Η τυχαία μεταβλητή καθορίζεται από την κατανομή. Διακριτές τυχαίες μεταβλητές

Σε αντίθεση με μια διακριτή τυχαία μεταβλητή, οι συνεχείς τυχαίες μεταβλητές δεν μπορούν να καθοριστούν με τη μορφή πίνακα του νόμου κατανομής της, καθώς είναι αδύνατο να παραθέσουμε και να γράψουμε όλες τις τιμές της σε μια συγκεκριμένη σειρά. Ένας πιθανός τρόπος για να ορίσετε μια συνεχή τυχαία μεταβλητή είναι να χρησιμοποιήσετε μια συνάρτηση κατανομής.

ΟΡΙΣΜΟΣ. Η συνάρτηση κατανομής είναι μια συνάρτηση που καθορίζει την πιθανότητα μια τυχαία μεταβλητή να λάβει την τιμή που αναπαρίσταται στον αριθμητικό άξονα από ένα σημείο που βρίσκεται στα αριστερά του σημείου x, δηλ.

Μερικές φορές αντί του όρου «συνάρτηση διανομής» χρησιμοποιείται ο όρος «Ολοκληρωμένη συνάρτηση».

Ιδιότητες της συνάρτησης διανομής:

1. Οι τιμές της συνάρτησης κατανομής ανήκουν στο τμήμα: 0F(x)1
2. Η F(x) είναι μια μη φθίνουσα συνάρτηση, δηλ. F(x 2)F(x 1), εάν x 2 >x 1

Συμπέρασμα 1. Η πιθανότητα ότι μια τυχαία μεταβλητή θα λάβει μια τιμή που περιέχεται στο διάστημα (a,b) είναι ίση με την αύξηση της συνάρτησης κατανομής σε αυτό το διάστημα:

Μικρός σταυρός

Παράδειγμα 9. Η τυχαία μεταβλητή X δίνεται από τη συνάρτηση κατανομής:

Βρείτε την πιθανότητα ότι ως αποτέλεσμα της δοκιμής X θα πάρει μια τιμή που ανήκει στο διάστημα (0;2): P(0

Λύση: Αφού στο διάστημα (0;2) κατά συνθήκη, F(x)=x/4+1/4, τότε F(2)-F(0)=(2/4+1/4)-(0 /4+1/4)=1/2. Άρα P(0

Συμπέρασμα 2. Η πιθανότητα ότι μια συνεχής τυχαία μεταβλητή Χ θα λάβει μια συγκεκριμένη τιμή είναι μηδέν.

Συμπέρασμα 3. Εάν είναι δυνατές οι τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής ανήκουν στο διάστημα (a;b), τότε: 1) F(x)=0 για xa; 2) F(x)=1 στο xb.
Ισχύουν οι ακόλουθες οριακές σχέσεις:

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης κατανομής βρίσκεται στη ζώνη που περιορίζεται από τις ευθείες y=0, y=1 (πρώτη ιδιότητα). Καθώς το x αυξάνεται στο διάστημα (a;b), το οποίο περιέχει όλες τις πιθανές τιμές της τυχαίας μεταβλητής, το γράφημα "ανεβαίνει". Στο xa, οι τεταγμένες του γραφήματος είναι ίσες με μηδέν. Στο xb οι τεταγμένες του γραφήματος είναι ίσες με ένα:

Εικόνα-1

Παράδειγμα 10. Μια διακριτή τυχαία μεταβλητή Χ δίνεται από έναν πίνακα κατανομής:

Χ	1	4	8
Π	0.3	0.1	0.6

Βρείτε τη συνάρτηση κατανομής και σχεδιάστε την.
Λύση: Η συνάρτηση κατανομής μπορεί να γραφτεί αναλυτικά ως εξής:

Εικόνα-2

ΟΡΙΣΜΟΣ: Η πυκνότητα κατανομής πιθανότητας μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής X είναι η συνάρτηση f(x) - η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης κατανομής F(x): f(x)=F"(x)

Από αυτόν τον ορισμό προκύπτει ότι η συνάρτηση κατανομής είναι ένα αντιπαράγωγο της πυκνότητας κατανομής.

Θεώρημα. Η πιθανότητα ότι μια συνεχής τυχαία μεταβλητή X θα λάβει μια τιμή που ανήκει στο διάστημα (a;b) είναι ίση με ένα ορισμένο ολοκλήρωμα της πυκνότητας κατανομής, που λαμβάνεται στην περιοχή από a έως b:

(8)

Ιδιότητες κατανομής πυκνότητας πιθανότητας:

1. Η πυκνότητα πιθανότητας είναι μη αρνητική συνάρτηση: f(x)0.
2. Το οριστικό ολοκλήρωμα από -∞ έως +∞ της πυκνότητας πιθανότητας μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής είναι ίσο με 1: f(x)dx=1.
3. Το οριστικό ολοκλήρωμα από -∞ έως x της πυκνότητας πιθανότητας μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής είναι ίσο με τη συνάρτηση κατανομής αυτής της μεταβλητής: f(x)dx=F(x)

Παράδειγμα 11. Δίνεται η πυκνότητα κατανομής πιθανότητας μιας τυχαίας μεταβλητής Χ

Βρείτε την πιθανότητα ότι ως αποτέλεσμα της δοκιμής X θα πάρει μια τιμή που ανήκει στο διάστημα (0,5;1).

Λύση: Απαιτούμενη πιθανότητα:

Ας επεκτείνουμε τον ορισμό των αριθμητικών χαρακτηριστικών των διακριτών μεγεθών σε συνεχείς ποσότητες. Έστω μια συνεχής τυχαία μεταβλητή X να καθορίζεται από την πυκνότητα κατανομής f(x).

ΟΡΙΣΜΟΣ. Η μαθηματική προσδοκία μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Χ, οι πιθανές τιμές της οποίας ανήκουν στο τμήμα, ονομάζεται καθορισμένο ολοκλήρωμα:

M(x)=xf(x)dx (9)

Εάν είναι δυνατές οι τιμές ανήκουν σε ολόκληρο τον άξονα Ox, τότε:

M(x)=xf(x)dx (10)

Ο τρόπος M 0 (X) μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής X είναι η πιθανή τιμή της στην οποία αντιστοιχεί το τοπικό μέγιστο της πυκνότητας κατανομής.

Η διάμεσος M e (X) μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής X είναι η πιθανή τιμή της, η οποία καθορίζεται από την ισότητα:

P(X e (X))=P(X>M e (X))

ΟΡΙΣΜΟΣ. Η διακύμανση μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής είναι η μαθηματική προσδοκία του τετραγώνου της απόκλισής της. Εάν είναι δυνατές οι τιμές του X ανήκουν στο τμήμα, τότε:

D(x)= 2 f(x)dx (11)
ή
D(x)=x 2 f(x)dx- 2 (11*)

Εάν οι πιθανές τιμές ανήκουν σε ολόκληρο τον άξονα x, τότε.

Τυχαία μεταβλητήΜια μεταβλητή ονομάζεται μια μεταβλητή που, ως αποτέλεσμα κάθε δοκιμής, παίρνει μια προηγουμένως άγνωστη τιμή, ανάλογα με τυχαίους λόγους. Οι τυχαίες μεταβλητές συμβολίζονται με κεφαλαία λατινικά γράμματα: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Ανάλογα με τον τύπο τους, οι τυχαίες μεταβλητές μπορούν να είναι διακεκριμένοςΚαι συνεχής.

Διακριτή τυχαία μεταβλητή- αυτή είναι μια τυχαία μεταβλητή της οποίας οι τιμές δεν μπορούν να είναι περισσότερες από μετρήσιμες, δηλαδή είτε πεπερασμένες είτε μετρήσιμες. Με τον όρο αριθμησιμότητα εννοούμε ότι οι τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής μπορούν να αριθμηθούν.

Παράδειγμα 1 . Ακολουθούν παραδείγματα διακριτών τυχαίων μεταβλητών:

α) ο αριθμός των χτυπημάτων στο στόχο με $n$ βολές, εδώ οι πιθανές τιμές είναι $0,\ 1,\ \dots,\ n$.

β) ο αριθμός των εμβλημάτων που έπεσαν κατά την ρίψη ενός νομίσματος, εδώ οι πιθανές τιμές είναι $0,\ 1,\ \dots,\ n$.

γ) τον αριθμό των πλοίων που φτάνουν επί του σκάφους (ένα μετρήσιμο σύνολο τιμών).

δ) τον αριθμό των κλήσεων που φτάνουν στο PBX (μετρήσιμο σύνολο τιμών).

1. Νόμος κατανομής πιθανοτήτων μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής.

Μια διακριτή τυχαία μεταβλητή $X$ μπορεί να πάρει τιμές $x_1,\dots ,\ x_n$ με πιθανότητες $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. Η αντιστοιχία μεταξύ αυτών των τιμών και των πιθανοτήτων τους ονομάζεται νόμος κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής. Κατά κανόνα, αυτή η αντιστοιχία καθορίζεται χρησιμοποιώντας έναν πίνακα, η πρώτη γραμμή του οποίου υποδεικνύει τις τιμές $x_1,\dots ,\ x_n$ και η δεύτερη γραμμή περιέχει τις πιθανότητες $p_1,\dots ,\ p_n$ που αντιστοιχούν σε αυτές τις αξίες.

$\begin(πίνακας)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(πίνακας)$

Παράδειγμα 2 . Έστω η τυχαία μεταβλητή $X$ ο αριθμός των πόντων που έλαβαν όταν πετάμε μια μήτρα. Μια τέτοια τυχαία μεταβλητή $X$ μπορεί να λάβει τις ακόλουθες τιμές: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Οι πιθανότητες όλων αυτών των τιμών είναι ίσες με $1/6$. Τότε ο νόμος της κατανομής πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής $X$:

$\begin(πίνακας)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(πίνακας)$

Σχόλιο. Εφόσον στον νόμο κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής $X$ τα γεγονότα $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ σχηματίζουν μια πλήρη ομάδα γεγονότων, τότε το άθροισμα των πιθανοτήτων πρέπει να είναι ίσο με ένα, δηλαδή $ \sum(p_i)=1$.

2. Μαθηματική προσδοκία μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής.

Μαθηματική προσδοκία τυχαίας μεταβλητήςθέτει την «κεντρική» σημασία του. Για μια διακριτή τυχαία μεταβλητή, η μαθηματική προσδοκία υπολογίζεται ως το άθροισμα των γινομένων των τιμών $x_1,\dots,\ x_n$ από τις πιθανότητες $p_1,\dots,\ p_n$ που αντιστοιχούν σε αυτές τις τιμές, δηλαδή : $M\left(X\right)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. Στην αγγλόφωνη βιβλιογραφία, χρησιμοποιείται ένας άλλος συμβολισμός $E\left(X\right)$.

Ιδιότητες της μαθηματικής προσδοκίας$M\αριστερά(X\δεξιά)$:

1. Το $M\left(X\right)$ βρίσκεται ανάμεσα στις μικρότερες και μεγαλύτερες τιμές της τυχαίας μεταβλητής $X$.
2. Η μαθηματική προσδοκία μιας σταθεράς είναι ίση με την ίδια τη σταθερά, δηλ. $M\left(C\right)=C$.
3. Ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο της μαθηματικής προσδοκίας: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Η μαθηματική προσδοκία του αθροίσματος των τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το άθροισμα των μαθηματικών προσδοκιών τους: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. Η μαθηματική προσδοκία του γινομένου ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το γινόμενο των μαθηματικών προσδοκιών τους: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Παράδειγμα 3 . Ας βρούμε τη μαθηματική προσδοκία της τυχαίας μεταβλητής $X$ από το παράδειγμα $2$.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\πάνω (6))+2\cdot ((1)\πάνω (6) )+3\cdot ((1)\πάνω (6))+4\cdot ((1)\πάνω (6))+5\cdot ((1)\πάνω (6))+6\cdot ((1 )\πάνω (6))=3,5.$$

Μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι το $M\left(X\right)$ βρίσκεται ανάμεσα στις μικρότερες ($1$) και μεγαλύτερες ($6$) τιμές της τυχαίας μεταβλητής $X$.

Παράδειγμα 4 . Είναι γνωστό ότι η μαθηματική προσδοκία της τυχαίας μεταβλητής $X$ είναι ίση με $M\left(X\right)=2$. Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία της τυχαίας μεταβλητής $3X+5$.

Χρησιμοποιώντας τις παραπάνω ιδιότητες, παίρνουμε $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=11$.

Παράδειγμα 5 . Είναι γνωστό ότι η μαθηματική προσδοκία της τυχαίας μεταβλητής $X$ είναι ίση με $M\left(X\right)=4$. Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία της τυχαίας μεταβλητής $2X-9$.

Χρησιμοποιώντας τις παραπάνω ιδιότητες, παίρνουμε $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. Διασπορά μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής.

Πιθανές τιμές τυχαίων μεταβλητών με ίσες μαθηματικές προσδοκίες μπορεί να διασκορπίζονται διαφορετικά γύρω από τις μέσες τιμές τους. Για παράδειγμα, σε δύο ομάδες μαθητών ο μέσος όρος βαθμολογίας για την εξέταση στη θεωρία πιθανοτήτων ήταν 4, αλλά στη μία ομάδα όλοι ήταν καλοί μαθητές και στην άλλη ομάδα υπήρχαν μόνο μαθητές Γ και αριστούχοι. Επομένως, υπάρχει ανάγκη για ένα αριθμητικό χαρακτηριστικό μιας τυχαίας μεταβλητής που θα δείχνει την εξάπλωση των τιμών της τυχαίας μεταβλητής γύρω από τις μαθηματικές προσδοκίες της. Αυτό το χαρακτηριστικό είναι η διασπορά.

Διακύμανση μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητήςΤο $X$ ισούται με:

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2).\ $$

Στην αγγλική βιβλιογραφία χρησιμοποιείται ο συμβολισμός $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Πολύ συχνά η διακύμανση $D\left(X\right)$ υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\ αριστερά(Χ \δεξιά)\δεξιά))^2$.

Ιδιότητες διασποράς$D\αριστερά(X\δεξιά)$:

1. Η διακύμανση είναι πάντα μεγαλύτερη ή ίση με το μηδέν, δηλ. $D\αριστερά(X\δεξιά)\ge 0$.
2. Η διακύμανση της σταθεράς είναι μηδέν, δηλ. $D\left(C\right)=0$.
3. Ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο της διασποράς με την προϋπόθεση ότι είναι τετράγωνο, δηλ. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
4. Η διακύμανση του αθροίσματος των ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το άθροισμα των διακυμάνσεων τους, δηλ. $D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
5. Η διακύμανση της διαφοράς μεταξύ ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το άθροισμα των διακυμάνσεων τους, δηλ. $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.

Παράδειγμα 6 . Ας υπολογίσουμε τη διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής $X$ από το παράδειγμα $2$.

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\over (6))\cdot (\left(1-3,5\right))^2+((1)\over (6))\cdot (\left(2-3,5\right))^2+ \dots +( (1)\πάνω (6))\cdot (\αριστερά(6-3,5\δεξιά))^2=((35)\πάνω (12))\περίπου 2,92.$$

Παράδειγμα 7 . Είναι γνωστό ότι η διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής $X$ είναι ίση με $D\left(X\right)=2$. Βρείτε τη διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής $4X+1$.

Χρησιμοποιώντας τις παραπάνω ιδιότητες, βρίσκουμε $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ αριστερά(Χ\δεξιά)=16\cdot 2=32$.

Παράδειγμα 8 . Είναι γνωστό ότι η διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής $X$ είναι ίση με $D\left(X\right)=3$. Βρείτε τη διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής $3-2X$.

Χρησιμοποιώντας τις παραπάνω ιδιότητες, βρίσκουμε $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ αριστερά(Χ\δεξιά)=4\cdot 3=12$.

4. Συνάρτηση κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής.

Η μέθοδος αναπαράστασης μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής με τη μορφή μιας σειράς διανομής δεν είναι η μόνη και το πιο σημαντικό, δεν είναι καθολική, αφού μια συνεχής τυχαία μεταβλητή δεν μπορεί να καθοριστεί χρησιμοποιώντας μια σειρά διανομής. Υπάρχει ένας άλλος τρόπος να αναπαραστήσουμε μια τυχαία μεταβλητή - τη συνάρτηση κατανομής.

Λειτουργία διανομήςΗ τυχαία μεταβλητή $X$ ονομάζεται συνάρτηση $F\left(x\right)$, η οποία καθορίζει την πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή $X$ να λάβει τιμή μικρότερη από κάποια σταθερή τιμή $x$, δηλαδή $F\ αριστερά(x\δεξιά)=P\αριστερά(X< x\right)$

Ιδιότητες της συνάρτησης διανομής:

1. $0\le F\αριστερά(x\δεξιά)\le 1$.
2. Η πιθανότητα ότι η τυχαία μεταβλητή $X$ θα λάβει τιμές από το διάστημα $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ είναι ίση με τη διαφορά μεταξύ των τιμών της συνάρτησης κατανομής στα άκρα αυτού διάστημα: $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - μη φθίνουσα.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \δεξιά)=1\ )$.

Παράδειγμα 9 . Ας βρούμε τη συνάρτηση κατανομής $F\left(x\right)$ για τον νόμο κατανομής της διακριτής τυχαίας μεταβλητής $X$ από το παράδειγμα $2$.

$\begin(πίνακας)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(πίνακας)$

Αν $x\le 1$, τότε, προφανώς, $F\left(x\right)=0$ (συμπεριλαμβανομένου του $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X< 1\right)=0$).

Αν $1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Αν $2< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Εάν $3< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Αν $4< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Αν $5< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Αν $x > 6$, τότε $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right) +P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)+P\left(X=6\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1$.

Άρα $F(x)=\αριστερά\(\αρχή(μήτρα)
0,\ at\ x\le 1,\\
1/6, στο \ 1< x\le 2,\\
1/3,\ at\ 2< x\le 3,\\
1/2, στο\ 3< x\le 4,\\
2/3,\ at\ 4< x\le 5,\\
5/6,\ at\ 4< x\le 5,\\
1,\ για\ x > 6.
\end(matrix)\right.$

4. Πυκνότητα πιθανότητας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής

Μια συνεχής τυχαία μεταβλητή μπορεί να καθοριστεί χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση κατανομής φά(x) . Αυτή η μέθοδος ανάθεσης δεν είναι η μόνη. Μια συνεχής τυχαία μεταβλητή μπορεί επίσης να καθοριστεί χρησιμοποιώντας μια άλλη συνάρτηση που ονομάζεται πυκνότητα κατανομής ή πυκνότητα πιθανότητας (μερικές φορές ονομάζεται διαφορική συνάρτηση).

Ορισμός 4.1: Πυκνότητα κατανομής συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Χκαλέστε τη συνάρτηση φά (x) - η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης κατανομής φά(x) :

φά ( x ) = φά "( x ) .

Από αυτόν τον ορισμό προκύπτει ότι η συνάρτηση κατανομής είναι ένα αντιπαράγωγο της πυκνότητας κατανομής. Σημειώστε ότι η πυκνότητα κατανομής δεν είναι εφαρμόσιμη για να περιγράψει την κατανομή πιθανότητας μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής.

Πιθανότητα μια συνεχής τυχαία μεταβλητή να πέσει σε ένα δεδομένο διάστημα

Γνωρίζοντας την πυκνότητα κατανομής, μπορείτε να υπολογίσετε την πιθανότητα μια συνεχής τυχαία μεταβλητή να λάβει μια τιμή που ανήκει σε ένα δεδομένο διάστημα.

Θεώρημα: Η πιθανότητα ότι μια συνεχής τυχαία μεταβλητή X θα λάβει τιμές που ανήκουν στο διάστημα (ένα, σι), είναι ίσο με ένα ορισμένο ολοκλήρωμα της πυκνότητας κατανομής, που λαμβάνεται στην περιοχή απόένανασι :

Απόδειξη:Χρησιμοποιούμε την αναλογία

Π(ένα ≤ Χσι) = φά(σι) – φά(ένα).

Σύμφωνα με τον τύπο Newton-Leibniz,

Ετσι,

.

Επειδή Π(ένα ≤ Χ σι)= Π(ένα Χ σι) , τότε επιτέλους παίρνουμε

.

Γεωμετρικά, το αποτέλεσμα που προκύπτει μπορεί να ερμηνευτεί ως εξής: η πιθανότητα μια συνεχής τυχαία μεταβλητή να πάρει μια τιμή που ανήκει στο διάστημα (ένα, σι), ίσο με το εμβαδόν ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς που οριοθετείται από τον άξοναΒόδι, καμπύλη κατανομήςφά(x) και ευθείαx = έναΚαιx = σι.

Σχόλιο:Ειδικότερα, εάν φά(x) – η συνάρτηση είναι άρτια και τα άκρα του διαστήματος είναι συμμετρικά ως προς την αρχή, λοιπόν

.

Παράδειγμα.Δίνεται η πυκνότητα πιθανότητας μιας τυχαίας μεταβλητής Χ

Βρείτε την πιθανότητα ότι ως αποτέλεσμα της δοκιμής Χθα λάβει τιμές που ανήκουν στο διάστημα (0,5, 1).

Διάλυμα:Απαιτούμενη πιθανότητα

.

Εύρεση της συνάρτησης κατανομής από γνωστή πυκνότητα κατανομής

Γνωρίζοντας την πυκνότητα κατανομής φά(x) , μπορούμε να βρούμε τη συνάρτηση διανομής φά(x) σύμφωνα με τον τύπο

.

Πραγματικά, φά(x) = Π(Χ x) = Π(-∞ Χ x) .

Οθεν,

.

Ετσι, Γνωρίζοντας την πυκνότητα κατανομής, μπορείτε να βρείτε τη συνάρτηση κατανομής. Φυσικά, από μια γνωστή συνάρτηση κατανομής μπορεί κανείς να βρει την πυκνότητα κατανομής, συγκεκριμένα:

φά(x) = φά"(x).

Παράδειγμα.Βρείτε τη συνάρτηση κατανομής για τη δεδομένη πυκνότητα κατανομής:

Διάλυμα:Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο

Αν x ≤ ένα, Αυτό φά(x) = 0 , ως εκ τούτου, φά(x) = 0 . Αν α, λοιπόν f(x) = 1/(b-a),

όθεν,

.

Αν x > σι, Αυτό

.

Άρα, η απαιτούμενη συνάρτηση διανομής

Σχόλιο:Λάβαμε τη συνάρτηση κατανομής μιας ομοιόμορφα κατανεμημένης τυχαίας μεταβλητής (βλ. ομοιόμορφη κατανομή).

Ιδιότητες πυκνότητας κατανομής

Ιδιοκτησία 1:Η πυκνότητα κατανομής είναι μια μη αρνητική συνάρτηση:

φά ( x ) ≥ 0 .

Ιδιοκτησία 2:Το ακατάλληλο ολοκλήρωμα της πυκνότητας κατανομής στην περιοχή από -∞ έως ∞ είναι ίσο με μονάδα:

.

Σχόλιο:Το γράφημα πυκνότητας κατανομής ονομάζεται καμπύλη κατανομής.

Σχόλιο:Η πυκνότητα κατανομής μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής ονομάζεται επίσης νόμος κατανομής.

Παράδειγμα.Η πυκνότητα κατανομής της τυχαίας μεταβλητής έχει την ακόλουθη μορφή:

Βρείτε μια σταθερή παράμετρο ένα.

Διάλυμα:Η πυκνότητα κατανομής πρέπει να ικανοποιεί την συνθήκη , επομένως θα απαιτήσουμε να ικανοποιηθεί η ισότητα

.

Από εδώ
.

.

Ας βρούμε το αόριστο ολοκλήρωμα:

Ας υπολογίσουμε το ακατάλληλο ολοκλήρωμα:

.

Έτσι, η απαιτούμενη παράμετρος

Πιθανή έννοια της πυκνότητας κατανομής φά(x) Αφήνω Χ– συνάρτηση κατανομής συνεχούς τυχαίας μεταβλητής φά(x) = φά"(x) . Εξ ορισμού της πυκνότητας κατανομής,

, ή φά(xΔιαφοράφά(x) +∆x) - Χκαθορίζει την πιθανότητα ότι (x, xθα πάρει μια τιμή που ανήκει στο διάστημα+∆х) (x, xθα πάρει μια τιμή που ανήκει στο διάστημα. Έτσι, το όριο του λόγου πιθανότητας ότι μια συνεχής τυχαία μεταβλητή θα πάρει μια τιμή που ανήκει στο διάστημα , στο μήκος αυτού του διαστήματος (στο∆х→0 ) ισούται με την τιμή της πυκνότητας κατανομής στο σημείο.

Χ φά(x) Η συνάρτηση λοιπόν ) ισούται με την τιμή της πυκνότητας κατανομής στο σημείοκαθορίζει την πυκνότητα κατανομής πιθανότητας για κάθε σημείο

Επειδή φά"(x) = φά(x) . Από τον διαφορικό λογισμό είναι γνωστό ότι η αύξηση μιας συνάρτησης είναι περίπου ίση με το διαφορικό της συνάρτησης, δηλ. Και = ∆ x dx φά(x+∆ x) - φά(x) ≈ φά(x)∆ x.

, Αυτό Η πιθανολογική σημασία αυτής της ισότητας είναι:x, x+∆ xη πιθανότητα μια τυχαία μεταβλητή να πάρει μια τιμή που ανήκει στο διάστημα (.

) είναι περίπου ίσο με το γινόμενο της πυκνότητας πιθανότητας στο σημείο x και το μήκος του διαστήματος Δx: Γεωμετρικά, αυτό το αποτέλεσμα μπορεί να ερμηνευτεί ως εξήςx, x+∆ xη πιθανότητα μια τυχαία μεταβλητή να πάρει μια τιμή που ανήκει στο διάστημα (φά(x).

) είναι περίπου ίσο με το εμβαδόν ενός ορθογωνίου με βάση Δχ και ύψος

5. Τυπικές κατανομές διακριτών τυχαίων μεταβλητών

5.1. Κατανομή Bernoulli Ορισμός 5.1: ΧΤυχαία μεταβλητή 1 Και 0 , λαμβάνοντας δύο τιμές με πιθανότητες («επιτυχία»)σελ και ("αποτυχία") q , κάλεσε:

, Μπερνουλιέφσκαγια Οπου=0,1.

κ

5.2. Διωνυμική κατανομή Αφήστε το να παραχθεί n ανεξάρτητες δοκιμές, σε καθεμία από τις οποίες η εκδήλωσηΕΝΑ με πιθανότητες («επιτυχία»)μπορεί να εμφανιστεί ή όχι. Η πιθανότητα να συμβεί ένα συμβάν σε όλες τις δοκιμές είναι σταθερή και ίση και ("αποτυχία") = 1 - με πιθανότητες («επιτυχία»)).

(εξ ου και η πιθανότητα μη εμφάνισης ΧΘεωρήστε την τυχαία μεταβλητή ανεξάρτητες δοκιμές, σε καθεμία από τις οποίες η εκδήλωση– αριθμός περιστατικών του συμβάντος Χσε αυτές τις δοκιμές. Τυχαία μεταβλητή 0,1,2,… Αφήστε το να παραχθείπαίρνει αξίες με πιθανότητες που υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τον τύπο Bernoulli: Οπου = 0,1,2,… Αφήστε το να παραχθεί.

, Πού Διωνυμικόςονομάζεται κατανομή πιθανότητας που καθορίζεται από τον τύπο του Bernoulli.

Παράδειγμα.Εκτελούνται τρεις βολές στον στόχο και η πιθανότητα να χτυπηθεί κάθε βολή είναι 0,8. Θεωρώντας μια τυχαία μεταβλητή Χ– αριθμός χτυπημάτων στο στόχο. Βρείτε τη σειρά διανομής του.

Διάλυμα:Τυχαία μεταβλητή Χπαίρνει αξίες 0,1,2,3 με πιθανότητες υπολογισμένες με τον τύπο Bernoulli, όπου Αφήστε το να παραχθεί = 3, με πιθανότητες («επιτυχία») = 0,8 (πιθανότητα χτυπήματος), και ("αποτυχία") = 1 - 0,8 = = 0,2 (πιθανότητα να λείπει).

Έτσι, η σειρά διανομής έχει την εξής μορφή:

Χρησιμοποιήστε τον τύπο του Bernoulli για μεγάλες τιμές Αφήστε το να παραχθείαρκετά δύσκολο, επομένως, να υπολογίσετε τις αντίστοιχες πιθανότητες, χρησιμοποιήστε το τοπικό θεώρημα Laplace, το οποίο σας επιτρέπει να βρείτε κατά προσέγγιση την πιθανότητα να συμβεί ένα γεγονός ακριβώς Οπουμια φορά κάθε Αφήστε το να παραχθείδοκιμές, εάν ο αριθμός των δοκιμών είναι αρκετά μεγάλος.

Τοπικό θεώρημα Laplace: Αν η πιθανότητα με πιθανότητες («επιτυχία»)εμφάνιση ενός γεγονότος ανεξάρτητες δοκιμές, σε καθεμία από τις οποίες η εκδήλωση
ότι η εκδήλωση ανεξάρτητες δοκιμές, σε καθεμία από τις οποίες η εκδήλωση θα εμφανιστεί σε Αφήστε το να παραχθείδοκιμές ακριβώς Οπουφορές, περίπου ίσες (όσο πιο ακριβείς, τόσο περισσότερες Αφήστε το να παραχθεί) τιμή συνάρτησης
, Οπου
, .

Σημείωση 1:Πίνακες που περιέχουν τιμές συναρτήσεων
, δίνονται στο Παράρτημα 1 και
. Λειτουργία είναι η πυκνότητα της τυπικής κανονικής κατανομής (βλ. κανονική κατανομή).

Παράδειγμα:Βρείτε την πιθανότητα ότι το συμβάν ανεξάρτητες δοκιμές, σε καθεμία από τις οποίες η εκδήλωση θα έρθει ακριβώς 80 μια φορά κάθε 400 δοκιμές εάν η πιθανότητα εμφάνισης αυτού του συμβάντος σε κάθε δοκιμή είναι ίση με 0,2.

Διάλυμα:Κατά συνθήκη Αφήστε το να παραχθεί = 400, Οπου = 80, με πιθανότητες («επιτυχία») = 0,2 , και ("αποτυχία") = 0,8 . Ας υπολογίσουμε την τιμή που καθορίζεται από τα δεδομένα της εργασίας x:
. Από τον πίνακα του Παραρτήματος 1 βρίσκουμε
. Τότε η απαιτούμενη πιθανότητα θα είναι:

Εάν πρέπει να υπολογίσετε την πιθανότητα ότι ένα γεγονός ανεξάρτητες δοκιμές, σε καθεμία από τις οποίες η εκδήλωσηθα εμφανιστεί σε Αφήστε το να παραχθείδοκιμές όχι λιγότερο Οπου 1 μια φορά και όχι άλλη Οπου 2 φορές, τότε πρέπει να χρησιμοποιήσετε το ολοκληρωτικό θεώρημα του Laplace:

Το ολοκληρωτικό θεώρημα του Laplace: Αν η πιθανότητα με πιθανότητες («επιτυχία»)εμφάνιση ενός γεγονότος ανεξάρτητες δοκιμές, σε καθεμία από τις οποίες η εκδήλωσησε κάθε δοκιμή είναι σταθερή και διαφορετική από το μηδέν και ένα, τότε η πιθανότητα ότι η εκδήλωση ανεξάρτητες δοκιμές, σε καθεμία από τις οποίες η εκδήλωση θα εμφανιστεί σε Αφήστε το να παραχθείδοκιμές από Οπου 1 να Οπου 2 φορές, περίπου ίσο με ένα ορισμένο ολοκλήρωμα

, Μπερνουλιέφσκαγια
Και
.

Με άλλα λόγια, η πιθανότητα ότι ένα γεγονός ανεξάρτητες δοκιμές, σε καθεμία από τις οποίες η εκδήλωση θα εμφανιστεί σε Αφήστε το να παραχθείδοκιμές από Οπου 1 να Οπου 2 φορές, περίπου ίσο

Μπερνουλιέφσκαγια
, Και .

Σημείωση 2:Λειτουργία
ονομάζεται συνάρτηση Laplace (βλ. κανονική κατανομή). Πίνακες που περιέχουν τιμές συναρτήσεων , δίνονται στο Παράρτημα 2 και
.

Παράδειγμα:Βρείτε την πιθανότητα ότι μεταξύ 400 τυχαία επιλεγμένα εξαρτήματα θα αποδειχθούν μη ελεγμένα από 70 έως 100 εξαρτήματα, εάν η πιθανότητα ότι το εξάρτημα δεν πέρασε την επιθεώρηση ποιοτικού ελέγχου είναι ίση με 0,2.

Διάλυμα:Κατά συνθήκη Αφήστε το να παραχθεί = 400, με πιθανότητες («επιτυχία») = 0,2 , και ("αποτυχία") = 0,8, Οπου 1 = 70, Οπου 2 = 100 . Ας υπολογίσουμε το κατώτερο και το ανώτερο όριο ολοκλήρωσης:

;
.

Έτσι έχουμε:

Από τον πίνακα του Παραρτήματος 2 διαπιστώνουμε ότι
Και
. Τότε η απαιτούμενη πιθανότητα είναι:

Σημείωση 3:Σε μια σειρά ανεξάρτητων δοκιμών (όταν το n είναι μεγάλο, το p είναι μικρό), ο τύπος Poisson χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της πιθανότητας ενός συμβάντος να συμβεί ακριβώς k φορές (βλ. κατανομή Poisson).

5.3. Κατανομή Poisson

Ορισμός 5.3: Μια διακριτή τυχαία μεταβλητή ονομάζεται Poisson,αν ο νόμος διανομής του έχει την ακόλουθη μορφή:

, Μπερνουλιέφσκαγια
. Από τον διαφορικό λογισμό είναι γνωστό ότι η αύξηση μιας συνάρτησης είναι περίπου ίση με το διαφορικό της συνάρτησης, δηλ.
(σταθερή αξία).

Παραδείγματα τυχαίων μεταβλητών Poisson:

Αριθμός κλήσεων σε έναν αυτόματο σταθμό για μια χρονική περίοδο Τ.

Ο αριθμός των σωματιδίων διάσπασης κάποιας ραδιενεργής ουσίας σε μια χρονική περίοδο Τ.

Αριθμός τηλεοράσεων που φτάνουν στο εργαστήριο για μια χρονική περίοδο Τσε μια μεγαλούπολη .

Αριθμός αυτοκινήτων που θα φτάσουν στη γραμμή στάσης μιας διασταύρωσης σε μια μεγάλη πόλη .

Σημείωση 1:Ειδικοί πίνακες για τον υπολογισμό αυτών των πιθανοτήτων δίνονται στο Παράρτημα 3.

Σημείωση 2:Σε μια σειρά ανεξάρτητων δοκιμών (όταν Αφήστε το να παραχθείμεγάλος, με πιθανότητες («επιτυχία»)δεν είναι αρκετό) για να υπολογίσετε την πιθανότητα να συμβεί ακριβώς ένα γεγονός Οπουφορές χρησιμοποιώντας τον τύπο του Poisson:
, Οπου
, δηλαδή ο μέσος αριθμός εμφανίσεων γεγονότων παραμένει σταθερός.

Σημείωση 3:Εάν υπάρχει μια τυχαία μεταβλητή που κατανέμεται σύμφωνα με το νόμο Poisson, τότε υπάρχει απαραίτητα μια τυχαία μεταβλητή που κατανέμεται σύμφωνα με τον εκθετικό νόμο και, αντίστροφα (βλ. Εκθετική κατανομή).

Παράδειγμα.Το εργοστάσιο εστάλη στη βάση 5000 καλής ποιότητας προϊόντα. Η πιθανότητα να καταστραφεί το προϊόν κατά τη μεταφορά είναι ίση με 0,0002 . Βρείτε την πιθανότητα ότι ακριβώς τρία άχρηστα προϊόντα θα φτάσουν στη βάση.

Διάλυμα:Κατά συνθήκη Αφήστε το να παραχθεί = 5000, με πιθανότητες («επιτυχία») = 0,0002, Οπου = 3. Θα βρούμε λ: λ = n.p.= 5000·0,0002 = 1.

Σύμφωνα με τον τύπο Poisson, η επιθυμητή πιθανότητα είναι ίση με:

, όπου είναι η τυχαία μεταβλητή Χ– αριθμός μη χρησιμοποιήσιμων προϊόντων.

5.4. Γεωμετρική κατανομή

Αφήστε να γίνουν ανεξάρτητες δοκιμές, σε καθεμία από τις οποίες είναι η πιθανότητα να συμβεί το συμβάν ΕΝΑεφάμιλλος με πιθανότητες («επιτυχία»)(0 σελ

και ("αποτυχία") = 1 - με πιθανότητες («επιτυχία»). Οι προκλήσεις τελειώνουν μόλις εμφανιστεί το συμβάν ΕΝΑ. Έτσι, εάν ένα γεγονός ΕΝΑεμφανίστηκε σε Οπου-ο τεστ, μετά στο προηγούμενο Οπου – 1 δεν εμφανίστηκε σε δοκιμές.

Ας υποδηλώσουμε με Χδιακριτή τυχαία μεταβλητή - ο αριθμός των δοκιμών που πρέπει να πραγματοποιηθούν πριν από την πρώτη εμφάνιση του συμβάντος ΕΝΑ. Προφανώς, οι πιθανές τιμές Χείναι φυσικοί αριθμοί x 1 = 1, x 2 = 2, ...

Αφήστε πρώτα Οπου-1 εκδήλωση δοκιμής ΕΝΑδεν ήρθε, αλλά μέσα Οπου-ο τεστ εμφανίστηκε. Η πιθανότητα αυτού του «σύνθετου γεγονότος», σύμφωνα με το θεώρημα του πολλαπλασιασμού των πιθανοτήτων ανεξάρτητων γεγονότων, Π (Χ = Οπου) = και ("αποτυχία") Οπου -1 με πιθανότητες («επιτυχία»).

Ορισμός 5.4: Μια διακριτή τυχαία μεταβλητή έχει γεωμετρική κατανομή, εάν ο νόμος διανομής του έχει την ακόλουθη μορφή:

Π ( Χ = Οπου ) = και ("αποτυχία") Οπου -1 με πιθανότητες («επιτυχία») , Οπου
.

Σημείωση 1:πιστεύοντας Οπου = 1,2,… , παίρνουμε μια γεωμετρική πρόοδο με τον πρώτο όρο με πιθανότητες («επιτυχία»)και παρονομαστής και ("αποτυχία") (0και ("αποτυχία"). Για το λόγο αυτό, η κατανομή ονομάζεται γεωμετρική.

Σημείωση 2:Σειρά
συγκλίνει και το άθροισμά του είναι ίσο με ένα. Πράγματι, το άθροισμα της σειράς είναι ίσο με
.

Παράδειγμα.Το όπλο πυροβολεί στον στόχο μέχρι να γίνει το πρώτο χτύπημα. Πιθανότητα να χτυπήσει στόχο με πιθανότητες («επιτυχία») = 0,6 . Βρείτε την πιθανότητα να συμβεί ένα χτύπημα στην τρίτη βολή.

Διάλυμα:Κατά συνθήκη με πιθανότητες («επιτυχία») = 0,6, και ("αποτυχία") = 1 – 0,6 = 0,4, Οπου = 3. Η απαιτούμενη πιθανότητα είναι:

Π (Χ = 3) = 0,4 2 ·0,6 = 0,096.

5.5. Υπεργεωμετρική κατανομή

Ας εξετάσουμε το εξής πρόβλημα. Αφήστε το πάρτι έξω Νδιαθέσιμα προϊόντα Μπρότυπο (ΜΝ). Τυχαία λήψη από την παρτίδα Αφήστε το να παραχθείπροϊόντα (κάθε προϊόν μπορεί να εξαχθεί με την ίδια πιθανότητα) και το επιλεγμένο προϊόν δεν επιστρέφεται στην παρτίδα πριν από την επιλογή του επόμενου (επομένως, ο τύπος Bernoulli δεν ισχύει εδώ).

Ας υποδηλώσουμε με Χτυχαία μεταβλητή - αριθμός mτυποποιημένα προϊόντα μεταξύ Αφήστε το να παραχθείεπιλεγμένο. Στη συνέχεια οι πιθανές τιμές Χθα είναι 0, 1, 2,…, min; Ας τους χαρακτηρίσουμε και... Μετιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής (Fonds) χρησιμοποιήστε το κουμπί ( κεφάλαιο ...

Εκπαιδευτικό και μεθοδολογικό συγκρότημα για τον κλάδο «Γενικό ψυχολογικό εργαστήριο»

Εκπαιδευτικό και μεθοδολογικό συγκρότημα

... μεθοδολογική οδηγίες Μεεκτέλεση πρακτικής εργασίας 5.1 Μεθοδικόςσυστάσεις Μευλοποίηση εκπαιδευτικών έργων 5.2 Μεθοδικόςσυστάσεις Με... ευαισθησία), μονοδιάστατηκαι πολυδιάστατο... τυχαίοςσυστατικό σε μέγεθος... Με τμήμα"Εκτέλεση...

Εκπαιδευτικό και μεθοδολογικό συγκρότημα για τον κλάδο της φυσικής (τίτλος)

Εκπαιδευτικό και μεθοδολογικό συγκρότημα

... ενότητεςστα σχολικά βιβλία. Επίλυση προβλημάτων Μεκάθε θέμα. Επεξεργασία μεθοδολογική οδηγίεςγια εργαστηριακές εργασίες Με ... τυχαίοςκαι σφάλμα μέτρησης οργάνων 1.8 Θέματα δοκιμών και μεθοδολογική οδηγίες Με... Σωματίδιο σε μονοδιάστατηπιθανή τρύπα. ...

Οδηγίες για εργαστηριακή εργασία στον κλάδο της επιστήμης των υπολογιστών

κατευθυντήριες γραμμές

... Μεθοδικός οδηγίεςγια ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ Με ... μέγεθος, και το μεγαλύτερο ποσό ποσότητες... συστοιχία τυχαίοςαριθμοί... 3,0 4,0 3,0 -2,5 14,3 16,2 18,0 1,0 α) μονοδιάστατηπίνακας β) δισδιάστατος πίνακας Εικ. 2– Τα αρχεία... περιγράφονται στο τμήμαυλοποίηση μετά...

9. Συνεχής τυχαία μεταβλητή, τα αριθμητικά χαρακτηριστικά της

Μια συνεχής τυχαία μεταβλητή μπορεί να καθοριστεί χρησιμοποιώντας δύο συναρτήσεις. Ολοκληρωμένη συνάρτηση κατανομής πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής Χονομάζεται συνάρτηση που ορίζεται από την ισότητα
.

Η ολοκληρωτική συνάρτηση παρέχει έναν γενικό τρόπο για τον καθορισμό τόσο διακριτών όσο και συνεχών τυχαίων μεταβλητών. Στην περίπτωση μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής. Όλα τα συμβάντα: έχουν την ίδια πιθανότητα, ίση με την αύξηση της ολοκληρωτικής συνάρτησης σε αυτό το διάστημα, δηλ. Για παράδειγμα, για τη διακριτή τυχαία μεταβλητή που καθορίζεται στο παράδειγμα 26, έχουμε:

Έτσι, η γραφική παράσταση της ολοκληρωτικής συνάρτησης της υπό εξέταση συνάρτησης είναι μια ένωση δύο ακτίνων και τριών τμημάτων παράλληλα με τον άξονα Ox.

Παράδειγμα 27. Η συνεχής τυχαία μεταβλητή X καθορίζεται από τη συνάρτηση κατανομής ολοκληρωτικής πιθανότητας

.

Κατασκευάστε ένα γράφημα της ολοκληρωτικής συνάρτησης και βρείτε την πιθανότητα ότι, ως αποτέλεσμα της δοκιμής, η τυχαία μεταβλητή X θα λάβει μια τιμή στο διάστημα (0,5;1,5).

Διάλυμα. Στο μεσοδιάστημα
η γραφική παράσταση είναι η ευθεία γραμμή y = 0. Στο διάστημα από το 0 έως το 2 υπάρχει μια παραβολή που δίνεται από την εξίσωση
. Στο μεσοδιάστημα
Η γραφική παράσταση είναι η ευθεία γραμμή y = 1.

Η πιθανότητα ότι η τυχαία μεταβλητή X ως αποτέλεσμα της δοκιμής θα λάβει μια τιμή στο διάστημα (0,5;1,5) βρίσκεται χρησιμοποιώντας τον τύπο.

Έτσι, .

Ιδιότητες της συνάρτησης ολοκληρωμένης κατανομής πιθανότητας:

Είναι βολικό να καθορίσετε τον νόμο κατανομής μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής χρησιμοποιώντας μια άλλη συνάρτηση, δηλαδή, συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας
.

Η πιθανότητα ότι η τιμή που αναλαμβάνει η τυχαία μεταβλητή X εμπίπτει στο διάστημα
, καθορίζεται από την ισότητα
.

Καλείται η γραφική παράσταση της συνάρτησης καμπύλη κατανομής. Γεωμετρικά, η πιθανότητα μιας τυχαίας μεταβλητής X να πέσει στο διάστημα είναι ίση με την περιοχή του αντίστοιχου καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς που οριοθετείται από την καμπύλη κατανομής, τον άξονα Ox και τις ευθείες γραμμές
.

Ιδιότητες της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας:

9.1. Αριθμητικά χαρακτηριστικά συνεχών τυχαίων μεταβλητών

Προσδοκία(μέση τιμή) μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Χ καθορίζεται από την ισότητα
.

Το M(X) συμβολίζεται με ΕΝΑ. Η μαθηματική προσδοκία μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής έχει ιδιότητες παρόμοιες με αυτές μιας διακριτής μεταβλητής:

Διακύμανσηη διακριτή τυχαία μεταβλητή Χ είναι η μαθηματική προσδοκία της τετραγωνικής απόκλισης της τυχαίας μεταβλητής από τη μαθηματική της προσδοκία, δηλ. . Για μια συνεχή τυχαία μεταβλητή, η διακύμανση δίνεται από τον τύπο
.

Η διασπορά έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:

Η τελευταία ιδιότητα είναι πολύ βολική στη χρήση για την εύρεση της διακύμανσης μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής.

Παρομοίως εισάγεται η έννοια της τυπικής απόκλισης. Η τυπική απόκλιση του συνεχούςΗ τυχαία μεταβλητή Χ ονομάζεται τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης, δηλ.
.

Παράδειγμα 28. Μια συνεχής τυχαία μεταβλητή Χ καθορίζεται από μια συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας
στο διάστημα (10;12), εκτός αυτού του διαστήματος η τιμή της συνάρτησης είναι 0. Βρείτε 1) την τιμή της παραμέτρου ΕΝΑ, 2) μαθηματική προσδοκία Μ(Χ), διακύμανση
, τυπική απόκλιση, 3) ολοκληρωτική συνάρτηση
και να δημιουργήσετε γραφήματα ολοκληρωτικών και διαφορικών συναρτήσεων.

1). Για να βρείτε την παράμετρο ΕΝΑχρησιμοποιήστε τον τύπο
. Θα το πάρουμε. Ετσι,
.

2). Για να βρούμε τη μαθηματική προσδοκία, χρησιμοποιούμε τον τύπο: , από τον οποίο προκύπτει ότι
.

Θα βρούμε τη διακύμανση χρησιμοποιώντας τον τύπο:
, δηλ. .

Ας βρούμε την τυπική απόκλιση χρησιμοποιώντας τον τύπο: , από τον οποίο το παίρνουμε
.

3). Η ολοκληρωτική συνάρτηση εκφράζεται μέσω της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας ως εξής:
. Οθεν,
στο
, = 0 στο
u = 1 στο
.

Τα γραφήματα αυτών των συναρτήσεων παρουσιάζονται στο Σχ. 4. και εικ. 5.

Εικ.4 Εικ.5.

9.2. Ομοιόμορφη κατανομή πιθανότητας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής

Κατανομή πιθανότητας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Χ εξίσουστο διάστημα εάν η πυκνότητα πιθανότητάς του είναι σταθερή σε αυτό το διάστημα και ίση με μηδέν εκτός αυτού του διαστήματος, δηλ. . Είναι εύκολο να το δείξουμε σε αυτή την περίπτωση
.

Αν το μεσοδιάστημα
περιέχεται στο διάστημα, λοιπόν
.

Παράδειγμα 29.Ένα στιγμιαίο συμβάν σήματος πρέπει να συμβεί μεταξύ της ώρας μίας και πέντε η ώρας. Ο χρόνος αναμονής του σήματος είναι μια τυχαία μεταβλητή X. Βρείτε την πιθανότητα ότι το σήμα θα ανιχνευθεί μεταξύ δύο και τρεις η ώρα το απόγευμα.

Διάλυμα. Η τυχαία μεταβλητή Χ έχει ομοιόμορφη κατανομή και χρησιμοποιώντας τον τύπο βρίσκουμε ότι η πιθανότητα το σήμα να είναι μεταξύ 2 και 3 το μεσημέρι είναι ίση με
.

Στην εκπαιδευτική και άλλη λογοτεχνία συχνά δηλώνεται στη βιβλιογραφία μέσω
.

9.3. Κανονική κατανομή πιθανότητας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής

Η κατανομή πιθανότητας μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής ονομάζεται κανονική εάν ο νόμος της κατανομής πιθανοτήτων καθορίζεται από την πυκνότητα πιθανότητας
. Για τέτοιες ποσότητες ΕΝΑ– μαθηματική προσδοκία,
- τυπική απόκλιση.

Θεώρημα. Πιθανότητα μια κανονικά κατανεμημένη συνεχής τυχαία μεταβλητή να πέσει σε ένα δεδομένο διάστημα
καθορίζεται από τον τύπο
, Πού
- Συνάρτηση Laplace.

Συνέπεια αυτού του θεωρήματος είναι ο κανόνας των τριών σίγμα, δηλ. Είναι σχεδόν βέβαιο ότι μια κανονικά κατανεμημένη, συνεχής τυχαία μεταβλητή Χ παίρνει τις τιμές της στο διάστημα
. Αυτός ο κανόνας μπορεί να προκύψει από τον τύπο
, που αποτελεί ειδική περίπτωση του διατυπωμένου θεωρήματος.

Παράδειγμα 30.Η διάρκεια ζωής της τηλεόρασης είναι μια τυχαία μεταβλητή Χ, που υπόκειται στον νόμο κανονικής διανομής, με περίοδο εγγύησης 15 ετών και τυπική απόκλιση 3 ετών. Βρείτε την πιθανότητα η τηλεόραση να διαρκέσει από 10 έως 20 χρόνια.

Διάλυμα. Σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος, η μαθηματική προσδοκία ΕΝΑ= 15, τυπική απόκλιση.

Ας βρούμε . Έτσι, η πιθανότητα η τηλεόραση να λειτουργεί από 10 έως 20 χρόνια είναι μεγαλύτερη από 0,9.

9.4 Η ανισότητα του Chebyshev

λαμβάνει χώρα Το λήμμα του Chebyshev. Εάν μια τυχαία μεταβλητή Χ παίρνει μόνο μη αρνητικές τιμές και έχει μαθηματική προσδοκία, τότε για οποιαδήποτε θετική V
.

Θεωρώντας ότι, ως το άθροισμα των πιθανοτήτων αντίθετων γεγονότων, λαμβάνουμε ότι
.

Το θεώρημα του Chebyshev. Αν η τυχαία μεταβλητή Χ έχει πεπερασμένη διακύμανση
και μαθηματική προσδοκία M(X), τότε για οποιαδήποτε θετική η ανισότητα είναι αλήθεια
.

Από όπου προκύπτει ότι
.

Παράδειγμα 31.Έχει παραχθεί μια παρτίδα ανταλλακτικών. Το μέσο μήκος των εξαρτημάτων είναι 100 cm και η τυπική απόκλιση είναι 0,4 cm. Υπολογίστε κάτω από την πιθανότητα ότι το μήκος ενός τμήματος που λαμβάνεται τυχαία θα είναι τουλάχιστον 99 cm. και όχι περισσότερο από 101 εκ.

Διάλυμα. Διακύμανση. Η μαθηματική προσδοκία είναι 100. Επομένως, για να υπολογίσουμε από κάτω την πιθανότητα του εν λόγω γεγονότος
ας εφαρμόσουμε την ανισότητα του Chebyshev, στην οποία
, Τότε
.

10. Στοιχεία μαθηματικής στατιστικής

Στατιστικό άθροισμαονομάστε ένα σύνολο ομοιογενών αντικειμένων ή φαινομένων. Αριθμός nστοιχεία αυτού του συνόλου ονομάζεται όγκος της συλλογής. Παρατηρούμενες τιμές το χαρακτηριστικό Χ ονομάζεται επιλογές. Εάν οι επιλογές είναι διατεταγμένες με αύξουσα σειρά, τότε παίρνουμε σειρά διακριτών παραλλαγών. Στην περίπτωση ομαδοποίησης, η επιλογή κατά διαστήματα αποδεικνύεται ότι είναι σειρές παραλλαγής διαστήματος. Υπό συχνότητα tοι χαρακτηριστικές τιμές κατανοούν τον αριθμό των μελών του πληθυσμού με μια δεδομένη παραλλαγή.

Ο λόγος συχνότητας προς όγκο ενός στατιστικού πληθυσμού ονομάζεται σχετική συχνότητασημείο:
.

Η σχέση μεταξύ των παραλλαγών μιας σειράς παραλλαγών και των συχνοτήτων τους ονομάζεται στατιστική κατανομή του δείγματος. Μια γραφική αναπαράσταση της στατιστικής κατανομής μπορεί να είναι πολύγωνοσυχνότητα

Παράδειγμα 32.Με έρευνα 25 πρωτοετών μαθητών προέκυψαν τα ακόλουθα στοιχεία για την ηλικία τους:
. Να συντάξετε μια στατιστική κατανομή των μαθητών ανά ηλικία, να βρείτε το εύρος διακύμανσης, να κατασκευάσετε ένα πολύγωνο συχνοτήτων και να συντάξετε μια σειρά από κατανομές σχετικών συχνοτήτων.

Διάλυμα. Χρησιμοποιώντας τα δεδομένα που προκύπτουν από την έρευνα, θα δημιουργήσουμε μια στατιστική κατανομή του δείγματος

Το εύρος του δείγματος παραλλαγής είναι 23 – 17 = 6. Για να κατασκευάσετε ένα πολύγωνο συχνότητας, κατασκευάστε σημεία με συντεταγμένες
και συνδέστε τα σε σειρά.

Η σειρά κατανομής σχετικής συχνότητας έχει τη μορφή:

10.1.Αριθμητικά χαρακτηριστικά της σειράς παραλλαγών

Αφήστε το δείγμα να δοθεί από μια σειρά κατανομών συχνότητας του χαρακτηριστικού X:

Το άθροισμα όλων των συχνοτήτων είναι ίσο σελ.

Αριθμητικός μέσος όρος του δείγματοςονομάστε την ποσότητα
.

Διακύμανσηή το μέτρο διασποράς των τιμών ενός χαρακτηριστικού Χ σε σχέση με τον αριθμητικό του μέσο όρο ονομάζεται τιμή
. Η τυπική απόκλιση είναι η τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης, δηλ. .

Ο λόγος της τυπικής απόκλισης προς τον αριθμητικό μέσο όρο του δείγματος, εκφρασμένος ως ποσοστό, ονομάζεται συντελεστής διακύμανσης:
.

Εμπειρική συνάρτηση κατανομής σχετικής συχνότηταςκαλέστε μια συνάρτηση που καθορίζει για κάθε τιμή τη σχετική συχνότητα του συμβάντος
, δηλ.
, Πού - αριθμός επιλογών, μικρότερος ) ισούται με την τιμή της πυκνότητας κατανομής στο σημείο, Α n– μέγεθος δείγματος.

Παράδειγμα 33.Υπό τις συνθήκες του παραδείγματος 32, βρείτε τα αριθμητικά χαρακτηριστικά
.

Διάλυμα. Ας βρούμε τον αριθμητικό μέσο όρο του δείγματος χρησιμοποιώντας τον τύπο, στη συνέχεια .

Η διακύμανση του χαρακτηριστικού Χ βρίσκεται με τον τύπο: , δηλ. Η τυπική απόκλιση του δείγματος είναι
. Ο συντελεστής διακύμανσης είναι
.

10.2. Εκτίμηση πιθανοτήτων με σχετική συχνότητα. Διάστημα εμπιστοσύνης

Αφήστε το να πραγματοποιηθεί nανεξάρτητες δοκιμές, σε καθεμία από τις οποίες η πιθανότητα εμφάνισης του συμβάντος Α είναι σταθερή και ίση με r. Σε αυτή την περίπτωση, η πιθανότητα η σχετική συχνότητα να διαφέρει από την πιθανότητα εμφάνισης του γεγονότος Α σε κάθε δοκιμή σε απόλυτη τιμή δεν είναι μεγαλύτερη από , είναι περίπου ίση με το διπλάσιο της τιμής της ολοκληρωτικής συνάρτησης Laplace:
.

Εκτίμηση διαστήματοςκαλέστε μια τέτοια εκτίμηση, η οποία καθορίζεται από δύο αριθμούς που είναι τα άκρα του διαστήματος που καλύπτει την εκτιμώμενη παράμετρο του στατιστικού πληθυσμού.

Διάστημα εμπιστοσύνηςείναι ένα διάστημα που, με δεδομένη πιθανότητα εμπιστοσύνης καλύπτει την εκτιμώμενη παράμετρο του στατιστικού πληθυσμού. Λαμβάνοντας υπόψη τον τύπο στον οποίο αντικαθιστούμε την άγνωστη ποσότητα rστην κατά προσέγγιση τιμή του που ελήφθησαν από τα δεδομένα του δείγματος, λαμβάνουμε:
. Αυτός ο τύπος χρησιμοποιείται για την εκτίμηση της πιθανότητας με βάση τη σχετική συχνότητα. Αριθμοί
Και
ονομάζεται κάτω και, αντίστοιχα, άνω όρια εμπιστοσύνης, - το μέγιστο σφάλμα για μια δεδομένη πιθανότητα εμπιστοσύνης
.

Παράδειγμα 34. Το εργαστήριο του εργοστασίου παράγει λαμπτήρες. Κατά τον έλεγχο 625 λαμπτήρων, βρέθηκαν 40 ελαττωματικές. Βρείτε, με πιθανότητα εμπιστοσύνης 0,95, τα όρια εντός των οποίων βρίσκεται το ποσοστό των ελαττωματικών λαμπτήρων που παράγονται από το συνεργείο του εργοστασίου.

Διάλυμα. Σύμφωνα με τις συνθήκες της εργασίας. Χρησιμοποιούμε τον τύπο
. Χρησιμοποιώντας τον Πίνακα 2 του παραρτήματος, βρίσκουμε την τιμή του ορίσματος, στο οποίο η τιμή της ολοκληρωτικής συνάρτησης Laplace είναι ίση με 0,475. Το καταλαβαίνουμε
. Έτσι, . Επομένως, μπορούμε να πούμε με πιθανότητα 0,95 ότι το μερίδιο των ελαττωμάτων που παράγονται από το συνεργείο είναι υψηλό, δηλαδή, κυμαίνεται από 6,2% έως 6,6%.

10.3. Εκτίμηση παραμέτρων στα στατιστικά

Έστω το ποσοτικό χαρακτηριστικό Χ ολόκληρου του υπό μελέτη πληθυσμού (γενικός πληθυσμός) να έχει κανονική κατανομή.

Εάν η τυπική απόκλιση είναι γνωστή, τότε το διάστημα εμπιστοσύνης που καλύπτει τη μαθηματική προσδοκία ΕΝΑ

, Πού n– μέγεθος δείγματος, - δείγμα αριθμητικού μέσου όρου, tείναι το όρισμα της ολοκληρωτικής συνάρτησης Laplace, στο οποίο
. Σε αυτή την περίπτωση, ο αριθμός
ονομάζεται ακρίβεια εκτίμησης.

Εάν η τυπική απόκλιση είναι άγνωστη, τότε από τα δεδομένα του δείγματος είναι δυνατό να κατασκευαστεί μια τυχαία μεταβλητή που έχει κατανομή Student με n– 1 βαθμός ελευθερίας, που καθορίζεται από μία μόνο παράμετρο nκαι δεν εξαρτάται από άγνωστα ΕΝΑΚαι . Κατανομή t-μαθητή ακόμη και για μικρά δείγματα
δίνει αρκετά ικανοποιητικές βαθμολογίες. Στη συνέχεια το διάστημα εμπιστοσύνης που καλύπτει τη μαθηματική προσδοκία ΕΝΑαυτού του χαρακτηριστικού με δεδομένη πιθανότητα εμπιστοσύνης βρίσκεται από τη συνθήκη

, όπου S είναι το διορθωμένο μέσο τετράγωνο, - Ο συντελεστής μαθητή, που βρέθηκε από τα δεδομένα
από τον πίνακα 3 του παραρτήματος.

Το διάστημα εμπιστοσύνης που καλύπτει την τυπική απόκλιση αυτού του χαρακτηριστικού με πιθανότητα εμπιστοσύνης βρίσκεται χρησιμοποιώντας τους τύπους: και , όπου
βρέθηκαν από τον πίνακα τιμών και ("αποτυχία") σύμφωνα με στοιχεία.

10.4. Στατιστικές μέθοδοι μελέτης εξαρτήσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών

Η εξάρτηση συσχέτισης του Y από το X είναι η λειτουργική εξάρτηση του υπό όρους μέσου όρου από Χ.Εξίσωση
αντιπροσωπεύει την εξίσωση παλινδρόμησης του Y στο X, και
- εξίσωση παλινδρόμησης του X στο Y.

Η εξάρτηση συσχέτισης μπορεί να είναι γραμμική ή καμπυλόγραμμη. Στην περίπτωση εξάρτησης γραμμικής συσχέτισης, η εξίσωση της ευθείας γραμμής παλινδρόμησης έχει τη μορφή:
, όπου η πλαγιά ΕΝΑευθεία γραμμή παλινδρόμησης Υ στο Χ ονομάζεται συντελεστής παλινδρόμησης δείγματος Υ στο Χ και συμβολίζεται
.

Για μικρά δείγματα, τα δεδομένα δεν ομαδοποιούνται, οι παράμετροι
βρίσκονται χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων από το σύστημα των κανονικών εξισώσεων:

, Πού n– αριθμός παρατηρήσεων τιμών ζευγών αλληλένδετων μεγεθών.

Δείγμα γραμμικού συντελεστή συσχέτισης δείχνει τη στενή σχέση μεταξύ Υ και Χ. Ο συντελεστής συσχέτισης βρίσκεται χρησιμοποιώντας τον τύπο
, και
, συγκεκριμένα:

Η εξίσωση του δείγματος της ευθείας γραμμής παλινδρόμησης Υ στο Χ έχει τη μορφή:

.

Με μεγάλο αριθμό παρατηρήσεων των χαρακτηριστικών Χ και Υ, συντάσσεται ένας πίνακας συσχέτισης με δύο εισόδους, με την ίδια τιμή ) ισούται με την τιμή της πυκνότητας κατανομής στο σημείοπαρατηρήθηκε φορές, το ίδιο νόημα στοπαρατηρήθηκε φορές, το ίδιο ζευγάρι
παρατηρήθηκε μια φορά.

Παράδειγμα 35.Δίνεται πίνακας παρατηρήσεων των σημείων Χ και Υ.

Βρείτε τη δειγματική εξίσωση της ευθείας γραμμής παλινδρόμησης Υ στο Χ.

Διάλυμα. Η σχέση μεταξύ των χαρακτηριστικών που μελετήθηκαν μπορεί να εκφραστεί με την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής παλινδρόμησης του Υ στο Χ: . Για να υπολογίσουμε τους συντελεστές της εξίσωσης, θα δημιουργήσουμε έναν πίνακα υπολογισμού:

Παρατήρηση αρ.

Κεφάλαιο 6. Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές.

§ 1. Συνάρτηση πυκνότητας και κατανομής συνεχούς τυχαίας μεταβλητής.

Το σύνολο των τιμών μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής είναι αμέτρητο και συνήθως αντιπροσωπεύει κάποιο πεπερασμένο ή άπειρο διάστημα.

Καλείται μια τυχαία μεταβλητή x(w) που ορίζεται σε ένα χώρο πιθανοτήτων (W, S, P). συνεχής(απολύτως συνεχής) W, εάν υπάρχει μια μη αρνητική συνάρτηση τέτοια ώστε για οποιοδήποτε x η συνάρτηση κατανομής Fx(x) μπορεί να αναπαρασταθεί ως ολοκλήρωμα

Η συνάρτηση ονομάζεται συνάρτηση πυκνότητες κατανομής πιθανότητας.

Ο ορισμός υποδηλώνει τις ιδιότητες της συνάρτησης πυκνότητας κατανομής:

1..gif" width="97" height="51">

3. Στα σημεία συνέχειας η πυκνότητα κατανομής ισούται με την παράγωγο της συνάρτησης κατανομής: .

4. Η πυκνότητα κατανομής καθορίζει τον νόμο κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής, αφού καθορίζει την πιθανότητα μιας τυχαίας μεταβλητής να πέσει στο διάστημα:

5. Η πιθανότητα μια συνεχής τυχαία μεταβλητή να πάρει μια συγκεκριμένη τιμή είναι μηδέν: . Επομένως, ισχύουν οι ακόλουθες ισότητες:

Καλείται η γραφική παράσταση της συνάρτησης πυκνότητας κατανομής καμπύλη κατανομής, και η περιοχή που οριοθετείται από την καμπύλη κατανομής και τον άξονα x είναι ίση με τη μονάδα. Τότε, γεωμετρικά, η τιμή της συνάρτησης κατανομής Fx(x) στο σημείο x0 είναι η περιοχή που οριοθετείται από την καμπύλη κατανομής και τον άξονα x και βρίσκεται στα αριστερά του σημείου x0.

Εργασία 1.Η συνάρτηση πυκνότητας μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής έχει τη μορφή:

Να προσδιορίσετε τη σταθερά C, να κατασκευάσετε τη συνάρτηση κατανομής Fx(x) και να υπολογίσετε την πιθανότητα.

Διάλυμα.Η σταθερά C βρίσκεται από την συνθήκη Έχουμε:

από όπου C=3/8.

Για να δημιουργήσετε τη συνάρτηση κατανομής Fx(x), σημειώστε ότι το διάστημα διαιρεί το εύρος τιμών του ορίσματος x (αριθμητικός άξονας) σε τρία μέρη: https://pandia.ru/text/78/107/images/image017_17 .gif" width="264 " height="49">

αφού η πυκνότητα x στον ημιάξονα είναι μηδέν. Στη δεύτερη περίπτωση

Τέλος, στην τελευταία περίπτωση, όταν x>2,

Αφού η πυκνότητα εξαφανίζεται στον ημιάξονα. Έτσι, προκύπτει η συνάρτηση κατανομής

Πιθανότητα Ας υπολογίσουμε χρησιμοποιώντας τον τύπο. Ετσι,

§ 2. Αριθμητικά χαρακτηριστικά συνεχούς τυχαίας μεταβλητής

Προσδοκίαγια τις συνεχώς κατανεμημένες τυχαίες μεταβλητές καθορίζεται από τον τύπο https://pandia.ru/text/78/107/images/image028_11.gif" width="205" height="56 src=">,

αν το ολοκλήρωμα στα δεξιά συγκλίνει απόλυτα.

ΔιασποράΤο x μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο , και επίσης, όπως στη διακριτή περίπτωση, σύμφωνα με τον τύπο https://pandia.ru/text/78/107/images/image031_11.gif" width="123" height="49 src=">.

Όλες οι ιδιότητες της μαθηματικής προσδοκίας και διασποράς που δίνονται στο Κεφάλαιο 5 για διακριτές τυχαίες μεταβλητές ισχύουν επίσης για συνεχείς τυχαίες μεταβλητές.

Πρόβλημα 2. Για την τυχαία μεταβλητή x από το πρόβλημα 1, υπολογίστε τη μαθηματική προσδοκία και τη διακύμανση .

Διάλυμα.

Και αυτό σημαίνει

https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif" width="184" height="69 src=">

Για ένα γράφημα πυκνότητας ομοιόμορφης κατανομής, βλ. .

Εικ.6.2. Συνάρτηση κατανομής και πυκνότητα κατανομής. ενιαίο δίκαιο

Η συνάρτηση κατανομής Fx(x) μιας ομοιόμορφα κατανεμημένης τυχαίας μεταβλητής είναι ίση με

Fx(x)=

Προσδοκία και διακύμανση. .

Εκθετική (εκθετική) κατανομή.Μια συνεχής τυχαία μεταβλητή x που παίρνει μη αρνητικές τιμές έχει εκθετική κατανομή με παράμετρο l>0 εάν η κατανομή πυκνότητας πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής είναι ίση με

рx(x)=

Ρύζι. 6.3. Συνάρτηση κατανομής και πυκνότητα κατανομής του εκθετικού νόμου.

Η συνάρτηση κατανομής της εκθετικής κατανομής έχει τη μορφή

Fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif" width="17" height="41">.gif" width="13" height="15"> και αν η πυκνότητα κατανομής του είναι ίση με

.

Through υποδηλώνει το σύνολο όλων των τυχαίων μεταβλητών που κατανέμονται σύμφωνα με έναν κανονικό νόμο με παραμέτρους παραμέτρους και .

Η συνάρτηση κατανομής μιας κανονικά κατανεμημένης τυχαίας μεταβλητής είναι ίση με

.

Ρύζι. 6.4. Συνάρτηση κατανομής και κανονική πυκνότητα κατανομής

Οι παράμετροι της κανονικής κατανομής είναι η μαθηματική προσδοκία https://pandia.ru/text/78/107/images/image048_6.gif" width="64 height=24" height="24">

Στην ειδική περίπτωση όταν https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif" width="44" height="21 src="> η κανονική κατανομή ονομάζεται πρότυπο, και η κλάση τέτοιων κατανομών συμβολίζεται με https://pandia.ru/text/78/107/images/image052_6.gif" width="119" height="49">,

και τη συνάρτηση διανομής

Ένα τέτοιο ολοκλήρωμα δεν μπορεί να υπολογιστεί αναλυτικά (δεν λαμβάνεται σε "τετράγωνα") και επομένως έχουν καταρτιστεί πίνακες για τη συνάρτηση. Η συνάρτηση σχετίζεται με τη συνάρτηση Laplace που εισάγεται στο Κεφάλαιο 4

,

από την παρακάτω σχέση . Στην περίπτωση αυθαίρετων τιμών παραμέτρων https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif" width="21" height="21 src="> η συνάρτηση κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής σχετίζεται με τη συνάρτηση Laplace χρησιμοποιώντας τη σχέση:

.

Επομένως, η πιθανότητα μιας κανονικά κατανεμημένης τυχαίας μεταβλητής να πέσει σε ένα διάστημα μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο

.

Μια μη αρνητική τυχαία μεταβλητή x ονομάζεται λογαριθμικά κατανεμημένη εάν ο λογάριθμός της h=lnx υπακούει στον κανονικό νόμο. Η αναμενόμενη τιμή και η διακύμανση μιας λογικά κατανεμημένης τυχαίας μεταβλητής είναι Mx= και Dx=.

Εργασία 3.Αφήστε μια τυχαία μεταβλητή να δοθεί https://pandia.ru/text/78/107/images/image065_5.gif" width="81" height="23">.

Διάλυμα.Εδώ https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif" width="573" height="45">

Κατανομή Laplaceδίνεται από τη συνάρτηση fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image070_5.gif" width="23" height="41"> και η κύρτωση είναι gx=3.

Εικ.6.5. Συνάρτηση πυκνότητας κατανομής Laplace.

Η τυχαία μεταβλητή x κατανέμεται Ο νόμος του Weibull, εάν έχει συνάρτηση πυκνότητας κατανομής ίση με https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif" width="189" height="53">

Η διανομή Weibull διέπει τους χρόνους λειτουργίας χωρίς αστοχίες πολλών τεχνικών συσκευών. Σε προβλήματα αυτού του προφίλ, σημαντικό χαρακτηριστικό είναι το ποσοστό αποτυχίας (ποσοστό θνησιμότητας) l(t) των μελετηθέντων στοιχείων της ηλικίας t, που προσδιορίζεται από τη σχέση l(t)=. Αν a=1, τότε η κατανομή Weibull μετατρέπεται σε εκθετική κατανομή και αν a=2 - στη λεγόμενη κατανομή Rayleigh.

Μαθηματική προσδοκία της κατανομής Weibull: -https://pandia.ru/text/78/107/images/image075_4.gif" width="219" height="45 src=">, όπου Γ(α) είναι ο Euler λειτουργία.

Σε διάφορα προβλήματα εφαρμοσμένων στατιστικών, συχνά συναντώνται οι λεγόμενες «περικομμένες» κατανομές. Για παράδειγμα, οι φορολογικές αρχές ενδιαφέρονται για την κατανομή του εισοδήματος των ατόμων των οποίων το ετήσιο εισόδημα υπερβαίνει ένα ορισμένο όριο c0 που ορίζεται από τη φορολογική νομοθεσία. Αυτές οι κατανομές συμπίπτουν περίπου με την κατανομή Pareto. Διανομή Paretoδίνονται από συναρτήσεις

Fx(x)=P(x .gif" width="44" height="25"> μιας τυχαίας μεταβλητής x και μιας μονότονης διαφοροποιήσιμης συνάρτησης ..gif" width="200" height="51">

Εδώ https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif" width="60" height="21 src=">.

Εργασία 4.Η τυχαία μεταβλητή κατανέμεται ομοιόμορφα στο τμήμα. Βρείτε την πυκνότητα μιας τυχαίας μεταβλητής.

Διάλυμα.Από τις συνθήκες του προβλήματος προκύπτει ότι

Στη συνέχεια, η συνάρτηση είναι μονότονη και διαφοροποιήσιμη συνάρτηση σε διάστημα και έχει αντίστροφη συνάρτηση , του οποίου η παράγωγος είναι ίση με Επομένως,

§ 5. Ζεύγος συνεχών τυχαίων μεταβλητών

Έστω δύο συνεχείς τυχαίες μεταβλητές x και h. Τότε το ζεύγος (x, h) ορίζει ένα «τυχαίο» σημείο στο επίπεδο. Το ζεύγος (x, h) ονομάζεται τυχαίο διάνυσμαή δισδιάστατη τυχαία μεταβλητή.

Λειτουργία κοινής διανομήςτυχαίες μεταβλητές x και h και η συνάρτηση ονομάζεται F(x, y)=Phttps://pandia.ru/text/78/107/images/image093_3.gif" width="173" height="25">. πυκνότητα άρθρωσηςκατανομή πιθανότητας των τυχαίων μεταβλητών x και h ονομάζεται συνάρτηση τέτοια ώστε .

Η έννοια αυτού του ορισμού της πυκνότητας κοινής κατανομής είναι η εξής. Η πιθανότητα ότι ένα "τυχαίο σημείο" (x, h) θα πέσει σε μια περιοχή σε ένα επίπεδο υπολογίζεται ως ο όγκος ενός τρισδιάστατου σχήματος - ενός "καμπυλόγραμμου" κυλίνδρου που οριοθετείται από την επιφάνεια https://pandia.ru/ text/78/107/images/image098_3 gif" width="211" height="39 src=">

Το απλούστερο παράδειγμα κοινής κατανομής δύο τυχαίων μεταβλητών είναι η δισδιάστατη ομοιόμορφη κατανομή στο σετανεξάρτητες δοκιμές, σε καθεμία από τις οποίες η εκδήλωση. Έστω ένα οριοθετημένο σύνολο M με εμβαδόν Ορίζεται ως η κατανομή του ζεύγους (x, h), που ορίζεται από την ακόλουθη πυκνότητα άρθρωσης:

Εργασία 5.Έστω ένα δισδιάστατο τυχαίο διάνυσμα (x, h) να είναι ομοιόμορφα κατανεμημένο μέσα στο τρίγωνο. Να υπολογίσετε την πιθανότητα της ανίσωσης x>h.

Διάλυμα.Το εμβαδόν του υποδεικνυόμενου τριγώνου είναι ίσο με (βλ. Εικ. Αρ.;). Δυνάμει του ορισμού μιας δισδιάστατης ομοιόμορφης κατανομής, η κοινή πυκνότητα των τυχαίων μεταβλητών x, h είναι ίση με

Ένα συμβάν αντιστοιχεί σε ένα σύνολο σε αεροπλάνο, δηλαδή μισό αεροπλάνο. Τότε η πιθανότητα

Στο ημιεπίπεδο Β, η πυκνότητα της άρθρωσης είναι μηδέν εκτός του συνόλου https://pandia.ru/text/78/107/images/image102_2.gif" width="15" height="17">. Έτσι, το το ημιεπίπεδο Β χωρίζεται σε δύο σύνολα και https://pandia.ru/text/78/107/images/image110_1.gif" width="17" height="23"> και , και το δεύτερο ολοκλήρωμα είναι ίσο με μηδέν, αφού η πυκνότητα της άρθρωσης εκεί είναι ίση με μηδέν. Γι' αυτό

Εάν δοθεί η πυκνότητα κατανομής της άρθρωσης για ένα ζεύγος (x, h), τότε οι πυκνότητες και των δύο συστατικών x και h ονομάζονται ιδιωτικές πυκνότητεςκαι υπολογίζονται με τους τύπους:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif" width="224" height="23 src=">

Για συνεχώς κατανεμημένες τυχαίες μεταβλητές με πυκνότητες рx(х), рh(υ), η ανεξαρτησία σημαίνει ότι

Εργασία 6.Στις συνθήκες του προηγούμενου προβλήματος, προσδιορίστε εάν οι συνιστώσες του τυχαίου διανύσματος x και h είναι ανεξάρτητα;

Διάλυμα. Ας υπολογίσουμε τις μερικές πυκνότητες και . Έχουμε:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif" width="283" height="61 src=">

Προφανώς, στην περίπτωσή μας https://pandia.ru/text/78/107/images/image121_1.gif" width="64" height="25"> είναι η κοινή πυκνότητα των ποσοτήτων x και h και j( Το x, y) είναι συνάρτηση δύο ορισμάτων, λοιπόν

https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif" width="184" height="152 src=">

Εργασία 7.Στις συνθήκες του προηγούμενου προβλήματος, υπολογίστε .

Διάλυμα.Σύμφωνα με τον παραπάνω τύπο έχουμε:

.

Αναπαράσταση του τριγώνου ως

https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif" width="479" height="59">

§ 5. Πυκνότητα του αθροίσματος δύο συνεχών τυχαίων μεταβλητών

Έστω x και h ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές με πυκνότητες https://pandia.ru/text/78/107/images/image128_1.gif" width="43" height="25">. Η πυκνότητα της τυχαίας μεταβλητής x + Το h υπολογίζεται με τον τύπο περιελιγμός

https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif" width="39" height="19 src=">. Υπολογίστε την πυκνότητα του αθροίσματος.

Διάλυμα.Εφόσον τα x και h κατανέμονται σύμφωνα με τον εκθετικό νόμο με την παράμετρο , οι πυκνότητες τους είναι ίσες

Οθεν,

https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif" width="339 height=51" height="51">

Αν x<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">είναι αρνητικό και επομένως . Επομένως, εάν https://pandia.ru/text/78/107/images/image140_0.gif" width="359 height=101" height="101">

Έτσι πήραμε την απάντηση:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif" width="40" height="41 "> κατανέμεται κανονικά με τις παραμέτρους 0 και 1. Οι τυχαίες μεταβλητές x1 και x2 είναι ανεξάρτητες και έχουν κανονικές κατανομές με τις παραμέτρους a1, και a2, αντίστοιχα.

.

Βρείτε τη συνάρτηση κατανομής και την πυκνότητα κατανομής των τιμών:

α) h1 = min (x1, x2, ...xn) ; β) h(2) = max (x1,x2, ... xn)

Οι τυχαίες μεταβλητές x1, x2, ... xn είναι ανεξάρτητες και ομοιόμορφα κατανεμημένες στο διάστημα [a, b]. Βρείτε συναρτήσεις κατανομής και συναρτήσεις πυκνότητας κατανομών μεγεθών

x(1) = min (x1,x2, ... xn) και x(2)= max(x1, x2, ...xn).

Αποδείξτε ότι Mhttps://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" width="176" height="47">.

Η τυχαία μεταβλητή κατανέμεται σύμφωνα με το νόμο του Cauchy Βρείτε: α) συντελεστή a; β) συνάρτηση διανομής. γ) την πιθανότητα να πέσει στο διάστημα (-1, 1). Δείξτε ότι η μαθηματική προσδοκία του x δεν υπάρχει. Η τυχαία μεταβλητή υπόκειται στον νόμο του Laplace με την παράμετρο l (l>0): Βρείτε τον συντελεστή a; Κατασκευή γραφημάτων πυκνότητας κατανομής και συναρτήσεων κατανομής. βρείτε Mx και Dx. βρείτε τις πιθανότητες των γεγονότων (|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:

Γράψτε έναν τύπο για την πυκνότητα κατανομής, βρείτε Mx και Dx.

Υπολογιστικές εργασίες.

Ένα τυχαίο σημείο Α έχει ομοιόμορφη κατανομή σε κύκλο ακτίνας R. Να βρείτε τη μαθηματική προσδοκία και διακύμανση της απόστασης r του σημείου από το κέντρο του κύκλου. Δείξτε ότι η τιμή r2 είναι ομοιόμορφα κατανεμημένη στο τμήμα.

Η πυκνότητα κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής έχει τη μορφή:

Υπολογίστε τη σταθερά C, τη συνάρτηση κατανομής F(x) και την πιθανότητα Η πυκνότητα κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής έχει τη μορφή:

Υπολογίστε τη σταθερά C, τη συνάρτηση κατανομής F(x) και την πιθανότητα Η πυκνότητα κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής έχει τη μορφή:
Υπολογίστε τη σταθερά C, τη συνάρτηση κατανομής F(x), τη διακύμανση και την πιθανότητα Μια τυχαία μεταβλητή έχει συνάρτηση κατανομής

Υπολογίστε την πυκνότητα μιας τυχαίας μεταβλητής, μαθηματική προσδοκία, διακύμανση και πιθανότητα Ελέγξτε ότι η συνάρτηση =
μπορεί να είναι συνάρτηση κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής. Βρείτε τα αριθμητικά χαρακτηριστικά αυτής της ποσότητας: Mx και Dx. Η τυχαία μεταβλητή κατανέμεται ομοιόμορφα στο τμήμα. Γράψτε την πυκνότητα κατανομής. Βρείτε τη συνάρτηση κατανομής. Βρείτε την πιθανότητα να πέσει μια τυχαία μεταβλητή στο τμήμα και στο τμήμα. Η πυκνότητα κατανομής x είναι ίση με

.

Να βρείτε τη σταθερά c, την πυκνότητα κατανομής h = και την πιθανότητα

P (0,25

Ο χρόνος λειτουργίας χωρίς αστοχίες ενός υπολογιστή κατανέμεται σύμφωνα με έναν εκθετικό νόμο με την παράμετρο l = 0,05 (αστοχίες ανά ώρα), δηλαδή έχει συνάρτηση πυκνότητας

p(x) = .

Η επίλυση ενός συγκεκριμένου προβλήματος απαιτεί απρόσκοπτη λειτουργία του μηχανήματος για 15 λεπτά. Εάν παρουσιαστεί αποτυχία κατά την επίλυση ενός προβλήματος, το σφάλμα εντοπίζεται μόνο αφού ολοκληρωθεί η λύση και το πρόβλημα επιλύεται ξανά. Βρείτε: α) την πιθανότητα κατά την επίλυση του προβλήματος να μην συμβεί ούτε μία αστοχία. β) ο μέσος χρόνος κατά τον οποίο θα λυθεί το πρόβλημα.

Μια ράβδος μήκους 24 cm είναι σπασμένη σε δύο μέρη. Θα υποθέσουμε ότι το σημείο θραύσης κατανέμεται ομοιόμορφα σε όλο το μήκος της ράβδου. Ποιο είναι το μέσο μήκος του μεγαλύτερου μέρους της ράβδου; Ένα κομμάτι μήκους 12 cm κόβεται τυχαία σε δύο μέρη. Το σημείο κοπής κατανέμεται ομοιόμορφα σε όλο το μήκος του τμήματος. Ποιο είναι το μέσο μήκος του μικρού τμήματος του τμήματος; Η τυχαία μεταβλητή κατανέμεται ομοιόμορφα στο τμήμα. Να βρείτε την πυκνότητα κατανομής της τυχαίας μεταβλητής α) h1 = 2x + 1; β) h2 =-ln(1-x); γ) h3 = .

Δείξτε ότι αν το x έχει συνάρτηση συνεχούς κατανομής

F(x) = P(x

Να βρείτε τη συνάρτηση πυκνότητας και τη συνάρτηση κατανομής του αθροίσματος δύο ανεξάρτητων μεγεθών x και h με νόμους ομοιόμορφης κατανομής στα τμήματα και, αντίστοιχα. Οι τυχαίες μεταβλητές x και h είναι ανεξάρτητες και ομοιόμορφα κατανεμημένες στα τμήματα και, αντίστοιχα. Να υπολογίσετε την πυκνότητα του αθροίσματος x+h. Οι τυχαίες μεταβλητές x και h είναι ανεξάρτητες και ομοιόμορφα κατανεμημένες στα τμήματα και, αντίστοιχα. Να υπολογίσετε την πυκνότητα του αθροίσματος x+h. Οι τυχαίες μεταβλητές x και h είναι ανεξάρτητες και ομοιόμορφα κατανεμημένες στα τμήματα και, αντίστοιχα. Να υπολογίσετε την πυκνότητα του αθροίσματος x+h. Οι τυχαίες μεταβλητές είναι ανεξάρτητες και έχουν εκθετική κατανομή με πυκνότητα . Να βρείτε την πυκνότητα κατανομής του αθροίσματος τους. Βρείτε την κατανομή του αθροίσματος των ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών x και h, όπου το x έχει ομοιόμορφη κατανομή στο διάστημα και το h έχει εκθετική κατανομή με την παράμετρο l. Βρείτε το Π , αν το x έχει: α) κανονική κατανομή με τις παραμέτρους a και s2; β) εκθετική κατανομή με παράμετρο l. γ) ομοιόμορφη κατανομή στο τμήμα [-1;1]. Η κοινή κατανομή των x, h είναι ομοιόμορφη στο τετράγωνο
K = (x, y): |x| +|y|£ 2). Βρείτε την πιθανότητα . Είναι τα x και h ανεξάρτητα; Ένα ζεύγος τυχαίων μεταβλητών x και h κατανέμονται ομοιόμορφα μέσα στο τρίγωνο K=. Να υπολογίσετε τις πυκνότητες x και h. Είναι αυτές οι τυχαίες μεταβλητές ανεξάρτητες; Βρείτε την πιθανότητα. Οι τυχαίες μεταβλητές x και h είναι ανεξάρτητες και ομοιόμορφα κατανεμημένες στα τμήματα και [-1,1]. Βρείτε την πιθανότητα. Μια δισδιάστατη τυχαία μεταβλητή (x, h) κατανέμεται ομοιόμορφα σε ένα τετράγωνο με κορυφές (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2). Βρείτε την τιμή της συνάρτησης κοινής κατανομής στο σημείο (1, -1). Ένα τυχαίο διάνυσμα (x, h) κατανέμεται ομοιόμορφα μέσα σε έναν κύκλο ακτίνας 3 με κέντρο στην αρχή. Γράψτε μια έκφραση για την πυκνότητα κατανομής της άρθρωσης. Προσδιορίστε εάν αυτές οι τυχαίες μεταβλητές είναι εξαρτημένες. Υπολογίστε την πιθανότητα. Ένα ζεύγος τυχαίων μεταβλητών x και h κατανέμονται ομοιόμορφα μέσα σε ένα τραπέζιο με κορυφές στα σημεία (-6,0), (-3,4), (3,4), (6,0). Βρείτε την κοινή πυκνότητα κατανομής για αυτό το ζεύγος τυχαίων μεταβλητών και την πυκνότητα των συνιστωσών. Τα x και h εξαρτώνται; Ένα τυχαίο ζεύγος (x, h) είναι ομοιόμορφα κατανεμημένο μέσα σε ένα ημικύκλιο. Να βρείτε τις πυκνότητες x και h, να διερευνήσετε το ερώτημα της εξάρτησής τους. Η κοινή πυκνότητα δύο τυχαίων μεταβλητών x και h είναι ίση με .
Να βρείτε τις πυκνότητες x, h. Να διερευνήσετε το ερώτημα της εξάρτησης των x και h. Ένα τυχαίο ζεύγος (x, h) κατανέμεται ομοιόμορφα στο σετ. Να βρείτε τις πυκνότητες x και h, να διερευνήσετε το ερώτημα της εξάρτησής τους. Βρείτε το M(xh). Οι τυχαίες μεταβλητές x και h είναι ανεξάρτητες και κατανέμονται σύμφωνα με έναν εκθετικό νόμο με την παράμετρο Εύρεση