Παραδείγματα ορισμένου ολοκληρώματος κατά εξαρτήματα. Επίλυση ολοκληρωμάτων online

Προηγουμένως, με δεδομένη μια δεδομένη συνάρτηση, καθοδηγούμενη από διάφορους τύπους και κανόνες, βρήκαμε την παράγωγό της. Το παράγωγο έχει πολλές χρήσεις: είναι η ταχύτητα κίνησης (ή, γενικότερα, η ταχύτητα οποιασδήποτε διαδικασίας). ο γωνιακός συντελεστής της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της συνάρτησης. χρησιμοποιώντας την παράγωγο, μπορείτε να εξετάσετε μια συνάρτηση για μονοτονία και ακρότατα. βοηθά στην επίλυση προβλημάτων βελτιστοποίησης.

Αλλά μαζί με το πρόβλημα της εύρεσης της ταχύτητας σύμφωνα με έναν γνωστό νόμο της κίνησης, υπάρχει επίσης ένα αντίστροφο πρόβλημα - το πρόβλημα της επαναφοράς του νόμου της κίνησης σύμφωνα με μια γνωστή ταχύτητα. Ας εξετάσουμε ένα από αυτά τα προβλήματα.

Παράδειγμα 1.Ένα υλικό σημείο κινείται σε ευθεία γραμμή, η ταχύτητα της κίνησής του τη χρονική στιγμή t δίνεται από τον τύπο v=gt. Βρείτε το νόμο της κίνησης.
Διάλυμα. Έστω s = s(t) ο επιθυμητός νόμος κίνησης. Είναι γνωστό ότι s"(t) = v(t). Αυτό σημαίνει ότι για να λύσετε το πρόβλημα πρέπει να επιλέξετε μια συνάρτηση s = s(t), η παράγωγος της οποίας είναι ίση με gt. Δεν είναι δύσκολο να μαντέψετε ότι \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2)\).
\(s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
Απάντηση: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)

Ας σημειώσουμε αμέσως ότι το παράδειγμα έχει λυθεί σωστά, αλλά ελλιπώς. Πήραμε \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). Στην πραγματικότητα, το πρόβλημα έχει άπειρες λύσεις: οποιαδήποτε συνάρτηση της μορφής \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\), όπου το C είναι μια αυθαίρετη σταθερά, μπορεί να χρησιμεύσει ως νόμος του κίνηση, αφού \(\αριστερά (\frac(gt^2)(2) +C \δεξιά)" = gt \)

Για να κάνουμε το πρόβλημα πιο συγκεκριμένο, έπρεπε να διορθώσουμε την αρχική κατάσταση: να υποδείξουμε τη συντεταγμένη ενός κινούμενου σημείου σε κάποια χρονική στιγμή, για παράδειγμα στο t = 0. Αν, ας πούμε, s(0) = s 0, τότε από το ισότητα s(t) = (gt 2)/2 + C παίρνουμε: s(0) = 0 + C, δηλαδή C = s 0. Τώρα ο νόμος της κίνησης ορίζεται μοναδικά: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.

Στα μαθηματικά, στις αμοιβαία αντίστροφες πράξεις δίνονται διαφορετικά ονόματα, επινοούνται ειδικοί συμβολισμοί, για παράδειγμα: τετραγωνισμός (x 2) και τετραγωνική ρίζα (\(\sqrt(x)\)), ημίτονο (sin x) και arcsine (arcsin x) και κλπ. Η διαδικασία εύρεσης της παραγώγου μιας δεδομένης συνάρτησης ονομάζεται διάκριση, και η αντίστροφη πράξη, δηλαδή η διαδικασία εύρεσης μιας συνάρτησης από μια δεδομένη παράγωγο, είναι ολοκλήρωση.

Ο ίδιος ο όρος «παράγωγο» μπορεί να δικαιολογηθεί «με καθημερινούς όρους»: η συνάρτηση y = f(x) «γεννά» μια νέα συνάρτηση y" = f"(x). Η συνάρτηση y = f(x) λειτουργεί σαν να ήταν «γονέας», αλλά οι μαθηματικοί, φυσικά, δεν την αποκαλούν «γονέα» ή «παραγωγό» λένε ότι είναι, σε σχέση με τη συνάρτηση y» = f"(x) , κύρια εικόνα ή πρωτόγονη.

Ορισμός.Η συνάρτηση y = F(x) ονομάζεται αντιπαράγωγος για τη συνάρτηση y = f(x) στο διάστημα X αν η ισότητα F"(x) = f(x) ισχύει για \(x \σε X\)

Στην πράξη, το διάστημα X συνήθως δεν προσδιορίζεται, αλλά υπονοείται (ως το φυσικό πεδίο ορισμού της συνάρτησης).

Ας δώσουμε παραδείγματα.
1) Η συνάρτηση y = x 2 είναι αντιπαράγωγος για τη συνάρτηση y = 2x, αφού για κάθε x η ισότητα (x 2)" = 2x είναι αληθής
2) Η συνάρτηση y = x 3 είναι αντιπαράγωγος για τη συνάρτηση y = 3x 2, αφού για κάθε x η ισότητα (x 3)" = 3x 2 είναι αληθής
3) Η συνάρτηση y = sin(x) είναι αντιπαράγωγος για τη συνάρτηση y = cos(x), αφού για κάθε x η ισότητα (sin(x))" = cos(x) είναι αληθής

Κατά την εύρεση αντιπαραγώγων, καθώς και παραγώγων, δεν χρησιμοποιούνται μόνο τύποι, αλλά και ορισμένοι κανόνες. Σχετίζονται άμεσα με τους αντίστοιχους κανόνες για τον υπολογισμό των παραγώγων.

Γνωρίζουμε ότι η παράγωγος ενός αθροίσματος είναι ίση με το άθροισμα των παραγώγων του. Αυτός ο κανόνας δημιουργεί τον αντίστοιχο κανόνα για την εύρεση αντιπαραγώγων.

Κανόνας 1.Το αντιπαράγωγο ενός αθροίσματος είναι ίσο με το άθροισμα των αντιπαραγώγων.

Γνωρίζουμε ότι ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο της παραγώγου. Αυτός ο κανόνας δημιουργεί τον αντίστοιχο κανόνα για την εύρεση αντιπαραγώγων.

Κανόνας 2.Εάν το F(x) είναι ένα αντιπαράγωγο για το f(x), τότε το kF(x) είναι ένα αντιπαράγωγο για το kf(x).

Θεώρημα 1.Αν y = F(x) είναι αντιπαράγωγος για τη συνάρτηση y = f(x), τότε η αντιπαράγωγος για τη συνάρτηση y = f(kx + m) είναι η συνάρτηση \(y=\frac(1)(k)F (kx+m) \)

Θεώρημα 2.Αν το y = F(x) είναι αντιπαράγωγο για τη συνάρτηση y = f(x) στο διάστημα X, τότε η συνάρτηση y = f(x) έχει άπειρα πολλά αντιπαράγωγα και όλα έχουν τη μορφή y = F(x) + Γ.

Μέθοδοι ολοκλήρωσης

Μέθοδος αντικατάστασης μεταβλητής (μέθοδος αντικατάστασης)

Η μέθοδος ολοκλήρωσης με υποκατάσταση περιλαμβάνει την εισαγωγή μιας νέας μεταβλητής ολοκλήρωσης (δηλαδή υποκατάστασης). Σε αυτήν την περίπτωση, το δεδομένο ολοκλήρωμα ανάγεται σε ένα νέο ολοκλήρωμα, το οποίο είναι πίνακας ή αναγώγιμο σε αυτό. Δεν υπάρχουν γενικές μέθοδοι για την επιλογή αντικαταστάσεων. Η ικανότητα ορθού προσδιορισμού της υποκατάστασης αποκτάται μέσω της εξάσκησης.
Ας είναι απαραίτητο να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα \(\textstyle \int F(x)dx \). Ας κάνουμε την αντικατάσταση \(x= \varphi(t) \) όπου \(\varphi(t) \) είναι μια συνάρτηση που έχει συνεχή παράγωγο.
Στη συνέχεια, \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) και με βάση την ιδιότητα αμετάβλητης του τύπου ολοκλήρωσης για το αόριστο ολοκλήρωμα, λαμβάνουμε τον τύπο ολοκλήρωσης με αντικατάσταση:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)

Ενσωμάτωση εκφράσεων της μορφής \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)

Αν το m είναι περιττό, m > 0, τότε είναι πιο βολικό να γίνει η αντικατάσταση sin x = t.
Αν το n είναι περιττό, n > 0, τότε είναι πιο βολικό να γίνει η αντικατάσταση cos x = t.
Αν τα n και m είναι άρτια, τότε είναι πιο βολικό να γίνει η αντικατάσταση tg x = t.

Ενσωμάτωση κατά εξαρτήματα

Ενσωμάτωση ανά εξαρτήματα - εφαρμόζοντας τον ακόλουθο τύπο για ενσωμάτωση:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
ή:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)

Πίνακας αόριστων ολοκληρωμάτων (αντιπαράγωγα) ορισμένων συναρτήσεων

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$

Ενσωμάτωση κατά εξαρτήματα. Παραδείγματα λύσεων

Γεια σας και πάλι. Σήμερα στο μάθημα θα μάθουμε πώς να ενσωματώνουμε ανά μέρη. Η μέθοδος ολοκλήρωσης με μέρη είναι ένας από τους ακρογωνιαίους λίθους του ολοκληρωτικού λογισμού. Κατά τη διάρκεια δοκιμών ή εξετάσεων, οι μαθητές καλούνται σχεδόν πάντα να λύσουν τους ακόλουθους τύπους ολοκληρωμάτων: το απλούστερο ολοκλήρωμα (δείτε άρθρο)ή ολοκλήρωμα αντικαθιστώντας μια μεταβλητή (δείτε άρθρο)ή το ολοκλήρωμα είναι απλώς ενεργοποιημένο μέθοδος ενσωμάτωσης με ανταλλακτικά.

Όπως πάντα, θα πρέπει να έχετε σε ετοιμότητα: Πίνακας ολοκληρωμάτωνΚαι Πίνακας παραγώγων. Εάν εξακολουθείτε να μην τα έχετε, επισκεφθείτε τον αποθηκευτικό χώρο του ιστότοπού μου: Μαθηματικοί τύποι και πίνακες. Δεν θα κουραστώ να επαναλαμβάνω - είναι καλύτερα να εκτυπώσετε τα πάντα. Θα προσπαθήσω να παρουσιάσω όλο το υλικό με συνέπεια, απλά και ξεκάθαρα, δεν υπάρχουν ιδιαίτερες δυσκολίες στην ενσωμάτωση των μερών.

Ποιο πρόβλημα λύνει η μέθοδος ενσωμάτωσης με εξαρτήματα; Η μέθοδος ολοκλήρωσης ανά εξαρτήματα λύνει ένα πολύ σημαντικό πρόβλημα, σας επιτρέπει να ενσωματώσετε ορισμένες λειτουργίες που δεν περιλαμβάνονται στον πίνακα, εργασίασυναρτήσεις, και σε ορισμένες περιπτώσεις – ακόμη και πηλίκα. Όπως θυμόμαστε, δεν υπάρχει βολική φόρμουλα: . Υπάρχει όμως αυτό: – τύπος για ενσωμάτωση από εξαρτήματα αυτοπροσώπως. Ξέρω, ξέρω, είσαι ο μόνος - θα συνεργαστούμε μαζί της καθ' όλη τη διάρκεια του μαθήματος (είναι πιο εύκολο τώρα).

Και αμέσως η λίστα αποστέλλεται στο στούντιο. Τα ολοκληρώματα των ακόλουθων τύπων λαμβάνονται ανά μέρη:

1) , , – λογάριθμος, λογάριθμος πολλαπλασιασμένος με κάποιο πολυώνυμο.

2) ,είναι μια εκθετική συνάρτηση πολλαπλασιαζόμενη με κάποιο πολυώνυμο. Αυτό περιλαμβάνει επίσης ολοκληρώματα όπως - μια εκθετική συνάρτηση πολλαπλασιαζόμενη με ένα πολυώνυμο, αλλά στην πράξη αυτό είναι 97 τοις εκατό, κάτω από το ολοκλήρωμα υπάρχει ένα ωραίο γράμμα "e". ... το άρθρο αποδεικνύεται κάπως λυρικό, ω ναι ... ήρθε η άνοιξη.

3) , , είναι τριγωνομετρικές συναρτήσεις πολλαπλασιαζόμενες με κάποιο πολυώνυμο.

4) , – αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις («καμάρες»), «καμάρες» πολλαπλασιασμένες με κάποιο πολυώνυμο.

Μερικά κλάσματα λαμβάνονται επίσης σε μέρη, θα εξετάσουμε επίσης τα αντίστοιχα παραδείγματα λεπτομερώς.

Ολοκληρώματα λογαρίθμων

Παράδειγμα 1

Κλασσικός. Κατά καιρούς αυτό το ολοκλήρωμα μπορεί να βρεθεί σε πίνακες, αλλά δεν είναι σκόπιμο να χρησιμοποιήσετε μια έτοιμη απάντηση, καθώς ο δάσκαλος έχει ανεπάρκεια βιταμινών της άνοιξης και θα βρίζει βαριά. Επειδή το ολοκλήρωμα που εξετάζουμε δεν είναι σε καμία περίπτωση πίνακα - λαμβάνεται σε μέρη. Αποφασίζουμε:

Διακόπτουμε τη λύση για ενδιάμεσες εξηγήσεις.

Χρησιμοποιούμε τον τύπο ολοκλήρωσης με μέρη:

Ο τύπος εφαρμόζεται από αριστερά προς τα δεξιά

Κοιτάμε την αριστερή πλευρά: . Προφανώς, στο παράδειγμά μας (και σε όλα τα άλλα που θα εξετάσουμε) κάτι πρέπει να οριστεί ως , και κάτι ως .

Στα ολοκληρώματα του υπό εξέταση τύπου, ο λογάριθμος συμβολίζεται πάντα.

Τεχνικά, ο σχεδιασμός της λύσης υλοποιείται ως εξής:

Δηλαδή, συμβολίσαμε τον λογάριθμο με και με - τα υπόλοιπαολοκληρωμένη έκφραση.

Επόμενο στάδιο: βρείτε το διαφορικό:

Ένα διαφορικό είναι σχεδόν το ίδιο με ένα παράγωγο, έχουμε ήδη συζητήσει πώς να το βρούμε σε προηγούμενα μαθήματα.

Τώρα βρίσκουμε τη συνάρτηση. Για να βρείτε τη συνάρτηση που πρέπει να ενσωματώσετε δεξιά πλευράχαμηλότερη ισότητα:

Τώρα ανοίγουμε τη λύση μας και κατασκευάζουμε τη δεξιά πλευρά του τύπου: .
Παρεμπιπτόντως, εδώ είναι ένα δείγμα της τελικής λύσης με μερικές σημειώσεις:

Το μόνο σημείο στην εργασία είναι ότι αντάλλαξα αμέσως και , αφού συνηθίζεται να γράφουμε τον παράγοντα πριν από τον λογάριθμο.

Όπως μπορείτε να δείτε, η εφαρμογή της φόρμουλας ολοκλήρωσης ανά εξαρτήματα μείωσε ουσιαστικά τη λύση μας σε δύο απλά ολοκληρώματα.

Σημειώστε ότι σε ορισμένες περιπτώσεις αμέσως μετάΕφαρμογή του τύπου, πραγματοποιείται αναγκαστικά μια απλοποίηση κάτω από το υπόλοιπο ολοκλήρωμα - στο υπό εξέταση παράδειγμα, μειώσαμε το ολοκλήρωμα σε "x".

Ας ελέγξουμε. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να πάρετε την παράγωγο της απάντησης:

Έχει ληφθεί η αρχική συνάρτηση ολοκλήρωσης, που σημαίνει ότι το ολοκλήρωμα έχει λυθεί σωστά.

Κατά τη διάρκεια της δοκιμής, χρησιμοποιήσαμε τον κανόνα διαφοροποίησης προϊόντων: . Και αυτό δεν είναι τυχαίο.

Φόρμουλα για ενσωμάτωση ανά εξαρτήματα και φόρμουλα – αυτοί είναι δύο αμοιβαία αντίστροφοι κανόνες.

Παράδειγμα 2

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα.

Το ολοκλήρωμα είναι το γινόμενο ενός λογάριθμου και ενός πολυωνύμου.
Ας αποφασίσουμε.

Θα περιγράψω για άλλη μια φορά λεπτομερώς τη διαδικασία εφαρμογής του κανόνα στο μέλλον, παραδείγματα θα παρουσιαστούν πιο συνοπτικά και εάν έχετε δυσκολίες να το λύσετε μόνοι σας, πρέπει να επιστρέψετε στα δύο πρώτα παραδείγματα του μαθήματος. .

Όπως ήδη αναφέρθηκε, είναι απαραίτητο να υποδηλωθεί ο λογάριθμος (το γεγονός ότι είναι δύναμη δεν έχει σημασία). Δηλώνουμε με τα υπόλοιπαολοκληρωμένη έκφραση.

Γράφουμε στη στήλη:

Πρώτα βρίσκουμε τη διαφορά:

Εδώ χρησιμοποιούμε τον κανόνα για τη διαφοροποίηση μιας σύνθετης συνάρτησης . Δεν είναι τυχαίο ότι στο πρώτο κιόλας μάθημα του θέματος Αόριστο ολοκλήρωμα. Παραδείγματα λύσεωνΕστίασα στο γεγονός ότι για να κατακτήσετε τα ολοκληρώματα, είναι απαραίτητο να "πάρετε στα χέρια σας" παράγωγα. Θα χρειαστεί να ασχοληθείτε με παράγωγα περισσότερες από μία φορές.

Τώρα βρίσκουμε τη συνάρτηση, για αυτό ενσωματώνουμε δεξιά πλευράχαμηλότερη ισότητα:

Για την ολοκλήρωση χρησιμοποιήσαμε τον απλούστερο πίνακα τύπου

Τώρα όλα είναι έτοιμα για την εφαρμογή της φόρμουλας . Ανοίξτε με έναν αστερίσκο και «κατασκευάστε» τη λύση σύμφωνα με τη δεξιά πλευρά:

Κάτω από το ολοκλήρωμα έχουμε πάλι πολυώνυμο για τον λογάριθμο! Επομένως, η λύση διακόπτεται και πάλι και εφαρμόζεται για δεύτερη φορά ο κανόνας της ενσωμάτωσης κατά εξαρτήματα. Μην ξεχνάτε ότι σε παρόμοιες καταστάσεις ο λογάριθμος συμβολίζεται πάντα.

Καλό θα ήταν να ήξερες μέχρι τώρα πώς να βρίσκεις προφορικά τα απλούστερα ολοκληρώματα και παράγωγα.

(1) Μην μπερδεύεστε με τα σημάδια! Πολύ συχνά το μείον χάνεται εδώ, σημειώστε επίσης ότι το μείον αναφέρεται σε όλουςυποστήριγμα , και αυτές οι αγκύλες πρέπει να επεκταθούν σωστά.

(2) Ανοίξτε τις αγκύλες. Απλοποιούμε το τελευταίο ολοκλήρωμα.

(3) Παίρνουμε το τελευταίο ολοκλήρωμα.

(4) «Χτενίζοντας» την απάντηση.

Η ανάγκη εφαρμογής του κανόνα της ενσωμάτωσης ανά εξαρτήματα δύο φορές (ή και τρεις φορές) δεν προκύπτει πολύ σπάνια.

Και τώρα μερικά παραδείγματα για τη δική σας λύση:

Παράδειγμα 3

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα.

Αυτό το παράδειγμα λύνεται αλλάζοντας τη μεταβλητή (ή αντικαθιστώντας την κάτω από το διαφορικό πρόσημο)! Γιατί όχι - μπορείτε να δοκιμάσετε να το πάρετε σε μέρη, θα αποδειχθεί αστείο.

Παράδειγμα 4

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα.

Αλλά αυτό το ολοκλήρωμα ενσωματώνεται από μέρη (το υποσχεμένο κλάσμα).

Αυτά είναι παραδείγματα για να λύσετε μόνοι σας, λύσεις και απαντήσεις στο τέλος του μαθήματος.

Φαίνεται ότι στα παραδείγματα 3 και 4 τα ολοκληρώματα είναι παρόμοια, αλλά οι μέθοδοι επίλυσης είναι διαφορετικές! Αυτή είναι η κύρια δυσκολία στον έλεγχο των ολοκληρωμάτων - εάν επιλέξετε τη λάθος μέθοδο για την επίλυση ενός ολοκληρώματος, τότε μπορείτε να το πειράζετε για ώρες, όπως με ένα πραγματικό παζλ. Επομένως, όσο περισσότερα λύνετε διάφορα ολοκληρώματα, τόσο το καλύτερο, τόσο πιο εύκολο θα είναι το τεστ και η εξέταση. Επιπλέον, το δεύτερο έτος θα υπάρχουν διαφορικές εξισώσεις και χωρίς εμπειρία στην επίλυση ολοκληρωμάτων και παραγώγων δεν υπάρχει τίποτα να κάνουμε εκεί.

Όσον αφορά τους λογαρίθμους, αυτό είναι μάλλον υπεραρκετό. Επιπλέον, μπορώ επίσης να θυμηθώ ότι οι φοιτητές μηχανικών χρησιμοποιούν λογάριθμους για να αποκαλούν γυναικεία στήθη =). Παρεμπιπτόντως, είναι χρήσιμο να γνωρίζουμε από καρδιάς τις γραφικές παραστάσεις των κύριων στοιχειωδών συναρτήσεων: ημίτονο, συνημίτονο, τοξοφθάνο, εκθέτη, πολυώνυμα τρίτου, τέταρτου βαθμού κ.λπ. Όχι, φυσικά, ένα προφυλακτικό στον κόσμο
Δεν θα το τεντώσω, αλλά τώρα θα θυμάστε πολλά από την ενότητα Διαγράμματα και λειτουργίες =).

Ολοκληρώματα μιας εκθετικής πολλαπλασιαζόμενης με ένα πολυώνυμο

Γενικός κανόνας:

Παράδειγμα 5

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα.

Χρησιμοποιώντας έναν γνωστό αλγόριθμο, ενσωματώνουμε ανά μέρη:

Εάν αντιμετωπίζετε δυσκολίες με το ολοκλήρωμα, τότε θα πρέπει να επιστρέψετε στο άρθρο Μέθοδος μεταβλητής μεταβολής σε αόριστο ολοκλήρωμα.

Το μόνο άλλο πράγμα που μπορείτε να κάνετε είναι να τροποποιήσετε την απάντηση:

Αλλά αν η τεχνική υπολογισμού σας δεν είναι πολύ καλή, τότε η πιο κερδοφόρα επιλογή είναι να την αφήσετε ως απάντηση ή ακόμα και

Δηλαδή, το παράδειγμα θεωρείται λυμένο όταν ληφθεί το τελευταίο ολοκλήρωμα. Δεν θα είναι λάθος, είναι άλλο θέμα που ο δάσκαλος μπορεί να σας ζητήσει να απλοποιήσετε την απάντηση.

Παράδειγμα 6

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα.

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας. Αυτό το ολοκλήρωμα ενσωματώνεται δύο φορές από εξαρτήματα. Ιδιαίτερη προσοχή πρέπει να δοθεί στα σημάδια - είναι εύκολο να μπερδευτείτε σε αυτά, θυμόμαστε επίσης ότι αυτή είναι μια πολύπλοκη λειτουργία.

Δεν υπάρχει τίποτα άλλο να πούμε για τον εκθέτη. Μπορώ μόνο να προσθέσω ότι ο εκθετικός και ο φυσικός λογάριθμος είναι αμοιβαία αντίστροφες συναρτήσεις, είμαι εγώ στο θέμα των ψυχαγωγικών γραφημάτων ανώτερων μαθηματικών =) Σταματήστε, σταματήστε, μην ανησυχείτε, ο λέκτορας είναι νηφάλιος.

Ολοκληρώματα τριγωνομετρικών συναρτήσεων πολλαπλασιαζόμενα με ένα πολυώνυμο

Γενικός κανόνας: for δηλώνει πάντα ένα πολυώνυμο

Παράδειγμα 7

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα.

Ας ενσωματώσουμε κατά μέρη:

Χμμμ...και δεν υπάρχει τίποτα να σχολιάσω.

Παράδειγμα 8

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να λύσετε μόνοι σας

Παράδειγμα 9

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα

Ένα άλλο παράδειγμα με ένα κλάσμα. Όπως και στα δύο προηγούμενα παραδείγματα, το for υποδηλώνει ένα πολυώνυμο.

Ας ενσωματώσουμε κατά μέρη:

Εάν έχετε οποιεσδήποτε δυσκολίες ή παρεξηγήσεις με την εύρεση του ολοκληρώματος, σας προτείνω να παρακολουθήσετε το μάθημα Ολοκληρώματα τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

Παράδειγμα 10

Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας.

Συμβουλή: Πριν χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο ολοκλήρωσης με μέρη, θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε κάποιο τριγωνομετρικό τύπο που μετατρέπει το γινόμενο δύο τριγωνομετρικών συναρτήσεων σε μία συνάρτηση. Ο τύπος μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί κατά την εφαρμογή της μεθόδου ενσωμάτωσης ανά εξαρτήματα, όποιο είναι πιο βολικό για εσάς.

Αυτό είναι μάλλον όλο σε αυτή την παράγραφο. Για κάποιο λόγο θυμήθηκα μια γραμμή από τον ύμνο της φυσικής και των μαθηματικών «Και το ημιτονογράφημα τρέχει κύμα μετά κύμα κατά μήκος του άξονα της τετμημένης»….

Ολοκληρώματα αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων.
Ολοκληρώματα αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων πολλαπλασιαζόμενα με ένα πολυώνυμο

Γενικός κανόνας: δηλώνει πάντα την αντίστροφη τριγωνομετρική συνάρτηση.

Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω ότι οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις περιλαμβάνουν τόξο, αρκοσίνη, τόξο και εφαπτομένη. Για λόγους συντομίας του δίσκου θα τα ονομάσω "καμάρες"