Τι είναι ο κόμβος των συμπρώτων αριθμών; Μέγιστο κοινό διαιρέτη

Οι φυσικοί αριθμοί a και b λέγονται αμοιβαία πρωταρχική, αν ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης τους είναι 1 (GCD(a; b) = 1). Με άλλα λόγια, εάν οι αριθμοί a και b δεν έχουν κοινούς παράγοντες εκτός από το 1, τότε είναι συμπρώτοι.

Παραδείγματα ζευγών συμπρώτων αριθμών: 2 και 5, 13 και 16, 35 και 88, κ.λπ. Μπορείτε να καθορίσετε αρκετούς συμπρώιμους αριθμούς, για παράδειγμα, οι αριθμοί 7, 9, 16 να είναι συμπρώτοι.

Συχνά οι συμπρώτοι αριθμοί συμβολίζονται ως εξής: (a, b) = 1. Για παράδειγμα, (23, 30) = 1. Αυτός ο συμβολισμός είναι, σαν να λέμε, μια σύντομη συμβολή για τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη δύο αριθμών (GCD(23 , 30) = 1) και λέει ότι ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης τους είναι το 1.

Δύο γειτονικοί φυσικοί αριθμοί θα είναι πάντα σχετικά πρώτοι.Για παράδειγμα, το 15 και το 16 είναι ένα ζεύγος σχετικά πρώτων αριθμών, όπως ακριβώς το 16 και το 17. Αυτό είναι εύκολο να γίνει κατανοητό εάν λάβετε υπόψη τον «κανόνα» ότι αν δύο φυσικοί αριθμοί a και b διαιρούνται με τον ίδιο φυσικό αριθμό μεγαλύτερος από 1 ( n > 1), τότε η διαφορά τους πρέπει επίσης να διαιρείται με αυτόν τον αριθμό n (εδώ εννοούμε ότι τα a, b και η διαφορά τους διαιρούνται με έναν ακέραιο, δηλ. είναι πολλαπλάσια του αριθμού n). Αλλά αν τα a και b είναι δύο διπλανοί αριθμοί (έστω a< b ), то b – a = 1; но 1 делится только на 1 (из ряда натуральных чисел). Следовательно, a и b не имеют других общих делителей, кроме 1.

Από τον ορισμό των συνπρώτων αριθμών και των πρώτων αριθμών προκύπτει επίσης ότι διαφορετικοί πρώτοι αριθμοί είναι πάντα συμπρώτοι. Εξάλλου, οι διαιρέτες οποιουδήποτε πρώτου αριθμού είναι μόνο ο ίδιος και το 1.

Ιδιότητες συμπρώτων αριθμών

• Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (LCM) ενός ζεύγους συμπρώτων αριθμών είναι ίσο με το γινόμενο τους.Για παράδειγμα, (3, 8) = 1 (αυτό σημαίνει coprime), επομένως το LCM τους είναι 3 × 8 = 24 (LCM(3, 8) = 24). Πράγματι, δεν θα βρείτε έναν μικρότερο αριθμό από το 24 που είναι πολλαπλάσιο του 3 και του 8.
• Εάν οι αριθμοί a και b είναι συμπρώτοι και ο αριθμός c είναι πολλαπλάσιο και του a και του b, τότε αυτός ο αριθμός θα είναι επίσης πολλαπλάσιο του γινόμενου ab. Αυτό μπορεί να γραφτεί ως εξής: αν c a και c b, τότε c ab. Για παράδειγμα, (3, 10) = 1, ο αριθμός 60 είναι πολλαπλάσιο του 3 και του 10 και είναι επίσης πολλαπλάσιο του 30 (3 × 10).
• Αν οι αριθμοί a και b είναι συμπρώτοι και ο αριθμός c είναι πολλαπλάσιο του b (c b ), τότε το γινόμενο ac θα είναι επίσης πολλαπλάσιο του b (ac b ). Για παράδειγμα, (2, 17) = 1, έστω c = 34. Ο αριθμός 34 είναι πολλαπλάσιο του b = 17, τότε ac = 2 × 34 = 68. Ελέγχουμε: 68 ÷ 17 = 4, δηλ. διαιρείται με ένα σύνολο, που σημαίνει ότι το 68 είναι πολλαπλάσιο 17.

Συνήθως υπάρχουν περισσότερα ακίνητα από αυτά που αναφέρονται εδώ. Επιπλέον, οι ιδιότητες των συμπρώτων αριθμών διατυπώνονται με διαφορετικούς τρόπους. Μπορεί επίσης να είναι απαραίτητο να αποδειχθούν αυτές οι ιδιότητες (στην περίπτωση αυτή δεν δίνεται καμία απόδειξη).

Ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης συμπρώτων αριθμών είναι πάντα ένας.

Παραδείγματα κόμβων συμπρώτων αριθμών.

GCD των αριθμών 11 και 7

Οι αριθμοί 11 και 7 είναι σχετικά πρώτοι και, ταυτόχρονα, πρώτοι.

Οι αριθμοί 11 και 7 δεν έχουν άλλους κοινούς παράγοντες εκτός από το 1.

gcd(11, 7) = 1

GCD των αριθμών 11 και 15

Οι αριθμοί 11 και 15 είναι σχετικά πρώτοι. Επιπλέον, το 11 είναι πρώτος αριθμός και το 15 είναι ένας σύνθετος αριθμός.

Οι διαιρέτες του 11 είναι το 1 και το 11.

Οι διαιρέτες του 15 είναι 1, 3, 5, 15.

Όπως μπορείτε να δείτε, ο μόνος κοινός παράγοντας των αριθμών 11 και 15 είναι ο αριθμός 1. Επομένως, μονάδα είναι το GCD των αριθμών 11 και 15:

gcd(11, 15) = 1

GCD των αριθμών 10 και 21

Οι αριθμοί 10 και 21 είναι σχετικά πρώτοι. Επιπλέον, τόσο ο αριθμός 10 όσο και ο αριθμός 21 είναι σύνθετοι.

Οι συντελεστές του 10 είναι 1, 2, 5, 10.

Οι συντελεστές του 21 είναι 1, 3, 7, 21.

Όπως μπορείτε να δείτε, ο μόνος κοινός παράγοντας των αριθμών 10 και 21 είναι ο αριθμός 1. Επομένως, μονάδα είναι το GCD των αριθμών 10 και 21:

GCD(21, 10) = 1

GCD των αριθμών 16 και 23

Οι αριθμοί 16 και 23 είναι σχετικά πρώτοι. Επιπλέον, το 23 είναι πρώτος αριθμός και το 16 είναι ένας σύνθετος αριθμός.

Εργασία: Βρείτε GCD και LCM αριθμών με τον πιο βολικό τρόπο:

α) 12 και 40. β) 9 και 40; γ) 12 και 72.

Η εργασία δίνεται 5 λεπτά.

Ποιος είναι ο πιο βολικός τρόπος για να λύσετε κάθε άσκηση;

Ανάλυση με διαφάνεια.

α) Είναι πιο βολικό να λυθεί με παραγοντοποίηση σε πρώτους παράγοντες

12 = 2·2·3; 40 = 2 2 2 5

GCD(12;40)=2·2=4; LCM(12;40) = 2 2 2 3 5 = 120

β) Οι αριθμοί 9 και 40 έχουν κοινούς παράγοντες; (υπάρχει, 1.)

Πώς ονομάζονται αυτοί οι αριθμοί; ? (αμοιβαία πρωταρχικό.)

Ποιο είναι το gcd αυτών των αριθμών; ? (GCD(9,40) = 1)

Ποιο είναι το LCM αυτών των αριθμών; ? (NOC(9;40) = 9·40=360.)

γ) Τι μπορείτε να πείτε για τους αριθμούς 12 και 72 ? (72 διαιρούμενο με 12) Τι κανόνα ξέρουμε; (αν ένας αριθμός διαιρείται με έναν άλλο, τότε GCD = ο μικρότερος αριθμός και LCM = ο μεγαλύτερος)

gcd(12;72) = 12; LCM(12;72) = 72

Ελέγξτε τα δεδομένα που λάβατε με το πρότυπο που βρίσκεται στο γραφείο του δασκάλου.

Φ.Ο.: Αυτοαξιολογούνται σύμφωνα με τα κριτήρια που αναγράφονται στο τυπικό φύλλο. Επιλέγοντας το πλαίσιο δίπλα στο κριτήριο.

7 κρότωνες – υψηλό επίπεδο

6-4 κρότωνες - μέσο επίπεδο

1-3 κρότωνες – χαμηλό επίπεδο

Fizminutka

Σηκώθηκαν γρήγορα, χαμογέλασαν,

Τραβήχτηκαν όλο και πιο ψηλά.

Λοιπόν, ίσιωσε τους ώμους σου,

Ανέβασε, χαμήλωσε.

Στρίψτε δεξιά, στρίψτε αριστερά,

Αγγίξτε τα χέρια σας με τα γόνατά σας.

Κάθισαν, σηκώθηκαν, κάθισαν, σηκώθηκαν,

Και έτρεξαν επί τόπου.

Ερώτηση δασκάλου: Πού χρησιμοποιούμε ήδη τις γνώσεις μας για το GCD και το LCA των αριθμών;

Κατά την επίλυση προβλημάτων.

Μπροστά τους στο γραφείο του δασκάλου είναι ένα «Task Chamomile» που αποτελείται από 21 πέταλα.

Red Petal – εργασίες επιπέδου Γ.

Κίτρινο πέταλο – εργασίες επιπέδου Β.

Πράσινο πέταλο – εργασίες επιπέδου Α.

	Η Μάσα αγόρασε αυγά για την Αρκούδα στο κατάστημα. Στο δρόμο προς το δάσος, συνειδητοποίησε ότι ο αριθμός των αυγών διαιρείται με το 2,3,5,10 και 15. Πόσα αυγά αγόρασε η Μάσα;
	Οι ανθοδέσμες συλλέχθηκαν από 210 μπορντό, 126 λευκά και 294 κόκκινα τριαντάφυλλα, με κάθε μπουκέτο να περιέχει ίσο αριθμό τριαντάφυλλων του ίδιου χρώματος. Ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός ανθοδέσμων που φτιάχνονται από αυτά τα τριαντάφυλλα και πόσα τριαντάφυλλα από κάθε χρώμα υπάρχουν σε ένα μπουκέτο;
	Το φύλλο χαρτονιού έχει σχήμα παραλληλόγραμμου, του οποίου το μήκος είναι 48 εκ. και το πλάτος 40 εκ. Το φύλλο αυτό πρέπει να κοπεί σε ίσα τετράγωνα χωρίς απορρίμματα. Ποια είναι τα μεγαλύτερα τετράγωνα που μπορούν να ληφθούν από αυτό το φύλλο εργασίας και πόσα;
	Πόσοι στρατιώτες βαδίζουν στον χώρο της παρέλασης αν βαδίσουν σε σχηματισμό 12 ατόμων σε μια σειρά και μετατραπούν σε μια στήλη 18 ατόμων σε μια σειρά;
	Τρεις εκδρομές με τουριστικό σκάφος ξεκινούν στην πόλη του λιμανιού, το πρώτο εκ των οποίων διαρκεί 15 ημέρες, το δεύτερο – 20 και το τρίτο – 12 ημέρες. Έχοντας επιστρέψει στο λιμάνι, τα πλοία ξεκίνησαν ξανά την ίδια μέρα. Σήμερα από το λιμάνι έφυγαν πλοία και στα τρία δρομολόγια. Σε πόσες μέρες θα πάνε ξανά μαζί για πρώτη φορά;Πόσα ταξίδια θα κάνει κάθε πλοίο;
	Το τζάκι στο δωμάτιο πρέπει να είναι πλακάκι σε σχήμα τετραγώνου. Πόσα πλακάκια θα χρειαστούν για ένα τζάκι διαστάσεων 195 ͯ 156 cm και ποια είναι τα μεγαλύτερα μεγέθη πλακιδίων;
	Το βήμα του Volodya είναι 75 cm και το βήμα της Katya είναι 60 cm. Σε ποια ελάχιστη απόσταση θα κάνουν και οι δύο έναν ακέραιο αριθμό βημάτων;
	Για τα δώρα της Πρωτοχρονιάς αγοράσαμε 180 μήλα, 90 πορτοκάλια και 900 καραμέλες. Όλα τα παιδιά πήραν τα ίδια δώρα. Ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός πανομοιότυπων δώρων που γίνονται από αυτά τα φρούτα και τα γλυκά;
	Ένα οικόπεδο κήπου διαστάσεων 54 ͯ 48 m περιμετρικά πρέπει να είναι περιφραγμένο· για να γίνει αυτό, πρέπει να τοποθετούνται τσιμεντένιες κολώνες σε τακτά χρονικά διαστήματα. Πόσοι στύλοι πρέπει να φέρουν για την τοποθεσία και σε ποια μέγιστη απόσταση μεταξύ τους θα τοποθετηθούν οι στύλοι;
	Εύρεση: LOC(360,252).
	Για τα δώρα της Πρωτοχρονιάς, αγοράσαμε 78 μπάρες σοκολάτας, 156 μπισκότα μελόψωμο, 52 πακέτα μπισκότα, 104 πορτοκάλια και 130 μήλα. Ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός πανομοιότυπων δώρων που μπορούν να συλλεχθούν;
	Απαιτείται η κατασκευή κουτιού με τετράγωνο πάτο για την αποθήκευση κουτιών διαστάσεων 16 ͯ 20 cm. Ποιο πρέπει να είναι το μικρότερο μήκος πλευράς ενός τετράγωνου πυθμένα για να χωρέσει τα κουτιά από άκρη σε άκρη σε ένα κουτί;
	Υπολογίστε GCD(720.216), LCM(720.216).
	Ποια είναι η αναλογία LCM (308.264) προς GCD (308.264);
	Για να στήσουμε το χριστουγεννιάτικο δέντρο, αγοράσαμε ξηρούς καρπούς, γλυκά και μελόψωμο - 760 κομμάτια συνολικά. Πήραν 80 περισσότερους ξηρούς καρπούς από τα γλυκά και 120 λιγότερα μελομακάρονα από τους ξηρούς καρπούς. Ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός πανομοιότυπων δώρων για παιδιά που μπορούν να γίνουν από αυτό το απόθεμα;
	Εύρεση LOC(84,160,96),
	Βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης του LCM(24, 2004) με το GCD των ίδιων αριθμών.
	Βρείτε τον μικρότερο φυσικό αριθμό που είναι πολλαπλάσιο του 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
	Βρείτε GCD (56, 72).
	Υπάρχουν βιβλία στο τραπέζι, ο αριθμός των οποίων είναι μικρότερος από 100. Πόσα βιβλία υπάρχουν αν είναι γνωστό ότι μπορούν να δεθούν σε πακέτα των 3, 4 και 5 τεμαχίων;
	Λιγότερα από 600, αλλά περισσότερα από 500 πιάτα μεταφέρθηκαν στο κατάστημα. Όταν άρχισαν να τα απλώνουν σε δεκάδες, έλειπαν 3 πιάτα από τον πλήρη αριθμό των δεκάδων, και όταν άρχισαν να τα απλώνουν σε δεκάδες (12 πιάτα το καθένα), έμειναν 7 πιάτα. Πόσα πιάτα έφερες στο μαγαζί;

FO:Ο κυρίαρχος αριθμός των κόκκινων πετάλων δείχνει υψηλό επίπεδο απορρόφησης, το κίτρινο - ένα μέσο επίπεδο απορρόφησης και το πράσινο - ένα χαμηλό επίπεδο απορρόφησης.