας.

4) τον αριθμό των καναλιών και τον αριθμό των φάσεων εξυπηρέτησης.

5) Τίποτα από τα παραπάνω δεν ισχύει.

Ερώτηση 5.Στη θεωρία της ουράς, μια κατανομή πιθανότητας χρησιμοποιείται συνήθως για να περιγράψει τον χρόνο που αφιερώνεται σε αιτήματα εξυπηρέτησης:

1) κανονικό?

2) εκθετική?

3) Poisson;

4) διωνυμικό?

5) Τίποτα από τα παραπάνω δεν ισχύει.

Ερώτηση 6.Η επισκευή σπασμένων υπολογιστών στην Οικονομική Σχολή πραγματοποιείται από τρεις ειδικούς που εργάζονται ταυτόχρονα και ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλο. Το μοντέλο ενός τέτοιου συστήματος ουράς μπορεί να χαρακτηριστεί ως:

1) πολυκαναλικό με περιορισμένο πληθυσμό.

2) μονοκαναλικό με απεριόριστο πληθυσμό.

3) μονοκαναλικό με περιορισμένο πληθυσμό.

4) μονοκαναλικό με περιορισμένη ουρά.

5) πολυκαναλικό με απεριόριστο πληθυσμό.

Απαντήσεις σε ερωτήσεις: 1 -4, 2 - 3, 3 -2, 4 -4, 5 -2, 6 -1.

ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΔΙΚΤΥΟΥ

Τα συστήματα προγραμματισμού και διαχείρισης δικτύου (SPU) είναι ένα ειδικό είδος οργανωμένων συστημάτων διαχείρισης που έχουν σχεδιαστεί για να ρυθμίζουν τις παραγωγικές δραστηριότητες των ομάδων. Όπως και σε άλλα συστήματα αυτής της κατηγορίας, το «αντικείμενο ελέγχου» στα συστήματα STC είναι μια ομάδα εκτελεστών που διαθέτουν ορισμένους πόρους: ανθρώπινους, υλικούς, οικονομικούς. Ωστόσο, αυτά τα συστήματα έχουν μια σειρά από χαρακτηριστικά, αφού η μεθοδολογική τους βάση είναι οι μέθοδοι έρευνας λειτουργιών, η θεωρία των κατευθυνόμενων γραφημάτων και ορισμένα τμήματα της θεωρίας πιθανοτήτων και η μαθηματική στατιστική. Απαραίτητη ιδιότητα του συστήματος σχεδιασμού και διαχείρισης είναι επίσης η ικανότητα αξιολόγησης της τρέχουσας κατάστασης, πρόβλεψης της περαιτέρω πορείας της εργασίας και επομένως επηρεασμού της πορείας προετοιμασίας και παραγωγής, ώστε ολόκληρο το φάσμα της εργασίας να ολοκληρώνεται εγκαίρως και με το χαμηλότερο κόστος. .

Επί του παρόντος, τα μοντέλα και οι μέθοδοι STC χρησιμοποιούνται ευρέως στον σχεδιασμό και την υλοποίηση εργασιών κατασκευής και εγκατάστασης, στον προγραμματισμό εμπορικών δραστηριοτήτων, στη σύνταξη λογιστικών αναφορών, στην ανάπτυξη ενός εμπορικού και οικονομικού σχεδίου κ.λπ.

Το εύρος εφαρμογής του SPM είναι πολύ ευρύ: από εργασίες που σχετίζονται με δραστηριότητες ατόμων, έως έργα που περιλαμβάνουν εκατοντάδες οργανισμούς και δεκάδες χιλιάδες άτομα (για παράδειγμα, ανάπτυξη και δημιουργία ενός μεγάλου εδαφικού-βιομηχανικού συγκροτήματος).

Για να εκπονηθεί ένα σχέδιο εργασίας για την υλοποίηση μεγάλων και πολύπλοκων έργων, αποτελούμενο από χιλιάδες ξεχωριστές μελέτες και πράξεις, είναι απαραίτητο να περιγραφεί χρησιμοποιώντας κάποιο μαθηματικό μοντέλο. Ένα τέτοιο εργαλείο για την περιγραφή έργων (σύνθετων) είναι ένα μοντέλο δικτύου.