Αντίστροφη μέθοδος Gauss. Γκαουσιανή μέθοδος (διαδοχική εξάλειψη αγνώστων)

Επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων με τη μέθοδο Gauss.Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να βρούμε μια λύση στο σύστημα από nγραμμικές εξισώσεις με nάγνωστες μεταβλητές
η ορίζουσα του κύριου πίνακα του οποίου είναι διαφορετική από το μηδέν.

Η ουσία της μεθόδου Gaussαποτελείται από τη διαδοχική εξάλειψη άγνωστων μεταβλητών: πρώτα εξαλείφοντας x 1από όλες τις εξισώσεις του συστήματος, ξεκινώντας από τη δεύτερη, αποκλείεται περαιτέρω x 2από όλες τις εξισώσεις, ξεκινώντας από την τρίτη και ούτω καθεξής, μέχρι να παραμείνει μόνο η άγνωστη μεταβλητή στην τελευταία εξίσωση x n. Αυτή η διαδικασία μετασχηματισμού εξισώσεων συστήματος για διαδοχική εξάλειψη άγνωστων μεταβλητών ονομάζεται άμεση Gaussian μέθοδος. Αφού ολοκληρώσουμε την πρόοδο προς τα εμπρός της μεθόδου Gauss, από την τελευταία εξίσωση βρίσκουμε x n, χρησιμοποιώντας αυτή την τιμή από την προτελευταία εξίσωση που υπολογίζουμε xn-1, και ούτω καθεξής, από την πρώτη εξίσωση που βρίσκουμε x 1. Ονομάζεται η διαδικασία υπολογισμού άγνωστων μεταβλητών κατά τη μετάβαση από την τελευταία εξίσωση του συστήματος στην πρώτη αντίστροφη της μεθόδου Gauss.

Ας περιγράψουμε εν συντομία τον αλγόριθμο για την εξάλειψη άγνωστων μεταβλητών.

Θα υποθέσουμε ότι , αφού μπορούμε πάντα να το πετύχουμε αυτό αναδιατάσσοντας τις εξισώσεις του συστήματος. Καταργήστε την άγνωστη μεταβλητή x 1από όλες τις εξισώσεις του συστήματος, ξεκινώντας από τη δεύτερη. Για να γίνει αυτό, στη δεύτερη εξίσωση του συστήματος προσθέτουμε την πρώτη, πολλαπλασιαζόμενη επί , στην τρίτη εξίσωση προσθέτουμε την πρώτη, πολλαπλασιαζόμενη με , και ούτω καθεξής, στο απείρως μικρόςστην εξίσωση προσθέτουμε την πρώτη, πολλαπλασιαζόμενη επί . Το σύστημα των εξισώσεων μετά από τέτοιους μετασχηματισμούς θα πάρει τη μορφή

πού και .

Θα φτάναμε στο ίδιο αποτέλεσμα αν εκφραζόμασταν x 1μέσω άλλων άγνωστων μεταβλητών στην πρώτη εξίσωση του συστήματος και η προκύπτουσα έκφραση αντικαταστάθηκε σε όλες τις άλλες εξισώσεις. Η μεταβλητή λοιπόν x 1εξαιρούνται από όλες τις εξισώσεις, ξεκινώντας από τη δεύτερη.

Στη συνέχεια, προχωράμε με παρόμοιο τρόπο, αλλά μόνο με μέρος του προκύπτοντος συστήματος, το οποίο σημειώνεται στο σχήμα

Για να γίνει αυτό, στην τρίτη εξίσωση του συστήματος προσθέτουμε τη δεύτερη, πολλαπλασιαζόμενη επί , στην τέταρτη εξίσωση προσθέτουμε τη δεύτερη, πολλαπλασιαζόμενη με , και ούτω καθεξής, στο απείρως μικρόςστην εξίσωση προσθέτουμε τη δεύτερη, πολλαπλασιαζόμενη επί . Το σύστημα των εξισώσεων μετά από τέτοιους μετασχηματισμούς θα πάρει τη μορφή

πού και . Η μεταβλητή λοιπόν x 2εξαιρούνται από όλες τις εξισώσεις ξεκινώντας από την τρίτη.

Στη συνέχεια προχωράμε στην εξάλειψη του αγνώστου x 3, σε αυτή την περίπτωση ενεργούμε παρόμοια με το τμήμα του συστήματος που σημειώνεται στο σχήμα

Συνεχίζουμε λοιπόν την άμεση εξέλιξη της μεθόδου Gauss μέχρι το σύστημα να πάρει τη μορφή

Από αυτή τη στιγμή ξεκινάμε το αντίστροφο της μεθόδου Gauss: υπολογίζουμε x nαπό την τελευταία εξίσωση ως, χρησιμοποιώντας την τιμή που προκύπτει x nβρίσκουμε xn-1από την προτελευταία εξίσωση, και ούτω καθεξής, βρίσκουμε x 1από την πρώτη εξίσωση.

Παράδειγμα.

Επίλυση συστήματος γραμμικών εξισώσεων Μέθοδος Gauss.

Από τις αρχές του 16ου-18ου αιώνα, οι μαθηματικοί άρχισαν εντατικά να μελετούν συναρτήσεις, χάρη στις οποίες έχουν αλλάξει τόσα πολλά στη ζωή μας. Η τεχνολογία των υπολογιστών απλά δεν θα υπήρχε χωρίς αυτή τη γνώση. Διάφορες έννοιες, θεωρήματα και τεχνικές λύσης έχουν δημιουργηθεί για την επίλυση πολύπλοκων προβλημάτων, γραμμικών εξισώσεων και συναρτήσεων. Μία από αυτές τις καθολικές και ορθολογικές μεθόδους και τεχνικές για την επίλυση γραμμικών εξισώσεων και των συστημάτων τους ήταν η μέθοδος Gauss. Πίνακες, η κατάταξή τους, ορίζουσα - τα πάντα μπορούν να υπολογιστούν χωρίς τη χρήση πολύπλοκων πράξεων.

Τι είναι το SLAU

Στα μαθηματικά, υπάρχει η έννοια του SLAE - ένα σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων. Πώς είναι αυτή; Αυτό είναι ένα σύνολο από εξισώσεις m με τις απαιτούμενες n άγνωστες ποσότητες, που συνήθως συμβολίζονται ως x, y, z ή x 1, x 2 ... x n ή άλλα σύμβολα. Η επίλυση ενός δεδομένου συστήματος χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss σημαίνει εύρεση όλων των αγνώστων. Αν ένα σύστημα έχει τον ίδιο αριθμό αγνώστων και εξισώσεων, τότε ονομάζεται σύστημα νης τάξης.

Οι πιο δημοφιλείς μέθοδοι επίλυσης SLAE

Στα εκπαιδευτικά ιδρύματα της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης, μελετώνται διάφορες μέθοδοι επίλυσης τέτοιων συστημάτων. Τις περισσότερες φορές πρόκειται για απλές εξισώσεις που αποτελούνται από δύο άγνωστα, επομένως οποιαδήποτε υπάρχουσα μέθοδος για την εύρεση της απάντησης σε αυτά δεν θα πάρει πολύ χρόνο. Αυτό μπορεί να μοιάζει με μια μέθοδο αντικατάστασης, όταν μια άλλη προέρχεται από μια εξίσωση και αντικαθίσταται στην αρχική. Ή τη μέθοδο της αφαίρεσης και της πρόσθεσης κατά όρο. Αλλά η μέθοδος Gauss θεωρείται η πιο εύκολη και καθολική. Καθιστά δυνατή την επίλυση εξισώσεων με οποιονδήποτε αριθμό αγνώστων. Γιατί η συγκεκριμένη τεχνική θεωρείται λογική; Είναι απλό. Το καλό με τη μέθοδο matrix είναι ότι δεν απαιτεί επανεγγραφή περιττών συμβόλων πολλές φορές ως άγνωστα· αρκεί να εκτελέσετε αριθμητικές πράξεις στους συντελεστές - και θα έχετε ένα αξιόπιστο αποτέλεσμα.

Πού χρησιμοποιούνται στην πράξη τα SLAE;

Η λύση στα SLAE είναι τα σημεία τομής των γραμμών στα γραφήματα των συναρτήσεων. Στην εποχή των υπολογιστών μας υψηλής τεχνολογίας, τα άτομα που συνδέονται στενά με την ανάπτυξη παιχνιδιών και άλλων προγραμμάτων πρέπει να γνωρίζουν πώς να επιλύουν τέτοια συστήματα, τι αντιπροσωπεύουν και πώς να ελέγχουν την ορθότητα του αποτελέσματος που προκύπτει. Τις περισσότερες φορές, οι προγραμματιστές αναπτύσσουν ειδικά προγράμματα αριθμομηχανής γραμμικής άλγεβρας, η οποία περιλαμβάνει επίσης ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων. Η μέθοδος Gauss σας επιτρέπει να υπολογίσετε όλες τις υπάρχουσες λύσεις. Χρησιμοποιούνται επίσης άλλοι απλοποιημένοι τύποι και τεχνικές.

Κριτήριο συμβατότητας SLAU

Ένα τέτοιο σύστημα μπορεί να λυθεί μόνο εάν είναι συμβατό. Για λόγους σαφήνειας, ας αναπαραστήσουμε το SLAE με τη μορφή Ax=b. Έχει λύση αν το rang(A) ισούται με το rang(A,b). Σε αυτήν την περίπτωση, το (A,b) είναι ένας πίνακας εκτεταμένης μορφής που μπορεί να ληφθεί από τον πίνακα A ξαναγράφοντας τον με ελεύθερους όρους. Αποδεικνύεται ότι η επίλυση γραμμικών εξισώσεων με τη μέθοδο Gaussian είναι αρκετά εύκολη.

Ίσως κάποια από τα σύμβολα να μην είναι απολύτως ξεκάθαρα, επομένως είναι απαραίτητο να εξετάσουμε τα πάντα με ένα παράδειγμα. Ας πούμε ότι υπάρχει ένα σύστημα: x+y=1; 2x-3y=6. Αποτελείται από δύο μόνο εξισώσεις, στις οποίες υπάρχουν 2 άγνωστοι. Το σύστημα θα έχει λύση μόνο εάν η κατάταξη του πίνακα του είναι ίση με την κατάταξη του εκτεταμένου πίνακα. Τι είναι η κατάταξη; Αυτός είναι ο αριθμός των ανεξάρτητων γραμμών του συστήματος. Στην περίπτωσή μας, η κατάταξη του πίνακα είναι 2. Ο πίνακας Α θα αποτελείται από συντελεστές που βρίσκονται κοντά στα άγνωστα και οι συντελεστές που βρίσκονται πίσω από το σύμβολο "=" ταιριάζουν επίσης στον εκτεταμένο πίνακα.

Γιατί τα SLAE μπορούν να αναπαρασταθούν σε μορφή μήτρας;

Με βάση το κριτήριο συμβατότητας σύμφωνα με το αποδεδειγμένο θεώρημα Kronecker-Capelli, ένα σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων μπορεί να αναπαρασταθεί σε μορφή πίνακα. Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gaussian cascade, μπορείτε να λύσετε τη μήτρα και να πάρετε μια ενιαία αξιόπιστη απάντηση για ολόκληρο το σύστημα. Εάν η κατάταξη ενός συνηθισμένου πίνακα είναι ίση με την κατάταξη του εκτεταμένου πίνακα του, αλλά είναι μικρότερη από τον αριθμό των αγνώστων, τότε το σύστημα έχει άπειρο αριθμό απαντήσεων.

Μετασχηματισμοί μήτρας

Πριν προχωρήσετε στην επίλυση πινάκων, πρέπει να γνωρίζετε ποιες ενέργειες μπορούν να εκτελεστούν στα στοιχεία τους. Υπάρχουν αρκετοί στοιχειώδεις μετασχηματισμοί:

• Ξαναγράφοντας το σύστημα σε μορφή πίνακα και λύνοντάς το, μπορείτε να πολλαπλασιάσετε όλα τα στοιχεία της σειράς με τον ίδιο συντελεστή.
• Για να μετατρέψετε τον πίνακα σε κανονική μορφή, μπορείτε να ανταλλάξετε δύο παράλληλες σειρές. Η κανονική μορφή υποδηλώνει ότι όλα τα στοιχεία μήτρας που βρίσκονται κατά μήκος της κύριας διαγωνίου γίνονται ένα και τα υπόλοιπα γίνονται μηδενικά.
• Τα αντίστοιχα στοιχεία των παράλληλων σειρών του πίνακα μπορούν να προστεθούν το ένα στο άλλο.

Μέθοδος Jordan-Gauss

Η ουσία της επίλυσης συστημάτων γραμμικών ομοιογενών και ανομοιογενών εξισώσεων με τη χρήση της μεθόδου Gauss είναι η σταδιακή εξάλειψη των αγνώστων. Ας πούμε ότι έχουμε ένα σύστημα δύο εξισώσεων στο οποίο υπάρχουν δύο άγνωστοι. Για να τα βρείτε, πρέπει να ελέγξετε το σύστημα για συμβατότητα. Η εξίσωση λύνεται πολύ απλά με τη μέθοδο Gauss. Είναι απαραίτητο να γράψετε τους συντελεστές που βρίσκονται κοντά σε κάθε άγνωστο σε μορφή πίνακα. Για να λύσετε το σύστημα, θα χρειαστεί να γράψετε τον εκτεταμένο πίνακα. Εάν μία από τις εξισώσεις περιέχει μικρότερο αριθμό αγνώστων, τότε το "0" πρέπει να τοποθετηθεί στη θέση του στοιχείου που λείπει. Όλες οι γνωστές μέθοδοι μετασχηματισμού εφαρμόζονται στον πίνακα: πολλαπλασιασμός, διαίρεση με έναν αριθμό, προσθήκη των αντίστοιχων στοιχείων της σειράς μεταξύ τους και άλλα. Αποδεικνύεται ότι σε κάθε σειρά είναι απαραίτητο να αφήσετε μία μεταβλητή με την τιμή "1", η υπόλοιπη πρέπει να μειωθεί στο μηδέν. Για πιο ακριβή κατανόηση, είναι απαραίτητο να εξετάσουμε τη μέθοδο Gauss με παραδείγματα.

Ένα απλό παράδειγμα επίλυσης συστήματος 2x2

Αρχικά, ας πάρουμε ένα απλό σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων, στο οποίο θα υπάρχουν 2 άγνωστοι.

Ας το ξαναγράψουμε σε μια εκτεταμένη μήτρα.

Για να λυθεί αυτό το σύστημα γραμμικών εξισώσεων, απαιτούνται μόνο δύο πράξεις. Πρέπει να φέρουμε τη μήτρα σε κανονική μορφή, έτσι ώστε να υπάρχουν κατά μήκος της κύριας διαγωνίου. Έτσι, μεταφέροντας από τη μορφή του πίνακα πίσω στο σύστημα, παίρνουμε τις εξισώσεις: 1x+0y=b1 και 0x+1y=b2, όπου b1 και b2 είναι οι προκύπτουσες απαντήσεις στη διαδικασία λύσης.

1. Η πρώτη ενέργεια κατά την επίλυση ενός εκτεταμένου πίνακα θα είναι η εξής: η πρώτη σειρά πρέπει να πολλαπλασιαστεί με -7 και να προστεθούν αντίστοιχα στοιχεία στη δεύτερη σειρά για να απαλλαγούμε από έναν άγνωστο στη δεύτερη εξίσωση.
2. Δεδομένου ότι η επίλυση εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss περιλαμβάνει τη μείωση του πίνακα σε κανονική μορφή, τότε είναι απαραίτητο να εκτελέσουμε τις ίδιες πράξεις με την πρώτη εξίσωση και να αφαιρέσουμε τη δεύτερη μεταβλητή. Για να γίνει αυτό, αφαιρούμε τη δεύτερη γραμμή από την πρώτη και παίρνουμε την απαιτούμενη απάντηση - τη λύση του SLAE. Ή, όπως φαίνεται στο σχήμα, πολλαπλασιάζουμε τη δεύτερη σειρά με έναν παράγοντα -1 και προσθέτουμε τα στοιχεία της δεύτερης σειράς στην πρώτη σειρά. Είναι το ίδιο.

Όπως μπορούμε να δούμε, το σύστημά μας επιλύθηκε με τη μέθοδο Jordan-Gauss. Το ξαναγράφουμε στην απαιτούμενη μορφή: x=-5, y=7.

Ένα παράδειγμα λύσης SLAE 3x3

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα πιο πολύπλοκο σύστημα γραμμικών εξισώσεων. Η μέθοδος Gauss καθιστά δυνατό τον υπολογισμό της απάντησης ακόμη και για το πιο φαινομενικά συγκεχυμένο σύστημα. Επομένως, για να εμβαθύνετε στη μεθοδολογία υπολογισμού, μπορείτε να προχωρήσετε σε ένα πιο περίπλοκο παράδειγμα με τρία άγνωστα.

Όπως και στο προηγούμενο παράδειγμα, ξαναγράφουμε το σύστημα με τη μορφή εκτεταμένου πίνακα και αρχίζουμε να το φέρνουμε στην κανονική του μορφή.

Για να λύσετε αυτό το σύστημα, θα χρειαστεί να εκτελέσετε πολύ περισσότερες ενέργειες από ό,τι στο προηγούμενο παράδειγμα.

1. Πρώτα πρέπει να κάνετε την πρώτη στήλη ένα στοιχείο μονάδας και τα υπόλοιπα μηδενικά. Για να το κάνετε αυτό, πολλαπλασιάστε την πρώτη εξίσωση με -1 και προσθέστε τη δεύτερη εξίσωση σε αυτήν. Είναι σημαντικό να θυμόμαστε ότι ξαναγράφουμε την πρώτη γραμμή στην αρχική της μορφή και τη δεύτερη σε τροποποιημένη μορφή.
2. Στη συνέχεια, αφαιρούμε τον ίδιο πρώτο άγνωστο από την τρίτη εξίσωση. Για να το κάνετε αυτό, πολλαπλασιάστε τα στοιχεία της πρώτης σειράς με -2 και προσθέστε τα στην τρίτη σειρά. Τώρα η πρώτη και η δεύτερη γραμμή ξαναγράφονται στην αρχική τους μορφή και η τρίτη - με αλλαγές. Όπως μπορείτε να δείτε από το αποτέλεσμα, πήραμε το πρώτο στην αρχή της κύριας διαγωνίου του πίνακα και τα υπόλοιπα μηδενικά. Λίγα βήματα ακόμη, και το σύστημα εξισώσεων με τη μέθοδο Gaussian θα λυθεί αξιόπιστα.
3. Τώρα πρέπει να εκτελέσετε λειτουργίες σε άλλα στοιχεία των σειρών. Η τρίτη και η τέταρτη δράση μπορούν να συνδυαστούν σε μία. Πρέπει να διαιρέσουμε τη δεύτερη και την τρίτη γραμμή με -1 για να απαλλαγούμε από τα μείον στη διαγώνιο. Έχουμε ήδη φέρει την τρίτη γραμμή στην απαιτούμενη φόρμα.
4. Στη συνέχεια φέρνουμε τη δεύτερη γραμμή σε κανονική μορφή. Για να γίνει αυτό, πολλαπλασιάζουμε τα στοιχεία της τρίτης σειράς με -3 και τα προσθέτουμε στη δεύτερη σειρά του πίνακα. Από το αποτέλεσμα είναι σαφές ότι η δεύτερη γραμμή περιορίζεται επίσης στη μορφή που χρειαζόμαστε. Απομένει να γίνουν μερικές ακόμη πράξεις και να αφαιρεθούν οι συντελεστές των αγνώστων από την πρώτη γραμμή.
5. Για να κάνετε 0 από το δεύτερο στοιχείο μιας σειράς, πρέπει να πολλαπλασιάσετε την τρίτη σειρά με -3 και να την προσθέσετε στην πρώτη σειρά.
6. Το επόμενο αποφασιστικό βήμα θα είναι να προσθέσετε τα απαραίτητα στοιχεία της δεύτερης σειράς στην πρώτη σειρά. Με αυτόν τον τρόπο παίρνουμε την κανονική μορφή του πίνακα και, κατά συνέπεια, την απάντηση.

Όπως μπορείτε να δείτε, η επίλυση εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss είναι αρκετά απλή.

Ένα παράδειγμα επίλυσης συστήματος εξισώσεων 4x4

Μερικά πιο πολύπλοκα συστήματα εξισώσεων μπορούν να λυθούν χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gaussian χρησιμοποιώντας προγράμματα υπολογιστών. Είναι απαραίτητο να εισαγάγετε τους συντελεστές για τους αγνώστους στα υπάρχοντα κενά κελιά και το ίδιο το πρόγραμμα θα υπολογίσει βήμα προς βήμα το απαιτούμενο αποτέλεσμα, περιγράφοντας λεπτομερώς κάθε ενέργεια.

Βήμα προς βήμα οδηγίες για την επίλυση ενός τέτοιου παραδείγματος περιγράφονται παρακάτω.

Στο πρώτο βήμα, οι ελεύθεροι συντελεστές και οι αριθμοί για αγνώστους εισάγονται σε κενά κελιά. Έτσι, παίρνουμε τον ίδιο εκτεταμένο πίνακα που γράφουμε χειροκίνητα.

Και εκτελούνται όλες οι απαραίτητες αριθμητικές πράξεις για να φέρουν τον εκτεταμένο πίνακα στην κανονική του μορφή. Είναι απαραίτητο να κατανοήσουμε ότι η απάντηση σε ένα σύστημα εξισώσεων δεν είναι πάντα ακέραιοι. Μερικές φορές η λύση μπορεί να είναι από κλασματικούς αριθμούς.

Έλεγχος της ορθότητας της λύσης

Η μέθοδος Jordan-Gauss προβλέπει τον έλεγχο της ορθότητας του αποτελέσματος. Για να μάθετε εάν οι συντελεστές υπολογίζονται σωστά, πρέπει απλώς να αντικαταστήσετε το αποτέλεσμα στο αρχικό σύστημα εξισώσεων. Η αριστερή πλευρά της εξίσωσης πρέπει να ταιριάζει με τη δεξιά πλευρά πίσω από το πρόσημο ίσου. Εάν οι απαντήσεις δεν ταιριάζουν, τότε πρέπει να υπολογίσετε ξανά το σύστημα ή να προσπαθήσετε να εφαρμόσετε σε αυτό μια άλλη μέθοδο επίλυσης SLAE που είναι γνωστή σε εσάς, όπως αντικατάσταση ή αφαίρεση και πρόσθεση ανά όρο. Εξάλλου, τα μαθηματικά είναι μια επιστήμη που έχει έναν τεράστιο αριθμό διαφορετικών μεθόδων επίλυσης. Αλλά να θυμάστε: το αποτέλεσμα πρέπει να είναι πάντα το ίδιο, ανεξάρτητα από τη μέθοδο λύσης που χρησιμοποιήσατε.

Μέθοδος Gauss: τα πιο συνηθισμένα σφάλματα κατά την επίλυση SLAE

Κατά την επίλυση γραμμικών συστημάτων εξισώσεων, συνήθως συμβαίνουν σφάλματα όπως εσφαλμένη μεταφορά συντελεστών σε μορφή πίνακα. Υπάρχουν συστήματα στα οποία λείπουν κάποιοι άγνωστοι από μία από τις εξισώσεις· στη συνέχεια, κατά τη μεταφορά δεδομένων σε έναν εκτεταμένο πίνακα, μπορεί να χαθούν. Ως αποτέλεσμα, κατά την επίλυση αυτού του συστήματος, το αποτέλεσμα μπορεί να μην αντιστοιχεί στο πραγματικό.

Ένα άλλο σημαντικό λάθος μπορεί να είναι η εσφαλμένη εγγραφή του τελικού αποτελέσματος. Είναι απαραίτητο να κατανοήσουμε ξεκάθαρα ότι ο πρώτος συντελεστής θα αντιστοιχεί στον πρώτο άγνωστο από το σύστημα, ο δεύτερος - στον δεύτερο και ούτω καθεξής.

Η μέθοδος Gauss περιγράφει λεπτομερώς τη λύση γραμμικών εξισώσεων. Χάρη σε αυτό, είναι εύκολο να πραγματοποιήσετε τις απαραίτητες λειτουργίες και να βρείτε το σωστό αποτέλεσμα. Επιπλέον, αυτό είναι ένα καθολικό εργαλείο για την εύρεση μιας αξιόπιστης απάντησης σε εξισώσεις οποιασδήποτε πολυπλοκότητας. Ίσως αυτός είναι ο λόγος που χρησιμοποιείται τόσο συχνά κατά την επίλυση SLAE.

Ορισμός και περιγραφή της μεθόδου Gauss

Η μέθοδος μετασχηματισμού Gauss (γνωστή και ως μέθοδος διαδοχικής εξάλειψης άγνωστων μεταβλητών από μια εξίσωση ή πίνακα) για την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων είναι μια κλασική μέθοδος για την επίλυση συστημάτων αλγεβρικών εξισώσεων (SLAE). Αυτή η κλασική μέθοδος χρησιμοποιείται επίσης για την επίλυση προβλημάτων όπως η λήψη αντίστροφων πινάκων και ο προσδιορισμός της κατάταξης ενός πίνακα.

Ο μετασχηματισμός με τη μέθοδο Gaussian συνίσταται στην πραγματοποίηση μικρών (στοιχειωδών) διαδοχικών αλλαγών σε ένα σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων, που οδηγούν στην εξάλειψη των μεταβλητών από αυτό από πάνω προς τα κάτω με το σχηματισμό ενός νέου τριγωνικού συστήματος εξισώσεων που είναι ισοδύναμο με το αρχικό ένας.

Ορισμός 1

Αυτό το μέρος της λύσης ονομάζεται μπροστινή λύση Gaussian, αφού ολόκληρη η διαδικασία πραγματοποιείται από πάνω προς τα κάτω.

Μετά τη μείωση του αρχικού συστήματος εξισώσεων σε τριγωνικό, όλες οι μεταβλητές του συστήματος βρίσκονται από κάτω προς τα πάνω (δηλαδή, οι πρώτες μεταβλητές που βρέθηκαν βρίσκονται ακριβώς στις τελευταίες γραμμές του συστήματος ή του πίνακα). Αυτό το τμήμα της λύσης είναι επίσης γνωστό ως το αντίστροφο της λύσης Gauss. Ο αλγόριθμός του είναι ο εξής: πρώτα υπολογίζονται οι μεταβλητές που βρίσκονται πιο κοντά στο κάτω μέρος του συστήματος εξισώσεων ή του πίνακα, μετά οι τιμές που προκύπτουν αντικαθίστανται υψηλότερα και έτσι βρίσκεται μια άλλη μεταβλητή κ.ο.κ.

Περιγραφή του αλγορίθμου της μεθόδου Gauss

Η ακολουθία ενεργειών για τη γενική λύση ενός συστήματος εξισώσεων με τη χρήση της μεθόδου Gauss συνίσταται στην εναλλακτική εφαρμογή των εμπρός και προς τα πίσω πινελιών στον πίνακα με βάση το SLAE. Έστω το αρχικό σύστημα εξισώσεων να έχει την ακόλουθη μορφή:

$\begin(περιπτώσεις) a_(11) \cdot x_1 +...+ a_(1n) \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_(m1) \cdot x_1 + a_(mn) \cdot x_n = b_m \end(περιπτώσεις)$

Για την επίλυση SLAE χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gaussian, είναι απαραίτητο να γράψετε το αρχικό σύστημα εξισώσεων με τη μορφή πίνακα:

$A = \begin(pmatrix) a_(11) & … & a_(1n) \\ \vdots & … & \vdots \\ a_(m1) & … & a_(mn) \end(pmatrix)$, $b =\begin(pmatrix) b_1 \\ \vdots \\ b_m \end(pmatrix)$

Ο πίνακας $A$ ονομάζεται κύριος πίνακας και αντιπροσωπεύει τους συντελεστές των μεταβλητών που είναι γραμμένοι με τη σειρά και το $b$ ονομάζεται στήλη των ελεύθερων όρων του. Ο πίνακας $A$, που γράφεται μέσα από μια γραμμή με μια στήλη ελεύθερων όρων, ονομάζεται εκτεταμένος πίνακας:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & … & a_(1n) & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & ...\\ a_(m1) & … & a_( mn) & b_m \end(array)$

Τώρα είναι απαραίτητο, χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς στο σύστημα εξισώσεων (ή στον πίνακα, αφού αυτό είναι πιο βολικό), να το φέρεις στην ακόλουθη μορφή:

$\begin(περιπτώσεις) α_(1j_(1)) \cdot x_(j_(1)) + α_(1j_(2)) \cdot x_(j_(2))...+ α_(1j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(1j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_1 \\ α_(2j_(2)) \cdot x_(j_(2)). ..+ α_(2j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(2j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_2 \\ ...\\ α_( rj_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(rj_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \ \ 0 = β_m \end(περιπτώσεις)$ (1)

Ο πίνακας που λαμβάνεται από τους συντελεστές του μετασχηματισμένου συστήματος της εξίσωσης (1) ονομάζεται πίνακας βημάτων· έτσι μοιάζουν συνήθως οι πίνακες βημάτων:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & a_(12) & a_(13) & b_1 \\ 0 & a_(22) & a_(23) & b_2\\ 0 & 0 & a_(33) & b_3 \end(array)$

Αυτοί οι πίνακες χαρακτηρίζονται από το ακόλουθο σύνολο ιδιοτήτων:

1. Όλες οι μηδενικές γραμμές του έρχονται μετά από μη μηδενικές γραμμές
2. Εάν κάποια γραμμή ενός πίνακα με αριθμό $k$ είναι μη μηδενική, τότε η προηγούμενη σειρά του ίδιου πίνακα έχει λιγότερα μηδενικά από αυτήν με τον αριθμό $k$.

Μετά τη λήψη του πίνακα βημάτων, είναι απαραίτητο να αντικαταστήσετε τις προκύπτουσες μεταβλητές στις υπόλοιπες εξισώσεις (ξεκινώντας από το τέλος) και να λάβετε τις υπόλοιπες τιμές των μεταβλητών.

Βασικοί κανόνες και επιτρεπόμενοι μετασχηματισμοί κατά τη χρήση της μεθόδου Gauss

Όταν απλοποιείτε έναν πίνακα ή ένα σύστημα εξισώσεων χρησιμοποιώντας αυτή τη μέθοδο, πρέπει να χρησιμοποιείτε μόνο στοιχειώδεις μετασχηματισμούς.

Τέτοιοι μετασχηματισμοί θεωρούνται πράξεις που μπορούν να εφαρμοστούν σε έναν πίνακα ή ένα σύστημα εξισώσεων χωρίς να αλλάξει η σημασία του:

• αναδιάταξη πολλών γραμμών,
• προσθέτοντας ή αφαιρώντας από μια σειρά ενός πίνακα μια άλλη σειρά από αυτόν,
• πολλαπλασιάζοντας ή διαιρώντας μια συμβολοσειρά με μια σταθερά που δεν ισούται με το μηδέν,
• μια γραμμή που αποτελείται μόνο από μηδενικά, που λαμβάνονται κατά τη διαδικασία υπολογισμού και απλοποίησης του συστήματος, πρέπει να διαγραφεί,
• Πρέπει επίσης να αφαιρέσετε τις περιττές αναλογικές γραμμές, επιλέγοντας για το σύστημα τη μοναδική με συντελεστές που είναι πιο κατάλληλοι και βολικοί για περαιτέρω υπολογισμούς.

Όλοι οι στοιχειώδεις μετασχηματισμοί είναι αναστρέψιμοι.

Ανάλυση των τριών κύριων περιπτώσεων που προκύπτουν κατά την επίλυση γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των απλών μετασχηματισμών Gauss

Υπάρχουν τρεις περιπτώσεις που προκύπτουν όταν χρησιμοποιείται η μέθοδος Gaussian για την επίλυση συστημάτων:

1. Όταν ένα σύστημα είναι ασυνεπές, δηλαδή δεν έχει λύσεις
2. Το σύστημα των εξισώσεων έχει μια λύση και μια μοναδική και ο αριθμός των μη μηδενικών γραμμών και στηλών στον πίνακα είναι ίσος μεταξύ τους.
3. Το σύστημα έχει έναν ορισμένο αριθμό ή σύνολο πιθανών λύσεων και ο αριθμός των γραμμών σε αυτό είναι μικρότερος από τον αριθμό των στηλών.

Αποτέλεσμα λύσης με ασυνεπές σύστημα

Για αυτήν την επιλογή, κατά την επίλυση μιας εξίσωσης πίνακα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gaussian, είναι τυπικό να λαμβάνεται κάποια γραμμή με την αδυναμία εκπλήρωσης της ισότητας. Επομένως, εάν συμβεί τουλάχιστον μία εσφαλμένη ισότητα, το προκύπτον και το αρχικό σύστημα δεν έχουν λύσεις, ανεξάρτητα από τις άλλες εξισώσεις που περιέχουν. Ένα παράδειγμα ασυνεπούς πίνακα:

$\begin(array)(ccc|c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)$

Στην τελευταία γραμμή προέκυψε μια αδύνατη ισότητα: $0 \cdot x_(31) + 0 \cdot x_(32) + 0 \cdot x_(33) = 1$.

Ένα σύστημα εξισώσεων που έχει μόνο μία λύση

Αυτά τα συστήματα, αφού αναχθούν σε βηματικό πίνακα και αφαιρέσουν σειρές με μηδενικά, έχουν τον ίδιο αριθμό γραμμών και στηλών στον κύριο πίνακα. Εδώ είναι το απλούστερο παράδειγμα ενός τέτοιου συστήματος:

$\begin(περιπτώσεις) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \end (περιπτώσεις)$

Ας το γράψουμε με τη μορφή μήτρας:

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \end(array)$

Για να μηδενίσουμε το πρώτο κελί της δεύτερης σειράς, πολλαπλασιάζουμε την επάνω σειρά με $-2$ και την αφαιρούμε από την κάτω σειρά του πίνακα και αφήνουμε την επάνω σειρά στην αρχική της μορφή, ως αποτέλεσμα έχουμε τα εξής :

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \end(array)$

Αυτό το παράδειγμα μπορεί να γραφτεί ως σύστημα:

$\begin(περιπτώσεις) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \end (περιπτώσεις)$

Η χαμηλότερη εξίσωση αποδίδει την ακόλουθη τιμή για $x$: $x_2 = 3 \frac(1)(3)$. Αντικαταστήστε αυτήν την τιμή στην ανώτερη εξίσωση: $x_1 – 3 \frac(1)(3)$, παίρνουμε $x_1 = 1 \frac(2)(3)$.

Ένα σύστημα με πολλές πιθανές λύσεις

Αυτό το σύστημα χαρακτηρίζεται από μικρότερο αριθμό σημαντικών σειρών από τον αριθμό των στηλών σε αυτό (λαμβάνονται υπόψη οι σειρές του κύριου πίνακα).

Οι μεταβλητές σε ένα τέτοιο σύστημα χωρίζονται σε δύο τύπους: βασικές και δωρεάν. Κατά τον μετασχηματισμό ενός τέτοιου συστήματος, οι κύριες μεταβλητές που περιέχονται σε αυτό πρέπει να μείνουν στην αριστερή περιοχή μέχρι το σύμβολο "=" και οι υπόλοιπες μεταβλητές πρέπει να μετακινηθούν στη δεξιά πλευρά της ισότητας.

Ένα τέτοιο σύστημα έχει μόνο μια ορισμένη γενική λύση.

Ας αναλύσουμε το ακόλουθο σύστημα εξισώσεων:

$\begin(περιπτώσεις) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \end(περιπτώσεις)$

Ας το γράψουμε με τη μορφή μήτρας:

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \end(array)$

Το καθήκον μας είναι να βρούμε μια γενική λύση στο σύστημα. Για αυτόν τον πίνακα, οι βασικές μεταβλητές θα είναι $y_1$ και $y_3$ (για $y_1$ - αφού έρχεται πρώτη και στην περίπτωση $y_3$ - βρίσκεται μετά τα μηδενικά).

Ως μεταβλητές βάσης επιλέγουμε ακριβώς αυτές που είναι οι πρώτες στη σειρά και δεν είναι ίσες με το μηδέν.

Οι υπόλοιπες μεταβλητές ονομάζονται ελεύθερες· πρέπει να εκφράσουμε τις βασικές μέσω αυτών.

Χρησιμοποιώντας το λεγόμενο reverse stroke, αναλύουμε το σύστημα από κάτω προς τα πάνω· για να γίνει αυτό, εκφράζουμε πρώτα $y_3$ από την κάτω γραμμή του συστήματος:

$5y_3 – 4y_4 = 1$

$5y_3 = 4y_4 + 1$

$y_3 = \frac(4/5)y_4 + \frac(1)(5)$.

Τώρα αντικαθιστούμε το εκφρασμένο $y_3$ στην ανώτερη εξίσωση του συστήματος $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$: $2y_1 + 3y_2 - (\frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5)) + y_4 = 1$

Εκφράζουμε $y_1$ σε όρους δωρεάν μεταβλητών $y_2$ και $y_4$:

$2y_1 + 3y_2 - \frac(4)(5)y_4 - \frac(1)(5) + y_4 = 1$

$2y_1 = 1 – 3y_2 + \frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5) – y_4$

$2y_1 = -3y_2 - \frac(1)(5)y_4 + \frac(6)(5)$

$y_1 = -1,5x_2 – 0,1y_4 + 0,6$

Η λύση είναι έτοιμη.

Παράδειγμα 1

Λύστε το slough με τη μέθοδο Gaussian. Παραδείγματα. Ένα παράδειγμα επίλυσης συστήματος γραμμικών εξισώσεων που δίνονται από έναν πίνακα 3 επί 3 χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gaussian

$\begin(περιπτώσεις) 4x_1 + 2x_2 – x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 – 3x_3 = 0 \end(περιπτώσεις)$

Ας γράψουμε το σύστημά μας με τη μορφή ενός εκτεταμένου πίνακα:

$\begin(array)(ccc|c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$

Τώρα, για ευκολία και πρακτικότητα, πρέπει να μετατρέψετε τη μήτρα έτσι ώστε το $1$ να βρίσκεται στην επάνω γωνία της εξώτατης στήλης.

Για να το κάνετε αυτό, στην 1η γραμμή πρέπει να προσθέσετε τη γραμμή από τη μέση, πολλαπλασιασμένη με $-1$, και να γράψετε την ίδια τη μεσαία γραμμή ως έχει, αποδεικνύεται:

$\begin(array)(cccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$

$\begin(πίνακας)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \end(πίνακας) $

Πολλαπλασιάστε την επάνω και την τελευταία γραμμή κατά -1$ και, επίσης, αλλάξτε την τελευταία και τη μεσαία γραμμή:

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \end(array)$

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \end(array)$

Και διαιρέστε την τελευταία γραμμή με $3$:

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end(array)$

Λαμβάνουμε το ακόλουθο σύστημα εξισώσεων, ισοδύναμο με το αρχικό:

$\αρχή(περιπτώσεις) x_1 + x_2 – x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \end (περιπτώσεις)$

Από την επάνω εξίσωση εκφράζουμε $x_1$:

$x1 = 1 + x_3 – x_2 = 1 + 1 – 3 = -1$.

Παράδειγμα 2

Ένα παράδειγμα επίλυσης ενός συστήματος που ορίζεται χρησιμοποιώντας έναν πίνακα 4 επί 4 χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end(array)$.

Στην αρχή, ανταλλάσσουμε τις επάνω γραμμές που ακολουθούν για να λάβουμε $1$ στην επάνω αριστερή γωνία:

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end(array)$.

Τώρα πολλαπλασιάστε την επάνω γραμμή με $-2$ και προσθέστε στη 2η και την 3η. Στην 4η προσθέτουμε την 1η γραμμή, πολλαπλασιαζόμενη με $-3$:

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & - 1 & 3 & -1 & 4 \\ \end(array)$

Τώρα στη γραμμή 3 προσθέτουμε τη γραμμή 2 πολλαπλασιασμένη με $4$ και στη γραμμή 4 προσθέτουμε τη γραμμή 2 πολλαπλασιασμένη με $-1$.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \end(πίνακας)$

Πολλαπλασιάζουμε τη γραμμή 2 με $-1$ και διαιρούμε τη γραμμή 4 με $3$ και αντικαθιστούμε τη γραμμή 3.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10 \\ \end(πίνακας)$

Τώρα προσθέτουμε στην τελευταία γραμμή την προτελευταία, πολλαπλασιαζόμενη επί -5$.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end(πίνακας)$

Λύνουμε το προκύπτον σύστημα εξισώσεων:

$\begin(περιπτώσεις) m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3y + 2g + m = 11\end(περιπτώσεις)$

1. Σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων

1.1 Η έννοια ενός συστήματος γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων

Ένα σύστημα εξισώσεων είναι μια συνθήκη που αποτελείται από την ταυτόχρονη εκτέλεση πολλών εξισώσεων σε σχέση με πολλές μεταβλητές. Ένα σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων (εφεξής SLAE) που περιέχει m εξισώσεις και n αγνώστους ονομάζεται σύστημα της μορφής:

όπου οι αριθμοί a ij ονομάζονται συντελεστές συστήματος, οι αριθμοί b i ονομάζονται ελεύθεροι όροι, ένα ijΚαι β i(i=1,…, m; b=1,…, n) αντιπροσωπεύουν κάποιους γνωστούς αριθμούς και το x 1 ,…, x n– άγνωστο. Στον προσδιορισμό των συντελεστών ένα ijο πρώτος δείκτης i δηλώνει τον αριθμό της εξίσωσης και ο δεύτερος j είναι ο αριθμός του αγνώστου στον οποίο βρίσκεται αυτός ο συντελεστής. Πρέπει να βρεθούν οι αριθμοί x n. Είναι βολικό να γράψετε ένα τέτοιο σύστημα σε μορφή συμπαγούς μήτρας: AX=B.Εδώ το Α είναι ο πίνακας των συντελεστών του συστήματος, που ονομάζεται κύριος πίνακας.

– διάνυσμα στήλης αγνώστων xj.
είναι ένα διάνυσμα στήλης ελεύθερων όρων bi.

Το γινόμενο των πινάκων Α*Χ ορίζεται, αφού στον πίνακα Α υπάρχουν τόσες στήλες όσες και οι σειρές στον πίνακα Χ (n τεμάχια).

Ο εκτεταμένος πίνακας ενός συστήματος είναι ο πίνακας Α του συστήματος, ο οποίος συμπληρώνεται από μια στήλη ελεύθερων όρων

1.2 Επίλυση συστήματος γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων

Η λύση σε ένα σύστημα εξισώσεων είναι ένα διατεταγμένο σύνολο αριθμών (τιμές μεταβλητών), όταν αντικαθιστώνται αντί για μεταβλητές, καθεμία από τις εξισώσεις του συστήματος μετατρέπεται σε πραγματική ισότητα.

Μια λύση σε ένα σύστημα είναι n τιμές των αγνώστων x1=c1, x2=c2,…, xn=cn, με την αντικατάσταση των οποίων όλες οι εξισώσεις του συστήματος γίνονται αληθινές ισότητες. Οποιαδήποτε λύση στο σύστημα μπορεί να γραφτεί ως πίνακας στήλης

Ένα σύστημα εξισώσεων ονομάζεται συνεπές εάν έχει τουλάχιστον μία λύση και ασυνεπές εάν δεν έχει καμία λύση.

Ένα συνεπές σύστημα λέγεται ότι είναι καθορισμένο εάν έχει μία μόνο λύση και αόριστο εάν έχει περισσότερες από μία λύσεις. Στην τελευταία περίπτωση, κάθε λύση της ονομάζεται συγκεκριμένη λύση του συστήματος. Το σύνολο όλων των συγκεκριμένων λύσεων ονομάζεται γενική λύση.

Η επίλυση ενός συστήματος σημαίνει να ανακαλύψετε εάν είναι συμβατό ή ασυνεπές. Εάν το σύστημα είναι συνεπές, βρείτε τη γενική του λύση.

Δύο συστήματα ονομάζονται ισοδύναμα (ισοδύναμα) αν έχουν την ίδια γενική λύση. Με άλλα λόγια, τα συστήματα είναι ισοδύναμα εάν κάθε λύση του ενός από αυτά είναι λύση του άλλου και το αντίστροφο.

Ένας μετασχηματισμός, η εφαρμογή του οποίου μετατρέπει ένα σύστημα σε ένα νέο σύστημα ισοδύναμο με το αρχικό, ονομάζεται ισοδύναμος ή ισοδύναμος μετασχηματισμός. Παραδείγματα ισοδύναμων μετασχηματισμών περιλαμβάνουν τους ακόλουθους μετασχηματισμούς: εναλλαγή δύο εξισώσεων ενός συστήματος, εναλλαγή δύο αγνώστων μαζί με τους συντελεστές όλων των εξισώσεων, πολλαπλασιασμός των δύο πλευρών οποιασδήποτε εξίσωσης ενός συστήματος με έναν μη μηδενικό αριθμό.

Ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων ονομάζεται ομοιογενές αν όλοι οι ελεύθεροι όροι είναι ίσοι με μηδέν:

Ένα ομοιογενές σύστημα είναι πάντα συνεπές, αφού το x1=x2=x3=…=xn=0 είναι λύση του συστήματος. Αυτή η λύση ονομάζεται μηδενική ή τετριμμένη.

2. Gaussian μέθοδος εξάλειψης

2.1 Η ουσία της μεθόδου εξάλειψης Gauss

Η κλασική μέθοδος για την επίλυση συστημάτων γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων είναι η μέθοδος διαδοχικής εξάλειψης αγνώστων - Γκαουσιανή μέθοδος(ονομάζεται επίσης μέθοδος εξάλειψης Gauss). Αυτή είναι μια μέθοδος διαδοχικής εξάλειψης μεταβλητών, όταν, χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς, ένα σύστημα εξισώσεων ανάγεται σε ένα ισοδύναμο σύστημα βηματικής (ή τριγωνικής) μορφής, από το οποίο όλες οι άλλες μεταβλητές βρίσκονται διαδοχικά, ξεκινώντας από την τελευταία (από αριθμός) μεταβλητές.

Η διαδικασία επίλυσης με τη μέθοδο Gaussian αποτελείται από δύο στάδια: κινήσεις προς τα εμπρός και προς τα πίσω.

1. Άμεσο εγκεφαλικό επεισόδιο.

Στο πρώτο στάδιο, πραγματοποιείται η λεγόμενη άμεση κίνηση, όταν, μέσω στοιχειωδών μετασχηματισμών στις σειρές, το σύστημα φέρεται σε βαθμιδωτό ή τριγωνικό σχήμα ή διαπιστώνεται ότι το σύστημα είναι ασυμβίβαστο. Δηλαδή, μεταξύ των στοιχείων της πρώτης στήλης του πίνακα, επιλέξτε ένα μη μηδενικό, μετακινήστε το στην ανώτατη θέση αναδιατάσσοντας τις σειρές και αφαιρέστε την πρώτη σειρά που προκύπτει από τις υπόλοιπες σειρές μετά την αναδιάταξη, πολλαπλασιάζοντάς την με μια τιμή ίση με την αναλογία του πρώτου στοιχείου καθεμιάς από αυτές τις σειρές προς το πρώτο στοιχείο της πρώτης σειράς, μηδενίζοντας έτσι τη στήλη κάτω από αυτήν.

Αφού ολοκληρωθούν οι υποδεικνυόμενοι μετασχηματισμοί, η πρώτη γραμμή και η πρώτη στήλη διαγράφονται νοερά και συνεχίζονται μέχρι να παραμείνει ένας πίνακας μηδενικού μεγέθους. Εάν σε οποιαδήποτε επανάληψη δεν υπάρχει μη μηδενικό στοιχείο μεταξύ των στοιχείων της πρώτης στήλης, τότε μεταβείτε στην επόμενη στήλη και εκτελέστε μια παρόμοια λειτουργία.

Στο πρώτο στάδιο (άμεση διαδρομή), το σύστημα μειώνεται σε μια κλιμακωτή (ιδίως, τριγωνική) μορφή.

Το παρακάτω σύστημα έχει μια σταδιακή μορφή:

,

Συντελεστές aii ονομάζονται τα κύρια (οδηγητικά) στοιχεία του συστήματος.

(αν a11=0, αναδιατάξτε τις σειρές του πίνακα έτσι ώστε έναΤο 11 δεν ήταν ίσο με 0. Αυτό είναι πάντα δυνατό, γιατί διαφορετικά ο πίνακας περιέχει μια στήλη μηδέν, η ορίζουσα του είναι ίση με μηδέν και το σύστημα είναι ασυνεπές).

Ας μετασχηματίσουμε το σύστημα εξαλείφοντας το άγνωστο x1 σε όλες τις εξισώσεις εκτός από την πρώτη (χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς του συστήματος). Για να το κάνετε αυτό, πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της πρώτης εξίσωσης επί

και προσθέστε όρο προς όρο με τη δεύτερη εξίσωση του συστήματος (ή από τη δεύτερη εξίσωση αφαιρέστε όρο προς όρο με τον πρώτο, πολλαπλασιαζόμενο με ). Στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της πρώτης εξίσωσης επί και τις προσθέτουμε στην τρίτη εξίσωση του συστήματος (ή από την τρίτη αφαιρούμε την πρώτη πολλαπλασιαζόμενη επί ). Έτσι, πολλαπλασιάζουμε διαδοχικά την πρώτη γραμμή με έναν αριθμό και προσθέτουμε σε Εγώη γραμμή, για i= 2, 3, …,n.

Συνεχίζοντας αυτή τη διαδικασία, λαμβάνουμε ένα ισοδύναμο σύστημα:

– νέες τιμές συντελεστών για αγνώστους και ελεύθερους όρους στις τελευταίες εξισώσεις m-1 του συστήματος, οι οποίες καθορίζονται από τους τύπους:

Έτσι, στο πρώτο βήμα, καταστρέφονται όλοι οι συντελεστές που βρίσκονται κάτω από το πρώτο βασικό στοιχείο a 11

0, στο δεύτερο βήμα τα στοιχεία που βρίσκονται κάτω από το δεύτερο οδηγό στοιχείο a 22 (1) καταστρέφονται (εάν είναι 22 (1) 0), κ.λπ. Συνεχίζοντας περαιτέρω αυτή τη διαδικασία, τελικά, στο βήμα (m-1), ανάγουμε το αρχικό σύστημα σε τριγωνικό σύστημα.

Εάν, κατά τη διαδικασία αναγωγής του συστήματος σε μια σταδιακή μορφή, εμφανίζονται μηδενικές εξισώσεις, δηλ. ισότητες της μορφής 0=0, απορρίπτονται. Αν εμφανιστεί μια εξίσωση της μορφής

τότε αυτό δείχνει την ασυμβατότητα του συστήματος.

Εδώ τελειώνει η άμεση εξέλιξη της μεθόδου του Gauss.

2. Αντίστροφο εγκεφαλικό επεισόδιο.

Στο δεύτερο στάδιο, πραγματοποιείται η λεγόμενη αντίστροφη κίνηση, η ουσία της οποίας είναι να εκφραστούν όλες οι βασικές μεταβλητές που προκύπτουν ως μη βασικές και να δημιουργηθεί ένα θεμελιώδες σύστημα λύσεων ή, εάν όλες οι μεταβλητές είναι βασικές , στη συνέχεια να εκφράσετε αριθμητικά τη μοναδική λύση στο σύστημα των γραμμικών εξισώσεων.

Αυτή η διαδικασία ξεκινά με την τελευταία εξίσωση, από την οποία εκφράζεται η αντίστοιχη βασική μεταβλητή (υπάρχει μόνο μία) και αντικαθίσταται από τις προηγούμενες εξισώσεις και ούτω καθεξής, ανεβαίνοντας τα «σκαλιά».

Κάθε γραμμή αντιστοιχεί ακριβώς σε μία βασική μεταβλητή, επομένως σε κάθε βήμα εκτός από την τελευταία (ανώτατη), η κατάσταση επαναλαμβάνει ακριβώς την περίπτωση της τελευταίας γραμμής.

Σημείωση: στην πράξη, είναι πιο βολικό να εργάζεστε όχι με το σύστημα, αλλά με την εκτεταμένη μήτρα του, εκτελώντας όλους τους στοιχειώδεις μετασχηματισμούς στις σειρές του. Είναι βολικό ο συντελεστής a11 να είναι ίσος με 1 (αναδιάταξη των εξισώσεων ή διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το a11).

2.2 Παραδείγματα επίλυσης SLAE με τη χρήση της μεθόδου Gauss

Σε αυτή την ενότητα, χρησιμοποιώντας τρία διαφορετικά παραδείγματα, θα δείξουμε πώς η μέθοδος Gauss μπορεί να λύσει SLAE.

Παράδειγμα 1. Λύστε ένα SLAE 3ης τάξης.

Ας επαναφέρουμε τους συντελεστές στο

στη δεύτερη και τρίτη γραμμή. Για να το κάνετε αυτό, πολλαπλασιάστε τα με 2/3 και 1, αντίστοιχα, και προσθέστε τα στην πρώτη γραμμή:

Εδώ μπορείτε να λύσετε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων δωρεάν Μέθοδος Gauss στο Διαδίκτυομεγάλα μεγέθη σε μιγαδικούς αριθμούς με πολύ λεπτομερή λύση. Η αριθμομηχανή μας μπορεί να λύσει online τόσο τα συνηθισμένα οριστικά όσο και τα αόριστα συστήματα γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gaussian, η οποία έχει άπειρο αριθμό λύσεων. Σε αυτή την περίπτωση, στην απάντηση θα λάβετε την εξάρτηση κάποιων μεταβλητών μέσω άλλων, δωρεάν. Μπορείτε επίσης να ελέγξετε το σύστημα των εξισώσεων για συνέπεια στο διαδίκτυο χρησιμοποιώντας τη λύση Gaussian.

Μέγεθος μήτρας: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 35 304 34 34 3 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 828 888 79 8 8 9 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 X 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3313 38 3 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 828 888 79 8 89 9 0 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101

Σχετικά με τη μέθοδο

Κατά την επίλυση ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων στο διαδίκτυο χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gaussian, εκτελούνται τα ακόλουθα βήματα.

1. Γράφουμε τον εκτεταμένο πίνακα.
2. Στην πραγματικότητα, η λύση χωρίζεται σε βήματα προς τα εμπρός και προς τα πίσω της μεθόδου Gauss. Η άμεση προσέγγιση της μεθόδου Gauss είναι η αναγωγή ενός πίνακα σε μια σταδιακή μορφή. Το αντίστροφο της μεθόδου Gauss είναι η αναγωγή ενός πίνακα σε μια ειδική σταδιακή μορφή. Αλλά στην πράξη, είναι πιο βολικό να μηδενίσετε αμέσως αυτό που βρίσκεται τόσο πάνω όσο και κάτω από το εν λόγω στοιχείο. Η αριθμομηχανή μας χρησιμοποιεί ακριβώς αυτή την προσέγγιση.
3. Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι κατά την επίλυση χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gaussian, η παρουσία στον πίνακα τουλάχιστον μιας μηδενικής γραμμής με μια ΜΗ μηδενική δεξιά πλευρά (στήλη ελεύθερων όρων) υποδηλώνει την ασυνέπεια του συστήματος. Σε αυτή την περίπτωση, δεν υπάρχει λύση στο γραμμικό σύστημα.

Για να κατανοήσετε καλύτερα πώς λειτουργεί ο αλγόριθμος Gaussian στο διαδίκτυο, εισαγάγετε οποιοδήποτε παράδειγμα, επιλέξτε "πολύ λεπτομερή λύση" και δείτε τη λύση του online.