Πώς να βρείτε ένα σημείο συμμετρικό ως προς μια ευθεία.

Μια ευθεία στο χώρο μπορεί πάντα να οριστεί ως η γραμμή τομής δύο μη παράλληλων επιπέδων. Αν η εξίσωση ενός επιπέδου είναι η εξίσωση του δεύτερου επιπέδου, τότε η εξίσωση της ευθείας δίνεται ως

Εδώ μη γραμμικό
. Αυτές οι εξισώσεις ονομάζονται γενικές εξισώσεις ευθεία στο διάστημα.

Κανονικές εξισώσεις ευθείας

Κάθε μη μηδενικό διάνυσμα που βρίσκεται σε μια δεδομένη ευθεία ή είναι παράλληλο σε αυτήν ονομάζεται διάνυσμα κατεύθυνσης αυτής της ευθείας.

Αν το σημείο είναι γνωστό
ευθεία γραμμή και το διάνυσμα κατεύθυνσής της
, τότε οι κανονικές εξισώσεις της ευθείας έχουν τη μορφή:

. (9)

Παραμετρικές εξισώσεις ευθείας

Ας δοθούν οι κανονικές εξισώσεις της ευθείας

.

Από εδώ, παίρνουμε τις παραμετρικές εξισώσεις της γραμμής:

(10)

Αυτές οι εξισώσεις είναι χρήσιμες για την εύρεση του σημείου τομής μιας ευθείας και ενός επιπέδου.

Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία
Και
έχει τη μορφή:

.

Γωνία μεταξύ ευθειών

Γωνία μεταξύ ευθειών

Και

ίση με τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων κατεύθυνσής τους. Επομένως, μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο (4):

Προϋπόθεση για παράλληλες ευθείες:

.

Προϋπόθεση για τα επίπεδα να είναι κάθετα:

Απόσταση σημείου από ευθεία

Π ας πούμε ότι το σημείο είναι δεδομένο
και ευθεία

.

Από τις κανονικές εξισώσεις της ευθείας γνωρίζουμε το σημείο
, που ανήκει σε μια γραμμή, και το διάνυσμα κατεύθυνσής της
. Στη συνέχεια η απόσταση του σημείου
από μια ευθεία γραμμή ισούται με το ύψος ενός παραλληλογράμμου που βασίζεται σε διανύσματα Και
. Ως εκ τούτου,

.

Προϋπόθεση για τη διασταύρωση των γραμμών

Δύο μη παράλληλες ευθείες

,

τέμνονται αν και μόνο αν

.

Η σχετική θέση μιας ευθείας γραμμής και ενός επιπέδου.

Ας δοθεί η ευθεία γραμμή
και αεροπλάνο. Γωνία μεταξύ τους μπορεί να βρεθεί από τον τύπο

.

Πρόβλημα 73.Γράψτε τις κανονικές εξισώσεις της ευθείας

(11)

Λύση. Για να καταγράψουμε τις κανονικές εξισώσεις της ευθείας (9), είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε οποιοδήποτε σημείο που ανήκει στην ευθεία και το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας.

Ας βρούμε το διάνυσμα , παράλληλα με αυτή τη γραμμή. Εφόσον πρέπει να είναι κάθετο στα κανονικά διανύσματα αυτών των επιπέδων, δηλ.

,
, Οτι

.

Από τις γενικές εξισώσεις της ευθείας έχουμε ότι
,
. Επειτα

.

Από το σημείο
οποιοδήποτε σημείο μιας ευθείας, τότε οι συντεταγμένες του πρέπει να ικανοποιούν τις εξισώσεις της ευθείας και μπορεί να καθοριστεί μία από αυτές, για παράδειγμα,
, βρίσκουμε τις άλλες δύο συντεταγμένες από το σύστημα (11):

Από εδώ,
.

Έτσι, οι κανονικές εξισώσεις της επιθυμητής γραμμής έχουν τη μορφή:

ή
.

Πρόβλημα 74.

Και
.

Λύση.Από τις κανονικές εξισώσεις της πρώτης γραμμής είναι γνωστές οι συντεταγμένες του σημείου
που ανήκουν στη γραμμή, και τις συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσης
. Από τις κανονικές εξισώσεις της δεύτερης γραμμής είναι γνωστές και οι συντεταγμένες του σημείου
και συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσης
.

Η απόσταση μεταξύ των παράλληλων γραμμών είναι ίση με την απόσταση του σημείου
από τη δεύτερη ευθεία. Αυτή η απόσταση υπολογίζεται από τον τύπο

.

Ας βρούμε τις συντεταγμένες του διανύσματος
.

Ας υπολογίσουμε το διανυσματικό γινόμενο
:

.

Πρόβλημα 75.Βρείτε ένα σημείο συμμετρικό σημείο
σχετικά ευθεία

.

Λύση. Ας γράψουμε την εξίσωση ενός επιπέδου που είναι κάθετο σε μια δεδομένη ευθεία και διέρχεται από ένα σημείο . Ως το κανονικό του διάνυσμα μπορείτε να πάρετε το κατευθυντικό διάνυσμα μιας ευθείας γραμμής. Επειτα
. Ως εκ τούτου,

Ας βρούμε ένα σημείο
το σημείο τομής αυτής της ευθείας και του επιπέδου P. Για να γίνει αυτό, γράφουμε τις παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις (10), παίρνουμε

Ως εκ τούτου,
.

Αφήνω
σημείο συμμετρικό προς το σημείο
σε σχέση με αυτή τη γραμμή. Στη συνέχεια, τοποθετήστε το δείκτη
μεσαίο σημείο
. Να βρείτε τις συντεταγμένες ενός σημείου Χρησιμοποιούμε τους τύπους για τις συντεταγμένες του μέσου του τμήματος:

,
,
.

Ετσι,
.

Πρόβλημα 76.Να γράψετε την εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από μια ευθεία
Και

α) μέσω ενός σημείου
;

β) κάθετα στο επίπεδο.

Λύση.Ας γράψουμε τις γενικές εξισώσεις αυτής της γραμμής. Για να το κάνετε αυτό, εξετάστε δύο ισότητες:

Αυτό σημαίνει ότι το επιθυμητό επίπεδο ανήκει σε μια δέσμη επιπέδων με γεννήτριες και η εξίσωσή του μπορεί να γραφτεί με τη μορφή (8):

α) Ας βρούμε
Και από την προϋπόθεση ότι το αεροπλάνο διέρχεται από το σημείο
, επομένως, οι συντεταγμένες του πρέπει να ικανοποιούν την εξίσωση του επιπέδου. Ας αντικαταστήσουμε τις συντεταγμένες του σημείου
στην εξίσωση μιας δέσμης επιπέδων:

Βρέθηκε τιμή
Ας το αντικαταστήσουμε με την εξίσωση (12). παίρνουμε την εξίσωση του επιθυμητού επιπέδου:

β) Ας βρούμε
Και από την προϋπόθεση ότι το επιθυμητό επίπεδο είναι κάθετο στο επίπεδο. Το κανονικό διάνυσμα ενός δεδομένου επιπέδου
, κανονικό διάνυσμα του επιθυμητού επιπέδου (βλ. εξίσωση μιας δέσμης επιπέδων (12).

Δύο διανύσματα είναι κάθετα αν και μόνο αν το γινόμενο κουκίδων τους είναι μηδέν. Ως εκ τούτου,

Ας αντικαταστήσουμε την τιμή που βρέθηκε
στην εξίσωση μιας δέσμης επιπέδων (12). Λαμβάνουμε την εξίσωση του επιθυμητού επιπέδου:

Προβλήματα προς επίλυση ανεξάρτητα

Πρόβλημα 77.Φέρτε στην κανονική μορφή της εξίσωσης των γραμμών:

1)
2)

Πρόβλημα 78.Να γράψετε παραμετρικές εξισώσεις μιας ευθείας
, Αν:

1)
,
; 2)
,
.

Πρόβλημα 79. Να γράψετε την εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από το σημείο
κάθετη σε ευθεία γραμμή

Πρόβλημα 80.Να γράψετε τις εξισώσεις μιας ευθείας που διέρχεται από ένα σημείο
κάθετο στο επίπεδο.

Πρόβλημα 81.Βρείτε τη γωνία μεταξύ ευθειών:

1)
Και
;

2)
Και

Πρόβλημα 82.Αποδείξτε παράλληλες ευθείες:

Και
.

Πρόβλημα 83.Να αποδείξετε την καθετότητα των γραμμών:

Και

Πρόβλημα 84.Υπολογίστε την απόσταση των σημείων
από ευθεία:

1)
; 2)
.

Πρόβλημα 85.Υπολογίστε την απόσταση μεταξύ παράλληλων ευθειών:

Και
.

Πρόβλημα 86. Στις εξισώσεις της ευθείας
ορίστε την παράμετρο ώστε αυτή η ευθεία να τέμνεται με την ευθεία και να βρείτε το σημείο τομής τους.

Πρόβλημα 87. Δείξτε ότι είναι ίσιο
παράλληλα με το επίπεδο
, και την ευθεία
βρίσκεται σε αυτό το αεροπλάνο.

Πρόβλημα 88. Βρείτε ένα σημείο συμμετρικό σημείο σε σχέση με το αεροπλάνο
, Αν:

1)
, ;

2)
, ;.

Πρόβλημα 89.Να γράψετε την εξίσωση μιας κάθετης που έπεσε από ένα σημείο
κατευθείαν
.

Πρόβλημα 90. Βρείτε ένα σημείο συμμετρικό σημείο
σχετικά ευθεία
.

Oh-oh-oh-oh-oh... καλά, είναι σκληρό, σαν να διάβαζε μια πρόταση στον εαυτό του =) Ωστόσο, η χαλάρωση θα βοηθήσει αργότερα, ειδικά επειδή σήμερα αγόρασα τα κατάλληλα αξεσουάρ. Επομένως, ας προχωρήσουμε στην πρώτη ενότητα, ελπίζω ότι μέχρι το τέλος του άρθρου θα διατηρήσω μια χαρούμενη διάθεση.

Η σχετική θέση δύο ευθειών

Αυτό συμβαίνει όταν το κοινό τραγουδά μαζί σε χορωδία. Δύο ευθείες γραμμές μπορούν:

1) ταίριασμα?

2) να είναι παράλληλη: ;

3) ή τέμνονται σε ένα μόνο σημείο: .

Βοήθεια για ανδρείκελα : Θυμηθείτε το μαθηματικό σημάδι τομής, θα εμφανίζεται πολύ συχνά. Ο συμβολισμός σημαίνει ότι η ευθεία τέμνεται με τη γραμμή στο σημείο .

Πώς να προσδιορίσετε τη σχετική θέση δύο γραμμών;

Ας ξεκινήσουμε με την πρώτη περίπτωση:

Δύο ευθείες συμπίπτουν αν και μόνο αν οι αντίστοιχοι συντελεστές τους είναι ανάλογοι, δηλαδή υπάρχει ένας αριθμός «λάμδα» τέτοιος ώστε να ικανοποιούνται οι ισότητες

Ας εξετάσουμε τις ευθείες γραμμές και ας δημιουργήσουμε τρεις εξισώσεις από τους αντίστοιχους συντελεστές: . Από κάθε εξίσωση προκύπτει ότι, επομένως, αυτές οι γραμμές συμπίπτουν.

Πράγματι, αν όλοι οι συντελεστές της εξίσωσης πολλαπλασιάστε με –1 (σύμβολα αλλαγής), και όλους τους συντελεστές της εξίσωσης κόψτε κατά 2, παίρνετε την ίδια εξίσωση: .

Η δεύτερη περίπτωση, όταν οι ευθείες είναι παράλληλες:

Δύο ευθείες είναι παράλληλες αν και μόνο αν οι συντελεστές τους των μεταβλητών είναι ανάλογοι: , Αλλά.

Για παράδειγμα, θεωρήστε δύο ευθείες γραμμές. Ελέγχουμε την αναλογικότητα των αντίστοιχων συντελεστών για τις μεταβλητές:

Ωστόσο, είναι αρκετά προφανές ότι.

Και η τρίτη περίπτωση, όταν τέμνονται οι γραμμές:

Δύο ευθείες τέμνονται αν και μόνο αν οι συντελεστές τους των μεταβλητών ΔΕΝ είναι ανάλογοι, δηλαδή ΔΕΝ υπάρχει τέτοια τιμή του «λάμδα» που να ικανοποιούνται οι ισότητες

Έτσι, για τις ευθείες γραμμές θα δημιουργήσουμε ένα σύστημα:

Από την πρώτη εξίσωση προκύπτει ότι , και από τη δεύτερη εξίσωση: , που σημαίνει το σύστημα είναι ασυνεπές(χωρίς λύσεις). Έτσι, οι συντελεστές των μεταβλητών δεν είναι ανάλογοι.

Συμπέρασμα: οι γραμμές τέμνονται

Σε πρακτικά προβλήματα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το σχήμα λύσεων που μόλις συζητήσαμε. Παρεμπιπτόντως, θυμίζει πολύ τον αλγόριθμο για τον έλεγχο των διανυσμάτων για συγγραμμικότητα, τον οποίο εξετάσαμε στην τάξη Η έννοια της γραμμικής (αν)εξάρτησης διανυσμάτων. Βάση διανυσμάτων. Αλλά υπάρχει μια πιο πολιτισμένη συσκευασία:

Παράδειγμα 1

Βρείτε τη σχετική θέση των γραμμών:

Λύσημε βάση τη μελέτη κατευθυνόμενων διανυσμάτων ευθειών:

α) Από τις εξισώσεις βρίσκουμε τα διανύσματα κατεύθυνσης των ευθειών: .

, που σημαίνει ότι τα διανύσματα δεν είναι συγγραμμικά και οι γραμμές τέμνονται.

Για κάθε ενδεχόμενο, θα βάλω μια πέτρα με ταμπέλες στο σταυροδρόμι:

Οι υπόλοιποι πηδούν πάνω από την πέτρα και ακολουθούν παρακάτω, κατευθείαν στο Kashchei τον Αθάνατο =)

β) Να βρείτε τα διανύσματα κατεύθυνσης των ευθειών:

Οι γραμμές έχουν το ίδιο διάνυσμα κατεύθυνσης, που σημαίνει ότι είναι είτε παράλληλες είτε συμπίπτουσες. Δεν χρειάζεται να μετρήσουμε την ορίζουσα εδώ.

Είναι προφανές ότι οι συντελεστές των αγνώστων είναι ανάλογοι, και .

Ας μάθουμε αν ισχύει η ισότητα:

Ετσι,

γ) Να βρείτε τα διανύσματα κατεύθυνσης των ευθειών:

Ας υπολογίσουμε την ορίζουσα που αποτελείται από τις συντεταγμένες αυτών των διανυσμάτων:
, επομένως, τα διανύσματα κατεύθυνσης είναι συγγραμμικά. Οι γραμμές είναι είτε παράλληλες είτε συμπίπτουσες.

Ο συντελεστής αναλογικότητας "λάμδα" είναι εύκολο να φανεί απευθείας από την αναλογία των διανυσμάτων συγγραμμικής κατεύθυνσης. Ωστόσο, μπορεί επίσης να βρεθεί μέσω των συντελεστών των ίδιων των εξισώσεων: .

Τώρα ας μάθουμε αν ισχύει η ισότητα. Και οι δύο ελεύθεροι όροι είναι μηδέν, οπότε:

Η τιμή που προκύπτει ικανοποιεί αυτήν την εξίσωση (οποιοσδήποτε αριθμός γενικά την ικανοποιεί).

Έτσι, οι γραμμές συμπίπτουν.

Απάντηση:

Πολύ σύντομα θα μάθετε (ή θα έχετε ήδη μάθει) να λύνετε το πρόβλημα που συζητήθηκε προφορικά κυριολεκτικά μέσα σε λίγα δευτερόλεπτα. Από αυτή την άποψη, δεν βλέπω κανένα νόημα να προσφέρω κάτι για μια ανεξάρτητη λύση· είναι καλύτερο να βάλετε ένα άλλο σημαντικό τούβλο στη γεωμετρική βάση:

Πώς να κατασκευάσετε μια ευθεία παράλληλη σε μια δεδομένη;

Για άγνοια αυτού του απλούστερου έργου, το Αηδόνι ο Ληστής τιμωρεί αυστηρά.

Παράδειγμα 2

Η ευθεία δίνεται από την εξίσωση. Να γράψετε μια εξίσωση για μια παράλληλη ευθεία που διέρχεται από το σημείο.

Λύση: Ας υποδηλώσουμε την άγνωστη γραμμή με το γράμμα . Τι λέει η κατάσταση για αυτήν; Η ευθεία διέρχεται από το σημείο. Και αν οι γραμμές είναι παράλληλες, τότε είναι προφανές ότι το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας "tse" είναι επίσης κατάλληλο για την κατασκευή της ευθείας "de".

Βγάζουμε το διάνυσμα κατεύθυνσης από την εξίσωση:

Απάντηση:

Το παράδειγμα γεωμετρίας φαίνεται απλό:

Η αναλυτική δοκιμή αποτελείται από τα ακόλουθα βήματα:

1) Ελέγχουμε ότι οι γραμμές έχουν το ίδιο διάνυσμα κατεύθυνσης (αν η εξίσωση της ευθείας δεν απλοποιηθεί σωστά, τότε τα διανύσματα θα είναι συγγραμμικά).

2) Ελέγξτε αν το σημείο ικανοποιεί την εξίσωση που προκύπτει.

Στις περισσότερες περιπτώσεις, η αναλυτική εξέταση μπορεί να πραγματοποιηθεί εύκολα από το στόμα. Κοιτάξτε τις δύο εξισώσεις και πολλοί από εσάς θα προσδιορίσετε γρήγορα τον παραλληλισμό των γραμμών χωρίς κανένα σχέδιο.

Τα παραδείγματα για ανεξάρτητες λύσεις σήμερα θα είναι δημιουργικά. Γιατί θα πρέπει ακόμα να συναγωνιστείς την Μπάμπα Γιάγκα και εκείνη, ξέρεις, είναι λάτρης όλων των ειδών των γρίφων.

Παράδειγμα 3

Γράψτε μια εξίσωση για μια ευθεία που διέρχεται από ένα σημείο παράλληλο στην ευθεία αν

Υπάρχει ένας λογικός και όχι τόσο ορθολογικός τρόπος να το λύσουμε. Ο συντομότερος δρόμος είναι στο τέλος του μαθήματος.

Δουλέψαμε λίγο με παράλληλες γραμμές και θα επιστρέψουμε σε αυτές αργότερα. Η περίπτωση των γραμμών που συμπίπτουν δεν έχει μικρό ενδιαφέρον, οπότε ας εξετάσουμε ένα πρόβλημα που σας είναι πολύ γνωστό από το σχολικό πρόγραμμα σπουδών:

Πώς να βρείτε το σημείο τομής δύο ευθειών;

Αν ευθεία τέμνονται στο σημείο , τότε οι συντεταγμένες του είναι η λύση συστήματα γραμμικών εξισώσεων

Πώς να βρείτε το σημείο τομής των γραμμών; Λύστε το σύστημα.

Ορίστε γεωμετρική έννοια ενός συστήματος δύο γραμμικών εξισώσεων με δύο αγνώστους- αυτές είναι δύο τεμνόμενες (τις περισσότερες φορές) γραμμές σε ένα επίπεδο.

Παράδειγμα 4

Βρείτε το σημείο τομής των ευθειών

Λύση: Υπάρχουν δύο τρόποι επίλυσης - γραφικός και αναλυτικός.

Η γραφική μέθοδος είναι απλά να σχεδιάσετε τις δεδομένες γραμμές και να βρείτε το σημείο τομής απευθείας από το σχέδιο:

Εδώ είναι το θέμα μας: . Για να ελέγξετε, θα πρέπει να αντικαταστήσετε τις συντεταγμένες της σε κάθε εξίσωση της γραμμής, θα πρέπει να ταιριάζουν και εκεί και εκεί. Με άλλα λόγια, οι συντεταγμένες ενός σημείου είναι μια λύση στο σύστημα. Ουσιαστικά, εξετάσαμε μια γραφική λύση συστήματα γραμμικών εξισώσεωνμε δύο εξισώσεις, δύο άγνωστους.

Η γραφική μέθοδος, φυσικά, δεν είναι κακή, αλλά υπάρχουν αξιοσημείωτα μειονεκτήματα. Όχι, το θέμα δεν είναι ότι οι μαθητές της έβδομης τάξης αποφασίζουν έτσι, το θέμα είναι ότι θα χρειαστεί χρόνος για να δημιουργήσετε ένα σωστό και ΑΚΡΙΒΗ σχέδιο. Επιπλέον, ορισμένες ευθείες γραμμές δεν είναι τόσο εύκολο να κατασκευαστούν και το ίδιο το σημείο τομής μπορεί να βρίσκεται κάπου στο τριακοστό βασίλειο έξω από το φύλλο του σημειωματάριου.

Επομένως, είναι πιο σκόπιμο να αναζητήσετε το σημείο τομής χρησιμοποιώντας την αναλυτική μέθοδο. Ας λύσουμε το σύστημα:

Για την επίλυση του συστήματος χρησιμοποιήθηκε η μέθοδος της πρόσθεσης εξισώσεων κατά όρο. Για να αναπτύξετε σχετικές δεξιότητες, κάντε ένα μάθημα Πώς να λύσετε ένα σύστημα εξισώσεων;

Απάντηση:

Ο έλεγχος είναι ασήμαντος - οι συντεταγμένες του σημείου τομής πρέπει να ικανοποιούν κάθε εξίσωση του συστήματος.

Παράδειγμα 5

Να βρείτε το σημείο τομής των ευθειών αν τέμνονται.

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας. Είναι βολικό να χωρίσετε την εργασία σε διάφορα στάδια. Η ανάλυση της κατάστασης υποδηλώνει ότι είναι απαραίτητο:
1) Να γράψετε την εξίσωση της ευθείας.
2) Να γράψετε την εξίσωση της ευθείας.
3) Βρείτε τη σχετική θέση των γραμμών.
4) Εάν οι ευθείες τέμνονται, τότε βρείτε το σημείο τομής.

Η ανάπτυξη ενός αλγορίθμου δράσης είναι χαρακτηριστική για πολλά γεωμετρικά προβλήματα και θα επικεντρωθώ επανειλημμένα σε αυτό.

Πλήρης λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος:

Ούτε ένα ζευγάρι παπούτσια δεν είχε φθαρεί πριν φτάσουμε στη δεύτερη ενότητα του μαθήματος:

Κάθετες γραμμές. Απόσταση από ένα σημείο σε μια γραμμή.
Γωνία μεταξύ ευθειών

Ας ξεκινήσουμε με μια τυπική και πολύ σημαντική εργασία. Στο πρώτο μέρος, μάθαμε πώς να χτίζουμε μια ευθεία γραμμή παράλληλη με αυτήν και τώρα η καλύβα στα μπούτια κοτόπουλου θα γυρίσει 90 μοίρες:

Πώς να κατασκευάσετε μια ευθεία κάθετη σε μια δεδομένη;

Παράδειγμα 6

Η ευθεία δίνεται από την εξίσωση. Να γράψετε μια εξίσωση κάθετη στην ευθεία που διέρχεται από το σημείο.

Λύση: Κατά συνθήκη είναι γνωστό ότι . Θα ήταν ωραίο να βρούμε το σκηνοθετικό διάνυσμα της γραμμής. Δεδομένου ότι οι γραμμές είναι κάθετες, το κόλπο είναι απλό:

Από την εξίσωση «αφαιρούμε» το κανονικό διάνυσμα: , που θα είναι το κατευθυντικό διάνυσμα της ευθείας.

Ας συνθέσουμε την εξίσωση μιας ευθείας χρησιμοποιώντας ένα σημείο και ένα διάνυσμα κατεύθυνσης:

Απάντηση:

Ας επεκτείνουμε το γεωμετρικό σκίτσο:

Χμμμ... Πορτοκαλί ουρανός, πορτοκαλί θάλασσα, πορτοκαλί καμήλα.

Αναλυτική επαλήθευση της λύσης:

1) Βγάζουμε τα διανύσματα κατεύθυνσης από τις εξισώσεις και με τη βοήθεια κλιμακωτό γινόμενο διανυσμάτωνκαταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι οι ευθείες είναι όντως κάθετες: .

Παρεμπιπτόντως, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε κανονικά διανύσματα, είναι ακόμα πιο εύκολο.

2) Ελέγξτε αν το σημείο ικανοποιεί την εξίσωση που προκύπτει .

Το τεστ, πάλι, είναι εύκολο να γίνει από το στόμα.

Παράδειγμα 7

Να βρείτε το σημείο τομής των κάθετων ευθειών αν η εξίσωση είναι γνωστή και περίοδος.

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας. Υπάρχουν πολλές ενέργειες στο πρόβλημα, επομένως είναι βολικό να διατυπώσετε τη λύση σημείο προς σημείο.

Το συναρπαστικό μας ταξίδι συνεχίζεται:

Απόσταση από σημείο σε γραμμή

Μπροστά μας είναι μια ευθεία λωρίδα του ποταμού και καθήκον μας είναι να φτάσουμε σε αυτήν από τη συντομότερη διαδρομή. Δεν υπάρχουν εμπόδια και η βέλτιστη διαδρομή θα είναι η κίνηση κατά μήκος της κάθετης. Δηλαδή, η απόσταση από ένα σημείο σε μια ευθεία είναι το μήκος του κάθετου τμήματος.

Η απόσταση στη γεωμετρία υποδηλώνεται παραδοσιακά με το ελληνικό γράμμα «rho», για παράδειγμα: – η απόσταση από το σημείο «em» έως την ευθεία «de».

Απόσταση από σημείο σε γραμμή εκφράζεται με τον τύπο

Παράδειγμα 8

Βρείτε την απόσταση από ένα σημείο σε μια ευθεία

Λύση: το μόνο που χρειάζεται να κάνετε είναι να αντικαταστήσετε προσεκτικά τους αριθμούς στον τύπο και να εκτελέσετε τους υπολογισμούς:

Απάντηση:

Ας κάνουμε το σχέδιο:

Η απόσταση που βρέθηκε από το σημείο μέχρι τη γραμμή είναι ακριβώς το μήκος του κόκκινου τμήματος. Εάν σχεδιάσετε ένα σχέδιο σε καρό χαρτί σε κλίμακα 1 μονάδας. = 1 cm (2 κελιά), τότε η απόσταση μπορεί να μετρηθεί με έναν συνηθισμένο χάρακα.

Ας εξετάσουμε μια άλλη εργασία που βασίζεται στο ίδιο σχέδιο:

Το καθήκον είναι να βρούμε τις συντεταγμένες ενός σημείου που είναι συμμετρικό προς το σημείο σε σχέση με την ευθεία . Προτείνω να εκτελέσετε τα βήματα μόνοι σας, αλλά θα περιγράψω τον αλγόριθμο λύσης με ενδιάμεσα αποτελέσματα:

1) Βρείτε μια ευθεία που είναι κάθετη στην ευθεία.

2) Βρείτε το σημείο τομής των ευθειών: .

Και οι δύο ενέργειες συζητούνται λεπτομερώς σε αυτό το μάθημα.

3) Το σημείο είναι το μέσο του τμήματος. Γνωρίζουμε τις συντεταγμένες της μέσης και ενός από τα άκρα. Με τύποι για τις συντεταγμένες του μέσου ενός τμήματοςβρίσκουμε .

Καλό θα ήταν να ελέγξετε ότι η απόσταση είναι επίσης 2,2 μονάδες.

Μπορεί να προκύψουν δυσκολίες στους υπολογισμούς εδώ, αλλά ένας μικροϋπολογιστής είναι μια μεγάλη βοήθεια στον πύργο, επιτρέποντάς σας να υπολογίσετε συνηθισμένα κλάσματα. Σας έχω συμβουλέψει πολλές φορές και θα σας προτείνω ξανά.

Πώς να βρείτε την απόσταση μεταξύ δύο παράλληλων ευθειών;

Παράδειγμα 9

Βρείτε την απόσταση μεταξύ δύο παράλληλων ευθειών

Αυτό είναι ένα άλλο παράδειγμα για να αποφασίσετε μόνοι σας. Θα σας δώσω μια μικρή υπόδειξη: υπάρχουν άπειροι τρόποι για να το λύσετε αυτό. Απολογισμός στο τέλος του μαθήματος, αλλά είναι καλύτερο να προσπαθήσετε να μαντέψετε μόνοι σας, νομίζω ότι η εφευρετικότητά σας ήταν καλά αναπτυγμένη.

Γωνία μεταξύ δύο ευθειών

Κάθε γωνιά είναι ένα τζάμπα:


Στη γεωμετρία, η γωνία μεταξύ δύο ευθειών λαμβάνεται ως η ΜΙΚΡΟΤΕΡΗ γωνία, από την οποία αυτόματα προκύπτει ότι δεν μπορεί να είναι αμβλεία. Στο σχήμα, η γωνία που υποδεικνύεται από το κόκκινο τόξο δεν θεωρείται η γωνία μεταξύ τεμνόμενων γραμμών. Και ο «πράσινος» γείτονάς του ή αντίθετα προσανατολισμέναγωνία "βατόμουρου".

Εάν οι ευθείες είναι κάθετες, τότε οποιαδήποτε από τις 4 γωνίες μπορεί να ληφθεί ως γωνία μεταξύ τους.

Πώς διαφέρουν οι γωνίες; Προσανατολισμός. Πρώτον, η κατεύθυνση στην οποία η γωνία "κύλιση" είναι θεμελιωδώς σημαντική. Δεύτερον, μια αρνητικά προσανατολισμένη γωνία γράφεται με αρνητικό πρόσημο, για παράδειγμα εάν .

Γιατί σας το είπα αυτό; Φαίνεται ότι μπορούμε να τα βγάλουμε πέρα ​​με τη συνηθισμένη έννοια της γωνίας. Γεγονός είναι ότι οι τύποι με τους οποίους θα βρούμε γωνίες μπορούν εύκολα να οδηγήσουν σε αρνητικό αποτέλεσμα και αυτό δεν πρέπει να σας εκπλήξει. Μια γωνία με σύμβολο μείον δεν είναι χειρότερη και έχει μια πολύ συγκεκριμένη γεωμετρική σημασία. Στο σχέδιο, για αρνητική γωνία, φροντίστε να υποδείξετε τον προσανατολισμό του με ένα βέλος (δεξιόστροφα).

Πώς να βρείτε τη γωνία μεταξύ δύο ευθειών;Υπάρχουν δύο τύποι εργασίας:

Παράδειγμα 10

Βρείτε τη γωνία μεταξύ των γραμμών

ΛύσηΚαι Μέθοδος ένα

Ας εξετάσουμε δύο ευθείες γραμμές που ορίζονται από εξισώσεις σε γενική μορφή:

Αν ευθεία όχι κάθετο, Οτι προσανατολισμένηΗ γωνία μεταξύ τους μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Ας δώσουμε ιδιαίτερη προσοχή στον παρονομαστή - αυτό ακριβώς είναι κλιμακωτό προϊόνκατευθυντικά διανύσματα ευθειών:

Αν , τότε ο παρονομαστής του τύπου γίνεται μηδέν, και τα διανύσματα θα είναι ορθογώνια και οι ευθείες θα είναι κάθετες. Γι' αυτό διατυπώθηκε επιφύλαξη για τη μη καθετότητα των ευθειών στη διατύπωση.

Με βάση τα παραπάνω, είναι βολικό να επισημοποιήσετε τη λύση σε δύο βήματα:

1) Ας υπολογίσουμε το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων κατεύθυνσης των γραμμών:
, που σημαίνει ότι οι γραμμές δεν είναι κάθετες.

2) Βρείτε τη γωνία μεταξύ των ευθειών χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Χρησιμοποιώντας την αντίστροφη συνάρτηση, είναι εύκολο να βρείτε την ίδια τη γωνία. Σε αυτήν την περίπτωση, χρησιμοποιούμε την περιττότητα της εφαπτομένης (βλ. Γραφήματα και ιδιότητες στοιχειωδών συναρτήσεων):

Απάντηση:

Στην απάντησή σας, υποδεικνύουμε την ακριβή τιμή, καθώς και μια κατά προσέγγιση τιμή (κατά προτίμηση και σε μοίρες και ακτίνια), που υπολογίζεται χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή.

Λοιπόν, μείον, μείον, δεν υπάρχει μεγάλη υπόθεση. Εδώ είναι μια γεωμετρική απεικόνιση:

Δεν προκαλεί έκπληξη το γεγονός ότι η γωνία αποδείχθηκε αρνητικός προσανατολισμός, επειδή στη δήλωση του προβλήματος ο πρώτος αριθμός είναι μια ευθεία γραμμή και το "ξεβίδωμα" της γωνίας ξεκίνησε ακριβώς με αυτό.

Εάν θέλετε πραγματικά να έχετε μια θετική γωνία, πρέπει να ανταλλάξετε τις γραμμές, δηλαδή να πάρετε τους συντελεστές από τη δεύτερη εξίσωση , και πάρτε τους συντελεστές από την πρώτη εξίσωση. Εν ολίγοις, πρέπει να ξεκινήσετε με ένα άμεσο .

Διατύπωση του προβλήματος. Να βρείτε τις συντεταγμένες ενός σημείου συμμετρικού προς ένα σημείο σε σχέση με το αεροπλάνο.

Σχέδιο λύσης.

1. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας που είναι κάθετη σε ένα δεδομένο επίπεδο και διέρχεται από το σημείο . Εφόσον μια ευθεία είναι κάθετη σε ένα δεδομένο επίπεδο, τότε το κανονικό διάνυσμα του επιπέδου μπορεί να ληφθεί ως διάνυσμα κατεύθυνσής του, δηλ.

.

Επομένως η εξίσωση της ευθείας θα είναι

.

2. Βρείτε το σημείο τομή μιας ευθείας γραμμής και αεροπλάνα (βλ. πρόβλημα 13).

3. Σημείο είναι το μέσο του τμήματος όπου το σημείο είναι ένα σημείο συμμετρικό προς το σημείο , Να γιατί

Πρόβλημα 14. Βρείτε ένα σημείο συμμετρικό προς το σημείο σε σχέση με το επίπεδο.

Η εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα σημείο κάθετο σε ένα δεδομένο επίπεδο θα είναι:

.

Ας βρούμε το σημείο τομής της ευθείας και του επιπέδου.

Οπου – το σημείο τομής μιας ευθείας και ενός επιπέδου είναι επομένως το μέσο του τμήματος

Εκείνοι. .

Συντεταγμένες ομοιογενούς επιπέδου. Affine μετασχηματισμοί στο αεροπλάνο.

Αφήνω Μ ΧΚαι στο

Μ(Χ, στοMae (Χ, στο, 1) στο διάστημα (Εικ. 8).

Mae (Χ, στο

Mae (Χ, στο hu.

(hx, hy, h), h  0,

Σχόλιο

η(Για παράδειγμα, η

Στην πραγματικότητα, λαμβάνοντας υπόψη η

Σχόλιο

Παράδειγμα 1.

σι) σε γωνία (Εικ. 9).

1ο βήμα.

2ο βήμα.Περιστροφή κατά γωνία 

μήτρα του αντίστοιχου μετασχηματισμού.

3ο βήμα.Μεταφορά στο διάνυσμα A(a, σι)

μήτρα του αντίστοιχου μετασχηματισμού.

Παράδειγμα 3

 κατά μήκος του άξονα x και

1ο βήμα.

μήτρα του αντίστοιχου μετασχηματισμού.

2ο βήμα.

3ο βήμα.

θα το πάρουμε επιτέλους

Σχόλιο

[R], [D], [M], [T],

Αφήνω Μ- αυθαίρετο σημείο του επιπέδου με συντεταγμένες ΧΚαι στο, υπολογισμένο σε σχέση με ένα δεδομένο ευθύγραμμο σύστημα συντεταγμένων. Οι ομοιογενείς συντεταγμένες αυτού του σημείου είναι οποιοδήποτε τριπλό ταυτόχρονα μη μηδενικών αριθμών x 1, x 2, x 3, που σχετίζονται με τους δεδομένους αριθμούς x και y με τις ακόλουθες σχέσεις:

Κατά την επίλυση προβλημάτων γραφικών υπολογιστή, συνήθως εισάγονται ομοιογενείς συντεταγμένες ως εξής: σε ένα αυθαίρετο σημείο Μ(Χ, στο) το επίπεδο έχει ένα σημείο Mae (Χ, στο, 1) στο διάστημα (Εικ. 8).

Σημειώστε ότι ένα αυθαίρετο σημείο στη γραμμή που συνδέει την αρχή, το σημείο 0(0, 0, 0), με το σημείο Mae (Χ, στο, 1), μπορεί να δοθεί από ένα τριπλό αριθμών της μορφής (hx, hy, h).

Το διάνυσμα με συντεταγμένες hx, hy, είναι το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας γραμμής που συνδέει τα σημεία 0 (0, 0, 0) και Mae (Χ, στο, 1). Αυτή η ευθεία τέμνει το επίπεδο z = 1 στο σημείο (x, y, 1), το οποίο ορίζει μοναδικά το σημείο (x, y) του επιπέδου συντεταγμένων hu.

Έτσι, μεταξύ ενός αυθαίρετου σημείου με συντεταγμένες (x, y) και ενός συνόλου τριπλών αριθμών της μορφής

(hx, hy, h), h  0,

καθιερώνεται μια αντιστοιχία (ένα προς ένα) που μας επιτρέπει να θεωρήσουμε τους αριθμούς hx, hy, h ως νέες συντεταγμένες αυτού του σημείου.

Σχόλιο

Χρησιμοποιούνται ευρέως στην προβολική γεωμετρία, οι ομοιογενείς συντεταγμένες καθιστούν δυνατή την αποτελεσματική περιγραφή των λεγόμενων ακατάλληλων στοιχείων (ουσιαστικά εκείνων στα οποία το προβολικό επίπεδο διαφέρει από το γνωστό ευκλείδειο επίπεδο). Περισσότερες λεπτομέρειες σχετικά με τις νέες δυνατότητες που παρέχονται από τις εισαγόμενες ομοιογενείς συντεταγμένες συζητούνται στην τέταρτη ενότητα αυτού του κεφαλαίου.

Στην προβολική γεωμετρία για ομογενείς συντεταγμένες, γίνεται αποδεκτός ο ακόλουθος συμβολισμός:

x:y:1 ή, γενικότερα, x1:x2:x3

(θυμηθείτε ότι εδώ απαιτείται απολύτως οι αριθμοί x 1, x 2, x 3 να μην μηδενίζονται ταυτόχρονα).

Η χρήση ομοιογενών συντεταγμένων αποδεικνύεται βολική ακόμη και όταν επιλύονται τα πιο απλά προβλήματα.

Εξετάστε, για παράδειγμα, ζητήματα που σχετίζονται με αλλαγές στην κλίμακα. Εάν η συσκευή προβολής λειτουργεί μόνο με ακέραιους αριθμούς (ή εάν πρέπει να εργαστείτε μόνο με ακέραιους αριθμούς), τότε για μια αυθαίρετη τιμή η(Για παράδειγμα, η= 1) ένα σημείο με ομοιογενείς συντεταγμένες

αδύνατο να φανταστεί κανείς. Ωστόσο, με μια λογική επιλογή του h, είναι δυνατό να διασφαλιστεί ότι οι συντεταγμένες αυτού του σημείου είναι ακέραιοι. Συγκεκριμένα, για h = 10 για το υπό εξέταση παράδειγμα έχουμε

Ας δούμε μια άλλη περίπτωση. Για να αποτρέψετε τα αποτελέσματα του μετασχηματισμού να οδηγήσουν σε αριθμητική υπερχείλιση, για ένα σημείο με συντεταγμένες (80000 40000 1000) μπορείτε να πάρετε, για παράδειγμα, h=0,001. Ως αποτέλεσμα παίρνουμε (80 40 1).

Τα παραδείγματα που δίνονται δείχνουν τη χρησιμότητα της χρήσης ομοιογενών συντεταγμένων κατά την εκτέλεση υπολογισμών. Ωστόσο, ο κύριος σκοπός της εισαγωγής ομοιογενών συντεταγμένων στα γραφικά υπολογιστών είναι η αναμφισβήτητη ευκολία τους στην εφαρμογή σε γεωμετρικούς μετασχηματισμούς.

Χρησιμοποιώντας τριάδες ομοιογενών συντεταγμένων και πίνακες τρίτης τάξης, μπορεί να περιγραφεί οποιοσδήποτε συγγενικός μετασχηματισμός ενός επιπέδου.

Στην πραγματικότητα, λαμβάνοντας υπόψη η= 1, συγκρίνετε δύο καταχωρήσεις: σημειώνονται με το σύμβολο * και τον ακόλουθο πίνακα:

Είναι εύκολο να δούμε ότι μετά τον πολλαπλασιασμό των παραστάσεων στη δεξιά πλευρά της τελευταίας σχέσης, λαμβάνουμε και τους δύο τύπους (*) και τη σωστή αριθμητική ισότητα 1=1.

Σχόλιο

Μερικές φορές στη βιβλιογραφία χρησιμοποιείται μια άλλη σημειογραφία - στηλώδης σημειογραφία:

Αυτή η σημείωση είναι ισοδύναμη με την παραπάνω σημειογραφία γραμμή προς γραμμή (και λαμβάνεται από αυτήν με μεταφορά).

Τα στοιχεία ενός πίνακα αυθαίρετου συγγενικού μετασχηματισμού δεν φέρουν ρητή γεωμετρική σημασία. Επομένως, για να υλοποιηθεί αυτή ή εκείνη η χαρτογράφηση, δηλαδή να βρεθούν τα στοιχεία της αντίστοιχης μήτρας σύμφωνα με μια δεδομένη γεωμετρική περιγραφή, χρειάζονται ειδικές τεχνικές. Τυπικά, η κατασκευή αυτής της μήτρας, σύμφωνα με την πολυπλοκότητα του προβλήματος που εξετάζεται και τις ειδικές περιπτώσεις που περιγράφονται παραπάνω, χωρίζεται σε διάφορα στάδια.

Σε κάθε στάδιο, αναζητείται ένας πίνακας που αντιστοιχεί σε μία ή την άλλη από τις παραπάνω περιπτώσεις A, B, C ή D, οι οποίες έχουν καλά καθορισμένες γεωμετρικές ιδιότητες.

Ας γράψουμε τους αντίστοιχους πίνακες τρίτης τάξης.

Α. Πίνακας περιστροφής

Β. Πίνακας διαστολής

Β. Πίνακας ανάκλασης

Δ. Πίνακας μεταφοράς (μετάφραση)

Ας εξετάσουμε παραδείγματα συγγενικών μετασχηματισμών του επιπέδου.

Παράδειγμα 1.

Κατασκευάστε έναν πίνακα περιστροφής γύρω από το σημείο Α (α,σι) σε γωνία (Εικ. 9).

1ο βήμα.Μεταφορά στο διάνυσμα – A (-a, -b) για ευθυγράμμιση του κέντρου περιστροφής με την αρχή των συντεταγμένων.

μήτρα του αντίστοιχου μετασχηματισμού.

2ο βήμα.Περιστροφή κατά γωνία 

μήτρα του αντίστοιχου μετασχηματισμού.

3ο βήμα.Μεταφορά στο διάνυσμα A(a, σι)να επαναφέρει το κέντρο περιστροφής στην προηγούμενη θέση του.

μήτρα του αντίστοιχου μετασχηματισμού.

Ας πολλαπλασιάσουμε τους πίνακες με την ίδια σειρά που είναι γραμμένοι:

Ως αποτέλεσμα, βρίσκουμε ότι ο επιθυμητός μετασχηματισμός (σε σημειογραφία μήτρας) θα μοιάζει με αυτό:

Τα στοιχεία του προκύπτοντος πίνακα (ειδικά στην τελευταία σειρά) δεν είναι τόσο εύκολο να θυμηθούν. Ταυτόχρονα, καθένας από τους τρεις πολλαπλασιαζόμενους πίνακες μπορεί εύκολα να κατασκευαστεί από τη γεωμετρική περιγραφή της αντίστοιχης χαρτογράφησης.

Παράδειγμα 3

Κατασκευάστε μια μήτρα τάνυσης με συντελεστές τάνυσης κατά μήκος του άξονα x και κατά μήκος του άξονα τεταγμένων και με το κέντρο στο σημείο Α(α, β).

1ο βήμα.Μεταφορά στο διάνυσμα -A(-a, -b) για να ευθυγραμμιστεί το κέντρο τάνυσης με την αρχή των συντεταγμένων.

μήτρα του αντίστοιχου μετασχηματισμού.

2ο βήμα.Τέντωμα κατά μήκος των αξόνων συντεταγμένων με συντελεστές  και , αντίστοιχα. ο πίνακας μετασχηματισμού έχει τη μορφή

3ο βήμα.Μεταφέρετε στο διάνυσμα A(a, b) για να επιστρέψετε το κέντρο τάσης στην προηγούμενη θέση του. μήτρα του αντίστοιχου μετασχηματισμού –

Πολλαπλασιασμός πινάκων με την ίδια σειρά

θα το πάρουμε επιτέλους

Σχόλιο

Συλλογισμός με παρόμοιο τρόπο, δηλαδή σπάζοντας τον προτεινόμενο μετασχηματισμό σε στάδια που υποστηρίζονται από πίνακες[R], [D], [M], [T], μπορεί κανείς να κατασκευάσει έναν πίνακα οποιουδήποτε συγγενικού μετασχηματισμού από τη γεωμετρική του περιγραφή.

Η μετατόπιση υλοποιείται με πρόσθεση και η κλιμάκωση και η περιστροφή υλοποιούνται με πολλαπλασιασμό.

Scaling Transform (διαστολή) σε σχέση με την προέλευση έχει τη μορφή:

ή σε μορφή μήτρας:

Οπου ρεΧ,ρεyείναι οι παράγοντες κλιμάκωσης κατά μήκος των αξόνων, και

- μήτρα κλιμάκωσης.

Όταν D > 1, εμφανίζεται επέκταση, όταν 0<=D<1- сжатие

Μετασχηματισμός περιστροφής σε σχέση με την προέλευση έχει τη μορφή:

ή σε μορφή μήτρας:

όπου φ είναι η γωνία περιστροφής, και

- μήτρα περιστροφής.

Σχόλιο:Οι στήλες και οι σειρές του πίνακα περιστροφής είναι αμοιβαία ορθογώνια μοναδιαία διανύσματα. Στην πραγματικότητα, τα τετράγωνα των μηκών των διανυσμάτων σειρών είναι ίσα με ένα:

cosφ cosφ+sinφ sinφ = 1 και (-sinφ) (-sinφ)+cosφ cosφ = 1,

και το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων σειρών είναι

cosφ (-sinφ) + sinφ cosφ= 0.

Δεδομένου ότι το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων ΕΝΑ · σι = |ΕΝΑ| ·| σι| ·cosψ, όπου | ΕΝΑ| - διανυσματικό μήκος ΕΝΑ, |σι| - διανυσματικό μήκος σι, και ψ είναι η μικρότερη θετική γωνία μεταξύ τους, τότε από την ισότητα 0 του βαθμωτού γινόμενου δύο διανυσμάτων σειρών μήκους 1 προκύπτει ότι η μεταξύ τους γωνία είναι 90 °.

Ας μας δοθεί μια συγκεκριμένη ευθεία γραμμή, που ορίζεται από μια γραμμική εξίσωση, και ένα σημείο, που ορίζεται από τις συντεταγμένες της (x0, y0) και δεν βρίσκεται σε αυτήν την ευθεία. Απαιτείται να βρεθεί ένα σημείο που θα ήταν συμμετρικό σε ένα δεδομένο σημείο για μια δεδομένη ευθεία γραμμή, δηλαδή θα συμπίπτει με αυτό εάν το επίπεδο κάμπτεται νοερά στο μισό κατά μήκος αυτής της ευθείας.

Οδηγίες

1. Είναι σαφές ότι και τα δύο σημεία - το δεδομένο και το επιθυμητό - πρέπει να βρίσκονται στην ίδια ευθεία και αυτή η γραμμή πρέπει να είναι κάθετη στη δεδομένη. Έτσι, το πρώτο μέρος του προβλήματος είναι να ανακαλύψουμε την εξίσωση μιας ευθείας που θα είναι κάθετη σε κάποια δεδομένη ευθεία και ταυτόχρονα θα διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο.

2. Μια ευθεία γραμμή μπορεί να καθοριστεί με δύο τρόπους. Η κανονική εξίσωση μιας ευθείας μοιάζει με αυτό: Ax + By + C = 0, όπου τα A, B και C είναι σταθερές. Μπορείτε επίσης να προσδιορίσετε μια ευθεία χρησιμοποιώντας μια γραμμική συνάρτηση: y = kx + b, όπου k είναι ο γωνιακός εκθέτης, b είναι η μετατόπιση. Αυτές οι δύο μέθοδοι είναι εναλλάξιμες και μπορείτε να μετακινηθείτε από τη μία στην άλλη. Αν Ax + By + C = 0, τότε y = – (Ax + C)/B. Με άλλα λόγια, σε μια γραμμική συνάρτηση y = kx + b, ο γωνιακός εκθέτης k = -A/B, και η μετατόπιση b = -C/B. Για τη συγκεκριμένη εργασία, είναι πιο άνετο να συλλογιστούμε με βάση την κανονική εξίσωση της ευθείας γραμμής.

3. Εάν δύο ευθείες είναι κάθετες μεταξύ τους και η εξίσωση της πρώτης γραμμής είναι Ax + By + C = 0, τότε η εξίσωση της 2ης γραμμής θα πρέπει να μοιάζει με Bx – Ay + D = 0, όπου D είναι μια σταθερά. Για να ανιχνεύσουμε μια ορισμένη τιμή του D, είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε επιπλέον από ποιο σημείο διέρχεται η κάθετη ευθεία. Σε αυτή την περίπτωση, αυτό είναι το σημείο (x0, y0) Κατά συνέπεια, το D πρέπει να ικανοποιεί την ισότητα: Bx0 – Ay0 + D = 0, δηλαδή D = Ay0 – Bx0.

4. Αφού ανακαλυφθεί η κάθετη ευθεία, είναι απαραίτητο να υπολογιστούν οι συντεταγμένες του σημείου τομής της με το δεδομένο. Για να γίνει αυτό, πρέπει να λύσετε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων: Ax + By + C = 0, Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0. Η λύση του θα δώσει τους αριθμούς (x1, y1), οι οποίοι χρησιμεύουν ως συντεταγμένες του το σημείο τομής των γραμμών.

5. Το επιθυμητό σημείο πρέπει να βρίσκεται στην ευθεία που ανιχνεύεται και η απόστασή του από το σημείο τομής πρέπει να είναι ίση με την απόσταση από το σημείο τομής στο σημείο (x0, y0). Οι συντεταγμένες ενός σημείου συμμετρικού προς το σημείο (x0, y0) μπορούν λοιπόν να βρεθούν λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων: Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0,?((x1 – x0)^2 + (y1 – y0) ^2 = ?((x – x1)^2 + (y – y1)^2).

6. Αλλά μπορείτε να το κάνετε πιο εύκολα. Αν τα σημεία (x0, y0) και (x, y) βρίσκονται σε ίσες αποστάσεις από το σημείο (x1, y1), και τα τρία σημεία βρίσκονται στην ίδια ευθεία, τότε: x – x1 = x1 – x0,y – y1 = y1 – y0 Κατά συνέπεια, x = 2×1 – x0, y = 2y1 – y0. Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές στη δεύτερη εξίσωση του πρώτου συστήματος και απλοποιώντας τις εκφράσεις, είναι εύκολο να βεβαιωθείτε ότι η δεξιά πλευρά του γίνεται ίδια με την αριστερή. Επιπλέον, δεν έχει νόημα να εξετάσουμε περαιτέρω την πρώτη εξίσωση, καθώς είναι γνωστό ότι τα σημεία (x0, y0) και (x1, y1) την ικανοποιούν και το σημείο (x, y) βρίσκεται προφανώς στην ίδια ευθεία. .