Η απόσταση μεταξύ 2 σημείων στο διάστημα. Υπολογισμός αποστάσεων μεταξύ πόλεων με χρήση των συντεταγμένων τους

Χρησιμοποιώντας συντεταγμένες, προσδιορίζεται η θέση ενός αντικειμένου στη σφαίρα. Οι συντεταγμένες υποδεικνύονται με γεωγραφικό πλάτος και γεωγραφικό μήκος. Τα γεωγραφικά πλάτη μετρώνται από τη γραμμή του ισημερινού και στις δύο πλευρές. Στο βόρειο ημισφαίριο τα γεωγραφικά πλάτη είναι θετικά, στο νότιο ημισφαίριο είναι αρνητικά. Το γεωγραφικό μήκος μετράται από τον πρώτο μεσημβρινό είτε ανατολικά είτε δυτικά, αντίστοιχα, προκύπτει είτε ανατολικό είτε δυτικό γεωγραφικό μήκος.

Σύμφωνα με τη γενικά αποδεκτή θέση, ο πρώτος μεσημβρινός θεωρείται αυτός που διέρχεται από το παλιό Αστεροσκοπείο Γκρίνουιτς στο Γκρίνουιτς. Οι γεωγραφικές συντεταγμένες της τοποθεσίας μπορούν να ληφθούν χρησιμοποιώντας έναν πλοηγό GPS. Αυτή η συσκευή λαμβάνει σήματα δορυφορικού συστήματος εντοπισμού θέσης στο σύστημα συντεταγμένων WGS-84, ομοιόμορφο για όλο τον κόσμο.

Τα μοντέλα Navigator διαφέρουν ως προς τον κατασκευαστή, τη λειτουργικότητα και τη διεπαφή. Επί του παρόντος, οι ενσωματωμένοι πλοηγοί GPS είναι επίσης διαθέσιμοι σε ορισμένα μοντέλα κινητών τηλεφώνων. Αλλά οποιοδήποτε μοντέλο μπορεί να καταγράψει και να αποθηκεύσει τις συντεταγμένες ενός σημείου.

Απόσταση μεταξύ συντεταγμένων GPS

Για την επίλυση πρακτικών και θεωρητικών προβλημάτων σε ορισμένες βιομηχανίες, είναι απαραίτητο να μπορούμε να προσδιορίζουμε τις αποστάσεις μεταξύ των σημείων από τις συντεταγμένες τους. Υπάρχουν διάφοροι τρόποι με τους οποίους μπορείτε να το κάνετε αυτό. Η κανονική μορφή αναπαράστασης γεωγραφικών συντεταγμένων: μοίρες, λεπτά, δευτερόλεπτα.

Για παράδειγμα, μπορείτε να προσδιορίσετε την απόσταση μεταξύ των ακόλουθων συντεταγμένων: σημείο Νο. 1 - γεωγραφικό πλάτος 55°45′07″ Β, γεωγραφικό μήκος 37°36′56″ Α. σημείο Νο. 2 - γεωγραφικό πλάτος 58°00′02″ Β, γεωγραφικό μήκος 102°39′42″ Α.

Ο ευκολότερος τρόπος είναι να χρησιμοποιήσετε μια αριθμομηχανή για να υπολογίσετε το μήκος μεταξύ δύο σημείων. Στη μηχανή αναζήτησης του προγράμματος περιήγησης, πρέπει να ορίσετε τις ακόλουθες παραμέτρους αναζήτησης: online - για να υπολογίσετε την απόσταση μεταξύ δύο συντεταγμένων. Στην ηλεκτρονική αριθμομηχανή, οι τιμές γεωγραφικού πλάτους και μήκους εισάγονται στα πεδία ερωτήματος για την πρώτη και τη δεύτερη συντεταγμένη. Κατά τον υπολογισμό, η ηλεκτρονική αριθμομηχανή έδωσε το αποτέλεσμα - 3.800.619 m.

Η επόμενη μέθοδος είναι πιο εντατική, αλλά και πιο οπτική. Πρέπει να χρησιμοποιήσετε οποιοδήποτε διαθέσιμο πρόγραμμα χαρτογράφησης ή πλοήγησης. Τα προγράμματα στα οποία μπορείτε να δημιουργήσετε σημεία χρησιμοποιώντας συντεταγμένες και να μετρήσετε τις αποστάσεις μεταξύ τους περιλαμβάνουν τις ακόλουθες εφαρμογές: BaseCamp (ένα σύγχρονο ανάλογο του προγράμματος MapSource), Google Earth, SAS.Planet.

Όλα τα παραπάνω προγράμματα είναι διαθέσιμα σε οποιονδήποτε χρήστη του δικτύου. Για παράδειγμα, για να υπολογίσετε την απόσταση μεταξύ δύο συντεταγμένων στο Google Earth, πρέπει να δημιουργήσετε δύο ετικέτες που να δείχνουν τις συντεταγμένες του πρώτου σημείου και του δεύτερου σημείου. Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας το εργαλείο "Χάρακας", πρέπει να συνδέσετε το πρώτο και το δεύτερο σημάδι με μια γραμμή, το πρόγραμμα θα εμφανίσει αυτόματα το αποτέλεσμα της μέτρησης και θα δείξει τη διαδρομή στη δορυφορική εικόνα της Γης.

Στην περίπτωση του παραδείγματος που δόθηκε παραπάνω, το πρόγραμμα Google Earth επέστρεψε το αποτέλεσμα - το μήκος της απόστασης μεταξύ του σημείου Νο. 1 και του σημείου Νο. 2 είναι 3.817.353 m.

Γιατί υπάρχει σφάλμα κατά τον προσδιορισμό της απόστασης

Όλοι οι υπολογισμοί της έκτασης μεταξύ των συντεταγμένων βασίζονται στον υπολογισμό του μήκους του τόξου. Η ακτίνα της Γης εμπλέκεται στον υπολογισμό του μήκους του τόξου. Επειδή όμως το σχήμα της Γης είναι κοντά σε ένα λοξό ελλειψοειδές, η ακτίνα της Γης ποικίλλει σε ορισμένα σημεία. Για τον υπολογισμό της απόστασης μεταξύ των συντεταγμένων, λαμβάνεται η μέση τιμή της ακτίνας της Γης, η οποία δίνει σφάλμα στη μέτρηση. Όσο μεγαλύτερη είναι η απόσταση που μετράται, τόσο μεγαλύτερο είναι το σφάλμα.

Ο υπολογισμός των αποστάσεων μεταξύ σημείων με βάση τις συντεταγμένες τους σε ένα επίπεδο είναι στοιχειώδης στην επιφάνεια της Γης, είναι λίγο πιο περίπλοκος: θα εξετάσουμε τη μέτρηση της απόστασης και του αρχικού αζιμουθίου μεταξύ των σημείων χωρίς μετασχηματισμούς προβολής. Αρχικά, ας κατανοήσουμε την ορολογία.

Εισαγωγή

Μεγάλο μήκος τόξου κύκλου– η μικρότερη απόσταση μεταξύ οποιωνδήποτε δύο σημείων που βρίσκονται στην επιφάνεια μιας σφαίρας, μετρούμενη κατά μήκος της γραμμής που συνδέει αυτά τα δύο σημεία (μια τέτοια γραμμή ονομάζεται ορθοδρομία) και διέρχεται κατά μήκος της επιφάνειας της σφαίρας ή άλλης επιφάνειας περιστροφής. Η σφαιρική γεωμετρία είναι διαφορετική από την κανονική ευκλείδεια γεωμετρία και οι εξισώσεις απόστασης παίρνουν επίσης διαφορετική μορφή. Στην Ευκλείδεια γεωμετρία, η μικρότερη απόσταση μεταξύ δύο σημείων είναι μια ευθεία γραμμή. Σε μια σφαίρα, δεν υπάρχουν ευθείες γραμμές. Αυτές οι γραμμές στη σφαίρα είναι μέρος μεγάλων κύκλων - κύκλων των οποίων τα κέντρα συμπίπτουν με το κέντρο της σφαίρας. Αρχικό αζιμούθιο- αζιμούθιο, λαμβάνοντας το οποίο όταν ξεκινάμε να κινείται από το σημείο Α, ακολουθώντας τον μεγάλο κύκλο για τη μικρότερη απόσταση από το σημείο Β, το τελικό σημείο θα είναι το σημείο Β. Όταν μετακινείται από το σημείο Α στο σημείο Β κατά μήκος της γραμμής του μεγάλου κύκλου, το αζιμούθιο από η τρέχουσα θέση στο τελικό σημείο Β είναι σταθερή αλλάζει. Το αρχικό αζιμούθιο είναι διαφορετικό από ένα σταθερό, μετά το οποίο το αζιμούθιο από το τρέχον σημείο στο τελικό σημείο δεν αλλάζει, αλλά η διαδρομή που ακολουθείται δεν είναι η μικρότερη απόσταση μεταξύ δύο σημείων.

Μέσω οποιωνδήποτε δύο σημείων στην επιφάνεια μιας σφαίρας, εάν δεν είναι ακριβώς απέναντι το ένα από το άλλο (δηλαδή δεν είναι αντίποδες), μπορεί να σχεδιαστεί ένας μοναδικός μεγάλος κύκλος. Δύο σημεία χωρίζουν έναν μεγάλο κύκλο σε δύο τόξα. Το μήκος ενός μικρού τόξου είναι η μικρότερη απόσταση μεταξύ δύο σημείων. Ένας άπειρος αριθμός μεγάλων κύκλων μπορεί να σχεδιαστεί μεταξύ δύο αντίποδων σημείων, αλλά η απόσταση μεταξύ τους θα είναι ίδια σε οποιονδήποτε κύκλο και ίση με το μισό της περιφέρειας του κύκλου, ή π*R, όπου R είναι η ακτίνα της σφαίρας.

Σε ένα επίπεδο (σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων), μεγάλοι κύκλοι και τα θραύσματά τους, όπως αναφέρθηκε παραπάνω, αντιπροσωπεύουν τόξα σε όλες τις προβολές εκτός από τη γνωμική, όπου οι μεγάλοι κύκλοι είναι ευθείες γραμμές. Στην πράξη, αυτό σημαίνει ότι τα αεροπλάνα και άλλες αεροπορικές μεταφορές χρησιμοποιούν πάντα τη διαδρομή της ελάχιστης απόστασης μεταξύ των σημείων για εξοικονόμηση καυσίμου, δηλαδή η πτήση πραγματοποιείται σε μεγάλη απόσταση κύκλου, σε ένα αεροπλάνο μοιάζει με τόξο.

Το σχήμα της Γης μπορεί να περιγραφεί ως σφαίρα, επομένως οι εξισώσεις απόστασης μεγάλου κύκλου είναι σημαντικές για τον υπολογισμό της μικρότερης απόστασης μεταξύ σημείων στην επιφάνεια της Γης και χρησιμοποιούνται συχνά στην πλοήγηση. Ο υπολογισμός της απόστασης με αυτή τη μέθοδο είναι πιο αποτελεσματικός και σε πολλές περιπτώσεις πιο ακριβής από τον υπολογισμό της για προβαλλόμενες συντεταγμένες (σε ορθογώνια συστήματα συντεταγμένων), αφού, πρώτον, δεν απαιτεί μετατροπή γεωγραφικών συντεταγμένων σε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων (εκτελέστε μετασχηματισμούς προβολής) και , δεύτερον, πολλές προβολές, εάν επιλεγούν εσφαλμένα, μπορούν να οδηγήσουν σε σημαντικές παραμορφώσεις μήκους λόγω της φύσης των παραμορφώσεων προβολής. Είναι γνωστό ότι δεν είναι μια σφαίρα, αλλά ένα ελλειψοειδές που περιγράφει το σχήμα της Γης με μεγαλύτερη ακρίβεια, ωστόσο, αυτό το άρθρο εξετάζει τον υπολογισμό των αποστάσεων σε μια σφαίρα για υπολογισμούς, μια σφαίρα με ακτίνα 6.372.795 μέτρων. που μπορεί να οδηγήσει σε σφάλμα στον υπολογισμό αποστάσεων της τάξης του 0,5%.

Φόρμουλες

Υπάρχουν τρεις τρόποι για τον υπολογισμό της σφαιρικής απόστασης μεγάλου κύκλου. 1. Θεώρημα σφαιρικού συνημιτόνουΣτην περίπτωση μικρών αποστάσεων και μικρού βάθους υπολογισμού (αριθμός δεκαδικών ψηφίων), η χρήση του τύπου μπορεί να οδηγήσει σε σημαντικά σφάλματα στρογγυλοποίησης. φ1, λ1; φ2, λ2 - γεωγραφικό πλάτος και μήκος δύο σημείων σε ακτίνια Δλ - διαφορά στις συντεταγμένες στο γεωγραφικό μήκος Δδ - γωνιακή διαφορά Δδ = τόξο (sin φ1 sin φ2 + cos φ1 cos φ2 cos Δλ) Για να μετατρέψετε τη γωνιακή απόσταση σε μετρική, πρέπει να πολλαπλασιάστε τη γωνιακή διαφορά με την ακτίνα Γη (6372795 μέτρα), οι μονάδες της τελικής απόστασης θα είναι ίσες με τις μονάδες στις οποίες εκφράζεται η ακτίνα (στην περίπτωση αυτή μέτρα). 2. Φόρμουλα HaversineΧρησιμοποιείται για την αποφυγή προβλημάτων με μικρές αποστάσεις. 3. Τροποποίηση για τους αντίποδεςΟ προηγούμενος τύπος υπόκειται επίσης στο πρόβλημα των αντιποδικών σημείων για την επίλυσή του, χρησιμοποιείται η ακόλουθη τροποποίηση.

Η εφαρμογή μου στην PHP

// Ορισμός ακτίνας γης ("EARTH_RADIUS", 6372795); /* * Απόσταση μεταξύ δύο σημείων * $φA, $λA - γεωγραφικό πλάτος, γεωγραφικό μήκος του 1ου σημείου, * $φB, $λB - γεωγραφικό πλάτος, γεωγραφικό μήκος του 2ου σημείου * Γράφτηκε με βάση το http://gis-lab.info/ qa/great-circles.html * Mikhail Kobzarev * */ συνάρτηση υπολογισμόςTheDistance ($φA, $λA, $φB, $λB) ( // μετατροπή συντεταγμένων σε ακτίνια $lat1 = $φA * M_PI / 180; $lat2 = $φB * M_PI / 180 $ λA * M_PI / 180 $ λB * M_PI / 180 μήκη και πλάτος $cl1 = cos($lat1); $lat1 = sin($lat2) // υπολογισμοί μεγάλου κύκλου $y = sqrt($cl2 * $sdelta, 2) + pow($cl1 * $sl1 * $cl2 * $); cdelta, 2)); 77,1539; $long1 = -139,398; $lat2 = -77,1804; $long2 = -139,55; echo υπολογισμόςTheDistance($lat1, $long1, $lat2, $long2) . "μέτρα"? // Επιστροφή "17166029 μέτρα"

Η απόσταση μεταξύ δύο σημείων σε ένα επίπεδο.
Συστήματα συντεταγμένων

Κάθε σημείο Α του επιπέδου χαρακτηρίζεται από τις συντεταγμένες του (x, y). Συμπίπτουν με τις συντεταγμένες του διανύσματος 0A, που βγαίνει από το σημείο 0 - την αρχή των συντεταγμένων.

Έστω Α και Β αυθαίρετα σημεία του επιπέδου με συντεταγμένες (x 1 y 1) και (x 2, y 2), αντίστοιχα.

Τότε το διάνυσμα ΑΒ έχει προφανώς συντεταγμένες (x 2 - x 1, y 2 - y 1). Είναι γνωστό ότι το τετράγωνο του μήκους ενός διανύσματος είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των συντεταγμένων του. Επομένως, η απόσταση d μεταξύ των σημείων Α και Β, ή, το ίδιο, το μήκος του διανύσματος ΑΒ, προσδιορίζεται από τη συνθήκη

d 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

d = \/ (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2

Ο προκύπτων τύπος σάς επιτρέπει να βρείτε την απόσταση μεταξύ οποιωνδήποτε δύο σημείων στο επίπεδο, εάν είναι γνωστές μόνο οι συντεταγμένες αυτών των σημείων

Κάθε φορά που μιλάμε για τις συντεταγμένες ενός συγκεκριμένου σημείου στο επίπεδο, εννοούμε ένα καλά καθορισμένο σύστημα συντεταγμένων x0y. Γενικά, το σύστημα συντεταγμένων σε ένα επίπεδο μπορεί να επιλεγεί με διαφορετικούς τρόπους. Έτσι, αντί για το σύστημα συντεταγμένων x0y, μπορείτε να εξετάσετε το σύστημα συντεταγμένων x"0y", το οποίο προκύπτει περιστρέφοντας τους παλιούς άξονες συντεταγμένων γύρω από το σημείο εκκίνησης 0 αριστερόστροφαβέλη στη γωνία α .

Εάν ένα συγκεκριμένο σημείο του επιπέδου στο σύστημα συντεταγμένων x0y είχε συντεταγμένες (x, y), τότε στο νέο σύστημα συντεταγμένων x"0y" θα έχει διαφορετικές συντεταγμένες (x, y").

Ως παράδειγμα, θεωρήστε το σημείο M, που βρίσκεται στον άξονα 0x και χωρίζεται από το σημείο 0 σε απόσταση 1.

Προφανώς, στο σύστημα συντεταγμένων x0y αυτό το σημείο έχει συντεταγμένες (συν α ,αμαρτία α ), και στο σύστημα συντεταγμένων x"0y" οι συντεταγμένες είναι (1,0).

Οι συντεταγμένες οποιωνδήποτε δύο σημείων στο επίπεδο Α και Β εξαρτώνται από το πώς προσδιορίζεται το σύστημα συντεταγμένων σε αυτό το επίπεδο. Αλλά η απόσταση μεταξύ αυτών των σημείων δεν εξαρτάται από τη μέθοδο προσδιορισμού του συστήματος συντεταγμένων. Θα κάνουμε σημαντική χρήση αυτής της σημαντικής περίστασης στην επόμενη παράγραφο.

Γυμνάσια

I. Να βρείτε τις αποστάσεις μεταξύ σημείων του επιπέδου με συντεταγμένες:

1) (3.5) και (3.4); 3) (0,5) και (5, 0); 5) (-3,4) και (9, -17);

2) (2, 1) και (- 5, 1); 4) (0, 7) και (3,3); 6) (8, 21) και (1, -3).

II. Να βρείτε την περίμετρο ενός τριγώνου του οποίου οι πλευρές δίνονται από τις εξισώσεις:

x + y - 1 = 0, 2x - y - 2 = 0 και y = 1.

III. Στο σύστημα συντεταγμένων x0y, τα σημεία M και N έχουν συντεταγμένες (1, 0) και (0,1), αντίστοιχα. Βρείτε τις συντεταγμένες αυτών των σημείων στο νέο σύστημα συντεταγμένων, το οποίο προκύπτει περιστρέφοντας τους παλιούς άξονες γύρω από το σημείο εκκίνησης κατά γωνία 30° αριστερόστροφα.

IV. Στο σύστημα συντεταγμένων x0y, τα σημεία M και N έχουν συντεταγμένες (2, 0) και (\ / 3/2, - 1/2) αντίστοιχα. Βρείτε τις συντεταγμένες αυτών των σημείων στο νέο σύστημα συντεταγμένων, το οποίο προκύπτει περιστρέφοντας τους παλιούς άξονες γύρω από το σημείο εκκίνησης κατά γωνία 30° δεξιόστροφα.

Ας δοθεί ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων.

Θεώρημα 1.1.Για οποιαδήποτε δύο σημεία M 1 (x 1;y 1) και M 2 (x 2;y 2) του επιπέδου, η απόσταση d μεταξύ τους εκφράζεται με τον τύπο

Απόδειξη.Ας ρίξουμε τις κάθετες M 1 B και M 2 A από τα σημεία M 1 και M 2, αντίστοιχα

στον άξονα Oy και Ox και να συμβολίσετε με K το σημείο τομής των ευθειών M 1 B και M 2 A (Εικ. 1.4). Είναι δυνατές οι ακόλουθες περιπτώσεις:

1) Τα σημεία M 1, M 2 και K είναι διαφορετικά. Προφανώς, το σημείο Κ έχει συντεταγμένες (x 2;y 1). Είναι εύκολο να δούμε ότι M 1 K = ôx 2 – x 1 ô, M 2 K = ôу 2 – y 1 ô. Επειδή ∆M 1 KM 2 είναι ορθογώνιο, τότε από το Πυθαγόρειο θεώρημα d = M 1 M 2 = = .

2) Το σημείο K συμπίπτει με το σημείο M 2, αλλά είναι διαφορετικό από το σημείο M 1 (Εικ. 1.5). Σε αυτήν την περίπτωση, y 2 = y 1

και d = M 1 M 2 = M 1 K = ôx 2 – x 1 ô= =

3) Το σημείο Κ συμπίπτει με το σημείο Μ 1, αλλά είναι διαφορετικό από το σημείο Μ 2. Σε αυτή την περίπτωση x 2 = x 1 και d =

M 1 M 2 = KM 2 = ôу 2 - y 1 ô= = .

4) Το σημείο Μ 2 συμπίπτει με το σημείο Μ 1. Τότε x 1 = x 2, y 1 = y 2 και

d = M 1 M 2 = O = .

Διαίρεση τμήματος από αυτή την άποψη.

Έστω ένα αυθαίρετο τμήμα M 1 M 2 στο επίπεδο και έστω M ─ οποιοδήποτε σημείο αυτού

τμήμα διαφορετικό από το σημείο M 2 (Εικ. 1.6). Ο αριθμός l, που ορίζεται από την ισότητα l = , κάλεσε στάση,οπότε το M διαιρεί το τμήμα M 1 M 2.

Θεώρημα 1.2.Εάν ένα σημείο M(x;y) διαιρεί το τμήμα M 1 M 2 σε σχέση με το l, τότε οι συντεταγμένες αυτού του σημείου καθορίζονται από τους τύπους

x = , y = , (4)

όπου (x 1;y 1) ─ συντεταγμένες του σημείου M 1, (x 2;y 2) ─ συντεταγμένες του σημείου M 2.

Απόδειξη.Ας αποδείξουμε τον πρώτο από τους τύπους (4). Ο δεύτερος τύπος αποδεικνύεται με παρόμοιο τρόπο. Υπάρχουν δύο πιθανές περιπτώσεις.

x = x 1 = = = .

2) Η ευθεία M 1 M 2 δεν είναι κάθετη στον άξονα Ox (Εικ. 1.6). Ας χαμηλώσουμε τις κάθετες από τα σημεία M 1, M, M 2 στον άξονα Ox και ας ορίσουμε τα σημεία τομής τους με τον άξονα Ox ως P 1, P, P 2, αντίστοιχα. Με το θεώρημα των αναλογικών τμημάτων = λ.

Επειδή P 1 P = ôx – x 1 ô, PP 2 = ôx 2 – xô και οι αριθμοί (x – x 1) και (x 2 – x) έχουν το ίδιο πρόσημο (στο x 1< х 2 они положительны, а при х 1 >x 2 είναι αρνητικά), τότε

l = = ,

x – x 1 = l(x 2 – x), x + lx = x 1 + lx 2,

x = .

Συμπέρασμα 1.2.1.Αν τα M 1 (x 1;y 1) και M 2 (x 2;y 2) είναι δύο αυθαίρετα σημεία και το σημείο M(x;y) είναι το μέσο του τμήματος M 1 M 2, τότε

x = , y = (5)

Απόδειξη.Αφού M 1 M = M 2 M, τότε l = 1 και χρησιμοποιώντας τους τύπους (4) λαμβάνουμε τους τύπους (5).

Εμβαδόν τριγώνου.

Θεώρημα 1.3.Για οποιαδήποτε σημεία A(x 1;y 1), B(x 2;y 2) και C(x 3;y 3) που δεν βρίσκονται στο ίδιο

ευθεία, το εμβαδόν S του τριγώνου ABC εκφράζεται με τον τύπο

S = ô(x 2 – x 1)(y 3 – y 1) – (x 3 – x 1)(y 2 – y 1)ô (6)

Απόδειξη.Η περιοχή Δ ABC φαίνεται στο Σχ. 1.7, υπολογίζουμε ως εξής

S ABC = S ADEC + S BCEF – S ABFD .

Υπολογίζουμε το εμβαδόν των τραπεζοειδών:

S ADEC =
,

S BCEF =

S ABFD =

Τώρα έχουμε

S ABC = ((x 3 – x 1)(y 3 + y 1) + (x 3 – x 2)(y 3 + y 2) - (x 2 – -x 1)(y 1 + y 2)) = (x 3 y 3 – x 1 y 3 + x 3 y 1 – x 1 y 1 + + x 2 y 3 – -x 3 y 3 + x 2 y 2 – x 3 y 2 – x 2 y 1 + x 1 y 1 – x 2 y 2 + x 1 y 2) = (x 3 y 1 – x 3 y 2 + x 1 y 2 – x 2 y 1 + x 2 y 3 –

X 1 y 3) = (x 3 (y 1 – y 2) + x 1 y 2 – x 1 y 1 + x 1 y 1 – x 2 y 1 + y 3 (x 2 – x 1)) = (x 1 (y 2 – y 1) – x 3 (y 2 – y 1) + +y 1 (x 1 – x 2) – y 3 (x 1 – x 2)) = ((x 1 – x 3)( y 2 – y 1) + (x 1 – x 2)(y 1 – y 3)) = ((x 2 – x 1)(y 3 – y 1) –

- (x 3 – x 1)(y 2 – y 1)).

Για μια άλλη θέση ∆ ABC, ο τύπος (6) αποδεικνύεται με παρόμοιο τρόπο, αλλά μπορεί να αποδειχθεί με πρόσημο «-». Επομένως, στον τύπο (6) βάζουν το πρόσημο του συντελεστή.

Διάλεξη 2.

Εξίσωση ευθείας σε επίπεδο: εξίσωση ευθείας με κύριο συντελεστή, γενική εξίσωση ευθείας γραμμής, εξίσωση ευθείας σε τμήματα, εξίσωση ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία. Η γωνία μεταξύ ευθειών, οι συνθήκες παραλληλισμού και καθετότητας των ευθειών σε ένα επίπεδο.

2.1. Ας δοθεί ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων και κάποια ευθεία L στο επίπεδο.

Ορισμός 2.1.Μια εξίσωση της μορφής F(x;y) = 0, που συνδέει τις μεταβλητές x και y, ονομάζεται εξίσωση γραμμής L(σε ένα δεδομένο σύστημα συντεταγμένων), εάν αυτή η εξίσωση ικανοποιείται από τις συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου που βρίσκεται στην ευθεία L και όχι από τις συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου που δεν βρίσκεται σε αυτήν την ευθεία.

Παραδείγματα εξισώσεων ευθειών σε επίπεδο.

1) Θεωρήστε μια ευθεία παράλληλη προς τον άξονα Oy του ορθογώνιου συστήματος συντεταγμένων (Εικ. 2.1). Ας υποδηλώσουμε με το γράμμα Α το σημείο τομής αυτής της ευθείας με τον άξονα Ox, (a;o) ─ της ή-

dinats. Η εξίσωση x = a είναι η εξίσωση της δεδομένης ευθείας. Πράγματι, αυτή η εξίσωση ικανοποιείται από τις συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου M(a;y) αυτής της ευθείας και δεν ικανοποιείται από τις συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου που δεν βρίσκεται στην ευθεία. Αν a = 0, τότε η ευθεία συμπίπτει με τον άξονα Oy, ο οποίος έχει την εξίσωση x = 0.

2) Η εξίσωση x - y = 0 ορίζει το σύνολο των σημείων του επιπέδου που αποτελούν τις διχοτόμους των γωνιών συντεταγμένων I και III.

3) Η εξίσωση x 2 - y 2 = 0 ─ είναι η εξίσωση δύο διχοτόμων γωνιών συντεταγμένων.

4) Η εξίσωση x 2 + y 2 = 0 ορίζει ένα μόνο σημείο O(0;0) στο επίπεδο.

5) Εξίσωση x 2 + y 2 = 25 ─ εξίσωση κύκλου ακτίνας 5 με κέντρο στην αρχή.

Γειά σου,

Χρησιμοποιείται PHP:

Με εκτίμηση, Αλέξανδρε.

Γειά σου,

Παλεύω με ένα πρόβλημα εδώ και αρκετό καιρό: Προσπαθώ να υπολογίσω την απόσταση μεταξύ δύο αυθαίρετων σημείων που βρίσκονται σε απόσταση 30 έως 1500 μέτρων το ένα από το άλλο.

Χρησιμοποιείται PHP:

$cx=31,319738; //x συντεταγμένη του πρώτου σημείου
$cy=60,901638; //y συντεταγμένη του πρώτου σημείου
$x=31,333312; //x συντεταγμένη του δεύτερου σημείου
$y=60,933981; //y συντεταγμένη του δεύτερου σημείου
$mx=abs($cx-$x); //υπολογίστε τη διαφορά στο x (το πρώτο σκέλος ενός ορθογωνίου τριγώνου), συνάρτηση abs(x) - επιστρέφει το μέτρο του αριθμού x x
$my=abs($cy-$y); //υπολογίστε τη διαφορά μεταξύ των παικτών (το δεύτερο σκέλος του ορθογωνίου τριγώνου)
$dist=sqrt(pow($mx,2)+pow($my,2)); //Λάβετε την απόσταση από το μετρό (το μήκος της υποτείνουσας σύμφωνα με τον κανόνα, η υποτείνουσα είναι ίση με τη ρίζα του αθροίσματος των τετραγώνων των ποδιών)

Αν δεν είναι ξεκάθαρο, επιτρέψτε μου να εξηγήσω: Φαντάζομαι ότι η απόσταση μεταξύ δύο σημείων είναι η υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου. Τότε η διαφορά μεταξύ των Χ καθενός από τα δύο σημεία θα είναι το ένα από τα σκέλη και το άλλο σκέλος θα είναι η διαφορά των Υ των ίδιων δύο σημείων. Στη συνέχεια, υπολογίζοντας τις διαφορές μεταξύ των Χ και Υ, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο για να υπολογίσετε το μήκος της υποτείνουσας (δηλαδή, την απόσταση μεταξύ δύο σημείων).

Γνωρίζω ότι αυτός ο κανόνας λειτουργεί καλά για το καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, ωστόσο, θα έπρεπε λίγο πολύ να λειτουργεί μέσω συντεταγμένων longlat, επειδή η μετρούμενη απόσταση μεταξύ δύο σημείων είναι αμελητέα (από 30 έως 1500 μέτρα).

Ωστόσο, η απόσταση σύμφωνα με αυτόν τον αλγόριθμο υπολογίζεται λανθασμένα (για παράδειγμα, η απόσταση 1 που υπολογίζεται από αυτόν τον αλγόριθμο υπερβαίνει την απόσταση 2 μόνο κατά 13%, ενώ στην πραγματικότητα η απόσταση 1 είναι ίση με 1450 μέτρα και η απόσταση 2 είναι ίση με 970 μέτρα, ότι είναι, στην πραγματικότητα η διαφορά φτάνει σχεδόν το 50% ).