Εάν οι δείκτες είναι ίδιοι αλλά οι λόγοι είναι διαφορετικοί. Μάθημα "Πολλαπλασιασμός και διαίρεση δυνάμεων"

Κάθε αριθμητική πράξη μερικές φορές γίνεται πολύ δυσκίνητη για να γραφτεί και προσπαθούν να την απλοποιήσουν. Κάποτε αυτό συνέβαινε με την πράξη προσθήκης. Οι άνθρωποι έπρεπε να κάνουν επαναλαμβανόμενες προσθήκες του ίδιου τύπου, για παράδειγμα, για να υπολογίσουν το κόστος εκατό περσικών χαλιών, το κόστος των οποίων είναι 3 χρυσά νομίσματα για το καθένα. 3+3+3+…+3 = 300. Λόγω της δυσκίνητης φύσης του, αποφασίστηκε να συντομευτεί ο συμβολισμός σε 3 * 100 = 300. Στην πραγματικότητα, ο συμβολισμός "τρεις φορές εκατό" σημαίνει ότι πρέπει να πάρετε ένα εκατό τρία και προσθέστε τα μαζί. Ο πολλαπλασιασμός έπιασε και απέκτησε γενική δημοτικότητα. Αλλά ο κόσμος δεν στέκεται ακίνητος, και στον Μεσαίωνα προέκυψε η ανάγκη να πραγματοποιηθεί επαναλαμβανόμενος πολλαπλασιασμός του ίδιου τύπου. Θυμάμαι ένα παλιό ινδικό αίνιγμα για έναν σοφό που ζήτησε κόκκους σιταριού στις ακόλουθες ποσότητες ως ανταμοιβή για τη δουλειά που έκανε: για το πρώτο τετράγωνο της σκακιέρας ζήτησε έναν κόκκο, για το δεύτερο - δύο, για το τρίτο - τέσσερα, για το πέμπτο - οκτώ, και ούτω καθεξής. Έτσι εμφανίστηκε ο πρώτος πολλαπλασιασμός των δυνάμεων, γιατί ο αριθμός των κόκκων ήταν ίσος με δύο με τη δύναμη του αριθμού των κυττάρων. Για παράδειγμα, στο τελευταίο κελί θα υπήρχαν 2*2*2*...*2 = 2^63 κόκκοι, που ισούται με έναν αριθμό μήκους 18 χαρακτήρων, που, στην πραγματικότητα, είναι η έννοια του γρίφου.

Η λειτουργία της εκθέσεως έπιασε αρκετά γρήγορα και γρήγορα προέκυψε και η ανάγκη για πρόσθεση, αφαίρεση, διαίρεση και πολλαπλασιασμό των δυνάμεων. Το τελευταίο αξίζει να εξεταστεί με περισσότερες λεπτομέρειες. Οι τύποι για την προσθήκη δυνάμεων είναι απλοί και εύκολο να θυμάστε. Επιπλέον, είναι πολύ εύκολο να καταλάβουμε από πού προέρχονται εάν η λειτουργία ισχύος αντικατασταθεί από πολλαπλασιασμό. Αλλά πρώτα πρέπει να κατανοήσετε κάποια βασική ορολογία. Η έκφραση a^b (διαβάστε "a στη δύναμη του b") σημαίνει ότι ο αριθμός a πρέπει να πολλαπλασιαστεί από τον εαυτό του b φορές, με το "a" να ονομάζεται βάση της ισχύος και το "b" ο εκθέτης ισχύος. Αν οι βάσεις των μοιρών είναι ίδιες, τότε οι τύποι προκύπτουν πολύ απλά. Συγκεκριμένο παράδειγμα: βρείτε την τιμή της παράστασης 2^3 * 2^4. Για να μάθετε τι πρέπει να συμβεί, θα πρέπει να μάθετε την απάντηση στον υπολογιστή πριν ξεκινήσετε τη λύση. Εισάγοντας αυτήν την έκφραση σε οποιαδήποτε ηλεκτρονική αριθμομηχανή, μηχανή αναζήτησης, πληκτρολογώντας «πολλαπλασιάζοντας δυνάμεις με διαφορετικές βάσεις και τα ίδια» ή ένα μαθηματικό πακέτο, η έξοδος θα είναι 128. Τώρα ας γράψουμε αυτήν την έκφραση: 2^3 = 2*2*2, και 2^4 = 2 *2*2*2. Αποδεικνύεται ότι 2^3 * 2^4 = 2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 2^(3+4) . Αποδεικνύεται ότι το γινόμενο των δυνάμεων με την ίδια βάση είναι ίσο με τη βάση που αυξάνεται σε δύναμη ίση με το άθροισμα των δύο προηγούμενων δυνάμεων.

Μπορεί να νομίζετε ότι πρόκειται για ατύχημα, αλλά όχι: οποιοδήποτε άλλο παράδειγμα μπορεί μόνο να επιβεβαιώσει αυτόν τον κανόνα. Έτσι, γενικά, ο τύπος μοιάζει με αυτό: a^n * a^m = a^(n+m) . Υπάρχει επίσης ένας κανόνας ότι οποιοσδήποτε αριθμός στη μηδενική ισχύ είναι ίσος με ένα. Εδώ θα πρέπει να θυμόμαστε τον κανόνα των αρνητικών δυνάμεων: a^(-n) = 1 / a^n. Δηλαδή, αν 2^3 = 8, τότε 2^(-3) = 1/8. Χρησιμοποιώντας αυτόν τον κανόνα, μπορείτε να αποδείξετε την εγκυρότητα της ισότητας a^0 = 1: a^0 = a^(n-n) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^( n) , το a^ (n) μπορεί να μειωθεί και ένα παραμένει. Από εδώ προκύπτει ο κανόνας ότι το πηλίκο των δυνάμεων με τις ίδιες βάσεις είναι ίσο με αυτή τη βάση σε βαθμό ίσο με το πηλίκο του μερίσματος και του διαιρέτη: a^n: a^m = a^(n-m) . Παράδειγμα: απλοποιήστε την έκφραση 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0: 2^(-2) . Ο πολλαπλασιασμός είναι μια αντισταθμιστική πράξη, επομένως, πρέπει πρώτα να προσθέσετε τους εκθέτες πολλαπλασιασμού: 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 =2. Στη συνέχεια, πρέπει να αντιμετωπίσετε τη διαίρεση από μια αρνητική δύναμη. Είναι απαραίτητο να αφαιρέσουμε τον εκθέτη του διαιρέτη από τον εκθέτη του μερίσματος: 2^1: 2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3 = 8. Αποδεικνύεται ότι η πράξη διαίρεσης με αρνητικό βαθμό είναι ταυτόσημη με την πράξη πολλαπλασιασμού με παρόμοιο θετικό εκθέτη. Άρα η τελική απάντηση είναι 8.

Υπάρχουν παραδείγματα όπου λαμβάνει χώρα μη κανονικός πολλαπλασιασμός δυνάμεων. Ο πολλαπλασιασμός των δυνάμεων με διαφορετικές βάσεις είναι συχνά πολύ πιο δύσκολος, και μερικές φορές ακόμη και αδύνατος. Θα πρέπει να δοθούν ορισμένα παραδείγματα διαφορετικών πιθανών τεχνικών. Παράδειγμα: απλοποιήστε την έκφραση 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729. Προφανώς, υπάρχει πολλαπλασιασμός δυνάμεων με διαφορετικές βάσεις. Αλλά πρέπει να σημειωθεί ότι όλες οι βάσεις είναι διαφορετικές δυνάμεις των τριών. 9 = 3^2,1 = 3^4,3 = 3^5,9 = 3^6. Χρησιμοποιώντας τον κανόνα (a^n) ^m = a^(n*m) , θα πρέπει να ξαναγράψετε την έκφραση σε μια πιο βολική μορφή: 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * ( 3^5) ^(-2) * 3^6 = 3^7 * 3^(-4) * 3^(12) * 3^(-10) * 3^6 = 3^(7 -4+12 -10+6) = 3^(11) . Απάντηση: 3^11. Σε περιπτώσεις που οι βάσεις είναι διαφορετικές, ο κανόνας a^n * b^n = (a*b) ^n λειτουργεί για ίσους δείκτες. Για παράδειγμα, 3^3 * 7^3 = 21^3. Διαφορετικά, όταν οι βάσεις και οι εκθέτες είναι διαφορετικοί, δεν μπορεί να πραγματοποιηθεί πλήρης πολλαπλασιασμός. Μερικές φορές μπορείτε να απλοποιήσετε εν μέρει ή να καταφύγετε στη βοήθεια της τεχνολογίας υπολογιστών.

Τύποι πτυχίωνχρησιμοποιείται στη διαδικασία μείωσης και απλοποίησης σύνθετων εκφράσεων, στην επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων.

Αριθμός ντοείναι n-η δύναμη ενός αριθμού έναΟταν:

Επιχειρήσεις με πτυχία.

1. Πολλαπλασιάζοντας τις μοίρες με την ίδια βάση, προστίθενται οι δείκτες τους:

ένα μ·a n = a m + n .

2. Κατά τη διαίρεση των μοιρών με την ίδια βάση, οι εκθέτες τους αφαιρούνται:

3. Ο βαθμός του γινομένου 2 ή περισσότερων παραγόντων είναι ίσος με το γινόμενο των βαθμών αυτών των παραγόντων:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Ο βαθμός ενός κλάσματος είναι ίσος με τον λόγο των μοιρών του μερίσματος και του διαιρέτη:

(a/b) n = a n /b n .

5. Ανεβάζοντας μια δύναμη σε δύναμη, οι εκθέτες πολλαπλασιάζονται:

(a m) n = a m n .

Κάθε τύπος παραπάνω ισχύει στις κατευθύνσεις από αριστερά προς τα δεξιά και αντίστροφα.

Για παράδειγμα. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Επεμβάσεις με ρίζες.

1. Η ρίζα του γινομένου πολλών παραγόντων είναι ίση με το γινόμενο των ριζών αυτών των παραγόντων:

2. Η ρίζα ενός λόγου είναι ίση με τον λόγο του μερίσματος και του διαιρέτη των ριζών:

3. Όταν ανεβάζετε μια ρίζα σε δύναμη, αρκεί να αυξήσετε τον ριζικό αριθμό σε αυτήν την ισχύ:

4. Αν αυξήσετε το βαθμό της ρίζας μέσα nμια φορά και ταυτόχρονα ενσωματώνονται nη ισχύς είναι ένας ριζικός αριθμός, τότε η τιμή της ρίζας δεν θα αλλάξει:

5. Αν μειώσετε το βαθμό της ρίζας μέσα nεξάγετε τη ρίζα ταυτόχρονα n-η δύναμη ενός ριζικού αριθμού, τότε η τιμή της ρίζας δεν θα αλλάξει:

Βαθμός με αρνητικό εκθέτη.Η ισχύς ενός ορισμένου αριθμού με έναν μη θετικό (ακέραιο) εκθέτη ορίζεται ως ένας διαιρούμενος με τη δύναμη του ίδιου αριθμού με έναν εκθέτη ίσο με την απόλυτη τιμή του μη θετικού εκθέτη:

Τύπος ένα μ:a n =a m - nμπορεί να χρησιμοποιηθεί όχι μόνο για m> n, αλλά και με m< n.

Για παράδειγμα. ένα4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Στη φόρμουλα ένα μ:a n =a m - nέγινε δίκαιο όταν m=n, απαιτείται η παρουσία μηδενικού βαθμού.

Πτυχίο με μηδενικό δείκτη.Η ισχύς οποιουδήποτε αριθμού που δεν ισούται με μηδέν με μηδενικό εκθέτη είναι ίση με ένα.

Για παράδειγμα. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Βαθμός με κλασματικό εκθέτη.Για να αυξήσετε έναν πραγματικό αριθμό ΕΝΑστον βαθμό m/n, πρέπει να εξαγάγετε τη ρίζα nο βαθμός του m-η δύναμη αυτού του αριθμού ΕΝΑ.

Η έννοια του πτυχίου στα μαθηματικά εισάγεται στην 7η τάξη στο μάθημα της άλγεβρας. Και στη συνέχεια, σε όλη τη διάρκεια της μελέτης των μαθηματικών, αυτή η έννοια χρησιμοποιείται ενεργά στις διάφορες μορφές της. Τα πτυχία είναι ένα αρκετά δύσκολο θέμα, που απαιτεί απομνημόνευση των αξιών και την ικανότητα να μετράει σωστά και γρήγορα. Για να δουλέψουν με βαθμούς γρηγορότερα και καλύτερα, οι μαθηματικοί βρήκαν ιδιότητες πτυχίων. Βοηθούν στη μείωση των μεγάλων υπολογισμών, μετατρέποντας ένα τεράστιο παράδειγμα σε έναν μόνο αριθμό σε κάποιο βαθμό. Δεν υπάρχουν τόσες πολλές ιδιότητες, και όλες είναι εύκολο να τις θυμάστε και να τις εφαρμόσετε στην πράξη. Επομένως, το άρθρο εξετάζει τις βασικές ιδιότητες του πτυχίου, καθώς και πού εφαρμόζονται.

Ιδιότητες πτυχίου

Θα εξετάσουμε 12 ιδιότητες μοιρών, συμπεριλαμβανομένων των ιδιοτήτων μοιρών με τις ίδιες βάσεις, και θα δώσουμε ένα παράδειγμα για κάθε ιδιότητα. Κάθε μία από αυτές τις ιδιότητες θα σας βοηθήσει να λύσετε προβλήματα με βαθμούς πιο γρήγορα και θα σας εξοικονομήσει από πολλά υπολογιστικά σφάλματα.

1η ιδιοκτησία.

Πολλοί άνθρωποι πολύ συχνά ξεχνούν αυτή την ιδιότητα και κάνουν λάθη, αντιπροσωπεύοντας έναν αριθμό στη μηδενική ισχύ ως μηδέν.

2η ιδιοκτησία.

3η ιδιοκτησία.

Πρέπει να θυμόμαστε ότι αυτή η ιδιότητα μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο κατά τον πολλαπλασιασμό αριθμών, δεν λειτουργεί με άθροισμα! Και δεν πρέπει να ξεχνάμε ότι αυτή και οι ακόλουθες ιδιότητες ισχύουν μόνο για δυνάμεις με τις ίδιες βάσεις.

4η ιδιοκτησία.

Εάν ένας αριθμός στον παρονομαστή αυξηθεί σε αρνητική ισχύ, τότε κατά την αφαίρεση, ο βαθμός του παρονομαστή λαμβάνεται σε παρένθεση για να αλλάξει σωστά το πρόσημο σε περαιτέρω υπολογισμούς.

Το ακίνητο λειτουργεί μόνο κατά τη διαίρεση, δεν ισχύει κατά την αφαίρεση!

5η ιδιοκτησία.

6η ιδιοκτησία.

Αυτή η ιδιότητα μπορεί να εφαρμοστεί και προς την αντίθετη κατεύθυνση. Μια μονάδα διαιρούμενη με έναν αριθμό σε κάποιο βαθμό είναι αυτός ο αριθμός στη μείον ισχύ.

7η ιδιοκτησία.

Αυτή η ιδιότητα δεν μπορεί να εφαρμοστεί σε άθροισμα και διαφορά! Η αύξηση του αθροίσματος ή της διαφοράς σε μια ισχύ χρησιμοποιεί συντομευμένους τύπους πολλαπλασιασμού αντί για ιδιότητες ισχύος.

8η ιδιοκτησία.

9η ιδιοκτησία.

Αυτή η ιδιότητα λειτουργεί για κάθε κλασματική ισχύ με αριθμητή ίσο με ένα, ο τύπος θα είναι ο ίδιος, μόνο η ισχύς της ρίζας θα αλλάξει ανάλογα με τον παρονομαστή της δύναμης.

Αυτή η ιδιότητα χρησιμοποιείται επίσης συχνά αντίστροφα. Η ρίζα οποιασδήποτε δύναμης ενός αριθμού μπορεί να αναπαρασταθεί ως ο αριθμός στη δύναμη του ενός διαιρεμένος με τη δύναμη της ρίζας. Αυτή η ιδιότητα είναι πολύ χρήσιμη σε περιπτώσεις όπου η ρίζα ενός αριθμού δεν μπορεί να εξαχθεί.

10η ιδιοκτησία.

Αυτή η ιδιοκτησία λειτουργεί όχι μόνο με τετραγωνικές ρίζες και δεύτερες δυνάμεις. Αν ο βαθμός της ρίζας και ο βαθμός ανύψωσης αυτής της ρίζας συμπίπτουν, τότε η απάντηση θα είναι μια ριζική έκφραση.

11η ιδιοκτησία.

Πρέπει να μπορείτε να δείτε έγκαιρα αυτήν την ιδιότητα όταν την λύνετε για να γλυτώσετε από τεράστιους υπολογισμούς.

12η ιδιοκτησία.

Κάθε μία από αυτές τις ιδιότητες θα σας συναντήσει περισσότερες από μία φορές σε εργασίες μπορεί να δοθεί στην καθαρή της μορφή ή μπορεί να απαιτήσει κάποιους μετασχηματισμούς και τη χρήση άλλων τύπων. Επομένως, για να πάρετε τη σωστή απόφαση, δεν αρκεί να γνωρίζετε μόνο τις ιδιότητες που χρειάζεστε για να εξασκηθείτε και να ενσωματώσετε άλλες μαθηματικές γνώσεις.

Εφαρμογή πτυχίων και των ιδιοτήτων τους

Χρησιμοποιούνται ενεργά στην άλγεβρα και τη γεωμετρία. Τα πτυχία στα μαθηματικά έχουν ξεχωριστή, σημαντική θέση. Με τη βοήθειά τους, λύνονται εκθετικές εξισώσεις και ανισώσεις και εξισώσεις και παραδείγματα που σχετίζονται με άλλους κλάδους των μαθηματικών συχνά περιπλέκονται από δυνάμεις. Οι δυνάμεις βοηθούν στην αποφυγή μεγάλων και μακροσκελής υπολογισμών. Αλλά για να εργαστείτε με μεγάλες δυνάμεις ή με δυνάμεις μεγάλου αριθμού, πρέπει να γνωρίζετε όχι μόνο τις ιδιότητες της ισχύος, αλλά και να εργαστείτε άρτια με βάσεις, να μπορείτε να τις επεκτείνετε για να διευκολύνετε την εργασία σας. Για ευκολία, θα πρέπει επίσης να γνωρίζετε την έννοια των αριθμών που ανεβαίνουν σε δύναμη. Αυτό θα μειώσει τον χρόνο σας κατά την επίλυση, εξαλείφοντας την ανάγκη για μακροσκελούς υπολογισμούς.

Η έννοια του βαθμού παίζει ιδιαίτερο ρόλο στους λογάριθμους. Δεδομένου ότι ο λογάριθμος, στην ουσία, είναι δύναμη ενός αριθμού.

Οι συντετμημένοι τύποι πολλαπλασιασμού είναι ένα άλλο παράδειγμα χρήσης δυνάμεων. Οι ιδιότητες των βαθμών δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε αυτές, επεκτείνονται σύμφωνα με ειδικούς κανόνες, αλλά σε κάθε τύπο συντετμημένου πολλαπλασιασμού υπάρχουν πάντα βαθμοί.

Τα πτυχία χρησιμοποιούνται επίσης ενεργά στη φυσική και την επιστήμη των υπολογιστών. Όλες οι μετατροπές στο σύστημα SI γίνονται με χρήση δυνάμεων και στο μέλλον, κατά την επίλυση προβλημάτων, χρησιμοποιούνται οι ιδιότητες της ισχύος. Στην επιστήμη των υπολογιστών, οι δυνάμεις των δύο χρησιμοποιούνται ενεργά για την ευκολία της μέτρησης και την απλοποίηση της αντίληψης των αριθμών. Περαιτέρω υπολογισμοί για τη μετατροπή μονάδων μέτρησης ή υπολογισμοί προβλημάτων, όπως και στη φυσική, γίνονται χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των μοιρών.

Τα πτυχία είναι επίσης πολύ χρήσιμα στην αστρονομία, όπου σπάνια βλέπεις τη χρήση των ιδιοτήτων μιας μοίρας, αλλά οι ίδιες οι μοίρες χρησιμοποιούνται ενεργά για να συντομεύουν τη σημειογραφία διαφόρων μεγεθών και αποστάσεων.

Οι βαθμοί χρησιμοποιούνται επίσης στην καθημερινή ζωή, κατά τον υπολογισμό περιοχών, όγκων και αποστάσεων.

Τα πτυχία χρησιμοποιούνται για την καταγραφή πολύ μεγάλων και πολύ μικρών ποσοτήτων σε οποιοδήποτε τομέα της επιστήμης.

Εκθετικές εξισώσεις και ανισώσεις

Οι ιδιότητες των μοιρών κατέχουν ιδιαίτερη θέση ακριβώς στις εκθετικές εξισώσεις και ανισώσεις. Αυτές οι εργασίες είναι πολύ συνηθισμένες, τόσο στα σχολικά μαθήματα όσο και στις εξετάσεις. Όλα αυτά λύνονται εφαρμόζοντας τις ιδιότητες του βαθμού. Το άγνωστο βρίσκεται πάντα στον ίδιο τον βαθμό, επομένως η γνώση όλων των ιδιοτήτων, η επίλυση μιας τέτοιας εξίσωσης ή ανισότητας δεν είναι δύσκολη.

Στο τελευταίο μάθημα βίντεο, μάθαμε ότι ο βαθμός μιας ορισμένης βάσης είναι μια έκφραση που αντιπροσωπεύει το γινόμενο της βάσης από μόνη της, που λαμβάνεται σε ποσότητα ίση με τον εκθέτη. Ας μελετήσουμε τώρα μερικές από τις πιο σημαντικές ιδιότητες και λειτουργίες των δυνάμεων.

Για παράδειγμα, ας πολλαπλασιάσουμε δύο διαφορετικές δυνάμεις με την ίδια βάση:

Ας παρουσιάσουμε ολόκληρη την εργασία αυτή:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

Έχοντας υπολογίσει την τιμή αυτής της παράστασης, παίρνουμε τον αριθμό 32. Από την άλλη πλευρά, όπως φαίνεται από το ίδιο παράδειγμα, το 32 μπορεί να αναπαρασταθεί ως το γινόμενο της ίδιας βάσης (δύο), που λαμβάνεται 5 φορές. Και πράγματι, αν το μετρήσετε, τότε:

Έτσι, μπορούμε με βεβαιότητα να συμπεράνουμε ότι:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

Αυτός ο κανόνας λειτουργεί με επιτυχία για οποιουσδήποτε δείκτες και για οποιονδήποτε λόγο. Αυτή η ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ισχύος προκύπτει από τον κανόνα ότι η σημασία των εκφράσεων διατηρείται κατά τη διάρκεια μετασχηματισμών σε ένα γινόμενο. Για οποιαδήποτε βάση a, το γινόμενο δύο παραστάσεων (a)x και (a)y είναι ίσο με a(x + y). Με άλλα λόγια, όταν παράγονται οποιεσδήποτε εκφράσεις με την ίδια βάση, το μονώνυμο που προκύπτει έχει έναν συνολικό βαθμό που σχηματίζεται προσθέτοντας τους βαθμούς της πρώτης και της δεύτερης παραστάσεων.

Ο παρουσιαζόμενος κανόνας λειτουργεί επίσης εξαιρετικά κατά τον πολλαπλασιασμό πολλών εκφράσεων. Βασική προϋπόθεση είναι όλοι να έχουν τις ίδιες βάσεις. Για παράδειγμα:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

Είναι αδύνατο να προστεθούν μοίρες και μάλιστα να πραγματοποιηθούν κοινές ενέργειες βασισμένες στην εξουσία με δύο στοιχεία μιας έκφρασης εάν οι βάσεις τους είναι διαφορετικές.
Όπως δείχνει το βίντεό μας, λόγω της ομοιότητας των διαδικασιών πολλαπλασιασμού και διαίρεσης, οι κανόνες για την προσθήκη δυνάμεων σε ένα γινόμενο μεταφέρονται τέλεια στη διαδικασία διαίρεσης. Εξετάστε αυτό το παράδειγμα:

Ας μετατρέψουμε την έκφραση όρος προς όρο στην πλήρη μορφή της και ας μειώσουμε τα ίδια στοιχεία στο μέρισμα και στο διαιρέτη:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

Το τελικό αποτέλεσμα αυτού του παραδείγματος δεν είναι τόσο ενδιαφέρον, γιατί ήδη στη διαδικασία επίλυσής του είναι σαφές ότι η τιμή της έκφρασης είναι ίση με το τετράγωνο του δύο. Και είναι δύο που προκύπτει αφαιρώντας το βαθμό της δεύτερης έκφρασης από το βαθμό της πρώτης.

Για τον προσδιορισμό του βαθμού του πηλίκου, είναι απαραίτητο να αφαιρέσουμε τον βαθμό του διαιρέτη από τον βαθμό του μερίσματος. Ο κανόνας λειτουργεί με την ίδια βάση για όλες τις αξίες του και για όλες τις φυσικές δυνάμεις. Με τη μορφή αφαίρεσης έχουμε:

(α) x / (a) y = (α) x - y

Από τον κανόνα της διαίρεσης πανομοιότυπων βάσεων με μοίρες, ακολουθεί ο ορισμός για τη μηδενική μοίρα. Προφανώς, η ακόλουθη έκφραση μοιάζει με:

(α) x / (a) x = (a) (x - x) = (α) 0

Από την άλλη πλευρά, αν κάνουμε τη διαίρεση με πιο οπτικό τρόπο, παίρνουμε:

(α) 2 / (α) 2 = (α) (α) / (α) (α) = 1

Κατά την αναγωγή όλων των ορατών στοιχείων ενός κλάσματος, λαμβάνεται πάντα η έκφραση 1/1, δηλαδή ένα. Ως εκ τούτου, είναι γενικά αποδεκτό ότι οποιαδήποτε βάση ανυψώνεται στη μηδενική ισχύ είναι ίση με ένα:

Ανεξάρτητα από την τιμή του α.

Ωστόσο, θα ήταν παράλογο εάν το 0 (το οποίο εξακολουθεί να δίνει 0 για οποιονδήποτε πολλαπλασιασμό) είναι κατά κάποιο τρόπο ίσο με ένα, επομένως μια έκφραση της μορφής (0) 0 (μηδέν στη μηδενική ισχύ) απλά δεν έχει νόημα, και ο τύπος ( α) 0 = 1 προσθέστε μια συνθήκη: «αν το a δεν είναι ίσο με 0».

Ας λύσουμε την άσκηση. Ας βρούμε την τιμή της έκφρασης:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

Εφόσον η βάση είναι παντού ίδια και ίση με 34, η τελική τιμή θα έχει την ίδια βάση με ένα βαθμό (σύμφωνα με τους παραπάνω κανόνες):

Με άλλα λόγια:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

Απάντηση: η έκφραση ισούται με ένα.