Πώς να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός παραλληλεπίπεδου. Πλευρική επιφάνεια διαφορετικών πυραμίδων

Κατά την προετοιμασία για την Ενιαία Κρατική Εξέταση στα μαθηματικά, οι μαθητές πρέπει να συστηματοποιήσουν τις γνώσεις τους για την άλγεβρα και τη γεωμετρία. Θα ήθελα να συνδυάσω όλες τις γνωστές πληροφορίες, για παράδειγμα, σχετικά με τον τρόπο υπολογισμού του εμβαδού μιας πυραμίδας. Επιπλέον, ξεκινώντας από τη βάση και τις πλαϊνές άκρες μέχρι ολόκληρη την επιφάνεια. Εάν η κατάσταση με τις πλευρικές όψεις είναι ξεκάθαρη, αφού είναι τρίγωνα, τότε η βάση είναι πάντα διαφορετική.

Πώς να βρείτε την περιοχή της βάσης της πυραμίδας;

Μπορεί να είναι απολύτως οποιοδήποτε σχήμα: από ένα αυθαίρετο τρίγωνο έως ένα n-gon. Και αυτή η βάση, εκτός από τη διαφορά στον αριθμό των γωνιών, μπορεί να είναι κανονική φιγούρα ή ακανόνιστη. Στις εργασίες του Unified State Exam που ενδιαφέρουν τους μαθητές, υπάρχουν μόνο εργασίες με σωστά στοιχεία στη βάση. Επομένως, θα μιλήσουμε μόνο για αυτούς.

Κανονικό τρίγωνο

Ισόπλευρο δηλαδή. Αυτή στην οποία όλες οι πλευρές είναι ίσες και δηλώνονται με το γράμμα "a". Σε αυτή την περίπτωση, το εμβαδόν της βάσης της πυραμίδας υπολογίζεται από τον τύπο:

S = (a 2 * √3) / 4.

τετράγωνο

Ο τύπος για τον υπολογισμό του εμβαδού του είναι ο απλούστερος, εδώ το "a" είναι και πάλι η πλευρά:

Αυθαίρετο κανονικό n-gon

Η πλευρά ενός πολυγώνου έχει την ίδια σημείωση. Για τον αριθμό των γωνιών, χρησιμοποιείται το λατινικό γράμμα n.

S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).

Τι πρέπει να κάνετε κατά τον υπολογισμό της πλευρικής και της συνολικής επιφάνειας;

Δεδομένου ότι η βάση είναι ένα κανονικό σχήμα, όλες οι όψεις της πυραμίδας είναι ίσες. Επιπλέον, καθένα από αυτά είναι ένα ισοσκελές τρίγωνο, αφού οι πλευρικές ακμές είναι ίσες. Στη συνέχεια, για να υπολογίσετε το πλευρικό εμβαδόν της πυραμίδας, θα χρειαστείτε έναν τύπο που αποτελείται από το άθροισμα των πανομοιότυπων μονώνυμων. Ο αριθμός των όρων καθορίζεται από τον αριθμό των πλευρών της βάσης.

Το εμβαδόν ενός ισοσκελούς τριγώνου υπολογίζεται από τον τύπο στον οποίο το μισό γινόμενο της βάσης πολλαπλασιάζεται με το ύψος. Αυτό το ύψος στην πυραμίδα ονομάζεται απόθεμα. Η ονομασία του είναι «Α». Ο γενικός τύπος για την πλευρική επιφάνεια είναι:

S = ½ P*A, όπου P είναι η περίμετρος της βάσης της πυραμίδας.

Υπάρχουν περιπτώσεις που οι πλευρές της βάσης δεν είναι γνωστές, αλλά δίνονται οι πλευρικές ακμές (γ) και η επίπεδη γωνία στην κορυφή της (α). Στη συνέχεια, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον ακόλουθο τύπο για να υπολογίσετε την πλευρική επιφάνεια της πυραμίδας:

S = n/2 * σε 2 sin α .

Εργασία Νο. 1

Κατάσταση.Βρείτε το συνολικό εμβαδόν της πυραμίδας αν η βάση της έχει πλευρά 4 cm και το απόθεμα έχει τιμή √3 cm.

Λύση.Πρέπει να ξεκινήσετε υπολογίζοντας την περίμετρο της βάσης. Δεδομένου ότι αυτό είναι ένα κανονικό τρίγωνο, τότε P = 3*4 = 12 εκ. Δεδομένου ότι το απόθεμα είναι γνωστό, μπορούμε αμέσως να υπολογίσουμε το εμβαδόν ολόκληρης της πλευρικής επιφάνειας: ½*12*√3 = 6√3 cm 2.

Για το τρίγωνο στη βάση, λαμβάνετε την ακόλουθη τιμή εμβαδού: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 cm 2.

Για να προσδιορίσετε ολόκληρη την περιοχή, θα χρειαστεί να προσθέσετε τις δύο τιμές που προκύπτουν: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.

Απάντηση. 10√3 cm 2.

Πρόβλημα Νο 2

Κατάσταση. Υπάρχει μια κανονική τετράγωνη πυραμίδα. Το μήκος της πλευράς της βάσης είναι 7 mm, η πλευρική άκρη είναι 16 mm. Είναι απαραίτητο να μάθετε την επιφάνειά του.

Λύση.Δεδομένου ότι το πολύεδρο είναι τετράγωνο και κανονικό, η βάση του είναι τετράγωνο. Μόλις μάθετε το εμβαδόν της βάσης και των πλευρικών όψεων, θα μπορείτε να υπολογίσετε το εμβαδόν της πυραμίδας. Ο τύπος για το τετράγωνο δίνεται παραπάνω. Και για τις πλευρικές όψεις, όλες οι πλευρές του τριγώνου είναι γνωστές. Επομένως, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο του Heron για να υπολογίσετε τα εμβαδά τους.

Οι πρώτοι υπολογισμοί είναι απλοί και οδηγούν στον ακόλουθο αριθμό: 49 mm 2. Για τη δεύτερη τιμή, θα χρειαστεί να υπολογίσετε την ημιπερίμετρο: (7 + 16*2): 2 = 19,5 mm. Τώρα μπορείτε να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός ισοσκελούς τριγώνου: √(19,5*(19,5-7)*(19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Υπάρχουν μόνο τέσσερα τέτοια τρίγωνα, οπότε κατά τον υπολογισμό του τελικού αριθμού θα χρειαστεί να τον πολλαπλασιάσετε με το 4.

Αποδεικνύεται: 49 ​​+ 4 * 54.644 = 267.576 mm 2.

Απάντηση. Η επιθυμητή τιμή είναι 267,576 mm 2.

Πρόβλημα Νο. 3

Κατάσταση. Για μια κανονική τετράγωνη πυραμίδα, πρέπει να υπολογίσετε την περιοχή. Η πλευρά του τετραγώνου είναι γνωστό ότι είναι 6 cm και το ύψος είναι 4 cm.

Λύση.Ο ευκολότερος τρόπος είναι να χρησιμοποιήσετε τον τύπο με το γινόμενο της περιμέτρου και της αποθέματος. Η πρώτη τιμή είναι εύκολο να βρεθεί. Το δεύτερο είναι λίγο πιο περίπλοκο.

Θα πρέπει να θυμηθούμε το Πυθαγόρειο θεώρημα και να θεωρήσουμε ότι σχηματίζεται από το ύψος της πυραμίδας και το απόθεμα, που είναι η υποτείνουσα. Το δεύτερο πόδι είναι ίσο με τη μισή πλευρά του τετραγώνου, αφού το ύψος του πολυέδρου πέφτει στη μέση του.

Το επιθυμητό απόθεμα (η υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου) είναι √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).

Τώρα μπορείτε να υπολογίσετε την επιθυμητή τιμή: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 2 \u003d 96 (cm 2).

Απάντηση. 96 cm 2.

Πρόβλημα Νο. 4

Κατάσταση.Η σωστή πλευρά της βάσης του είναι 22 mm, οι πλευρικές νευρώσεις είναι 61 mm. Ποιο είναι το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας αυτού του πολυέδρου;

Λύση.Το σκεπτικό σε αυτό είναι το ίδιο με αυτό που περιγράφεται στο πρόβλημα Νο. 2. Μόνο εκεί δόθηκε μια πυραμίδα με ένα τετράγωνο στη βάση, και τώρα είναι ένα εξάγωνο.

Πρώτα απ 'όλα, το εμβαδόν βάσης υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον παραπάνω τύπο: (6*22 2) / (4*tg (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 cm 2.

Τώρα πρέπει να μάθετε την ημιπερίμετρο ενός ισοσκελούς τριγώνου, που είναι η πλευρική όψη. (22+61*2):2 = 72 εκ. Το μόνο που μένει είναι να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο του Heron για να υπολογίσουμε το εμβαδόν κάθε τέτοιου τριγώνου και στη συνέχεια να το πολλαπλασιάσουμε επί έξι και να το προσθέσουμε σε αυτό που προκύπτει για τη βάση.

Υπολογισμοί χρησιμοποιώντας τον τύπο Heron: √ (72 * (72-22) * (72-61) 2) \u003d √ 435600 \u003d 660 cm 2. Υπολογισμοί που θα δώσουν την πλευρική επιφάνεια: 660 * 6 \u003d 3960 cm 2. Απομένει να τα αθροίσουμε για να μάθουμε ολόκληρη την επιφάνεια: 5217,47≈5217 cm 2.

Απάντηση.Η βάση είναι 726√3 cm 2, η πλαϊνή επιφάνεια είναι 3960 cm 2, ολόκληρη η επιφάνεια είναι 5217 cm 2.

Ο κύλινδρος είναι ένα σχήμα που αποτελείται από μια κυλινδρική επιφάνεια και δύο κύκλους που βρίσκονται παράλληλα. Ο υπολογισμός του εμβαδού ενός κυλίνδρου είναι ένα πρόβλημα στον γεωμετρικό κλάδο των μαθηματικών, το οποίο μπορεί να λυθεί πολύ απλά. Υπάρχουν πολλές μέθοδοι για την επίλυσή του, οι οποίες στο τέλος καταλήγουν πάντα σε έναν τύπο.

Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός κυλίνδρου - κανόνες υπολογισμού

• Για να μάθετε την περιοχή του κυλίνδρου, πρέπει να προσθέσετε τις δύο περιοχές της βάσης με το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας: S = Side + 2Sbase. Σε μια πιο λεπτομερή έκδοση, αυτός ο τύπος μοιάζει με αυτό: S= 2 π rh+ 2 π r2= 2 π r(h+ r).
• Το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας ενός δεδομένου γεωμετρικού σώματος μπορεί να υπολογιστεί εάν είναι γνωστά το ύψος του και η ακτίνα του κύκλου που βρίσκεται στη βάση του. Σε αυτήν την περίπτωση, μπορείτε να εκφράσετε την ακτίνα από την περιφέρεια, εάν δίνεται. Το ύψος μπορεί να βρεθεί εάν η τιμή της γεννήτριας καθορίζεται στη συνθήκη. Σε αυτήν την περίπτωση, η γεννήτρια θα είναι ίση με το ύψος. Ο τύπος για την πλευρική επιφάνεια αυτού του σώματος μοιάζει με αυτό: S= 2 π rh.
• Το εμβαδόν της βάσης υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο για την εύρεση του εμβαδού ενός κύκλου: S osn= π r 2 . Σε ορισμένα προβλήματα μπορεί να μην δίνεται η ακτίνα, αλλά να δίνεται η περιφέρεια. Με αυτόν τον τύπο, η ακτίνα εκφράζεται αρκετά εύκολα. С=2π r, r= С/2π. Πρέπει επίσης να θυμάστε ότι η ακτίνα είναι η μισή της διαμέτρου.
• Κατά την εκτέλεση όλων αυτών των υπολογισμών, ο αριθμός π συνήθως δεν μεταφράζεται σε 3,14159... Απλώς πρέπει να προστεθεί δίπλα στην αριθμητική τιμή που προέκυψε ως αποτέλεσμα των υπολογισμών.
• Στη συνέχεια, πρέπει απλώς να πολλαπλασιάσετε την περιοχή που βρέθηκε της βάσης κατά 2 και να προσθέσετε στον αριθμό που προκύπτει την υπολογιζόμενη περιοχή της πλευρικής επιφάνειας του σχήματος.
• Εάν το πρόβλημα υποδεικνύει ότι ο κύλινδρος έχει αξονική τομή και ότι είναι ορθογώνιο, τότε η λύση θα είναι ελαφρώς διαφορετική. Σε αυτή την περίπτωση, το πλάτος του ορθογωνίου θα είναι η διάμετρος του κύκλου που βρίσκεται στη βάση του σώματος. Το μήκος του σχήματος θα είναι ίσο με τη γεννήτρια ή το ύψος του κυλίνδρου. Είναι απαραίτητο να υπολογίσετε τις απαιτούμενες τιμές και να τις αντικαταστήσετε στον ήδη γνωστό τύπο. Σε αυτή την περίπτωση, το πλάτος του ορθογωνίου πρέπει να διαιρεθεί με δύο για να βρεθεί η περιοχή της βάσης. Για να βρεθεί η πλευρική επιφάνεια, το μήκος πολλαπλασιάζεται με δύο ακτίνες και τον αριθμό π.
• Μπορείτε να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός δεδομένου γεωμετρικού σώματος μέσω του όγκου του. Για να γίνει αυτό, πρέπει να εξαγάγετε την τιμή που λείπει από τον τύπο V=π r 2 h.
• Δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο στον υπολογισμό του εμβαδού ενός κυλίνδρου. Απλώς πρέπει να γνωρίζετε τους τύπους και να είστε σε θέση να αντλήσετε από αυτούς τις ποσότητες που είναι απαραίτητες για τη διενέργεια υπολογισμών.

Επιφάνεια της πυραμίδας. Σε αυτό το άρθρο θα εξετάσουμε προβλήματα με κανονικές πυραμίδες. Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω ότι μια κανονική πυραμίδα είναι μια πυραμίδα της οποίας η βάση είναι ένα κανονικό πολύγωνο, η κορυφή της πυραμίδας προβάλλεται στο κέντρο αυτού του πολυγώνου.

Η πλευρική όψη μιας τέτοιας πυραμίδας είναι ένα ισοσκελές τρίγωνο.Το υψόμετρο αυτού του τριγώνου που προέρχεται από την κορυφή μιας κανονικής πυραμίδας ονομάζεται απόθεμα, SF - απόθεμα:

Στον τύπο του προβλήματος που παρουσιάζεται παρακάτω, πρέπει να βρείτε την επιφάνεια ολόκληρης της πυραμίδας ή την περιοχή της πλευρικής της επιφάνειας. Το ιστολόγιο έχει ήδη συζητήσει αρκετά προβλήματα με κανονικές πυραμίδες, όπου η ερώτηση αφορούσε την εύρεση των στοιχείων (ύψος, άκρη βάσης, πλευρική άκρη).

Οι εργασίες Ενιαίας Εξέτασης Πολιτείας εξετάζουν συνήθως κανονικές τριγωνικές, τετράγωνες και εξαγωνικές πυραμίδες. Δεν έχω δει κανένα πρόβλημα με κανονικές πενταγωνικές και επταγωνικές πυραμίδες.

Ο τύπος για το εμβαδόν ολόκληρης της επιφάνειας είναι απλός - πρέπει να βρείτε το άθροισμα του εμβαδού της βάσης της πυραμίδας και του εμβαδού της πλευρικής της επιφάνειας:

Ας εξετάσουμε τα καθήκοντα:

Οι πλευρές της βάσης μιας κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας είναι 72, οι πλευρικές ακμές είναι 164. Βρείτε την επιφάνεια αυτής της πυραμίδας.

Η επιφάνεια της πυραμίδας είναι ίση με το άθροισμα των εμβαδών της πλευρικής επιφάνειας και της βάσης:

*Η πλευρική επιφάνεια αποτελείται από τέσσερα τρίγωνα ίσου εμβαδού. Η βάση της πυραμίδας είναι ένα τετράγωνο.

Μπορούμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν της πλευράς της πυραμίδας χρησιμοποιώντας:

Έτσι, η επιφάνεια της πυραμίδας είναι:

Απάντηση: 28224

Οι πλευρές της βάσης μιας κανονικής εξαγωνικής πυραμίδας είναι 22, οι πλευρικές ακμές είναι 61. Βρείτε την περιοχή της πλευρικής επιφάνειας αυτής της πυραμίδας.

Η βάση μιας κανονικής εξαγωνικής πυραμίδας είναι ένα κανονικό εξάγωνο.

Η πλευρική επιφάνεια αυτής της πυραμίδας αποτελείται από έξι περιοχές ίσων τριγώνων με πλευρές 61,61 και 22:

Ας βρούμε το εμβαδόν του τριγώνου χρησιμοποιώντας τον τύπο του Heron:

Έτσι, το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας είναι:

Απάντηση: 3240

*Στα προβλήματα που παρουσιάστηκαν παραπάνω, η περιοχή της πλευρικής όψης μπορούσε να βρεθεί χρησιμοποιώντας έναν διαφορετικό τύπο τριγώνου, αλλά για αυτό πρέπει να υπολογίσετε το απόθεμα.

27155. Βρείτε το εμβαδόν επιφάνειας μιας κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας της οποίας οι πλευρές βάσης είναι 6 και της οποίας το ύψος είναι 4.

Για να βρούμε την επιφάνεια μιας πυραμίδας, πρέπει να γνωρίζουμε το εμβαδόν της βάσης και το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας:

Το εμβαδόν της βάσης είναι 36 αφού είναι τετράγωνο με πλευρά 6.

Η πλευρική επιφάνεια αποτελείται από τέσσερις όψεις, οι οποίες είναι ίσα τρίγωνα. Για να βρείτε την περιοχή ενός τέτοιου τριγώνου, πρέπει να γνωρίζετε τη βάση και το ύψος του (απόθεμα):

* Το εμβαδόν ενός τριγώνου είναι ίσο με το μισό γινόμενο της βάσης και το ύψος που τραβιέται σε αυτή τη βάση.

Η βάση είναι γνωστή, είναι ίση με έξι. Ας βρούμε το ύψος. Σκεφτείτε ένα ορθογώνιο τρίγωνο (επισημασμένο με κίτρινο χρώμα):

Το ένα πόδι είναι ίσο με 4, αφού αυτό είναι το ύψος της πυραμίδας, το άλλο είναι ίσο με 3, αφού είναι ίσο με το μισό της άκρης της βάσης. Μπορούμε να βρούμε την υποτείνουσα χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα:

Αυτό σημαίνει ότι η περιοχή της πλευρικής επιφάνειας της πυραμίδας είναι:

Έτσι, η επιφάνεια ολόκληρης της πυραμίδας είναι:

Απάντηση: 96

27069. Οι πλευρές της βάσης μιας κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας είναι ίσες με 10, οι πλευρικές ακμές είναι ίσες με 13. Βρείτε το εμβαδόν της επιφάνειας αυτής της πυραμίδας.

27070. Οι πλευρές της βάσης μιας κανονικής εξαγωνικής πυραμίδας είναι ίσες με 10, οι πλευρικές ακμές είναι ίσες με 13. Βρείτε την πλευρική επιφάνεια αυτής της πυραμίδας.

Υπάρχουν επίσης τύποι για την πλευρική επιφάνεια μιας κανονικής πυραμίδας. Σε μια κανονική πυραμίδα, η βάση είναι μια ορθογώνια προβολή της πλευρικής επιφάνειας, επομένως:

Π- περίμετρος βάσης, μεγάλο- αποθέμα της πυραμίδας

*Αυτός ο τύπος βασίζεται στον τύπο για το εμβαδόν ενός τριγώνου.

Εάν θέλετε να μάθετε περισσότερα για το πώς προέρχονται αυτοί οι τύποι, μην το χάσετε, ακολουθήστε τη δημοσίευση των άρθρων.Αυτό είναι όλο. Καλή σου τύχη!

Με εκτίμηση, Alexander Krutitskikh.

P.S: Θα σας ήμουν ευγνώμων αν μου πείτε για τον ιστότοπο στα κοινωνικά δίκτυα.

Ο κύλινδρος είναι ένα γεωμετρικό σώμα που οριοθετείται από δύο παράλληλα επίπεδα και μια κυλινδρική επιφάνεια. Στο άρθρο θα μιλήσουμε για το πώς να βρούμε την περιοχή ενός κυλίνδρου και, χρησιμοποιώντας τον τύπο, θα λύσουμε πολλά προβλήματα ως παράδειγμα.

Ένας κύλινδρος έχει τρεις επιφάνειες: μια κορυφή, μια βάση και μια πλευρική επιφάνεια.

Η κορυφή και η βάση ενός κυλίνδρου είναι κύκλοι και είναι εύκολο να αναγνωριστούν.

Είναι γνωστό ότι το εμβαδόν ενός κύκλου είναι ίσο με πr 2. Επομένως, ο τύπος για το εμβαδόν δύο κύκλων (η κορυφή και η βάση του κυλίνδρου) θα είναι πr 2 + πr 2 = 2πr 2.

Η τρίτη, πλευρική επιφάνεια του κυλίνδρου, είναι το καμπύλο τοίχωμα του κυλίνδρου. Για να φανταστούμε καλύτερα αυτή την επιφάνεια, ας προσπαθήσουμε να την μεταμορφώσουμε για να αποκτήσει αναγνωρίσιμο σχήμα. Φανταστείτε ότι ο κύλινδρος είναι ένα συνηθισμένο κουτί από κασσίτερο που δεν έχει επάνω καπάκι ή κάτω. Ας κάνουμε μια κάθετη τομή στο πλευρικό τοίχωμα από την κορυφή προς το κάτω μέρος του κουτιού (Βήμα 1 στο σχήμα) και ας προσπαθήσουμε να ανοίξουμε (ισιώσει) όσο το δυνατόν περισσότερο το σχήμα που προκύπτει (Βήμα 2).

Αφού ανοίξει πλήρως το βάζο που προκύπτει, θα δούμε μια γνωστή φιγούρα (Βήμα 3), αυτό είναι ένα ορθογώνιο. Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου είναι εύκολο να υπολογιστεί. Αλλά πριν από αυτό, ας επιστρέψουμε για λίγο στον αρχικό κύλινδρο. Η κορυφή του αρχικού κυλίνδρου είναι ένας κύκλος και γνωρίζουμε ότι η περιφέρεια υπολογίζεται με τον τύπο: L = 2πr. Σημειώνεται με κόκκινο χρώμα στο σχήμα.

Όταν το πλευρικό τοίχωμα του κυλίνδρου ανοίξει πλήρως, βλέπουμε ότι η περιφέρεια γίνεται το μήκος του παραλληλογράμμου που προκύπτει. Οι πλευρές αυτού του ορθογωνίου θα είναι η περιφέρεια (L = 2πr) και το ύψος του κυλίνδρου (h). Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου είναι ίσο με το γινόμενο των πλευρών του - S = μήκος x πλάτος = L x h = 2πr x h = 2πrh. Ως αποτέλεσμα, λάβαμε έναν τύπο για τον υπολογισμό του εμβαδού της πλευρικής επιφάνειας του κυλίνδρου.

Τύπος για την πλευρική επιφάνεια ενός κυλίνδρου
S πλευρά = 2πrh

Συνολική επιφάνεια ενός κυλίνδρου

Τέλος, αν προσθέσουμε το εμβαδόν και των τριών επιφανειών, παίρνουμε τον τύπο για τη συνολική επιφάνεια ενός κυλίνδρου. Το εμβαδόν επιφάνειας ενός κυλίνδρου είναι ίσο με το εμβαδόν της κορυφής του κυλίνδρου + το εμβαδόν της βάσης του κυλίνδρου + το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας του κυλίνδρου ή S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Μερικές φορές αυτή η έκφραση γράφεται πανομοιότυπα με τον τύπο 2πr (r + h).

Τύπος για τη συνολική επιφάνεια ενός κυλίνδρου
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r – ακτίνα κυλίνδρου, h – ύψος κυλίνδρου

Παραδείγματα υπολογισμού της επιφάνειας ενός κυλίνδρου

Για να κατανοήσουμε τους παραπάνω τύπους, ας προσπαθήσουμε να υπολογίσουμε την επιφάνεια ενός κυλίνδρου χρησιμοποιώντας παραδείγματα.

1. Η ακτίνα της βάσης του κυλίνδρου είναι 2, το ύψος είναι 3. Προσδιορίστε την περιοχή της πλευρικής επιφάνειας του κυλίνδρου.

Η συνολική επιφάνεια υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο: S πλευρά. = 2πrh

S πλευρά = 2 * 3,14 * 2 * 3

S πλευρά = 6,28 * 6

S πλευρά = 37,68

Η πλευρική επιφάνεια του κυλίνδρου είναι 37,68.

2. Πώς να βρείτε την επιφάνεια ενός κυλίνδρου εάν το ύψος είναι 4 και η ακτίνα είναι 6;

Η συνολική επιφάνεια υπολογίζεται με τον τύπο: S = 2πr 2 + 2πrh

S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4

S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24

είναι ένα πολύπλευρο σχήμα, του οποίου η βάση είναι ένα πολύγωνο και οι υπόλοιπες όψεις παριστάνονται από τρίγωνα με κοινή κορυφή.

Αν η βάση είναι τετράγωνο, τότε ονομάζεται η πυραμίδα τετράπλευρος, αν ένα τρίγωνο – τότε τριγωνικός. Το ύψος της πυραμίδας τραβιέται από την κορυφή της κάθετα στη βάση. Χρησιμοποιείται επίσης για τον υπολογισμό του εμβαδού αποθεμα– το ύψος του πλαϊνού προσώπου, χαμηλωμένο από την κορυφή του.
Ο τύπος για το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας μιας πυραμίδας είναι το άθροισμα των εμβαδών των πλευρικών της όψεων, οι οποίες είναι ίσες μεταξύ τους. Ωστόσο, αυτή η μέθοδος υπολογισμού χρησιμοποιείται πολύ σπάνια. Βασικά, το εμβαδόν της πυραμίδας υπολογίζεται μέσω της περιμέτρου της βάσης και του αποθέματος:

Ας εξετάσουμε ένα παράδειγμα υπολογισμού του εμβαδού της πλευρικής επιφάνειας μιας πυραμίδας.

Ας δοθεί μια πυραμίδα με βάση ABCDE και κορυφή F. AB =BC =CD =DE =EA =3 εκ. Απόθεμα a = 5 εκ. Βρείτε το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας της πυραμίδας.
Ας βρούμε την περίμετρο. Εφόσον όλα τα άκρα της βάσης είναι ίσα, η περίμετρος του πενταγώνου θα είναι ίση με:
Τώρα μπορείτε να βρείτε την πλευρική περιοχή της πυραμίδας:

Περιοχή κανονικής τριγωνικής πυραμίδας

Μια κανονική τριγωνική πυραμίδα αποτελείται από μια βάση στην οποία βρίσκεται ένα κανονικό τρίγωνο και τρεις πλευρικές όψεις που είναι ίσες σε εμβαδόν.
Ο τύπος για την πλευρική επιφάνεια μιας κανονικής τριγωνικής πυραμίδας μπορεί να υπολογιστεί με διαφορετικούς τρόπους. Μπορείτε να εφαρμόσετε τον συνήθη τύπο υπολογισμού χρησιμοποιώντας την περίμετρο και το απόθεμα ή μπορείτε να βρείτε την περιοχή ενός προσώπου και να την πολλαπλασιάσετε επί τρία. Δεδομένου ότι η όψη μιας πυραμίδας είναι ένα τρίγωνο, εφαρμόζουμε τον τύπο για το εμβαδόν ενός τριγώνου. Θα απαιτήσει ένα απόθεμα και το μήκος της βάσης. Ας εξετάσουμε ένα παράδειγμα υπολογισμού της πλευρικής επιφάνειας μιας κανονικής τριγωνικής πυραμίδας.

Δίνεται μια πυραμίδα με απόθεμα a = 4 cm και όψη βάσης b = 2 cm. Βρείτε το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας της πυραμίδας.
Αρχικά, βρείτε την περιοχή μιας από τις πλευρικές όψεις. Σε αυτή την περίπτωση θα είναι:
Αντικαταστήστε τις τιμές στον τύπο:
Δεδομένου ότι σε μια κανονική πυραμίδα όλες οι πλευρές είναι ίδιες, το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας της πυραμίδας θα είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των τριών όψεων. Αντίστοιχα:

Περιοχή μιας κολοβωμένης πυραμίδας

ΚολοβόςΠυραμίδα είναι ένα πολύεδρο που σχηματίζεται από μια πυραμίδα και η διατομή της είναι παράλληλη με τη βάση.
Ο τύπος για το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας μιας κολοβωμένης πυραμίδας είναι πολύ απλός. Το εμβαδόν είναι ίσο με το γινόμενο του μισού του αθροίσματος των περιμέτρων των βάσεων και του αποθέματος: