Άθροισμα και διαφορά ημιτόνων και συνημιτόνων: παραγωγή τύπων, παραδείγματα. Αγοράστε ένα δίπλωμα τριτοβάθμιας εκπαίδευσης φθηνά

Στοιχεία αναφοράς για την εφαπτομένη (tg x) και την συνεφαπτομένη (ctg x). Γεωμετρικός ορισμός, ιδιότητες, γραφήματα, τύποι. Πίνακας εφαπτομένων και συνεφαπτομένων, παραγώγων, ολοκληρωμάτων, επεκτάσεων σειρών. Εκφράσεις μέσω μιγαδικών μεταβλητών. Σύνδεση με υπερβολικές συναρτήσεις.

Γεωμετρικός ορισμός

|BD| - το μήκος του τόξου ενός κύκλου με κέντρο το σημείο Α.
α είναι η γωνία που εκφράζεται σε ακτίνια.

Εφαπτομένη ( tgα) είναι μια τριγωνομετρική συνάρτηση που εξαρτάται από τη γωνία α μεταξύ της υποτείνουσας και του σκέλους ενός ορθογωνίου τριγώνου, ίση με τον λόγο του μήκους του απέναντι σκέλους |BC| στο μήκος του διπλανού ποδιού |AB| .

Συμεφαπτομένη ( ctgα) είναι μια τριγωνομετρική συνάρτηση που εξαρτάται από τη γωνία α μεταξύ της υποτείνουσας και του σκέλους ενός ορθογωνίου τριγώνου, ίση με τον λόγο του μήκους του διπλανού σκέλους |AB| στο μήκος του απέναντι σκέλους |π.Χ.| .

Εφαπτομένη γραμμή

Οπου n- ολόκληρος.

Στη δυτική λογοτεχνία, η εφαπτομένη συμβολίζεται ως εξής:
.
;
;
.

Γράφημα της εφαπτομένης συνάρτησης, y = tg x

Συνεφαπτομένη

Οπου n- ολόκληρος.

Στη δυτική βιβλιογραφία, η συνεφαπτομένη συμβολίζεται ως εξής:
.
Υιοθετήθηκε επίσης ο ακόλουθος συμβολισμός:
;
;
.

Γράφημα της συνεπαπτομένης, y = ctg x

Ιδιότητες εφαπτομένης και συνεφαπτομένης

Περιοδικότης

Συναρτήσεις y= tg xκαι y= ctg xείναι περιοδικές με περίοδο π.

Ισοτιμία

Οι συναρτήσεις εφαπτομένη και συνεφαπτομένη είναι περιττές.

Τομείς ορισμού και αξιών, αύξουσα, φθίνουσα

Οι συναρτήσεις εφαπτομένη και συνεφαπτομένη είναι συνεχείς στο πεδίο ορισμού τους (δείτε την απόδειξη της συνέχειας). Οι κύριες ιδιότητες της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης παρουσιάζονται στον πίνακα ( n- ακέραιος).

	y= tg x	y= ctg x
Πεδίο εφαρμογής και συνέχεια
Εύρος τιμών	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Αύξουσα		-
Φθίνων	-
Ακρα	-	-
Μηδενικά, y= 0
Σημεία τομής με τον άξονα y, x = 0	y= 0	-

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ τυποι

Εκφράσεις ως προς το ημίτονο και το συνημίτονο

; ;
; ;
;

Τύποι για την εφαπτομένη και την συνεφαπτομένη του αθροίσματος και της διαφοράς

Οι υπόλοιποι τύποι είναι εύκολο να ληφθούν, για παράδειγμα

Προϊόν των εφαπτομένων

Ο τύπος για το άθροισμα και τη διαφορά των εφαπτομένων

Αυτός ο πίνακας δείχνει τις τιμές των εφαπτομένων και των συνεφαπτομένων για ορισμένες τιμές του ορίσματος.

Εκφράσεις ως προς τους μιγαδικούς αριθμούς

Εκφράσεις ως προς τις υπερβολικές συναρτήσεις

;
;

Παράγωγα

; .

.
Παράγωγος της νης τάξης ως προς τη μεταβλητή x της συνάρτησης :
.
Παραγωγή τύπων για εφαπτομένη > > > ; για συνεφαπτομένη > > >

Ολοκληρώματα

Επεκτάσεις σε σειρές

Για να λάβετε την επέκταση της εφαπτομένης σε δυνάμεις του x, πρέπει να λάβετε αρκετούς όρους της επέκτασης σε μια σειρά ισχύος για τις συναρτήσεις αμαρτία xΚαι cos xκαι διαιρέστε αυτά τα πολυώνυμα το ένα στο άλλο, . Αυτό έχει ως αποτέλεσμα τους ακόλουθους τύπους.

Στο .

στο .
Οπου B n- Αριθμοί Μπερνούλι. Καθορίζονται είτε από τη σχέση υποτροπής:
;
;
Οπου .
Ή σύμφωνα με τον τύπο Laplace:

Αντίστροφες συναρτήσεις

Οι αντίστροφες συναρτήσεις της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης είναι τοξοεφαπτομένη και τοξοεφαπτομένη, αντίστοιχα.

Arctangent, arctg

, Οπου n- ολόκληρος.

Εφαπτομένη τόξου, arcctg

, Οπου n- ολόκληρος.

Βιβλιογραφικές αναφορές:
ΣΕ. Bronstein, Κ.Α. Semendyaev, Εγχειρίδιο Μαθηματικών για Μηχανικούς και Φοιτητές Ανώτατων Εκπαιδευτικών Ιδρυμάτων, Lan, 2009.
G. Korn, Εγχειρίδιο Μαθηματικών για Ερευνητές και Μηχανικούς, 2012.

Συνημίτονο του αθροίσματος και της διαφοράς δύο γωνιών

Σε αυτή την ενότητα, θα αποδειχθούν οι ακόλουθοι δύο τύποι:

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β, (1)

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β. (2)

Το συνημίτονο του αθροίσματος (διαφορά) δύο γωνιών είναι ίσο με το γινόμενο των συνημιτόνων αυτών των γωνιών μείον (συν) το γινόμενο των ημιτόνων αυτών των γωνιών.

Θα είναι πιο βολικό για εμάς να ξεκινήσουμε με την απόδειξη του τύπου (2). Για απλότητα, ας υποθέσουμε πρώτα ότι οι γωνίες α Και β πληρούν τις ακόλουθες προϋποθέσεις:

1) καθεμία από αυτές τις γωνίες είναι μη αρνητική και μικρότερη από 2π:

0 < α <2π, 0< β < 2π;

2) α > β .

Έστω το θετικό τμήμα του άξονα 0x η κοινή αρχική πλευρά των γωνιών α Και β .

Ας υποδηλώσουμε τις ακραίες πλευρές αυτών των γωνιών ως 0A και 0B, αντίστοιχα. Προφανώς η γωνία α - β μπορεί να θεωρηθεί ως η γωνία κατά την οποία είναι απαραίτητο να περιστραφεί η δέσμη 0Β γύρω από το σημείο 0 αριστερόστροφα έτσι ώστε η διεύθυνση της να συμπίπτει με την κατεύθυνση της δέσμης 0Α.

Στις ακτίνες 0Α και 0Β σημειώνουμε τα σημεία Μ και Ν, που βρίσκονται σε απόσταση 1 από την αρχή των συντεταγμένων 0, έτσι ώστε 0Μ = 0Ν = 1.

Στο σύστημα συντεταγμένων x0y, το σημείο M έχει συντεταγμένες ( cosα, sina), και σημείο N - συντεταγμένες ( cos β , sin β). Άρα το τετράγωνο της απόστασης μεταξύ τους είναι:

d 1 2 = (cos α - cos β) 2 + (sin α - sin β) 2 = cos 2 α - 2 cos α cos β +

+ cos 2 β + sin 2 α - 2sin α sin β + sin 2 β = .

Στους υπολογισμούς χρησιμοποιήσαμε την ταυτότητα

sin 2 φ + cos 2 φ = 1.

Τώρα εξετάστε ένα άλλο σύστημα συντεταγμένων B0C, το οποίο προκύπτει περιστρέφοντας τους άξονες 0x και 0y γύρω από το σημείο 0 αριστερόστροφα κατά γωνία β .

Σε αυτό το σύστημα συντεταγμένων, το σημείο Μ έχει συντεταγμένες (cos ( α - β ), αμαρτία ( α - β )), και το σημείο είναι Ν-συντεταγμένες (1,0). Άρα το τετράγωνο της απόστασης μεταξύ τους είναι:

d 2 2 \u003d 2 + 2 \u003d cos 2 (α - β) - 2 cos (α - β) + 1 +

+ αμαρτία 2 (α - β) \u003d 2.

Αλλά η απόσταση μεταξύ των σημείων Μ και Ν δεν εξαρτάται από το ποιο σύστημα συντεταγμένων θεωρούμε αυτά τα σημεία. Να γιατί

δ 1 2 = δ 2 2

2 (1 - cos α cos β - sin α sin β) = 2 .

Εδώ ακολουθεί ο τύπος (2).

Τώρα θα πρέπει να θυμηθούμε αυτούς τους δύο περιορισμούς που έχουμε επιβάλει για την απλότητα της παρουσίασης στις γωνίες α Και β .

Η απαίτηση ότι κάθε μία από τις γωνίες α Και β ήταν μη αρνητικό, όχι πραγματικά σημαντικό. Άλλωστε, μια γωνία που είναι πολλαπλάσιο του 2n μπορεί να προστεθεί σε οποιαδήποτε από αυτές τις γωνίες, κάτι που δεν θα επηρεάσει με κανέναν τρόπο την εγκυρότητα του τύπου (2). Ομοίως, από καθεμία από τις δεδομένες γωνίες, μπορείτε να αφαιρέσετε μια γωνία που είναι πολλαπλάσιο του 2π. Ως εκ τούτου, μπορεί να θεωρηθεί ότι 0 < α < 2π, 0 < β < 2π.

Ο όρος α > β . Πράγματι, αν α < β , Οτι β >α ; επομένως, λαμβάνοντας υπόψη την ομαλότητα της συνάρτησης cos Χ , παίρνουμε:

cos (α - β) = cos (β - α) = cos β cos α + αμαρτία β sin α,

που ουσιαστικά συμπίπτει με τον τύπο (2). Έτσι ο τύπος

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

ισχύει για όλες τις γωνίες α Και β . Ειδικότερα, με αντικατάσταση β επί - β και δεδομένου ότι η συνάρτηση cosΧ είναι άρτιο και η συνάρτηση αμαρτίαΧ περίεργο, παίρνουμε:

cos (α + β) = cos [α - (- β)] = cos α cos (-β) + αμαρτία α αμαρτία (-β) =

\u003d cos α cos β - sin α sin β,

που αποδεικνύει τον τύπο (1).

Έτσι, αποδεικνύονται οι τύποι (1) και (2).

Παραδείγματα.

1) cos 75° = cos (30° + 45°) = cos 30° cos 45°-sin 30°-sin 45° =

2) cos 15° = cos (45° - 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30° =

Γυμνάσια

1 . Υπολογίστε χωρίς τη χρήση τριγωνομετρικών πινάκων:

α) cos 17° cos 43° - sin 17° sin 43°;

β) αμαρτία 3° αμαρτία 42° - συν 39° συν 42°;

γ) cos 29° cos 74° + sin 29° sin 74°;

δ) αμαρτία 97° αμαρτία 37° + συν 37° συν 97°;

ε) cos 3π / 8 cos π / 8 + sin 3π / 8 sin π / 8;

ε) αμαρτία 3π / 5 αμαρτία 7π / 5 - συν 3π / 5 συν 7π / 5 .

2.Απλοποιήστε εκφράσεις:

ένα). cos( α + π / 3 ) + cos (π / 3 - α ) .

σι). cos (36° + α ) cos (24° - α ) + αμαρτία (36° + α ) αμαρτία ( α - 24°).

V). αμαρτία (π / 4 - α ) αμαρτία (π / 4 + α ) - cos(π / 4 + α ) cos (π / 4 - α )

δ) συν 2 α +tg α αμαρτία 2 α .

3 . Υπολογίζω :

ένα) cos (α - β), Αν

cosα = - 2 / 5 , sinβ = - 5 / 13 ;

90°< α < 180°, 180° < β < 270°;

β) cos ( α + π / 6) αν συν α = 0,6;

3π / 2< α < 2π.

4 . Εύρημα cos(α + β)και συν (α - β) , αν είναι γνωστό ότι η αμαρτία α = 7 / 25 κοσ β = - 5 / 13 και οι δύο γωνίες ( α Και β ) λήγει στο ίδιο τρίμηνο.

5 .Υπολογίζω:

ΕΝΑ). cos [ arcsin 1 / 3 + arccos 2 / 3 ]

σι). cos [ arcsin 1 / 3 - arccos (- 2 / 3)] .

V). cos [arctg 1 / 2 + arccos (- 2)]

Ένας από τους κλάδους των μαθηματικών με τους οποίους οι μαθητές αντιμετωπίζουν τις μεγαλύτερες δυσκολίες είναι η τριγωνομετρία. Δεν είναι περίεργο: για να κατακτήσετε ελεύθερα αυτόν τον τομέα γνώσης, χρειάζεστε χωρική σκέψη, ικανότητα εύρεσης ημιτόνων, συνημιτόνων, εφαπτομένων, συνεφαπτομένων χρησιμοποιώντας τύπους, απλοποίησης εκφράσεων και δυνατότητας χρήσης του αριθμού pi στους υπολογισμούς. Επιπλέον, πρέπει να είστε σε θέση να εφαρμόζετε τριγωνομετρία όταν αποδεικνύετε θεωρήματα, και αυτό απαιτεί είτε μια ανεπτυγμένη μαθηματική μνήμη είτε την ικανότητα εξαγωγής σύνθετων λογικών αλυσίδων.

Προέλευση της τριγωνομετρίας

Η γνωριμία με αυτήν την επιστήμη θα πρέπει να ξεκινήσει με τον ορισμό του ημιτόνου, του συνημιτονοειδούς και της εφαπτομένης της γωνίας, αλλά πρώτα πρέπει να καταλάβετε τι κάνει η τριγωνομετρία γενικά.

Ιστορικά, τα ορθογώνια τρίγωνα ήταν το κύριο αντικείμενο μελέτης σε αυτό το τμήμα της μαθηματικής επιστήμης. Η παρουσία γωνίας 90 μοιρών καθιστά δυνατή την εκτέλεση διαφόρων εργασιών που επιτρέπουν σε κάποιον να προσδιορίσει τις τιμές όλων των παραμέτρων του υπό εξέταση σχήματος χρησιμοποιώντας δύο πλευρές και μία γωνία ή δύο γωνίες και μία πλευρά. Στο παρελθόν, οι άνθρωποι παρατήρησαν αυτό το μοτίβο και άρχισαν να το χρησιμοποιούν ενεργά στην κατασκευή κτιρίων, στη ναυσιπλοΐα, στην αστρονομία, ακόμη και στην τέχνη.

Πρώτο στάδιο

Αρχικά, οι άνθρωποι μίλησαν για τη σχέση γωνιών και πλευρών αποκλειστικά στο παράδειγμα των ορθογωνίων τριγώνων. Στη συνέχεια ανακαλύφθηκαν ειδικοί τύποι που κατέστησαν δυνατή την επέκταση των ορίων χρήσης στην καθημερινή ζωή αυτού του τμήματος των μαθηματικών.

Η μελέτη της τριγωνομετρίας στο σχολείο σήμερα ξεκινά με ορθογώνια τρίγωνα, μετά τα οποία η αποκτηθείσα γνώση χρησιμοποιείται από τους μαθητές στη φυσική και στην επίλυση αφηρημένων τριγωνομετρικών εξισώσεων, η εργασία με τις οποίες ξεκινά στο γυμνάσιο.

Σφαιρική τριγωνομετρία

Αργότερα, όταν η επιστήμη έφτασε στο επόμενο επίπεδο ανάπτυξης, οι τύποι με ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη, συνεφαπτομένη άρχισαν να χρησιμοποιούνται στη σφαιρική γεωμετρία, όπου ισχύουν άλλοι κανόνες και το άθροισμα των γωνιών σε ένα τρίγωνο είναι πάντα πάνω από 180 μοίρες. Αυτό το τμήμα δεν μελετάται στο σχολείο, αλλά είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε για την ύπαρξή του, τουλάχιστον επειδή η επιφάνεια της γης, και η επιφάνεια οποιουδήποτε άλλου πλανήτη, είναι κυρτή, πράγμα που σημαίνει ότι οποιαδήποτε επιφανειακή σήμανση θα έχει "σχήμα τόξου" τρισδιάστατο χώρο.

Πάρτε την υδρόγειο και περάστε κλωστή. Συνδέστε το νήμα σε οποιαδήποτε δύο σημεία της υδρογείου, έτσι ώστε να είναι τεντωμένο. Δώστε προσοχή - έχει αποκτήσει το σχήμα τόξου. Είναι με τέτοιες μορφές που ασχολείται η σφαιρική γεωμετρία, η οποία χρησιμοποιείται στη γεωδαισία, την αστρονομία και άλλα θεωρητικά και εφαρμοσμένα πεδία.

Ορθογώνιο τρίγωνο

Έχοντας μάθει λίγο για τους τρόπους χρήσης της τριγωνομετρίας, ας επιστρέψουμε στη βασική τριγωνομετρία για να κατανοήσουμε περαιτέρω τι είναι το ημίτονο, το συνημίτονο, η εφαπτομένη, ποιοι υπολογισμοί μπορούν να γίνουν με τη βοήθειά τους και ποιους τύπους να χρησιμοποιήσουμε.

Το πρώτο βήμα είναι να κατανοήσουμε τις έννοιες που σχετίζονται με ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Πρώτον, η υποτείνουσα είναι η πλευρά απέναντι από τη γωνία των 90 μοιρών. Είναι η μεγαλύτερη. Θυμόμαστε ότι, σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα, η αριθμητική του τιμή είναι ίση με τη ρίζα του αθροίσματος των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών.

Για παράδειγμα, εάν δύο πλευρές είναι 3 και 4 εκατοστά αντίστοιχα, το μήκος της υποτείνουσας θα είναι 5 εκατοστά. Παρεμπιπτόντως, οι αρχαίοι Αιγύπτιοι γνώριζαν για αυτό περίπου τεσσεράμισι χιλιάδες χρόνια πριν.

Οι δύο υπόλοιπες πλευρές που σχηματίζουν ορθή γωνία ονομάζονται πόδια. Επιπλέον, πρέπει να θυμόμαστε ότι το άθροισμα των γωνιών σε ένα τρίγωνο σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων είναι 180 μοίρες.

Ορισμός

Τέλος, με μια στέρεη κατανόηση της γεωμετρικής βάσης, μπορούμε να στραφούμε στον ορισμό του ημιτόνου, του συνημιτόνου και της εφαπτομένης μιας γωνίας.

Το ημίτονο μιας γωνίας είναι ο λόγος του απέναντι σκέλους (δηλαδή, της πλευράς απέναντι από την επιθυμητή γωνία) προς την υποτείνουσα. Το συνημίτονο μιας γωνίας είναι ο λόγος του διπλανού σκέλους προς την υποτείνουσα.

Να θυμάστε ότι ούτε ημίτονο ούτε συνημίτονο μπορεί να είναι μεγαλύτερο από ένα! Γιατί; Επειδή η υποτείνουσα είναι από προεπιλογή η μεγαλύτερη.Όσο μήκος κι αν είναι το σκέλος, θα είναι πιο κοντό από την υποτείνουσα, που σημαίνει ότι η αναλογία τους θα είναι πάντα μικρότερη από ένα. Έτσι, εάν λάβετε ένα ημίτονο ή συνημίτονο με τιμή μεγαλύτερη από 1 στην απάντηση στο πρόβλημα, αναζητήστε σφάλμα στους υπολογισμούς ή τη συλλογιστική. Αυτή η απάντηση είναι σαφώς λανθασμένη.

Τέλος, η εφαπτομένη μιας γωνίας είναι ο λόγος της απέναντι πλευράς προς τη διπλανή πλευρά. Το ίδιο αποτέλεσμα θα δώσει τη διαίρεση του ημιτόνου με το συνημίτονο. Κοιτάξτε: σύμφωνα με τον τύπο, διαιρούμε το μήκος της πλευράς με την υποτείνουσα, μετά την οποία διαιρούμε με το μήκος της δεύτερης πλευράς και πολλαπλασιάζουμε με την υποτείνουσα. Έτσι, παίρνουμε τον ίδιο λόγο όπως στον ορισμό της εφαπτομένης.

Η συνεφαπτομένη, αντίστοιχα, είναι η αναλογία της πλευράς που γειτνιάζει με τη γωνία προς την αντίθετη πλευρά. Παίρνουμε το ίδιο αποτέλεσμα διαιρώντας τη μονάδα με την εφαπτομένη.

Έτσι, εξετάσαμε τους ορισμούς του τι είναι το ημίτονο, το συνημίτονο, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη και μπορούμε να ασχοληθούμε με τύπους.

Οι πιο απλοί τύποι

Στην τριγωνομετρία, δεν μπορεί κανείς να κάνει χωρίς τύπους - πώς να βρει ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη, συνεφαπτομένη χωρίς αυτούς; Και αυτό ακριβώς απαιτείται κατά την επίλυση προβλημάτων.

Ο πρώτος τύπος που πρέπει να γνωρίζετε όταν αρχίζετε να μελετάτε την τριγωνομετρία λέει ότι το άθροισμα των τετραγώνων του ημιτόνου και του συνημιτόνου μιας γωνίας είναι ίσο με ένα. Αυτός ο τύπος είναι άμεση συνέπεια του Πυθαγόρειου θεωρήματος, αλλά εξοικονομεί χρόνο εάν θέλετε να μάθετε την τιμή της γωνίας, όχι της πλευράς.

Πολλοί μαθητές δεν μπορούν να θυμηθούν τον δεύτερο τύπο, ο οποίος είναι επίσης πολύ δημοφιλής κατά την επίλυση σχολικών προβλημάτων: το άθροισμα του ενός και του τετραγώνου της εφαπτομένης μιας γωνίας είναι ίσο με το ένα διαιρούμενο με το τετράγωνο του συνημιτόνου της γωνίας. Ρίξτε μια πιο προσεκτική ματιά: τελικά, αυτή είναι η ίδια δήλωση όπως στον πρώτο τύπο, μόνο και οι δύο πλευρές της ταυτότητας διαιρούνταν με το τετράγωνο του συνημίτονος. Αποδεικνύεται ότι μια απλή μαθηματική πράξη κάνει τον τριγωνομετρικό τύπο εντελώς αγνώριστο. Θυμηθείτε: γνωρίζοντας τι είναι το ημίτονο, το συνημίτονο, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη, τους κανόνες μετατροπής και μερικούς βασικούς τύπους, μπορείτε ανά πάσα στιγμή να εξάγετε ανεξάρτητα τους απαιτούμενους πιο σύνθετους τύπους σε ένα φύλλο χαρτιού.

Τύποι διπλής γωνίας και προσθήκη ορισμάτων

Δύο ακόμη τύποι που πρέπει να μάθετε σχετίζονται με τις τιμές του ημιτόνου και του συνημιτόνου για το άθροισμα και τη διαφορά των γωνιών. Φαίνονται στο παρακάτω σχήμα. Λάβετε υπόψη ότι στην πρώτη περίπτωση, το ημίτονο και το συνημίτονο πολλαπλασιάζονται και τις δύο φορές, και στη δεύτερη, προστίθεται το ζεύγος γινόμενο του ημιτόνου και του συνημιτόνου.

Υπάρχουν επίσης τύποι που σχετίζονται με ορίσματα διπλής γωνίας. Προέρχονται πλήρως από τα προηγούμενα - ως πρακτική, προσπαθήστε να τα αποκτήσετε μόνοι σας, παίρνοντας τη γωνία του άλφα ίση με τη γωνία του βήτα.

Τέλος, σημειώστε ότι οι τύποι διπλής γωνίας μπορούν να μετατραπούν για να μειωθεί ο βαθμός ημιτόνου, συνημιτόνου, εφαπτομένης άλφα.

Θεωρήματα

Τα δύο κύρια θεωρήματα στη βασική τριγωνομετρία είναι το ημιτονικό θεώρημα και το συνημιτονικό θεώρημα. Με τη βοήθεια αυτών των θεωρημάτων, μπορείτε εύκολα να καταλάβετε πώς να βρείτε το ημίτονο, το συνημίτονο και την εφαπτομένη, και επομένως την περιοχή του σχήματος και το μέγεθος κάθε πλευράς κ.λπ.

Το ημιτονικό θεώρημα δηλώνει ότι ως αποτέλεσμα της διαίρεσης του μήκους καθεμιάς από τις πλευρές του τριγώνου με την τιμή της απέναντι γωνίας, παίρνουμε τον ίδιο αριθμό. Επιπλέον, αυτός ο αριθμός θα είναι ίσος με δύο ακτίνες του περιγεγραμμένου κύκλου, δηλαδή τον κύκλο που περιέχει όλα τα σημεία του δεδομένου τριγώνου.

Το θεώρημα συνημιτόνου γενικεύει το πυθαγόρειο θεώρημα, προβάλλοντάς το σε οποιαδήποτε τρίγωνα. Αποδεικνύεται ότι από το άθροισμα των τετραγώνων των δύο πλευρών, αφαιρέστε το γινόμενο τους πολλαπλασιασμένο με το διπλό συνημίτονο της γωνίας που γειτνιάζει με αυτά - η τιμή που προκύπτει θα είναι ίση με το τετράγωνο της τρίτης πλευράς. Έτσι, το Πυθαγόρειο θεώρημα αποδεικνύεται ότι είναι μια ειδική περίπτωση του θεωρήματος συνημιτόνου.

Λάθη λόγω απροσεξίας

Ακόμη και αν γνωρίζουμε τι είναι το ημίτονο, το συνημίτονο και την εφαπτομένη, είναι εύκολο να κάνουμε ένα λάθος λόγω απουσίας ή λάθους στους απλούστερους υπολογισμούς. Για να αποφύγουμε τέτοια λάθη, ας γνωρίσουμε τα πιο δημοφιλή από αυτά.

Πρώτον, δεν πρέπει να μετατρέψετε τα συνηθισμένα κλάσματα σε δεκαδικά μέχρι να ληφθεί το τελικό αποτέλεσμα - μπορείτε να αφήσετε την απάντηση ως συνηθισμένο κλάσμα, εκτός εάν η συνθήκη ορίζει διαφορετικά. Ένας τέτοιος μετασχηματισμός δεν μπορεί να ονομαστεί λάθος, αλλά θα πρέπει να θυμόμαστε ότι σε κάθε στάδιο του προβλήματος μπορεί να εμφανιστούν νέες ρίζες, οι οποίες, σύμφωνα με την ιδέα του συγγραφέα, θα πρέπει να μειωθούν. Σε αυτή την περίπτωση, θα χάσετε χρόνο σε περιττές μαθηματικές πράξεις. Αυτό ισχύει ιδιαίτερα για τιμές όπως η ρίζα των τριών ή δύο, επειδή εμφανίζονται σε εργασίες σε κάθε βήμα. Το ίδιο ισχύει και για τη στρογγυλοποίηση «άσχημων» αριθμών.

Επιπλέον, σημειώστε ότι το θεώρημα συνημιτόνου ισχύει για οποιοδήποτε τρίγωνο, αλλά όχι για το Πυθαγόρειο θεώρημα! Εάν ξεχάσετε κατά λάθος να αφαιρέσετε το διπλάσιο του γινόμενου των πλευρών πολλαπλασιασμένο με το συνημίτονο της μεταξύ τους γωνίας, όχι μόνο θα έχετε ένα εντελώς λάθος αποτέλεσμα, αλλά θα δείξετε και μια πλήρη παρανόηση του θέματος. Αυτό είναι χειρότερο από ένα απρόσεκτο λάθος.

Τρίτον, μην συγχέετε τις τιμές για γωνίες 30 και 60 μοιρών για ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένες, συνεφαπτομένες. Θυμηθείτε αυτές τις τιμές, γιατί το ημίτονο των 30 μοιρών είναι ίσο με το συνημίτονο του 60 και το αντίστροφο. Είναι εύκολο να τα ανακατέψετε, με αποτέλεσμα να έχετε αναπόφευκτα ένα λανθασμένο αποτέλεσμα.

Εφαρμογή

Πολλοί μαθητές δεν βιάζονται να αρχίσουν να σπουδάζουν τριγωνομετρία, επειδή δεν κατανοούν την εφαρμοσμένη σημασία της. Τι είναι το ημίτονο, το συνημίτονο, η εφαπτομένη για έναν μηχανικό ή αστρονόμο; Αυτές είναι έννοιες χάρη στις οποίες μπορείτε να υπολογίσετε την απόσταση από μακρινά αστέρια, να προβλέψετε την πτώση ενός μετεωρίτη, να στείλετε έναν ερευνητικό ανιχνευτή σε έναν άλλο πλανήτη. Χωρίς αυτά, είναι αδύνατο να κατασκευαστεί ένα κτίριο, να σχεδιαστεί ένα αυτοκίνητο, να υπολογιστεί το φορτίο στην επιφάνεια ή η τροχιά ενός αντικειμένου. Και αυτά είναι μόνο τα πιο προφανή παραδείγματα! Εξάλλου, η τριγωνομετρία με τη μια ή την άλλη μορφή χρησιμοποιείται παντού, από τη μουσική μέχρι την ιατρική.

Τελικά

Άρα είστε ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη. Μπορείτε να τα χρησιμοποιήσετε σε υπολογισμούς και να λύσετε με επιτυχία σχολικά προβλήματα.

Η όλη ουσία της τριγωνομετρίας συνοψίζεται στο γεγονός ότι οι άγνωστες παράμετροι πρέπει να υπολογίζονται από τις γνωστές παραμέτρους του τριγώνου. Υπάρχουν έξι παράμετροι συνολικά: τα μήκη των τριών πλευρών και τα μεγέθη των τριών γωνιών. Η όλη διαφορά στις εργασίες έγκειται στο γεγονός ότι δίνονται διαφορετικά δεδομένα εισόδου.

Πώς να βρείτε το ημίτονο, το συνημίτονο, την εφαπτομένη με βάση τα γνωστά μήκη των ποδιών ή την υποτείνουσα, ξέρετε τώρα. Δεδομένου ότι αυτοί οι όροι δεν σημαίνουν τίποτα περισσότερο από έναν λόγο και ο λόγος είναι ένα κλάσμα, ο κύριος στόχος του τριγωνομετρικού προβλήματος είναι να βρει τις ρίζες μιας συνηθισμένης εξίσωσης ή ενός συστήματος εξισώσεων. Και εδώ θα σας βοηθήσουν τα συνηθισμένα σχολικά μαθηματικά.

Τριγωνομετρικές ταυτότητεςείναι ισότητες που δημιουργούν μια σχέση μεταξύ του ημιτόνου, του συνημίτονος, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης μιας γωνίας, η οποία σας επιτρέπει να βρείτε οποιαδήποτε από αυτές τις συναρτήσεις, με την προϋπόθεση ότι οποιαδήποτε άλλη είναι γνωστή.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

Αυτή η ταυτότητα λέει ότι το άθροισμα του τετραγώνου του ημιτόνου μιας γωνίας και του τετραγώνου του συνημιτόνου μιας γωνίας είναι ίσο με ένα, γεγονός που στην πράξη καθιστά δυνατό τον υπολογισμό του ημιτόνου μιας γωνίας όταν είναι γνωστό το συνημίτονό του και αντίστροφα .

Κατά τη μετατροπή τριγωνομετρικών παραστάσεων, αυτή η ταυτότητα χρησιμοποιείται πολύ συχνά, η οποία σας επιτρέπει να αντικαταστήσετε το άθροισμα των τετραγώνων του συνημιτόνου και του ημιτόνου μιας γωνίας με ένα και επίσης να εκτελέσετε τη λειτουργία αντικατάστασης με αντίστροφη σειρά.

Εύρεση εφαπτομένης και συνεφαπτομένης μέσω ημιτόνου και συνημιτονοειδούς

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

Αυτές οι ταυτότητες σχηματίζονται από τους ορισμούς του ημιτόνου, του συνημιτονοειδούς, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης. Εξάλλου, αν κοιτάξετε, τότε εξ ορισμού, η τεταγμένη του y είναι το ημίτονο και η τετμημένη του x είναι το συνημίτονο. Τότε η εφαπτομένη θα είναι ίση με τον λόγο \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), και την αναλογία \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- θα είναι συνεφαπτομένη.

Προσθέτουμε ότι μόνο για τέτοιες γωνίες \άλφα για τις οποίες έχουν νόημα οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις που περιλαμβάνονται σε αυτές, οι ταυτότητες θα πραγματοποιούνται, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

Για παράδειγμα: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)ισχύει για γωνίες \άλφα που διαφέρουν από \frac(\pi)(2)+\pi z, ΕΝΑ ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- για γωνία \άλφα διαφορετική από \pi z , το z είναι ακέραιος.

Σχέση εφαπτομένης και συνεφαπτομένης

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

Αυτή η ταυτότητα ισχύει μόνο για γωνίες \άλφα που διαφέρουν από \frac(\pi)(2) z. Διαφορετικά, δεν θα καθοριστεί είτε συνεφαπτομένη είτε εφαπτομένη.

Με βάση τα παραπάνω σημεία, το καταλαβαίνουμε tg \alpha = \frac(y)(x), ΕΝΑ ctg\alpha=\frac(x)(y). Ως εκ τούτου προκύπτει ότι tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Έτσι, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη μιας γωνίας στην οποία έχουν νόημα είναι αμοιβαίοι αμοιβαίοι αριθμοί.

Σχέσεις μεταξύ εφαπτομένης και συνημιτονοειδούς, συνεφαπτομένης και ημιτόνου

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- το άθροισμα του τετραγώνου της εφαπτομένης της γωνίας \άλφα και 1 είναι ίσο με το αντίστροφο τετράγωνο του συνημιτόνου αυτής της γωνίας. Αυτή η ταυτότητα είναι έγκυρη για όλα τα \alpha εκτός από \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- το άθροισμα του 1 και του τετραγώνου της συνεφαπτομένης της γωνίας \άλφα , ισούται με το αντίστροφο τετράγωνο του ημιτόνου της δεδομένης γωνίας. Αυτή η ταυτότητα είναι έγκυρη για οποιοδήποτε \alpha εκτός από \pi z .

Παραδείγματα με λύσεις προβλημάτων με χρήση τριγωνομετρικών ταυτοτήτων

Παράδειγμα 1

Βρείτε τα \sin \alpha και tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12Και \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

Εμφάνιση Λύσης

Λύση

Οι συναρτήσεις \sin \alpha και \cos \alpha συνδέονται με τον τύπο \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Αντικατάσταση σε αυτόν τον τύπο \cos \alpha = -\frac12, παίρνουμε:

\sin^(2)\alpha + \αριστερά (-\frac12 \δεξιά)^2 = 1

Αυτή η εξίσωση έχει 2 λύσεις:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

Κατά συνθήκη \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Στο δεύτερο τρίμηνο, το ημίτονο είναι θετικό, άρα \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

Για να βρούμε το tg \alpha , χρησιμοποιούμε τον τύπο tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

Παράδειγμα 2

Βρείτε τα \cos \alpha και ctg \alpha αν και \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

Εμφάνιση Λύσης

Λύση

Αντικατάσταση στη φόρμουλα \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1υπό όρους αριθμός \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), παίρνουμε \αριστερά (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Αυτή η εξίσωση έχει δύο λύσεις \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

Κατά συνθήκη \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Στο δεύτερο τρίμηνο, το συνημίτονο είναι αρνητικό, άρα \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

Για να βρούμε το ctg \alpha , χρησιμοποιούμε τον τύπο ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Γνωρίζουμε τις αντίστοιχες τιμές.

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

Οι τύποι για το άθροισμα και τη διαφορά ημιτόνων και συνημιτόνων για δύο γωνίες α και β σάς επιτρέπουν να μεταβείτε από το άθροισμα των υποδεικνυόμενων γωνιών στο γινόμενο των γωνιών α + β 2 και α - β 2 . Σημειώνουμε αμέσως ότι δεν πρέπει να συγχέετε τους τύπους για το άθροισμα και τη διαφορά των ημιτόνων και των συνημιτόνων με τους τύπους για τα ημίτονο και τα συνημίτονα του αθροίσματος και της διαφοράς. Παρακάτω παραθέτουμε αυτούς τους τύπους, δίνουμε την παράγωγή τους και δείχνουμε παραδείγματα εφαρμογής τους σε συγκεκριμένα προβλήματα.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Τύποι για το άθροισμα και τη διαφορά ημιτόνων και συνημιτόνων

Ας γράψουμε πώς μοιάζουν οι τύποι αθροίσματος και διαφοράς για ημίτονο και συνημίτονα

Τύποι αθροίσματος και διαφοράς για ημίτονο

αμαρτία α + αμαρτία β = 2 αμαρτία α + β 2 συν α - β 2 αμαρτία α - αμαρτία β = 2 αμαρτία α - β 2 συν α + β 2

Τύποι αθροίσματος και διαφοράς για συνημίτονα

cos α + συν β = 2 συν α + β 2 συν α - β 2 συν α - συν β = - 2 αμαρτία α + β 2 συν α - β 2, συν α - συν β = 2 αμαρτία α + β 2 β - α 2

Αυτοί οι τύποι ισχύουν για οποιεσδήποτε γωνίες α και β. Οι γωνίες α + β 2 και α - β 2 ονομάζονται, αντίστοιχα, μισό άθροισμα και μισή διαφορά των γωνιών άλφα και βήτα. Δίνουμε ένα σκεύασμα για κάθε τύπο.

Ορισμοί τύπων αθροίσματος και διαφοράς για ημίτονο και συνημίτονα

Το άθροισμα των ημιτόνων δύο γωνιώνισούται με το διπλάσιο του γινόμενου του ημιτόνου του ημιαθροίσματος αυτών των γωνιών και του συνημιτόνου της μισής διαφοράς.

Διαφορά ημιτόνων δύο γωνιώνισούται με το διπλάσιο του γινόμενου του ημιτόνου της μισής διαφοράς αυτών των γωνιών και του συνημιτόνου του ημιαθροίσματος.

Το άθροισμα των συνημιτόνων δύο γωνιώνισούται με το διπλάσιο του γινόμενου του συνημιτόνου του ημιαθροίσματος και του συνημιτόνου της μισής διαφοράς αυτών των γωνιών.

Διαφορά συνημιτόνων δύο γωνιώνισούται με το διπλάσιο του γινόμενου του ημιτόνου του ημι-αθροίσματος και του συνημιτόνου της μισής διαφοράς αυτών των γωνιών, που λαμβάνονται με αρνητικό πρόσημο.

Παραγωγή τύπων για το άθροισμα και τη διαφορά ημιτόνων και συνημιτόνων

Για την εξαγωγή τύπων για το άθροισμα και τη διαφορά του ημιτόνου και του συνημιτόνου δύο γωνιών, χρησιμοποιούνται τύποι πρόσθεσης. Τις παρουσιάζουμε παρακάτω

αμαρτία (α + β) = αμαρτία α cos β + cos α αμαρτία β sin (α - β) = αμαρτία α cos β - cos α sin β cos (α + β) = cos α cos β - αμαρτία α αμαρτία β cos ( α - β) = cos α cos β + sin α sin β

Αντιπροσωπεύουμε επίσης τις ίδιες τις γωνίες ως άθροισμα μισών αθροισμάτων και μισών διαφορών.

α = α + β 2 + α - β 2 = α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β = α + β 2 - α - β 2 = α 2 + β 2 - α 2 + β 2

Προχωράμε απευθείας στην παραγωγή των τύπων αθροίσματος και διαφοράς για το sin και το cos.

Παραγωγή του τύπου για το άθροισμα των ημιτόνων

Στο άθροισμα sin α + sin β, αντικαθιστούμε τα α και β με τις εκφράσεις για αυτές τις γωνίες που δίνονται παραπάνω. Παίρνω

αμαρτία α + αμαρτία β = αμαρτία α + β 2 + α - β 2 + αμαρτία α + β 2 - α - β 2

Τώρα εφαρμόζουμε τον τύπο προσθήκης στην πρώτη παράσταση και τον τύπο ημιτόνου των διαφορών γωνίας στη δεύτερη (δείτε τους παραπάνω τύπους)

αμαρτία α + β 2 + α - β 2 = αμαρτία α + β 2 συν α - β 2 + συν α + β 2 αμαρτία α - β 2 αμαρτία α + β 2 - α - β 2 = αμαρτία α + β 2 συν α - β 2 - συν α + β 2 αμαρτία α - β 2 αμαρτία α + β 2 + α - β 2 + αμαρτία α + β 2 - α - β 2 = αμαρτία α + β 2 συν α - β 2 + συν α + β 2 αμαρτία α - β 2 + αμαρτία α + β 2 συν α - β 2 - συν α + β 2 αμαρτία α - β 2

αμαρτία α + β 2 συν α - β 2 + συν α + β 2 αμαρτία α - β 2 + αμαρτία α + β 2 συν α - β 2 - συν α + β 2 αμαρτία α - β 2 = = 2 αμαρτία α + β 2 cos α - β 2

Τα βήματα για την εξαγωγή των υπόλοιπων τύπων είναι παρόμοια.

Παραγωγή του τύπου για τη διαφορά ημιτόνων

αμαρτία α - αμαρτία β = αμαρτία α + β 2 + α - β 2 - αμαρτία α + β 2 - α - β 2 αμαρτία α + β 2 + α - β 2 - αμαρτία α + β 2 - α - β 2 = αμαρτία α + β 2 συν α - β 2 + συν α + β 2 αμαρτία α - β 2 - αμαρτία α + β 2 συν α - β 2 - συν α + β 2 αμαρτία α - β 2 = = 2 αμαρτία α - β 2 cos α + β 2

Παραγωγή του τύπου για το άθροισμα των συνημίτονων

cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = συν α + β 2 συν α - β 2 - αμαρτία α + β 2 αμαρτία α - β 2 + συν α + β 2 συν α - β 2 + αμαρτία α + β 2 αμαρτία α - β 2 = = 2 συν α + β 2 cos α - β 2

Παραγωγή του τύπου διαφοράς συνημιτόνου

cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = συν α + β 2 συν α - β 2 - αμαρτία α + β 2 αμαρτία α - β 2 - συν α + β 2 συν α - β 2 + αμαρτία α + β 2 αμαρτία α - β 2 = = - 2 αμαρτία α + β 2 αμαρτία α - β 2

Παραδείγματα επίλυσης πρακτικών προβλημάτων

Αρχικά, θα ελέγξουμε έναν από τους τύπους αντικαθιστώντας συγκεκριμένες τιμές γωνίας σε αυτόν. Έστω α = π 2 , β = π 6 . Ας υπολογίσουμε την τιμή του αθροίσματος των ημιτόνων αυτών των γωνιών. Αρχικά, χρησιμοποιούμε τον πίνακα με τις βασικές τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων και στη συνέχεια εφαρμόζουμε τον τύπο για το άθροισμα των ημιτόνων.

Παράδειγμα 1. Έλεγχος του τύπου για το άθροισμα των ημιτόνων δύο γωνιών

α \u003d π 2, β \u003d π 6 sin π 2 + sin π 6 \u003d 1 + 1 2 \u003d 3 2 sin π 2 + sin π 6 \u003d 2 sin π 2 + π 6 2 cos π 2 - π 6 2 \u003d 2 sin π 3 cos π 6 \u003d 2 3 2 3 2 \u003d 3 2

Ας εξετάσουμε τώρα την περίπτωση που οι τιμές των γωνιών διαφέρουν από τις βασικές τιμές που παρουσιάζονται στον πίνακα. Έστω α = 165°, β = 75°. Ας υπολογίσουμε την τιμή της διαφοράς μεταξύ των ημιτόνων αυτών των γωνιών.

Παράδειγμα 2. Εφαρμογή του τύπου ημιτονικής διαφοράς

α = 165 ° , β = 75 ° αμαρτία α - αμαρτία β = αμαρτία 165 ° - αμαρτία 75 ° αμαρτία 165 - αμαρτία 75 = 2 αμαρτία 165 ° - αμαρτία 75 ° 2 συν 165 ° + αμαρτία 75 ° 2 = = 2 αμαρτία 45 ° cos 120 ° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2

Χρησιμοποιώντας τους τύπους για το άθροισμα και τη διαφορά ημιτόνων και συνημιτόνων, μπορείτε να μεταβείτε από το άθροισμα ή τη διαφορά στο γινόμενο των τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Συχνά αυτοί οι τύποι ονομάζονται τύποι για τη μετάβαση από το άθροισμα στο προϊόν. Οι τύποι για το άθροισμα και τη διαφορά ημιτόνων και συνημιτόνων χρησιμοποιούνται ευρέως στην επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων και στη μετατροπή τριγωνομετρικών παραστάσεων.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter