Διαφορικές εξισώσεις υψηλότερης τάξης με σταθερούς συντελεστές. Διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης και ανώτερης τάξης

Συχνά μόνο μια αναφορά διαφορικές εξισώσειςκάνει τους μαθητές να νιώθουν άβολα. Γιατί συμβαίνει αυτό? Τις περισσότερες φορές, επειδή κατά τη μελέτη των βασικών στοιχείων του υλικού, προκύπτει ένα κενό στη γνώση, λόγω του οποίου η περαιτέρω μελέτη των difurs γίνεται απλώς βασανιστήριο. Τίποτα δεν είναι ξεκάθαρο τι να κάνετε, πώς να αποφασίσετε από πού να ξεκινήσετε;

Ωστόσο, θα προσπαθήσουμε να σας δείξουμε ότι το difurs δεν είναι τόσο δύσκολο όσο φαίνεται.

Βασικές έννοιες της θεωρίας των διαφορικών εξισώσεων

Από το σχολείο, γνωρίζουμε τις απλούστερες εξισώσεις στις οποίες πρέπει να βρούμε το άγνωστο x. στην πραγματικότητα διαφορικές εξισώσειςμόνο ελαφρώς διαφορετική από αυτές - αντί για μεταβλητή Χ πρέπει να βρουν μια λειτουργία y(x) , που θα μετατρέψει την εξίσωση σε ταυτότητα.

ρε διαφορικές εξισώσειςέχουν μεγάλη πρακτική σημασία. Δεν πρόκειται για αφηρημένα μαθηματικά που δεν έχουν καμία σχέση με τον κόσμο γύρω μας. Με τη βοήθεια διαφορικών εξισώσεων περιγράφονται πολλές πραγματικές φυσικές διεργασίες. Για παράδειγμα, οι δονήσεις χορδών, η κίνηση ενός αρμονικού ταλαντωτή, μέσω διαφορικών εξισώσεων στα προβλήματα της μηχανικής, βρίσκουν την ταχύτητα και την επιτάχυνση ενός σώματος. Επίσης DUχρησιμοποιούνται ευρέως στη βιολογία, τη χημεία, τα οικονομικά και πολλές άλλες επιστήμες.

Διαφορική εξίσωση (DU) είναι μια εξίσωση που περιέχει τις παραγώγους της συνάρτησης y(x), την ίδια τη συνάρτηση, ανεξάρτητες μεταβλητές και άλλες παραμέτρους σε διάφορους συνδυασμούς.

Υπάρχουν πολλοί τύποι διαφορικών εξισώσεων: συνηθισμένες διαφορικές εξισώσεις, γραμμικές και μη γραμμικές, ομοιογενείς και μη ομοιογενείς, διαφορικές εξισώσεις πρώτης και υψηλότερης τάξης, μερικές διαφορικές εξισώσεις κ.λπ.

Η λύση μιας διαφορικής εξίσωσης είναι μια συνάρτηση που τη μετατρέπει σε ταυτότητα. Υπάρχουν γενικές και ειδικές λύσεις τηλεχειρισμού.

Η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης είναι το γενικό σύνολο λύσεων που μετατρέπουν την εξίσωση σε ταυτότητα. Μια συγκεκριμένη λύση μιας διαφορικής εξίσωσης είναι μια λύση που ικανοποιεί πρόσθετες συνθήκες που καθορίστηκαν αρχικά.

Η σειρά μιας διαφορικής εξίσωσης καθορίζεται από την υψηλότερη τάξη των παραγώγων που περιλαμβάνονται σε αυτήν.

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις

Συνήθεις διαφορικές εξισώσειςείναι εξισώσεις που περιέχουν μία ανεξάρτητη μεταβλητή.

Εξετάστε την απλούστερη συνηθισμένη διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης. Μοιάζει:

Αυτή η εξίσωση μπορεί να λυθεί απλώς ενσωματώνοντας τη δεξιά πλευρά της.

Παραδείγματα τέτοιων εξισώσεων:

Διαχωρίσιμες μεταβλητές εξισώσεις

Σε γενικές γραμμές, αυτός ο τύπος εξίσωσης μοιάζει με αυτό:

Εδώ είναι ένα παράδειγμα:

Επιλύοντας μια τέτοια εξίσωση, πρέπει να διαχωρίσετε τις μεταβλητές, φέρνοντάς την στη μορφή:

Μετά από αυτό, μένει να ενσωματωθούν και τα δύο μέρη και να βρεθεί μια λύση.

Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης

Τέτοιες εξισώσεις έχουν τη μορφή:

Εδώ τα p(x) και q(x) είναι μερικές συναρτήσεις της ανεξάρτητης μεταβλητής και η y=y(x) είναι η επιθυμητή συνάρτηση. Ακολουθεί ένα παράδειγμα μιας τέτοιας εξίσωσης:

Επιλύοντας μια τέτοια εξίσωση, τις περισσότερες φορές χρησιμοποιούν τη μέθοδο μεταβολής μιας αυθαίρετης σταθεράς ή αναπαριστούν την επιθυμητή συνάρτηση ως γινόμενο δύο άλλων συναρτήσεων y(x)=u(x)v(x).

Για την επίλυση τέτοιων εξισώσεων, απαιτείται μια ορισμένη προετοιμασία και θα είναι αρκετά δύσκολο να τις πάρουμε "σε μια ιδιοτροπία".

Ένα παράδειγμα επίλυσης DE με χωριστές μεταβλητές

Έτσι, εξετάσαμε τους απλούστερους τύπους τηλεχειριστηρίου. Τώρα ας ρίξουμε μια ματιά σε ένα από αυτά. Έστω μια εξίσωση με χωριστές μεταβλητές.

Αρχικά, ξαναγράφουμε την παράγωγο σε μια πιο οικεία μορφή:

Στη συνέχεια θα διαχωρίσουμε τις μεταβλητές, δηλαδή, σε ένα μέρος της εξίσωσης θα συλλέξουμε όλα τα "παιχνίδια" και στο άλλο - τα "xes":

Τώρα μένει να ενσωματωθούν και τα δύο μέρη:

Ενσωματώνουμε και παίρνουμε τη γενική λύση αυτής της εξίσωσης:

Φυσικά, η επίλυση διαφορικών εξισώσεων είναι ένα είδος τέχνης. Πρέπει να είστε σε θέση να κατανοήσετε σε ποιον τύπο ανήκει μια εξίσωση και επίσης να μάθετε τι μετασχηματισμούς πρέπει να κάνετε με αυτήν για να τη φέρετε σε μια ή την άλλη μορφή, για να μην αναφέρουμε μόνο την ικανότητα διαφοροποίησης και ενσωμάτωσης. Και χρειάζεται εξάσκηση (όπως σε όλα) για να καταφέρεις να λύσεις ΔΕ. Και αν αυτή τη στιγμή δεν έχετε χρόνο να καταλάβετε πώς λύνονται οι διαφορικές εξισώσεις ή το πρόβλημα Cauchy έχει αυξηθεί σαν κόκκαλο στο λαιμό σας ή δεν το γνωρίζετε, επικοινωνήστε με τους συγγραφείς μας. Σε σύντομο χρονικό διάστημα, θα σας προσφέρουμε μια έτοιμη και λεπτομερή λύση, τις λεπτομέρειες της οποίας μπορείτε να κατανοήσετε οποιαδήποτε στιγμή σας βολεύει. Εν τω μεταξύ, προτείνουμε να παρακολουθήσετε ένα βίντεο με θέμα "Πώς να λύσετε διαφορικές εξισώσεις":

Θεωρία Υπολογιστών ανομοιογενείς διαφορικές εξισώσεις(DU) δεν θα δώσουμε σε αυτή τη δημοσίευση, από τα προηγούμενα μαθήματα μπορείτε να βρείτε αρκετές πληροφορίες για να βρείτε την απάντηση στην ερώτηση "Πώς να λύσετε μια ανομοιογενή διαφορική εξίσωση;"Ο βαθμός της ανομοιογενούς ΔΕ δεν παίζει μεγάλο ρόλο εδώ, δεν υπάρχουν τόσοι πολλοί τρόποι που επιτρέπουν σε κάποιον να υπολογίσει τη λύση μιας τέτοιας ΔΕ. Για να σας διευκολύνουμε να διαβάσετε τις απαντήσεις στα παραδείγματα, η κύρια έμφαση δίνεται μόνο στην τεχνική υπολογισμού και υποδείξεις που θα διευκολύνουν την παραγωγή της τελικής συνάρτησης.

Παράδειγμα 1 Επίλυση διαφορικής εξίσωσης
Λύση: Δόθηκε ομογενής διαφορική εξίσωση τρίτης τάξης,Επιπλέον περιέχει μόνο τη δεύτερη και τρίτη παράγωγο και δεν έχει συνάρτηση και την πρώτη του παράγωγο. Σε τέτοιες περιπτώσεις χρησιμοποιήστε τη μέθοδο μείωσηςδιαφορική εξίσωση. Για αυτό, εισάγεται μια παράμετρος - συμβολίζουμε τη δεύτερη παράγωγο μέσω της παραμέτρου p

τότε η τρίτη παράγωγος της συνάρτησης είναι

Η αρχική ομοιογενής ΔΕ θα απλοποιηθεί στη μορφή

Το γράφουμε σε διαφορικά, λοιπόν ανάγονται σε μια διαχωρισμένη μεταβλητή εξίσωσηκαι βρείτε τη λύση με την ενσωμάτωση

Θυμηθείτε ότι η παράμετρος είναι η δεύτερη παράγωγος της συνάρτησης

Επομένως, για να βρούμε τον τύπο της ίδιας της συνάρτησης, ενσωματώνουμε τη διαφορική εξάρτηση που βρέθηκε δύο φορές

Στη συνάρτηση, τα παλιά C 1 , C 2 , C 3 ισούνται με αυθαίρετες τιμές.
Έτσι φαίνεται το κύκλωμα Να βρείτε τη γενική λύση μιας ομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης εισάγοντας μια παράμετρο.Τα παρακάτω προβλήματα είναι πιο δύσκολα και από αυτά θα μάθετε πώς να επιλύετε μη ομοιογενείς διαφορικές εξισώσεις τρίτης τάξης. Υπάρχει κάποια διαφορά μεταξύ ομοιογενούς και μη ομοιογενούς DE όσον αφορά τους υπολογισμούς, θα το δείτε τώρα.

Παράδειγμα 2 Εύρημα
Λύση: Έχουμε την τρίτη σειρά. Επομένως, η επίλυσή του θα πρέπει να αναζητηθεί με τη μορφή του αθροίσματος δύο - λύσεις των ομοιογενών και ιδιαίτερων λύσεων της ανομοιογενούς εξίσωσης

Ας αποφασίσουμε πρώτα

Όπως μπορείτε να δείτε, περιέχει μόνο τη δεύτερη και τρίτη παράγωγο της συνάρτησης και δεν περιέχει την ίδια τη συνάρτηση. Αυτό το είδος διαφ. οι εξισώσεις λύνονται με τη μέθοδο εισαγωγής μιας παραμέτρου, η οποία σεμε τη σειρά του μειώνει και απλοποιεί την εύρεση της λύσης της εξίσωσης. Στην πράξη, μοιάζει με αυτό: αφήστε τη δεύτερη παράγωγο να είναι ίση με μια συγκεκριμένη συνάρτηση, τότε η τρίτη παράγωγος θα έχει τυπικά τον συμβολισμό

Η θεωρούμενη ομοιογενής ΔΕ 3ης τάξης μετατρέπεται στην εξίσωση πρώτης τάξης

από όπου διαιρώντας τις μεταβλητές βρίσκουμε το ολοκλήρωμα
x*dp-p*dx=0;

Συνιστούμε την αρίθμηση αυτών που έχουν γίνει σε τέτοια προβλήματα, καθώς η λύση μιας διαφορικής εξίσωσης 3ης τάξης έχει 3 σταθερές, την τέταρτη - 4, και περαιτέρω κατ' αναλογία. Τώρα επιστρέφουμε στην εισαγόμενη παράμετρο: αφού η δεύτερη παράγωγος έχει τη μορφή, ενσωματώνοντάς την μόλις έχουμε μια εξάρτηση για την παράγωγο της συνάρτησης

και με επαναλαμβανόμενη ολοκλήρωση βρίσκουμε γενική άποψη μιας ομοιογενούς συνάρτησης

Μερική λύση της εξίσωσηςγράψτε ως μεταβλητή πολλαπλασιαζόμενη με το λογάριθμο. Αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι το δεξιό (μη ομοιογενές) τμήμα της ΔΕ είναι ίσο με -1/x και για να ληφθεί ισοδύναμη σημείωση

η λύση θα πρέπει να αναζητηθεί στη μορφή

Βρείτε τον συντελεστή A , για αυτό υπολογίζουμε τις παραγώγους της πρώτης και της δεύτερης τάξης

Αντικαθιστούμε τις εκφράσεις που βρέθηκαν στην αρχική διαφορική εξίσωση και εξισώνουμε τους συντελεστές με τις ίδιες δυνάμεις του x:

Ο χάλυβας είναι ίσος με -1/2, και έχει τη μορφή

Γενική λύση διαφορικής εξίσωσηςγράψτε ως το άθροισμα του ευρισθέντος

όπου τα C 1 , C 2 , C 3 είναι αυθαίρετες σταθερές που μπορούν να βελτιωθούν από το πρόβλημα Cauchy.

Παράδειγμα 3 Βρείτε το ολοκλήρωμα DE τρίτης τάξης
Λύση: Αναζητούμε ένα γενικό ολοκλήρωμα μιας μη ομοιογενούς ΔΕ τρίτης τάξης με τη μορφή του αθροίσματος της λύσης μιας ομογενούς και μερικής μη ομογενούς εξίσωσης. Αρχικά, για κάθε τύπο εξισώσεων, ξεκινάμε αναλύουν ομοιογενή διαφορική εξίσωση

Περιέχει μόνο τη δεύτερη και τρίτη παράγωγο της μέχρι τώρα άγνωστης συνάρτησης. Εισάγουμε μια αλλαγή μεταβλητών (παράμετρος): συμβολίζουμε τη δεύτερη παράγωγο

Τότε η τρίτη παράγωγος είναι

Οι ίδιοι μετασχηματισμοί πραγματοποιήθηκαν και στην προηγούμενη εργασία. Αυτό επιτρέπει να μειώσει μια διαφορική εξίσωση τρίτης τάξης σε μια εξίσωση πρώτης τάξης της φόρμας

Με την ενσωμάτωση βρίσκουμε

Θυμηθείτε ότι, σύμφωνα με την αλλαγή των μεταβλητών, αυτή είναι μόνο η δεύτερη παράγωγος

και για να βρεθεί λύση σε ομοιογενή διαφορική εξίσωση τρίτης τάξης, πρέπει να ολοκληρωθεί δύο φορές

Με βάση τον τύπο της δεξιάς πλευράς (μη ομοιογενές τμήμα =x+1 ), αναζητείται μερική λύση της εξίσωσης στη μορφή

Πώς να μάθετε με ποια μορφή να αναζητήσετε μια μερική λύση Θα έπρεπε να έχετε διδαχθεί στο θεωρητικό μέρος του μαθήματος των διαφορικών εξισώσεων. Εάν όχι, τότε μπορούμε μόνο να προτείνουμε τι είδους συνάρτηση επιλέγεται μια τέτοια έκφραση, ώστε κατά την αντικατάσταση στην εξίσωση, ο όρος που περιέχει την υψηλότερη παράγωγο ή νεότερο να είναι της ίδιας τάξης (παρόμοιος) με το ανομοιογενές μέρος της εξίσωσης

Νομίζω ότι τώρα σας είναι πιο ξεκάθαρο από πού προέρχεται η μορφή μιας συγκεκριμένης λύσης. Βρείτε τους συντελεστές A, B, για αυτό υπολογίζουμε τη δεύτερη και τρίτη παράγωγο της συνάρτησης

και αντικαταστήστε τη διαφορική εξίσωση. Αφού ομαδοποιήσουμε παρόμοιους όρους, λαμβάνουμε τη γραμμική εξίσωση

από το οποίο, για ίσες δυνάμεις της μεταβλητής συνθέτουν ένα σύστημα εξισώσεων

και βρείτε άγνωστους χάλυβες. Μετά την αντικατάστασή τους εκφράζεται με την εξάρτηση

Γενική λύση διαφορικής εξίσωσηςισούται με το άθροισμα ομοιογενούς και μερικού και έχει τη μορφή

όπου τα C 1 , C 2 , C 3 είναι αυθαίρετες σταθερές.

Παράδειγμα 4. R φάτε διαφορική εξίσωση
Λύση: Έχουμε τη λύση της οποίας θα βρούμε μέσα από το άθροισμα . Γνωρίζετε το σχήμα υπολογισμού, οπότε ας προχωρήσουμε στην εξέταση ομοιογενής διαφορική εξίσωση

Σύμφωνα με την τυπική μέθοδο εισάγετε την παράμετρο
Η αρχική διαφορική εξίσωση θα έχει τη μορφή , από την οποία, διαιρώντας τις μεταβλητές, βρίσκουμε

Θυμηθείτε ότι η παράμετρος είναι ίση με τη δεύτερη παράγωγο
Ενσωματώνοντας τη ΔΕ, παίρνουμε την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης

Επανένταξη βρίσκουμε το γενικό ολοκλήρωμα της ομογενούς διαφορικής εξίσωσης

Αναζητούμε μια μερική λύση της εξίσωσης στη μορφή, αφού η δεξιά πλευρά είναι ίση με
Ας βρούμε τον συντελεστή Α - για αυτό αντικαθιστούμε το y* στη διαφορική εξίσωση και εξισώνουμε τον συντελεστή στις ίδιες δυνάμεις της μεταβλητής

Αφού αντικαταστήσουμε και ομαδοποιήσουμε τους όρους, προκύπτει η εξάρτηση

εκ των οποίων ο χάλυβας είναι ίσος με Α=8/3.
Έτσι, μπορούμε να γράψουμε μερική λύση ΔΕ

Γενική λύση διαφορικής εξίσωσηςίσο με το άθροισμα που βρέθηκε

όπου τα C 1 , C 2 , C 3 είναι αυθαίρετες σταθερές. Εάν δοθεί η συνθήκη Cauchy, τότε μπορούν πολύ εύκολα να επεκταθούν.

Πιστεύω ότι το υλικό θα σας φανεί χρήσιμο όταν προετοιμάζεστε για πρακτικές ασκήσεις, ενότητες ή τεστ. Το πρόβλημα Cauchy δεν έχει αναλυθεί εδώ, αλλά από τα προηγούμενα μαθήματα γενικά ξέρεις πώς να το κάνεις.

Διαφορικές εξισώσεις ανώτερης τάξης

Βασική ορολογία διαφορικών εξισώσεων ανώτερης τάξης (DE VP).

Μια εξίσωση της μορφής , όπου n >1 (2)

ονομάζεται διαφορική εξίσωση ανώτερης τάξης, δηλ. n-η σειρά.

Τομέας ορισμού τηλεχειριστηρίου, nη σειρά είναι η περιοχή.

Αυτό το μάθημα θα ασχοληθεί με τους ακόλουθους τύπους ελέγχου εναέριου χώρου:

Το πρόβλημα Cauchy για τον αντιπρόεδρο:

Αφήστε δεδομένο DU,
και αρχικές συνθήκες α/α: αριθμοί .

Απαιτείται να βρεθεί μια συνεχής και n φορές διαφοροποιήσιμη συνάρτηση
:

1)
είναι η λύση του δεδομένου ΔΕ στο , δηλ.
;

2) ικανοποιεί τις δεδομένες αρχικές προϋποθέσεις: .

Για μια ΔΕ δεύτερης τάξης, η γεωμετρική ερμηνεία της λύσης του προβλήματος είναι η εξής: αναζητείται μια ολοκληρωμένη καμπύλη που διέρχεται από το σημείο (Χ 0 , y 0 ) και εφαπτομένη σε μια γραμμή με κλίση κ = y 0 ́ .

Θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας(λύσεις του προβλήματος Cauchy για DE (2)):

Αν 1)
συνεχής (συγκεντρωτικά (n+1) επιχειρήματα) στην περιοχή
; 2)
συνεχής (από το σύνολο των επιχειρημάτων
) στο , λοιπόν ! λύση του προβλήματος Cauchy για DE που ικανοποιεί τις δεδομένες αρχικές συνθήκες n/s: .

Η περιοχή ονομάζεται περιοχή μοναδικότητας της ΔΕ.

Η γενική λύση του ΑΣ ΑΝ (2) – n -παραμετρικήλειτουργία ,
, όπου
– αυθαίρετες σταθερές, που ικανοποιούν τις ακόλουθες απαιτήσεις:

1)

– λύση της ΔΕ (2) στις ;

2) n/a από την περιοχή της μοναδικότητας !
:
ικανοποιεί τις δεδομένες αρχικές συνθήκες.

Σχόλιο.

Αναλογία προβολής
, που καθορίζει σιωπηρά τη γενική λύση της ΔΕ (2) επί καλείται κοινό ολοκλήρωμα DU.

Ιδιωτική απόφασηΤο DE (2) λαμβάνεται από τη γενική του λύση για μια συγκεκριμένη τιμή .

Ένταξη του DP VP.

Οι διαφορικές εξισώσεις υψηλότερης τάξης, κατά κανόνα, δεν επιλύονται με ακριβείς αναλυτικές μεθόδους.

Ας ξεχωρίσουμε έναν συγκεκριμένο τύπο DSW που δέχεται μειώσεις παραγγελιών και μειώνει σε τετράγωνα. Συνοψίζουμε αυτούς τους τύπους εξισώσεων και τρόπους μείωσης της σειράς τους σε έναν πίνακα.

DP VP, επιτρέποντας μειώσεις στην παραγγελία

		Μέθοδος υποβάθμισης
	Το DU είναι ελλιπές, στερείται . Για παράδειγμα,	Και τα λοιπά. Μετά nεπαναλαμβανόμενη ολοκλήρωση, παίρνουμε τη γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης.
	Η εξίσωση είναι ημιτελής. προφανώς δεν περιέχει την επιθυμητή λειτουργία και αυτή πρώτα παράγωγα. Για παράδειγμα,	Υποκατάσταση μειώνει τη σειρά της εξίσωσης κατά κμονάδες.
	ημιτελής εξίσωση? προφανώς δεν περιέχει επιχείρημα επιθυμητή λειτουργία. Για παράδειγμα,	Υποκατάσταση η σειρά της εξίσωσης μειώνεται κατά ένα.
	Η εξίσωση είναι σε ακριβείς παραγώγους, μπορεί να είναι πλήρης και ελλιπής. Μια τέτοια εξίσωση μπορεί να μετατραπεί στη μορφή (*) ́= (*)́, όπου το δεξί και το αριστερό μέρος της εξίσωσης είναι ακριβείς παράγωγοι ορισμένων συναρτήσεων.	Η ολοκλήρωση της δεξιάς και της αριστερής πλευράς της εξίσωσης σε σχέση με το όρισμα μειώνει τη σειρά της εξίσωσης κατά ένα.
		Υποκατάσταση μειώνει τη σειρά της εξίσωσης κατά ένα.

Ορισμός ομοιογενούς συνάρτησης:

Λειτουργία
ονομάζεται ομοιογενής στις μεταβλητές
, αν


σε οποιοδήποτε σημείο του πεδίου εφαρμογής της συνάρτησης
;

είναι η τάξη της ομοιογένειας.

Για παράδειγμα, είναι μια ομοιογενής συνάρτηση 2ης τάξης σε σχέση με
, δηλ. .

Παράδειγμα 1:

Βρείτε μια γενική λύση της ΔΕ
.

ΔΕ 3ης τάξης, ελλιπής, δεν περιέχει ρητά
. Ολοκληρώστε την εξίσωση τρεις φορές διαδοχικά.

,

είναι η γενική λύση της ΔΕ.

Παράδειγμα 2:

Λύστε το πρόβλημα Cauchy για DE
στο

.

ΔΕ δεύτερης τάξης, ελλιπής, δεν περιέχει ρητά .

Υποκατάσταση
και το παράγωγό του
μειώνει τη σειρά της ΔΕ κατά ένα.

. Έλαβε DE πρώτης τάξης - την εξίσωση Bernoulli. Για να λύσουμε αυτήν την εξίσωση, εφαρμόζουμε την αντικατάσταση Bernoulli:

,

και συνδέστε το στην εξίσωση.

Σε αυτό το στάδιο, λύνουμε το πρόβλημα Cauchy για την εξίσωση
:
.

είναι μια εξίσωση πρώτης τάξης με χωριστές μεταβλητές.

Αντικαθιστούμε τις αρχικές συνθήκες στην τελευταία ισότητα:

Απάντηση:
είναι η λύση του προβλήματος Cauchy που ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες.

Παράδειγμα 3:

Επίλυση DU.

– Η DE της 2ης τάξης, ημιτελής, δεν περιέχει ρητά τη μεταβλητή , και επομένως επιτρέπει τη μείωση της σειράς κατά μία χρησιμοποιώντας αντικατάσταση ή
.

Παίρνουμε την εξίσωση
(αφήνω
).

– ΔΕ 1ης τάξης με διαχωριστικές μεταβλητές. Ας τα μοιραστούμε.

είναι το γενικό ολοκλήρωμα της ΔΕ.

Παράδειγμα 4:

Επίλυση DU.

Η εξίσωση
είναι μια ακριβής παράγωγη εξίσωση. Πραγματικά,
.

Ας ενσωματώσουμε το αριστερό και το δεξί μέρος σε σχέση με , δηλ.
ή . Έλαβε ΔΕ 1ης τάξης με διαχωρίσιμες μεταβλητές, δηλ.
είναι το γενικό ολοκλήρωμα της ΔΕ.

Παράδειγμα 5:

Λύστε το πρόβλημα Cauchy για
στο .

ΔΕ 4ης τάξης, ελλιπής, δεν περιέχει ρητά
. Σημειώνοντας ότι αυτή η εξίσωση είναι σε ακριβείς παραγώγους, παίρνουμε
ή
,
. Αντικαθιστούμε τις αρχικές συνθήκες σε αυτή την εξίσωση:
. Ας πάρουμε το τηλεχειριστήριο
3η τάξη του πρώτου τύπου (βλ. πίνακα). Ας το ενσωματώσουμε τρεις φορές και μετά από κάθε ολοκλήρωση θα αντικαταστήσουμε τις αρχικές συνθήκες στην εξίσωση:

Απάντηση:
- λύση του προβλήματος Cauchy της αρχικής ΔΕ.

Παράδειγμα 6:

Λύστε την εξίσωση.

– ΔΕ 2ης τάξης, πλήρης, περιέχει ομοιομορφία ως προς
. Υποκατάσταση
θα μειώσει τη σειρά της εξίσωσης. Για να γίνει αυτό, μειώνουμε την εξίσωση στη φόρμα
, διαιρώντας και τις δύο πλευρές της αρχικής εξίσωσης με . Και διαφοροποιούμε τη συνάρτηση Π:

.

Υποκατάστατο
και
σε DU:
. Αυτή είναι μια διαχωρίσιμη μεταβλητή εξίσωση 1ης τάξης.

Δεδομένου ότι
, παίρνουμε το ΔΕ ή
είναι η γενική λύση της αρχικής ΔΕ.

Θεωρία γραμμικών διαφορικών εξισώσεων ανώτερης τάξης.

Βασική ορολογία.

– NLDU σειρά, όπου υπάρχουν συνεχείς συναρτήσεις σε κάποιο διάστημα.

Ονομάζεται διάστημα συνέχειας DE (3).

Ας εισαγάγουμε έναν (υπό όρους) διαφορικό τελεστή ης τάξης

Όταν δρα στη συνάρτηση, παίρνουμε

Δηλαδή η αριστερή πλευρά μιας γραμμικής ΔΕ της -ης τάξης.

Ως αποτέλεσμα, το LDE μπορεί να γραφτεί

Ιδιότητες γραμμικού χειριστή
:

1) - ιδιότητα προσθετικότητας

2)
– αριθμός – ιδιότητα ομοιογένειας

Οι ιδιότητες επαληθεύονται εύκολα, αφού οι παράγωγοι αυτών των συναρτήσεων έχουν παρόμοιες ιδιότητες (το τελικό άθροισμα των παραγώγων είναι ίσο με το άθροισμα ενός πεπερασμένου αριθμού παραγώγων· ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο της παραγώγου).

Οτι.
είναι γραμμικός τελεστής.

Εξετάστε το ζήτημα της ύπαρξης και της μοναδικότητας μιας λύσης στο πρόβλημα Cauchy για το LDE
.

Ας λύσουμε το LDE σε σχέση με
: ,
, είναι το διάστημα της συνέχειας.

Η συνάρτηση είναι συνεχής στον τομέα , παράγωγα
συνεχής στην περιοχή

Επομένως, ο τομέας της μοναδικότητας , στον οποίο το πρόβλημα Cauchy LDE (3) έχει μια μοναδική λύση και εξαρτάται μόνο από την επιλογή του σημείου
, όλες οι άλλες τιμές των ορισμάτων
λειτουργίες
μπορεί να ληφθεί αυθαίρετα.

Γενική θεωρία OLDU.

είναι το διάστημα της συνέχειας.

Κύριες ιδιότητες των λύσεων OLDDE:

1. Ιδιότητα προσθετικότητας

(
– Λύση OLDDE (4) σε )
(
είναι η λύση του OLDDE (4) στο ).

Απόδειξη:

είναι η λύση του OLDDE (4) επί

είναι η λύση του OLDDE (4) επί

Επειτα

2. Ιδιότητα ομοιογένειας

( είναι η λύση του OLDDE (4) στο ) (
(- αριθμητικό πεδίο))

είναι η λύση του OLDDE (4) στο .

Αποδεικνύεται παρόμοια.

Οι ιδιότητες της προσθετικότητας και της ομοιογένειας ονομάζονται γραμμικές ιδιότητες του OLDE (4).

Συνέπεια:

(
– λύση OLDDE (4) σε )(

είναι η λύση του OLDDE (4) στο ).

3. ( είναι μια λύση μιγαδικής αξίας του OLDDE (4) στις )(
είναι λύσεις με πραγματική αξία του OLDDE (4) στο ).

Απόδειξη:

Εάν η λύση του OLDDE (4) είναι στο , τότε όταν αντικαθίσταται στην εξίσωση, το μετατρέπει σε ταυτότητα, δηλ.
.

Λόγω της γραμμικότητας του τελεστή , η αριστερή πλευρά της τελευταίας ισότητας μπορεί να γραφτεί ως εξής:
.

Αυτό σημαίνει ότι, δηλ., είναι λύσεις πραγματικής αξίας του OLDDE (4) σε .

Οι ακόλουθες ιδιότητες των λύσεων OLDDE σχετίζονται με την έννοια " γραμμική εξάρτηση”.

Προσδιορισμός της γραμμικής εξάρτησης ενός πεπερασμένου συστήματος συναρτήσεων

Ένα σύστημα συναρτήσεων ονομάζεται γραμμικά εξαρτώμενο από το αν υπάρχει μη τετριμμένοσύνολο αριθμών
έτσι ώστε ο γραμμικός συνδυασμός
λειτουργίες
με αυτούς τους αριθμούς είναι πανομοιότυπα ίσο με μηδέν στο , δηλ.
.n , που είναι λάθος. Το θεώρημα αποδεικνύεται.διαφορικό εξισώσειςπιο ψηλάπαραγγελίες(4 ώρες...

Διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης και ανώτερων τάξεων.
Γραμμική ΔΕ δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές.
Παραδείγματα λύσεων.

Περνάμε στην εξέταση των διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης και των διαφορικών εξισώσεων υψηλότερης τάξης. Εάν έχετε μια αόριστη ιδέα για το τι είναι μια διαφορική εξίσωση (ή δεν καταλαβαίνετε καθόλου τι είναι), τότε προτείνω να ξεκινήσετε με το μάθημα Διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης. Παραδείγματα λύσεων. Πολλές αρχές λύσεων και βασικές έννοιες των διαστάσεων πρώτης τάξης επεκτείνονται αυτόματα σε διαφορικές εξισώσεις υψηλότερης τάξης. είναι πολύ σημαντικό να κατανοήσουμε πρώτα τις εξισώσεις πρώτης τάξης.

Πολλοί αναγνώστες μπορεί να έχουν την προκατάληψη ότι το ΔΕ της 2ης, 3ης και άλλων παραγγελιών είναι κάτι πολύ δύσκολο και απρόσιτο για mastering. Αυτό δεν είναι αληθινό . Η εκμάθηση επίλυσης διαχέσεων υψηλότερης τάξης δεν είναι σχεδόν πιο δύσκολη από τα «συνηθισμένα» DE 1ης τάξης. Και σε ορισμένα σημεία είναι ακόμα πιο εύκολο, αφού η ύλη του σχολικού προγράμματος σπουδών χρησιμοποιείται ενεργά στις αποφάσεις.

Δημοφιλέστερος διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης. Σε μια διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης αναγκαίωςπεριλαμβάνει τη δεύτερη παράγωγο και Δεν περιλαμβάνονται

Πρέπει να σημειωθεί ότι κάποια από τα μωρά (και μάλιστα όλα ταυτόχρονα) μπορεί να λείπουν από την εξίσωση, είναι σημαντικό ότι ο πατέρας ήταν στο σπίτι. Η πιο πρωτόγονη διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης μοιάζει με αυτό:

Οι διαφορικές εξισώσεις τρίτης τάξης σε πρακτικές εργασίες είναι πολύ λιγότερο κοινές, σύμφωνα με τις υποκειμενικές μου παρατηρήσεις στην Κρατική Δούμα, θα κέρδιζαν περίπου το 3-4% των ψήφων.

Σε μια διαφορική εξίσωση τρίτης τάξης αναγκαίωςπεριλαμβάνει την τρίτη παράγωγο και Δεν περιλαμβάνονταιπαράγωγα υψηλότερων τάξεων:

Η απλούστερη διαφορική εξίσωση τρίτης τάξης μοιάζει με αυτό: - ο μπαμπάς είναι στο σπίτι, όλα τα παιδιά είναι έξω για μια βόλτα.

Ομοίως, μπορούν να οριστούν διαφορικές εξισώσεις 4ης, 5ης και υψηλότερης τάξης. Σε πρακτικά προβλήματα, τέτοια ΔΕ γλιστράει εξαιρετικά σπάνια, ωστόσο, θα προσπαθήσω να δώσω σχετικά παραδείγματα.

Οι διαφορικές εξισώσεις ανώτερης τάξης που προτείνονται σε πρακτικά προβλήματα μπορούν να χωριστούν σε δύο κύριες ομάδες.

1) Η πρώτη ομάδα - η λεγόμενη εξισώσεις κατώτερης τάξης. Πετάξτε μέσα!

2) Η δεύτερη ομάδα - γραμμικές εξισώσεις υψηλότερης τάξης με σταθερούς συντελεστές. Το οποίο θα αρχίσουμε να εξετάζουμε τώρα.

Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις Δεύτερης Τάξης
με σταθερούς συντελεστές

Στη θεωρία και την πράξη, διακρίνονται δύο τύποι τέτοιων εξισώσεων - ομοιογενής εξίσωσηκαι ανομοιογενής εξίσωση.

Ομογενής ΔΕ δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστέςέχει την εξής μορφή:
, όπου και είναι σταθερές (αριθμοί), και στη δεξιά πλευρά - αυστηράμηδέν.

Όπως μπορείτε να δείτε, δεν υπάρχουν ιδιαίτερες δυσκολίες με ομοιογενείς εξισώσεις, το κύριο πράγμα είναι ότι να λύσετε σωστά τη δευτεροβάθμια εξίσωση.

Μερικές φορές υπάρχουν μη τυπικές ομοιογενείς εξισώσεις, για παράδειγμα, μια εξίσωση στη μορφή , όπου στη δεύτερη παράγωγο υπάρχει κάποια σταθερά , διαφορετική από τη μονάδα (και, φυσικά, διαφορετική από το μηδέν). Ο αλγόριθμος λύσης δεν αλλάζει καθόλου, θα πρέπει κανείς να συνθέσει ήρεμα τη χαρακτηριστική εξίσωση και να βρει τις ρίζες της. Αν η χαρακτηριστική εξίσωση θα έχει δύο διαφορετικές πραγματικές ρίζες, για παράδειγμα: , τότε η γενική λύση μπορεί να γραφτεί με τον συνηθισμένο τρόπο: .

Σε ορισμένες περιπτώσεις, λόγω τυπογραφικού λάθους στην κατάσταση, μπορεί να εμφανιστούν «κακές» ρίζες, κάτι σαν . Τι να κάνετε, η απάντηση θα πρέπει να γραφτεί ως εξής:

Με «κακές» συζυγείς σύνθετες ρίζες όπως ούτε πρόβλημα, γενική λύση:

Αυτό είναι, γενική λύση υπάρχει σε κάθε περίπτωση. Γιατί κάθε δευτεροβάθμια εξίσωση έχει δύο ρίζες.

Στην τελευταία παράγραφο, όπως υποσχέθηκα, θα εξετάσουμε εν συντομία:

Γραμμικές ομοιογενείς εξισώσεις ανώτερης τάξης

Όλα είναι πολύ, πολύ παρόμοια.

Η γραμμική ομοιογενής εξίσωση τρίτης τάξης έχει την εξής μορφή:
, όπου είναι σταθερές.
Για αυτήν την εξίσωση, πρέπει επίσης να συνθέσετε μια χαρακτηριστική εξίσωση και να βρείτε τις ρίζες της. Η χαρακτηριστική εξίσωση, όπως πολλοί έχουν μαντέψει, μοιάζει με αυτό:
, και αυτό ΤΕΛΟΣ παντωνΕχει ακριβώς τρειςρίζα.

Ας, για παράδειγμα, όλες οι ρίζες είναι πραγματικές και διακριτές: , τότε η γενική λύση μπορεί να γραφτεί ως εξής:

Εάν η μία ρίζα είναι πραγματική και οι άλλες δύο είναι συζευγμένες μιγαδικές, τότε γράφουμε τη γενική λύση ως εξής:

Μια ειδική περίπτωση είναι όταν και οι τρεις ρίζες είναι πολλαπλές (ίδιες). Ας θεωρήσουμε την πιο απλή ομοιογενή ΔΕ 3ης τάξης με μοναχικό πατέρα: . Η χαρακτηριστική εξίσωση έχει τρεις μηδενικές ρίζες που συμπίπτουν. Γράφουμε τη γενική λύση ως εξής:

Αν η χαρακτηριστική εξίσωση έχει, για παράδειγμα, τρεις πολλαπλές ρίζες, τότε η γενική λύση, αντίστοιχα, είναι:

Παράδειγμα 9

Να λύσετε ομοιογενή διαφορική εξίσωση τρίτης τάξης

Λύση:Συνθέτουμε και λύνουμε τη χαρακτηριστική εξίσωση:

, - Λαμβάνονται μία πραγματική ρίζα και δύο συζευγμένες σύνθετες ρίζες.

Απάντηση:κοινή απόφαση

Ομοίως, μπορούμε να θεωρήσουμε μια γραμμική ομοιογενή εξίσωση τέταρτης τάξης με σταθερούς συντελεστές: , όπου είναι σταθερές.