Δίνεται ο νόμος κατανομής της τυχαίας μεταβλητής x. Διακριτή τυχαία μεταβλητή και η συνάρτηση κατανομής της

Διακριτό τυχαίοΟι μεταβλητές είναι τυχαίες μεταβλητές που λαμβάνουν μόνο τιμές που είναι απομακρυσμένες η μία από την άλλη και που μπορούν να καταχωρηθούν εκ των προτέρων.
Νόμος της διανομής
Ο νόμος κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής είναι μια σχέση που δημιουργεί μια σύνδεση μεταξύ των πιθανών τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής και των αντίστοιχων πιθανοτήτων τους.
Η σειρά κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής είναι η λίστα με τις πιθανές τιμές της και τις αντίστοιχες πιθανότητες.
Η συνάρτηση κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής είναι η συνάρτηση:
,
προσδιορίζοντας για κάθε τιμή του ορίσματος x την πιθανότητα ότι η τυχαία μεταβλητή X θα λάβει τιμή μικρότερη από αυτήν την x.

Προσδοκία μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής
,
πού είναι η τιμή μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής; - την πιθανότητα μιας τυχαίας μεταβλητής να δέχεται τιμές Χ.
Εάν μια τυχαία μεταβλητή λάβει ένα μετρήσιμο σύνολο πιθανών τιμών, τότε:
.
Μαθηματική προσδοκία του αριθμού των εμφανίσεων ενός συμβάντος σε n ανεξάρτητες δοκιμές:
,

Διασπορά και τυπική απόκλιση μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής
Διασπορά μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής:
ή .
Διακύμανση του αριθμού των εμφανίσεων ενός συμβάντος σε n ανεξάρτητες δοκιμές
,
όπου p είναι η πιθανότητα να συμβεί το συμβάν.
Τυπική απόκλιση μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής:
.

Παράδειγμα 1
Σχεδιάστε έναν νόμο κατανομής πιθανοτήτων για μια διακριτή τυχαία μεταβλητή (DRV) X – ο αριθμός των k εμφανίσεων τουλάχιστον ενός «έξι» σε n = 8 ρίψεις ενός ζεύγους ζαριών. Κατασκευάστε ένα πολύγωνο διανομής. Βρείτε τα αριθμητικά χαρακτηριστικά της κατανομής (τρόπος κατανομής, μαθηματική προσδοκία M(X), διασπορά D(X), τυπική απόκλιση s(X)). Διάλυμα:Ας εισαγάγουμε τη σημείωση: συμβάν Α – «όταν ρίχνεις ένα ζευγάρι ζάρια, ένα έξι εμφανίστηκε τουλάχιστον μία φορά». Για να βρείτε την πιθανότητα P(A) = p του γεγονότος A, είναι πιο βολικό να βρείτε πρώτα την πιθανότητα P(Ā) = q του αντίθετου συμβάντος Ā - "όταν ρίχνετε ένα ζευγάρι ζάρια, ένα έξι δεν εμφανίστηκε ποτέ".
Δεδομένου ότι η πιθανότητα να μην εμφανίζεται ένα «έξι» όταν ρίχνετε ένα ζάρι είναι 5/6, τότε σύμφωνα με το θεώρημα του πολλαπλασιασμού πιθανοτήτων
P(Ā) = q = = .
Αντίστοιχα,
P(A) = p = 1 – P(Ā) = .
Οι δοκιμές στο πρόβλημα ακολουθούν το σχήμα Bernoulli, οπότε το d.s.v. μέγεθος Χ- αριθμός κη εμφάνιση τουλάχιστον ενός έξι κατά τη ρίψη δύο ζαριών υπακούει στον διωνυμικό νόμο της κατανομής πιθανοτήτων:

όπου = είναι ο αριθμός των συνδυασμών του nΜε κ.

Οι υπολογισμοί που πραγματοποιήθηκαν για αυτήν την εργασία μπορούν εύκολα να παρουσιαστούν με τη μορφή πίνακα:
Κατανομή πιθανοτήτων d.s.v. Χ º κ (n = 8; σελ = ; q = )

κ
Πν(κ)

Πολύγωνο (πολύγωνο) κατανομής πιθανότητας διακριτής τυχαίας μεταβλητής Χφαίνεται στο σχήμα:

Ρύζι. Πολύγωνο κατανομής πιθανότητας d.s.v. Χ=κ.
Η κάθετη γραμμή δείχνει τη μαθηματική προσδοκία της κατανομής Μ(Χ).

Ας βρούμε τα αριθμητικά χαρακτηριστικά της κατανομής πιθανοτήτων του d.s.v. Χ. Ο τρόπος διανομής είναι 2 (εδώ Π 8(2) = 0,2932 μέγιστο). Η μαθηματική προσδοκία εξ ορισμού ισούται με:
Μ(Χ) = = 2,4444,
Οπου xk = κ– αξία που λαμβάνεται από το d.s.v. Χ. Διακύμανση ρε(Χ) βρίσκουμε την κατανομή χρησιμοποιώντας τον τύπο:
ρε(Χ) = = 4,8097.
Τυπική απόκλιση (RMS):
μικρό( Χ) = = 2,1931.

Παράδειγμα 2
Διακριτή τυχαία μεταβλητή Χδίνεται από τον νόμο διανομής

Βρείτε τη συνάρτηση κατανομής F(x) και σχεδιάστε την.

Διάλυμα.Αν , τότε (τρίτη ιδιότητα).
Αν, τότε. Πραγματικά, Χμπορεί να πάρει την τιμή 1 με πιθανότητα 0,3.
Αν, τότε. Πράγματι, αν ικανοποιεί την ανισότητα
, τότε ισούται με την πιθανότητα ενός συμβάντος που μπορεί να συμβεί όταν Χθα λάβει την τιμή 1 (η πιθανότητα αυτού του συμβάντος είναι 0,3) ή την τιμή 4 (η πιθανότητα αυτού του συμβάντος είναι 0,1). Εφόσον αυτά τα δύο γεγονότα είναι ασύμβατα, τότε σύμφωνα με το θεώρημα πρόσθεσης, η πιθανότητα ενός γεγονότος είναι ίση με το άθροισμα των πιθανοτήτων 0,3 + 0,1 = 0,4. Αν, τότε. Πράγματι, το γεγονός είναι βέβαιο, επομένως η πιθανότητα του είναι ίση με ένα. Έτσι, η συνάρτηση κατανομής μπορεί να γραφτεί αναλυτικά ως εξής:

Γράφημα αυτής της συνάρτησης:
Ας βρούμε τις πιθανότητες που αντιστοιχούν σε αυτές τις τιμές. Κατά συνθήκη, οι πιθανότητες αστοχίας των συσκευών είναι ίσες: τότε οι πιθανότητες να λειτουργήσουν οι συσκευές κατά τη διάρκεια της περιόδου εγγύησης είναι ίσες:




Ο νόμος διανομής έχει τη μορφή:

Ορισμός 2.3. Μια τυχαία μεταβλητή, που συμβολίζεται με Χ, ονομάζεται διακριτή εάν λάβει ένα πεπερασμένο ή μετρήσιμο σύνολο τιμών, δηλ. σύνολο - ένα πεπερασμένο ή μετρήσιμο σύνολο.

Ας εξετάσουμε παραδείγματα διακριτών τυχαίων μεταβλητών.

1. Δύο νομίσματα ρίχνονται μία φορά. Ο αριθμός των εμβλημάτων σε αυτό το πείραμα είναι μια τυχαία μεταβλητή Χ. Οι πιθανές τιμές του είναι 0,1,2, δηλ. – ένα πεπερασμένο σύνολο.

2. Καταγράφεται ο αριθμός των κλήσεων ασθενοφόρου μέσα σε μια δεδομένη χρονική περίοδο. Τυχαία μεταβλητή Χ– αριθμός κλήσεων. Οι πιθανές τιμές του είναι 0, 1, 2, 3, ..., δηλ. =(0,1,2,3,...) είναι ένα μετρήσιμο σύνολο.

3. Στην ομάδα συμμετέχουν 25 μαθητές. Σε μια συγκεκριμένη ημέρα, καταγράφεται ο αριθμός των μαθητών που ήρθαν στην τάξη - μια τυχαία μεταβλητή Χ. Οι πιθανές τιμές του: 0, 1, 2, 3, ...,25 δηλ. =(0, 1, 2, 3, ..., 25).

Παρόλο που και τα 25 άτομα στο παράδειγμα 3 δεν μπορούν να χάσουν μαθήματα, η τυχαία μεταβλητή Χμπορεί να πάρει αυτή την τιμή. Αυτό σημαίνει ότι οι τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής έχουν διαφορετικές πιθανότητες.

Ας εξετάσουμε ένα μαθηματικό μοντέλο μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής.

Ας γίνει ένα τυχαίο πείραμα, το οποίο αντιστοιχεί σε έναν πεπερασμένο ή μετρήσιμο χώρο στοιχειωδών γεγονότων. Ας εξετάσουμε την αντιστοίχιση αυτού του χώρου στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, δηλαδή ας αντιστοιχίσουμε σε κάθε στοιχειώδες γεγονός έναν συγκεκριμένο πραγματικό αριθμό, . Το σύνολο των αριθμών μπορεί να είναι πεπερασμένο ή μετρήσιμο, δηλ. ή

Ένα σύστημα υποσυνόλων, το οποίο περιλαμβάνει οποιοδήποτε υποσύνολο, συμπεριλαμβανομένου ενός μονοσημείου, σχηματίζει μια -άλγεβρα ενός αριθμητικού συνόλου ( – πεπερασμένο ή μετρήσιμο).

Δεδομένου ότι οποιοδήποτε στοιχειώδες γεγονός συνδέεται με ορισμένες πιθανότητες p i(στην περίπτωση των πεπερασμένων όλων) και , τότε κάθε τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής μπορεί να συσχετιστεί με μια ορισμένη πιθανότητα p i, έτσι ώστε .

Αφήνω Χείναι ένας αυθαίρετος πραγματικός αριθμός. Ας υποδηλώσουμε R X (x)την πιθανότητα ότι η τυχαία μεταβλητή Χπήρε μια τιμή ίση με Χ, δηλ. P X (x)=P(X=x). Στη συνέχεια η συνάρτηση R X (x)μπορεί να λάβει θετικές τιμές μόνο για αυτές τις τιμές Χ, που ανήκουν σε ένα πεπερασμένο ή αριθμήσιμο σύνολο , και για όλες τις άλλες τιμές η πιθανότητα αυτής της τιμής P X (x)=0.

Έτσι, ορίσαμε το σύνολο των τιμών, -άλγεβρα ως σύστημα οποιωνδήποτε υποσυνόλων και για κάθε γεγονός ( X = x) συνέκρινε την πιθανότητα για οποιαδήποτε, δηλ. κατασκεύασε έναν χώρο πιθανοτήτων.

Για παράδειγμα, ο χώρος των στοιχειωδών γεγονότων ενός πειράματος που αποτελείται από την ρίψη συμμετρικού νομίσματος δύο φορές αποτελείται από τέσσερα στοιχειώδη γεγονότα: , όπου

Όταν το νόμισμα πετάχτηκε δύο φορές, εμφανίστηκαν δύο ουρές. Όταν το νόμισμα πετάχτηκε δύο φορές, έπεσαν δύο οικόσημα.

Στην πρώτη ρίψη του κέρματος εμφανίστηκε ένα χασίς και στη δεύτερη ένα οικόσημο.

Στην πρώτη ρίψη του κέρματος, το εθνόσημο, και στη δεύτερη, το σήμα κατακερματισμού.

Αφήστε την τυχαία μεταβλητή Χ– αριθμός εγκαταλείψεων πλέγματος. Ορίζεται στο και το σύνολο των τιμών του . Όλα τα πιθανά υποσύνολα, συμπεριλαμβανομένων των μονοσημείων, σχηματίζουν μια άλγεβρα, δηλ. =(Ø, (1), (2), (0,1), (0,2), (1,2), (0,1,2)).

Πιθανότητα γεγονότος ( X=x i}, і = 1,2,3, ορίζουμε ως την πιθανότητα εμφάνισης ενός γεγονότος που είναι το πρωτότυπό του:

Έτσι, σε στοιχειώδη γεγονότα ( X = xi) ορίστε μια αριθμητική συνάρτηση R X, Λοιπόν .

Ορισμός 2.4. Ο νόμος κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής είναι ένα σύνολο ζευγών αριθμών (x i, р i), όπου x i είναι οι πιθανές τιμές της τυχαίας μεταβλητής και р i είναι οι πιθανότητες με τις οποίες παίρνει αυτές τις τιμές και .

Η απλούστερη μορφή προσδιορισμού του νόμου κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής είναι ένας πίνακας που παραθέτει τις πιθανές τιμές της τυχαίας μεταβλητής και τις αντίστοιχες πιθανότητες:

			…		…
			…		…

Ένας τέτοιος πίνακας ονομάζεται σειρά διανομής. Για να δώσει στη σειρά διανομής μια πιο οπτική εμφάνιση, απεικονίζεται γραφικά: στον άξονα Ωαποσιωπητικά x iκαι σχεδιάστε από αυτές κάθετες μήκους p i. Τα σημεία που προκύπτουν συνδέονται και προκύπτει ένα πολύγωνο, το οποίο είναι μία από τις μορφές του νόμου κατανομής (Εικ. 2.1).

Έτσι, για να καθορίσετε μια διακριτή τυχαία μεταβλητή, πρέπει να καθορίσετε τις τιμές της και τις αντίστοιχες πιθανότητες.

Παράδειγμα 2.2.Η υποδοχή μετρητών του μηχανήματος ενεργοποιείται κάθε φορά που εισάγεται ένα νόμισμα με την πιθανότητα r. Μόλις ενεργοποιηθεί, τα νομίσματα δεν κατεβαίνουν. Αφήνω Χ– ο αριθμός των κερμάτων που πρέπει να εισαχθούν πριν ενεργοποιηθεί η θυρίδα μετρητών του μηχανήματος. Κατασκευάστε μια σειρά κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής Χ.

Διάλυμα.Πιθανές τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής Χ: x 1 = 1, x 2 = 2,..., x k = k, ...Ας βρούμε τις πιθανότητες αυτών των τιμών: σελ 1– την πιθανότητα να λειτουργήσει ο δέκτης χρημάτων την πρώτη φορά που θα χαμηλώσει και p 1 = p; σελ 2 -η πιθανότητα να γίνουν δύο προσπάθειες. Για να γίνει αυτό, είναι απαραίτητο: 1) ο παραλήπτης χρημάτων να μην λειτουργεί με την πρώτη προσπάθεια. 2) στη δεύτερη προσπάθεια δούλεψε. Η πιθανότητα αυτού του γεγονότος είναι (1–р)р. Επίσης και ούτω καθεξής, . Εύρος διανομής Χθα πάρει τη μορφή

	1	2	3	…	Να	…
	r	qp	q 2 p		q r -1 p

Σημειώστε ότι οι πιθανότητες r kσχηματίστε μια γεωμετρική πρόοδο με τον παρονομαστή: 1–p=q, q<1, επομένως αυτή η κατανομή πιθανότητας ονομάζεται γεωμετρικός.

Ας υποθέσουμε περαιτέρω ότι έχει κατασκευαστεί ένα μαθηματικό μοντέλο πείραμα που περιγράφεται από μια διακριτή τυχαία μεταβλητή Χ, και εξετάστε το ενδεχόμενο να υπολογίσετε τις πιθανότητες εμφάνισης αυθαίρετων γεγονότων.

Αφήστε ένα αυθαίρετο γεγονός να περιέχει ένα πεπερασμένο ή μετρήσιμο σύνολο τιμών x i: Α= {x 1, x 2,..., x i, ...) .Εκδήλωση ΕΝΑμπορεί να αναπαρασταθεί ως ένωση ασυμβίβαστων γεγονότων της μορφής: . Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας το αξίωμα 3 του Kolmogorov , παίρνουμε

αφού προσδιορίσαμε τις πιθανότητες εμφάνισης γεγονότων να είναι ίσες με τις πιθανότητες εμφάνισης γεγονότων που είναι τα πρωτότυπά τους. Αυτό σημαίνει ότι η πιθανότητα οποιουδήποτε γεγονότος , , μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο, καθώς αυτό το γεγονός μπορεί να αναπαρασταθεί με τη μορφή μιας ένωσης γεγονότων, όπου .

Στη συνέχεια η συνάρτηση κατανομής F(x) = Р(-<Х<х) βρίσκεται από τον τύπο. Από αυτό προκύπτει ότι η συνάρτηση κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής Χείναι ασυνεχής και αυξάνεται στα άλματα, δηλαδή είναι μια συνάρτηση βήματος (Εικ. 2.2):

Εάν το σύνολο είναι πεπερασμένο, τότε ο αριθμός των όρων στον τύπο είναι πεπερασμένος, αλλά αν είναι μετρήσιμος, τότε ο αριθμός των όρων είναι μετρήσιμος.

Παράδειγμα 2.3.Η τεχνική συσκευή αποτελείται από δύο στοιχεία που λειτουργούν ανεξάρτητα το ένα από το άλλο. Η πιθανότητα αστοχίας του πρώτου στοιχείου κατά τη διάρκεια του χρόνου T είναι 0,2 και η πιθανότητα αστοχίας του δεύτερου στοιχείου είναι 0,1. Τυχαία μεταβλητή Χ– ο αριθμός των στοιχείων που απέτυχαν κατά τη διάρκεια του χρόνου T. Βρείτε τη συνάρτηση κατανομής της τυχαίας μεταβλητής και σχεδιάστε τη γραφική παράσταση της.

Διάλυμα.Ο χώρος των στοιχειωδών γεγονότων ενός πειράματος που αποτελείται από τη μελέτη της αξιοπιστίας δύο στοιχείων μιας τεχνικής συσκευής καθορίζεται από τέσσερα στοιχειώδη γεγονότα, , , : – και τα δύο στοιχεία είναι λειτουργικά. – το πρώτο στοιχείο λειτουργεί, το δεύτερο είναι ελαττωματικό. – το πρώτο στοιχείο είναι ελαττωματικό, το δεύτερο λειτουργεί. – και τα δύο στοιχεία είναι ελαττωματικά. Κάθε ένα από τα στοιχειώδη γεγονότα μπορεί να εκφραστεί μέσω στοιχειωδών γεγονότων των χώρων Και , όπου – το πρώτο στοιχείο είναι λειτουργικό. – το πρώτο στοιχείο απέτυχε. – το δεύτερο στοιχείο είναι λειτουργικό· – το δεύτερο στοιχείο απέτυχε. Τότε, και εφόσον τα στοιχεία μιας τεχνικής συσκευής λειτουργούν ανεξάρτητα το ένα από το άλλο, τότε

8. Ποια είναι η πιθανότητα οι τιμές μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής να ανήκουν στο διάστημα;

Χ; έννοια φά(5); την πιθανότητα ότι η τυχαία μεταβλητή Χθα λάβει τιμές από το τμήμα. Κατασκευάστε ένα πολύγωνο διανομής.

1. Η συνάρτηση κατανομής F(x) μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής είναι γνωστή Χ:

Ορίστε τον νόμο κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής Χσε μορφή πίνακα.

1. Δίνεται ο νόμος κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής Χ:

Χ	–28	–20	–12	–4
σελ	0,22	0,44	0,17	0,1	0,07

1. Η πιθανότητα το κατάστημα να διαθέτει πιστοποιητικά ποιότητας για την πλήρη γκάμα των προϊόντων είναι 0,7. Η επιτροπή έλεγξε τη διαθεσιμότητα πιστοποιητικών σε τέσσερα καταστήματα της περιοχής. Συντάξτε έναν νόμο διανομής, υπολογίστε τη μαθηματική προσδοκία και τη διασπορά του αριθμού των καταστημάτων στα οποία δεν βρέθηκαν πιστοποιητικά ποιότητας κατά τον έλεγχο.

1. Για να προσδιοριστεί ο μέσος χρόνος καύσης των ηλεκτρικών λαμπτήρων σε μια παρτίδα 350 πανομοιότυπων κουτιών, λήφθηκε ένας ηλεκτρικός λαμπτήρας από κάθε κουτί για δοκιμή. Υπολογίστε από κάτω την πιθανότητα ότι η μέση διάρκεια καύσης των επιλεγμένων ηλεκτρικών λαμπτήρων διαφέρει από τη μέση διάρκεια καύσης ολόκληρης της παρτίδας σε απόλυτη τιμή κατά λιγότερο από 7 ώρες, εάν είναι γνωστό ότι η τυπική απόκλιση της διάρκειας καύσης των ηλεκτρικών λαμπτήρων σε κάθε κουτί είναι λιγότερο από 9 ώρες.

1. Σε ένα τηλεφωνικό κέντρο, συμβαίνει μια λανθασμένη σύνδεση με πιθανότητα 0,002. Βρείτε την πιθανότητα μεταξύ 500 συνδέσεων να συμβούν τα εξής:

Βρείτε τη συνάρτηση κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής Χ. Κατασκευάστε γραφήματα συναρτήσεων και . Υπολογίστε τη μαθηματική προσδοκία, διακύμανση, τρόπο και διάμεσο μιας τυχαίας μεταβλητής Χ.

1. Ένα αυτόματο μηχάνημα κατασκευάζει κυλίνδρους. Πιστεύεται ότι η διάμετρός τους είναι μια κανονικά κατανεμημένη τυχαία μεταβλητή με μέση τιμή 10 mm. Ποια είναι η τυπική απόκλιση εάν, με πιθανότητα 0,99, η διάμετρος είναι στην περιοχή από 9,7 mm έως 10,3 mm.

Δείγμα Α: 6 9 7 6 4 4

Δείγμα Β: 55 72 54 53 64 53 59 48

42 46 50 63 71 56 54 59

54 44 50 43 51 52 60 43

50 70 68 59 53 58 62 49

59 51 52 47 57 71 60 46

55 58 72 47 60 65 63 63

58 56 55 51 64 54 54 63

56 44 73 41 68 54 48 52

52 50 55 49 71 67 58 46

50 51 72 63 64 48 47 55

Επιλογή 17.

1. Μεταξύ των 35 εξαρτημάτων, τα 7 είναι μη τυποποιημένα. Βρείτε την πιθανότητα δύο μέρη που λαμβάνονται τυχαία να αποδειχθούν τυπικά.

1. Ρίχνονται τρία ζάρια. Βρείτε την πιθανότητα το άθροισμα των σημείων στις πλευρές που πέφτουν να είναι πολλαπλάσιο του 9.

1. Η λέξη «ΠΕΡΙΠΕΤΕΙΑ» αποτελείται από κάρτες, η καθεμία με ένα γράμμα γραμμένο πάνω της. Οι κάρτες ανακατεύονται και βγαίνουν ένα-ένα χωρίς επιστροφή. Βρείτε την πιθανότητα τα γράμματα που αφαιρέθηκαν με τη σειρά εμφάνισης να σχηματίζουν τη λέξη: α) ΠΕΡΙΠΕΤΕΙΑ. β) ΚΡΑΤΟΥΜΕΝΟΣ.

1. Ένα δοχείο περιέχει 6 μαύρες και 5 άσπρες μπάλες. Τυχαία κληρώνονται 5 μπάλες. Βρείτε την πιθανότητα ότι ανάμεσά τους υπάρχουν:
1. 2 άσπρες μπάλες?
2. λιγότερες από 2 άσπρες μπάλες.
3. τουλάχιστον μια μαύρη μπάλα.

1. ΕΝΑσε ένα τεστ ισούται με 0,4. Βρείτε τις πιθανότητες των παρακάτω γεγονότων:
1. συμβάν ΕΝΑεμφανίζεται 3 φορές σε μια σειρά 7 ανεξάρτητων δοκιμών.
2. συμβάν ΕΝΑθα εμφανιστεί όχι λιγότερες από 220 και όχι περισσότερες από 235 φορές σε μια σειρά 400 δοκιμών.

1. Το εργοστάσιο έστειλε 5.000 προϊόντα καλής ποιότητας στη βάση. Η πιθανότητα ζημιάς σε κάθε προϊόν κατά τη μεταφορά είναι 0,002. Βρείτε την πιθανότητα να μην καταστραφούν περισσότερα από 3 προϊόντα κατά τη διάρκεια του ταξιδιού.

1. Το πρώτο δοχείο περιέχει 4 άσπρες και 9 μαύρες μπάλες και το δεύτερο δοχείο περιέχει 7 άσπρες και 3 μαύρες μπάλες. 3 μπάλες έχουν τραβηχτεί τυχαία από την πρώτη λάρνακα και 4 από τη δεύτερη λάρνακα Βρείτε την πιθανότητα ότι όλες οι μπάλες έχουν το ίδιο χρώμα.

1. Δίνεται ο νόμος κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής Χ:

Υπολογίστε τη μαθηματική προσδοκία και τη διακύμανσή του.

1. Υπάρχουν 10 μολύβια στο κουτί. 4 μολύβια σχεδιάζονται τυχαία. Τυχαία μεταβλητή Χ– τον ​​αριθμό των μπλε μολυβιών μεταξύ των επιλεγμένων. Βρείτε τον νόμο της κατανομής του, τις αρχικές και κεντρικές ροπές της 2ης και 3ης τάξης.

1. Το τμήμα τεχνικού ελέγχου ελέγχει 475 προϊόντα για ελαττώματα. Η πιθανότητα το προϊόν να είναι ελαττωματικό είναι 0,05. Βρείτε, με πιθανότητα 0,95, τα όρια εντός των οποίων θα περιέχεται ο αριθμός των ελαττωματικών προϊόντων μεταξύ αυτών που δοκιμάστηκαν.

1. Σε ένα τηλεφωνικό κέντρο, συμβαίνει μια λανθασμένη σύνδεση με πιθανότητα 0,003. Βρείτε την πιθανότητα μεταξύ 1000 συνδέσεων να συμβεί το εξής:
1. τουλάχιστον 4 λανθασμένες συνδέσεις.
2. περισσότερες από δύο λανθασμένες συνδέσεις.

1. Η τυχαία μεταβλητή καθορίζεται από τη συνάρτηση πυκνότητας κατανομής:

Βρείτε τη συνάρτηση κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής Χ. Κατασκευάστε γραφήματα συναρτήσεων και . Υπολογίστε τη μαθηματική προσδοκία, διακύμανση, τρόπο και διάμεσο της τυχαίας μεταβλητής Χ.

1. Η τυχαία μεταβλητή καθορίζεται από τη συνάρτηση κατανομής:

1. Με δείγμα ΕΝΑλύσει τα παρακάτω προβλήματα:
1. Δημιουργήστε μια σειρά παραλλαγών.

· μέσος όρος δείγματος.

· Διακύμανση δείγματος.

Λειτουργία και διάμεσος.

Δείγμα Α: 0 0 2 2 1 4

1. να υπολογίσετε τα αριθμητικά χαρακτηριστικά της σειράς παραλλαγών:

· μέσος όρος δείγματος.

· Διακύμανση δείγματος.

τυπική απόκλιση δείγματος.

· Λειτουργία και διάμεσος.

Δείγμα Β: 166 154 168 169 178 182 169 159

161 150 149 173 173 156 164 169

157 148 169 149 157 171 154 152

164 157 177 155 167 169 175 166

167 150 156 162 170 167 161 158

168 164 170 172 173 157 157 162

156 150 154 163 143 170 170 168

151 174 155 163 166 173 162 182

166 163 170 173 159 149 172 176

Επιλογή 18.

1. Μεταξύ 10 λαχνών, τα 2 είναι κερδισμένα. Βρείτε την πιθανότητα ότι από τα πέντε εισιτήρια που θα βγουν τυχαία, ένα θα είναι νικητής.

1. Τρία ζάρια ρίχνονται. Βρείτε την πιθανότητα το άθροισμα των σημείων να είναι μεγαλύτερο από 15.

1. Η λέξη «ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ» αποτελείται από κάρτες, καθεμία από τις οποίες έχει ένα γράμμα γραμμένο πάνω της. Οι κάρτες ανακατεύονται και βγαίνουν ένα-ένα χωρίς επιστροφή. Να βρείτε την πιθανότητα τα γράμματα που αφαιρέθηκαν να αποτελούν τη λέξη: α) ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ; β) ΜΕΤΡΗΤΗΣ.

1. Ένα δοχείο περιέχει 5 μαύρες και 7 άσπρες μπάλες. Τυχαία κληρώνονται 5 μπάλες. Βρείτε την πιθανότητα ότι ανάμεσά τους υπάρχουν:
1. 4 λευκές μπάλες?
2. λιγότερες από 2 άσπρες μπάλες.
3. τουλάχιστον μια μαύρη μπάλα.

1. Πιθανότητα να συμβεί ένα συμβάν ΕΝΑσε μία δοκιμή ισούται με 0,55. Βρείτε τις πιθανότητες των παρακάτω γεγονότων:
1. συμβάν ΕΝΑθα εμφανιστεί 3 φορές σε μια σειρά 5 προκλήσεων.
2. συμβάν ΕΝΑθα εμφανιστεί όχι λιγότερο από 130 και όχι περισσότερες από 200 φορές σε μια σειρά 300 δοκιμών.

1. Η πιθανότητα να σπάσει ένα κουτί από κονσέρβες είναι 0,0005. Βρείτε την πιθανότητα ότι μεταξύ 2000 κουτιών, δύο θα έχουν διαρροή.

1. Το πρώτο δοχείο περιέχει 4 άσπρες και 8 μαύρες μπάλες και το δεύτερο δοχείο περιέχει 7 άσπρες και 4 μαύρες μπάλες. Δύο μπάλες βγαίνουν τυχαία από την πρώτη λάρνακα και τρεις μπάλες τυχαία από τη δεύτερη. Βρείτε την πιθανότητα όλες οι ζωγραφισμένες μπάλες να έχουν το ίδιο χρώμα.

1. Μεταξύ των εξαρτημάτων που φτάνουν για συναρμολόγηση, το 0,1% είναι ελαττωματικά από το πρώτο μηχάνημα, το 0,2% από το δεύτερο, το 0,25% από το τρίτο και το 0,5% από το τέταρτο. Οι αναλογίες παραγωγικότητας του μηχανήματος είναι αντίστοιχα 4:3:2:1. Το μέρος που λήφθηκε τυχαία αποδείχθηκε στάνταρ. Βρείτε την πιθανότητα ότι το εξάρτημα κατασκευάστηκε στην πρώτη μηχανή.

1. Δίνεται ο νόμος κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής Χ:

Υπολογίστε τη μαθηματική προσδοκία και τη διακύμανσή του.

1. Ένας ηλεκτρολόγος έχει τρεις λαμπτήρες, καθένας από τους οποίους έχει ένα ελάττωμα με πιθανότητα 0,1 Οι λαμπτήρες βιδώνονται στην πρίζα και το ρεύμα είναι αναμμένο. Όταν ενεργοποιηθεί το ρεύμα, η ελαττωματική λάμπα καίγεται αμέσως και αντικαθίσταται από άλλη. Βρείτε τον νόμο κατανομής, τη μαθηματική προσδοκία και τη διασπορά του αριθμού των δοκιμασμένων λαμπτήρων.

1. Η πιθανότητα να χτυπηθεί ένας στόχος είναι 0,3 για κάθε μία από τις 900 ανεξάρτητες βολές. Χρησιμοποιώντας την ανισότητα του Chebyshev, υπολογίστε την πιθανότητα ο στόχος να χτυπηθεί τουλάχιστον 240 φορές και το πολύ 300 φορές.

1. Σε ένα τηλεφωνικό κέντρο, συμβαίνει μια λανθασμένη σύνδεση με πιθανότητα 0,002. Βρείτε την πιθανότητα μεταξύ 800 συνδέσεων να συμβούν τα εξής:
1. τουλάχιστον τρεις λανθασμένες συνδέσεις.
2. περισσότερες από τέσσερις εσφαλμένες συνδέσεις.

1. Η τυχαία μεταβλητή καθορίζεται από τη συνάρτηση πυκνότητας κατανομής:

Βρείτε τη συνάρτηση κατανομής της τυχαίας μεταβλητής Χ. Σχεδιάστε γραφήματα των συναρτήσεων και . Υπολογίστε τη μαθηματική προσδοκία, διακύμανση, τρόπο και διάμεσο μιας τυχαίας μεταβλητής Χ.

1. Η τυχαία μεταβλητή καθορίζεται από τη συνάρτηση κατανομής:

1. Με δείγμα ΕΝΑλύσει τα παρακάτω προβλήματα:
1. Δημιουργήστε μια σειρά παραλλαγών.
2. Υπολογίστε τις σχετικές και συσσωρευμένες συχνότητες.
3. να συνθέσετε μια εμπειρική συνάρτηση κατανομής και να την σχεδιάσετε.
4. να υπολογίσετε τα αριθμητικά χαρακτηριστικά της σειράς παραλλαγών:

· μέσος όρος δείγματος.

· Διακύμανση δείγματος.

τυπική απόκλιση δείγματος.

· Λειτουργία και διάμεσος.

Δείγμα Α: 4 7 6 3 3 4

1. Χρησιμοποιώντας το δείγμα Β, λύστε τα ακόλουθα προβλήματα:
1. Δημιουργήστε μια ομαδοποιημένη σειρά παραλλαγών.
2. Δημιουργήστε ένα ιστόγραμμα και ένα πολύγωνο συχνότητας.
3. να υπολογίσετε τα αριθμητικά χαρακτηριστικά της σειράς παραλλαγών:

· μέσος όρος δείγματος.

· Διακύμανση δείγματος.

τυπική απόκλιση δείγματος.

· Λειτουργία και διάμεσος.

Δείγμα Β: 152 161 141 155 171 160 150 157

154 164 138 172 155 152 177 160

168 157 115 128 154 149 150 141

172 154 144 177 151 128 150 147

143 164 156 145 156 170 171 142

148 153 152 170 142 153 162 128

150 146 155 154 163 142 171 138

128 158 140 160 144 150 162 151

163 157 177 127 141 160 160 142

159 147 142 122 155 144 170 177

Επιλογή 19.

1. Στο σημείο εργάζονται 16 γυναίκες και 5 άνδρες. Επιλέχθηκαν 3 άτομα τυχαία χρησιμοποιώντας τους αριθμούς προσωπικού τους. Βρείτε την πιθανότητα όλα τα επιλεγμένα άτομα να είναι άνδρες.

2. Τέσσερα νομίσματα πετιούνται. Βρείτε την πιθανότητα ότι μόνο δύο νομίσματα θα έχουν «οικόσημο».

3. Η λέξη «ΨΥΧΟΛΟΓΙΑ» αποτελείται από κάρτες, καθεμία από τις οποίες έχει ένα γράμμα γραμμένο πάνω της. Οι κάρτες ανακατεύονται και βγαίνουν ένα-ένα χωρίς επιστροφή. Να βρείτε την πιθανότητα τα γράμματα που αφαιρέθηκαν να αποτελούν λέξη: α) ΨΥΧΟΛΟΓΙΑ; β) ΠΡΟΣΩΠΙΚΟ.

4. Η λάρνακα περιέχει 6 μαύρες και 7 άσπρες μπάλες. Τυχαία κληρώνονται 5 μπάλες. Βρείτε την πιθανότητα ότι ανάμεσά τους υπάρχουν:

ένα. 3 άσπρες μπάλες?

σι. λιγότερες από 3 λευκές μπάλες.

ντο. τουλάχιστον μια λευκή μπάλα.

5. Πιθανότητα να συμβεί ένα γεγονός ΕΝΑσε μία δοκιμή ισούται με 0,5. Βρείτε τις πιθανότητες των παρακάτω γεγονότων:

ένα. συμβάν ΕΝΑεμφανίζεται 3 φορές σε μια σειρά 5 ανεξάρτητων δοκιμών.

σι. συμβάν ΕΝΑθα εμφανιστεί τουλάχιστον 30 και όχι περισσότερες από 40 φορές σε μια σειρά 50 δοκιμών.

6. Υπάρχουν 100 μηχανήματα ίδιας ισχύος, που λειτουργούν ανεξάρτητα το ένα από το άλλο στον ίδιο τρόπο λειτουργίας, στο οποίο ο δίσκος τους είναι ενεργοποιημένος για 0,8 ώρες εργασίας. Ποια είναι η πιθανότητα ανά πάσα στιγμή να ενεργοποιηθούν από 70 έως 86 μηχανές;

7. Το πρώτο δοχείο περιέχει 4 άσπρες και 7 μαύρες μπάλες και το δεύτερο δοχείο περιέχει 8 άσπρες και 3 μαύρες μπάλες. 4 μπάλες βγαίνουν τυχαία από την πρώτη λάρνακα και 1 μπάλα από τη δεύτερη. Βρείτε την πιθανότητα ανάμεσα στις συρόμενες μπάλες να υπάρχουν μόνο 4 μαύρες μπάλες.

8. Ο εκθεσιακός χώρος πωλήσεων αυτοκινήτων δέχεται καθημερινά αυτοκίνητα τριών μάρκων σε όγκους: "Moskvich" – 40%; "Oka" - 20%; "Βόλγα" - 40% όλων των εισαγόμενων αυτοκινήτων. Μεταξύ των αυτοκινήτων Moskvich, το 0,5% έχει αντικλεπτική συσκευή, το Oka – 0,01%, το Volga – 0,1%. Βρείτε την πιθανότητα το αυτοκίνητο που πάρθηκε για έλεγχο να έχει αντικλεπτική συσκευή.

9. Αριθμοί και επιλέγονται τυχαία στο τμήμα. Να βρείτε την πιθανότητα αυτοί οι αριθμοί να ικανοποιούν τις ανισώσεις.

10. Δίνεται ο νόμος κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής Χ:

Χ
σελ	0,1	0,2	0,3	0,4

Βρείτε τη συνάρτηση κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής Χ; έννοια φά(2); την πιθανότητα ότι η τυχαία μεταβλητή Χθα πάρει τιμές από το διάστημα . Κατασκευάστε ένα πολύγωνο διανομής.

ΝΟΜΟΣ ΔΙΑΝΟΜΗΣ ΚΑΙ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΩΝ

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ

Τυχαίες μεταβλητές, ταξινόμηση και μέθοδοι περιγραφής τους.

Μια τυχαία ποσότητα είναι μια ποσότητα που, ως αποτέλεσμα πειράματος, μπορεί να λάβει τη μία ή την άλλη τιμή, αλλά η οποία δεν είναι γνωστή εκ των προτέρων. Για μια τυχαία μεταβλητή, επομένως, μπορείτε να καθορίσετε μόνο τιμές, μία από τις οποίες θα λάβει σίγουρα ως αποτέλεσμα πειράματος. Στη συνέχεια θα ονομάσουμε αυτές τις τιμές ως πιθανές τιμές της τυχαίας μεταβλητής. Εφόσον μια τυχαία μεταβλητή χαρακτηρίζει ποσοτικά το τυχαίο αποτέλεσμα ενός πειράματος, μπορεί να θεωρηθεί ως ποσοτικό χαρακτηριστικό ενός τυχαίου γεγονότος.

Οι τυχαίες μεταβλητές συνήθως υποδηλώνονται με κεφαλαία γράμματα του λατινικού αλφαβήτου, για παράδειγμα, X..Y..Z, και τις πιθανές τιμές τους με αντίστοιχα μικρά γράμματα.

Υπάρχουν τρεις τύποι τυχαίων μεταβλητών:

Διακεκριμένος; Συνεχής; Μικτός.

Διακεκριμένοςείναι μια τυχαία μεταβλητή της οποίας ο αριθμός των πιθανών τιμών σχηματίζει ένα μετρήσιμο σύνολο. Με τη σειρά του, ένα σύνολο του οποίου τα στοιχεία μπορούν να αριθμηθούν ονομάζεται μετρήσιμο. Η λέξη "discrete" προέρχεται από το λατινικό discretus, που σημαίνει "ασυνεχές, που αποτελείται από χωριστά μέρη".

Παράδειγμα 1. Μια διακριτή τυχαία μεταβλητή είναι ο αριθμός των ελαττωματικών μερών Χ σε μια παρτίδα nπροϊόντων. Πράγματι, οι πιθανές τιμές αυτής της τυχαίας μεταβλητής είναι μια σειρά ακεραίων από 0 έως n.

Παράδειγμα 2. Μια διακριτή τυχαία μεταβλητή είναι ο αριθμός των βολών πριν από το πρώτο χτύπημα στον στόχο. Εδώ, όπως στο Παράδειγμα 1, οι πιθανές τιμές μπορούν να αριθμηθούν, αν και στην περιοριστική περίπτωση η πιθανή τιμή είναι ένας απείρως μεγάλος αριθμός.

Συνεχήςείναι μια τυχαία μεταβλητή της οποίας οι πιθανές τιμές γεμίζουν συνεχώς ένα συγκεκριμένο διάστημα του αριθμητικού άξονα, που μερικές φορές ονομάζεται διάστημα ύπαρξης αυτής της τυχαίας μεταβλητής. Έτσι, σε οποιοδήποτε πεπερασμένο διάστημα ύπαρξης, ο αριθμός των πιθανών τιμών μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής είναι απείρως μεγάλος.

Παράδειγμα 3. Μια συνεχής τυχαία μεταβλητή είναι η μηνιαία κατανάλωση ηλεκτρικής ενέργειας μιας επιχείρησης.

Παράδειγμα 4. Μια συνεχής τυχαία μεταβλητή είναι το σφάλμα στη μέτρηση του ύψους χρησιμοποιώντας ένα υψόμετρο. Ας γίνει γνωστό από την αρχή λειτουργίας του υψομέτρου ότι το σφάλμα βρίσκεται στην περιοχή από 0 έως 2 m. Επομένως, το διάστημα ύπαρξης αυτής της τυχαίας μεταβλητής είναι το διάστημα από 0 έως 2 m.

Νόμος κατανομής τυχαίων μεταβλητών.

Μια τυχαία μεταβλητή θεωρείται πλήρως καθορισμένη εάν οι πιθανές τιμές της υποδεικνύονται στον αριθμητικό άξονα και έχει καθοριστεί ο νόμος κατανομής.

Νόμος κατανομής τυχαίας μεταβλητής είναι μια σχέση που δημιουργεί μια σύνδεση μεταξύ των πιθανών τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής και των αντίστοιχων πιθανοτήτων.

Μια τυχαία μεταβλητή λέγεται ότι κατανέμεται σύμφωνα με έναν δεδομένο νόμο ή υπόκειται σε έναν δεδομένο νόμο κατανομής. Ως νόμοι κατανομής χρησιμοποιούνται διάφορες πιθανότητες, συνάρτηση κατανομής, πυκνότητα πιθανότητας και χαρακτηριστική συνάρτηση.

Ο νόμος κατανομής δίνει μια πλήρη πιθανή περιγραφή μιας τυχαίας μεταβλητής. Σύμφωνα με τον νόμο κατανομής, μπορεί κανείς να κρίνει πριν από το πείραμα ποιες πιθανές τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής θα εμφανίζονται πιο συχνά και ποιες λιγότερο συχνά.

Για μια διακριτή τυχαία μεταβλητή, ο νόμος κατανομής μπορεί να καθοριστεί με τη μορφή πίνακα, αναλυτικά (με τη μορφή τύπου) και γραφικά.

Η απλούστερη μορφή προσδιορισμού του νόμου κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής είναι ένας πίνακας (μήτρας), ο οποίος παραθέτει με αύξουσα σειρά όλες τις πιθανές τιμές της τυχαίας μεταβλητής και τις αντίστοιχες πιθανότητες τους, π.χ.

Ένας τέτοιος πίνακας ονομάζεται σειρά διανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής. 1

Τα συμβάντα X 1, X 2,..., X n, που συνίστανται στο γεγονός ότι ως αποτέλεσμα της δοκιμής, η τυχαία μεταβλητή X θα λάβει τις τιμές x 1, x 2,... x n, αντίστοιχα, είναι ασυνεπείς και οι μόνες δυνατές (καθώς ο πίνακας παραθέτει όλες τις πιθανές τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής), π.χ. σχηματίσουν μια πλήρη ομάδα. Επομένως, το άθροισμα των πιθανοτήτων τους είναι ίσο με 1. Έτσι, για κάθε διακριτή τυχαία μεταβλητή

(Αυτή η μονάδα κατανέμεται κατά κάποιο τρόπο μεταξύ των τιμών της τυχαίας μεταβλητής, εξ ου και ο όρος "κατανομή").

Η σειρά κατανομής μπορεί να απεικονιστεί γραφικά εάν οι τιμές της τυχαίας μεταβλητής σχεδιάζονται κατά μήκος του άξονα της τετμημένης και οι αντίστοιχες πιθανότητες απεικονίζονται κατά μήκος του άξονα τεταγμένων. Η σύνδεση των λαμβανόμενων σημείων σχηματίζει μια διακεκομμένη γραμμή, που ονομάζεται πολύγωνο ή πολύγωνο της κατανομής πιθανότητας (Εικ. 1).

ΠαράδειγμαΗ κλήρωση περιλαμβάνει: αυτοκίνητο αξίας 5.000 den. μονάδες, 4 τηλεοράσεις με κόστος 250 ντεν. μονάδες, 5 συσκευές εγγραφής βίντεο αξίας 200 ντεν. μονάδες Συνολικά πωλούνται 1000 εισιτήρια για 7 ημέρες. μονάδες Συντάξτε έναν νόμο διανομής για τα καθαρά κέρδη που έλαβε ένας συμμετέχων στο λαχείο που αγόρασε ένα δελτίο.

Διάλυμα. Οι πιθανές τιμές της τυχαίας μεταβλητής X - τα καθαρά κέρδη ανά δελτίο - είναι ίσες με 0-7 = -7 χρήματα. μονάδες (αν το δελτίο δεν κέρδιζε), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 den. μονάδες (αν το εισιτήριο έχει τα κέρδη ενός βίντεο, τηλεόρασης ή αυτοκινήτου, αντίστοιχα). Λαμβάνοντας υπόψη ότι από τα 1000 εισιτήρια ο αριθμός των μη κερδισμένων είναι 990 και τα υποδεικνυόμενα κέρδη είναι 5, 4 και 1 αντίστοιχα, και χρησιμοποιώντας τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας, λαμβάνουμε.

Σε αυτή τη σελίδα έχουμε συλλέξει παραδείγματα εκπαιδευτικών λύσεων προβλήματα σχετικά με διακριτές τυχαίες μεταβλητές. Αυτή είναι μια αρκετά εκτεταμένη ενότητα: μελετώνται διάφοροι νόμοι κατανομής (διωνυμικός, γεωμετρικός, υπεργεωμετρικός, Poisson και άλλοι), ιδιότητες και αριθμητικά χαρακτηριστικά για κάθε σειρά διανομής, μπορούν να δημιουργηθούν γραφικές αναπαραστάσεις: πολύγωνο (πολύγωνο) πιθανοτήτων, συνάρτηση κατανομής.

Παρακάτω θα βρείτε παραδείγματα αποφάσεων σχετικά με διακριτές τυχαίες μεταβλητές, στις οποίες πρέπει να εφαρμόσετε γνώσεις από προηγούμενες ενότητες της θεωρίας πιθανοτήτων για να συντάξετε έναν νόμο κατανομής και στη συνέχεια να υπολογίσετε τη μαθηματική προσδοκία, διακύμανση, τυπική απόκλιση, να κατασκευάσετε μια συνάρτηση κατανομής, να απαντήσετε ερωτήσεις σχετικά με το DSV, κλπ. Σελ.

Παραδείγματα δημοφιλών νόμων κατανομής πιθανοτήτων:

Αριθμομηχανές για χαρακτηριστικά DSV

• Υπολογισμός μαθηματικής προσδοκίας, διασποράς και τυπικής απόκλισης του DSV.

Επιλύθηκαν προβλήματα σχετικά με το DSV

Κατανομές κοντά σε γεωμετρικές

Εργασία 1.Κατά μήκος της διαδρομής του αυτοκινήτου υπάρχουν 4 φανάρια, καθένα από τα οποία απαγορεύει την περαιτέρω κίνηση του αυτοκινήτου με πιθανότητα 0,5. Βρείτε τη σειρά διανομής του αριθμού των φαναριών που πέρασε το αυτοκίνητο πριν από την πρώτη στάση. Ποιες είναι οι μαθηματικές προσδοκίες και η διακύμανση αυτής της τυχαίας μεταβλητής;

Εργασία 2.Ο κυνηγός πυροβολεί στο παιχνίδι μέχρι το πρώτο χτύπημα, αλλά καταφέρνει να πυροβολήσει όχι περισσότερες από τέσσερις βολές. Συντάξτε έναν νόμο κατανομής για τον αριθμό των αστοχιών εάν η πιθανότητα να χτυπήσετε τον στόχο με μία βολή είναι 0,7. Βρείτε τη διακύμανση αυτής της τυχαίας μεταβλητής.

Εργασία 3.Ο σκοπευτής, έχοντας 3 φυσίγγια, πυροβολεί στον στόχο μέχρι το πρώτο χτύπημα. Οι πιθανότητες χτυπήματος για την πρώτη, δεύτερη και τρίτη βολή είναι 0,6, 0,5, 0,4, αντίστοιχα. S.V. $\xi$ - αριθμός υπολειπόμενων κασετών. Συντάξτε μια σειρά διανομής μιας τυχαίας μεταβλητής, βρείτε τη μαθηματική προσδοκία, διακύμανση, τυπική απόκλιση της τυχαίας μεταβλητής, κατασκευάστε τη συνάρτηση κατανομής της τυχαίας μεταβλητής, βρείτε την $P(|\xi-m| \le \sigma$).

Εργασία 4.Το κουτί περιέχει 7 τυπικά και 3 ελαττωματικά εξαρτήματα. Βγάζουν τα εξαρτήματα διαδοχικά μέχρι να εμφανιστεί το τυπικό, χωρίς να τα επιστρέφουν πίσω. $\xi$ είναι ο αριθμός των ελαττωματικών εξαρτημάτων που ανακτήθηκαν.
Σχεδιάστε έναν νόμο κατανομής για μια διακριτή τυχαία μεταβλητή $\xi$, υπολογίστε τη μαθηματική προσδοκία, τη διακύμανση, την τυπική απόκλιση, σχεδιάστε ένα πολύγωνο κατανομής και μια γραφική παράσταση της συνάρτησης κατανομής.

Εργασίες με ανεξάρτητες εκδηλώσεις

Εργασία 5.Στην επανεξέταση στη θεωρία πιθανοτήτων εμφανίστηκαν 3 μαθητές. Η πιθανότητα ο πρώτος να περάσει την εξέταση είναι 0,8, ο δεύτερος - 0,7 και ο τρίτος - 0,9. Βρείτε τη σειρά κατανομής της τυχαίας μεταβλητής $\xi$ του αριθμού των μαθητών που πέρασαν την εξέταση, σχεδιάστε τη συνάρτηση κατανομής, βρείτε $M(\xi), D(\xi)$.

Εργασία 6.Η πιθανότητα να χτυπηθεί ο στόχος με μία βολή είναι 0,8 και μειώνεται με κάθε βολή κατά 0,1. Συντάξτε έναν νόμο κατανομής για τον αριθμό των χτυπημάτων σε έναν στόχο, εάν εκτοξευθούν τρεις βολές. Βρείτε την αναμενόμενη τιμή, διακύμανση και S.K.O. αυτή η τυχαία μεταβλητή. Σχεδιάστε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης κατανομής.

Εργασία 7.Εκτελούνται 4 βολές στο στόχο. Η πιθανότητα ενός χτυπήματος αυξάνεται ως εξής: 0,2, 0,4, 0,6, 0,7. Βρείτε τον νόμο κατανομής της τυχαίας μεταβλητής $X$ - τον αριθμό των επισκέψεων. Βρείτε την πιθανότητα ότι $X \ge 1$.

Εργασία 8.Ρίχνονται δύο συμμετρικά νομίσματα και μετράται ο αριθμός των θυρεών και στις δύο επάνω όψεις των νομισμάτων. Θεωρούμε μια διακριτή τυχαία μεταβλητή $X$ - τον αριθμό των θυρεών και στα δύο νομίσματα. Γράψτε τον νόμο κατανομής της τυχαίας μεταβλητής $X$, βρείτε τη μαθηματική προσδοκία της.

Άλλα προβλήματα και νόμοι διανομής του DSV

Εργασία 9.Δύο μπασκετμπολίστες κάνουν τρεις βολές στο καλάθι. Η πιθανότητα να χτυπήσει ο πρώτος μπασκετμπολίστας είναι 0,6, για τον δεύτερο – 0,7. Έστω X$ η διαφορά μεταξύ του αριθμού των επιτυχημένων βολών του πρώτου και του δεύτερου μπασκετμπολίστα. Βρείτε τη σειρά διανομής, τον τρόπο και τη συνάρτηση διανομής της τυχαίας μεταβλητής $X$. Κατασκευάστε ένα πολύγωνο κατανομής και μια γραφική παράσταση της συνάρτησης κατανομής. Υπολογίστε την αναμενόμενη τιμή, τη διακύμανση και την τυπική απόκλιση. Βρείτε την πιθανότητα του συμβάντος $(-2 \lt X \le 1)$.

Πρόβλημα 10.Ο αριθμός των πλοίων εκτός πόλης που φτάνουν καθημερινά για φόρτωση σε ένα συγκεκριμένο λιμάνι είναι μια τυχαία μεταβλητή $X$, που δίνεται ως εξής:
0 1 2 3 4 5
0,1 0,2 0,4 0,1 0,1 0,1
Α) βεβαιωθείτε ότι έχει καθοριστεί η σειρά διανομής,
Β) βρείτε τη συνάρτηση κατανομής της τυχαίας μεταβλητής $X$,
Γ) εάν φτάσουν περισσότερα από τρία πλοία μια δεδομένη ημέρα, το λιμάνι αναλαμβάνει την ευθύνη για το κόστος λόγω της ανάγκης πρόσληψης επιπλέον οδηγών και φορτωτών. Ποια είναι η πιθανότητα να επιβαρυνθεί το λιμάνι με επιπλέον κόστος;
Δ) βρείτε τη μαθηματική προσδοκία, τη διακύμανση και την τυπική απόκλιση της τυχαίας μεταβλητής $X$.

Πρόβλημα 11.Ρίχνονται 4 ζάρια. Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία του αθροίσματος του αριθμού των σημείων που θα εμφανιστούν σε όλες τις πλευρές.

Πρόβλημα 12.Οι δυο τους ρίχνουν εναλλάξ ένα νόμισμα μέχρι να εμφανιστεί για πρώτη φορά το εθνόσημο. Ο παίκτης που πήρε το εθνόσημο λαμβάνει 1 ρούβλι από τον άλλο παίκτη. Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία νίκης για κάθε παίκτη.