Το παράδειγμα που συζητήθηκε παραπάνω μας επιτρέπει να συμπεράνουμε ότι οι τιμές που χρησιμοποιούνται για την ανάλυση εξαρτώνται από τυχαίους λόγους, επομένως τέτοιες μεταβλητές ονομάζονται τυχαίος. Στις περισσότερες περιπτώσεις, προκύπτουν ως αποτέλεσμα παρατηρήσεων ή πειραμάτων, τα οποία παρατίθενται σε πίνακα στην πρώτη σειρά των οποίων καταγράφονται οι διάφορες παρατηρούμενες τιμές της τυχαίας μεταβλητής Χ και στη δεύτερη οι αντίστοιχες συχνότητες. Γι' αυτό λέγεται αυτός ο πίνακας εμπειρική κατανομή της τυχαίας μεταβλητής Χή σειρά παραλλαγής. Για τη σειρά παραλλαγής βρήκαμε τη μέση τιμή, τη διασπορά και την τυπική απόκλιση.

συνεχής, εάν οι τιμές του καλύπτουν πλήρως ένα συγκεκριμένο αριθμητικό διάστημα.

Η τυχαία μεταβλητή καλείται διακεκριμένος, εάν όλες οι τιμές του μπορούν να αριθμηθούν (ιδιαίτερα, εάν χρειάζεται ένας πεπερασμένος αριθμός τιμών).

Δύο πράγματα πρέπει να σημειωθούν χαρακτηριστικές ιδιότητεςΠίνακες κατανομής διακριτών τυχαίων μεταβλητών:

Όλοι οι αριθμοί στη δεύτερη σειρά του πίνακα είναι θετικοί.

Το άθροισμά τους είναι ίσο με ένα.

Σύμφωνα με την έρευνα που διεξήχθη, μπορεί να υποτεθεί ότι με την αύξηση του αριθμού των παρατηρήσεων, η εμπειρική κατανομή προσεγγίζει τη θεωρητική, που δίνεται σε μορφή πίνακα.

Ένα σημαντικό χαρακτηριστικό μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής είναι η μαθηματική προσδοκία της.

Μαθηματική προσδοκίαδιακριτή τυχαία μεταβλητή X, λαμβάνοντας τιμές , , ..., .με πιθανότητες , , ..., ονομάζεται αριθμός:

Η αναμενόμενη τιμή ονομάζεται επίσης μέση τιμή.

Άλλα σημαντικά χαρακτηριστικά μιας τυχαίας μεταβλητής περιλαμβάνουν τη διακύμανση (8) και την τυπική απόκλιση (9).

όπου: μαθηματική προσδοκία της τιμής Χ.

. (9)

Μια γραφική αναπαράσταση πληροφοριών είναι πολύ πιο οπτική από μια πίνακα, επομένως η ικανότητα των υπολογιστικών φύλλων του MS Excel να παρουσιάζουν τα δεδομένα που περιέχονται σε αυτά με τη μορφή διαφόρων γραφημάτων, γραφημάτων και ιστογραμμάτων χρησιμοποιείται πολύ συχνά. Έτσι, εκτός από τον πίνακα, απεικονίζεται και η κατανομή μιας τυχαίας μεταβλητής χρησιμοποιώντας πολύγωνο διανομής. Για να γίνει αυτό, σημεία με συντεταγμένες , , ... κατασκευάζονται στο επίπεδο συντεταγμένων και συνδέονται με ευθύγραμμα τμήματα.

Για να αποκτήσετε ένα ορθογώνιο διανομής χρησιμοποιώντας το MS Excel, πρέπει:

1. Επιλέξτε την καρτέλα "Insert" ® "Area Chart" στη γραμμή εργαλείων.

2. Ενεργοποιήστε την περιοχή γραφήματος που εμφανίζεται στο φύλλο MS Excel με το δεξί κουμπί του ποντικιού και χρησιμοποιήστε την εντολή "Επιλογή δεδομένων" στο μενού περιβάλλοντος.

Ρύζι. 6. Επιλογή πηγής δεδομένων

Αρχικά, ας ορίσουμε το εύρος δεδομένων για το γράφημα. Για να το κάνετε αυτό, εισαγάγετε το εύρος C6:I6 στην κατάλληλη περιοχή του πλαισίου διαλόγου "Επιλογή προέλευσης δεδομένων" (παρουσιάζει τις τιμές συχνότητας που ονομάζονται Series1, Εικ. 7).

Ρύζι. 7. Προσθήκη σειράς 1

Για να αλλάξετε το όνομα μιας σειράς, πρέπει να επιλέξετε το κουμπί αλλαγή της περιοχής «Στοιχεία υπομνήματος (σειρά)» (βλ. Εικ. 7) και να την ονομάσετε.

Για να προσθέσετε μια ετικέτα άξονα X, πρέπει να χρησιμοποιήσετε το κουμπί "Επεξεργασία" στην περιοχή "Οριζόντιες ετικέτες (κατηγορίες) άξονα".
(Εικ. 8) και υποδείξτε τις τιμές της σειράς (εύρος $C$6:$I$6).

Ρύζι. 8. Τελική προβολή του πλαισίου διαλόγου "Επιλογή προέλευσης δεδομένων".

Επιλέγοντας ένα κουμπί στο παράθυρο διαλόγου Επιλογή προέλευσης δεδομένων
(Εικ. 8) θα μας επιτρέψει να λάβουμε το απαιτούμενο πολύγωνο κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής (Εικ. 9).

Ρύζι. 9. Πολύγωνο κατανομής τυχαίας μεταβλητής

Ας κάνουμε μερικές αλλαγές στη σχεδίαση των γραφικών πληροφοριών που προκύπτουν:

Ας προσθέσουμε μια ετικέτα για τον άξονα Χ.

Ας επεξεργαστούμε την ετικέτα του άξονα Y.

- Ας προσθέσουμε έναν τίτλο για το διάγραμμα «Πολύγωνο διανομής».

Για να το κάνετε αυτό, επιλέξτε την καρτέλα «Εργασία με γραφήματα» στην περιοχή της γραμμής εργαλείων, την καρτέλα «Διάταξη» και στη γραμμή εργαλείων που εμφανίζεται, τα αντίστοιχα κουμπιά: «Τίτλος γραφήματος», «Τίτλοι αξόνων» (Εικ. 10).

Ρύζι. 10. Τελική όψη του πολυγώνου κατανομής τυχαίας μεταβλητής

Τυχαία μεταβλητήείναι μια ποσότητα που, ως αποτέλεσμα πειράματος, μπορεί να λάβει μια ή άλλη τιμή που δεν είναι γνωστή εκ των προτέρων. Υπάρχουν τυχαίες μεταβλητές ασυνεχής (διακριτός)Και συνεχήςτύπος. Πιθανές τιμές ασυνεχών ποσοτήτων μπορούν να αναφέρονται εκ των προτέρων. Οι πιθανές τιμές συνεχών ποσοτήτων δεν μπορούν να παρατίθενται εκ των προτέρων και να συμπληρώνουν συνεχώς ένα συγκεκριμένο κενό.

Παράδειγμα διακριτών τυχαίων μεταβλητών:

1) Πόσες φορές εμφανίζεται το εθνόσημο σε τρεις ρίψεις νομισμάτων. (πιθανές τιμές 0;1;2;3)

2) Συχνότητα εμφάνισης του θυρεού στο ίδιο πείραμα. (πιθανές τιμές)

3) Ο αριθμός των αποτυχημένων στοιχείων σε μια συσκευή που αποτελείται από πέντε στοιχεία. (Πιθανές τιμές 0;1;2;3;4;5)

Παραδείγματα συνεχών τυχαίων μεταβλητών:

1) Τετταγμένη (τεταγμένη) του σημείου κρούσης κατά την εκτόξευση.

2) Απόσταση από το σημείο πρόσκρουσης μέχρι το κέντρο του στόχου.

3) Χρόνος λειτουργίας της συσκευής (λάμπα ραδιοφώνου).

Οι τυχαίες μεταβλητές σημειώνονται με κεφαλαία γράμματα και οι πιθανές τιμές τους υποδηλώνονται με αντίστοιχα μικρά γράμματα. Για παράδειγμα, το X είναι ο αριθμός των χτυπημάτων με τρεις βολές. πιθανές τιμές: X 1 =0, X 2 =1, X 3 =2, X 4 =3.

Ας εξετάσουμε μια ασυνεχή τυχαία μεταβλητή X με πιθανές τιμές X 1, X 2, ..., X n. Κάθε μία από αυτές τις τιμές είναι δυνατή, αλλά όχι βέβαιη, και η τιμή X μπορεί να πάρει καθεμία από αυτές με κάποια πιθανότητα. Ως αποτέλεσμα του πειράματος, η τιμή του X θα λάβει μία από αυτές τις τιμές, δηλαδή, θα συμβεί ένα από την πλήρη ομάδα των ασυμβίβαστων γεγονότων.

Ας υποδηλώσουμε τις πιθανότητες αυτών των γεγονότων με τα γράμματα p με τους αντίστοιχους δείκτες:

Εφόσον τα ασύμβατα συμβάντα αποτελούν μια πλήρη ομάδα, τότε

Δηλαδή, το άθροισμα της πιθανότητας όλων των πιθανών τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής είναι ίσο με 1. Αυτή η συνολική πιθανότητα κατανέμεται κατά κάποιο τρόπο μεταξύ των επιμέρους τιμών. Μια τυχαία μεταβλητή θα περιγραφεί πλήρως από πιθανολογική άποψη εάν ορίσουμε αυτήν την κατανομή, δηλαδή δείξουμε ακριβώς τι πιθανότητα έχει καθένα από τα γεγονότα. (Αυτό θα δημιουργήσει τον λεγόμενο νόμο της κατανομής των τυχαίων μεταβλητών.)

Νόμος κατανομής τυχαίας μεταβλητήςείναι κάθε σχέση που δημιουργεί μια σύνδεση μεταξύ των πιθανών τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής και της αντίστοιχης πιθανότητας. (Για μια τυχαία μεταβλητή θα πούμε ότι υπόκειται σε έναν δεδομένο νόμο κατανομής)

Η απλούστερη μορφή καθορισμού του νόμου κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής είναι ένας πίνακας που παραθέτει τις πιθανές τιμές της τυχαίας μεταβλητής και τις αντίστοιχες πιθανότητες.

Πίνακας 1.

Τυχαίες μεταβλητές. Πολύγωνο διανομής Τυχαίες μεταβλητές: διακριτές και συνεχείς. Κατά τη διεξαγωγή ενός στοχαστικού πειράματος, σχηματίζεται ένας χώρος στοιχειωδών γεγονότων - πιθανά αποτελέσματα αυτού του πειράματος. Πιστεύεται ότι σε αυτόν τον χώρο των στοιχειωδών εκδηλώσεων δίνεται τυχαία μεταβλητήΧ, αν δοθεί νόμος (κανόνας) σύμφωνα με τον οποίο κάθε στοιχειώδες γεγονός συνδέεται με έναν αριθμό. Έτσι, η τυχαία μεταβλητή X μπορεί να θεωρηθεί ως συνάρτηση που ορίζεται στο χώρο των στοιχειωδών γεγονότων. ■ Τυχαία μεταβλητή- μια ποσότητα που, κατά τη διάρκεια κάθε δοκιμής, παίρνει μια ή την άλλη αριθμητική τιμή (δεν είναι γνωστό εκ των προτέρων ποια), ανάλογα με τυχαίους λόγους που δεν μπορούν να ληφθούν εκ των προτέρων υπόψη. Οι τυχαίες μεταβλητές υποδηλώνονται με κεφαλαία γράμματα του λατινικού αλφαβήτου και οι πιθανές τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής σημειώνονται με μικρά γράμματα. Έτσι, όταν ρίχνετε ένα ζάρι, συμβαίνει ένα γεγονός που σχετίζεται με τον αριθμό x, όπου x είναι ο αριθμός των σημείων που κυλήθηκαν. Ο αριθμός των πόντων είναι μια τυχαία μεταβλητή και οι αριθμοί 1, 2, 3, 4, 5, 6 είναι πιθανές τιμές αυτής της τιμής. Η απόσταση που θα διανύσει ένα βλήμα όταν εκτοξεύεται από ένα όπλο είναι επίσης μια τυχαία μεταβλητή (ανάλογα με την εγκατάσταση του σκοπευτηρίου, τη δύναμη και την κατεύθυνση του ανέμου, τη θερμοκρασία και άλλους παράγοντες) και οι πιθανές τιμές αυτής της τιμής ανήκουν σε ένα ορισμένο διάστημα (α; β). ■ Διακριτή τυχαία μεταβλητή– μια τυχαία μεταβλητή που παίρνει ξεχωριστές, απομονωμένες πιθανές τιμές με συγκεκριμένες πιθανότητες. Ο αριθμός των πιθανών τιμών μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής μπορεί να είναι πεπερασμένος ή άπειρος. ■ Συνεχής τυχαία μεταβλητή– μια τυχαία μεταβλητή που μπορεί να πάρει όλες τις τιμές από κάποιο πεπερασμένο ή άπειρο διάστημα. Ο αριθμός των δυνατών τιμών μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής είναι άπειρος. Για παράδειγμα, ο αριθμός των πόντων που ρίχνονται κατά τη ρίψη ενός ζαριού, η βαθμολογία για ένα τεστ είναι διακριτές τυχαίες μεταβλητές. η απόσταση που πετάει ένα βλήμα όταν πυροβολεί από ένα όπλο, το σφάλμα μέτρησης του δείκτη του χρόνου για να κυριαρχήσει το εκπαιδευτικό υλικό, το ύψος και το βάρος ενός ατόμου είναι συνεχείς τυχαίες μεταβλητές. Νόμος κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής– αντιστοιχία μεταξύ των πιθανών τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής και των πιθανοτήτων τους, δηλ. Κάθε πιθανή τιμή x i σχετίζεται με την πιθανότητα p i με την οποία η τυχαία μεταβλητή μπορεί να πάρει αυτήν την τιμή. Ο νόμος κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής μπορεί να καθοριστεί σε πίνακα (με τη μορφή πίνακα), αναλυτικά (με τη μορφή τύπου) και γραφικά. Έστω μια διακριτή τυχαία μεταβλητή X να λάβει τιμές x 1 , x 2 , …, x n με πιθανότητες p 1 , p 2 , …, p n αντίστοιχα, δηλ. P(X=x 1) = p 1, P(X=x 2) = p 2, …, P(X=x n) = p n. Κατά τον καθορισμό του νόμου κατανομής αυτής της ποσότητας σε έναν πίνακα, η πρώτη σειρά του πίνακα περιέχει τις πιθανές τιμές x 1 , x 2 , ..., x n και η δεύτερη σειρά περιέχει τις πιθανότητες τους Χ x 1 x 2 … x n σελ σελ 1 p2 … p n Ως αποτέλεσμα της δοκιμής, μια διακριτή τυχαία μεταβλητή X λαμβάνει μία και μόνο μία από τις πιθανές τιμές, επομένως τα γεγονότα X=x 1, X=x 2, ..., X=x n σχηματίζουν μια πλήρη ομάδα ασυμβίβαστων κατά ζεύγη γεγονότα, και, επομένως, το άθροισμα των πιθανοτήτων αυτών των γεγονότων είναι ίσο με ένα, δηλ. p 1 + p 2 +… + p n =1. Νόμος κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής. Πολύγωνο διανομής (πολύγωνο). Όπως γνωρίζετε, μια τυχαία μεταβλητή είναι μια μεταβλητή που μπορεί να λάβει συγκεκριμένες τιμές ανάλογα με την περίπτωση. Οι τυχαίες μεταβλητές υποδηλώνονται με κεφαλαία γράμματα του λατινικού αλφαβήτου (X, Y, Z) και οι τιμές τους υποδηλώνονται με αντίστοιχα πεζά γράμματα (x, y, z). Οι τυχαίες μεταβλητές χωρίζονται σε ασυνεχείς (διακριτές) και συνεχείς. Μια διακριτή τυχαία μεταβλητή είναι μια τυχαία μεταβλητή που παίρνει μόνο ένα πεπερασμένο ή άπειρο (μετρήσιμο) σύνολο τιμών με ορισμένες μη μηδενικές πιθανότητες. Νόμος κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητήςείναι μια συνάρτηση που συνδέει τις τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής με τις αντίστοιχες πιθανότητες. Ο νόμος διανομής μπορεί να καθοριστεί με έναν από τους παρακάτω τρόπους. 1. Ο νόμος διανομής μπορεί να δοθεί από τον πίνακα: όπου λ>0, k = 0, 1, 2, … . γ) χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση κατανομής F(x), η οποία καθορίζει για κάθε τιμή x την πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή X να λάβει τιμή μικρότερη από x, δηλ. F(x) = P(X< x). Ιδιότητες της συνάρτησης F(x) 3. Ο νόμος κατανομής μπορεί να καθοριστεί γραφικά - από ένα πολύγωνο διανομής (πολύγωνο) (βλ. εργασία 3). Σημειώστε ότι για την επίλυση ορισμένων προβλημάτων δεν είναι απαραίτητο να γνωρίζετε τον νόμο διανομής. Σε ορισμένες περιπτώσεις, αρκεί να γνωρίζουμε έναν ή περισσότερους αριθμούς που αντικατοπτρίζουν τα πιο σημαντικά χαρακτηριστικά του νόμου διανομής. Αυτός μπορεί να είναι ένας αριθμός που έχει την έννοια της «μέσης τιμής» μιας τυχαίας μεταβλητής ή ένας αριθμός που δείχνει το μέσο μέγεθος της απόκλισης μιας τυχαίας μεταβλητής από τη μέση τιμή της. Οι αριθμοί αυτού του είδους ονομάζονται αριθμητικά χαρακτηριστικά μιας τυχαίας μεταβλητής. Βασικά αριθμητικά χαρακτηριστικά μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής: Μαθηματική προσδοκία (μέση τιμή) διακριτής τυχαίας μεταβλητής M(X)=Σ x i p i . Για διωνυμική κατανομή M(X)=np, για κατανομή Poisson M(X)=λ Διασπορά μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής D(X)= M 2 ή D(X) = M(X 2)− 2. Η διαφορά X–M(X) ονομάζεται απόκλιση μιας τυχαίας μεταβλητής από τη μαθηματική της προσδοκία. Για διωνυμική κατανομή D(X)=npq, για κατανομή Poisson D(X)=λ Μέση τετραγωνική απόκλιση (τυπική απόκλιση) σ(X)=√D(X). · Για τη σαφήνεια της παρουσίασης μιας σειράς παραλλαγής, οι γραφικές εικόνες της έχουν μεγάλη σημασία. Γραφικά, μια σειρά παραλλαγής μπορεί να απεικονιστεί ως πολύγωνο, ιστόγραμμα και σώρευση. · Ένα πολύγωνο κατανομής (κυριολεκτικά πολύγωνο κατανομής) ονομάζεται διακεκομμένη γραμμή, η οποία είναι κατασκευασμένη σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων. Η τιμή του χαρακτηριστικού απεικονίζεται στην τετμημένη, οι αντίστοιχες συχνότητες (ή σχετικές συχνότητες) - στην τεταγμένη. Τα σημεία (ή) συνδέονται με ευθύγραμμα τμήματα και προκύπτει ένα πολύγωνο κατανομής. Τις περισσότερες φορές, τα πολύγωνα χρησιμοποιούνται για την απεικόνιση διακριτών σειρών παραλλαγών, αλλά μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν για σειρές διαστήματος. Στην περίπτωση αυτή, τα σημεία που αντιστοιχούν στα μέσα αυτών των διαστημάτων σχεδιάζονται στον άξονα της τετμημένης.

Αυτός ο πίνακας ονομάζεται κοντά σε διανομήτυχαίες μεταβλητές.

Για να δώσουν στη σειρά διανομής μια πιο οπτική εμφάνιση, καταφεύγουν στη γραφική αναπαράστασή της: οι πιθανές τιμές της τυχαίας μεταβλητής σχεδιάζονται κατά μήκος του άξονα της τετμημένης και οι πιθανότητες αυτών των τιμών σχεδιάζονται κατά μήκος του άξονα τεταγμένων. (Για λόγους σαφήνειας, τα σημεία που προκύπτουν συνδέονται με ευθύγραμμα τμήματα.)

Εικόνα 1 – πολύγωνο κατανομής

Αυτό το σχήμα ονομάζεται πολύγωνο διανομής. Το πολύγωνο διανομής, όπως και η σειρά διανομής, χαρακτηρίζει πλήρως την τυχαία μεταβλητή. είναι μια από τις μορφές του νόμου της κατανομής.

Παράδειγμα:

εκτελείται ένα πείραμα στο οποίο το συμβάν Α μπορεί να εμφανιστεί ή όχι. Η πιθανότητα του συμβάντος Α = 0,3. Θεωρούμε μια τυχαία μεταβλητή X - τον αριθμό των εμφανίσεων του γεγονότος Α σε ένα δεδομένο πείραμα. Είναι απαραίτητο να κατασκευαστεί μια σειρά και ένα πολύγωνο της κατανομής της τιμής Χ.

Πίνακας 2.

Εικόνα 2 - Συνάρτηση κατανομής

Λειτουργία διανομήςείναι ένα καθολικό χαρακτηριστικό μιας τυχαίας μεταβλητής. Υπάρχει για όλες τις τυχαίες μεταβλητές: τόσο ασυνεχείς όσο και μη συνεχείς. Η συνάρτηση κατανομής χαρακτηρίζει πλήρως μια τυχαία μεταβλητή από πιθανολογική άποψη, δηλαδή είναι μια από τις μορφές του νόμου κατανομής.

Για να χαρακτηριστεί ποσοτικά αυτή η κατανομή πιθανότητας, είναι βολικό να χρησιμοποιηθεί όχι η πιθανότητα του συμβάντος X=x, αλλά η πιθανότητα του συμβάντος X

Η συνάρτηση κατανομής F(x) μερικές φορές ονομάζεται επίσης συνάρτηση αθροιστικής κατανομής ή νόμος αθροιστικής κατανομής.

Ιδιότητες της συνάρτησης κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής

1. Η συνάρτηση κατανομής F(x) είναι μια μη φθίνουσα συνάρτηση του ορίσματός της, δηλαδή για ;

2. Στο μείον άπειρο:

3. Στο συν άπειρο:

Σχήμα 3 – γράφημα συνάρτησης κατανομής

Γράφημα συνάρτησης κατανομήςγενικά, είναι ένα γράφημα μιας μη φθίνουσας συνάρτησης της οποίας οι τιμές ξεκινούν από το 0 και πηγαίνουν στο 1.

Γνωρίζοντας τη σειρά κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής, είναι δυνατό να κατασκευαστεί η συνάρτηση κατανομής της τυχαίας μεταβλητής.

Παράδειγμα:

για τις συνθήκες του προηγούμενου παραδείγματος, κατασκευάστε τη συνάρτηση κατανομής της τυχαίας μεταβλητής.

Ας κατασκευάσουμε τη συνάρτηση κατανομής X:

Εικόνα 4 – συνάρτηση κατανομής X

Λειτουργία διανομήςγια κάθε ασυνεχή διακριτή τυχαία μεταβλητή υπάρχει πάντα μια ασυνεχής συνάρτηση βήματος, τα άλματα της οποίας συμβαίνουν σε σημεία που αντιστοιχούν στις πιθανές τιμές της τυχαίας μεταβλητής και είναι ίσα με τις πιθανότητες αυτών των τιμών. Το άθροισμα όλων των αλμάτων συνάρτησης κατανομής είναι ίσο με 1.

Καθώς ο αριθμός των πιθανών τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής αυξάνεται και τα διαστήματα μεταξύ τους μειώνονται, ο αριθμός των αλμάτων γίνεται μεγαλύτερος και τα ίδια τα άλματα γίνονται μικρότερα:

Εικόνα 5

Η κλιμακωτή καμπύλη γίνεται πιο ομαλή:

Εικόνα 6

Η τυχαία μεταβλητή προσεγγίζει σταδιακά μια συνεχή τιμή και η συνάρτηση κατανομής της προσεγγίζει μια συνεχή συνάρτηση. Υπάρχουν επίσης τυχαίες μεταβλητές των οποίων οι πιθανές τιμές συμπληρώνουν συνεχώς ένα συγκεκριμένο διάστημα, αλλά για τις οποίες η συνάρτηση κατανομής δεν είναι συνεχής παντού. Και σε ορισμένα σημεία σπάει. Τέτοιες τυχαίες μεταβλητές ονομάζονται μικτές.

Εικόνα 7

Πρόβλημα 14.Στην κλήρωση μετρητών παίζονται 1 νίκη 1.000.000 ρούβλια, 10 νίκες 100.000 ρούβλια. και 100 νίκες των 1000 ρούβλια το καθένα. με συνολικό αριθμό εισιτηρίων 10.000 Βρείτε τον νόμο της διανομής των τυχαίων κερδών Χγια τον κάτοχο ενός λαχνού.

Διάλυμα. Πιθανές τιμές για Χ: Χ 1 = 0; Χ 2 = 1000; Χ 3 = 100000;

Χ 4 = 1000000. Οι πιθανότητες τους είναι αντίστοιχα ίσες: r 2 = 0,01; r 3 = 0,001; r 4 = 0,0001; r 1 = 1 – 0,01 – 0,001 – 0,0001 = 0,9889.

Επομένως, ο νόμος της διανομής των κερδών Χμπορεί να δοθεί από τον παρακάτω πίνακα:

Πρόβλημα 15. Διακριτή τυχαία μεταβλητή Χδίνεται από τον νόμο διανομής:

Κατασκευάστε ένα πολύγωνο διανομής.

Διάλυμα. Ας φτιάξουμε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων και θα σχεδιάσουμε πιθανές τιμές κατά μήκος του άξονα της τετμημένης x i,και κατά μήκος του άξονα τεταγμένων - οι αντίστοιχες πιθανότητες p i. Ας σχεδιάσουμε τα σημεία Μ 1 (1;0,2), Μ 2 (3;0,1), Μ 3 (6;0.4) και Μ 4 (8;0,3). Συνδέοντας αυτά τα σημεία με ευθύγραμμα τμήματα, παίρνουμε το επιθυμητό πολύγωνο κατανομής.

§2. Αριθμητικά χαρακτηριστικά τυχαίων μεταβλητών

Μια τυχαία μεταβλητή χαρακτηρίζεται πλήρως από τον νόμο κατανομής της. Μια μέση περιγραφή μιας τυχαίας μεταβλητής μπορεί να ληφθεί χρησιμοποιώντας τα αριθμητικά χαρακτηριστικά της

2.1. Μαθηματική προσδοκία. Διασπορά.

Αφήστε μια τυχαία μεταβλητή να λάβει τιμές με πιθανότητες ανάλογα.

Ορισμός. Η μαθηματική προσδοκία μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής είναι το άθροισμα των γινομένων όλων των πιθανών τιμών της και των αντίστοιχων πιθανοτήτων:

Ιδιότητες της μαθηματικής προσδοκίας.

Η διασπορά μιας τυχαίας μεταβλητής γύρω από τη μέση τιμή χαρακτηρίζεται από διασπορά και τυπική απόκλιση.

Η διακύμανση μιας τυχαίας μεταβλητής είναι η μαθηματική προσδοκία της τετραγωνικής απόκλισης μιας τυχαίας μεταβλητής από τη μαθηματική της προσδοκία:

Για τους υπολογισμούς χρησιμοποιείται ο ακόλουθος τύπος

Ιδιότητες διασποράς.

2. , όπου υπάρχουν αμοιβαία ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές.

3. Τυπική απόκλιση.

Πρόβλημα 16.Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής Ζ = X+ 2Υ, εάν είναι γνωστές οι μαθηματικές προσδοκίες των τυχαίων μεταβλητών ΧΚαι Υ: Μ(Χ) = 5, Μ(Υ) = 3.

Διάλυμα. Χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες της μαθηματικής προσδοκίας. Τότε παίρνουμε:

Μ(X+ 2Υ)= Μ(Χ) + Μ(2Υ) = Μ(Χ) + 2Μ(Υ) = 5 + 2 . 3 = 11.

Πρόβλημα 17.Διακύμανση τυχαίας μεταβλητής Χισούται με 3. Να βρείτε τη διακύμανση των τυχαίων μεταβλητών: α) –3 X;β) 4 Χ + 3.

Διάλυμα. Ας εφαρμόσουμε τις ιδιότητες 3, 4 και 2 της διασποράς. Έχουμε:

ΕΝΑ) ρε(–3Χ) = (–3) 2 ρε(Χ) = 9ρε(Χ) = 9 . 3 = 27;

σι) ρε(4X+ 3) = ρε(4Χ) + ρε(3) = 16ρε(Χ) + 0 = 16 . 3 = 48.

Πρόβλημα 18.Δίνεται μια ανεξάρτητη τυχαία μεταβλητή Υ– ο αριθμός των πόντων που αποκτήθηκαν κατά τη ρίψη ενός ζαριού. Βρείτε τον νόμο κατανομής, τη μαθηματική προσδοκία, τη διασπορά και την τυπική απόκλιση μιας τυχαίας μεταβλητής Υ.

Διάλυμα.Πίνακας κατανομής τυχαίας μεταβλητής Υέχει τη μορφή:

Τότε Μ(Υ) = 1 1/6 + 2 1/6 + 3 1/6+ 4 1/6+ 5 1/6+ 6 1/6 = 3,5;

ρε(Υ) = (1 – 3,5) 2 1/6 +(2 – 3,5) 2 /6 + (3 – 3,5) 2 1/6 + (4 – 3,5) 2 / 6 +(5 – –3,5) 2 1/6 + (6 – 3,5) 2. 1/6 = 2,917; σ (Υ) =Ö 2,917 = 1,708.

Πρόβλημα 14.Στην κλήρωση μετρητών παίζονται 1 νίκη 1.000.000 ρούβλια, 10 νίκες 100.000 ρούβλια. και 100 νίκες των 1000 ρούβλια το καθένα. με συνολικό αριθμό εισιτηρίων 10.000 Βρείτε τον νόμο της διανομής των τυχαίων κερδών Χγια τον κάτοχο ενός λαχνού.

Διάλυμα. Πιθανές τιμές για Χ: Χ 1 = 0; Χ 2 = 1000; Χ 3 = 100000;

Χ 4 = 1000000. Οι πιθανότητες τους είναι αντίστοιχα ίσες: r 2 = 0,01; r 3 = 0,001; r 4 = 0,0001; r 1 = 1 – 0,01 – 0,001 – 0,0001 = 0,9889.

Επομένως, ο νόμος της διανομής των κερδών Χμπορεί να δοθεί από τον παρακάτω πίνακα:

Κατασκευάστε ένα πολύγωνο διανομής.

Διάλυμα. Ας φτιάξουμε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων και θα σχεδιάσουμε πιθανές τιμές κατά μήκος του άξονα της τετμημένης x i,και κατά μήκος του άξονα τεταγμένων - οι αντίστοιχες πιθανότητες p i. Ας σχεδιάσουμε τα σημεία Μ 1 (1;0,2), Μ 2 (3;0,1), Μ 3 (6;0.4) και Μ 4 (8;0,3). Συνδέοντας αυτά τα σημεία με ευθύγραμμα τμήματα, παίρνουμε το επιθυμητό πολύγωνο κατανομής.

§2. Αριθμητικά χαρακτηριστικά τυχαίων μεταβλητών

Μια τυχαία μεταβλητή χαρακτηρίζεται πλήρως από τον νόμο κατανομής της. Μια μέση περιγραφή μιας τυχαίας μεταβλητής μπορεί να ληφθεί χρησιμοποιώντας τα αριθμητικά χαρακτηριστικά της

2.1. Μαθηματική προσδοκία. Διασπορά.

Αφήστε μια τυχαία μεταβλητή να λάβει τιμές με πιθανότητες ανάλογα.

Ορισμός. Η μαθηματική προσδοκία μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής είναι το άθροισμα των γινομένων όλων των πιθανών τιμών της και των αντίστοιχων πιθανοτήτων:

.

Ιδιότητες της μαθηματικής προσδοκίας.

Η διασπορά μιας τυχαίας μεταβλητής γύρω από τη μέση τιμή χαρακτηρίζεται από διασπορά και τυπική απόκλιση.

Η διακύμανση μιας τυχαίας μεταβλητής είναι η μαθηματική προσδοκία της τετραγωνικής απόκλισης μιας τυχαίας μεταβλητής από τη μαθηματική της προσδοκία:

Για τους υπολογισμούς χρησιμοποιείται ο ακόλουθος τύπος

Ιδιότητες διασποράς.

2. , όπου υπάρχουν αμοιβαία ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές.

3. Τυπική απόκλιση .

Πρόβλημα 16.Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής Ζ = X+ 2Υ, εάν είναι γνωστές οι μαθηματικές προσδοκίες των τυχαίων μεταβλητών ΧΚαι Υ: Μ(Χ) = 5, Μ(Υ) = 3.

Διάλυμα. Χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες της μαθηματικής προσδοκίας. Τότε παίρνουμε:

Μ(X+ 2Υ)= Μ(Χ) + Μ(2Υ) = Μ(Χ) + 2Μ(Υ) = 5 + 2 . 3 = 11.

Πρόβλημα 17.Διακύμανση τυχαίας μεταβλητής Χισούται με 3. Να βρείτε τη διακύμανση των τυχαίων μεταβλητών: α) –3 X;β) 4 Χ + 3.

Διάλυμα. Ας εφαρμόσουμε τις ιδιότητες 3, 4 και 2 της διασποράς. Έχουμε:

ΕΝΑ) ρε(–3Χ) = (–3) 2 ρε(Χ) = 9ρε(Χ) = 9 . 3 = 27;

σι) ρε(4X+ 3) = ρε(4Χ) + ρε(3) = 16ρε(Χ) + 0 = 16 . 3 = 48.

Πρόβλημα 18.Δίνεται μια ανεξάρτητη τυχαία μεταβλητή Υ– ο αριθμός των πόντων που αποκτήθηκαν κατά τη ρίψη ενός ζαριού. Βρείτε τον νόμο κατανομής, τη μαθηματική προσδοκία, τη διασπορά και την τυπική απόκλιση μιας τυχαίας μεταβλητής Υ.

Διάλυμα.Πίνακας κατανομής τυχαίας μεταβλητής Υέχει τη μορφή:

Τότε Μ(Υ) = 1 1/6 + 2 1/6 + 3 1/6+ 4 1/6+ 5 1/6+ 6 1/6 = 3,5;

ρε(Υ) = (1 – 3,5) 2 1/6 +(2 – 3,5) 2 /6 + (3 – 3,5) 2 1/6 + (4 – 3,5) 2 / 6 +(5 – –3,5) 2 1/6 + (6 – 3,5) 2. 1/6 = 2,917; σ (Υ) =Ö 2,917 = 1,708.