Πώς να συναρμολογήσετε έναν κινέζικο κύβο από 6 μέρη. Ξύλινοι κόμποι παζλ από ράβδους

Ημερομηνία: 2013-11-07

Ο κόσμος είναι σχεδιασμένος με τέτοιο τρόπο ώστε τα πράγματα σε αυτόν να μπορούν να ζουν περισσότερο από τους ανθρώπους, να έχουν διαφορετικά ονόματα σε διαφορετικές χρονικές στιγμές και σε διαφορετικές χώρες, μπορούμε ακόμη και να παίζουμε παιχνίδια The Simpsons. Το παιχνίδι που βλέπετε στην εικόνα είναι γνωστό στη χώρα μας ως «παζλ Admiral Makarov». Σε άλλες χώρες έχει άλλα ονόματα, από τα οποία τα πιο συνηθισμένα είναι «σταυρός του διαβόλου» και «κόμπος του διαβόλου».

Αυτός ο κόμπος συνδέεται από 6 τετράγωνες ράβδους. Οι ράβδοι έχουν αυλακώσεις, χάρη στις οποίες είναι δυνατή η διασταύρωση των ράβδων στο κέντρο του κόμπου. Μία από τις ράβδους δεν έχει αυλακώσεις, εισάγεται τελευταία στο συγκρότημα και όταν αποσυναρμολογηθεί, αφαιρείται πρώτα.

Ο συγγραφέας αυτού του παζλ είναι άγνωστος. Εμφανίστηκε πριν από πολλούς αιώνες στην Κίνα. Στο Μουσείο Ανθρωπολογίας και Εθνογραφίας του Λένινγκραντ που φέρει το όνομά του. Ο Μέγας Πέτρος, γνωστός ως «Kunstkamera», υπάρχει ένα αρχαίο κουτί σανταλόξυλου από την Ινδία, στις 8 γωνίες του οποίου οι διασταυρώσεις των ράβδων του πλαισίου σχηματίζουν 8 παζλ. Στο Μεσαίωνα, ναυτικοί και έμποροι, πολεμιστές και διπλωμάτες διασκέδαζαν με τέτοια παζλ και ταυτόχρονα τα μετέφεραν σε όλο τον κόσμο. Ο ναύαρχος Μακάροφ, ο οποίος επισκέφτηκε την Κίνα δύο φορές πριν από το τελευταίο του ταξίδι και τον θάνατό του στο Πορτ Άρθουρ, έφερε το παιχνίδι στην Αγία Πετρούπολη, όπου έγινε μόδα στα κοσμικά σαλόνια. Το παζλ εισχώρησε και στα βάθη της Ρωσίας μέσω άλλων δρόμων. Είναι γνωστό ότι η δέσμη του διαβόλου μεταφέρθηκε στο χωριό Olsufevo, στην περιοχή Bryansk, από έναν στρατιώτη που επέστρεφε από τον ρωσο-τουρκικό πόλεμο.

Σήμερα, μπορείτε να αγοράσετε ένα παζλ σε ένα κατάστημα, αλλά είναι πιο ευχάριστο να το φτιάξετε μόνοι σας. Το πιο κατάλληλο μέγεθος ράβδων για μια σπιτική κατασκευή: 6x2x2 cm.

Ποικιλία από καταραμένους κόμπους

Πριν από τις αρχές του αιώνα μας, σε αρκετές εκατοντάδες χρόνια ύπαρξης του παιχνιδιού, εφευρέθηκαν περισσότερες από εκατό παραλλαγές του παζλ στην Κίνα, τη Μογγολία και την Ινδία, που διαφέρουν στη διαμόρφωση των εγκοπών στις ράβδους. Αλλά δύο επιλογές παραμένουν οι πιο δημοφιλείς. Αυτό που φαίνεται στο Σχήμα 1 είναι αρκετά εύκολο να λυθεί. Αυτό είναι το σχέδιο που χρησιμοποιήθηκε στο αρχαίο ινδικό κουτί. Οι ράβδοι της Εικόνας 2 χρησιμοποιούνται για τη δημιουργία ενός παζλ που ονομάζεται "Devil's Knot". Όπως μπορείτε να μαντέψετε, πήρε το όνομά του λόγω της δυσκολίας επίλυσής του.

Ρύζι. 1 Η απλούστερη εκδοχή του παζλ του «διαβολικού κόμπου».

Στην Ευρώπη, όπου από τα τέλη του περασμένου αιώνα έγινε ευρέως γνωστός ο «Κόμβος του Διαβόλου», οι λάτρεις άρχισαν να επινοούν και να κατασκευάζουν σετ ράβδων με διαφορετικές διαμορφώσεις κοπής. Ένα από τα πιο επιτυχημένα σετ σας επιτρέπει να αποκτήσετε 159 παζλ και αποτελείται από 20 μπάρες 18 τύπων. Αν και όλοι οι κόμβοι δεν διακρίνονται εξωτερικά, είναι διατεταγμένοι εντελώς διαφορετικά στο εσωτερικό.

Ρύζι. 2 "Το παζλ του ναυάρχου Μακάροφ"

Ο Βούλγαρος καλλιτέχνης, ο καθηγητής Petr Chukhovski, ο συγγραφέας πολλών περίεργων και όμορφων ξύλινων κόμπων από διαφορετικούς αριθμούς ράβδων, εργάστηκε επίσης στο παζλ «Devil's Knot». Ανέπτυξε ένα σύνολο διαμορφώσεων ράβδων και εξερεύνησε όλους τους πιθανούς συνδυασμούς 6 ράβδων για ένα απλό υποσύνολο του.

Ο πιο επίμονος από όλους σε τέτοιες αναζητήσεις ήταν ο Ολλανδός καθηγητής μαθηματικών Van de Boer, ο οποίος με τα χέρια του έφτιαξε ένα σετ από αρκετές εκατοντάδες ράβδους και συνέταξε πίνακες που δείχνουν πώς να συναρμολογούνται 2906 παραλλαγές κόμβων.

Αυτό συνέβη στη δεκαετία του '60 και το 1978, ο Αμερικανός μαθηματικός Bill Cutler έγραψε ένα πρόγραμμα υπολογιστή και, χρησιμοποιώντας εξαντλητική αναζήτηση, διαπίστωσε ότι υπήρχαν 119.979 παραλλαγές ενός παζλ 6 τεμαχίων, που διαφέρουν μεταξύ τους σε συνδυασμούς προεξοχών και κοιλοτήτων στο ράβδοι, καθώς και ράβδοι τοποθέτησης, με την προϋπόθεση ότι δεν υπάρχουν κενά μέσα στο συγκρότημα.

Εκπληκτικά μεγάλος αριθμός για ένα τόσο μικρό παιχνίδι! Ως εκ τούτου, χρειαζόταν ένας υπολογιστής για την επίλυση του προβλήματος.

Πώς ένας υπολογιστής λύνει γρίφους?

Όχι βέβαια σαν άνθρωπος, αλλά ούτε με κάποιο μαγικό τρόπο. Ο υπολογιστής λύνει γρίφους (και άλλα προβλήματα) σύμφωνα με ένα πρόγραμμα που έχουν γραφτεί από προγραμματιστές. Γράφουν όπως τους βολεύει, αλλά με τρόπο που μπορεί να καταλάβει ο υπολογιστής. Πώς χειρίζεται ένας υπολογιστής τα ξύλινα μπλοκ;

Θα υποθέσουμε ότι έχουμε ένα σύνολο 369 ράβδων, που διαφέρουν μεταξύ τους στις διαμορφώσεις των προεξοχών (αυτό το σύνολο καθορίστηκε για πρώτη φορά από τον Van de Boer). Οι περιγραφές αυτών των γραμμών πρέπει να εισαχθούν στον υπολογιστή. Η ελάχιστη αποκοπή (ή προεξοχή) σε ένα μπλοκ είναι ένας κύβος με άκρη ίση με το 0,5 του πάχους του μπλοκ. Ας το ονομάσουμε μοναδιαίο κύβο. Ολόκληρο το μπλοκ περιέχει 24 τέτοιους κύβους (Εικόνα 1). Στον υπολογιστή, για κάθε μπλοκ, δημιουργείται ένας «μικρός» πίνακας 6x2x2=24 αριθμών. Ένα μπλοκ με εγκοπές καθορίζεται από μια ακολουθία 0 και 1 σε έναν "μικρό" πίνακα: το 0 αντιστοιχεί σε έναν κύβο αποκοπής, το 1 σε έναν ολόκληρο. Κάθε ένας από τους "μικρούς" πίνακες έχει τον δικό του αριθμό (από 1 έως 369). Σε καθένα από αυτά μπορεί να εκχωρηθεί ένας αριθμός από το 1 έως το 6, που αντιστοιχεί στη θέση του μπλοκ μέσα στο παζλ.

Ας περάσουμε τώρα στο παζλ. Ας φανταστούμε ότι χωράει μέσα σε έναν κύβο διαστάσεων 8x8x8. Σε έναν υπολογιστή, αυτός ο κύβος αντιστοιχεί σε έναν "μεγάλο" πίνακα που αποτελείται από 8x8x8 = 512 αριθμητικά κελιά. Η τοποθέτηση ενός συγκεκριμένου μπλοκ μέσα σε έναν κύβο σημαίνει γέμισμα των αντίστοιχων κελιών του «μεγάλου» πίνακα με αριθμούς ίσους με τον αριθμό του συγκεκριμένου μπλοκ.

Συγκρίνοντας 6 «μικρές» συστοιχίες και την κύρια, ο υπολογιστής (δηλαδή το πρόγραμμα) φαίνεται να προσθέτει 6 μπάρες μαζί. Με βάση τα αποτελέσματα της πρόσθεσης αριθμών, καθορίζει πόσα και τι είδους "κενά", "γεμισμένα" και "ξεχειλισμένα" κελιά σχηματίστηκαν στον κύριο πίνακα. Τα "κενά" κελιά αντιστοιχούν σε κενό χώρο μέσα στο παζλ, τα "γεμισμένα" κελιά αντιστοιχούν σε προεξοχές στις ράβδους και τα "γεμάτα" κελιά αντιστοιχούν σε μια προσπάθεια σύνδεσης δύο μεμονωμένων κύβων, η οποία, φυσικά, απαγορεύεται. Μια τέτοια σύγκριση γίνεται πολλές φορές, όχι μόνο με διαφορετικές μπάρες, αλλά και λαμβάνοντας υπόψη τις στροφές τους, τις θέσεις που καταλαμβάνουν στο «σταυρό» κ.λπ.

Ως αποτέλεσμα, επιλέγονται εκείνες οι επιλογές που δεν έχουν άδεια ή υπερβολικά κελιά. Για να λυθεί αυτό το πρόβλημα, θα αρκούσε μια «μεγάλη» συστοιχία κελιών 6x6x6. Αποδεικνύεται, ωστόσο, ότι υπάρχουν συνδυασμοί ράβδων που γεμίζουν πλήρως τον εσωτερικό όγκο του παζλ, αλλά είναι αδύνατο να αποσυναρμολογηθούν. Επομένως, το πρόγραμμα πρέπει να μπορεί να ελέγχει τη συναρμολόγηση για πιθανότητα αποσυναρμολόγησης. Για το σκοπό αυτό, ο Cutler πήρε έναν πίνακα 8x8x8, αν και οι διαστάσεις του μπορεί να μην επαρκούν για να δοκιμάσουν όλες τις περιπτώσεις.

Είναι γεμάτο με πληροφορίες για μια συγκεκριμένη έκδοση του παζλ. Μέσα στον πίνακα, το πρόγραμμα προσπαθεί να «μετακινήσει» τις ράβδους, μετακινεί δηλαδή τμήματα της ράβδου με διαστάσεις 2x2x6 κελιά στον «μεγάλο» πίνακα. Η κίνηση γίνεται από 1 κελί σε κάθε μία από τις 6 κατευθύνσεις, παράλληλα με τους άξονες του παζλ. Τα αποτελέσματα αυτών των 6 προσπαθειών στις οποίες δεν σχηματίζονται «υπερπληρωμένα» κελιά θυμούνται ως οι αρχικές θέσεις για τις επόμενες έξι προσπάθειες. Ως αποτέλεσμα, δημιουργείται ένα δέντρο όλων των πιθανών κινήσεων έως ότου ένα μπλοκ φύγει εντελώς από την κύρια συστοιχία ή, μετά από όλες τις προσπάθειες, παραμένουν «υπερπληρωμένα» κελιά, κάτι που αντιστοιχεί σε μια επιλογή που δεν μπορεί να αποσυναρμολογηθεί.

Έτσι αποκτήθηκαν 119.979 παραλλαγές του "Devil's Knot" σε έναν υπολογιστή, συμπεριλαμβανομένων όχι 108, όπως πίστευαν οι αρχαίοι, αλλά 6402 παραλλαγών, με 1 ολόκληρο μπλοκ χωρίς περικοπές.

Υπερκόμβος

Ας σημειώσουμε ότι ο Cutler αρνήθηκε να μελετήσει το γενικό πρόβλημα - όταν ο κόμβος περιέχει επίσης εσωτερικά κενά. Σε αυτή την περίπτωση, ο αριθμός των κόμβων από 6 ράβδους αυξάνεται πολύ και η εξαντλητική αναζήτηση που απαιτείται για την εύρεση εφικτών λύσεων γίνεται μη ρεαλιστική ακόμη και για έναν σύγχρονο υπολογιστή. Αλλά όπως θα δούμε τώρα, τα πιο ενδιαφέροντα και δύσκολα παζλ περιέχονται ακριβώς στη γενική περίπτωση - η αποσυναρμολόγηση του παζλ μπορεί τότε να μην είναι ασήμαντη.

Λόγω της παρουσίας κενών, καθίσταται δυνατή η διαδοχική μετακίνηση πολλών ράβδων προτού διαχωριστεί πλήρως μία. Ένα κινούμενο μπλοκ αποσυνδέει μερικές ράβδους, επιτρέπει την κίνηση του επόμενου μπλοκ και ταυτόχρονα εμπλέκει άλλες ράβδους.

Όσο περισσότερους χειρισμούς πρέπει να κάνετε κατά την αποσυναρμολόγηση, τόσο πιο ενδιαφέρουσα και δύσκολη είναι η έκδοση του παζλ. Οι αυλακώσεις στις ράβδους είναι διατεταγμένες τόσο έξυπνα που η εύρεση λύσης μοιάζει με περιπλάνηση σε έναν σκοτεινό λαβύρινθο, στον οποίο συναντάς συνεχώς τοίχους ή αδιέξοδα. Αυτός ο τύπος κόμπου αξίζει αναμφίβολα ένα νέο όνομα. θα το ονομάσουμε «υπερκόμβο». Ένα μέτρο της πολυπλοκότητας ενός υπερκόμπου είναι ο αριθμός των κινήσεων των μεμονωμένων ράβδων που πρέπει να γίνουν πριν το πρώτο στοιχείο διαχωριστεί από το παζλ.

Δεν ξέρουμε ποιος δημιούργησε τον πρώτο υπερκόμβο. Οι πιο διάσημοι (και πιο δύσκολοι στην επίλυση) είναι δύο υπερκόμποι: το «Bill's Thorn» δυσκολίας 5, που εφευρέθηκε από τον W. Cutler, και το «Dubois Superknot» δυσκολίας 7. Μέχρι τώρα, πίστευαν ότι ο βαθμός δυσκολίας Το 7 δύσκολα θα μπορούσε να ξεπεραστεί. Ωστόσο, ο πρώτος συγγραφέας αυτού του άρθρου κατάφερε να βελτιώσει τον "κόμπο Dubois" και να αυξήσει την πολυπλοκότητα στο 9, και στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας μερικές νέες ιδέες, να αποκτήσει υπερκόμπους με πολυπλοκότητα 10, 11 και 12. Αλλά ο αριθμός 13 παραμένει ανυπέρβλητος. Ίσως ο αριθμός 12 είναι η μεγαλύτερη δυσκολία ενός υπερκόμβου;

Λύση υπερκόμβου

Το να παρέχουμε σχέδια τέτοιων δύσκολων παζλ όπως οι υπερκόμποι και να μην αποκαλύπτουμε τα μυστικά τους θα ήταν πολύ σκληρό ακόμη και για τους ειδικούς του παζλ. Θα δώσουμε τη λύση στους υπερκόμπους σε συμπαγή, αλγεβρική μορφή.

Πριν την αποσυναρμολόγηση, παίρνουμε το παζλ και το προσανατολίζουμε έτσι ώστε οι αριθμοί εξαρτημάτων να αντιστοιχούν στο σχήμα 1. Η ακολουθία αποσυναρμολόγησης καταγράφεται ως συνδυασμός αριθμών και γραμμάτων. Οι αριθμοί δείχνουν τους αριθμούς των ράβδων, τα γράμματα υποδεικνύουν την κατεύθυνση της κίνησης σύμφωνα με το σύστημα συντεταγμένων που φαίνεται στα σχήματα 3 και 4. Μια γραμμή πάνω από ένα γράμμα σημαίνει κίνηση προς την αρνητική κατεύθυνση του άξονα συντεταγμένων. Ένα βήμα είναι να μετακινήσετε το μπλοκ κατά το 1/2 του πλάτους του. Όταν ένα μπλοκ κινείται δύο βήματα ταυτόχρονα, η κίνησή του γράφεται σε αγκύλες με εκθέτη 2. Εάν πολλά μέρη που είναι αλληλένδετα μετακινηθούν ταυτόχρονα, τότε οι αριθμοί τους περικλείονται σε αγκύλες, για παράδειγμα (1, 3, 6) x . Ο διαχωρισμός του μπλοκ από το παζλ υποδεικνύεται με ένα κατακόρυφο βέλος.

Ας δώσουμε τώρα παραδείγματα από τους καλύτερους υπερκόμβους.

Το παζλ του W. Cutler ("Το αγκάθι του Μπιλ")

Αποτελείται από τα μέρη 1, 2, 3, 4, 5, 6, που φαίνονται στο Σχήμα 3. Ένας αλγόριθμος για την επίλυσή του δίνεται επίσης εκεί. Είναι περίεργο το γεγονός ότι το περιοδικό Scientific American (1985, Νο. 10) δίνει μια άλλη εκδοχή αυτού του παζλ και αναφέρει ότι το «αγκάθι του Μπιλ» έχει μια μοναδική λύση. Η διαφορά μεταξύ των επιλογών βρίσκεται σε ένα μόνο μπλοκ: τα μέρη 2 και 2 Β στο Σχήμα 3.

Ρύζι. 3 "Bill's Thorn", που αναπτύχθηκε με χρήση υπολογιστή.

Λόγω του γεγονότος ότι το μέρος 2 Β περιέχει λιγότερες περικοπές από το μέρος 2, δεν είναι δυνατό να το εισαγάγετε στο "Bill's Thorn" χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο που υποδεικνύεται στο Σχήμα 3. Μένει να υποθέσουμε ότι το παζλ από το Scientific American έχει συναρμολογηθεί με κάποιον άλλο τρόπο.

Εάν συμβαίνει αυτό και το συναρμολογήσουμε, τότε μπορούμε να αντικαταστήσουμε το μέρος 2 Β με το μέρος 2, καθώς το τελευταίο καταλαμβάνει λιγότερο όγκο από 2 B. Ως αποτέλεσμα, θα πάρουμε τη δεύτερη λύση στο παζλ. Αλλά το "Bill's Thorn" έχει μια μοναδική λύση και μόνο ένα συμπέρασμα μπορεί να εξαχθεί από την αντίφασή μας: στη δεύτερη έκδοση υπήρχε ένα λάθος στο σχέδιο.

Ένα παρόμοιο λάθος έγινε σε άλλη δημοσίευση (J. Slocum, J. Botermans “Puzzles old and new”, 1986), αλλά σε διαφορετικό μπλοκ (λεπτομέρεια 6 C στο Σχήμα 3). Πώς ήταν για εκείνους τους αναγνώστες που προσπάθησαν, και ίσως προσπαθούν ακόμα, να λύσουν αυτούς τους γρίφους;