Ο ρόλος των λογικών και συνδυαστικών προβλημάτων στην επίτευξη αποτελεσμάτων μετα-θέματος κατά τη διδασκαλία των μαθηματικών σε μαθητές.

Τμήμα πειραματικού βιβλίου εργασίας

για την ανάπτυξη ευρετικών δεξιοτήτων των μαθητών της Ε' τάξης

Μάθημα Νο. 11 - 12.

Ας μάθουμε τεχνικές:«διάσπαση του συνόλου σε μέρη», διάσπαση σε δευτερεύουσες εργασίες, μαθηματικός συνδυασμός.

Στοματική προθέρμανση:

1. Το αεροπλάνο καλύπτει την απόσταση από το Κίεβο στην Οδησσό σε 1 ώρα και 10 λεπτά. Το ταξίδι της επιστροφής διαρκεί 70 λεπτά χωρίς αλλαγή της αρχικής ταχύτητας. Πώς να το εξηγήσετε αυτό;

2. Μεγάλωσε 5 ιτιές. Κάθε ιτιά έχει 5 κλαδιά. Κάθε κλάδος έχει 5 μικρότερα κλαδιά. Και σε κάθε ένα από αυτά τα κλαδιά υπάρχουν 5 αχλάδια. Πόσα αχλάδια υπήρχαν στο δέντρο;

3. Ο τροχός έχει 18 ακτίνες. Πόσα κενά υπάρχουν μεταξύ τους;

Μαθηματική αναφορά:

Η αποσύνθεση σε δευτερεύουσες εργασίες σημαίνει να επισημάνετε σε μια εργασία απλούστερες εργασίες ή στοιχεία που πρέπει να επιλυθούν ή να εξετάσετε τις ιδιότητες και τις σχέσεις τους προκειμένου να βρεθεί μια λύση σε ένα σύνθετο πρόβλημα

Βοηθός

Περιγραφή βημάτων συλλογισμού, ενεργειών

Δείγμα δράσης

Παράδειγμα 1. Πόσες μονάδες θα είναι αν γράψουμε όλους τους φυσικούς αριθμούς από το 1 έως το 200;

Λύση: ας αναλύσουμε την συνθήκη: οι αριθμοί από το 1 έως το 200 χωρίζονται σε μονοψήφιους, διψήφιους και τριψήφιους και ο αριθμός 1 μπορεί να εμφανίζεται σε οποιοδήποτε μέρος και να επαναλαμβάνεται. Έχουμε λοιπόν τις εξής δευτερεύουσες εργασίες:

1. Πόσοι διψήφιοι αριθμοί έχουν 1;

2. Πόσοι διψήφιοι αριθμοί έχουν το 1 στην πρώτη θέση;

Αυτοί είναι αριθμοί από το 10 έως το 19, δηλαδή το 10

3. Πόσοι διψήφιοι αριθμοί έχουν το 1 στη δεύτερη θέση;

από τη δεύτερη έως την ένατη δεκάδες τέτοιοι αριθμοί εμφανίζονται ένας κάθε φορά, δηλαδή είναι 9 από αυτούς

4. Πόσες μονάδες μέχρι το 200 υπάρχουν σε τριψήφιους αριθμούς στην πρώτη θέση;

5. Πόσες μονάδες βρίσκονται στη δεύτερη εκατό στη δεύτερη θέση;

6. Πόσες μονάδες υπάρχουν στους τριψήφιους αριθμούς στην τρίτη θέση;

7. Υπολογισμοί:

1+10+9+100+10+10=140

Παράδειγμα 2. Βρείτε την περιοχή του τείχους του «αρχαίου πύργου»: (Εικ. 1)

ρύζι. 1 1μ

4 μ

5 μ

Λύση: Ας δούμε αυτό το σχήμα και ας προσδιορίσουμε από ποιες διάσημες φιγούρες αποτελείται;

1 ορθογώνιο και 5 τετράγωνα, με 2 από αυτά τα τετράγωνα κομμένα από το σχήμα.

Συμπέρασμα: το εμβαδόν ενός σχήματος αποτελείται από το άθροισμα του εμβαδού του ορθογωνίου και το άθροισμα των εμβαδών τριών τετραγώνων χωρίς το εμβαδόν των δύο τετραγώνων μέσα.

Υπάρχουν τέτοιες απλές δευτερεύουσες εργασίες:

1) βρείτε το εμβαδόν του ορθογωνίου

Καταγράψτε μόνοι σας τις ενέργειες!!!

2) βρείτε το εμβαδόν της πλατείας

3) βρείτε την περιοχή του πύργου (σκεφτείτε πώς)

Σκεφτείτε πώς μπορείτε να σπάσετε τον «πύργο» σε σχήματα με άλλο τρόπο.

Προσπαθήστε να φτιάξετε ένα σχέδιο λύσης και να το λύσετε.

Ελέγξτε τα αποτελέσματα με δύο τρόπους.

Οδηγός αλγορίθμου

1. Προσδιορίστε το σκοπό της εργασίας.

2. Αναλύστε τις συνθήκες σύμφωνα με τον στόχο.

3. Προσδιορίστε εάν η συνθήκη μπορεί να αναλυθεί σε μέρη.

4. Εάν η συνθήκη δεν σπάσει, δοκιμάστε να σπάσετε το αντικείμενο της εργασίας σε μέρη.

5. Είναι δυνατός ο διαχωρισμός των απαιτήσεων εργασιών (ερωτήσεις);

6. Εξετάστε τα μέρη, ποιες ιδιότητες έχουν ή συνδέσεις, σχέσεις σύμφωνα με το σκοπό της εργασίας.

7. Σκεφτείτε τις ενέργειες για να λύσετε κάθε επισημασμένο μέρος (επισημασμένη απλή εργασία)

8. Κάντε ένα σχέδιο για την επίλυση του προβλήματος χρησιμοποιώντας τις καθορισμένες δευτερεύουσες εργασίες.

Κάντο μόνος σου :

1. Το βιβλίο είναι αριθμημένες σελίδες από μία έως εκατόν εβδομήντα δύο. Πόσοι αριθμοί εκτυπώθηκαν κατά την αρίθμηση των σελίδων;

2. Για να αριθμήσω τις σελίδες του βιβλίου, έπρεπε να εκτυπώσω αριθμούς 2001. Πόσες σελίδες έχει αυτό το βιβλίο;

3. Βρείτε την περιοχή του σκούρου τμήματος του σχήματος, εάν AB = AC = 12 (βλ. Εικ. 2)

Ρύζι. 2

ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ|iz|

4. Η Petya έκοψε το σύρμα σε κομμάτια και έφτιαξε μια φιγούρα (Εικ. 3). Θα μπορούσε ο Petya να φτιάξει μια φιγούρα από αυτό το σύρμα (Εικ. 4); (χωρίστε το σε δευτερεύουσες εργασίες)

Εικ.3 Εικ. 4

1 cm 1 cm | 1 εκ | 1 cm 1 cm | 3 cm 3 cm 3 cm

2 εκ

5. Το τετράγωνο κόπηκε σε 4 ίσα μέρη και έκανε 2 τετράγωνα. Πώς το έκαναν;

Σκεφτείτε το στον ελεύθερο χρόνο σας:

Προσπαθήστε να σχεδιάσετε δύο τετράγωνα έτσι ώστε όλα τα λιοντάρια να είναι «κλειδωμένα σε κλουβιά».

Ο ρόλος των λογικών και συνδυαστικών προβλημάτων στην επίτευξη αποτελεσμάτων μετα-θέματος κατά τη διδασκαλία των μαθηματικών σε μαθητές

Kozlovskaya N.A., καθηγήτρια μαθηματικών

ΜΑΝΟΥ «Γυμνάσιο Νο. 2»,

Mariinsk, περιοχή Kemerovo.

Ένα σύγχρονο σχολείο πρέπει να προετοιμάσει τους μαθητές του για τη ζωή στον νέο κόσμο. Η εφαρμογή του ομοσπονδιακού κρατικού εκπαιδευτικού προτύπου απαιτεί επίσης νέες προσεγγίσεις στη διδασκαλία των μαθητών, τη χρήση τέτοιων μεθόδων και τεχνικών που αναπτύσσουν στους μαθητές τις δεξιότητες της ανεξάρτητης απόκτησης γνώσεων, την ικανότητα να υποβάλλουν υποθέσεις, να συνάγουν συμπεράσματα και να εξάγουν συμπεράσματα.

Το καθήκον του δασκάλου είναι να βοηθήσει τους μαθητές να κατακτήσουν καθολικές μεθόδους δράσης, να αξιολογήσουν αντικειμενικά τις ικανότητες, τις ικανότητες, τα ενδιαφέροντα και τις κλίσεις τους. «Είναι απαραίτητο τα παιδιά, αν είναι δυνατόν, να μαθαίνουν ανεξάρτητα και ο δάσκαλος να επιβλέπει αυτήν την ανεξάρτητη διαδικασία και να παρέχει υλικό για αυτήν» - λόγια της Κ.Δ. Ο Ushinsky αντικατοπτρίζει την ουσία ενός σύγχρονου μαθήματος. Οι απαιτήσεις του ομοσπονδιακού κρατικού εκπαιδευτικού προτύπου δεν είναι κάτι εντελώς νέο για τους εν ενεργεία εκπαιδευτικούς. Κι όμως, σε πολλούς δασκάλους προκάλεσαν άγχος και έλλειψη εμπιστοσύνης στις ικανότητές τους. Πώς να σχεδιάσετε ένα μάθημα που θα σχηματίζει όχι μόνο αποτελέσματα, αλλά και μετα-αντικείμενα; Ποιες από τις εργασίες που προτείνονται στο σχολικό βιβλίο θα ήταν κατάλληλο να επιλεγούν για το μάθημα; Ποιες μέθοδοι και τεχνικές θα είναι αποτελεσματικές; Ποιες μορφές οργάνωσης μαθητών δραστηριοτήτων θα πρέπει να χρησιμοποιηθούν; Και, τέλος, είναι απαραίτητο να εγκαταλειφθούν εντελώς οι μορφές εργασίας με μαθητές που γίνονται δεκτές στις παραδοσιακές μεθόδους διδασκαλίας; Αυτές δεν είναι όλες οι ερωτήσεις που κάνει σήμερα ένας δάσκαλος που εφαρμόζει το Federal State Educational Standard LLC.

Στα υλικά του προτύπου, τα προσωπικά, μετα-αντικείμενα και τα επιτεύγματα των μαθητών είναι αποτέλεσμα της εκπαίδευσης. Εάν οι δάσκαλοι έχουν κατανόηση των προσωπικών και θεματικών αποτελεσμάτων, τότε τα αποτελέσματα μετα-αντικειμένου, ο σχηματισμός και η διάγνωσή τους στους μαθητές πρέπει να κατακτηθούν 1. Τα αποτελέσματα μετα-αντικειμένων νοούνται ως καθολικοί τρόποι των δραστηριοτήτων των μαθητών - γνωστικοί, επικοινωνιακοί - και τρόποι ρύθμισης των δραστηριοτήτων τους, συμπεριλαμβανομένου του σχεδιασμού, του ελέγχου και της διόρθωσης. Οι μαθητές κατακτούν καθολικές μεθόδους δραστηριότητας με βάση ένα, περισσότερα ή όλα τα ακαδημαϊκά θέματα και χρησιμοποιούνται τόσο στο πλαίσιο της εκπαιδευτικής διαδικασίας όσο και κατά την επίλυση προβλημάτων σε καταστάσεις πραγματικής ζωής.

Η μελέτη των μαθηματικών στο βασικό σχολείο στοχεύει στην επίτευξη των ακόλουθων στόχων στη μετα-γνωστική περιοχή:

σχηματισμός ιδεών για τα μαθηματικά ως μέρος της παγκόσμιας ανθρώπινης κουλτούρας, για τη σημασία των μαθηματικών στην ανάπτυξη του πολιτισμού και της σύγχρονης κοινωνίας.

ανάπτυξη ιδεών για τα μαθηματικά ως μορφή περιγραφής και μεθόδου κατανόησης της πραγματικότητας, δημιουργία συνθηκών για την απόκτηση αρχικής εμπειρίας στη μαθηματική μοντελοποίηση.

ο σχηματισμός γενικών μεθόδων πνευματικής δραστηριότητας, χαρακτηριστικών των μαθηματικών και οι οποίες αποτελούν τη βάση της γνωστικής κουλτούρας, σημαντική για διάφορους τομείς της ανθρώπινης δραστηριότητας.

Η αξιολόγηση των αποτελεσμάτων του μεταθέματος περιγράφεται ως αξιολόγηση των προγραμματισμένων αποτελεσμάτων που παρουσιάζονται στις ενότητες: «Ρυθμιστικές εκπαιδευτικές δράσεις», «Επικοινωνιακές εκπαιδευτικές δράσεις», «Γνωστικές εκπαιδευτικές δράσεις».

Η επίτευξη αποτελεσμάτων μεταθέματος διασφαλίζεται μέσω των βασικών συνιστωσών της εκπαιδευτικής διαδικασίας, δηλαδή όλων των ακαδημαϊκών θεμάτων, του βασικού σχεδίου και χρησιμοποιούνται από τους μαθητές τόσο εντός της εκπαιδευτικής διαδικασίας όσο και κατά την επίλυση προβλημάτων σε πραγματικές καταστάσεις.

Το κύριο αντικείμενο για την αξιολόγηση των αποτελεσμάτων μετα-υποκειμένου είναι ο σχηματισμός μιας σειράς ρυθμιστικών, επικοινωνιακών και γνωστικών καθολικών δράσεων, δηλ. τέτοιες νοητικές ενέργειες των μαθητών που στοχεύουν στην ανάλυση και διαχείριση της γνωστικής τους δραστηριότητας. Με άλλα λόγια, το κύριο περιεχόμενο της αξιολόγησης των αποτελεσμάτων μετα-αντικειμένων στο σχολείο βασίζεται στην έννοια της «μαθησιακής ικανότητας». Ένας από τους τομείς χρήσης δεξιοτήτων στα μαθηματικά είναι η ενίσχυση του εφαρμοσμένου προσανατολισμού, δηλαδή η εμφάνιση ενός ολόκληρου στρώματος πρακτικών προβλημάτων. Προβλήματα αυτού του είδους εμφανίστηκαν στα τελικά KIM στα μαθηματικά (Unified State Exam, OGE), πρόκειται για εργασίες σχετικά με τη χρήση της αποκτηθείσας μαθηματικής γνώσης στην καθημερινή ζωή. Τέτοιες εργασίες σάς επιτρέπουν να αναπτύξετε ικανότητες μετα-αντικειμένου και να δείξετε τη σύνδεση μεταξύ των μαθηματικών και της ζωής, η οποία στην πραγματικότητα οδηγεί σε αυξημένα κίνητρα για τη μελέτη αυτού του θέματος 2.

Το Ομοσπονδιακό Εκπαιδευτικό Πρότυπο για τη Βασική Γενική Εκπαίδευση περιέχει απαιτήσεις για μαθησιακά αποτελέσματα μετα-αντικειμένων 3.

Σύμφωνα με αυτό το έγγραφο, τα μετα-αντικείμενα αποτελέσματα απόκτησης του βασικού εκπαιδευτικού προγράμματος της βασικής γενικής εκπαίδευσης πρέπει να αντικατοπτρίζουν 4:

Η ικανότητα να καθορίζει ανεξάρτητα τους στόχους της μάθησης, να θέτει και να διαμορφώνει νέους στόχους για τον εαυτό του στη μάθηση και τη γνωστική δραστηριότητα, να αναπτύσσει τα κίνητρα και τα ενδιαφέροντα της γνωστικής του δραστηριότητας.

Η ικανότητα να σχεδιάζει ανεξάρτητα τρόπους επίτευξης στόχων, συμπεριλαμβανομένων εναλλακτικών, να επιλέγει συνειδητά τους πιο αποτελεσματικούς τρόπους επίλυσης εκπαιδευτικών και γνωστικών προβλημάτων.

Η ικανότητα να συσχετίζετε τις ενέργειές σας με τα προγραμματισμένα αποτελέσματα, να παρακολουθείτε τις δραστηριότητές σας στη διαδικασία επίτευξης αποτελεσμάτων, να καθορίζετε μεθόδους δράσης στο πλαίσιο των προτεινόμενων συνθηκών και απαιτήσεων, να προσαρμόζετε τις ενέργειές σας σύμφωνα με τη μεταβαλλόμενη κατάσταση.

Η ικανότητα αξιολόγησης της ορθότητας της ολοκλήρωσης μιας μαθησιακής εργασίας και των δυνατοτήτων κάποιου για την επίλυσή της.

Κατοχή των βασικών στοιχείων του αυτοελέγχου, της αυτοεκτίμησης, της λήψης αποφάσεων και της λήψης τεκμηριωμένων επιλογών σε εκπαιδευτικές και γνωστικές δραστηριότητες.

Η ικανότητα ορισμού εννοιών, δημιουργίας γενικεύσεων, δημιουργίας αναλογιών, ταξινόμησης, ανεξάρτητης επιλογής βάσεων και κριτηρίων ταξινόμησης, δημιουργίας σχέσεων αιτίου-αποτελέσματος, οικοδόμησης λογικού συλλογισμού, συμπερασμάτων (επαγωγικών, απαγωγικών και κατ' αναλογία) και εξαγωγής συμπερασμάτων.

Η ικανότητα δημιουργίας, εφαρμογής και μετατροπής σημάτων και συμβόλων, μοντέλων και διαγραμμάτων για την επίλυση εκπαιδευτικών και γνωστικών προβλημάτων.

Με νόημα ανάγνωση?

Ικανότητα οργάνωσης εκπαιδευτικής συνεργασίας και κοινών δραστηριοτήτων με τον δάσκαλο και τους συνομηλίκους. Εργασία ατομικά και ομαδικά: εξεύρεση κοινής λύσης και επίλυση συγκρούσεων με βάση τον συντονισμό θέσεων και τη λήψη υπόψη συμφερόντων. διατυπώστε, επιχειρηματολογήστε και υπερασπιστείτε τη γνώμη σας.

Η ικανότητα να χρησιμοποιεί κανείς συνειδητά λεκτικά μέσα σύμφωνα με το έργο της επικοινωνίας για να εκφράσει τα συναισθήματα, τις σκέψεις και τις ανάγκες του, να σχεδιάσει και να ρυθμίσει τις δραστηριότητές του. δεξιότητα προφορικού και γραπτού λόγου, μονόλογος με βάση τα συμφραζόμενα.

Διαμόρφωση και ανάπτυξη ικανοτήτων στον τομέα της χρήσης τεχνολογιών πληροφοριών και επικοινωνιών.

Διαμόρφωση και ανάπτυξη περιβαλλοντικής σκέψης, ικανότητα εφαρμογής της στη γνωστική, επικοινωνιακή, κοινωνική πρακτική και επαγγελματική καθοδήγηση.

Όλα τα χρόνια στο σχολείο μας λύνουμε πολλά και διάφορα προβλήματα, συμπεριλαμβανομένων συνδυαστικών και λογικών. Για να επιλύσετε με επιτυχία προβλήματα αυτού του τύπου, πρέπει να είστε σε θέση να προσδιορίσετε τα κοινά χαρακτηριστικά τους, να παρατηρήσετε μοτίβα, να υποβάλετε υποθέσεις, να τις δοκιμάσετε, να δημιουργήσετε αλυσίδες συλλογισμών και να εξάγετε συμπεράσματα.

Τα λογικά προβλήματα διαφέρουν από τα συνηθισμένα στο ότι δεν απαιτούν υπολογισμούς, αλλά επιλύονται χρησιμοποιώντας συλλογισμό. Τις περισσότερες φορές, αυτά τα προβλήματα είναι διασκεδαστικά και δεν απαιτούν μεγάλη ποσότητα μαθηματικών γνώσεων, επομένως προσελκύουν ακόμη και εκείνους τους μαθητές που δεν τους αρέσουν πραγματικά τα μαθηματικά.

Στη διδασκαλία των μαθηματικών, ο ρόλος των συνδυαστικών προβλημάτων έχει πρόσφατα αυξηθεί, καθώς παρέχουν ευκαιρίες όχι μόνο για την ανάπτυξη της αλγοριθμικής και λογικής σκέψης των μαθητών, αλλά και για την προετοιμασία των μαθητών για την επίλυση προβλημάτων που προκύπτουν στην καθημερινή ζωή.

Η αξιολόγηση των αποτελεσμάτων μετα-αντικειμένων μπορεί να πραγματοποιηθεί κατά τη διάρκεια διαφόρων διαδικασιών: επίλυση προβλημάτων δημιουργικής και διερευνητικής φύσης, τελική δοκιμαστική εργασία, σύνθετη εργασία σε διεπιστημονική βάση και άλλες.

Θα δώσω παραδείγματα μερικών από αυτές τις εργασίες.

Η ικανότητα να σχεδιάζει ανεξάρτητα τρόπους επίτευξης στόχων, συμπεριλαμβανομένων εναλλακτικών, να επιλέγει συνειδητά τους πιο αποτελεσματικούς τρόπους επίλυσης εκπαιδευτικών και γνωστικών προβλημάτων

Εργασία 1 5.Δημιουργήστε έναν αλγόριθμο για να βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου (βλ. εικόνα). Βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου. Τι μπορούμε να πούμε για τον αριθμό των τρόπων επίλυσης αυτού του προβλήματος;

Η σωστή απόφαση.

Συμπληρώστε το δεδομένο τρίγωνο σε ένα ορθογώνιο κατασκευάζοντας ένα ορθογώνιο τρίγωνο σε κάθε πλευρά.

2. Βρείτε τα εμβαδά αυτών των τριγώνων και υπολογίστε το άθροισμά τους.

3. Βρείτε το εμβαδόν του ορθογωνίου.

4. Βρείτε τη διαφορά μεταξύ των περιοχών που προκύπτουν. Αυτή είναι η απαιτούμενη περιοχή.

Απάντηση: 6 cm 2; αυτή η μέθοδος δεν είναι η μόνη.

Ενα σχόλιο . Εδώ μπορείτε να ελέγξετε την ικανότητα του μαθητή να θέτει στόχους και να δημιουργήσει έναν αλγόριθμο για την ανεξάρτητα επίλυση ακαδημαϊκών μαθηματικών προβλημάτων.

Η ικανότητα να βλέπεις ένα μαθηματικό πρόβλημα στο πλαίσιο μιας προβληματικής κατάστασης σε άλλους κλάδους, στη γύρω ζωή

Εργασία 1 6.Η καραμέλα τοποθετήθηκε σε τρεις σακούλες, αλλά μπήκαν αρκετές καραμέλες. Από ποια συσκευασία υπάρχουν περισσότερες πιθανότητες να αφαιρεθεί τυχαία η καραμέλα και από ποια υπάρχουν λιγότερες πιθανότητες;

Απάντηση: από μια πράσινη τσάντα - περισσότερες πιθανότητες, από μια κόκκινη τσάντα - λιγότερες πιθανότητες.

Σχόλιο: ελέγχεται η δεξιότητα της σημασιολογικής ανάγνωσης κειμένου με μαθηματικό περιεχόμενο, η ικανότητα ανάλυσης, δημιουργίας συνδέσεων και εξαρτήσεων μεταξύ αντικειμένων, η ικανότητα δημιουργίας λογικής αλυσίδας συλλογισμών και επιλογής της σωστής απάντησης.

Εργασία 2 7.Ένα φλιτζάνι που κοστίζει 90 ρούβλια πωλείται με έκπτωση 10%. Όταν αγόρασε 10 τέτοια κύπελλα, ο αγοραστής έδωσε στο ταμείο 1000 ρούβλια. Πόσα ρούβλια σε ρέστα πρέπει να λάβει;

Λύση (οι άλλες λύσεις είναι δυνατές)

90: 100 = 0,9 (τρίψτε) - κατά 1%

0,9  10 = 9 (τρίψτε) – κατά 10%

90 – 9 = 81 (τρίψιμο) – μειωμένη τιμή για ένα φλιτζάνι

81  10 = 810 (τρίψιμο) – κόστος 10 φλ

1000 – 810 = 190 (τρίψιμο) – αλλαγή από την αγορά

Απάντηση: 190 τρίψτε.

Σχόλιο: ελέγχεται η δεξιότητα της σημασιολογικής ανάγνωσης κειμένου με μαθηματικό περιεχόμενο, η ικανότητα δημιουργίας σχέσεων αιτίου-αποτελέσματος και η οικοδόμηση μιας λογικής αλυσίδας συλλογισμών.

Εργασία 3.Τα μπισκότα συσκευάστηκαν σε συσκευασίες των 250 γρ. Τα πακέτα τοποθετήθηκαν σε κουτί σε 4 στρώσεις. Κάθε στρώμα έχει 5 σειρές, 6 πακέτα η καθεμία. Θα αντέξει το κουτί αν το μέγιστο βάρος που έχει σχεδιαστεί να υποστηρίξει είναι 32 κιλά;

5  6 = 30 (p) – μπισκότα σε μία στρώση

30  4 = 120 (p) – μπισκότα σε 4 στρώσεις

120  250 = 30000 (g) – μπισκότα

30000 g = 30 kg – μάζα όλων των μπισκότων

Απάντηση: θα αντέξει

Ενα σχόλιο . Δοκιμάζεται η ικανότητα σύγκρισης του αποτελέσματος που προκύπτει και της ερώτησης που τίθεται.

Εργασία 4.Η χωρητικότητα φορτίου ενός ανελκυστήρα επιβατών σε ένα κτίριο κατοικιών είναι συνήθως περίπου 400 κιλά. Θα μπορεί ένας τέτοιος ανελκυστήρας να σηκώσει όλα τα μέλη της οικογένειάς σας; Εξηγώ.

Απάντηση. Το πρόβλημα δεν μπορεί να λυθεί: είναι άγνωστο πόσα μέλη της οικογένειας υπάρχουν και ποιο είναι το βάρος του καθενός.

Ενα σχόλιο. Ελέγχεται το αποτέλεσμα της ανάλυσης - η ικανότητα εξαγωγής συμπερασμάτων σε μια δεδομένη κατάσταση (η απουσία μιας συνθήκης δεν καθιστά δυνατή την επίλυση), αλγόριθμος (εκτίμηση) της πορείας της λύσης, εξήγηση της δυνατότητας επίλυσης ενός εκπαιδευτικού προβλήματος .

Η ικανότητα να συσχετίζετε τις ενέργειές σας με τα προγραμματισμένα αποτελέσματα, να παρακολουθείτε τις δραστηριότητές σας στη διαδικασία επίτευξης αποτελεσμάτων.

Εργασία 1 8.Τα ζάρια ρίχνονται δύο φορές. Πόσα στοιχειώδη αποτελέσματα του πειράματος ευνοούν το γεγονός «A = το άθροισμα των σημείων είναι 5»;

Το άθροισμα των πόντων μπορεί να είναι ίσο με 5 σε τέσσερις περιπτώσεις: «3 + 2», «2 + 3», «1 + 4», «4 + 1».

Ενα σχόλιο. Ελέγχεται η ετοιμότητα ελέγχου της διαδικασίας και του αποτελέσματος ολοκλήρωσης μιας μαθησιακής εργασίας: «Το άθροισμα των βαθμών μπορεί να είναι ίσο με 5»

Εργασία 2. Πόσοι είναι οι τριψήφιοι αριθμοί των οποίων τα ψηφία είναι δύο;

Λύση: 200, 110, 101

Απάντηση: 3 αριθμοί

Ενα σχόλιο. Ελέγχεται η ετοιμότητα ελέγχου της διαδικασίας και του αποτελέσματος της ολοκλήρωσης μιας μαθησιακής εργασίας: «Το άθροισμα των ψηφίων είναι 2»

Η ικανότητα εύρεσης πληροφοριών που χρειάζονται για μαθηματικά προβλήματα από διάφορες πηγές και παρουσίασής τους σε κατανοητή μορφή. λαμβάνουν αποφάσεις σε συνθήκες ελλιπούς και περιττής, ακριβούς και πιθανολογικής πληροφόρησης

Πρόβλημα 1 9.Ο Μιχαήλ αποφάσισε να επισκεφτεί το Λούνα Παρκ. Πληροφορίες για εισιτήρια για αξιοθέατα παρουσιάζονται στον πίνακα. Ορισμένα εισιτήρια σάς επιτρέπουν να επισκεφθείτε δύο αξιοθέατα ταυτόχρονα.

Αριθμός εισιτηρίου	Επισκέφτηκαν αξιοθέατα	Κόστος, τρίψτε.)
	Roller coaster
	Δωμάτιο πανικού, τρενάκι του λούνα παρκ
	Autodrome, roller coaster
	ΡΟΔΑ του λουνα παρκ
	Ρόδα λούνα παρκ, πίστα
	Autodrom

Χρησιμοποιώντας τον πίνακα, επιλέξτε ένα σύνολο εισιτηρίων, ώστε ο Μιχαήλ να επισκεφτεί και τα τέσσερα αξιοθέατα: τη ρόδα, την αίθουσα πανικού, το τρενάκι του λούνα παρκ, την πίστα και το συνολικό κόστος των εισιτηρίων δεν υπερβαίνει τα 800 ρούβλια. Στην απάντησή σας, υποδείξτε ακριβώς ένα σύνολο αριθμών εισιτηρίων χωρίς κενά, κόμματα ή άλλους πρόσθετους χαρακτήρες

Δεν υπάρχει εισιτήριο μόνο για την αίθουσα πανικού, επομένως πρέπει να αγοράσετε δεύτερο εισιτήριο, με αποτέλεσμα να μην χρειάζονται το πρώτο και το τρίτο εισιτήριο. Το μόνο που μένει είναι να πάρετε είτε το τέταρτο και το έκτο (750 ρούβλια) ή μόνο το πέμπτο (700 ρούβλια).

Απάντηση: 246 ή 25

Ενα σχόλιο . Δοκιμάζεται η ικανότητα των μαθητών να εργάζονται με πληροφορίες που παρουσιάζονται σε μορφή πίνακα και η ικανότητα λήψης αποφάσεων ενόψει της υπερβολικής πληροφορίας.

Εργασία 2.Το τιμολόγιο που ελήφθη πριν από αρκετά χρόνια στο κατάστημα δεν διατηρήθηκε πλήρως. Επαναφέρετε τον λογαριασμό σας. 10

Ελεγχος
Ονομα	Αριθμός αντικειμένων	Τιμή	Τιμή
Μολύβια

Ενα σχόλιο . Δοκιμάζεται η ικανότητα του μαθητή να εργάζεται με πληροφορίες που παρουσιάζονται σε μορφή πίνακα και η ικανότητα λήψης αποφάσεων ενόψει ελλιπών πληροφοριών.

Σωστή απάντηση:

Ελεγχος
Ονομα	Αριθμός αντικειμένων	Τιμή	Τιμή
Μολύβια

Πρόβλημα 3 11.Μπορείτε να φτάσετε από το σπίτι σας στη ντάκα σας με λεωφορείο, τρένο ή μίνι λεωφορείο. Ο πίνακας δείχνει τον χρόνο που πρέπει να δαπανηθεί σε κάθε τμήμα της διαδρομής. Ποιος είναι ο συντομότερος χρόνος που απαιτείται για το ταξίδι; Δώστε την απάντησή σας σε ώρες.

Με λεωφορείο	Από το σπίτι στο σταθμό λεωφορείων - 15 λεπτά	Χρόνος ταξιδιού με λεωφορείο: 2 ώρες 15 λεπτά.	Από τη στάση του λεωφορείου προς τη ντάτσα απέχει 5 λεπτά με τα πόδια.
Με το τρένο	Από το σπίτι στον σιδηροδρομικό σταθμό - 25 λεπτά.	Χρόνος ταξιδιού με τρένο: 1 ώρα 45 λεπτά.	Από το σταθμό μέχρι τη ντάτσα είναι 20 λεπτά με τα πόδια.
Με μίνι λεωφορείο	Από το σπίτι μέχρι τη στάση του μίνι λεωφορείου - 25 λεπτά.	Ταξί minibus στο δρόμο: 1 ώρα 35 λεπτά.	Από τη στάση του μίνι λεωφορείου μέχρι τη ντάκα απέχει 40 λεπτά με τα πόδια

Το ταξίδι με το λεωφορείο θα διαρκέσει 15 λεπτά. + 2 ώρες 15 λεπτά + 5 λεπτά. = 2 ώρες 35 λεπτά

Το ταξίδι με το τρένο θα διαρκέσει 25 λεπτά. + 1 ώρα 45 λεπτά. + 20 λεπτά. = 2 ώρες 30 λεπτά = 2,5 ώρες

Όταν ταξιδεύετε με μίνι λεωφορείο θα διαρκέσει 25 λεπτά. + 1 ώρα 35 λεπτά. + 40 λεπτά. = 2 ώρες 40 λεπτά

Ενα σχόλιο . Ελέγχεται η κατανόηση των πληροφοριών που παρουσιάζονται με τη μορφή πίνακα, η «ανάγνωσή» και η ανάλυσή τους για την απάντηση στην ερώτηση της εργασίας.

Ικανότητα κατανόησης και χρήσης μαθηματικών οπτικών βοηθημάτων (γραφήματα, διαγράμματα, πίνακες, διαγράμματα κ.λπ.) για εικονογράφηση, ερμηνεία, επιχειρηματολογία

Εργασία 1 12.Ο Αντρέι και ο Ιβάν αγωνίστηκαν σε μια πισίνα 50 μέτρων σε απόσταση 100 μ. Τα γραφήματα των κολυμπήσεών τους φαίνονται στο σχήμα. Ο οριζόντιος άξονας αντιπροσωπεύει το χρόνο και ο κάθετος άξονας αντιπροσωπεύει την απόσταση του κολυμβητή από την εκκίνηση. Ποιος κολύμπησε πιο γρήγορα το πρώτο μισό της απόστασης; Στην απάντησή σας, γράψτε πόσα δευτερόλεπτα γρηγορότερα κολύμπησε το πρώτο μισό της απόστασης.

Λύση.

Το γράφημα δείχνει ότι ο Αντρέι κολύμπησε πιο γρήγορα στο πρώτο μισό της απόστασης σε 40 δευτερόλεπτα και ο Ιβάν στα 60 δευτερόλεπτα. Έτσι, ο Andrey κολύμπησε το πρώτο μισό της απόστασης 60 − 40 = 20 δευτερόλεπτα πιο γρήγορα.

Ενα σχόλιο. Δοκιμάζεται η ικανότητα κατανόησης μαθηματικών οπτικών βοηθημάτων, «ανάγνωσης» και χρήσης πληροφοριών που παρουσιάζονται με τη μορφή γραφήματος.

Πρόβλημα 2 13.Ο πίνακας δείχνει τα πρότυπα για σκι 1 χλμ για τη 10η τάξη.

	αγόρια				κορίτσια
Σημάδι
Χρόνος (ελάχ. και δευτερόλεπτο)

Τι σημάδι θα πάρει ένα κορίτσι αν τρέξει 1 χλμ με σκι σε 6 λεπτά 15 δευτερόλεπτα;

Ο χρόνος τρεξίματος για απόσταση 1 km (για κορίτσια) μπορεί να χωριστεί στις ακόλουθες κατηγορίες:

1) 6 λεπτά ή λιγότερο - λήψη βαθμολογίας "5"

2) από 6 λεπτά έως 6 λεπτά και 30 δευτερόλεπτα - λήψη βαθμολογίας "4".

3) από 6 λεπτά 30 δευτερόλεπτα έως 7 λεπτά 10 δευτερόλεπτα - λήψη βαθμολογίας "3".

4) 7 λεπτά 10 δευτερόλεπτα ή περισσότερα - λήψη «μη ικανοποιητικής» βαθμολογίας.

Η τιμή των 6 λεπτών 15 δευτερολέπτων ανήκει στο δεύτερο και αντιστοιχεί στη λήψη βαθμολογίας "4".

Ενα σχόλιο. Δοκιμάζεται η ικανότητα του μαθητή να εργάζεται με πληροφορίες που παρουσιάζονται σε μορφή πίνακα.

Πρόβλημα 3. Το διάγραμμα δείχνει την κατανομή των ωκεάνιων περιοχών. Επιλέξτε τον ωκεανό με τη μικρότερη περιοχή.

Λύση. Αρκτικός ωκεανός

Ενα σχόλιο. Δοκιμάζεται η ικανότητα εξαγωγής πληροφοριών από διαγράμματα, σύγκρισης τιμών και εύρεσης των μεγαλύτερων και των μικρότερων τιμών.

Πρόβλημα 4 14. Το διαμέρισμα αποτελείται από ένα δωμάτιο, κουζίνα, διάδρομο και μπάνιο. Η κουζίνα έχει διαστάσεις 3 m επί 3,5 ​​m, το μπάνιο είναι 1 επί 1,5 m, το μήκος του διαδρόμου είναι 5,5 m. Βρείτε την περιοχή του δωματίου. Γράψτε την απάντησή σας σε τετραγωνικά μέτρα.

Ας βρούμε την περιοχή ολόκληρου του διαμερίσματος: S kvar = 4,5  7 = 31,5 m 2

Ας βρούμε τον χώρο της κουζίνας: 3,5  3 = 10,5 m 2

Ας βρούμε την περιοχή του μπάνιου και του διαδρόμου: (1,5 + 5,5)  1 = 7 m 2

Εμβαδόν δωματίου: 31,5 – 10,5 – 7 = 14 m2

Περίμετρος πολυγώνου

Απαντήσεις στη σελίδα 42

1. 1) Μετρήστε τις πλευρές των πολυγώνων και βρείτε την περίμετρο καθενός από αυτά σε εκατοστά.

1) 3 + 4 + 4 + 1 = 12 (cm)
2) 3 + 3 + 4 = 10 (cm)
3) 2 + 5 + 5 + 3 = 15 (cm)

2) Θυμηθείτε πώς χρησιμοποιήσατε μια πυξίδα για να βρείτε το μήκος μιας διακεκομμένης γραμμής. Εξηγήστε πώς μπορείτε να βρείτε την περίμετρο ενός πολυγώνου χωρίς να γνωρίζετε το μήκος κάθε πλευράς του. Βρείτε την περίμετρο του τριγώνου χρησιμοποιώντας αυτή τη μέθοδο.

Σε μια ευθεία γραμμή πρέπει να τοποθετήσετε τμήματα ίσα με τα μήκη των πλευρών του πολυγώνου και να μετρήσετε το συνολικό μήκος των τμημάτων. Αυτή θα είναι η περίμετρος του ορθογωνίου.

2. Ο Σλάβα λύγισε ένα κομμάτι σύρμα έτσι ώστε αποδείχθηκε ότι ήταν ένα τρίγωνο με πλευρές 8 εκ., 3 εκ. και μήκους 6 εκ. Πόσο μήκος ήταν αυτό το κομμάτι σύρμα; Ποια είναι η περίμετρος του τριγώνου;

8 + 3 + 6 = 17 (cm) - το μήκος ενός κομματιού σύρματος είναι ίσο με το μήκος της περιμέτρου του τριγώνου.

3. Συγκρίνετε εκφράσεις.
1) Το άθροισμα των αριθμών 8 και 9 και η διαφορά των αριθμών 20 και 1.

8 + 9 < 20 — 1

2) Η διαφορά μεταξύ των αριθμών 16 και 8 και η διαφορά μεταξύ των αριθμών 16 και 10

16 — 8 > 16 — 10

4. Η Dima έχει δύο νομίσματα: 5 ρούβλια. και 2 r. Αγόρασε ένα σημειωματάριο για 3 ρούβλια. Πόσα ρούβλια του έχουν απομείνει;
Η Τζούλια και ο Σλάβα έκαναν διαφορετικές εκφράσεις για αυτό το πρόβλημα.
Τζούλια: Σλάβα:
(5 + 2) — 3 (5 — 3) + 2
Εξηγήστε πώς σκέφτηκε ο καθένας τους.

Η Τζούλια βρήκε το χρηματικό ποσό που είχε ο Ντίμα (5 + 2) και στη συνέχεια αφαίρεσε την τιμή του σημειωματάριου από αυτό.
Ο Slava βρήκε τα ρέστα αφού αγόρασε το σημειωματάριο (5 - 3) και στη συνέχεια άθροισε τα ρέστα και τα χρήματα που είχε αφήσει ο Dima.

ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΟΥΣ ΤΟΜΕΙΣ:

Καλέστε 13:

13 = 3 + 7 + 3
13 = 4 + 6 + 2 +1, κ.λπ.