Να παραστήσετε τους αριθμούς i 2 σε τριγωνομετρική μορφή. Τριγωνομετρική μορφή μιγαδικών αριθμών

2.3. Τριγωνομετρική μορφή μιγαδικών αριθμών

Έστω το διάνυσμα να προσδιορίζεται στο μιγαδικό επίπεδο με τον αριθμό .

Ας συμβολίσουμε με φ τη γωνία μεταξύ του θετικού ημιάξονα Ox και του διανύσματος (η γωνία φ θεωρείται θετική αν μετρηθεί αριστερόστροφα και αρνητική διαφορετικά).

Ας συμβολίσουμε το μήκος του διανύσματος με r. Επειτα . Δηλώνουμε επίσης

Γράψιμο ενός μη μηδενικού μιγαδικού αριθμού z στη μορφή

ονομάζεται τριγωνομετρική μορφή του μιγαδικού αριθμού z. Ο αριθμός r ονομάζεται συντελεστής του μιγαδικού αριθμού z και ο αριθμός φ ονομάζεται όρισμα αυτού του μιγαδικού αριθμού και συμβολίζεται με Arg z.

Τριγωνομετρική μορφή γραφής μιγαδικού αριθμού - (τύπος Euler) - εκθετική μορφή γραφής μιγαδικού αριθμού:

Ο μιγαδικός αριθμός z έχει άπειρα ορίσματα: αν φ0 είναι οποιοδήποτε όρισμα του αριθμού z, τότε όλα τα άλλα μπορούν να βρεθούν χρησιμοποιώντας τον τύπο

Για έναν μιγαδικό αριθμό, το όρισμα και η τριγωνομετρική μορφή δεν ορίζονται.

Έτσι, το όρισμα ενός μη μηδενικού μιγαδικού αριθμού είναι οποιαδήποτε λύση στο σύστημα των εξισώσεων:

(3)

Η τιμή φ του ορίσματος ενός μιγαδικού αριθμού z, που ικανοποιεί τις ανισώσεις, ονομάζεται κύρια τιμή και συμβολίζεται με arg z.

Τα ορίσματα Arg z και arg z σχετίζονται με

, (4)

Ο τύπος (5) είναι συνέπεια του συστήματος (3), επομένως όλα τα ορίσματα ενός μιγαδικού αριθμού ικανοποιούν την ισότητα (5), αλλά δεν είναι όλες οι λύσεις φ της εξίσωσης (5) επιχειρήματα του αριθμού z.

Η κύρια τιμή του ορίσματος ενός μη μηδενικού μιγαδικού αριθμού βρίσκεται σύμφωνα με τους τύπους:

Οι τύποι για τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση μιγαδικών αριθμών σε τριγωνομετρική μορφή είναι οι εξής:

. (7)

Κατά την αύξηση ενός μιγαδικού αριθμού σε μια φυσική ισχύ, χρησιμοποιείται ο τύπος Moivre:

Κατά την εξαγωγή της ρίζας ενός μιγαδικού αριθμού, χρησιμοποιείται ο τύπος:

, (9)

όπου k=0, 1, 2, …, n-1.

Πρόβλημα 54. Υπολογίστε πού .

Ας παρουσιάσουμε τη λύση αυτής της παράστασης σε εκθετική μορφή γραφής μιγαδικού αριθμού: .

Αν τότε.

Επειτα , . Επομένως, λοιπόν Και , Οπου .

Απάντηση: , στο .

Πρόβλημα 55. Να γράψετε μιγαδικούς αριθμούς σε τριγωνομετρική μορφή:

ΕΝΑ) ; β) ; V) ; Ζ) ; δ) ; μι) ; και) .

Εφόσον η τριγωνομετρική μορφή ενός μιγαδικού αριθμού είναι , τότε:

α) Σε μιγαδικό αριθμό: .

,

Να γιατί

σι) , Οπου ,

ΣΟΛ) , Οπου ,

μι) .

και) , ΕΝΑ , Οτι .

Να γιατί

Απάντηση: ; 4; ; ; ; ; .

Πρόβλημα 56. Να βρείτε την τριγωνομετρική μορφή ενός μιγαδικού αριθμού

.

Αφήστε, .

Επειτα , , .

Αφού και , , τότε , και

Επομένως, άρα

Απάντηση: , Οπου .

Πρόβλημα 57. Χρησιμοποιώντας την τριγωνομετρική μορφή ενός μιγαδικού αριθμού, εκτελέστε τις παρακάτω ενέργειες: .

Ας φανταστούμε τους αριθμούς και σε τριγωνομετρική μορφή.

1), όπου Επειτα

Βρείτε την τιμή του κύριου ορίσματος:

Ας αντικαταστήσουμε τις τιμές και στην έκφραση, παίρνουμε

2) , που τότε

Επειτα

3) Ας βρούμε το πηλίκο

Υποθέτοντας k=0, 1, 2, παίρνουμε τρεις διαφορετικές τιμές της επιθυμητής ρίζας:

Αν τότε

αν τότε

αν τότε .

Απάντηση::

:

: .

Πρόβλημα 58. Έστω , , , διαφορετικοί μιγαδικοί αριθμοί και . Αποδείξτε το

ένας αριθμός είναι ένας πραγματικός θετικός αριθμός.

β) η ισότητα ισχύει:

α) Ας αναπαραστήσουμε αυτούς τους μιγαδικούς αριθμούς σε τριγωνομετρική μορφή:

Επειδή .

Ας το προσποιηθούμε. Επειτα

.

Η τελευταία έκφραση είναι ένας θετικός αριθμός, αφού τα ημιτόφωνα περιέχουν αριθμούς από το διάστημα.

από τον αριθμό αληθινό και θετικό. Πράγματι, αν οι a και b είναι μιγαδικοί αριθμοί και είναι πραγματικοί και μεγαλύτεροι από το μηδέν, τότε .

Εκτός,

άρα αποδεικνύεται η απαιτούμενη ισότητα.

Πρόβλημα 59. Να γράψετε τον αριθμό σε αλγεβρική μορφή .

Ας αναπαραστήσουμε τον αριθμό σε τριγωνομετρική μορφή και μετά βρούμε την αλγεβρική του μορφή. Εχουμε . Για παίρνουμε το σύστημα:

Αυτό συνεπάγεται την ισότητα: .

Εφαρμόζοντας τον τύπο του Moivre:

παίρνουμε

Βρίσκεται η τριγωνομετρική μορφή του δεδομένου αριθμού.

Ας γράψουμε τώρα αυτόν τον αριθμό σε αλγεβρική μορφή:

.

Απάντηση: .

Πρόβλημα 60. Βρείτε το άθροισμα , ,

Ας αναλογιστούμε το ποσό

Εφαρμόζοντας τον τύπο του Moivre, βρίσκουμε

Αυτό το άθροισμα είναι το άθροισμα n όρων μιας γεωμετρικής προόδου με τον παρονομαστή και το πρώτο μέλος .

Εφαρμόζοντας τον τύπο για το άθροισμα των όρων μιας τέτοιας προόδου, έχουμε

Απομονώνοντας το φανταστικό μέρος στην τελευταία έκφραση, βρίσκουμε

Απομονώνοντας το πραγματικό μέρος, παίρνουμε επίσης τον ακόλουθο τύπο: , , .

Πρόβλημα 61. Βρείτε το άθροισμα:

ΕΝΑ) ; β) .

Σύμφωνα με τον τύπο του Νεύτωνα για την εκτίμηση, έχουμε

Χρησιμοποιώντας τον τύπο του Moivre βρίσκουμε:

Εξισώνοντας το πραγματικό και το φανταστικό μέρος των παραστάσεων που προκύπτουν για το , έχουμε:

Και .

Αυτοί οι τύποι μπορούν να γραφτούν σε συμπαγή μορφή ως εξής:

,

, πού είναι το ακέραιο μέρος του αριθμού α.

Πρόβλημα 62. Βρείτε όλα , για τα οποία .

Επειδή η , στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας τον τύπο

, Για να εξαγάγουμε τις ρίζες, παίρνουμε ,

Ως εκ τούτου, , ,

, .

Τα σημεία που αντιστοιχούν στους αριθμούς βρίσκονται στις κορυφές ενός τετραγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας 2 με κέντρο στο σημείο (0;0) (Εικ. 30).

Απάντηση: , ,

, .

Πρόβλημα 63. Λύστε την εξίσωση , .

Κατά συνθήκη ; Επομένως, αυτή η εξίσωση δεν έχει ρίζα, και επομένως είναι ισοδύναμη με την εξίσωση.

Για να είναι ο αριθμός z η ρίζα αυτής της εξίσωσης, ο αριθμός πρέπει να είναι η ν η ρίζα του αριθμού 1.

Από εδώ συμπεραίνουμε ότι η αρχική εξίσωση έχει ρίζες που προσδιορίζονται από τις ισότητες

,

Ετσι,

,

δηλ. ,

Απάντηση: .

Πρόβλημα 64. Λύστε την εξίσωση στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών.

Εφόσον ο αριθμός δεν είναι η ρίζα αυτής της εξίσωσης, τότε για αυτήν την εξίσωση είναι ισοδύναμη με την εξίσωση

Δηλαδή η εξίσωση.

Όλες οι ρίζες αυτής της εξίσωσης λαμβάνονται από τον τύπο (βλ. πρόβλημα 62):

; ; ; ; .

Πρόβλημα 65. Σχεδιάστε στο μιγαδικό επίπεδο ένα σύνολο σημείων που ικανοποιούν τις ανισώσεις: . (2ος τρόπος επίλυσης του προβλήματος 45)

Αφήνω .

Οι μιγαδικοί αριθμοί που έχουν πανομοιότυπες ενότητες αντιστοιχούν σε σημεία του επιπέδου που βρίσκονται σε κύκλο με κέντρο στην αρχή, επομένως η ανισότητα ικανοποιεί όλα τα σημεία ενός ανοιχτού δακτυλίου που οριοθετείται από κύκλους με κοινό κέντρο στην αρχή και ακτίνες και (Εικ. 31). Έστω κάποιο σημείο του μιγαδικού επιπέδου αντιστοιχεί στον αριθμό w0. Αριθμός , έχει μια λειτουργική μονάδα αρκετές φορές μικρότερη από την ενότητα w0 και ένα όρισμα μεγαλύτερο από το όρισμα w0. Από γεωμετρική άποψη, το σημείο που αντιστοιχεί στο w1 μπορεί να ληφθεί χρησιμοποιώντας μια ομοιογένεια με κέντρο στην αρχή και έναν συντελεστή, καθώς και μια περιστροφή σε σχέση με την αρχή κατά μια γωνία αριστερόστροφα. Ως αποτέλεσμα της εφαρμογής αυτών των δύο μετασχηματισμών στα σημεία του δακτυλίου (Εικ. 31), ο τελευταίος θα μετατραπεί σε δακτύλιο που περιορίζεται από κύκλους με το ίδιο κέντρο και ακτίνες 1 και 2 (Εικ. 32).

Μετατροπή υλοποιείται χρησιμοποιώντας παράλληλη μεταφορά σε διάνυσμα. Μεταφέροντας τον δακτύλιο με το κέντρο στο σημείο στο υποδεικνυόμενο διάνυσμα, παίρνουμε έναν δακτύλιο ίδιου μεγέθους με το κέντρο στο σημείο (Εικ. 22).

Η προτεινόμενη μέθοδος, η οποία χρησιμοποιεί την ιδέα των γεωμετρικών μετασχηματισμών ενός επιπέδου, είναι πιθανώς λιγότερο βολική να περιγραφεί, αλλά είναι πολύ κομψή και αποτελεσματική.

Πρόβλημα 66. Βρείτε αν .

Αφήστε , τότε και . Η αρχική ισότητα θα πάρει τη μορφή . Από την προϋπόθεση της ισότητας δύο μιγαδικών αριθμών προκύπτει , , από το οποίο , . Ετσι, .

Ας γράψουμε τον αριθμό z σε τριγωνομετρική μορφή:

, Οπου , . Σύμφωνα με τον τύπο του Moivre, βρίσκουμε .

Απάντηση: – 64.

Πρόβλημα 67. Για μιγαδικούς αριθμούς, βρείτε όλους τους μιγαδικούς αριθμούς έτσι ώστε , και .

Ας αναπαραστήσουμε τον αριθμό σε τριγωνομετρική μορφή:

. Από εδώ, . Για τον αριθμό που παίρνουμε , μπορεί να είναι ίσος με ή .

Στην πρώτη περίπτωση , στο δεύτερο

.

Απάντηση:, .

Πρόβλημα 68. Να βρείτε το άθροισμα τέτοιων αριθμών που . Σημειώστε έναν από αυτούς τους αριθμούς.

Σημειώστε ότι από την ίδια τη διατύπωση του προβλήματος μπορεί να γίνει κατανοητό ότι το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης μπορεί να βρεθεί χωρίς να υπολογιστούν οι ίδιες οι ρίζες. Πράγματι, το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης είναι ο συντελεστής για , που λαμβάνεται με το αντίθετο πρόσημο (γενικευμένο θεώρημα Vieta), δηλ.

Οι μαθητές, η σχολική τεκμηρίωση, εξάγουν συμπεράσματα για το βαθμό κατοχής αυτής της έννοιας. Συνοψίστε τη μελέτη των χαρακτηριστικών της μαθηματικής σκέψης και τη διαδικασία σχηματισμού της έννοιας ενός μιγαδικού αριθμού. Περιγραφή μεθόδων. Διαγνωστικό: Στάδιο Ι. Η συζήτηση έγινε με δασκάλα μαθηματικών που διδάσκει άλγεβρα και γεωμετρία στη 10η τάξη. Η συζήτηση έγινε αφού είχε περάσει αρκετός καιρός από την αρχή...

Απήχηση» (!)), που περιλαμβάνει και αξιολόγηση της δικής του συμπεριφοράς. 4. Κριτική αξιολόγηση της κατανόησης της κατάστασης (αμφιβολίες) 5. Τέλος, η χρήση συστάσεων από τη νομική ψυχολογία (ο δικηγόρος λαμβάνει υπόψη του την ψυχολογική πτυχές των επαγγελματικών ενεργειών που εκτελούνται - επαγγελματική ψυχολογική ετοιμότητα) Ας εξετάσουμε τώρα την ψυχολογική ανάλυση των νομικών γεγονότων...

Μαθηματικά τριγωνομετρικής υποκατάστασης και έλεγχος της αποτελεσματικότητας της αναπτυγμένης διδακτικής μεθοδολογίας. Στάδια εργασίας: 1. Ανάπτυξη προαιρετικού μαθήματος με θέμα: «Εφαρμογή τριγωνομετρικής αντικατάστασης για την επίλυση αλγεβρικών προβλημάτων» με μαθητές τάξεων με προχωρημένα μαθηματικά. 2. Διεξαγωγή του αναπτυγμένου μαθήματος επιλογής. 3. Διενέργεια διαγνωστικού τεστ...

Οι γνωστικές εργασίες προορίζονται μόνο να συμπληρώσουν τα υπάρχοντα εκπαιδευτικά βοηθήματα και πρέπει να είναι σε κατάλληλο συνδυασμό με όλα τα παραδοσιακά μέσα και στοιχεία της εκπαιδευτικής διαδικασίας. Η διαφορά μεταξύ των εκπαιδευτικών προβλημάτων στη διδασκαλία των ανθρωπιστικών επιστημών και των ακριβών, από τα μαθηματικά προβλήματα, είναι μόνο ότι στα ιστορικά προβλήματα δεν υπάρχουν τύποι, αυστηροί αλγόριθμοι κ.λπ., γεγονός που περιπλέκει τη λύση τους. ...

Διάλεξη

Τριγωνομετρική μορφή μιγαδικού αριθμού

Σχέδιο

1. Γεωμετρική αναπαράσταση μιγαδικών αριθμών.

2. Τριγωνομετρική σημειογραφία μιγαδικών αριθμών.

3. Ενέργειες σε μιγαδικούς αριθμούς σε τριγωνομετρική μορφή.

Γεωμετρική αναπαράσταση μιγαδικών αριθμών.

α) Οι μιγαδικοί αριθμοί αντιπροσωπεύονται με σημεία σε ένα επίπεδο σύμφωνα με τον ακόλουθο κανόνα: ένα + δι = Μ ( ένα ; σι ) (Εικ. 1).

Εικόνα 1

β) Ένας μιγαδικός αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί με ένα διάνυσμα που αρχίζει από το σημείοΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ και το τέλος σε ένα δεδομένο σημείο (Εικ. 2).

Σχήμα 2

Παράδειγμα 7. Κατασκευάστε σημεία που αντιπροσωπεύουν μιγαδικούς αριθμούς:1; - Εγώ ; - 1 + Εγώ ; 2 – 3 Εγώ (Εικ. 3).

Εικόνα 3

Τριγωνομετρική σημειογραφία μιγαδικών αριθμών.

Μιγαδικός αριθμόςz = ένα + δι μπορεί να καθοριστεί χρησιμοποιώντας το διάνυσμα ακτίνας με συντεταγμένες( ένα ; σι ) (Εικ. 4).

Εικόνα 4

Ορισμός . Διάνυσμα μήκος , που αντιπροσωπεύει έναν μιγαδικό αριθμόz , ονομάζεται συντελεστής αυτού του αριθμού και συμβολίζεται ήr .

Για οποιονδήποτε μιγαδικό αριθμόz την ενότητα τουr = | z | καθορίζεται μοναδικά από τον τύπο .

Ορισμός . Το μέγεθος της γωνίας μεταξύ της θετικής κατεύθυνσης του πραγματικού άξονα και του διανύσματος , που αντιπροσωπεύει έναν μιγαδικό αριθμό, ονομάζεται όρισμα αυτού του μιγαδικού αριθμού και συμβολίζεταιΕΝΑ rg z ήφ .

Επιχείρημα μιγαδικού αριθμούz = 0 απροσδιόριστο. Επιχείρημα μιγαδικού αριθμούz≠ 0 – μια ποσότητα πολλαπλών τιμών και προσδιορίζεται σε έναν όρο2πk (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; …): Arg z = αργ z + 2πk , Οπουαργ z – την κύρια τιμή του ορίσματος που περιέχεται στο διάστημα(-π; π] , αυτό είναι-π < αργ z ≤ π (μερικές φορές μια τιμή που ανήκει στο διάστημα λαμβάνεται ως η κύρια τιμή του ορίσματος .

Αυτή η φόρμουλα ότανr =1 που συχνά ονομάζεται τύπος του Moivre:

(cos φ + i sin φ) n = cos (nφ) + i sin (nφ), n  N .

Παράδειγμα 11: Υπολογίστε(1 + Εγώ ) 100 .

Ας γράψουμε έναν μιγαδικό αριθμό1 + Εγώ σε τριγωνομετρική μορφή.

a = 1, b = 1 .

cos φ = , αμαρτία φ = , φ = .

(1+i) 100 = [ (συν + αμαρτάνω )] 100 = ( ) 100 (συν 100 + αμαρτω ·100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .

4) Εξαγωγή της τετραγωνικής ρίζας ενός μιγαδικού αριθμού.

Όταν παίρνουμε την τετραγωνική ρίζα ενός μιγαδικού αριθμούένα + δι έχουμε δύο περιπτώσεις:

Ανσι >ο , Οτι ;

Πράξεις σε μιγαδικούς αριθμούς γραμμένους σε αλγεβρική μορφή

Αλγεβρική μορφή μιγαδικού αριθμού z =(ένα,σι).λέγεται αλγεβρική έκφραση της μορφής

z = ένα + δι.

Αριθμητικές πράξεις σε μιγαδικούς αριθμούς z 1 = α 1 +β 1 ΕγώΚαι z 2 = α 2 +β 2 Εγώ, γραμμένα σε αλγεβρική μορφή, εκτελούνται ως εξής.

1. Άθροισμα (διαφορά) μιγαδικών αριθμών

z 1 ±z 2 = (ένα 1 ± α 2) + (σι 1 ±β 2)∙i,

εκείνοι. Η πρόσθεση (αφαίρεση) πραγματοποιείται σύμφωνα με τον κανόνα για την προσθήκη πολυωνύμων με αναγωγή παρόμοιων όρων.

2. Γινόμενο μιγαδικών αριθμών

z 1 ∙z 2 = (ένα 1 ∙α 2 -σι 1 ∙β 2) + (ένα 1 ∙β 2 +α 2 ∙β 1)∙i,

εκείνοι. Ο πολλαπλασιασμός πραγματοποιείται σύμφωνα με τον συνήθη κανόνα για τον πολλαπλασιασμό πολυωνύμων, λαμβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι Εγώ 2 = 1.

3. Η διαίρεση δύο μιγαδικών αριθμών γίνεται σύμφωνα με τον ακόλουθο κανόνα:

, (z 2 ≠ 0),

εκείνοι. Η διαίρεση πραγματοποιείται πολλαπλασιάζοντας το μέρισμα και ο διαιρέτης με τον συζυγή αριθμό του διαιρέτη.

Η εκτίμηση των μιγαδικών αριθμών ορίζεται ως εξής:

Είναι εύκολο να το δείξεις αυτό

Παραδείγματα.

1. Να βρείτε το άθροισμα των μιγαδικών αριθμών z 1 = 2 – ΕγώΚαι z 2 = – 4 + 3Εγώ.

z 1 + z 2 = (2 + (–1)∙i)+ (–4 + 3Εγώ) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) Εγώ = –2+2Εγώ.

2. Να βρείτε το γινόμενο μιγαδικών αριθμών z 1 = 2 – 3ΕγώΚαι z 2 = –4 + 5Εγώ.

= (2 – 3Εγώ) ∙ (–4 + 5Εγώ) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3Εγώ)+ 2∙5Εγώ– 3i∙ 5i = 7+22Εγώ.

3. Βρείτε το πηλίκο zαπό διαίρεση z 1 = 3 – 2να z 2 = 3 – Εγώ.

z = .

4. Λύστε την εξίσωση: , ΧΚαι y Î R.

(2x+y) + (x+y)i = 2 + 3Εγώ.

Λόγω της ισότητας των μιγαδικών αριθμών έχουμε:

που x =–1 , y= 4.

5. Υπολογίστε: Εγώ 2 ,Εγώ 3 ,Εγώ 4 ,Εγώ 5 ,Εγώ 6 ,Εγώ -1 ,Εγώ -2 .

6. Υπολογίστε εάν .

.

7. Υπολογίστε το αντίστροφο ενός αριθμού z=3-Εγώ.

Μιγαδικοί αριθμοί σε τριγωνομετρική μορφή

Σύνθετο αεροπλάνοονομάζεται ένα επίπεδο με καρτεσιανές συντεταγμένες ( x, y), αν κάθε σημείο έχει συντεταγμένες ( α, β) συνδέεται με έναν μιγαδικό αριθμό z = a + bi. Στην περίπτωση αυτή καλείται ο άξονας της τετμημένης πραγματικός άξονας, και ο άξονας τεταγμένων είναι φανταστικο. Στη συνέχεια κάθε μιγαδικός αριθμός a+biγεωμετρικά απεικονίζεται σε επίπεδο ως σημείο Α (α, β) ή διάνυσμα.

Επομένως, η θέση του σημείου ΕΝΑ(και επομένως μιγαδικός αριθμός z) μπορεί να καθοριστεί από το μήκος του διανύσματος | | = rκαι γωνία ι, που σχηματίζεται από το διάνυσμα | | με τη θετική φορά του πραγματικού άξονα. Το μήκος του διανύσματος ονομάζεται Μέτρο ενός μιγαδικού αριθμούκαι συμβολίζεται με | z |=rκαι η γωνία ιπου ονομάζεται όρισμα μιγαδικού αριθμούκαι ορίζεται j = arg z.

Είναι σαφές ότι | z| ³ 0 και | z | = 0 Û z = 0.

Από το Σχ. 2 είναι σαφές ότι .

Το όρισμα ενός μιγαδικού αριθμού προσδιορίζεται διφορούμενα, αλλά με ακρίβεια 2 πκ, κÎ Ζ.

Από το Σχ. 2 είναι επίσης σαφές ότι αν z=a+biΚαι j=arg z,Οτι

cos j =, αμαρτία j =, tg j = .

Αν zÎRΚαι z> 0, τότε arg z = 0 +2πκ;

Αν z ОRΚαι z< 0, τότε arg z = p + 2πκ;

Αν z = 0,arg zαπροσδιόριστο.

Η κύρια τιμή του ορίσματος προσδιορίζεται στο διάστημα 0 £ αργ ζ£2 Π,

ή -Π£ arg z £ σελ.

Παραδείγματα:

1. Να βρείτε το μέτρο συντελεστή μιγαδικών αριθμών z 1 = 4 – 3ΕγώΚαι z 2 = –2–2Εγώ.

2. Ορίστε περιοχές στο μιγαδικό επίπεδο που ορίζονται από τις συνθήκες:

1) | z | = 5; 2) | z| 6 £; 3) | z – (2+Εγώ) | 3 £; 4) 6 £ | z – Εγώ| 7 £.

Λύσεις και απαντήσεις:

1) | z| = 5 Û Û - εξίσωση κύκλου με ακτίνα 5 και κέντρο στην αρχή.

2) Κύκλος με ακτίνα 6 με κέντρο στην αρχή.

3) Κύκλος με ακτίνα 3 με κέντρο στο σημείο z 0 = 2 + Εγώ.

4) Δακτύλιος οριοθετημένος από κύκλους με ακτίνες 6 και 7 με κέντρο σε ένα σημείο z 0 = Εγώ.

3. Βρείτε το μέτρο και το όρισμα των αριθμών: 1) ; 2) .

1) ; ΕΝΑ = 1, σι = Þ ,

Þ j 1 = .

2) z 2 = –2 – 2Εγώ; α =–2, β =-2 Þ ,

.

Συμβουλή: Όταν προσδιορίζετε το κύριο όρισμα, χρησιμοποιήστε το μιγαδικό επίπεδο.

Ετσι: z 1 = .

2) , r 2 = 1, j 2 = , .

3) , r 3 = 1, j 3 = , .

4) , r 4 = 1, j 4 = , .

ΜΙΓΚΡΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ XI

§ 256. Τριγωνομετρική μορφή μιγαδικών αριθμών

Έστω ένας μιγαδικός αριθμός α + δι αντιστοιχεί διάνυσμα Ο.Α.> με συντεταγμένες ( α, β ) (βλ. Εικ. 332).

Ας υποδηλώσουμε το μήκος αυτού του διανύσματος με r , και τη γωνία που κάνει με τον άξονα Χ , μέσω φ . Εξ ορισμού του ημιτόνου και του συνημιτονοειδούς:

ένα / r =κοσ φ , σι / r = αμαρτία φ .

Να γιατί ΕΝΑ = r cos φ , σι = r αμαρτία φ . Αλλά σε αυτή την περίπτωση ο μιγαδικός αριθμός α + δι μπορεί να γραφτεί ως:

α + δι = r cos φ + ir αμαρτία φ = r (συν φ + Εγώ αμαρτία φ ).

Όπως γνωρίζετε, το τετράγωνο του μήκους οποιουδήποτε διανύσματος είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των συντεταγμένων του. Να γιατί r 2 = ένα 2 + σι 2, από όπου r = √α 2 + σι 2

Ετσι, οποιοδήποτε μιγαδικό αριθμό α + δι μπορεί να αναπαρασταθεί στη μορφή :

α + δι = r (συν φ + Εγώ αμαρτία φ ), (1)

όπου r = √α 2 + σι 2 και η γωνία φ καθορίζεται από την συνθήκη:

Αυτή η μορφή γραφής μιγαδικών αριθμών ονομάζεται τριγωνομετρική.

Αριθμός r στον τύπο (1) ονομάζεται μονάδα μέτρησηςκαι η γωνία φ - διαφωνία, μιγαδικός αριθμός α + δι .

Αν ένας μιγαδικός αριθμός α + δι δεν είναι ίσο με μηδέν, τότε ο συντελεστής του είναι θετικός. αν α + δι = 0, λοιπόν α = β = 0 και μετά r = 0.

Το μέτρο οποιουδήποτε μιγαδικού αριθμού προσδιορίζεται μοναδικά.

Αν ένας μιγαδικός αριθμός α + δι δεν είναι ίσο με μηδέν, τότε το όρισμά του καθορίζεται από τους τύπους (2) οπωσδηποτεακριβής σε γωνία διαιρούμενη με 2 π . Αν α + δι = 0, λοιπόν α = β = 0. Στην περίπτωση αυτή r = 0. Από τον τύπο (1) είναι εύκολο να γίνει κατανοητό ότι ως επιχείρημα φ Σε αυτή την περίπτωση, μπορείτε να επιλέξετε οποιαδήποτε γωνία: τελικά, για οποιαδήποτε φ

0 (συν φ + Εγώ αμαρτία φ ) = 0.

Επομένως, το όρισμα null είναι απροσδιόριστο.

Μέτρο ενός μιγαδικού αριθμού r μερικές φορές συμβολίζεται | z |, και το επιχείρημα arg z . Ας δούμε μερικά παραδείγματα αναπαράστασης μιγαδικών αριθμών σε τριγωνομετρική μορφή.

Παράδειγμα. 1. 1 + Εγώ .

Ας βρούμε τη μονάδα r και επιχείρημα φ αυτός ο αριθμός.

r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

Επομένως αμαρτία φ = 1 / √ 2, συν φ = 1 / √ 2, από όπου φ = π / 4 + 2nπ .

Ετσι,

1 + Εγώ = √ 2 ,

Οπου Π - οποιοδήποτε ακέραιο. Συνήθως, από το άπειρο σύνολο τιμών του ορίσματος ενός μιγαδικού αριθμού, επιλέγεται ένα που είναι μεταξύ 0 και 2 π . Σε αυτή την περίπτωση, αυτή η τιμή είναι π / 4 . Να γιατί

1 + Εγώ = √ 2 (συν π / 4 + Εγώ αμαρτία π / 4)

Παράδειγμα 2.Να γράψετε έναν μιγαδικό αριθμό σε τριγωνομετρική μορφή √ 3 - Εγώ . Εχουμε:

r = √ 3+1 = 2, συν φ = √ 3 / 2, αμαρτία φ = - 1 / 2

Επομένως, μέχρι μια γωνία διαιρούμενη με το 2 π , φ = 11 / 6 π ; ως εκ τούτου,

√ 3 - Εγώ = 2(cos 11 / 6 π + Εγώ αμαρτία 11/6 π ).

Παράδειγμα 3Να γράψετε έναν μιγαδικό αριθμό σε τριγωνομετρική μορφή Εγώ.

Μιγαδικός αριθμός Εγώ αντιστοιχεί διάνυσμα Ο.Α.> , που καταλήγει στο σημείο Α του άξονα στο με τεταγμένη 1 (Εικ. 333). Το μήκος ενός τέτοιου διανύσματος είναι 1 και η γωνία που κάνει με τον άξονα x είναι ίση με π / 2. Να γιατί

Εγώ =κοσ π / 2 + Εγώ αμαρτία π / 2 .

Παράδειγμα 4.Να γράψετε τον μιγαδικό αριθμό 3 σε τριγωνομετρική μορφή.

Ο μιγαδικός αριθμός 3 αντιστοιχεί στο διάνυσμα Ο.Α. > Χ τετμημένη 3 (Εικ. 334).

Το μήκος ενός τέτοιου διανύσματος είναι 3 και η γωνία που κάνει με τον άξονα x είναι 0. Επομένως

3 = 3 (συν 0 + Εγώ αμαρτία 0),

Παράδειγμα 5.Να γράψετε τον μιγαδικό αριθμό -5 σε τριγωνομετρική μορφή.

Ο μιγαδικός αριθμός -5 αντιστοιχεί σε ένα διάνυσμα Ο.Α.> τελειώνει σε σημείο άξονα Χ με τετμημένη -5 (Εικ. 335). Το μήκος ενός τέτοιου διανύσματος είναι 5 και η γωνία που σχηματίζει με τον άξονα x είναι ίση με π . Να γιατί

5 = 5 (συν π + Εγώ αμαρτία π ).

Γυμνάσια

2047. Γράψτε αυτούς τους μιγαδικούς αριθμούς σε τριγωνομετρική μορφή, ορίζοντας τις ενότητες και τα ορίσματά τους:

1) 2 + 2√3 Εγώ , 4) 12Εγώ - 5; 7).3Εγώ ;

2) √3 + Εγώ ; 5) 25; 8) -2Εγώ ;

3) 6 - 6Εγώ ; 6) - 4; 9) 3Εγώ - 4.

2048. Υποδείξτε στο επίπεδο ένα σύνολο σημείων που αντιπροσωπεύουν μιγαδικούς αριθμούς των οποίων τα συντελεστές r και τα ορίσματα φ ικανοποιούν τις συνθήκες:

1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) r =2; 5) 2 < r <3; 8) 0 < φ < я;

3) r < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. Μπορούν οι αριθμοί να είναι ταυτόχρονα το μέτρο συντελεστή ενός μιγαδικού αριθμού; r Και - r ?

2050. Μπορεί το όρισμα ενός μιγαδικού αριθμού να είναι ταυτόχρονα γωνίες; φ Και - φ ?

Παρουσιάστε αυτούς τους μιγαδικούς αριθμούς σε τριγωνομετρική μορφή, ορίζοντας τις ενότητες και τα ορίσματά τους:

2051*. 1 + κοσ α + Εγώ αμαρτία α . 2054*. 2(cos 20° - Εγώ αμαρτία 20°).

2052*. αμαρτία φ + Εγώ cos φ . 2055*. 3(- cos 15° - Εγώ αμαρτία 15°).