Τετραγωνική ρίζα. The Comprehensive Guide (2019)

Συγχαρητήρια: σήμερα θα δούμε τις ρίζες - ένα από τα πιο εντυπωσιακά θέματα στην 8η τάξη. :)

Πολλοί άνθρωποι μπερδεύονται με τις ρίζες, όχι επειδή είναι περίπλοκες (τι είναι τόσο περίπλοκο σε αυτό - μερικοί ορισμοί και μερικές ακόμη ιδιότητες), αλλά επειδή στα περισσότερα σχολικά εγχειρίδια οι ρίζες ορίζονται μέσα από μια τέτοια ζούγκλα που μόνο οι συγγραφείς των εγχειριδίων οι ίδιοι μπορούν να καταλάβουν αυτό το γράψιμο. Και ακόμα και τότε μόνο με ένα μπουκάλι καλό ουίσκι. :)

Επομένως, τώρα θα δώσω τον πιο σωστό και πιο ικανό ορισμό της ρίζας - τον μόνο που πρέπει πραγματικά να θυμάστε. Και στη συνέχεια θα εξηγήσω: γιατί χρειάζονται όλα αυτά και πώς να τα εφαρμόσουμε στην πράξη.

Αλλά πρώτα θυμηθείτε ένα σημαντικό σημείο, για το οποίο πολλοί μεταγλωττιστές σχολικών βιβλίων για κάποιο λόγο «ξεχνούν»:

Οι ρίζες μπορεί να είναι ζυγού βαθμού (το αγαπημένο μας $\sqrt(a)$, καθώς και όλων των ειδών $\sqrt(a)$ και ακόμη και $\sqrt(a)$) και περιττού βαθμού (όλα τα είδη $\sqrt (a)$, $\ sqrt(a)$, κ.λπ.). Και ο ορισμός της ρίζας περιττού βαθμού είναι κάπως διαφορετικός από τον άρτιο.

Μάλλον το 95% όλων των λαθών και των παρεξηγήσεων που σχετίζονται με τις ρίζες κρύβονται σε αυτό το γαμημένο «κάπως διαφορετικό». Ας ξεκαθαρίσουμε λοιπόν μια για πάντα την ορολογία:

Ορισμός. Ακόμα και ρίζα nαπό τον αριθμό $a$ είναι οποιαδήποτε μη αρνητικόο αριθμός $b$ είναι τέτοιος ώστε $((b)^(n))=a$. Και η περιττή ρίζα του ίδιου αριθμού $a$ είναι γενικά οποιοσδήποτε αριθμός $b$ για τον οποίο ισχύει η ίδια ισότητα: $((b)^(n))=a$.

Σε κάθε περίπτωση, η ρίζα συμβολίζεται ως εξής:

\(ένα)\]

Ο αριθμός $n$ σε μια τέτοια σημείωση ονομάζεται εκθέτης ρίζας και ο αριθμός $a$ ονομάζεται ριζική έκφραση. Συγκεκριμένα, για $n=2$ παίρνουμε την «αγαπημένη» μας τετραγωνική ρίζα (παρεμπιπτόντως, αυτή είναι ρίζα άρτιας μοίρας) και για $n=3$ παίρνουμε μια κυβική ρίζα (μονός βαθμός), που είναι επίσης συχνά βρίσκεται σε προβλήματα και εξισώσεις.

Παραδείγματα. Κλασικά παραδείγματα τετραγωνικές ρίζες:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(στοίχιση)\]

Παρεμπιπτόντως, $\sqrt(0)=0$ και $\sqrt(1)=1$. Αυτό είναι αρκετά λογικό, αφού $((0)^(2))=0$ και $((1)^(2))=1$.

Οι ρίζες κύβου είναι επίσης κοινές - δεν χρειάζεται να τις φοβάστε:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(στοίχιση)\]

Λοιπόν, μερικά «εξωτικά παραδείγματα»:

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(στοίχιση)\]

Εάν δεν καταλαβαίνετε ποια είναι η διαφορά μεταξύ ενός άρτιου και ενός περιττού βαθμού, διαβάστε ξανά τον ορισμό. Είναι πολύ σημαντικό!

Στο μεταξύ, θα εξετάσουμε ένα δυσάρεστο χαρακτηριστικό των ριζών, εξαιτίας του οποίου χρειάστηκε να εισαγάγουμε έναν ξεχωριστό ορισμό για άρτιους και περιττούς εκθέτες.

Γιατί χρειάζονται καθόλου οι ρίζες;

Αφού διαβάσουν τον ορισμό, πολλοί μαθητές θα ρωτήσουν: «Τι κάπνιζαν οι μαθηματικοί όταν το σκέφτηκαν;» Και αλήθεια: γιατί χρειάζονται καθόλου όλες αυτές οι ρίζες;

Για να απαντήσουμε σε αυτό το ερώτημα, ας επιστρέψουμε για λίγο στο δημοτικές τάξεις. Θυμηθείτε: σε εκείνες τις μακρινές εποχές, που τα δέντρα ήταν πιο πράσινα και τα ζυμαρικά πιο νόστιμα, το κύριο μέλημά μας ήταν να πολλαπλασιάζουμε σωστά τους αριθμούς. Λοιπόν, κάτι σαν "πέντε επί πέντε - είκοσι πέντε", αυτό είναι όλο. Αλλά μπορείτε να πολλαπλασιάσετε τους αριθμούς όχι σε ζεύγη, αλλά σε τρίδυμα, τετραπλά και γενικά ολόκληρα σύνολα:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

Ωστόσο, αυτό δεν είναι το ζητούμενο. Το κόλπο είναι διαφορετικό: οι μαθηματικοί είναι τεμπέληδες, οπότε δυσκολεύτηκαν να γράψουν τον πολλαπλασιασμό των δέκα πεντάδων ως εξής:

Γι' αυτό κατέληξαν στα πτυχία. Γιατί να μην γράψετε τον αριθμό των παραγόντων ως εκθέτη αντί για μια μεγάλη συμβολοσειρά; Κάτι σαν αυτό:

Είναι πολύ βολικό! Όλοι οι υπολογισμοί μειώνονται σημαντικά και δεν χρειάζεται να σπαταλήσετε ένα σωρό φύλλα περγαμηνής και σημειωματάρια για να σημειώσετε περίπου 5.183. Αυτός ο δίσκος ονομαζόταν δύναμη ενός αριθμού· ένα σωρό ιδιότητες βρέθηκαν σε αυτό, αλλά η ευτυχία αποδείχθηκε βραχύβια.

Μετά από ένα μεγαλειώδες πάρτι ποτού, το οποίο οργανώθηκε μόνο για την «ανακάλυψη» των πτυχίων, κάποιος ιδιαίτερα πεισματάρης μαθηματικός ρώτησε ξαφνικά: «Κι αν γνωρίζουμε τον βαθμό ενός αριθμού, αλλά ο ίδιος ο αριθμός είναι άγνωστος;» Τώρα, πράγματι, αν γνωρίζουμε ότι ένας ορισμένος αριθμός $b$, ας πούμε, στην 5η δύναμη δίνει 243, τότε πώς μπορούμε να μαντέψουμε με τι ισούται ο ίδιος ο αριθμός $b$;

Αυτό το πρόβλημα αποδείχθηκε πολύ πιο παγκόσμιο από ό,τι φαίνεται με την πρώτη ματιά. Επειδή αποδείχθηκε ότι για τις περισσότερες «έτοιμες» δυνάμεις δεν υπάρχουν τέτοιοι «αρχικοί» αριθμοί. Κρίνετε μόνοι σας:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Δεξί βέλος b=4\cdot 4\cdot 4\Δεξί βέλος b=4. \\ \end(στοίχιση)\]

Τι γίνεται αν $((b)^(3))=50$; Αποδεικνύεται ότι πρέπει να βρούμε έναν συγκεκριμένο αριθμό που, όταν πολλαπλασιαστεί με τον εαυτό του τρεις φορές, θα μας δώσει το 50. Ποιος είναι όμως αυτός ο αριθμός; Είναι σαφώς μεγαλύτερο από 3, αφού 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Δηλαδή αυτός ο αριθμός βρίσκεται κάπου μεταξύ τρία και τέσσερα, αλλά δεν θα καταλάβετε με τι ισούται.

Αυτός είναι ακριβώς ο λόγος που οι μαθηματικοί βρήκαν $n$th ρίζες. Αυτός είναι ακριβώς ο λόγος που εισήχθη το σύμβολο ριζοσπαστικού $\sqrt(*)$. Για να ορίσουμε τον ίδιο τον αριθμό $b$, ο οποίος στον υποδεικνυόμενο βαθμό θα μας δώσει μια προηγουμένως γνωστή τιμή

\[\sqrt[n](a)=b\Δεξί βέλος ((b)^(n))=a\]

Δεν διαφωνώ: συχνά αυτές οι ρίζες υπολογίζονται εύκολα - είδαμε πολλά τέτοια παραδείγματα παραπάνω. Ωστόσο, στις περισσότερες περιπτώσεις, εάν σκεφτείτε έναν αυθαίρετο αριθμό και στη συνέχεια προσπαθήσετε να εξαγάγετε τη ρίζα ενός αυθαίρετου βαθμού από αυτόν, θα αντιμετωπίσετε τρομερό κακό.

Τι ΕΙΝΑΙ εκει! Ακόμη και το πιο απλό και γνωστό $\sqrt(2)$ δεν μπορεί να αναπαρασταθεί στη συνήθη μορφή μας - ως ακέραιος ή κλάσμα. Και αν εισαγάγετε αυτόν τον αριθμό σε μια αριθμομηχανή, θα δείτε αυτό:

\[\sqrt(2)=1,414213562...\]

Όπως μπορείτε να δείτε, μετά την υποδιαστολή υπάρχει μια ατελείωτη ακολουθία αριθμών που δεν υπακούουν σε καμία λογική. Μπορείτε, φυσικά, να στρογγυλοποιήσετε αυτόν τον αριθμό για να συγκρίνετε γρήγορα με άλλους αριθμούς. Για παράδειγμα:

\[\sqrt(2)=1,4142...\περίπου 1,4 \lt 1,5\]

Ή εδώ είναι ένα άλλο παράδειγμα:

\[\sqrt(3)=1,73205...\περίπου 1,7 \gt 1,5\]

Αλλά όλες αυτές οι στρογγυλοποιήσεις, πρώτον, είναι αρκετά σκληρές. και δεύτερον, πρέπει επίσης να μπορείτε να εργάζεστε με κατά προσέγγιση τιμές, διαφορετικά μπορείτε να πιάσετε ένα σωρό αφανή λάθη (παρεμπιπτόντως, η ικανότητα σύγκρισης και στρογγυλοποίησης επιτακτικόςελέγχεται στο προφίλ Unified State Examination).

Επομένως, στα σοβαρά μαθηματικά δεν μπορείτε να κάνετε χωρίς ρίζες - είναι οι ίδιοι ίσοι εκπρόσωποι του συνόλου όλων των πραγματικών αριθμών $\mathbb(R)$, ακριβώς όπως τα κλάσματα και οι ακέραιοι αριθμοί που μας ήταν από καιρό γνωστοί.

Η αδυναμία αναπαράστασης μιας ρίζας ως κλάσματος της μορφής $\frac(p)(q)$ σημαίνει ότι δεδομένη ρίζαδεν είναι λογικός αριθμός. Τέτοιοι αριθμοί ονομάζονται παράλογοι και δεν μπορούν να αναπαρασταθούν με ακρίβεια παρά μόνο με τη βοήθεια μιας ρίζας ή άλλων κατασκευών ειδικά σχεδιασμένων για αυτό (λογάριθμοι, δυνάμεις, όρια κ.λπ.). Αλλά περισσότερα για αυτό άλλη φορά.

Ας εξετάσουμε πολλά παραδείγματα όπου, μετά από όλους τους υπολογισμούς, οι παράλογοι αριθμοί θα εξακολουθούν να παραμένουν στην απάντηση.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\περίπου 2.236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\περίπου -1,2599... \\ \end(στοίχιση)\]

Όπως είναι φυσικό, σύμφωνα με εμφάνιση root είναι σχεδόν αδύνατο να μαντέψουμε ποιοι αριθμοί θα έρθουν μετά την υποδιαστολή. Ωστόσο, μπορείτε να βασιστείτε σε μια αριθμομηχανή, αλλά ακόμα και η πιο προηγμένη αριθμομηχανή ημερομηνίας μας δίνει μόνο τα πρώτα ψηφία ενός παράλογου αριθμού. Επομένως, είναι πολύ πιο σωστό να γράψετε τις απαντήσεις με τη μορφή $\sqrt(5)$ και $\sqrt(-2)$.

Γι' αυτό ακριβώς εφευρέθηκαν. Για εύκολη καταγραφή των απαντήσεων.

Γιατί χρειάζονται δύο ορισμοί;

Ο προσεκτικός αναγνώστης μάλλον έχει ήδη παρατηρήσει ότι όλες οι τετραγωνικές ρίζες που δίνονται στα παραδείγματα προέρχονται από θετικούς αριθμούς. Καλά μέσα ως έσχατη λύσηαπό την αρχή. Αλλά οι ρίζες κύβου μπορούν να εξαχθούν ήρεμα από απολύτως οποιονδήποτε αριθμό - είτε είναι θετικός είτε αρνητικός.

Γιατί συμβαίνει αυτό? Ρίξτε μια ματιά στο γράφημα της συνάρτησης $y=((x)^(2))$:

Πρόγραμμα τετραγωνική λειτουργίαδίνει δύο ρίζες: θετική και αρνητική

Ας προσπαθήσουμε να υπολογίσουμε το $\sqrt(4)$ χρησιμοποιώντας αυτό το γράφημα. Για να γίνει αυτό, σχεδιάζεται μια οριζόντια γραμμή $y=4$ στο γράφημα (σημειώνεται με κόκκινο), η οποία τέμνεται με την παραβολή σε δύο σημεία: $((x)_(1))=2$ και $((x )_(2)) =-2$. Αυτό είναι πολύ λογικό, αφού

Όλα είναι ξεκάθαρα με τον πρώτο αριθμό - είναι θετικό, επομένως είναι η ρίζα:

Αλλά τότε τι να κάνουμε με το δεύτερο σημείο; Σαν τέσσερα έχουν δύο ρίζες ταυτόχρονα; Άλλωστε, αν τετραγωνίσουμε τον αριθμό −2, παίρνουμε επίσης 4. Γιατί να μην γράψουμε τότε $\sqrt(4)=-2$; Και γιατί οι δάσκαλοι βλέπουν τέτοιες αναρτήσεις σαν να θέλουν να σε φάνε; :)

Αυτό είναι το πρόβλημα, αν δεν εφαρμόσεις κανένα πρόσθετες προϋποθέσεις, τότε το τετράπτυχο θα έχει δύο τετραγωνικές ρίζες - θετικές και αρνητικές. Και κάθε θετικός αριθμός θα έχει επίσης δύο από αυτούς. Αλλά οι αρνητικοί αριθμοί δεν θα έχουν καθόλου ρίζες - αυτό φαίνεται από το ίδιο γράφημα, αφού η παραβολή δεν πέφτει ποτέ κάτω από τον άξονα y, δηλ. δεν δέχεται αρνητικές τιμές.

Παρόμοιο πρόβλημα παρουσιάζεται για όλες τις ρίζες με ζυγό εκθέτη:

1. Αυστηρά μιλώντας, κάθε θετικός αριθμός θα έχει δύο ρίζες με ζυγό εκθέτη $n$.
2. Από αρνητικούς αριθμούς, η ρίζα με ακόμη και $n$ δεν εξάγεται καθόλου.

Γι' αυτό στον ορισμό μιας ρίζας ζυγού βαθμού $n$ ορίζεται συγκεκριμένα ότι η απάντηση πρέπει να είναι ένας μη αρνητικός αριθμός. Έτσι απαλλαγούμε από την ασάφεια.

Αλλά για το μονό $n$ δεν υπάρχει τέτοιο πρόβλημα. Για να το δούμε αυτό, ας δούμε το γράφημα της συνάρτησης $y=((x)^(3))$:

Μια κυβική παραβολή μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή, επομένως η κυβική ρίζα μπορεί να ληφθεί από οποιονδήποτε αριθμό

Από αυτό το γράφημα μπορούν να εξαχθούν δύο συμπεράσματα:

1. Οι κλάδοι μιας κυβικής παραβολής, σε αντίθεση με μια κανονική, πηγαίνουν στο άπειρο και προς τις δύο κατευθύνσεις - και προς τα πάνω και προς τα κάτω. Επομένως, ανεξάρτητα από το ύψος που σχεδιάζουμε μια οριζόντια γραμμή, αυτή η γραμμή σίγουρα θα τέμνεται με το γράφημά μας. Κατά συνέπεια, η ρίζα του κύβου μπορεί πάντα να εξαχθεί από απολύτως οποιονδήποτε αριθμό.
2. Επιπλέον, μια τέτοια τομή θα είναι πάντα μοναδική, επομένως δεν χρειάζεται να σκεφτείτε ποιος αριθμός θεωρείται η "σωστή" ρίζα και ποιος να αγνοήσετε. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο ο προσδιορισμός των ριζών για έναν περιττό βαθμό είναι απλούστερος από ό, τι για έναν ζυγό βαθμό (δεν υπάρχει απαίτηση για μη αρνητικότητα).

Είναι κρίμα που αυτά απλά πράγματαδεν εξηγούνται στα περισσότερα σχολικά βιβλία. Αντίθετα, ο εγκέφαλός μας αρχίζει να πετάει στα ύψη με κάθε είδους αριθμητικές ρίζες και τις ιδιότητές τους.

Ναι, δεν διαφωνώ: πρέπει επίσης να ξέρετε τι είναι η αριθμητική ρίζα. Και θα μιλήσω για αυτό λεπτομερώς σε ένα ξεχωριστό μάθημα. Σήμερα θα μιλήσουμε επίσης για αυτό, γιατί χωρίς αυτό όλες οι σκέψεις για τις ρίζες της πολλαπλότητας $n$-th θα ήταν ελλιπείς.

Αλλά πρώτα πρέπει να κατανοήσετε ξεκάθαρα τον ορισμό που έδωσα παραπάνω. Διαφορετικά, λόγω της πληθώρας των όρων, θα ξεκινήσει ένα τέτοιο χάλι στο κεφάλι σου που στο τέλος δεν θα καταλάβεις απολύτως τίποτα.

Το μόνο που χρειάζεται να κάνετε είναι να κατανοήσετε τη διαφορά μεταξύ ζυγών και περιττών δεικτών. Επομένως, ας συλλέξουμε για άλλη μια φορά όλα όσα πραγματικά πρέπει να γνωρίζετε για τις ρίζες:

1. Μια ρίζα ενός ζυγού βαθμού υπάρχει μόνο από έναν μη αρνητικό αριθμό και η ίδια είναι πάντα ένας μη αρνητικός αριθμός. Για αρνητικούς αριθμούς μια τέτοια ρίζα είναι απροσδιόριστη.
2. Αλλά η ρίζα ενός περιττού βαθμού υπάρχει από οποιονδήποτε αριθμό και μπορεί η ίδια να είναι οποιοσδήποτε αριθμός: για θετικούς αριθμούς είναι θετικός, και για αρνητικούς αριθμούς, όπως υποδηλώνει το κεφαλαίο, είναι αρνητικός.

Είναι δύσκολο? Όχι, δεν είναι δύσκολο. Είναι σαφές? Ναι, είναι απολύτως προφανές! Τώρα λοιπόν θα εξασκηθούμε λίγο με τους υπολογισμούς.

Βασικές ιδιότητες και περιορισμοί

Υπάρχουν πολλές ρίζες παράξενες ιδιότητεςκαι περιορισμοί - θα υπάρξει ένα ξεχωριστό μάθημα σχετικά με αυτό. Επομένως, τώρα θα εξετάσουμε μόνο το πιο σημαντικό «κόλπο», το οποίο ισχύει μόνο για ρίζες με άρτιο δείκτη. Ας γράψουμε αυτήν την ιδιότητα ως τύπο:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\αριστερά| x\δεξιά|\]

Με άλλα λόγια, αν υψώσουμε έναν αριθμό σε άρτια ισχύ και μετά εξαγάγουμε τη ρίζα της ίδιας δύναμης, δεν θα πάρουμε τον αρχικό αριθμό, αλλά το μέτρο του. Αυτό απλό θεώρημα, το οποίο είναι εύκολο να αποδειχθεί (αρκεί να εξετάσουμε χωριστά τα μη αρνητικά $x$ και στη συνέχεια να εξετάσουμε ξεχωριστά τα αρνητικά). Οι δάσκαλοι μιλούν συνεχώς για αυτό, δίνεται σε κάθε σχολικό εγχειρίδιο. Μόλις όμως έρθει μια απόφαση παράλογες εξισώσεις(δηλαδή εξισώσεις που περιέχουν ένα ριζικό πρόσημο), οι μαθητές ξεχνούν ομόφωνα αυτόν τον τύπο.

Για να κατανοήσουμε το ζήτημα λεπτομερώς, ας ξεχάσουμε όλους τους τύπους για ένα λεπτό και ας προσπαθήσουμε να υπολογίσουμε δύο αριθμούς κατευθείαν:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

Αυτό είναι πολύ απλά παραδείγματα. Οι περισσότεροι άνθρωποι θα λύσουν το πρώτο παράδειγμα, αλλά πολλοί άνθρωποι κολλάνε στο δεύτερο. Για να λύσετε οποιαδήποτε τέτοια χάλια χωρίς προβλήματα, σκεφτείτε πάντα τη διαδικασία:

1. Πρώτον, ο αριθμός αυξάνεται στην τέταρτη δύναμη. Λοιπόν, είναι κάπως εύκολο. Θα λάβετε έναν νέο αριθμό που μπορεί να βρεθεί ακόμη και στον πίνακα πολλαπλασιασμού.
2. Και τώρα από αυτόν τον νέο αριθμό είναι απαραίτητο να εξαχθεί η τέταρτη ρίζα. Εκείνοι. δεν συμβαίνει "μείωση" των ριζών και των δυνάμεων - αυτές είναι διαδοχικές ενέργειες.

Ας δούμε την πρώτη έκφραση: $\sqrt(((3)^(4)))$. Προφανώς, πρέπει πρώτα να υπολογίσετε την έκφραση κάτω από τη ρίζα:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Στη συνέχεια εξάγουμε την τέταρτη ρίζα του αριθμού 81:

Τώρα ας κάνουμε το ίδιο με τη δεύτερη έκφραση. Αρχικά, ανεβάζουμε τον αριθμό −3 στην τέταρτη δύναμη, η οποία απαιτεί πολλαπλασιασμό του με τον εαυτό του 4 φορές:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ αριστερά(-3 \δεξιά)=81\]

Πήραμε έναν θετικό αριθμό, αφού ο συνολικός αριθμός των μείον στο γινόμενο είναι 4, και όλα θα ακυρώσουν το ένα το άλλο (εξάλλου, ένα μείον για ένα μείον δίνει ένα συν). Στη συνέχεια εξάγουμε ξανά τη ρίζα:

Κατ' αρχήν, αυτή η γραμμή δεν θα μπορούσε να είχε γραφτεί, αφού δεν είναι λογικό ότι η απάντηση θα ήταν η ίδια. Εκείνοι. μια άρτια ρίζα της ίδιας άρτιας ισχύος «καίει» τα μειονεκτήματα, και από αυτή την άποψη το αποτέλεσμα δεν διακρίνεται από μια κανονική ενότητα:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \right|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \δεξιά|=3. \\ \end(στοίχιση)\]

Αυτοί οι υπολογισμοί συμφωνούν καλά με τον ορισμό της ρίζας άρτιου βαθμού: το αποτέλεσμα είναι πάντα μη αρνητικό και κάτω από το ριζικό πρόσημο επίσης δεν είναι πάντα ένας αρνητικός αριθμός. Διαφορετικά, η ρίζα είναι απροσδιόριστη.

Σημείωση για τη διαδικασία

1. Ο συμβολισμός $\sqrt(((a)^(2)))$ σημαίνει ότι πρώτα τετραγωνίζουμε τον αριθμό $a$ και μετά παίρνουμε την τετραγωνική ρίζα της τιμής που προκύπτει. Επομένως, μπορούμε να είμαστε σίγουροι ότι υπάρχει πάντα ένας μη αρνητικός αριθμός κάτω από το σύμβολο της ρίζας, αφού $((a)^(2))\ge 0$ σε κάθε περίπτωση.
2. Αλλά ο συμβολισμός $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, αντίθετα, σημαίνει ότι πρώτα παίρνουμε τη ρίζα ενός συγκεκριμένου αριθμού $a$ και μόνο στη συνέχεια τετραγωνίζουμε το αποτέλεσμα. Επομένως, ο αριθμός $a$ δεν μπορεί σε καμία περίπτωση να είναι αρνητικός - αυτό είναι υποχρεωτική απαίτηση, περιλαμβάνονται στον ορισμό.

Έτσι, σε καμία περίπτωση δεν πρέπει κανείς να μειώνει αλόγιστα τις ρίζες και τους βαθμούς, «απλοποιώντας» δήθεν την αρχική έκφραση. Γιατί αν η ρίζα έχει αρνητικό αριθμό και ο εκθέτης της είναι άρτιος, έχουμε ένα σωρό προβλήματα.

Ωστόσο, όλα αυτά τα προβλήματα αφορούν μόνο ζυγούς δείκτες.

Αφαιρώντας το σύμβολο μείον κάτω από το σύμβολο της ρίζας

Φυσικά, οι ρίζες με περιττούς εκθέτες έχουν επίσης το δικό τους χαρακτηριστικό, το οποίο καταρχήν δεν υπάρχει με άρτιους. Και συγκεκριμένα:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Εν ολίγοις, μπορείτε να αφαιρέσετε το μείον κάτω από το σύμβολο των ριζών περιττού βαθμού. Αυτό είναι πολύ χρήσιμη ιδιότητα, που σας επιτρέπει να «πετάξετε» όλα τα αρνητικά:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(στοίχιση)\]

Αυτή η απλή ιδιότητα απλοποιεί σημαντικά πολλούς υπολογισμούς. Τώρα δεν χρειάζεται να ανησυχείτε: τι θα γινόταν αν μια αρνητική έκφραση ήταν κρυμμένη κάτω από τη ρίζα, αλλά ο βαθμός στη ρίζα αποδείχθηκε ομοιόμορφος; Αρκεί απλώς να «πετάξουμε» όλα τα μειονεκτήματα έξω από τις ρίζες, μετά από τα οποία μπορούν να πολλαπλασιαστούν το ένα με το άλλο, να διαιρεθούν και γενικά να κάνουμε πολλά ύποπτα πράγματα, τα οποία στην περίπτωση των «κλασικών» ριζών είναι σίγουρο ότι θα μας οδηγήσουν σε ένα λάθος.

Και εδώ έρχεται στη σκηνή ένας άλλος ορισμός - ο ίδιος με τον οποίο στα περισσότερα σχολεία αρχίζουν τη μελέτη των παράλογων εκφράσεων. Και χωρίς αυτό το σκεπτικό μας θα ήταν ελλιπές. Συναντώ!

Αριθμητική ρίζα

Ας υποθέσουμε για λίγο ότι κάτω από το σύμβολο της ρίζας μπορούν να υπάρχουν μόνο θετικοί αριθμοί ή, σε ακραίες περιπτώσεις, μηδέν. Ας ξεχάσουμε τους ζυγούς/μονούς δείκτες, ας ξεχάσουμε όλους τους ορισμούς που δίνονται παραπάνω - θα εργαστούμε μόνο με μη αρνητικούς αριθμούς. Τι τότε?

Και τότε θα πάρουμε μια αριθμητική ρίζα - επικαλύπτεται εν μέρει με τους "τυποποιημένους" ορισμούς μας, αλλά εξακολουθεί να διαφέρει από αυτούς.

Ορισμός. Μια αριθμητική ρίζα του $n$th βαθμού ενός μη αρνητικού αριθμού $a$ είναι ένας μη αρνητικός αριθμός $b$ τέτοιος ώστε $((b)^(n))=a$.

Όπως βλέπουμε, δεν μας ενδιαφέρει πλέον η ισοτιμία. Αντίθετα, εμφανίστηκε ένας νέος περιορισμός: η ριζική έκφραση είναι πλέον πάντα μη αρνητική και η ίδια η ρίζα είναι επίσης μη αρνητική.

Για να κατανοήσετε καλύτερα πώς διαφέρει η αριθμητική ρίζα από τη συνηθισμένη, ρίξτε μια ματιά στα γραφήματα του τετραγώνου και της κυβικής παραβολής που γνωρίζουμε ήδη:

Περιοχή αναζήτησης αριθμητικής ρίζας - μη αρνητικοί αριθμοί

Όπως μπορείτε να δείτε, από εδώ και πέρα ​​μας ενδιαφέρουν μόνο εκείνα τα κομμάτια γραφημάτων που βρίσκονται στο πρώτο τρίμηνο συντεταγμένων - όπου οι συντεταγμένες $x$ και $y$ είναι θετικές (ή τουλάχιστον μηδέν). Δεν χρειάζεται πλέον να κοιτάτε τον δείκτη για να καταλάβετε αν έχουμε το δικαίωμα να βάλουμε αρνητικό αριθμό κάτω από τη ρίζα ή όχι. Επειδή οι αρνητικοί αριθμοί δεν λαμβάνονται πλέον υπόψη κατ' αρχήν.

Μπορεί να ρωτήσετε: "Λοιπόν, γιατί χρειαζόμαστε έναν τόσο στειρωμένο ορισμό;" Ή: "Γιατί δεν μπορούμε να τα βγάλουμε πέρα ​​με τον τυπικό ορισμό που δίνεται παραπάνω;"

Λοιπόν, θα δώσω μόνο μία ιδιότητα εξαιτίας της οποίας ο νέος ορισμός γίνεται κατάλληλος. Για παράδειγμα, ο κανόνας της εκθέσεως:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Παρακαλώ σημειώστε: μπορούμε να αυξήσουμε τη ριζική έκφραση σε οποιαδήποτε ισχύ και ταυτόχρονα να πολλαπλασιάσουμε τον εκθέτη ρίζας με την ίδια ισχύ - και το αποτέλεσμα θα είναι ο ίδιος αριθμός! Ακολουθούν παραδείγματα:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \end(στοίχιση)\]

Ποια είναι λοιπόν η μεγάλη υπόθεση; Γιατί δεν μπορούσαμε να το κάνουμε αυτό πριν; Να γιατί. Ας εξετάσουμε μια απλή έκφραση: $\sqrt(-2)$ - αυτός ο αριθμός είναι αρκετά φυσιολογικός στην κλασική μας κατανόηση, αλλά απολύτως απαράδεκτος από την άποψη της αριθμητικής ρίζας. Ας προσπαθήσουμε να το μετατρέψουμε:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

Όπως μπορείτε να δείτε, στην πρώτη περίπτωση αφαιρέσαμε το μείον από κάτω από το ριζικό (έχουμε κάθε δικαίωμα, επειδή ο δείκτης είναι περίεργος), και στο δεύτερο χρησιμοποιήσαμε τον παραπάνω τύπο. Εκείνοι. Από μαθηματική άποψη όλα γίνονται σύμφωνα με τους κανόνες.

WTF;! Πώς μπορεί ο ίδιος αριθμός να είναι θετικός και αρνητικός; Με τιποτα. Απλώς η φόρμουλα για την εκτίμηση, η οποία λειτουργεί εξαιρετικά για θετικούς αριθμούς και μηδέν, αρχίζει να παράγει πλήρη αίρεση στην περίπτωση των αρνητικών αριθμών.

Ήταν για να απαλλαγούμε από μια τέτοια ασάφεια που εφευρέθηκαν οι αριθμητικές ρίζες. Ένα ξεχωριστό είναι αφιερωμένο σε αυτούς σπουδαίο μάθημα, όπου εξετάζουμε αναλυτικά όλες τις ιδιότητές τους. Επομένως, δεν θα σταθούμε σε αυτά τώρα - το μάθημα έχει ήδη αποδειχθεί πολύ μεγάλο.

Αλγεβρική ρίζα: για όσους θέλουν να μάθουν περισσότερα

Σκέφτηκα πολύ αν θα βάλω αυτό το θέμα σε ξεχωριστή παράγραφο ή όχι. Στο τέλος αποφάσισα να το αφήσω εδώ. Αυτό το υλικό προορίζεται για όσους θέλουν να κατανοήσουν ακόμα καλύτερα τις ρίζες - όχι πλέον στο μέσο επίπεδο «σχολείου», αλλά σε επίπεδο κοντά στο επίπεδο της Ολυμπιάδας.

Έτσι: εκτός από τον «κλασικό» ορισμό της $n$th ρίζας ενός αριθμού και τη σχετική διαίρεση σε άρτιους και περιττούς εκθέτες, υπάρχει ένας πιο «ενήλικος» ορισμός που δεν εξαρτάται καθόλου από την ισοτιμία και άλλες λεπτές αποχρώσεις. Αυτό ονομάζεται αλγεβρική ρίζα.

Ορισμός. Η αλγεβρική $n$th ρίζα οποιουδήποτε $a$ είναι το σύνολο όλων των αριθμών $b$ έτσι ώστε $((b)^(n))=a$. Δεν υπάρχει καθιερωμένος προσδιορισμός για τέτοιες ρίζες, επομένως θα βάλουμε απλώς μια παύλα στην κορυφή:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \δεξιά. \δεξιά\) \]

Θεμελιώδης διαφορά από τυπικός ορισμόςπου δίνεται στην αρχή του μαθήματος είναι ότι μια αλγεβρική ρίζα δεν είναι ένας συγκεκριμένος αριθμός, αλλά ένα σύνολο. Και δεδομένου ότι εργαζόμαστε με πραγματικούς αριθμούς, αυτό το σύνολο διατίθεται μόνο σε τρεις τύπους:

1. Αδειο σετ. Εμφανίζεται όταν χρειάζεται να βρείτε μια αλγεβρική ρίζα ζυγού βαθμού από έναν αρνητικό αριθμό.
2. Ένα σύνολο που αποτελείται από ένα μόνο στοιχείο. Όλες οι ρίζες των περιττών δυνάμεων, καθώς και οι ρίζες των άρτιων δυνάμεων μηδέν, εμπίπτουν σε αυτήν την κατηγορία.
3. Τέλος, το σετ μπορεί να περιλαμβάνει δύο αριθμούς - τους ίδιους $((x)_(1))$ και $((x)_(2))=-((x)_(1))$ που είδαμε στο γραφική τετραγωνική συνάρτηση. Κατά συνέπεια, μια τέτοια διάταξη είναι δυνατή μόνο κατά την εξαγωγή της ρίζας ενός ζυγού βαθμού από έναν θετικό αριθμό.

Η τελευταία περίπτωση αξίζει λεπτομερέστερης εξέτασης. Ας μετρήσουμε μερικά παραδείγματα για να καταλάβουμε τη διαφορά.

Παράδειγμα. Αξιολογήστε τις εκφράσεις:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Λύση. Η πρώτη έκφραση είναι απλή:

\[\overline(\sqrt(4))=\αριστερά\( 2;-2 \δεξιά\)\]

Είναι δύο αριθμοί που αποτελούν μέρος του συνόλου. Επειδή κάθε ένα από αυτά στο τετράγωνο δίνει ένα τέσσερα.

\[\overline(\sqrt(-27))=\αριστερά\( -3 \δεξιά\)\]

Εδώ βλέπουμε ένα σύνολο που αποτελείται από έναν μόνο αριθμό. Αυτό είναι αρκετά λογικό, αφού ο ριζικός εκθέτης είναι περίεργος.

Τέλος, η τελευταία έκφραση:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

Λάβαμε ένα κενό σύνολο. Διότι δεν υπάρχει ούτε ένας πραγματικός αριθμός που, όταν αυξηθεί στην τέταρτη (δηλαδή, ζυγή!) δύναμη, θα μας δώσει τον αρνητικό αριθμό −16.

Τελική σημείωση. Παρακαλώ σημειώστε: δεν ήταν τυχαίο που παρατήρησα παντού ότι δουλεύουμε με πραγματικούς αριθμούς. Γιατί υπάρχουν περισσότερα μιγαδικοί αριθμοί— είναι πολύ πιθανό να υπολογίσουμε $\sqrt(-16)$ και πολλά άλλα περίεργα πράγματα εκεί.

Ωστόσο, στη σύγχρονη σχολικό μάθημαΣτα μαθηματικά, οι μιγαδικοί αριθμοί δεν συναντώνται σχεδόν ποτέ. Έχουν αφαιρεθεί από τα περισσότερα σχολικά βιβλία επειδή οι αξιωματούχοι μας θεωρούν το θέμα "πολύ δύσκολο να κατανοηθεί".