Σε ένα πρακτικό μάθημα, θα εξετάσουμε αυτό το μονοπάτι και θα συγκρίνουμε τα αποτελέσματα της προσομοίωσης με τη θεωρητική λύση. Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων συστημάτων ουράς

Ένα μαθηματικό (αφηρημένο) αντικείμενο, τα στοιχεία του οποίου είναι (Εικ. 2.1):

• εισερχόμενη (εισερχόμενη) ροή εφαρμογών (απαιτήσεις) για εξυπηρέτηση.
• συσκευές εξυπηρέτησης (κανάλια).
• ουρά αιτήσεων σε αναμονή εξυπηρέτησης.
• ροή εξόδου (εξερχόμενης) των εξυπηρετούμενων εφαρμογών.
• ροή αιτημάτων για πρόσθετη υπηρεσία μετά τη διακοπή της υπηρεσίας·
• ροή μη επεξεργασμένων αιτημάτων.

Εφαρμογή(αίτημα, απαίτηση, κλήση, πελάτης, μήνυμα, πακέτο) - ένα αντικείμενο που εισέρχεται στο QS και απαιτεί σέρβις στη συσκευή. Ένα σύνολο διαδοχικών αιτημάτων που κατανέμονται με την πάροδο του χρόνου εισροή αιτημάτων.

Ρύζι. 2.1.

Συσκευή σέρβις(συσκευή, συσκευή, κανάλι, γραμμή, εργαλείο, αυτοκίνητο, δρομολογητής κ.λπ.) - ένα στοιχείο QS του οποίου ο σκοπός είναι να εξυπηρετήσει αιτήματα.

Υπηρεσία- καθυστέρηση της εφαρμογής στη συσκευή σέρβις για κάποιο χρονικό διάστημα.

Διάρκεια υπηρεσίας- χρόνος καθυστέρησης (σέρβις) του αιτήματος στη συσκευή.

Συσκευή αποθήκευσης(buffer, input buffer, output buffer) - ένα σύνολο θέσεων για αναμονή αιτημάτων μπροστά από τη συσκευή εξυπηρέτησης. Αριθμός θέσεων αναμονής - χωρητικότητα αποθήκευσης.

Μια αίτηση που λαμβάνεται από τον ΚΟΑ μπορεί να είναι σε δύο καταστάσεις:

• 1) υπηρεσία(στη συσκευή)
• 2) προσδοκίες(στο χώρο αποθήκευσης) εάν όλες οι συσκευές είναι απασχολημένες με την εξυπηρέτηση άλλων αιτημάτων.

Αιτήματα που βρίσκονται στη φόρμα αποθήκευσης και αναμονής υπηρεσίας Ουράεφαρμογές. Ο αριθμός των εφαρμογών στη δεξαμενή αποθήκευσης σε αναμονή υπηρεσίας - μήκος ουράς.

Προσωρινή πειθαρχία(Πειθαρχία ουράς) - ο κανόνας για την εισαγωγή εισερχόμενων αιτημάτων σε μια συσκευή αποθήκευσης (buffer).

Υπηρεσιακή πειθαρχία- ο κανόνας για την επιλογή εφαρμογών από την ουρά για σέρβις στη συσκευή.

Μια προτεραιότητα- δικαίωμα προτεραιότητας (κατάσχεση πόρων) για είσοδο στο χώρο αποθήκευσης ή επιλογή από μια ουρά για σέρβις στις εφαρμογές συσκευών μιας κατηγορίας σε σχέση με εφαρμογές άλλων κλάσεων.

Υπάρχουν πολλά συστήματα ουράς που διαφέρουν ως προς τη δομική και λειτουργική οργάνωση. Ταυτόχρονα, η ανάπτυξη αναλυτικών μεθόδων για τον υπολογισμό των δεικτών απόδοσης ενός συστήματος QS σε πολλές περιπτώσεις προϋποθέτει την παρουσία ορισμένων περιορισμών και υποθέσεων που περιορίζουν το σύνολο των υπό μελέτη συστημάτων QS. Να γιατί δεν υπάρχει γενικό αναλυτικό μοντέλο για ένα αυθαίρετο QS πολύπλοκης δομής.

Ένα αναλυτικό μοντέλο QS είναι ένα σύνολο εξισώσεων ή τύπων που καθιστούν δυνατό τον προσδιορισμό των πιθανοτήτων καταστάσεων του συστήματος κατά τη λειτουργία του και των δεικτών απόδοσης με βάση γνωστές παραμέτρους της εισερχόμενης ροής και των καναλιών εξυπηρέτησης, της προσωρινής αποθήκευσης και των κλάδων υπηρεσιών.

Η αναλυτική μοντελοποίηση ενός QS διευκολύνεται πολύ εάν οι διεργασίες που συμβαίνουν στο QS είναι Markovian (οι ροές των αιτημάτων είναι απλές, οι χρόνοι εξυπηρέτησης κατανέμονται εκθετικά). Στην περίπτωση αυτή, όλες οι διεργασίες στο QS μπορούν να περιγραφούν με συνηθισμένες διαφορικές εξισώσεις, και στην οριακή περίπτωση - για στατικές καταστάσεις - με γραμμικές αλγεβρικές εξισώσεις και, αφού τις λύσουμε χρησιμοποιώντας οποιεσδήποτε μεθόδους διαθέσιμες σε πακέτα μαθηματικού λογισμικού, να καθορίσουν τους επιλεγμένους δείκτες απόδοσης .

Στα συστήματα IM, κατά την εφαρμογή ενός QS, γίνονται αποδεκτοί οι ακόλουθοι περιορισμοί και υποθέσεις:

• αίτηση που ελήφθη στο σύστημα στη στιγμήγίνεται σέρβις εάν δεν υπάρχουν αιτήματα στην ουρά και η συσκευή είναι δωρεάν.
• Η συσκευή μπορεί να επισκευαστεί μόνο ανά πάσα στιγμή. έναςεφαρμογή;
• μετά το τέλος της εξυπηρέτησης οποιουδήποτε αιτήματος στη συσκευή, το επόμενο αίτημα επιλέγεται από την ουρά για εξυπηρέτηση αμέσως, δηλαδή η συσκευή δεν μένει αδρανήςεάν υπάρχει τουλάχιστον μία εφαρμογή στην ουρά.
• η παραλαβή των αιτήσεων στο QS και η διάρκεια της εξυπηρέτησής τους δεν εξαρτώνται από τον αριθμό των αιτήσεων που υπάρχουν ήδη στο σύστημα ή από άλλους παράγοντες.
• η διάρκεια των εφαρμογών εξυπηρέτησης δεν εξαρτάται από την ένταση των εφαρμογών που εισέρχονται στο σύστημα.

Ας δούμε μερικά στοιχεία του QS με περισσότερες λεπτομέρειες.

Εισαγωγή (εισερχόμενη) ροή εφαρμογών. Η ροή των γεγονότωνείναι μια ακολουθία ομοιογενών γεγονότων που διαδέχονται το ένα το άλλο και συμβαίνουν σε ορισμένα, γενικά, τυχαίοςστιγμές στο χρόνο. Εάν το συμβάν είναι η εμφάνιση των εφαρμογών, έχουμε ροή εφαρμογών.Για να περιγράψουμε τη ροή των εφαρμογών στη γενική περίπτωση, είναι απαραίτητο να ορίσουμε χρονικά διαστήματα t = tk - t k-1ανάμεσα σε παρακείμενες στιγμές tk_kΚαι tkπαραλαβή αιτήσεων με αύξοντες αριθμούς Προς την - 1 και Προς τηναντίστοιχα (Προς την - 1, 2, ...; t 0 - 0 - αρχικός χρόνος).

Το κύριο χαρακτηριστικό της ροής εφαρμογής είναι ένταση Χ- ο μέσος αριθμός των αιτήσεων που λαμβάνονται στην είσοδο του QS ανά μονάδα χρόνου. Τιμή t = 1/Χορίζει το μέσο χρονικό διάστημα μεταξύ δύο διαδοχικών εφαρμογών.

Το ρέμα λέγεται ντετερμινιστικήεάν υπάρχουν χρονικά διαστήματα t ναμεταξύ γειτονικών εφαρμογών λαμβάνουν ορισμένες προηγουμένως γνωστές τιμές. Αν τα μεσοδιαστήματα είναι ίδια (x k= t για όλους k = 1, 2, ...), τότε καλείται η ροή τακτικός.Για να περιγράψετε πλήρως την τακτική ροή των αιτημάτων, αρκεί να ορίσετε την ένταση της ροής Χή τιμή διαστήματος t = 1/Χ.

Ένα ρεύμα στο οποίο υπάρχουν χρονικά διαστήματα x kμεταξύ γειτονικών εφαρμογών ονομάζονται τυχαίες μεταβλητές τυχαίος.Για να περιγραφεί πλήρως η τυχαία ροή των αιτημάτων στη γενική περίπτωση, είναι απαραίτητο να καθοριστούν οι νόμοι κατανομής F fc (x fc) για κάθε ένα από τα χρονικά διαστήματα x k, k = 1,2,....

Μια τυχαία ροή στην οποία όλα τα χρονικά διαστήματα x b x 2,... μεταξύ γειτονικών διαδοχικών αιτημάτων είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές που περιγράφονται από τις συναρτήσεις διανομής FjCij), F 2 (x 2), ... κατά συνέπεια, ονομάζεται ροή με περιορισμένη συνέπεια.

Η τυχαία ροή ονομάζεται επαναλαμβανόμενος,εάν όλα τα χρονικά διαστήματα x β t 2, ... κατανέμεται μεταξύ των παραγγελιών σύμφωνα με τον ίδιο νόμο F(t). Υπάρχουν πολλά επαναλαμβανόμενα νήματα. Κάθε νόμος διανομής δημιουργεί τη δική του επαναλαμβανόμενη ροή. Οι επαναλαμβανόμενες ροές ονομάζονται αλλιώς ροές παλάμης.

Εάν η ένταση Χκαι ο νόμος κατανομής F(t) των διαστημάτων μεταξύ διαδοχικών εφαρμογών δεν αλλάζει με την πάροδο του χρόνου, τότε η ροή των εφαρμογών ονομάζεται ακίνητοςΔιαφορετικά, η ροή των αιτημάτων είναι μη στάσιμος.

Αν σε κάθε στιγμή του χρόνου tkΜόνο μία αξίωση μπορεί να εμφανιστεί στην είσοδο QS, τότε καλείται η ροή των αξιώσεων συνήθης.Εάν περισσότερες από μία εφαρμογές μπορούν να εμφανιστούν σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή, τότε η ροή των εφαρμογών είναι έκτακτος,ή ομάδα.

Η ροή των αιτημάτων ονομάζεται ροή χωρίς αποτέλεσμα,εάν ληφθούν αιτήσεις Ανεξάρτητατο ένα από το άλλο, δηλ. η στιγμή παραλαβής της επόμενης αίτησης δεν εξαρτάται από το πότε και πόσες αιτήσεις ελήφθησαν πριν από αυτή τη στιγμή.

Μια σταθερή συνηθισμένη ροή χωρίς επακόλουθο ονομάζεται το πιο απλό.

Τα χρονικά διαστήματα t μεταξύ των αιτημάτων στην απλούστερη ροή κατανέμονται εκθετικός (ενδεικτικός) νόμος:με συνάρτηση κατανομής F(t) = 1 - e~ m;πυκνότητα κατανομής/(f) = Χε~" λ,Οπου Χ> 0 - παράμετρος κατανομής - ένταση ροής εφαρμογών.

Η απλούστερη ροή ονομάζεται συχνά Poissonian.Το όνομα προέρχεται από το γεγονός ότι για αυτή τη ροή η πιθανότητα εμφάνισης P fc (At) είναι ακριβώς Προς τηνΕφαρμογές για ορισμένο χρονικό διάστημα Καθορίζεται το At Ο νόμος του Poisson:

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι μια ροή Poisson, σε αντίθεση με την απλούστερη, μπορεί να είναι:

• ακίνητος,εάν η ένταση Χδεν αλλάζει με την πάροδο του χρόνου.
• μη ακίνητο,εάν η ένταση ροής εξαρτάται από το χρόνο: Χ= >.(t).

Ταυτόχρονα, η απλούστερη ροή, εξ ορισμού, είναι πάντα ακίνητη.

Οι αναλυτικές μελέτες των μοντέλων ουράς πραγματοποιούνται συχνά με την παραδοχή μιας απλής ροής αιτημάτων, η οποία οφείλεται σε μια σειρά από αξιοσημείωτα χαρακτηριστικά που είναι εγγενή σε αυτήν.

1. Άθροιση (συγχώνευση) ρεμάτων. Η απλούστερη ροή στη θεωρία QS είναι παρόμοια με τον νόμο της κανονικής κατανομής στη θεωρία πιθανοτήτων: η απλούστερη ροή επιτυγχάνεται περνώντας στο όριο για μια ροή που είναι το άθροισμα ροών με αυθαίρετα χαρακτηριστικά με άπειρη αύξηση στον αριθμό των όρων και μείωση της έντασής τους.

Αθροισμα Νανεξάρτητες σταθερές συνηθισμένες ροές με εντάσεις X x 2 ,..., Χ Νσχηματίζει την απλούστερη ροή με ένταση

X=Y,^iυπό την προϋπόθεση ότι οι ροές που προστίθενται έχουν περισσότερες από ή

λιγότερο εξίσου μικρό αντίκτυπο στη συνολική ροή. Στην πράξη, η συνολική ροή είναι κοντά στο απλούστερο όταν Ν> 5. Λοιπόν, όταν αθροίζονται ανεξάρτητες απλούστερες ροές, η συνολική ροή θα είναι η απλούστερησε οποιαδήποτε τιμή Ν.

• 2. Πιθανολογική αραίωση ροής. Πιθανολογικό(Αλλά όχι ντετερμινιστικό) κενό απλούστερη ροήεφαρμογές, στις οποίες οποιαδήποτε εφαρμογή είναι τυχαία με κάποια πιθανότητα Rαποκλείεται από τη ροή, ανεξάρτητα από το αν αποκλείονται άλλα αιτήματα ή όχι, οδηγεί στον σχηματισμό απλούστερη ροήμε ένταση Χ* = ρΧ,Οπου Χ- ένταση της αρχικής ροής. Ροή εξαιρούμενων εφαρμογών με ένταση Χ** = (1 - ρ)Χ- Το ίδιο απλούστεροροή.
• 3. Αποτελεσματικότητα. Εάν τα κανάλια (συσκευές) εξυπηρέτησης έχουν σχεδιαστεί για την απλούστερη ροή αιτημάτων με ένταση Χ,τότε η εξυπηρέτηση άλλων τύπων ροών (με την ίδια ένταση) θα παρέχεται με όχι μικρότερη απόδοση.
• 4. Απλότητα. Η υπόθεση της απλούστερης ροής αιτημάτων επιτρέπει σε πολλά μαθηματικά μοντέλα να λάβουν με ρητή μορφή την εξάρτηση των δεικτών QS από παραμέτρους. Ο μεγαλύτερος αριθμός αναλυτικών αποτελεσμάτων ελήφθη για την απλούστερη ροή εφαρμογών.

Η ανάλυση μοντέλων με ροές τάξης διαφορετικές από τις απλούστερες συνήθως περιπλέκει τους μαθηματικούς υπολογισμούς και δεν επιτρέπει πάντα να αποκτήσει κανείς μια αναλυτική λύση σε ρητή μορφή. Η πιο απλή ροή έλαβε το όνομά της ακριβώς λόγω αυτού του χαρακτηριστικού.

Οι εφαρμογές ενδέχεται να έχουν διαφορετική καταλληλότητα για να ξεκινήσουν την υπηρεσία. Σε αυτή την περίπτωση λένε ότι οι εφαρμογές ετερογενής.Τα πλεονεκτήματα ορισμένων ροών εφαρμογών έναντι άλλων κατά την έναρξη της υπηρεσίας καθορίζονται από προτεραιότητες.

Ένα σημαντικό χαρακτηριστικό της ροής εισόδου είναι ο συντελεστής διακύμανσης

όπου t int είναι η μαθηματική προσδοκία του μήκους του διαστήματος. Ο- τυπική απόκλιση του μήκους του διαστήματος x int (τυχαία μεταβλητή).

Για την απλούστερη ροή (a = -, m = -) έχουμε v = 1. Για τους περισσότερους

πραγματικές ροές 0

Κανάλια εξυπηρέτησης (συσκευές). Το κύριο χαρακτηριστικό ενός καναλιού είναι η διάρκεια της υπηρεσίας.

Διάρκεια υπηρεσίας- ο χρόνος που το αίτημα βρίσκεται στη συσκευή - στη γενική περίπτωση, μια τυχαία τιμή. Στην περίπτωση ετερογενούς φορτίου του QS, η διάρκεια των αιτημάτων εξυπηρέτησης διαφορετικών κλάσεων μπορεί να διαφέρει στους νόμους διανομής ή μόνο σε μέσες τιμές. Σε αυτήν την περίπτωση, συνήθως θεωρείται ότι η διάρκεια των αιτημάτων εξυπηρέτησης κάθε κλάσης είναι ανεξάρτητη.

Οι επαγγελματίες συχνά υποθέτουν ότι η διάρκεια των εφαρμογών σέρβις κατανέμεται εκθετικός νόμοςγεγονός που απλοποιεί σημαντικά τους αναλυτικούς υπολογισμούς. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι οι διεργασίες που συμβαίνουν σε συστήματα με εκθετική κατανομή χρονικών διαστημάτων είναι Μαρκοβιανόςδιαδικασίες:

όπου γ - ένταση εξυπηρέτησης,εδώ p = _--; t 0 bsl - μαθηματικά -

χρόνος αναμονής για σέρβις.

Εκτός από την εκθετική κατανομή, υπάρχουν η κατανομή Erlang/c, η υπερεκθετική, η τριγωνική και κάποιες άλλες. Αυτό δεν πρέπει να μας προκαλεί σύγχυση, καθώς έχει αποδειχθεί ότι η αξία των κριτηρίων απόδοσης QS εξαρτάται ελάχιστα από τον τύπο του νόμου κατανομής χρόνου υπηρεσίας.

Κατά τη μελέτη του QS, η ουσία της υπηρεσίας και η ποιότητα της υπηρεσίας δεν λαμβάνονται υπόψη.

Τα κανάλια μπορούν να είναι απολύτως αξιόπιστο,εκείνοι. μην αποτύχεις. Ή μάλλον, αυτό μπορεί να γίνει αποδεκτό κατά τη διάρκεια της έρευνας. Τα κανάλια μπορεί να έχουν απόλυτη αξιοπιστία.Σε αυτή την περίπτωση, το μοντέλο QS είναι πολύ πιο περίπλοκο.

Η αποτελεσματικότητα του QS εξαρτάται όχι μόνο από τις παραμέτρους των ροών εισόδου και των καναλιών εξυπηρέτησης, αλλά και από τη σειρά με την οποία εξυπηρετούνται οι εισερχόμενες αιτήσεις, δηλ. σχετικά με τις μεθόδους διαχείρισης της ροής των αιτημάτων όταν εισέρχονται στο σύστημα και αποστέλλονται για εξυπηρέτηση.

Οι μέθοδοι διαχείρισης των ροών εφαρμογών καθορίζονται από τους ακόλουθους κλάδους:

• buffering?
• υπηρεσία.

Οι κλάδοι αποθήκευσης και συντήρησης μπορούν να ταξινομηθούν σύμφωνα με τα ακόλουθα κριτήρια:

• η παρουσία προτεραιοτήτων μεταξύ εφαρμογών διαφορετικών τάξεων·
• μια μέθοδος για τη μετατόπιση των αιτημάτων από την ουρά (για την αποθήκευση στην προσωρινή μνήμη) και την εκχώρηση αιτημάτων για υπηρεσία (για τους κλάδους υπηρεσίας).
• κανόνας για την απόσυρση ή την επιλογή αιτημάτων υπηρεσίας·
• ικανότητα αλλαγής προτεραιοτήτων.

Μια παραλλαγή της ταξινόμησης των κλάδων προσωρινής αποθήκευσης (ουρά) σύμφωνα με τα αναφερόμενα χαρακτηριστικά παρουσιάζεται στο Σχήμα. 2.2.

Εξαρτάται από διαθεσιμότηταή έλλειψη προτεραιοτήτωνΑνάμεσα σε αιτήματα διαφορετικών κλάσεων, όλοι οι κλάδοι προσωρινής αποθήκευσης μπορούν να χωριστούν σε δύο ομάδες: μη προτεραιότητας και προτεραιότητας.

Με μέθοδος μετατόπισης αιτημάτων από την αποθήκευσηΜπορούν να διακριθούν οι ακόλουθες κατηγορίες κλάδων αποθήκευσης:

• χωρίς εξώθηση αιτημάτων - αιτήματα που εισήλθαν στο σύστημα και βρήκαν τη μονάδα δίσκου εντελώς γεμάτη χάνονται.
• με τη μετατόπιση μιας εφαρμογής αυτής της κλάσης, δηλ. την ίδια κατηγορία με την αίτηση που ελήφθη·
• με μετατόπιση της εφαρμογής από την κατηγορία χαμηλότερης προτεραιότητας.
• με τη μετατόπιση της εφαρμογής από την ομάδα των τάξεων χαμηλής προτεραιότητας.

Ρύζι. 2.2.

Μπορούν να χρησιμοποιηθούν οι ακόλουθοι κλάδοι προσωρινής αποθήκευσης: κανόνες για την έξωση αιτημάτων από την αποθήκευση:

• τυχαία μετατόπιση?
• μετατοπίζοντας το τελευταίο αίτημα, δηλ. μπήκε στο σύστημα αργότερα από όλους τους άλλους.
• παραγκωνίζοντας μια «μεγάλη» παραγγελία, δηλ. βρίσκεται στο χώρο αποθήκευσης για μεγαλύτερο χρονικό διάστημα από όλες τις προηγουμένως ληφθείσες εφαρμογές.

Στο Σχ. Το 2.3 παρουσιάζει μια ταξινόμηση των κλάδων εξυπηρέτησης εφαρμογών σύμφωνα με τα ίδια κριτήρια όπως και για τους κλάδους αποθήκευσης.

Μερικές φορές η χωρητικότητα αποθήκευσης στα μοντέλα θεωρείται απεριόριστη, αν και σε ένα πραγματικό σύστημα είναι περιορισμένη. Αυτή η υπόθεση δικαιολογείται όταν η πιθανότητα να χαθεί ένα αίτημα σε ένα πραγματικό σύστημα λόγω της πληρότητας της χωρητικότητας αποθήκευσης είναι μικρότερη από 10_3. Σε αυτή την περίπτωση, η πειθαρχία δεν έχει ουσιαστικά καμία επίδραση στην απόδοση της εξυπηρέτησης εφαρμογών.

Εξαρτάται από διαθεσιμότηταή έλλειψη προτεραιοτήτωνΜεταξύ αιτημάτων διαφορετικών κλάσεων, όλοι οι κλάδοι υπηρεσιών, καθώς και οι κλάδοι αποθήκευσης προσωρινής αποθήκευσης, μπορούν να χωριστούν σε δύο ομάδες: μη προτεραιότητας και προτεραιότητας.

Με μέθοδος εκχώρησης αιτημάτων υπηρεσίαςΟι κλάδοι συντήρησης μπορούν να χωριστούν σε κλάδους:

• ενιαία λειτουργία;
• ομαδική λειτουργία?
• συνδυασμένη λειτουργία.

Ρύζι. 2.3.

Σε κλάδους υπηρεσιών λειτουργία ενός παίκτηκάθε φορά για σέρβις ανατίθεται μόνο ένααίτηση, για την οποία οι ουρές προβάλλονται μετά την ολοκλήρωση της εξυπηρέτησης της προηγούμενης εφαρμογής.

Σε κλάδους υπηρεσιών ομαδική λειτουργίακάθε φορά για σέρβις εκχωρείται μια ομάδα εφαρμογώνμία ουρά, για την οποία η προβολή των ουρών εκτελείται μόνο μετά την εξυπηρέτηση όλων των αιτημάτων μιας ομάδας που είχε εκχωρηθεί προηγουμένως. Η νέα ομάδα αιτημάτων μπορεί να περιλαμβάνει όλα τα αιτήματα της δεδομένης ουράς. Αιτήματα από μια ομάδα που έχει ανατεθεί στην υπηρεσία επιλέγονται διαδοχικά από την ουράκαι εξυπηρετούνται από τη συσκευή, μετά την οποία η επόμενη ομάδα αιτημάτων μιας άλλης ουράς ανατίθεται σε εξυπηρέτηση σύμφωνα με την καθορισμένη πειθαρχία εξυπηρέτησης.

Συνδυασμένη λειτουργία- ένας συνδυασμός μονών και ομαδικών καταστάσεων, όταν ένα μέρος των ουρών αιτημάτων υποβάλλεται σε επεξεργασία σε απλή λειτουργία και το άλλο μέρος σε λειτουργία ομάδας.

Οι κλάδοι υπηρεσιών μπορούν να χρησιμοποιήσουν τους ακόλουθους κανόνες για την επιλογή αιτημάτων υπηρεσίας.

Μη προτεραιότητα(οι εφαρμογές δεν έχουν προνόμια για έγκαιρη εξυπηρέτηση - σύλληψη πόρων):

• υπηρεσία πρώτης προσέλευσης FIFO (πρώτη σε - πρώτα έξω,πρώτος μέσα - πρώτος έξω);
• αντίστροφη υπηρεσία- η εφαρμογή επιλέγεται από την ουρά στη λειτουργία LIFO (τελευταία μέσα - πρώτα έξωτελευταίος μέσα - πρώτος έξω);
• τυχαία υπηρεσία- η εφαρμογή επιλέγεται από την ουρά στη λειτουργία ΑΚΡΑ (τυχαίος- τυχαία)
• κυκλική υπηρεσία- οι εφαρμογές επιλέγονται στη διαδικασία κυκλικής δημοσκόπησης των μονάδων δίσκου με τη σειρά 1, 2, ΝΜΕ Ν- αριθμός μονάδων δίσκου), μετά την οποία επαναλαμβάνεται η καθορισμένη ακολουθία.

Προτεραιότητα(οι εφαρμογές έχουν προνόμια για έγκαιρη εξυπηρέτηση - σύλληψη πόρων):

• Με σχετικές προτεραιότητες- εάν κατά τη διαδικασία της τρέχουσας εξυπηρέτησης μιας εφαρμογής, παραλαμβάνονται στο σύστημα αιτήσεις με υψηλότερες προτεραιότητες, τότε η εξυπηρέτηση της τρέχουσας ακόμη και μη κατά προτεραιότητα εφαρμογή δεν διακόπτεται και οι αιτήσεις που λαμβάνονται αποστέλλονται στην ουρά. Οι σχετικές προτεραιότητες παίζουν ρόλο μόνο τη στιγμή της ολοκλήρωσης της τρέχουσας υπηρεσίας μιας εφαρμογής κατά την επιλογή μιας νέας εφαρμογής για εξυπηρέτηση από την ουρά.
• Με απόλυτες προτεραιότητες- με την παραλαβή μιας αίτησης με υψηλή προτεραιότητα, διακόπτεται η εξυπηρέτηση μιας αίτησης χαμηλής προτεραιότητας και η εισερχόμενη αίτηση αποστέλλεται για εξυπηρέτηση. μια διακοπείσα εφαρμογή μπορεί να επιστραφεί στην ουρά ή να διαγραφεί από το σύστημα. εάν η εφαρμογή επιστρέψει στην ουρά, τότε η περαιτέρω εξυπηρέτησή της μπορεί να πραγματοποιηθεί από το σημείο που έχει διακοπεί ή ξανά.
• με μικτές προτεραιότητες- Οι αυστηροί περιορισμοί στον χρόνο αναμονής στην ουρά για την εξυπηρέτηση μεμονωμένων αιτημάτων απαιτούν την ανάθεση απόλυτων προτεραιοτήτων σε αυτά. Ως αποτέλεσμα, ο χρόνος αναμονής για αιτήσεις με χαμηλές προτεραιότητες μπορεί να αποδειχθεί απαράδεκτα μεγάλος, αν και μεμονωμένες αιτήσεις έχουν ένα περιθώριο χρόνου αναμονής. για τη συμμόρφωση με περιορισμούς σε όλους τους τύπους αιτημάτων, είναι δυνατό, μαζί με απόλυτες προτεραιότητες, να εκχωρηθούν σχετικές προτεραιότητες σε ορισμένα αιτήματα και να εξυπηρετηθούν τα υπόλοιπα σε λειτουργία χωρίς προτεραιότητα·
• Με εναλλασσόμενες προτεραιότητες- ένα ανάλογο σχετικών προτεραιοτήτων, η προτεραιότητα λαμβάνεται υπόψη μόνο τη στιγμή της ολοκλήρωσης της τρέχουσας υπηρεσίας μιας ομάδας αιτημάτων μιας ουράς και του διορισμού μιας νέας ομάδας για εξυπηρέτηση.
• προγραμματισμένη υπηρεσία- αιτήματα διαφορετικών κλάσεων (που βρίσκονται σε διαφορετικούς δίσκους) επιλέγονται για εξυπηρέτηση σύμφωνα με ένα συγκεκριμένο χρονοδιάγραμμα που καθορίζει την ακολουθία των ουρών ψηφοφορίας των αιτημάτων, για παράδειγμα, στην περίπτωση τριών κατηγοριών αιτημάτων (δίσκοι), το χρονοδιάγραμμα μπορεί να μοιάζει με (2, 1, 3, 3, 1, 2) ή (1, 2, 3, 3, 2, 1).

Στα συστήματα υπολογιστών IM, κατά κανόνα, η πειθαρχία εφαρμόζεται από προεπιλογή FIFO.Ωστόσο, διαθέτουν εργαλεία που παρέχουν στον χρήστη την ευκαιρία να οργανώσει τους κλάδους υπηρεσιών που χρειάζεται, μεταξύ άλλων σύμφωνα με ένα χρονοδιάγραμμα.

Οι αιτήσεις που λαμβάνει ο SMO χωρίζονται σε κατηγορίες. Στο QS, το οποίο είναι ένα αφηρημένο μαθηματικό μοντέλο, Οι εφαρμογές ανήκουν σε διαφορετικές κατηγορίεςσε περίπτωση που στο προσομοιωμένο πραγματικό σύστημα διαφέρουν σε τουλάχιστον ένα από τα ακόλουθα χαρακτηριστικά:

• διάρκεια υπηρεσίας·
• προτεραιότητες.

Εάν οι εφαρμογές δεν διαφέρουν ως προς τη διάρκεια της υπηρεσίας και τις προτεραιότητες, μπορούν να αντιπροσωπεύονται από εφαρμογές της ίδιας κατηγορίας, συμπεριλαμβανομένων εκείνων που λαμβάνονται από διαφορετικές πηγές.

Για να περιγράψουμε μαθηματικά τους κλάδους υπηρεσιών με μικτές προτεραιότητες, χρησιμοποιούμε μήτρα προτεραιότητας,που είναι ένας τετραγωνικός πίνακας Q = (q, ;), i,j - 1,..., I, I - ο αριθμός των κατηγοριών εφαρμογών που εισέρχονται στο σύστημα.

Στοιχείο q(j matrix καθορίζει την προτεραιότητα των αιτημάτων κλάσης Εγώσε σχέση με τις εφαρμογές της τάξης? και μπορεί να λάβει τις ακόλουθες τιμές:

• 0 - χωρίς προτεραιότητα.
• 1 - σχετική προτεραιότητα.
• 2 - απόλυτη προτεραιότητα.

Τα στοιχεία του πίνακα προτεραιότητας πρέπει να ικανοποιούν τα ακόλουθα απαιτήσεις:

• qn= 0, αφού δεν μπορούν να οριστούν προτεραιότητες μεταξύ αιτημάτων της ίδιας κλάσης.
• Αν q (j = 1 ή 2 τότε q^ = 0, γιατί αν ζητήσει η κλάση Εγώέχουν προτεραιότητα έναντι των εφαρμογών της τάξης j,τότε το τελευταίο δεν μπορεί να έχει προτεραιότητα έναντι των εφαρμογών κλάσης Εγώ (i,j = 1, ..., Ι).

Εξαρτάται από ικανότητα αλλαγής προτεραιοτήτωνΚατά τη λειτουργία του συστήματος, οι κλάδοι προτεραιότητας του buffering και της συντήρησης χωρίζονται σε δύο κατηγορίες:

• 1) με στατικές προτεραιότητες,που δεν αλλάζουν με την πάροδο του χρόνου.
• 2) με δυναμικές προτεραιότητες,η οποία μπορεί να αλλάξει κατά τη λειτουργία του συστήματος ανάλογα με διάφορους παράγοντες, για παράδειγμα, όταν επιτευχθεί μια ορισμένη κρίσιμη τιμή του μήκους ουράς των εφαρμογών μιας κλάσης που δεν έχει προτεραιότητα ή έχει χαμηλή προτεραιότητα, μπορεί να της δοθεί μεγαλύτερη προτεραιότητα .

Στα συστήματα υπολογιστών IM υπάρχει πάντα ένα μόνο στοιχείο (αντικείμενο) μέσω του οποίου, και μόνο μέσω αυτού, οι εφαρμογές εισάγονται στο μοντέλο. Από προεπιλογή, όλα τα αιτήματα που έχουν εισαχθεί δεν έχουν προτεραιότητα. Υπάρχουν όμως δυνατότητες εκχώρησης προτεραιοτήτων στην ακολουθία 1, 2, ..., συμπεριλαμβανομένης της εκτέλεσης του μοντέλου, π.χ. στη δυναμική.

Ροή εξόδουείναι η ροή των εξυπηρετούμενων εφαρμογών που εξέρχονται από το QS. Στα πραγματικά συστήματα, οι αιτήσεις περνούν μέσω πολλών QS: επικοινωνία διαμετακόμισης, μεταφορέας παραγωγής κ.λπ. Σε αυτήν την περίπτωση, η εξερχόμενη ροή είναι η εισερχόμενη ροή για το επόμενο QS.

Η εισερχόμενη ροή του πρώτου QS, που διέρχεται από τα επόμενα QS, παραμορφώνεται και αυτό περιπλέκει την αναλυτική μοντελοποίηση. Ωστόσο, θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι με την απλούστερη ροή εισόδου και εκθετική υπηρεσία(εκείνοι. στα συστήματα Markov) η ροή εξόδου είναι επίσης απλούστερη.Εάν ο χρόνος εξυπηρέτησης έχει μη εκθετική κατανομή, τότε η εξερχόμενη ροή όχι μόνο δεν είναι η απλούστερη, αλλά ούτε και επαναλαμβανόμενη.

Σημειώστε ότι τα χρονικά διαστήματα μεταξύ των αιτημάτων της εξερχόμενης ροής δεν είναι ίδια με τα διαστήματα εξυπηρέτησης. Μετά από όλα, μπορεί να αποδειχθεί ότι μετά το τέλος της επόμενης υπηρεσίας, το QS είναι σε αδράνεια για κάποιο χρονικό διάστημα λόγω της έλλειψης εφαρμογών. Σε αυτήν την περίπτωση, το διάστημα της εξερχόμενης ροής αποτελείται από το χρόνο αδράνειας του QS και το διάστημα εξυπηρέτησης της πρώτης αίτησης για άφιξη μετά το χρόνο αδράνειας.

Στο QS, εκτός από την εξερχόμενη ροή των εξυπηρετούμενων εφαρμογών, μπορεί επίσης να υπάρχει ροή μη επεξεργασμένων αιτημάτων.Εάν ένα τέτοιο QS λάβει μια επαναλαμβανόμενη ροή και η υπηρεσία είναι εκθετική, τότε η ροή των μη εξυπηρετούμενων αιτημάτων είναι επαναλαμβανόμενη.

Ουρές δωρεάν καναλιών. Σε πολυκαναλικό QS, μπορούν να σχηματιστούν ουρές ελεύθερων καναλιών. Ο αριθμός των δωρεάν καναλιών είναι μια τυχαία τιμή. Ο ερευνητής μπορεί να ενδιαφέρεται για διάφορα χαρακτηριστικά αυτής της τυχαίας μεταβλητής. Συνήθως αυτός είναι ο μέσος αριθμός καναλιών που καταλαμβάνει η υπηρεσία κατά τη διάρκεια του διαστήματος έρευνας και οι συντελεστές φορτίου τους.

Όπως σημειώσαμε νωρίτερα, σε πραγματικά αντικείμενα οι εφαρμογές εξυπηρετούνται διαδοχικά σε αρκετά QS.

Καλείται ένα πεπερασμένο σύνολο διαδοχικά διασυνδεδεμένων QS που επεξεργάζονται αιτήματα που κυκλοφορούν σε αυτά δίκτυο αναμονής (SeMO) (Εικ. 2.4, ΕΝΑ).

Ρύζι. 2.4.

Ονομάζεται επίσης SeMO πολυφασικά συστήματα αναμονής.

Θα εξετάσουμε ένα παράδειγμα κατασκευής IM SeMO αργότερα.

Τα κύρια στοιχεία του SeMO είναι οι κόμβοι (U) και οι πηγές (γεννήτριες) εφαρμογών (G).

Κόμποςτα δίκτυα είναι ένα σύστημα αναμονής.

Πηγή- μια γεννήτρια αιτημάτων που εισέρχονται στο δίκτυο και απαιτούν ορισμένα στάδια εξυπηρέτησης σε κόμβους δικτύου.

Για μια απλοποιημένη αναπαράσταση του SeMO, χρησιμοποιείται ένα γράφημα.

Μετρήστε SeMO- ένα προσανατολισμένο γράφημα (διγράφημα), οι κορυφές του οποίου αντιστοιχούν στους κόμβους του SeMO και τα τόξα εμφανίζουν τις μεταβάσεις των αιτημάτων μεταξύ των κόμβων (Εικ. 2.4, β).

Έτσι, εξετάσαμε τις βασικές έννοιες του QS. Αλλά κατά την ανάπτυξη συστημάτων πληροφορικής υπολογιστών και τη βελτίωσή τους, χρησιμοποιείται σίγουρα και το τεράστιο δημιουργικό δυναμικό που περιέχεται επί του παρόντος στην αναλυτική μοντελοποίηση του QS.

Για να αντιληφθούμε καλύτερα αυτό το δημιουργικό δυναμικό, ως πρώτη προσέγγιση, ας σταθούμε στην ταξινόμηση των μοντέλων QS.

Σχέδιο 0 - 2 Ροές γεγονότων (α) και η απλούστερη ροή (β)

10.5.2.1. Σταθερότητα

Η ροή ονομάζεται ακίνητη , εάν η πιθανότητα ενός συγκεκριμένου αριθμού γεγονότων να συμβούν σε ένα στοιχειώδες χρονικό τμήμα μήκος τ (

Σχήμα 0-2 , ΕΝΑ)εξαρτάται μόνο από το μήκος του τμήματος και δεν εξαρτάται από το πού ακριβώς στον άξονα t αυτή η περιοχή βρίσκεται.

Στατική ροή σημαίνει την ομοιομορφία της στο χρόνο. τα πιθανοτικά χαρακτηριστικά μιας τέτοιας ροής δεν αλλάζουν ανάλογα με το χρόνο. Συγκεκριμένα, η λεγόμενη ένταση (ή «πυκνότητα») της ροής των γεγονότων - ο μέσος αριθμός γεγονότων ανά μονάδα χρόνου για μια σταθερή ροή - πρέπει να παραμείνει σταθερή. Αυτό, φυσικά, δεν σημαίνει ότι ο πραγματικός αριθμός των γεγονότων που εμφανίζονται ανά μονάδα χρόνου είναι σταθερός· η ροή μπορεί να έχει τοπικές συμπυκνώσεις και αραιώσεις. Είναι σημαντικό για μια ακίνητη ροή αυτές οι συμπυκνώσεις και οι αραιώσεις να μην είναι κανονικής φύσης και ο μέσος αριθμός γεγονότων που εμπίπτουν σε μία μόνο χρονική περίοδο να παραμένει σταθερός για ολόκληρη την υπό εξέταση περίοδο.

Στην πράξη, υπάρχουν συχνά ροές γεγονότων που (τουλάχιστον για περιορισμένο χρονικό διάστημα) μπορούν να θεωρηθούν στάσιμα. Για παράδειγμα, μια ροή κλήσεων που φτάνουν σε ένα τηλεφωνικό κέντρο, για παράδειγμα, μεταξύ 12 και 13 ωρών μπορεί να θεωρηθεί σταθερό. Η ίδια ροή δεν θα είναι πλέον ακίνητη για μια ολόκληρη μέρα (τη νύχτα η ένταση της ροής κλήσης είναι πολύ μικρότερη από την ημέρα). Σημειώστε ότι το ίδιο συμβαίνει με τις περισσότερες φυσικές διεργασίες, τις οποίες ονομάζουμε «στάσιμες»· στην πραγματικότητα, είναι ακίνητες μόνο για περιορισμένο χρονικό διάστημα και η επέκταση αυτής της περιοχής στο άπειρο είναι απλώς μια βολική τεχνική που χρησιμοποιείται για το σκοπό αυτό. της απλοποίησης.

10.5.2.2. Χωρίς επακόλουθο

Μια ροή γεγονότων ονομάζεται ροή χωρίς αποτέλεσμα , εάν για οποιεσδήποτε μη επικαλυπτόμενες χρονικές περιόδους, ο αριθμός των γεγονότων που εμπίπτουν σε μία από αυτές δεν εξαρτάται από τον αριθμό των γεγονότων στην άλλη (ή άλλες, εάν λαμβάνονται υπόψη περισσότερες από δύο ενότητες).

Σε τέτοια ρεύματα, τα γεγονότα που σχηματίζουν το ρεύμα εμφανίζονται σε διαδοχικές χρονικές στιγμές, ανεξάρτητα το ένα από το άλλο. Για παράδειγμα, η ροή επιβατών που εισέρχονται σε έναν σταθμό του μετρό μπορεί να θεωρηθεί ροή χωρίς συνέπειες, επειδή οι λόγοι που καθόρισαν την άφιξη ενός επιβάτη σε μια δεδομένη στιγμή και όχι σε μια άλλη, κατά κανόνα, δεν σχετίζονται με παρόμοιους λόγους άλλους επιβάτες. Εάν εμφανιστεί μια τέτοια εξάρτηση, παραβιάζεται η προϋπόθεση για την απουσία επακόλουθων επιπτώσεων.

Σκεφτείτε, για παράδειγμα, μια ροή εμπορευματικών τρένων κατά μήκος μιας σιδηροδρομικής γραμμής. Εάν, λόγω συνθηκών ασφαλείας, δεν μπορούν να διαδέχονται το ένα το άλλο πιο συχνά παρά κατά διαστήματα t 0 , τότε υπάρχει μια εξάρτηση μεταξύ των γεγονότων στη ροή και παραβιάζεται η προϋπόθεση της μη επακόλουθης επίδρασης. Ωστόσο, εάν το μεσοδιάστημα t 0 είναι μικρό σε σύγκριση με το μέσο διάστημα μεταξύ των τρένων, τότε μια τέτοια παράβαση είναι ασήμαντη.

Σχέδιο 0 - 3 Κατανομή Poisson

Σκεφτείτε στον άξονα t η απλούστερη ροή γεγονότων με ένταση λ. (Εικόνα 0-2 β) . Θα μας ενδιαφέρει το τυχαίο χρονικό διάστημα T μεταξύ γειτονικών γεγονότων σε αυτή τη ροή. Ας βρούμε τον νόμο διανομής του. Αρχικά, ας βρούμε τη συνάρτηση διανομής:

F(t) = P(T ( 0-2)

δηλαδή η πιθανότητα η τιμή T θα έχει τιμή μικρότερη απόt. Ας αναβάλουμε από την αρχή του διαστήματος T (πόντους t 0 ) τμήμα t και να βρείτε την πιθανότητα ότι το διάστημα T θα είναι λιγότερα t . Για να γίνει αυτό, είναι απαραίτητο για ένα τμήμα μήκους t, δίπλα σε ένα σημείο t 0 , τουλάχιστον ένα χτύπημα συμβάντος ροής. Ας υπολογίσουμε την πιθανότητα αυτού F(t) μέσω της πιθανότητας του αντίθετου γεγονότος (ανά ενότητα t δεν θα χτυπήσει κανένα συμβάντα ροής):

F (t) = 1 - P 0

Πιθανότητα P 0βρίσκουμε από τον τύπο (1), υποθέτονταςΜ = 0:

οπότε η συνάρτηση κατανομής της τιμής T θα είναι:

(0-3)

Να βρεθεί η πυκνότητα κατανομής f(t) τυχαία μεταβλητή Τ,είναι απαραίτητο να διαφοροποιηθεί η έκφραση (0-1) κατάt:

0-4)

Ο νόμος κατανομής με πυκνότητα (0-4) ονομάζεται εκθετικός (ή εκθετική ). Η ποσότητα λ ονομάζεται παράμετρος αποδεικτικός νόμος.

Εικόνα 0 - 4 Εκθετική κατανομή

Ας βρούμε τα αριθμητικά χαρακτηριστικά μιας τυχαίας μεταβλητής Τ- μαθηματική προσδοκία (μέση τιμή) M [ t ]= m t , και διακύμανση Dt. Εχουμε

( 0-5)

(ενσωμάτωση κατά εξαρτήματα).

Η διασπορά της τιμής Τ είναι:

(0-6)

Παίρνοντας την τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης, βρίσκουμε την τυπική απόκλιση της τυχαίας μεταβλητής Τ.

Άρα, για μια εκθετική κατανομή, η μαθηματική προσδοκία και η τυπική απόκλιση είναι ίσες μεταξύ τους και αντίστροφες της παραμέτρου λ, όπου λ. ένταση ροής.

Έτσι, η εμφάνιση Μ Τα γεγονότα σε μια δεδομένη χρονική περίοδο αντιστοιχούν στην κατανομή Poisson και η πιθανότητα ότι τα χρονικά διαστήματα μεταξύ των γεγονότων θα είναι μικρότερα από έναν ορισμένο προκαθορισμένο αριθμό αντιστοιχεί στην εκθετική κατανομή. Όλα αυτά είναι απλώς διαφορετικές περιγραφές της ίδιας στοχαστικής διαδικασίας.

Παράδειγμα SMO-1 .

Σκεφτείτε για παράδειγμα ένα τραπεζικό σύστημα που λειτουργεί σε πραγματικό χρόνο και εξυπηρετεί μεγάλο αριθμό πελατών. Κατά τις ώρες αιχμής, οι αιτήσεις από ταμίες τραπεζών που συνεργάζονται με πελάτες σχηματίζουν μια ροή Poisson και φτάνουν κατά μέσο όρο δύο ανά 1 δευτερόλεπτο (λ = 2).Η ροή αποτελείται από αιτήματα που φτάνουν με ένταση 2 αιτημάτων ανά δευτερόλεπτο.

Ας υπολογίσουμε την πιθανότητα P (μ ) εμφάνιση m μηνύματα σε 1 s. Αφού λ = 2, τότε από τον προηγούμενο τύπο έχουμε

Αντικατάσταση m = 0, 1, 2, 3, παίρνουμε τις ακόλουθες τιμές (με ακρίβεια τεσσάρωνδεκαδικά ψηφία):

Εικόνα 0 - 5 Παράδειγμα απλής ροής

Είναι δυνατό να λάβετε περισσότερα από 9 μηνύματα σε 1 δευτερόλεπτο, αλλά η πιθανότητα είναι πολύ μικρή (περίπου 0,000046).

Η κατανομή που προκύπτει μπορεί να παρουσιαστεί με τη μορφή ιστογράμματος (που φαίνεται στο σχήμα).

Παράδειγμα SMO-2.

Μια συσκευή (διακομιστής) που επεξεργάζεται τρία μηνύματα ανά 1δ.

Ας υπάρχει εξοπλισμός που μπορεί να επεξεργαστεί τρία μηνύματα σε 1 s (μ=3). Κατά μέσο όρο, λαμβάνονται δύο μηνύματα ανά 1, και σύμφωνα μεντο Κατανομή Poisson. Ποιο ποσοστό αυτών των μηνυμάτων θα υποβληθεί σε επεξεργασία αμέσως μετά τη λήψη;

Η πιθανότητα ότι ο ρυθμός άφιξης θα είναι μικρότερος ή ίσος με 3 s δίνεται από

Εάν ένα σύστημα μπορεί να επεξεργαστεί το πολύ 3 μηνύματα σε 1 δευτερόλεπτο, τότε η πιθανότητα να μην υπερφορτωθεί είναι

Με άλλα λόγια, το 85,71% των μηνυμάτων θα εξυπηρετηθεί άμεσα και το 14,29% θα εξυπηρετηθεί με κάποια καθυστέρηση. Όπως μπορείτε να δείτε, σπάνια θα συμβεί καθυστέρηση στην επεξεργασία ενός μηνύματος για χρονικό διάστημα μεγαλύτερο από το χρόνο επεξεργασίας 3 μηνυμάτων. Ο χρόνος επεξεργασίας για 1 μήνυμα είναι κατά μέσο όρο 1/3 s. Επομένως, μια καθυστέρηση μεγαλύτερη από 1 δευτερόλεπτο θα είναι ένα σπάνιο φαινόμενο, κάτι που είναι αρκετά αποδεκτό για τα περισσότερα συστήματα.

Παράδειγμα SMO- 3

· Εάν ένας ταμίας τράπεζας είναι απασχολημένος για το 80% του χρόνου εργασίας του και αφιερώνει τον υπόλοιπο χρόνο του περιμένοντας πελάτες, τότε μπορεί να θεωρηθεί συσκευή με συντελεστή χρήσης 0,8.

· Εάν ένα κανάλι επικοινωνίας χρησιμοποιείται για τη μετάδοση συμβόλων 8-bit με ρυθμό 2400 bps, δηλαδή, μεταδίδονται το πολύ 2400/8 σύμβολα σε 1 s, και χτίζουμε ένα σύστημα στο οποίο η συνολική ποσότητα δεδομένων είναι 12000 σύμβολα αποστέλλεται από διάφορες συσκευές μέσω καναλιού επικοινωνίας ανά λεπτό του μεγαλύτερου φορτίου (συμπεριλαμβανομένου συγχρονισμού, συμβόλων τέλους μηνύματος, ελέγχου κ.λπ.), τότε ο ρυθμός χρήσης του εξοπλισμού του καναλιού επικοινωνίας κατά τη διάρκεια αυτού του λεπτού είναι ίσος με

· Εάν μια μηχανή πρόσβασης αρχείων εκτελεί 9.000 προσπελάσεις αρχείων κατά τη διάρκεια μιας ώρας εργασίας και ο μέσος χρόνος ανά πρόσβαση είναι 300 ms, τότε ο ρυθμός χρήσης υλικού ώρας αιχμής της μηχανής πρόσβασης είναι

Η έννοια της χρήσης εξοπλισμού θα χρησιμοποιείται αρκετά συχνά. Όσο πιο κοντά είναι η χρήση του εξοπλισμού στο 100%, τόσο μεγαλύτερη είναι η καθυστέρηση και τόσο μεγαλύτερες οι ουρές.

Χρησιμοποιώντας τον προηγούμενο τύπο, μπορείτε να δημιουργήσετε πίνακες τιμών συνάρτησης Poisson, από τους οποίους μπορείτε να προσδιορίσετε την πιθανότητα άφιξηςΜ ή περισσότερα μηνύματα σε μια δεδομένη χρονική περίοδο. Για παράδειγμα, εάν υπάρχουν κατά μέσο όρο 3,1 μηνύματα ανά δευτερόλεπτο [δηλ. ε. λ = 3.1], τότε η πιθανότητα λήψης 5 ή περισσότερων μηνυμάτων σε ένα δεδομένο δευτερόλεπτο είναι 0,2018 (γιαΜ = 5 στον πίνακα). Ή σε αναλυτική μορφή

Χρησιμοποιώντας αυτήν την έκφραση, ένας αναλυτής συστημάτων μπορεί να υπολογίσει την πιθανότητα το σύστημα να μην πληροί ένα δεδομένο κριτήριο φορτίου.

Συχνά μπορούν να γίνουν αρχικοί υπολογισμοί για τις τιμές φορτίου εξοπλισμού

ρ ≤ 0,9

Αυτές οι τιμές μπορούν να ληφθούν χρησιμοποιώντας πίνακες Poisson.

Έστω πάλι ο μέσος ρυθμός άφιξης μηνύματος λ = 3,1 μηνύματα/s. Από τους πίνακες προκύπτει ότι η πιθανότητα λήψης 6 ή περισσότερων μηνυμάτων σε 1 δευτερόλεπτο είναι 0,0943. Επομένως, αυτός ο αριθμός μπορεί να ληφθεί ως κριτήριο φορτίου για αρχικούς υπολογισμούς.

10.6.2. Εργασίες σχεδιασμού

Εάν τα μηνύματα φτάνουν τυχαία στη συσκευή, η συσκευή αφιερώνει μέρος του χρόνου της στην επεξεργασία ή την εξυπηρέτηση κάθε μηνύματος, με αποτέλεσμα να σχηματίζονται ουρές. Μια ουρά στην τράπεζα περιμένει την απελευθέρωση του ταμία και του υπολογιστή του (τερματικό). Μια ουρά μηνυμάτων στην προσωρινή μνήμη εισόδου του υπολογιστή περιμένει την επεξεργασία από τον επεξεργαστή. Μια ουρά αιτημάτων για συστοιχίες δεδομένων περιμένει να απελευθερωθούν τα κανάλια, κ.λπ. Οι ουρές μπορούν να σχηματιστούν σε όλα τα σημεία συμφόρησης του συστήματος.

Όσο υψηλότερο είναι το ποσοστό χρήσης του εξοπλισμού, τόσο μεγαλύτερες είναι οι ουρές που προκύπτουν. Όπως θα φανεί παρακάτω, είναι δυνατός ο σχεδιασμός ενός ικανοποιητικά λειτουργικού συστήματος με συντελεστή χρήσης ρ = 0,7, αλλά ένας συντελεστής που υπερβαίνει το ρ > 0,9 μπορεί να οδηγήσει σε υποβάθμιση της ποιότητας της υπηρεσίας. Με άλλα λόγια, εάν ένας σύνδεσμος μαζικών δεδομένων έχει φορτίο 20%, είναι απίθανο να υπάρχει ουρά σε αυτόν. Σε περίπτωση φόρτωσης? είναι 0,9, τότε, κατά κανόνα, θα σχηματιστούν ουρές, μερικές φορές πολύ μεγάλες.

Ο συντελεστής χρήσης εξοπλισμού είναι ίσος με την αναλογία του φορτίου του εξοπλισμού προς το μέγιστο φορτίο που μπορεί να αντέξει αυτός ο εξοπλισμός ή ίσος με τον λόγο του χρόνου κατάληψης του εξοπλισμού προς το συνολικό χρόνο λειτουργίας του.

Κατά το σχεδιασμό ενός συστήματος, είναι σύνηθες να υπολογίζεται ο συντελεστής χρήσης για διαφορετικούς τύπους εξοπλισμού. σχετικά παραδείγματα θα δοθούν σε επόμενα κεφάλαια. Η γνώση αυτών των συντελεστών σας επιτρέπει να υπολογίσετε τις ουρές για τον αντίστοιχο εξοπλισμό.

· Ποιο είναι το μήκος της ουράς;

· Πόσο χρόνο θα πάρει;

Αυτοί οι τύποι ερωτήσεων μπορούν να απαντηθούν χρησιμοποιώντας τη θεωρία αναμονής.

10.6.3. Συστήματα ουράς, οι κατηγορίες και τα κύρια χαρακτηριστικά τους

Για ένα QS, οι ροές συμβάντων είναι ροές εφαρμογών, ροές εφαρμογών «εξυπηρέτησης», κ.λπ. συσκευή, φέρνοντάς το σε αναλυτικούς τύπους είναι δυνατή μόνο στις απλούστερες περιπτώσεις.

Ωστόσο, η συσκευή της θεωρίας αναμονής «Markovian» μπορεί επίσης να είναι χρήσιμη στην περίπτωση που η διαδικασία που συμβαίνει στο QS είναι διαφορετική από τη Markovian· με τη βοήθειά της, τα χαρακτηριστικά απόδοσης του QS μπορούν να εκτιμηθούν κατά προσέγγιση. Πρέπει να σημειωθεί ότι όσο πιο πολύπλοκο είναι το QS, όσο περισσότερα κανάλια υπηρεσιών έχει, τόσο πιο ακριβείς είναι οι κατά προσέγγιση τύποι που λαμβάνονται με τη θεωρία Markov. Επιπλέον, σε ορισμένες περιπτώσεις, για να ληφθούν τεκμηριωμένες αποφάσεις σχετικά με τη διαχείριση της λειτουργίας του QS, δεν απαιτείται ακριβής γνώση όλων των χαρακτηριστικών του, συχνά αρκεί μόνο κατά προσέγγιση, κατά προσέγγιση γνώση.

Τα QS ταξινομούνται σε συστήματα με:

· αρνήσεις (με απώλειες). Σε τέτοια συστήματα, ένα αίτημα που λαμβάνεται τη στιγμή που όλα τα κανάλια είναι απασχολημένα λαμβάνει «άρνηση», αποχωρεί από το QS και δεν συμμετέχει στην περαιτέρω διαδικασία εξυπηρέτησης.

· αναμονή (με ουρά). Σε τέτοια συστήματα, ένα αίτημα που φθάνει σε μια στιγμή που όλα τα κανάλια είναι απασχολημένα βρίσκεται στην ουρά και περιμένει έως ότου ένα από τα κανάλια γίνει ελεύθερο. Όταν το κανάλι ελευθερωθεί, ένα από τα αιτήματα που βρίσκονται στην ουρά γίνεται αποδεκτό για εξυπηρέτηση.

Η υπηρεσία (πειθαρχία στην ουρά) σε ένα σύστημα αναμονής μπορεί να είναι

· διέταξε (οι αιτήσεις διεκπεραιώνονται με τη σειρά που παραλαμβάνονται),

· διαταραγμένος(οι αιτήσεις υποβάλλονται με τυχαία σειρά) ή

· στοιβάζονται (το τελευταίο αίτημα επιλέγεται πρώτα από την ουρά).

· Προτεραιότητα

ο με στατική προτεραιότητα

ο με δυναμική προτεραιότητα

(στην τελευταία περίπτωση, πριν tet μπορεί, για παράδειγμα, να αυξάνεται με τη διάρκεια αναμονής για μια αίτηση).

Τα συστήματα ουράς χωρίζονται σε συστήματα

· με απεριόριστη αναμονή και

· με περιορισμένο αναμονή.

Σε συστήματα με απεριόριστη αναμονή, κάθε αίτημα που έρχεται σε μια στιγμή που δεν υπάρχουν δωρεάν κανάλια μπαίνει σε μια ουρά και περιμένει «υπομονετικά» να γίνει διαθέσιμο το κανάλι και να το αποδεχτεί για εξυπηρέτηση. Οποιαδήποτε αίτηση ληφθεί από τον ΚΟΑ αργά ή γρήγορα θα εξυπηρετηθεί.

Σε συστήματα με περιορισμένη αναμονή, επιβάλλονται ορισμένοι περιορισμοί στην παραμονή μιας εφαρμογής στην ουρά. Αυτοί οι περιορισμοί ενδέχεται να ισχύουν

· μήκος ουράς (ο αριθμός των εφαρμογών ταυτόχρονα στην ουρά σε ένα σύστημα με περιορισμένο μήκος ουράς),

· ο χρόνος που πέρασε η εφαρμογή στην ουρά (μετά από μια ορισμένη περίοδο παραμονής στην ουρά, η εφαρμογή φεύγει από την ουρά και το σύστημα με περιορισμένο χρόνο αναμονής φεύγει),

· συνολικός χρόνος παραμονής της αίτησης στον ΚΟΑ

και τα λοιπά.

Ανάλογα με τον τύπο του QS, ορισμένες τιμές (δείκτες απόδοσης) μπορούν να χρησιμοποιηθούν κατά την αξιολόγηση της αποτελεσματικότητάς του. Για παράδειγμα, για ένα QS με αστοχίες, ένα από τα σημαντικότερα χαρακτηριστικά της παραγωγικότητάς του είναι το λεγόμενο απόλυτη απόδοσηο μέσος αριθμός αιτημάτων που μπορεί να εξυπηρετήσει το σύστημα ανά μονάδα χρόνου.

Μαζί με το απόλυτο, συχνά θεωρείται σχετική απόδοσηΤο QS είναι το μέσο μερίδιο των εισερχόμενων εφαρμογών που εξυπηρετούνται από το σύστημα (ο λόγος του μέσου αριθμού εφαρμογών που εξυπηρετούνται από το σύστημα ανά μονάδα χρόνου προς τον μέσο αριθμό εφαρμογών που λαμβάνονται κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου).

Εκτός από την απόλυτη και σχετική απόδοση, όταν αναλύουμε ένα QS με αστοχίες, ανάλογα με την ερευνητική εργασία, μπορεί να μας ενδιαφέρουν άλλα χαρακτηριστικά, για παράδειγμα:

· μέσος αριθμός απασχολημένων καναλιών.

· μέσος σχετικός χρόνος διακοπής λειτουργίας του συστήματος στο σύνολό του και ενός μεμονωμένου καναλιού

και τα λοιπά.

Οι ερωτήσεις με προσδοκία έχουν ελαφρώς διαφορετικά χαρακτηριστικά. Προφανώς, για ένα QS με απεριόριστη αναμονή, τόσο η απόλυτη όσο και η σχετική απόδοση χάνουν το νόημά τους, καθώς κάθε λαμβανόμενο αίτημα είναι νωρίςή θα σερβιριστεί αργότερα. Για ένα τέτοιο QS, τα σημαντικά χαρακτηριστικά είναι:

· μέσος αριθμός εφαρμογών στην ουρά.

· μέσος αριθμός εφαρμογών στο σύστημα (σε ουρά και υπό υπηρεσία)·

· μέσος χρόνος αναμονής για μια εφαρμογή στην ουρά.

· ο μέσος χρόνος παραμονής μιας εφαρμογής στο σύστημα (σε ουρά και υπό υπηρεσία)·

καθώς και άλλα χαρακτηριστικά προσδοκίας.

Για ένα QS με περιορισμένη αναμονή, ενδιαφέρουν και οι δύο ομάδες χαρακτηριστικών: τόσο η απόλυτη όσο και η σχετική απόδοση και τα χαρακτηριστικά αναμονής.

Για να αναλυθεί η διαδικασία που συμβαίνει στο QS, είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε τις κύριες παραμέτρους του συστήματος: τον αριθμό των καναλιών Π,ένταση της ροής εφαρμογώνλ , την απόδοση κάθε καναλιού (ο μέσος αριθμός αιτημάτων μ που εξυπηρετούνται από το κανάλι ανά μονάδα χρόνου), προϋποθέσεις για το σχηματισμό ουράς (περιορισμοί, εάν υπάρχουν).

Ανάλογα με τις τιμές αυτών των παραμέτρων, εκφράζονται τα χαρακτηριστικά απόδοσης του QS.

10.6.4. Τύποι υπολογισμού των χαρακτηριστικών του QS για την περίπτωση σέρβις με μία συσκευή

Εικόνα 0 - 6 Μοντέλο συστήματος αναμονής με ουρά

Τέτοιες ουρές μπορούν να δημιουργηθούν από μηνύματα στην είσοδο του επεξεργαστή που περιμένουν επεξεργασία. Μπορούν να προκύψουν κατά τη λειτουργία σημείων συνδρομητών που είναι συνδεδεμένα σε κανάλι επικοινωνίας πολλαπλών σημείων. Αντίστοιχα σχηματίζονται ουρές αυτοκινήτων στα πρατήρια καυσίμων. Ωστόσο, αν υπάρχουν περισσότερες από μία είσοδοι υπηρεσιών, έχουμε μια ουρά με πολλές συσκευές και η ανάλυση γίνεται πιο περίπλοκη.

Ας εξετάσουμε την περίπτωση της απλούστερης ροής αιτημάτων υπηρεσίας.

Ο σκοπός της θεωρίας της ουράς που παρουσιάζεται είναι να προσεγγίσει το μέσο μέγεθος της ουράς, καθώς και τον μέσο χρόνο που αφιερώνουν τα μηνύματα σε αναμονή σε ουρές. Συνιστάται επίσης να υπολογίσετε πόσο συχνά η ουρά υπερβαίνει ένα ορισμένο μήκος. Αυτές οι πληροφορίες θα μας επιτρέψουν να υπολογίσουμε, για παράδειγμα, την απαιτούμενη ποσότητα μνήμης buffer για την αποθήκευση ουρών μηνυμάτων και αντίστοιχων προγραμμάτων, τον απαιτούμενο αριθμό γραμμών επικοινωνίας, τα απαιτούμενα μεγέθη buffer για διανομείς κ.λπ. Θα είναι δυνατός ο υπολογισμός των χρόνων απόκρισης.

Κάθε ένα από τα χαρακτηριστικά ποικίλλει ανάλογα με τα μέσα που χρησιμοποιούνται.

Σκεφτείτε μια ουρά με έναν διακομιστή. Κατά το σχεδιασμό ενός υπολογιστικού συστήματος, οι περισσότερες ουρές αυτού του τύπου υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τους συγκεκριμένους τύπους.συντελεστής διακύμανσης του χρόνου υπηρεσίας

Ο τύπος Khinchin-Polacek χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό των μηκών της ουράς κατά το σχεδιασμό συστημάτων πληροφοριών. Χρησιμοποιείται στην περίπτωση της εκθετικής κατανομής του χρόνου άφιξης για οποιαδήποτε κατανομή του χρόνου εξυπηρέτησης και κάθε πειθαρχία ελέγχου, εφόσον η επιλογή του επόμενου μηνύματος για σέρβις δεν εξαρτάται από τον χρόνο εξυπηρέτησης.

Κατά το σχεδιασμό συστημάτων, υπάρχουν περιπτώσεις όπου δημιουργούνται ουρές όταν η πειθαρχία διαχείρισης εξαρτάται αναμφίβολα από τον χρόνο εξυπηρέτησης. Για παράδειγμα, σε ορισμένες περιπτώσεις ενδέχεται να επιλέξουμε μικρότερα μηνύματα για υπηρεσία προτεραιότητας, προκειμένου να επιτύχουμε χαμηλότερο μέσο χρόνο εξυπηρέτησης. Όταν ελέγχετε μια γραμμή επικοινωνίας, μπορείτε να δώσετε μεγαλύτερη προτεραιότητα στα μηνύματα εισαγωγής παρά στα μηνύματα εξόδου, επειδή τα πρώτα είναι πιο σύντομα. Σε τέτοιες περιπτώσεις, δεν είναι πλέον απαραίτητο να χρησιμοποιείται η εξίσωση Khinchin

Οι περισσότεροι χρόνοι εξυπηρέτησης στα πληροφοριακά συστήματα βρίσκονται κάπου μεταξύ αυτών των δύο περιπτώσεων. Οι χρόνοι συντήρησης ίσοι με σταθερή τιμή είναι σπάνιοι. Ακόμη και ο χρόνος πρόσβασης στον σκληρό δίσκο δεν είναι σταθερός λόγω των διαφορετικών θέσεων των συστοιχιών δεδομένων στην επιφάνεια. Ένα παράδειγμα που απεικονίζει την περίπτωση του σταθερού χρόνου υπηρεσίας είναι η κατάληψη μιας γραμμής επικοινωνίας για τη μετάδοση μηνυμάτων σταθερού μήκους.

Από την άλλη, η διασπορά του χρόνου εξυπηρέτησης δεν είναι τόσο μεγάλη όσο στην περίπτωση της αυθαίρετης ή εκθετικής κατανομής του, δηλ.σs σπάνια φτάνει σε αξίεςts. Αυτή η περίπτωση μερικές φορές θεωρείται η «χειρότερη περίπτωση» και επομένως χρησιμοποιούν τύπους που σχετίζονται με την εκθετική κατανομή των χρόνων εξυπηρέτησης. Ένας τέτοιος υπολογισμός μπορεί να δώσει ελαφρώς διογκωμένα μεγέθη ουρών και χρόνους αναμονής σε αυτές, αλλά αυτό το σφάλμα δεν είναι τουλάχιστον επικίνδυνο.

Η εκθετική κατανομή των χρόνων εξυπηρέτησης δεν είναι, φυσικά, η χειρότερη περίπτωση στην πραγματικότητα. Ωστόσο, εάν οι χρόνοι εξυπηρέτησης που προκύπτουν από τους υπολογισμούς της ουράς αποδεικνύεται ότι κατανέμονται χειρότερα από τους χρόνους που κατανέμονται εκθετικά, αυτό είναι συχνά ένα προειδοποιητικό σημάδι για τον σχεδιαστή. Εάν η τυπική απόκλιση είναι μεγαλύτερη από τον μέσο όρο, τότε συνήθως υπάρχει ανάγκη προσαρμογής των υπολογισμών.

Εξετάστε το ακόλουθο παράδειγμα. Υπάρχουν έξι τύποι μηνυμάτων με χρόνους εξυπηρέτησης 15, 20, 25, 30, 35 και 300. Ο αριθμός των μηνυμάτων κάθε τύπου είναι ο ίδιος. Η τυπική απόκλιση των χρόνων που υποδεικνύονται είναι ελαφρώς υψηλότερη από τον μέσο όρο τους. Η τιμή του τελευταίου χρόνου σέρβις είναι πολύ υψηλότερη από άλλες. Αυτό θα κάνει τα μηνύματα να παραμείνουν στην ουρά πολύ περισσότερο από ό,τι αν οι χρόνοι εξυπηρέτησης ήταν της ίδιας τάξης μεγέθους. Σε αυτήν την περίπτωση, κατά το σχεδιασμό, είναι σκόπιμο να ληφθούν μέτρα για τη μείωση του μήκους της ουράς. Για παράδειγμα, εάν αυτοί οι αριθμοί σχετίζονται με το μήκος μηνυμάτων, τότε ίσως αξίζει να χωρίσετε τα πολύ μεγάλα μηνύματα σε μέρη.

10.6.6. Παράδειγμα υπολογισμού

Κατά το σχεδιασμό ενός τραπεζικού συστήματος, είναι επιθυμητό να γνωρίζουμε τον αριθμό των πελατών που θα πρέπει να περιμένουν στην ουρά για έναν ταμείο κατά τις ώρες αιχμής.

Ο χρόνος απόκρισης του συστήματος και η τυπική του απόκλιση υπολογίζονται λαμβάνοντας υπόψη τον χρόνο εισαγωγής δεδομένων από το σταθμό εργασίας, την εκτύπωση και την εκτέλεση του εγγράφου.

Οι ενέργειες του ταμία ήταν χρονομετρημένες. Ο χρόνος εξυπηρέτησης ts είναι ίσος με τον συνολικό χρόνο που αφιερώνει ο ταμίας στον πελάτη. Το ποσοστό χρησιμοποίησης του ταμείου ρ είναι ανάλογο του χρόνου που απασχολείται. Εάν λ είναι ο αριθμός των πελατών κατά τις ώρες αιχμής, τότε το ρ για το ταμείο είναι ίσο με

Ας υποθέσουμε ότι τις ώρες αιχμής υπάρχουν 30 πελάτες την ώρα. Κατά μέσο όρο, ένας ταμίας ξοδεύει 1,5 λεπτό ανά πελάτη. Επειτα

ρ =(1,5 * 30) / 60 = 0,75

δηλαδή το ταμείο χρησιμοποιείται στο 75%.

Ο αριθμός των ατόμων στη σειρά μπορεί να εκτιμηθεί γρήγορα χρησιμοποιώντας γραφήματα. Από αυτά προκύπτει ότι αν ρ = 0,75, τότε ο μέσος αριθμός nq ατόμωνσε μια γραμμή ταμείου κυμαίνεται μεταξύ 1,88 και 3,0 ανάλογα με την τυπική απόκλιση για ts .

Ας υποθέσουμε τη μέτρηση της τυπικής απόκλισης για tμικρό έδωσε τιμή 0,5 min. Επειτα

σ s = 0,33 t s

Από το γράφημα στο πρώτο σχήμα βρίσκουμε ότι nq = 2,0, δηλαδή, κατά μέσο όρο, δύο πελάτες θα περιμένουν στο ταμείο.

Ο συνολικός χρόνος που ξοδεύει ένας πελάτης στο ταμείο μπορεί να βρεθεί ως

t ∑ = t q + t s = 2,5 λεπτά + 1,5 λεπτά = 4 λεπτά

όπου t s υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο Khinchin-Polacek.

10.6.7. Συντελεστής κέρδους

Αναλύοντας τις καμπύλες που φαίνονται στα σχήματα, βλέπουμε ότι όταν ο εξοπλισμός που εξυπηρετεί την ουρά χρησιμοποιείται περισσότερο από 80%, οι καμπύλες αρχίζουν να αυξάνονται με ανησυχητικό ρυθμό. Αυτό το γεγονός είναι πολύ σημαντικό κατά το σχεδιασμό συστημάτων μετάδοσης δεδομένων. Εάν σχεδιάζουμε ένα σύστημα με περισσότερο από 80% χρήση υλικού, τότε μια ελαφρά αύξηση της κυκλοφορίας μπορεί να προκαλέσει πτώση της απόδοσης του συστήματος ή ακόμα και κατάρρευση.

Αύξηση της εισερχόμενης κίνησης κατά μικρό αριθμό x%. οδηγεί σε αύξηση του μεγέθους της ουράς κατά περίπου

Εάν το ποσοστό χρήσης του εξοπλισμού είναι 50%, τότε αυτή η αύξηση είναι ίση με 4ts% για την εκθετική κατανομή του χρόνου εξυπηρέτησης. Αλλά εάν το ποσοστό χρήσης υλικού είναι 90%, τότε η αύξηση του μεγέθους της ουράς είναι 100ts%, που είναι 25 φορές μεγαλύτερη. Μια ελαφρά αύξηση του φορτίου στο 90% της χρήσης εξοπλισμού έχει ως αποτέλεσμα μια 25πλάσια αύξηση των μεγεθών της ουράς σε σύγκριση με την περίπτωση χρήσης εξοπλισμού 50%.

Ομοίως, ο χρόνος που δαπανάται στην ουρά αυξάνεται κατά

Με έναν εκθετικά κατανεμημένο χρόνο εξυπηρέτησης, αυτή η τιμή έχει τιμή 4 t s 2 για συντελεστή χρήσης εξοπλισμού ίσος με 50% και 100 t s 2 για συντελεστή 90%, δηλαδή πάλι 25 φορές χειρότερο.

Επιπλέον, για χαμηλά ποσοστά χρήσης εξοπλισμού, η επίδραση των αλλαγών στο σs στο μέγεθος της ουράς είναι αμελητέα. Ωστόσο, για μεγάλους συντελεστές η μεταβολή του σμικρό επηρεάζει πολύ το μέγεθος της ουράς. Επομένως, κατά το σχεδιασμό συστημάτων με υψηλή χρήση εξοπλισμού, είναι επιθυμητό να λαμβάνετε ακριβείς πληροφορίες σχετικά με την παράμετροσ μικρό. Ανακρίβεια της υπόθεσης σχετικά με την εκθετικότητα της κατανομής tμικρόείναι πιο αισθητή σε μεγάλες τιμές του ρ. Επιπλέον, εάν ο χρόνος εξυπηρέτησης αυξηθεί ξαφνικά, κάτι που είναι δυνατό στα κανάλια επικοινωνίας κατά τη μετάδοση μεγάλων μηνυμάτων, τότε στην περίπτωση μεγάλου ρ θα σχηματιστεί μια σημαντική ουρά.

Πολύ συχνά, κατά την ανάλυση των οικονομικών συστημάτων, είναι απαραίτητο να λυθούν τα λεγόμενα προβλήματα ουράς που προκύπτουν στην ακόλουθη κατάσταση. Ας αναλύσουμε ένα σύστημα συντήρησης αυτοκινήτου που αποτελείται από έναν αριθμό σταθμών διαφόρων χωρητικότητας. Σε κάθε σταθμό (στοιχείο συστήματος), μπορεί να προκύψουν τουλάχιστον δύο τυπικές καταστάσεις:

1. ο αριθμός των αιτημάτων είναι πολύ μεγάλος για έναν συγκεκριμένο σταθμό, δημιουργούνται ουρές και πρέπει να πληρώσετε για καθυστερήσεις στην υπηρεσία.
2. ο σταθμός δέχεται πολύ λίγα αιτήματα και τώρα πρέπει να λάβουμε υπόψη τις απώλειες που προκαλούνται από τη διακοπή λειτουργίας του σταθμού.

Είναι σαφές ότι ο σκοπός της ανάλυσης του συστήματος σε αυτή την περίπτωση είναι να προσδιορίσει κάποια αναλογία μεταξύ των απωλειών εισοδήματος λόγω ουρέςκαι απώλειες λόγω μόνο εγώσταθμούς.

Θεωρία ουράς– ένα ειδικό τμήμα της θεωρίας συστημάτων είναι ένα τμήμα της θεωρίας πιθανοτήτων στο οποίο μελετώνται τα συστήματα ουράς με χρήση μαθηματικών μοντέλων.

Σύστημα ουράς (QS)είναι ένα μοντέλο που περιλαμβάνει: 1) μια τυχαία ροή απαιτήσεων, κλήσεων ή πελατών που χρειάζονται εξυπηρέτηση. 2) αλγόριθμος για την εκτέλεση αυτής της υπηρεσίας. 3) κανάλια (συσκευές) για σέρβις.

Παραδείγματα παρόχων υπηρεσιών είναι ταμειακές μηχανές, βενζινάδικα, αεροδρόμια, πωλητές, κομμωτήρια, γιατροί, τηλεφωνικά κέντρα και άλλες εγκαταστάσεις όπου εξυπηρετούνται ορισμένα αιτήματα.

Πρόβλημα θεωρίας ουράςσυνίσταται στην ανάπτυξη συστάσεων για την ορθολογική κατασκευή των QS και την ορθολογική οργάνωση της εργασίας τους προκειμένου να διασφαλιστεί η υψηλή απόδοση της υπηρεσίας με βέλτιστο κόστος.

Το κύριο χαρακτηριστικό των εργασιών αυτής της κατηγορίας είναι η προφανής εξάρτηση των αποτελεσμάτων της ανάλυσης και των συστάσεων που λαμβάνονται από δύο εξωτερικούς παράγοντες: τη συχνότητα παραλαβής και την πολυπλοκότητα των παραγγελιών (και επομένως τον χρόνο εκτέλεσής τους).

Το αντικείμενο της θεωρίας ουράς είναι η δημιουργία μιας σχέσης μεταξύ της φύσης της ροής των αιτημάτων, της απόδοσης ενός μεμονωμένου καναλιού υπηρεσίας, του αριθμού των καναλιών και της αποτελεσματικότητας της υπηρεσίας.

Οπως και χαρακτηριστικά του συστήματοςθεωρούνται:

• το μέσο ποσοστό των αιτήσεων που απορρίπτονται και αφήνουν το σύστημα χωρίς εξυπηρέτηση·
• μέσος χρόνος διακοπής λειτουργίας μεμονωμένων καναλιών και του συστήματος συνολικά·
• μέσος χρόνος αναμονής στην ουρά.
• την πιθανότητα η ληφθείσα αίτηση να εξυπηρετηθεί άμεσα·
• νόμος της κατανομής μήκους ουράς και άλλα.

Ας προσθέσουμε ότι οι εφαρμογές (απαιτήσεις) φτάνουν στο QS τυχαία (σε τυχαίες στιγμές), με σημεία συμπύκνωσης και αραίωσης. Ο χρόνος εξυπηρέτησης για κάθε αίτημα είναι επίσης τυχαίος, μετά τον οποίο το κανάλι εξυπηρέτησης ελευθερώνεται και είναι έτοιμο να εκπληρώσει το επόμενο αίτημα. Κάθε QS, ανάλογα με τον αριθμό των καναλιών και την απόδοσή τους, έχει μια συγκεκριμένη χωρητικότητα. Διακίνηση QSΜπορεί απόλυτος(μέσος αριθμός αιτήσεων που εξυπηρετούνται ανά μονάδα χρόνου) και συγγενής(μέση αναλογία του αριθμού των αιτήσεων που εξυπηρετήθηκαν προς τον αριθμό των αιτήσεων που υποβλήθηκαν).

3.1 Μοντέλα συστημάτων ουράς.

Κάθε QS μπορεί να χαρακτηριστεί από την έκφραση: (α / β / γ) : (δ / ε / στ) , Οπου

ένα - κατανομή της ροής εισόδου των εφαρμογών·

σι - κατανομή της ροής εξόδου των εφαρμογών.

ντο – διαμόρφωση του μηχανισμού σέρβις.

ρε – πειθαρχία στην ουρά

μι – μπλοκ αναμονής.

φά – χωρητικότητα πηγής.

Τώρα ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά σε κάθε χαρακτηριστικό.

Ροή εισόδου εφαρμογών– τον ​​αριθμό των αιτήσεων που ελήφθησαν στο σύστημα. Χαρακτηρίζεται από την ένταση της ροής εισόδου μεγάλο.

Ροή εξόδου εφαρμογών– τον ​​αριθμό των αιτήσεων που εξυπηρετούνται από το σύστημα. Χαρακτηρίζεται από την ένταση της ροής εξόδου Μ.

διαμόρφωση συστήματοςυποδηλώνει τον συνολικό αριθμό καναλιών και κόμβων υπηρεσίας. Το QS μπορεί να περιέχει:

1. ένα κανάλιυπηρεσίες (ένας διάδρομος προσγείωσης, ένας πωλητής)·
2. ένα κανάλι υπηρεσίας συμπεριλαμβανομένου αρκετούς διαδοχικούς κόμβους(καντίνα, κλινική, μεταφορέας)?
3. πολλά κανάλια του ίδιου τύπουυπηρεσίες που συνδέονται παράλληλα (πρατήρια καυσίμων, υπηρεσία πληροφοριών, σιδηροδρομικός σταθμός).

Έτσι, είναι δυνατή η διάκριση μονοκαναλικού και πολυκαναλικού QS.

Από την άλλη πλευρά, εάν όλα τα κανάλια υπηρεσιών στο QS είναι κατειλημμένα, τότε η προσεγγιζόμενη εφαρμογή μπορεί να παραμείνει στην ουρά ή να φύγει από το σύστημα (για παράδειγμα, ένα ταμιευτήριο και ένα τηλεφωνικό κέντρο). Σε αυτή την περίπτωση, μιλάμε για συστήματα με ουρά (αναμονή) και συστήματα με αστοχίες.

Ουρά– αυτό είναι ένα σύνολο αιτημάτων που έχουν εισέλθει στο σύστημα για σέρβις και βρίσκονται σε αναμονή εξυπηρέτησης. Η ουρά χαρακτηρίζεται από το μήκος της ουράς και την πειθαρχία της.

Πειθαρχία στην ουρά– αυτός είναι ο κανόνας για την εξυπηρέτηση των αιτημάτων από την ουρά. Οι κύριοι τύποι ουράς περιλαμβάνουν τα ακόλουθα:

1. Το PERPPO (πρώτος σερβίρεται πρώτος) είναι ο πιο κοινός τύπος.
2. POSPPO (τελευταίο, πρώτο σερβίρισμα).
3. ROP (τυχαία επιλογή εφαρμογών) – από την τράπεζα δεδομένων.
4. PR – υπηρεσία προτεραιότητας.

Μήκος ουράςΜπορεί

• απεριόριστο - τότε μιλάνε για ένα σύστημα με καθαρή προσδοκία.
• ίσο με μηδέν - τότε μιλούν για ένα σύστημα με αποτυχίες.
• περιορισμένο μήκος (σύστημα μικτού τύπου).

Μπλοκ αναμονής– «χωρητικότητα» του συστήματος – ο συνολικός αριθμός των εφαρμογών στο σύστημα (σε ουρά και σε υπηρεσία). Ετσι, e=c+ρε.

Χωρητικότητα πηγήςΗ δημιουργία αιτημάτων υπηρεσίας είναι ο μέγιστος αριθμός αιτημάτων που μπορούν να ληφθούν από το QS. Για παράδειγμα, σε ένα αεροδρόμιο η χωρητικότητα της πηγής περιορίζεται από τον αριθμό όλων των υπαρχόντων αεροσκαφών και η χωρητικότητα πηγής ενός τηλεφωνικού κέντρου είναι ίση με τον αριθμό των κατοίκων της Γης, δηλ. μπορεί να θεωρηθεί απεριόριστο.

Ο αριθμός των μοντέλων QS αντιστοιχεί στον αριθμό των πιθανών συνδυασμών αυτών των στοιχείων.

3.2 Ροή απαιτήσεων εισόδου.

Σε κάθε χρονική περίοδο [ ένα, ένα+ Τ ], συνδέστε την τυχαία μεταβλητή Χ, ίσο με τον αριθμό των αιτημάτων που έλαβε το σύστημα κατά τη διάρκεια του χρόνου Τ.

Η ροή των απαιτήσεων ονομάζεται ακίνητος, εάν ο νόμος κατανομής δεν εξαρτάται από το αρχικό σημείο του διαστήματος ΕΝΑ, αλλά εξαρτάται μόνο από το μήκος του δεδομένου διαστήματος Τ. Για παράδειγμα, μια ροή αιτημάτων σε τηλεφωνικό κέντρο κατά τη διάρκεια της ημέρας ( Τ=24 ώρες) δεν μπορεί να θεωρηθεί ακίνητο, αλλά από 13 έως 14 ώρες ( Τ=60 λεπτά) – μπορείτε.

Το ρέμα λέγεται χωρίς επακόλουθο, εάν το ιστορικό ροής δεν επηρεάζει την άφιξη των απαιτήσεων στο μέλλον, π.χ. οι απαιτήσεις είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους.

Το ρέμα λέγεται συνήθης, εάν δεν μπορούν να εισέλθουν περισσότερα από ένα αιτήματα στο σύστημα σε πολύ σύντομο χρονικό διάστημα. Για παράδειγμα, η ροή στο κομμωτήριο είναι συνηθισμένη, αλλά στο γραφείο μητρώου - όχι. Αλλά, εάν ως τυχαία μεταβλητή Χγια να εξετάσετε ζεύγη αιτήσεων που λαμβάνονται από το γραφείο μητρώου, τότε μια τέτοια ροή θα είναι συνηθισμένη (δηλαδή, μερικές φορές μια έκτακτη ροή μπορεί να μειωθεί σε μια συνηθισμένη).

Το ρέμα λέγεται το πιο απλό, αν είναι ακίνητο, χωρίς αποτέλεσμα και συνηθισμένο.

Κύριο θεώρημα.Εάν η ροή είναι η απλούστερη, τότε η r.v. X[a. α+ Τ] κατανέμεται σύμφωνα με το νόμο του Poisson, δηλ. .

Συμπέρασμα 1. Η απλούστερη ροή ονομάζεται επίσης ροή Poisson.

Συμπέρασμα 2. Μ(Χ)= Μ(Χ [ ένα , ένα + Τ ] )= μεγάλοΤ, δηλ. στη διάρκεια Τ μεγάλοΤεφαρμογές. Επομένως, ανά μονάδα χρόνου, το σύστημα λαμβάνει κατά μέσο όρο μεγάλοεφαρμογές. Αυτή η ποσότητα ονομάζεται έντασηροή εισόδου.

Ας εξετάσουμε ένα ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ .

Το στούντιο δέχεται κατά μέσο όρο 3 αιτήσεις την ημέρα. Θεωρώντας τη ροή ως την απλούστερη, βρείτε την πιθανότητα τις επόμενες δύο ημέρες ο αριθμός των αιτήσεων να είναι τουλάχιστον 5.

Λύση.

Σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος, μεγάλο=3, Τ=2 ημέρες, η ροή εισόδου είναι Poisson, n ³5. όταν αποφασίζετε, είναι βολικό να εισάγετε το αντίθετο γεγονός, που συνίσταται στο γεγονός ότι κατά τη διάρκεια του χρόνου Τθα ληφθούν λιγότερες από 5 αιτήσεις. Επομένως, σύμφωνα με τον τύπο Poisson, παίρνουμε

^

3.3 Κατάσταση συστήματος. Πίνακας και γράφημα μετάβασης.

Σε μια τυχαία χρονική στιγμή, το QS αλλάζει από τη μια κατάσταση στην άλλη: αλλάζει ο αριθμός των κατειλημμένων καναλιών, ο αριθμός των αιτημάτων και των ουρών κ.λπ.. Έτσι, το QS με nκανάλια και ένα μήκος ουράς ίσο με Μ, μπορεί να βρίσκεται σε μία από τις ακόλουθες καταστάσεις:

μι 0 – όλα τα κανάλια είναι δωρεάν.

μι 1 – ένα κανάλι είναι απασχολημένο.

μι n– όλα τα κανάλια είναι απασχολημένα.

μι n +1 – όλα τα κανάλια είναι απασχολημένα και ένα αίτημα βρίσκεται στην ουρά.

μι n + Μ– όλα τα κανάλια και όλες οι θέσεις στην ουρά είναι κατειλημμένα.

Ένα παρόμοιο σύστημα με αποτυχίες μπορεί να υπάρχει στις πολιτείες μι 0 – μι n .

Για ένα QS με καθαρή προσδοκία, υπάρχει ένας άπειρος αριθμός καταστάσεων. Ετσι, κατάσταση μι n QS σε μια χρονική στιγμή t – αυτή είναι η ποσότητα n εφαρμογές (απαιτήσεις) που βρίσκονται στο σύστημα σε μια δεδομένη στιγμή, π.χ. n= n(t) - τυχαία τιμή, μι n (t) είναι τα αποτελέσματα αυτής της τυχαίας μεταβλητής, και Π n (t) – πιθανότητα το σύστημα να βρίσκεται σε κατάσταση μι n .

Γνωρίζουμε ήδη την κατάσταση του συστήματος. Σημειώστε ότι δεν είναι όλες οι καταστάσεις του συστήματος ισοδύναμες. Η κατάσταση του συστήματος ονομάζεται πηγή, εάν το σύστημα μπορεί να βγει από αυτήν την κατάσταση, αλλά δεν μπορεί να επιστρέψει σε αυτήν. Η κατάσταση του συστήματος ονομάζεται απομονωμένος,εάν το σύστημα δεν μπορεί να βγει ή να εισέλθει σε αυτήν την κατάσταση.

Για την απεικόνιση των καταστάσεων του συστήματος, χρησιμοποιούνται διαγράμματα (τα λεγόμενα γραφήματα μετάβασης), στα οποία τα βέλη υποδεικνύουν πιθανές μεταβάσεις του συστήματος από τη μια κατάσταση στην άλλη, καθώς και τις πιθανότητες τέτοιων μεταβάσεων.

Εικόνα 3.1 – γράφημα μετάβασης

Comp.	Ε 0	Ε 1	Ε 2
Ε 0	Ρ 0,0	Ρ 0.1	Ρ 0.2
Ε 1	Ρ 1.0	Ρ 1.1	R 1.2
Ε 2	R 2.0	R 2.2	R 2.2

Μερικές φορές είναι επίσης βολικό να χρησιμοποιείτε έναν πίνακα μετάβασης. Στην περίπτωση αυτή, η πρώτη στήλη δείχνει τις αρχικές καταστάσεις του συστήματος (τρέχουσα) και στη συνέχεια δίνονται οι πιθανότητες μετάβασης από αυτές τις καταστάσεις σε άλλες.

Αφού το σύστημα σίγουρα θα μετακινηθεί από ένα

καταστάσεις σε μια άλλη, τότε το άθροισμα των πιθανοτήτων σε κάθε γραμμή είναι πάντα ίσο με μία.

3.4 Μονοκάναλο QS.

3.4.1 Μονοκάναλο QS με βλάβες.

Θα εξετάσουμε συστήματα που πληρούν τις απαιτήσεις:

(P/E/1):(–/1/¥) . Ας υποθέσουμε επίσης ότι ο χρόνος που απαιτείται για την εξυπηρέτηση ενός αιτήματος δεν εξαρτάται από τον αριθμό των αιτημάτων που εισέρχονται στο σύστημα. Εδώ και παρακάτω, το "P" σημαίνει ότι η ροή εισόδου κατανέμεται σύμφωνα με το νόμο του Poisson, δηλ. το απλούστερο, "E" σημαίνει ότι η ροή εξόδου κατανέμεται σύμφωνα με έναν εκθετικό νόμο. Επίσης εδώ και παρακάτω δίνονται οι βασικοί τύποι χωρίς απόδειξη.

Για ένα τέτοιο σύστημα, δύο καταστάσεις είναι δυνατές: μι 0 – το σύστημα είναι δωρεάν και μι 1 – το σύστημα είναι απασχολημένο. Ας δημιουργήσουμε έναν πίνακα μετάβασης. Ας πάρουμε ρεt- ένα απειροελάχιστο χρονικό διάστημα. Έστω γεγονός Α αυτό στο σύστημα στο χρόνο ρεtελήφθη ένα αίτημα. Το γεγονός Β είναι αυτό κατά τη διάρκεια του χρόνου ρεtένα αίτημα εξυπηρετήθηκε. Εκδήλωση ΕΝΑ Εγώ , κ- στη διάρκεια ρεtτο σύστημα θα μεταβεί από το κράτος μι Εγώσε μια πολιτεία μι κ. Επειδή μεγάλοείναι η ένταση της ροής εισόδου, στη συνέχεια με την πάροδο του χρόνου ρεtκατά μέσο όρο μπαίνει στο σύστημα l*Dtαπαιτήσεις. Δηλαδή η πιθανότητα να λάβεις ένα αίτημα Ρ(Α)=μεγάλο* ρεt, και την πιθανότητα του αντίθετου συμβάντος Р(Ā)=1-l*Dt.Ρ(Β)=φά(ρεt)= Π(σι< ρε t)=1- μι - Μ ρε t = Μ ρεt– πιθανότητα να εξυπηρετηθεί έγκαιρα ένα αίτημα ρεt. Στη συνέχεια A 00 - η αίτηση δεν θα παραληφθεί ή θα παραληφθεί αλλά θα εξυπηρετηθεί. A 00 =Ā+A * V. P 00 =1 - l*Dt. (το λάβαμε υπόψη (ρεt) 2 – απειροελάχιστη τιμή)

A 01 - η αίτηση θα ληφθεί, αλλά δεν θα εξυπηρετηθεί. Α 01 =Α * . R 01 = l*Dt.

A 10 – η εφαρμογή θα εξυπηρετηθεί και δεν θα υπάρχει νέα. Α 10 =Β * ΕΝΑ. R 10 = m*Dt.

A 11 - η εφαρμογή δεν θα εξυπηρετηθεί ή θα ληφθεί μια νέα που δεν έχει ακόμη εξυπηρετηθεί. Α 11 = +Β * Α.Ρ 01 = 1- m*Dt.

Έτσι, παίρνουμε τον πίνακα μετάβασης:

Comp.	Ε 0	Ε 1
Ε 0	1-l * Dt	μεγάλο * Dt
Ε 1	Μ * Dt	1-μ * Dt

Πιθανότητα διακοπής λειτουργίας του συστήματος και αστοχίας.

Ας βρούμε τώρα την πιθανότητα το σύστημα να βρίσκεται σε κατάσταση μι 0 οποιαδήποτε στιγμή t(εκείνοι. R 0 ( t) ). Γράφημα μιας συνάρτησης
φαίνεται στο σχήμα 3.2.

Η ασύμπτωτη του γραφήματος είναι η ευθεία γραμμή
.

Προφανώς, ξεκινώντας από κάποια στιγμή t,

1

Εικόνα 3.2

Τελικά το καταλαβαίνουμε
Και
, Οπου R 1 (t) – η πιθανότητα ότι τη στιγμή του χρόνου t το σύστημα είναι απασχολημένο (δηλαδή είναι σε κατάσταση μι 1 ).

Είναι προφανές ότι στην αρχή της λειτουργίας του QS, η συνεχιζόμενη διαδικασία δεν θα είναι στατική: θα είναι μια «μεταβατική», μη στατική λειτουργία. Μετά από κάποιο χρονικό διάστημα (που εξαρτάται από τις εντάσεις των ροών εισόδου και εξόδου), αυτή η διαδικασία θα σταματήσει και το σύστημα θα μπει σε ακίνητη, σταθερή κατάσταση λειτουργίας και τα πιθανοτικά χαρακτηριστικά δεν θα εξαρτώνται πλέον από το χρόνο.

Σταθερός τρόπος λειτουργίας και συντελεστής φορτίου συστήματος.

Εάν η πιθανότητα το σύστημα να βρίσκεται σε κατάσταση μι κ, δηλ. R κ (t), δεν εξαρτάται από το χρόνο t, τότε λένε ότι έχει εγκατασταθεί το QS στατική λειτουργίαδουλειά. Σε αυτή την περίπτωση, η τιμή
που ονομάζεται συντελεστής φορτίου συστήματος(ή η μειωμένη πυκνότητα ροής των εφαρμογών). Μετά για τις πιθανότητες R 0 (t) Και R 1 (t) παίρνουμε τους παρακάτω τύπους:
,
. Μπορεί επίσης να συμπεράνει κανείς: Όσο υψηλότερος είναι ο συντελεστής φορτίου του συστήματος, τόσο μεγαλύτερη είναι η πιθανότητα αποτυχίας του συστήματος (δηλαδή, η πιθανότητα το σύστημα να είναι απασχολημένο).

Το πλυντήριο αυτοκινήτων διαθέτει μία μονάδα συντήρησης. Τα αυτοκίνητα φτάνουν σύμφωνα με μια διανομή Poisson με ρυθμό 5 αυτοκίνητα/ώρα. Ο μέσος χρόνος σέρβις για ένα μηχάνημα είναι 10 λεπτά. Βρείτε την πιθανότητα ότι ένα αυτοκίνητο που πλησιάζει θα βρει το σύστημα απασχολημένο εάν το QS λειτουργεί σε στάση.

Λύση.Σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος, μεγάλο=5, Μ y =5/6. Πρέπει να βρούμε την πιθανότητα R 1 – πιθανότητα αστοχίας του συστήματος.
.

3.4.2 Μονοκάναλο QS με απεριόριστο μήκος ουράς.

Θα εξετάσουμε συστήματα που ικανοποιούν τις απαιτήσεις: (P/E/1):(d/¥/¥). Το σύστημα μπορεί να βρίσκεται σε μία από τις πολιτείες μι 0 , …, μι κ, ... Η ανάλυση δείχνει ότι μετά από κάποιο χρονικό διάστημα ένα τέτοιο σύστημα αρχίζει να λειτουργεί σε σταθερή λειτουργία εάν η ένταση της ροής εξόδου υπερβαίνει την ένταση της ροής εισόδου (δηλαδή, ο συντελεστής φορτίου συστήματος είναι μικρότερος από ένα). Λαμβάνοντας υπόψη αυτή τη συνθήκη, παίρνουμε ένα σύστημα εξισώσεων

λύνοντας την οποία θα βρούμε ότι . Έτσι, υπό την προϋπόθεση ότι y<1, получим
Τελικά,
Και
– πιθανότητα το QS να βρίσκεται στην κατάσταση μι κσε μια τυχαία χρονική στιγμή.

Μέση απόδοση συστήματος.

Λόγω της άνισης παραλαβής των απαιτήσεων στο σύστημα και των διακυμάνσεων του χρόνου εξυπηρέτησης, σχηματίζεται ουρά στο σύστημα. Για ένα τέτοιο σύστημα μπορεί κανείς να ερευνήσει:

• n – τον ​​αριθμό των απαιτήσεων στο QS (σε ουρά και σε υπηρεσία)·
• v – μήκος ουράς
• w – χρόνος αναμονής για την έναρξη της υπηρεσίας·
• w 0 – συνολικός χρόνος που δαπανάται στο σύστημα.

Θα μας ενδιαφέρει μέτρια χαρακτηριστικά(δηλαδή παίρνουμε τη μαθηματική προσδοκία των τυχαίων μεταβλητών που εξετάζουμε και να θυμάστε ότι y<1).

– ο μέσος αριθμός εφαρμογών στο σύστημα.

– μέσο μήκος ουράς.

– μέσος χρόνος αναμονής για την έναρξη της υπηρεσίας, π.χ. χρόνος αναμονής στην ουρά.

– ο μέσος χρόνος που ξοδεύει μια εφαρμογή στο σύστημα – στην ουρά και για εξυπηρέτηση.

Στο πλυντήριο αυτοκινήτων υπάρχει ένα τετράγωνο για σέρβις και υπάρχει θέση για ουρά. Τα αυτοκίνητα φτάνουν σύμφωνα με μια διανομή Poisson με ρυθμό 5 αυτοκίνητα/ώρα. Ο μέσος χρόνος σέρβις για ένα μηχάνημα είναι 10 λεπτά. Βρείτε όλα τα μέσα χαρακτηριστικά του QS.

Λύση. μεγάλο=5, Μ=60min/10min = 6. Συντελεστής φορτίου y =5/6. Στη συνέχεια, ο μέσος αριθμός αυτοκινήτων στο σύστημα
, μέσο μήκος ουράς
, μέσος χρόνος αναμονής για την έναρξη της υπηρεσίας
ώρες = 50 λεπτά, και τέλος, ο μέσος χρόνος παραμονής στο σύστημα
ώρα.

3.4.3 Μικτού τύπου QS μονού καναλιού.

Ας υποθέσουμε ότι το μήκος της ουράς είναι Μαπαιτήσεις. Μετά, για οποιονδήποτε μικρό£ Μ, η πιθανότητα το QS να βρίσκεται στην κατάσταση μι 1+ μικρό, υπολογίζεται με τον τύπο
, δηλ. μια αίτηση επιδίδεται και μια άλλη μικρόοι εφαρμογές βρίσκονται στην ουρά.

Η πιθανότητα διακοπής λειτουργίας του συστήματος είναι
,

και η πιθανότητα αστοχίας του συστήματος είναι
.

Δίνονται τρία μονοκάναλα συστήματα, για το καθένα μεγάλο=5, Μ =6. Αλλά το πρώτο σύστημα είναι με αρνήσεις, το δεύτερο είναι με καθαρή αναμονή και το τρίτο είναι με περιορισμένο μήκος ουράς, Μ=2. Βρείτε και συγκρίνετε τις πιθανότητες διακοπής λειτουργίας αυτών των τριών συστημάτων.

Λύση.Συντελεστής φορτίου για όλα τα συστήματα y=5/6. Για ένα σύστημα με αστοχίες
. Για ένα καθαρό σύστημα αναμονής
. Για ένα σύστημα με περιορισμένο μήκος ουράς
. Το συμπέρασμα είναι προφανές: όσο περισσότερες εφαρμογές βρίσκονται στην ουρά, τόσο μικρότερη είναι η πιθανότητα διακοπής λειτουργίας του συστήματος.

3.5 Πολυκαναλικό QS.

3.5.1 Πολυκαναλικό QS με βλάβες.

Θα εξετάσουμε συστήματα (P/E/s):(-/s/¥) με την υπόθεση ότι ο χρόνος υπηρεσίας δεν εξαρτάται από τη ροή εισόδου και όλες οι γραμμές λειτουργούν ανεξάρτητα. Τα πολυκαναλικά συστήματα, εκτός από τον συντελεστή φορτίου, μπορούν να χαρακτηριστούν και από τον συντελεστή
, Οπου μικρό– αριθμός καναλιών εξυπηρέτησης. Μελετώντας το πολυκαναλικό QS, λαμβάνουμε τους ακόλουθους τύπους (φόρμουλες Erlang) για την πιθανότητα το σύστημα να βρίσκεται σε κατάσταση μι κσε τυχαίο χρόνο:

, k=0, 1, …

Λειτουργία κόστους.

Όπως και με τα μονοκάναλα συστήματα, η αύξηση του συντελεστή φορτίου αυξάνει την πιθανότητα αστοχίας του συστήματος. Από την άλλη πλευρά, η αύξηση του αριθμού των γραμμών εξυπηρέτησης οδηγεί σε αύξηση της πιθανότητας διακοπής λειτουργίας του συστήματος ή των μεμονωμένων καναλιών. Επομένως, είναι απαραίτητο να βρεθεί ο βέλτιστος αριθμός καναλιών εξυπηρέτησης για ένα δεδομένο QS. Ο μέσος αριθμός δωρεάν γραμμών εξυπηρέτησης μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο
. Ας παρουσιάσουμε το C( μικρό) – συνάρτηση κόστους QS ανάλογα με Με 1 – το κόστος μιας άρνησης (πρόστιμο για ανεκπλήρωτη αίτηση) και από Με 2 – κόστος διακοπής λειτουργίας μιας γραμμής ανά μονάδα χρόνου.

Για να βρείτε τη βέλτιστη επιλογή, πρέπει να βρείτε (και αυτό μπορεί να γίνει) την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης κόστους: ΜΕ(μικρό) = s 1* μεγάλο * Π μικρό +s 2*, το γράφημα του οποίου παρουσιάζεται στην Εικόνα 3.3:

Εικόνα 3.3

Η εύρεση της ελάχιστης τιμής της συνάρτησης κόστους συνίσταται στην εύρεση των τιμών της πρώτα για μικρό =1, μετά για μικρό =2, μετά για μικρό =3, κ.λπ. μέχρι σε κάποιο βήμα η τιμή της συνάρτησης C( μικρό) δεν θα γίνει μεγαλύτερο από το προηγούμενο. Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση έχει φτάσει στο ελάχιστο της και άρχισε να μεγαλώνει. Η απάντηση θα είναι ο αριθμός των καναλιών εξυπηρέτησης (τιμή μικρό), για την οποία η συνάρτηση κόστους είναι ελάχιστη.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ .

Πόσες γραμμές εξυπηρέτησης πρέπει να περιέχει ένα QS με αστοχίες αν μεγάλο=2 ζήτηση/ώρα, Μ=1 ζήτηση/ώρα, το πρόστιμο για κάθε βλάβη είναι 7 χιλιάδες ρούβλια, το κόστος διακοπής λειτουργίας μιας γραμμής είναι 2 χιλιάδες ρούβλια. στη μία η ώρα?

Λύση. y = 2/1=2. Με 1 =7, Με 2 =2.

Ας υποθέσουμε ότι το QS έχει δύο κανάλια εξυπηρέτησης, δηλ. μικρό =2. Επειτα
. Ως εκ τούτου, Γ(2) = γ 1 *μεγάλο*Π 2 +s 2 *(2- y*(1-ρ 2 )) = =7*2*0.4+2*(2-2*0.6)=7.2.

Ας το προσποιηθούμε μικρό =3. Επειτα
, Γ(3) = γ 1 *μεγάλο*Π 3 +s 2 *
=5.79.

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν τέσσερα κανάλια, δηλ. μικρό =4. Επειτα
,
, C(4) = γ 1 *μεγάλο*Π 4 +s 2 *
=5.71.

Ας υποθέσουμε ότι το QS έχει πέντε κανάλια εξυπηρέτησης, δηλ. μικρό =5. Επειτα
, C(5) = 6,7 – μεγαλύτερη από την προηγούμενη τιμή. Επομένως, ο βέλτιστος αριθμός καναλιών υπηρεσίας είναι τέσσερα.

3.5.2 Πολυκαναλικό QS με ουρά.

Θα εξετάσουμε τα συστήματα (P/E/s):(d/d+s/¥) με την υπόθεση ότι ο χρόνος υπηρεσίας δεν εξαρτάται από τη ροή εισόδου και όλες οι γραμμές λειτουργούν ανεξάρτητα. Θα πούμε ότι το σύστημα έχει εγκατασταθεί στατική λειτουργία, εάν ο μέσος αριθμός των εισερχόμενων αιτημάτων είναι μικρότερος από τον μέσο αριθμό αιτημάτων που εξυπηρετούνται σε όλες τις γραμμές του συστήματος, π.χ. μεγάλο

P(w>0) – πιθανότητα αναμονής για την έναρξη της υπηρεσίας,
.

Το τελευταίο χαρακτηριστικό μας επιτρέπει να λύσουμε το πρόβλημα του προσδιορισμού του βέλτιστου αριθμού καναλιών υπηρεσίας έτσι ώστε η πιθανότητα αναμονής για την έναρξη της υπηρεσίας να είναι μικρότερη από έναν δεδομένο αριθμό. Για να γίνει αυτό, αρκεί να υπολογίσετε την πιθανότητα αναμονής διαδοχικά στο μικρό =1, μικρό =2, μικρό=3, κ.λπ.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ .

Το SMO είναι ένας σταθμός ασθενοφόρων σε μια μικρή μικροπεριφέρεια. μεγάλο= 3 κλήσεις την ώρα, και Μ= 4 κλήσεις την ώρα για μία ομάδα. Πόσα πληρώματα πρέπει να έχετε στο σταθμό ώστε η πιθανότητα αναμονής για αναχώρηση να είναι μικρότερη από 0,01;

Λύση.Συντελεστής φορτίου συστήματος y =0,75. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν δύο διαθέσιμες ομάδες. Ας βρούμε την πιθανότητα να περιμένουμε την έναρξη της υπηρεσίας στις μικρό =2.
,
.

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν τρεις ομάδες, δηλ. μικρό=3. Σύμφωνα με τους τύπους παίρνουμε ότι R 0 =8/17, Р(w>0)=0.04>0.01 .

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν τέσσερις ομάδες στο σταθμό, δηλ. μικρό=4. Τότε το καταλαβαίνουμε R 0 =416/881, Р(w>0)=0.0077<0.01 . Επομένως, θα πρέπει να υπάρχουν τέσσερις ομάδες στον σταθμό.

3.6 Ερωτήσεις για αυτοέλεγχο

1. Θέμα και καθήκοντα της θεωρίας ουρών.
2. SMO, τα μοντέλα και οι ονομασίες τους.
3. Ροή απαιτήσεων εισόδου. Ένταση ροής εισόδου.
4. Κατάσταση του συστήματος. Πίνακας και γράφημα μετάβασης.
5. Μονοκάναλο QS με βλάβες.
6. Μονοκάναλο QS με ουρά. Χαρακτηριστικά.
7. Σταθερός τρόπος λειτουργίας. Συντελεστής φορτίου συστήματος.
8. Πολυκαναλικό QS με βλάβες.
9. Βελτιστοποίηση συνάρτησης κόστους.
10. Πολυκαναλικό QS με ουρά. Χαρακτηριστικά.

3.7 Ασκήσεις για ανεξάρτητη εργασία

1. Το σνακ μπαρ του βενζινάδικου διαθέτει έναν πάγκο. Τα αυτοκίνητα φτάνουν σύμφωνα με μια διανομή Poisson, με μέσο όρο 2 αυτοκίνητα ανά 5 λεπτά. Κατά μέσο όρο, 1,5 λεπτό είναι αρκετό για να ολοκληρωθεί μια παραγγελία, αν και η διάρκεια της υπηρεσίας κατανέμεται σύμφωνα με έναν εκθετικό νόμο. Βρείτε: α) την πιθανότητα διακοπής λειτουργίας. β) μέσα χαρακτηριστικά. γ) η πιθανότητα ο αριθμός των οχημάτων που θα φτάσουν να είναι τουλάχιστον 10.
2. Το μηχάνημα ακτίνων Χ επιτρέπει την εξέταση κατά μέσο όρο 7 ατόμων την ώρα. Η ένταση των επισκεπτών είναι 5 άτομα την ώρα. Υποθέτοντας σταθερή λειτουργία, προσδιορίστε τα μέσα χαρακτηριστικά.
3. Ο χρόνος υπηρεσίας στο QS υπακούει στον εκθετικό νόμο,
   Μ = 7 απαιτήσεις ανά ώρα. Βρείτε την πιθανότητα ότι α) ο χρόνος σέρβις κυμαίνεται από 3 έως 30 λεπτά. β) το αίτημα θα εξυπηρετηθεί εντός μίας ώρας. Χρησιμοποιήστε τον πίνακα τιμών συναρτήσεων μι Χ .
4. Το λιμάνι του ποταμού έχει ένα αγκυροβόλιο, η ένταση της εισερχόμενης ροής είναι 5 σκάφη την ημέρα. Η ένταση των εργασιών φόρτωσης και εκφόρτωσης είναι 6 πλοία την ημέρα. Έχοντας υπόψη τον στατικό τρόπο λειτουργίας, προσδιορίστε όλα τα μέσα χαρακτηριστικά του συστήματος.
5. μεγάλο=3, Μ=2, η ποινή για κάθε αστοχία είναι 5 και το κόστος διακοπής λειτουργίας μιας γραμμής είναι 2;
6. Ποιος είναι ο βέλτιστος αριθμός καναλιών υπηρεσίας που πρέπει να έχει ένα QS εάν μεγάλο=3, Μ =1, η ποινή για κάθε αστοχία είναι 7 και το κόστος διακοπής λειτουργίας μιας γραμμής είναι 3;
7. Ποιος είναι ο βέλτιστος αριθμός καναλιών υπηρεσίας που πρέπει να έχει ένα QS εάν μεγάλο=4, Μ=2, η ποινή για κάθε αστοχία είναι 5 και το κόστος διακοπής λειτουργίας μιας γραμμής είναι 1;
8. Προσδιορίστε τον αριθμό των διαδρόμων για αεροσκάφη, λαμβάνοντας υπόψη την απαίτηση ότι η πιθανότητα αναμονής πρέπει να είναι μικρότερη από 0,05. Ταυτόχρονα, η ένταση της ροής εισόδου είναι 27 αεροσκάφη την ημέρα και η ένταση της υπηρεσίας τους είναι 30 αεροσκάφη την ημέρα.
9. Πόσες ισοδύναμες ανεξάρτητες γραμμές μεταφοράς πρέπει να έχει ένα συνεργείο για να εξασφαλίσει έναν ρυθμό εργασίας στον οποίο η πιθανότητα αναμονής για τα προϊόντα προς επεξεργασία θα πρέπει να είναι μικρότερη από 0,03 (κάθε προϊόν παράγεται από μία γραμμή). Είναι γνωστό ότι η ένταση των παραγγελιών που λαμβάνονται είναι 30 προϊόντα την ώρα και η ένταση επεξεργασίας προϊόντων ανά μία γραμμή είναι 36 προϊόντα την ώρα.
10. Η συνεχής τυχαία μεταβλητή Χ κατανέμεται σύμφωνα με έναν εκθετικό νόμο με παράμετρο l=5. Βρείτε τη συνάρτηση κατανομής, τα χαρακτηριστικά και την πιθανότητα να χτυπήσετε το r.v. X στην περιοχή από 0,17 έως 0,28.
11. Ο μέσος αριθμός κλήσεων που φτάνουν στο PBX σε ένα λεπτό είναι 3. Υποθέτοντας ότι η ροή είναι Poisson, βρείτε την πιθανότητα ότι σε 2 λεπτά θα φτάσουν τα ακόλουθα: α) δύο κλήσεις. β) λιγότερες από δύο κλήσεις. γ) τουλάχιστον δύο κλήσεις.
12. Υπάρχουν 17 εξαρτήματα στο κουτί, εκ των οποίων τα 4 είναι ελαττωματικά. Ο συναρμολογητής επιλέγει τυχαία 5 μέρη. Βρείτε την πιθανότητα ότι α) όλα τα εξαγόμενα μέρη είναι υψηλής ποιότητας. β) από τα εξαγόμενα μέρη, τα 3 ήταν ελαττωματικά.
13. Πόσα κανάλια πρέπει να έχει ένα QS με αποτυχίες αν μεγάλο=2 ζήτηση/ώρα, Μ=1 ζήτηση/ώρα, το πρόστιμο για κάθε αστοχία είναι 8 χιλιάδες ρούβλια, το κόστος διακοπής λειτουργίας μιας γραμμής είναι 2 χιλιάδες ρούβλια. στη μία η ώρα?

1. Μονοκάναλο QS με βλάβες.

Παράδειγμα.Αφήστε ένα μονοκάναλο QS με βλάβες να αντιπροσωπεύει έναν ημερήσιο σταθμό συντήρησης (DS) για το πλύσιμο αυτοκινήτων. Μια αίτηση - ένα αυτοκίνητο που φτάνει σε μια στιγμή που η θέση είναι κατειλημμένη - απορρίπτεται η εξυπηρέτηση.

Ρυθμός ροής οχήματος = 1,0 (οχήματα ανά ώρα).

Η μέση διάρκεια υπηρεσίας είναι 1,8 ώρες.

Η ροή του αυτοκινήτου και η ροή υπηρεσιών είναι τα πιο απλά.

Ανάγκη προσδιορισμούσε οριακές τιμές σταθερής κατάστασης:

Σχετικό εύρος ζώνης q;

Απόλυτη απόδοση ΕΝΑ ;

Πιθανότητες αποτυχίας Π ανοιχτό.

Χρειάζεται σύγκριση πραγματικόςΔιακίνηση QS με ονομαστικός, που θα ήταν αν κάθε αυτοκίνητο είχε σέρβις ακριβώς 1,8 ώρα και τα αυτοκίνητα ακολουθούσαν το ένα μετά το άλλο χωρίς διάλειμμα.

2. Μονοκάναλο QS με αναμονή

Χαρακτηριστικά συστήματος

Ø Το SMO έχει ένα κανάλι.

Ø Η εισερχόμενη ροή αιτημάτων υπηρεσίας είναι η απλούστερη ροή με ένταση.

Ø Η ένταση της ροής υπηρεσίας είναι ίση με m (δηλαδή, κατά μέσο όρο, ένα συνεχώς απασχολημένο κανάλι θα εκδώσει m αιτήματα εξυπηρέτησης).

Ø Η διάρκεια υπηρεσίας είναι μια τυχαία μεταβλητή που υπόκειται στον νόμο της εκθετικής κατανομής.

Ø Η ροή υπηρεσιών είναι η απλούστερη ροή γεγονότων Poisson.

Ø Ένα αίτημα που λαμβάνεται όταν το κανάλι είναι απασχολημένο βρίσκεται στην ουρά και αναμένει εξυπηρέτηση.

Γράφημα κατάστασης

Οι καταστάσεις QS έχουν την ακόλουθη ερμηνεία:

μικρό 0 - "χωρίς κανάλι";

μικρό 1 - "κανάλι απασχολημένο" (χωρίς ουρά).

μικρό 2 - "Κανάλι απασχολημένο" (ένα αίτημα βρίσκεται στην ουρά).

…………………………………………………….

Sn- "Κανάλι απασχολημένο" ( n-1 εφαρμογές βρίσκονται στην ουρά).

SN- "Κανάλι απασχολημένο" ( Ν- 1 αιτήσεις βρίσκονται στην ουρά).

Η στατική διαδικασία σε αυτό το σύστημα περιγράφεται από το ακόλουθο σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων:

Η λύση στο σύστημα των εξισώσεων είναι:

3. Μονοκάναλο QS με περιορισμένη ουρά.

Μήκος ουράς:( Ν - 1)

Χαρακτηριστικά συστήματος:

1. Πιθανότητα αποτυχίας της υπηρεσίας συστήματος:

2. Σχετική απόδοση συστήματος:

3. Απόλυτη παροχή συστήματος:

4. Μέσος αριθμός εφαρμογών στο σύστημα:

5. Μέσος χρόνος παραμονής μιας εφαρμογής στο σύστημα:

6. Μέση διάρκεια παραμονής πελάτη (αίτηση) στην ουρά:

7. Μέσος αριθμός εφαρμογών (πελάτες) στην ουρά (μήκος ουράς):

Παράδειγμα.

Η εξειδικευμένη διαγνωστική θέση είναι ένα μονοκάναλο QS.

Ο αριθμός των χώρων στάθμευσης για αυτοκίνητα που αναμένουν διαγνωστικά είναι περιορισμένος και ίσος με 3 [( Ν- 1) = 3]. Εάν όλα τα πάρκινγκ είναι κατειλημμένα, δηλαδή υπάρχουν ήδη τρία αυτοκίνητα στην ουρά, τότε το επόμενο αυτοκίνητο που φτάνει για διαγνωστικό δεν θα τοποθετηθεί στην ουρά για σέρβις.

Η ροή των αυτοκινήτων που φτάνουν για διαγνωστικά κατανέμεται σύμφωνα με το νόμο του Poisson και έχει ένταση 0,85 (αυτοκίνητα ανά ώρα).

Ο χρόνος διάγνωσης του οχήματος κατανέμεται σύμφωνα με έναν εκθετικό νόμο και είναι κατά μέσο όρο 1,05 ώρες.

4. Μονοκάναλο QS με αναμονή

χωρίς περιορισμό στο μήκος της ουράς

Οι συνθήκες λειτουργίας του QS παραμένουν αμετάβλητες, λαμβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι το N.

Ο σταθερός τρόπος λειτουργίας ενός τέτοιου QS υπάρχει:

Για οποιονδηποτε n= 0, 1, 2, ... και πότε λ < μ .

Σύστημα εξισώσεων που περιγράφουν τη λειτουργία του QS:

Η λύση του συστήματος εξισώσεων έχει τη μορφή:

2. Μέση διάρκεια παραμονής πελάτη στο σύστημα:

3. Μέσος αριθμός πελατών στην ουρά για εξυπηρέτηση:

4. Μέσος χρόνος που ξοδεύει ένας πελάτης στην ουρά:

Παράδειγμα.

Η εξειδικευμένη διαγνωστική θέση είναι ένα μονοκάναλο QS. Ο αριθμός των χώρων στάθμευσης για αυτοκίνητα που αναμένουν διαγνωστικά είναι απεριόριστος. Η ροή των αυτοκινήτων που φτάνουν για διαγνωστικά κατανέμεται σύμφωνα με το νόμο του Poisson και έχει ένταση λ = 0,85 (αυτοκίνητα ανά ώρα). Ο χρόνος διάγνωσης του οχήματος κατανέμεται σύμφωνα με έναν εκθετικό νόμο και είναι κατά μέσο όρο 1,05 ώρες.

Απαιτείται ο προσδιορισμός των πιθανοτικών χαρακτηριστικών ενός διαγνωστικού σταθμού που λειτουργεί σε ακίνητη λειτουργία.

Ως αποτέλεσμα της επίλυσης του προβλήματος, είναι απαραίτητο να προσδιοριστούν οι τελικές τιμές των ακόλουθων πιθανολογικών χαρακτηριστικών:

ü πιθανότητα καταστάσεων συστήματος (διαγνωστικός σταθμός).

ü μέσος αριθμός αυτοκινήτων στο σύστημα (σε υπηρεσία και σε ουρά).

ü τη μέση διάρκεια παραμονής ενός οχήματος στο σύστημα (για σέρβις και σε ουρά)·

ü μέσος αριθμός αυτοκινήτων στη σειρά για σέρβις.

ü η μέση διάρκεια παραμονής ενός αυτοκινήτου στην ουρά.

1. Παράμετρος ροής σέρβις και μειωμένη ένταση ροής οχήματος:

μ = 0,952; ψ = 0,893.

2. Οριακές πιθανότητες της κατάστασης του συστήματος:

Π 0 (t) καθορίζει το χρονικό διάστημα κατά το οποίο η διαγνωστική θέση αναγκάζεται να είναι ανενεργή (αδράνεια). Στο παράδειγμα, το μερίδιο αυτό είναι 10,7%, αφού Π 0 (t) = 0,107.

3. Μέσος αριθμός αυτοκινήτων στο σύστημα

(υπό υπηρεσία και σε ουρά):

4. Μέση διάρκεια παραμονής πελάτη στο σύστημα

5. Μέσος αριθμός αυτοκινήτων στην ουρά για σέρβις:

6. Μέση διάρκεια του χρόνου που ένα αυτοκίνητο μένει στην ουρά:

7. Σχετική απόδοση συστήματος:

q= 1, δηλαδή κάθε αίτημα που έρχεται στο σύστημα θα εξυπηρετείται.

8. Απόλυτη απόδοση:

Ο σχεδιασμός παρουσίασης του υλικού παρουσιάζεται στο αρχείο «TMO».

Ερωτήσεις και εργασίες

(σύμφωνα με τον Afanasyev M.Yu.)

Ερώτηση 1.Ένας εργάτης συντηρεί τριάντα αργαλειούς, διασφαλίζοντας ότι θα ξεκινήσουν αφού σπάσει ένα νήμα. Το μοντέλο ενός τέτοιου συστήματος ουράς μπορεί να χαρακτηριστεί ως:

1) πολυκαναλικό μονοφασικό με περιορισμένο πληθυσμό.

2) μονοκαναλικό μονοφασικό με απεριόριστο πληθυσμό.

3) μονοκαναλικό πολυφασικό με περιορισμένο πληθυσμό.

4) μονοκαναλικό μονοφασικό με περιορισμένο πληθυσμό.

5) πολυκαναλικό μονοφασικό με απεριόριστο πληθυσμό.

Ερώτηση 2.Στη θεωρία ουράς, μια κατανομή πιθανότητας χρησιμοποιείται για να περιγράψει την απλούστερη ροή αιτημάτων που φτάνουν στην είσοδο του συστήματος:

1) κανονικό?

2) εκθετική?

3) Poisson;

4) διωνυμικό?

Ερώτηση 3.Στη θεωρία της ουράς, θεωρείται ότι ο αριθμός των αιτημάτων σε έναν πληθυσμό είναι:

1) σταθερό ή μεταβλητό.

2) περιορισμένη ή απεριόριστη?

3) γνωστό ή άγνωστο?

4) τυχαίο ή ντετερμινιστικό.

5) Τίποτα από τα παραπάνω δεν ισχύει.

Ερώτηση 4.Οι δύο κύριες παράμετροι που καθορίζουν τη διαμόρφωση του συστήματος αναμονής είναι:

1) ποσοστό άφιξης και τιμή εξυπηρέτησης.

2) κανόνας διάρκειας ουράς και υπηρεσίας.

3) κατανομή χρόνου μεταξύ αιτημάτων και κατανομής του χρόνου εξυπηρέτησης.

4) αριθμός καναλιών και αριθμός φάσεων εξυπηρέτησης.

5) Τίποτα από τα παραπάνω δεν ισχύει.

Ερώτηση 5.Στη θεωρία της ουράς, μια κατανομή πιθανότητας χρησιμοποιείται συνήθως για να περιγράψει τον χρόνο που δαπανάται για την εξυπηρέτηση των αιτημάτων:

1) κανονικό?

2) εκθετική?

3) Poisson;

4) διωνυμικό?

5) Τίποτα από τα παραπάνω δεν ισχύει.

Ερώτηση 6.Η επισκευή υπολογιστών που έχουν υποστεί βλάβη στο Οικονομικό Τμήμα πραγματοποιείται από τρεις ειδικούς που εργάζονται ταυτόχρονα και ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλο. Το μοντέλο ενός τέτοιου συστήματος ουράς μπορεί να χαρακτηριστεί ως:

1) πολυκαναλικό με περιορισμένο πληθυσμό.

2) μονοκαναλικό με απεριόριστο πληθυσμό.

3) μονοκαναλικό με περιορισμένο πληθυσμό.

4) μονοκαναλικό με περιορισμένη ουρά.

5) πολυκαναλικό με απεριόριστο πληθυσμό.

Απαντήσεις σε ερωτήσεις: 1 -4, 2 - 3, 3 -2, 4 -4, 5 -2, 6 -1.

ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΔΙΚΤΥΟΥ

Τα συστήματα προγραμματισμού και διαχείρισης δικτύου (NPS) αντιπροσωπεύουν έναν ειδικό τύπο οργανωμένων συστημάτων διαχείρισης που έχουν σχεδιαστεί για να ρυθμίζουν τις παραγωγικές δραστηριότητες των ομάδων. Όπως και σε άλλα συστήματα αυτής της κατηγορίας, το «αντικείμενο ελέγχου» στα συστήματα SPU είναι μια ομάδα εκτελεστών που διαθέτουν ορισμένους πόρους: ανθρώπινους, υλικούς, οικονομικούς. Ωστόσο, αυτά τα συστήματα έχουν μια σειρά από χαρακτηριστικά, καθώς η μεθοδολογική τους βάση αποτελείται από μεθόδους έρευνας λειτουργιών, τη θεωρία των κατευθυνόμενων γραφημάτων και ορισμένα τμήματα της θεωρίας πιθανοτήτων και τη μαθηματική στατιστική. Απαραίτητη ιδιότητα ενός συστήματος σχεδιασμού και διαχείρισης είναι επίσης η ικανότητα αξιολόγησης της τρέχουσας κατάστασης, πρόβλεψης της περαιτέρω προόδου της εργασίας και συνεπώς επηρεασμού της προόδου της προετοιμασίας και της παραγωγής, έτσι ώστε όλο το φάσμα της εργασίας να ολοκληρωθεί μέσα σε ένα δεδομένο χρονικό πλαίσιο και σε το χαμηλότερο κόστος.

Επί του παρόντος, τα μοντέλα και οι μέθοδοι SPC χρησιμοποιούνται ευρέως στον σχεδιασμό και την υλοποίηση εργασιών κατασκευής και εγκατάστασης, τον προγραμματισμό εμπορικών δραστηριοτήτων, τη σύνταξη λογιστικών αναφορών, την ανάπτυξη εμπορικού και χρηματοοικονομικού σχεδίου κ.λπ.

Το εύρος εφαρμογής του SPU είναι πολύ ευρύ: από εργασίες που σχετίζονται με τις δραστηριότητες ατόμων έως έργα στα οποία συμμετέχουν εκατοντάδες οργανισμοί και δεκάδες χιλιάδες άνθρωποι (για παράδειγμα, η ανάπτυξη και η δημιουργία ενός μεγάλου εδαφικού-βιομηχανικού συγκροτήματος).

Προκειμένου να εκπονηθεί ένα σχέδιο εργασίας για την υλοποίηση μεγάλων και πολύπλοκων έργων που αποτελούνται από χιλιάδες επιμέρους μελέτες και πράξεις, είναι απαραίτητο να το περιγράψουμε χρησιμοποιώντας κάποιου είδους μαθηματικό μοντέλο. Ένα τέτοιο μέσο περιγραφής έργων (σύνθετων) είναι ένα μοντέλο δικτύου.