Γραφική μέθοδος επίλυσης συστήματος εξισώσεων. Γραφική λύση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων

Πίσω μπροστά

Προσοχή! Οι προεπισκοπήσεις διαφανειών είναι μόνο για ενημερωτικούς σκοπούς και ενδέχεται να μην αντιπροσωπεύουν όλα τα χαρακτηριστικά της παρουσίασης. Εάν ενδιαφέρεστε για αυτό το έργο, κατεβάστε την πλήρη έκδοση.

Στόχοι και στόχοι του μαθήματος:

• Συνέχιση της εργασίας για την ανάπτυξη δεξιοτήτων επίλυσης συστημάτων εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη γραφική μέθοδο.
• διεξαγωγή έρευνας και εξαγωγή συμπερασμάτων σχετικά με τον αριθμό των λύσεων σε ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων.
• αναπτύξουν ενδιαφέρον για το θέμα μέσα από το παιχνίδι.

ΚΑΤΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

1. Οργανωτική στιγμή (Συνάντηση προγραμματισμού)- 2 λεπτά.

- Καλό απόγευμα! Ξεκινάμε την παραδοσιακή μας συνάντηση προγραμματισμού. Είμαστε στην ευχάριστη θέση να καλωσορίσουμε όλους όσους μας επισκέπτονται σήμερα στο εργαστήριό μας (εκπροσωπώ τους καλεσμένους). Το εργαστήριό μας ονομάζεται: “ΔΟΥΛΕΙΑ ΜΕ ενδιαφέρον και ευχαρίστηση”(εμφανίζει τη διαφάνεια 2). Το όνομα λειτουργεί ως σύνθημα στη δουλειά μας. «Δημιουργήστε, Αποφασίστε, Μάθετε, Πετύχετε με ενδιαφέρον και ευχαρίστηση" Αγαπητοί επισκέπτες, σας παρουσιάζω τους επικεφαλής του εργαστηρίου μας (διαφάνεια 3).
Το εργαστήριό μας ασχολείται με τη μελέτη επιστημονικών εργασιών, την έρευνα, την εξέταση και τις εργασίες για τη δημιουργία δημιουργικών έργων.
Σήμερα το θέμα της συζήτησής μας είναι: «Γραφική λύση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων». (Προτείνω να γράψετε το θέμα του μαθήματος)

Το πρόγραμμα της ημέρας:(διαφάνεια 4)

1. Προγραμματισμός συνάντησης
2. Διευρυμένο ακαδημαϊκό συμβούλιο:

• Ομιλίες για το θέμα
• Άδεια εργασίας

3. Εμπειρογνωμοσύνη
4. Έρευνα και ανακάλυψη
5. Δημιουργικό έργο
6. Έκθεση
7. Προγραμματισμός

2. Ερωτήσεις και προφορικές εργασίες (Ευρυμένο Ακαδημαϊκό Συμβούλιο)- 10 λεπτά.

– Σήμερα πραγματοποιούμε διευρυμένο επιστημονικό συμβούλιο, στο οποίο συμμετέχουν όχι μόνο οι προϊστάμενοι των τμημάτων, αλλά και όλα τα μέλη της ομάδας μας. Το εργαστήριο μόλις ξεκίνησε τις εργασίες για το θέμα: «Γραφική λύση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων». Πρέπει να προσπαθήσουμε να επιτύχουμε τα υψηλότερα επιτεύγματα σε αυτό το θέμα. Το εργαστήριό μας θα πρέπει να είναι γνωστό για την ποιότητα της έρευνάς του σε αυτό το θέμα. Ως ανώτερος ερευνητής, εύχομαι σε όλους καλή τύχη!

Τα αποτελέσματα της έρευνας θα αναφερθούν στον επικεφαλής του εργαστηρίου.

Ο λόγος για μια αναφορά για την επίλυση συστημάτων εξισώσεων είναι... (καλώ τον μαθητή στον πίνακα). Δίνω στην εργασία μια εργασία (κάρτα 1).

Και ο βοηθός εργαστηρίου... (δίνω το επίθετό του) θα σας υπενθυμίσει πώς να γράφετε μια συνάρτηση με συντελεστή. Σου δίνω την κάρτα 2.

Κάρτα 1(λύση για την εργασία στη διαφάνεια 7)

Λύστε το σύστημα των εξισώσεων:

Κάρτα 2(λύση για την εργασία στη διαφάνεια 9)

Γράφημα τη συνάρτηση: y = | 1,5x – 3 |

Ενώ το προσωπικό προετοιμάζεται για την έκθεση, θα ελέγξω πόσο προετοιμασμένοι είστε για να ολοκληρώσετε την έρευνα. Καθένας από εσάς πρέπει να λάβει άδεια για να εργαστεί. (Ξεκινάμε την προφορική μέτρηση γράφοντας τις απαντήσεις σε ένα τετράδιο)

Άδεια εργασίας(εργασίες στις διαφάνειες 5 και 6)

1) Express στοδιά μέσου Χ:

3x + y = 4 (y = 4 – 3x)
5x – y = 2 (y = 5x – 2)
1/2y – x = 7 (y = 2x + 14)
2x + 1/3y – 1 = 0 (y = – 6x + 3)

2) Λύστε την εξίσωση:

5x + 2 = 0 (x = – 2/5)
4x – 3 = 0 (x = 3/4)
2 – 3x = 0 (x = 2/3)
1/3x + 4 = 0 (x = – 12)

3) Δίνεται ένα σύστημα εξισώσεων:

Ποιο από τα ζεύγη αριθμών (– 1; 1) ή (1; – 1) είναι η λύση αυτού του συστήματος εξισώσεων;

Απάντηση: (1; – 1)

Αμέσως μετά από κάθε τμήμα προφορικού υπολογισμού, οι μαθητές ανταλλάσσουν σημειωματάρια (με έναν μαθητή να κάθεται δίπλα τους στην ίδια ενότητα), οι σωστές απαντήσεις εμφανίζονται στις διαφάνειες. Ο επιθεωρητής δίνει ένα συν ή πλην. Στο τέλος της εργασίας, οι επικεφαλής των τμημάτων εισάγουν τα αποτελέσματα στον συνοπτικό πίνακα (βλ. παρακάτω). Δίνεται 1 βαθμός για κάθε παράδειγμα (μπορεί να πάρεις 9 βαθμούς).
Όσοι συγκεντρώσουν 5 ή περισσότερους βαθμούς επιτρέπεται να εργαστούν. Οι υπόλοιποι λαμβάνουν υπό όρους εισαγωγή, δηλ. θα κληθεί να εργάζεται υπό την επίβλεψη του προϊσταμένου του τμήματος.

Πίνακας (συμπληρώνεται από το αφεντικό)

(Οι πίνακες εκδίδονται πριν την έναρξη του μαθήματος)

Αφού λάβουμε την εισαγωγή, ακούμε τις απαντήσεις των μαθητών στον πίνακα. Για την απάντηση, ο μαθητής λαμβάνει 9 μόρια εάν η απάντηση είναι πλήρης (ο μέγιστος αριθμός για εισαγωγή), 4 μόρια εάν η απάντηση δεν είναι πλήρης. Οι βαθμοί εισάγονται στη στήλη «εισδοχή».
Εάν η λύση στον πίνακα είναι σωστή, τότε οι διαφάνειες 7 και 9 δεν χρειάζεται να εμφανίζονται. Εάν η λύση είναι σωστή, αλλά δεν εκτελείται ξεκάθαρα ή η λύση είναι λανθασμένη, τότε οι διαφάνειες πρέπει να εμφανίζονται με επεξηγήσεις.
Δείχνω πάντα τη διαφάνεια 8 μετά την απάντηση του μαθητή στην κάρτα 1. Σε αυτήν τη διαφάνεια, τα συμπεράσματα είναι σημαντικά για το μάθημα.

Αλγόριθμος για την επίλυση συστημάτων γραφικά:

• Να εκφράσετε το y ως x σε κάθε εξίσωση του συστήματος.
• Γράφημα κάθε εξίσωση του συστήματος.
• Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων τομής των γραφημάτων.
• Πραγματοποιήστε έναν έλεγχο (εφιστώ την προσοχή των μαθητών στο γεγονός ότι η γραφική μέθοδος δίνει συνήθως μια κατά προσέγγιση λύση, αλλά αν η τομή των γραφημάτων χτυπήσει ένα σημείο με ολόκληρες συντεταγμένες, μπορείτε να ελέγξετε και να πάρετε μια ακριβή απάντηση).
• Γράψτε την απάντηση.

3. Ασκήσεις (Εξέταση)- 5 λεπτά.

Χθες έγιναν σοβαρά λάθη στη δουλειά κάποιων εργαζομένων. Σήμερα είστε ήδη πιο ικανοί στο θέμα των γραφικών λύσεων. Καλείστε να πραγματοποιήσετε εξέταση των προτεινόμενων λύσεων, π.χ. βρείτε λάθη στις λύσεις. Εμφανίζεται η διαφάνεια 10.
Γίνονται εργασίες σε τμήματα. (Φωτοαντίγραφα εργασιών με λάθη δίνονται σε κάθε θρανίο· σε κάθε τμήμα, οι υπάλληλοι πρέπει να βρίσκουν λάθη και να τα επισημαίνουν ή να τα διορθώνουν· φωτοαντίγραφα πρέπει να παραδίδονται στον ανώτερο ερευνητή, δηλαδή στον καθηγητή). Το αφεντικό προσθέτει 2 βαθμούς σε όσους βρουν και διορθώσουν το λάθος. Στη συνέχεια συζητάμε τα λάθη που έγιναν και τα υποδεικνύουμε στη διαφάνεια 10.

Σφάλμα 1

Λύστε το σύστημα των εξισώσεων:

Απάντηση: δεν υπάρχουν λύσεις.

Οι μαθητές πρέπει να συνεχίσουν τις γραμμές μέχρι να τέμνονται και να λάβουν την απάντηση: (– 2; 1).

Σφάλμα 2.

Λύστε το σύστημα των εξισώσεων:

Απάντηση: (1; 4).

Οι μαθητές πρέπει να βρουν το λάθος στο μετασχηματισμό της πρώτης εξίσωσης και να το διορθώσουν στο έτοιμο σχέδιο. Λάβετε άλλη απάντηση: (2; 5).

4. Επεξήγηση νέου υλικού (Έρευνα και ανακάλυψη)– 12 λεπτά.

Προτείνω στους μαθητές να λύσουν τρία συστήματα γραφικά. Κάθε μαθητής λύνει ανεξάρτητα σε ένα τετράδιο. Μόνο όσοι έχουν άδεια υπό όρους μπορούν να συμβουλευτούν.

Λύση

Χωρίς τη σχεδίαση γραφημάτων, είναι σαφές ότι οι ευθείες γραμμές θα συμπίπτουν.

Η διαφάνεια 11 δείχνει τη λύση συστημάτων. Αναμένεται ότι οι μαθητές θα δυσκολευτούν να γράψουν την απάντηση στο παράδειγμα 3. Αφού δουλέψουμε στα τμήματα, ελέγχουμε τη λύση (το αφεντικό προσθέτει 2 βαθμούς για τη σωστή). Τώρα είναι ώρα να συζητήσουμε πόσες λύσεις μπορεί να έχει ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων.
Οι μαθητές πρέπει να βγάλουν μόνοι τους συμπεράσματα και να τα εξηγήσουν, αναφέροντας τις περιπτώσεις των σχετικών θέσεων των γραμμών σε ένα επίπεδο (διαφάνεια 12).

5. Δημιουργικό έργο (Ασκήσεις)– 12 λεπτά.

Η εργασία δίνεται για το τμήμα. Το αφεντικό δίνει σε κάθε βοηθό εργαστηρίου, ανάλογα με τις ικανότητές του, ένα κομμάτι της απόδοσής του.

Λύστε γραφικά συστήματα εξισώσεων:

Αφού ανοίξουν τις αγκύλες, οι μαθητές θα πρέπει να λάβουν το σύστημα:

Αφού ανοίξουμε τις παρενθέσεις, η πρώτη εξίσωση μοιάζει με: y = 2/3x + 4.

6. Αναφορά (έλεγχος της ολοκλήρωσης της εργασίας)- 2 λεπτά.

Μετά την ολοκλήρωση μιας δημιουργικής εργασίας, οι μαθητές παραδίδουν τα τετράδιά τους. Στη διαφάνεια 13 δείχνω τι έπρεπε να συμβεί. Τα αφεντικά παραδίδουν το τραπέζι. Η τελευταία στήλη συμπληρώνεται από τον δάσκαλο και σημειώνεται (οι βαθμοί μπορούν να κοινοποιηθούν στους μαθητές στο επόμενο μάθημα). Στο έργο, η λύση στο πρώτο σύστημα αξιολογείται με τρεις βαθμούς και το δεύτερο - με τέσσερις.

7. Σχεδιασμός (σύνοψη και κατ' οίκον εργασία)- 2 λεπτά.

Ας συνοψίσουμε τη δουλειά μας. Κάναμε καλή δουλειά. Θα μιλήσουμε συγκεκριμένα για τα αποτελέσματα αύριο στη συνάντηση προγραμματισμού. Φυσικά, όλοι ανεξαιρέτως οι εργαστηριακοί βοηθοί κατέκτησαν τη γραφική μέθοδο επίλυσης συστημάτων εξισώσεων και έμαθαν πόσες λύσεις μπορεί να έχει ένα σύστημα. Αύριο ο καθένας σας θα έχει ένα προσωπικό έργο. Για πρόσθετη προετοιμασία: παράγραφος 36; 647-649(2); επαναλάβετε αναλυτικές μεθόδους για την επίλυση συστημάτων. 649(2) και λύστε αναλυτικά.

Το έργο μας επιβλέπονταν καθ' όλη τη διάρκεια της ημέρας από τον διευθυντή του εργαστηρίου, Nouman Nou Manovich. Έχει τον λόγο. (Εμφάνιση της τελικής διαφάνειας).

Κατά προσέγγιση κλίμακα βαθμολόγησης

Σημάδι	Ανοχή	Εξειδίκευση	Μελέτη	Εργο	Σύνολο
3	5	2	2	2	11
4	7	2	4	3	16
5	9	3	5	4	21

Μάθημα "Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με δύο μεταβλητές"

Σύνθημα μαθήματος:

«Η δραστηριότητα είναι ο μόνος δρόμος προς τη γνώση»

J. Bernard Shaw

Στόχοι μαθήματος.

Διδακτικός : Δημιουργήστε προϋποθέσεις για τη διαμόρφωση της έννοιας «ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων με δύο μεταβλητές», με βάση την υπάρχουσα γνώση και την εμπειρία ζωής των παιδιών.

Αναπτυξιακή : Συνέχιση του σχηματισμού αφηρημένης εννοιολογικής σκέψης με βάση την ανάλυση της σχέσης μεταξύ συστημάτων γραμμικών εξισώσεων με δύο μεταβλητές και την αναπαράστασή τους σε επίπεδο με τη μορφή γραφημάτων. Βασισμένοι σε επαγωγικό συλλογισμό, βοηθήστε τους μαθητές να συντάξουν έναν αλγόριθμο για την επίλυση συστημάτων γραφικά και να τον δοκιμάσουν σε ανεξάρτητη εργασία.

Εκπαιδευτικός : Συμβολή στη διαμόρφωση συστημικής σκέψης και επαρκή αυτοεκτίμηση. Ανάπτυξη της ικανότητας για ανεξάρτητη οργάνωση της εργασίας. ανάπτυξη δεξιοτήτων για την εύρεση και χρήση των απαραίτητων πληροφοριών στο Διαδίκτυο.

Στάδιο 1. Προετοιμασία για την αντίληψη νέου υλικού

ΕΝΑ)Κίνητρο

Θέλω να σας πω έναν γρίφο:

Ποιο είναι το πιο γρήγορο, αλλά και το πιο αργό.

Το μεγαλύτερο, αλλά και το πιο μικρό.

Το μεγαλύτερο, αλλά και το πιο σύντομο.

Το πιο ακριβό, αλλά και φτηνά αποτιμημένο από εμάς;

Ήρθε η ώρα, παιδιά. Έχουμε μόνο 40 λεπτά, αλλά θα ήθελα πολύ να μην αργήσουν, αλλά να πετάξουν. Δεν ξοδεύτηκαν μάταια, αλλά δαπανήθηκαν ωφέλιμα.

β) Εισαγωγική συνομιλία

Στην καθημερινή μας ζωή, πρέπει να λύνουμε τόσο απλά προβλήματα «Τάνια, πήγαινε στο κατάστημα» όσο και σύνθετα «Τάνια πήγαινε V κατάστημα, πλύνετε, μαγειρέψτε σούπα, μάθετε τις εργασίες για το σπίτι κ.λπ.. », αυτό απαιτεί την ταυτόχρονη εκπλήρωση πολλών προϋποθέσεων.

Στα μαθηματικά, υπάρχουν επίσης απλά προβλήματα: "Το άθροισμα δύο αριθμών είναι 15. Βρείτε αυτούς τους αριθμούς", λίγο πιο περίπλοκο: "Η διαφορά δύο αριθμών είναι 5. Βρείτε αυτούς τους αριθμούς" και σύνθετα, που απαιτούν την ταυτόχρονη εκπλήρωση δύο ή περισσότερων συνθηκών. Είναι ένα από αυτά τα προβλήματα που θα γνωρίσουμε στο σημερινό μάθημα.

Εξετάστε τη λύση σε αυτό το πρόβλημα: στον πίνακα

“Το άθροισμα δύο αριθμών είναι 15 και η διαφορά τους είναι 5. Βρείτε αυτούς τους αριθμούς." Προσδιορίστε το είδος της εργασίας: απλή ή σύνθετη. Πόσες προϋποθέσεις πρέπει να πληρούνται ταυτόχρονα; Ας συνδυάσουμε αυτές τις δύο συνθήκες με ένα σγουρό στήριγμα (ακέραιο σύμβολο). Ποια είναι η πολυπλοκότητα της λύσης; Είναι αλήθεια, η εύρεση λύσης θα πάρει πολύ χρόνο και δεν ξέρουμε άλλο τρόπο ακόμα. Τι πρέπει να κάνω? - Εξοικειωθείτε με έναν νέο τρόπο επίλυσης τέτοιων προβλημάτων.

β) Εργασία με όρους (ολίσθηση)

Ας θυμηθούμε ποιες έννοιες γνωρίζετε:

Γραμμική εξίσωση με δύο μεταβλητές -...

Γράφημα γραμμικής εξίσωσης με 2 μεταβλητές -...

Ο αλγόριθμος για την κατασκευή ενός γραφήματος είναι...

Η σχετική θέση των γραφημάτων είναι ...

Σύστημα - …

Σύστημα γραμμικών εξισώσεων με 2 μεταβλητές - ...

Η λύση του συστήματος είναι...

Μέθοδοι επίλυσης συστημάτων - ...

Αναφέρετε τη διατύπωση των όρων που γνωρίζετε (έλεγχος Δ.Ζ .)

Ποιοι όροι είναι άγνωστοι σε εσάς; Ποιος όρος εμφανίστηκε πολλές φορές; Πράγματι, ο βασικός όρος του μαθήματός μας είναι «σύστημα».

Στάδιο 2. Εκμάθηση νέου υλικού

α) Η έννοια του συστήματος

Αποδεικνύεται ότι το προτεινόμενο πρόβλημα μπορεί να λυθεί πιο γρήγορα εάν χρησιμοποιήσουμε μια τέτοια έννοια ως σύστημα. Είστε εξοικειωμένοι με αυτή τη λέξη; Πώς το καταλαβαίνεις; Το λεξικό ξένων λέξεων δίνει 9 ερμηνείες αυτής της λέξης. Ακούστε μερικά από αυτά. (Διαβάζω επιλεκτικά .) από Ελληνικά . - , συντάχθηκε από εξαρτήματα ; χημική ένωση ) , ολότηταστοιχεία, που βρίσκεταισε σχέσηΚαισυνδέσειςΦίλεΜεφίλος, οι οποίεςμορφέςορίζεται. , ενότητα.

Σύστημα (από το σύστημα - ένα σύνολο που αποτελείται από μέρη, σύνδεση) - το να είσαι σε σχέσεις και συνδέσεις μεταξύ τους, που σχηματίζει μια ορισμένη ακεραιότητα, .Η μείωση του πλήθους σε ένα είναι η θεμελιώδης αρχή της ομορφιάς.

Στην καθημερινή πρακτική, η λέξη «σύστημα» μπορεί να χρησιμοποιηθεί με διαφορετικές έννοιες, ειδικότερα :

θεωρία , για παράδειγμα, σύστημα.

ταξινόμηση , Για παράδειγμα, D. I. Mendeleev;

ολοκληρωμένη μέθοδος πρακτικής δραστηριότητας , Για παράδειγμα, ;

τρόπος οργάνωσης της νοητικής δραστηριότητας , Για παράδειγμα, ;

σύνολο φυσικών αντικειμένων , Για παράδειγμα, ;

κάποια περιουσία της κοινωνίας , Για παράδειγμα, , και ούτω καθεξής.;

ένα σύνολο καθιερωμένων κανόνων ζωής και κανόνων συμπεριφοράς , Για παράδειγμα, ή σύστημα αξίες;

πρότυπο («ένα σύστημα μπορεί να εντοπιστεί στις ενέργειές του»).

σχέδιο («όπλα του νέου συστήματος»).

Ποιες επιλογές είναι καλύτερες για εμάς; Γιατί;

“ Σύστημα (ελληνική λέξη) - ... ένα σύνολο που αποτελείται από μέρη. χημική ένωση.

Σύμβολο (σημάδι);

Έντυπο για την καταγραφή της ταυτόχρονης εκπλήρωσης δύο ή περισσότερων προϋποθέσεων»

Ποιο πιστεύετε ότι είναι το θέμα του μαθήματος;

Θέμα μαθήματος
Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με δύο μεταβλητές

( Γράφουμε το θέμα του μαθήματος σε τετράδιο και στον πίνακα )

β) Καθορισμός στόχων

Ποιος είναι ο στόχος σας στο μάθημα; - Πρέπει να καταλάβουμε τι είναι ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων και πώς χρησιμοποιείται για την επίλυση προβλημάτων, ποια είναι η λύση στο σύστημα, πώς να το λύσετε, τρόπους επίλυσης του συστήματος. Εφαρμόστε αυτή τη γνώση σε ανεξάρτητη εργασία.

Το μόνο που μπορώ να κάνω είναι να σας ευχηθώ επιτυχή επίτευξη του στόχου σας και να βοηθήσω τον καθένα από εσάς, αν είναι δυνατόν.

γ) Λύση συστήματος εξισώσεων

( Μια συμβολική καταγραφή του συστήματος, ο σχεδιασμός των συνθηκών και οι λύσεις στο πρόβλημα εμφανίζονται στον πίνακα και σε σημειωματάρια κατά τη διαδικασία επίλυσης του προβλήματος .)

Ας επιστρέψουμε στη δήλωση προβλήματος και ας εκτελέσουμεμια σύντομη περιγραφή της κατάστασης :

Έστω x ο πρώτος αριθμός, y ο δεύτερος αριθμός. Σύμφωνα με 1 συνθήκη, το άθροισμά τους είναι 15. Αυτό σημαίνει x+y=15. Πήραμε 1 εξίσωση με δύο μεταβλητές. Σύμφωνα με τη συνθήκη 2, η διαφορά τους είναι 5. Αυτό σημαίνει x-y=5. Πήραμε 2 εξίσωση με δύο μεταβλητές.

Πώς να απαντήσετε στην ερώτηση της εργασίας;

Για να απαντηθεί η ερώτηση του προβλήματος, είναι απαραίτητο να βρεθούν τέτοιες τιμές των μεταβλητών x και y που μετατρέπουν κάθε μία από τις εξισώσεις σε αληθινή ισότητα, δηλ. βρείτε κοινές λύσεις σε αυτές τις δύο εξισώσεις - πρέπει να λύσετε ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο μεταβλητές.

Πώς να καταγράψετε ένα σύστημα; Με ποιο σύμβολο; (Ακούω τα πάντα απαντήσεις )

Πράγματι, συνηθίζεται να γράφουμε ένα σύστημα εξισώσεων χρησιμοποιώντας ένα σγουρό βραχίονα, μόνο το στήριγμα τοποθετείται στα αριστερά. (Καταγράφω το σύστημα γενική προβολή, δίπλα στο σύστημα για την εργασία .)

Σύστημα γραμμικών εξισώσεων με 2 μεταβλητές λέγεται...εγγραφή

Τι σημαίνει η επίλυση ενός συστήματος; Πως να το κάνεις?

Μπορούμε να μαζέψουμε ζεύγη αριθμών. (Επιλογή λύσης )

Ας ελέγξουμε τη λύση σας αντικαθιστώντας αυτό το ζεύγος αριθμών στο σύστημα: 10 και 5

Και οι δύο ισότητες είναι αληθείς, πράγμα που σημαίνει ότι το ζεύγος των αριθμών (10;5) είναι μια λύση στο σύστημα. (Γράψτε την απάντηση ) Απάντηση: (10;5)

Είναι η επιλογή ενός ζεύγους αριθμών ένας καθολικός τρόπος επίλυσης συστημάτων; Γιατί; Ποιες είναι οι εικασίες σας; Ας εξοικειωθούμε με άλλους τρόπους επίλυσης συστημάτων εξισώσεων, αλλά για να το κάνετε αυτό πρέπει να ξέρετε ποια είναι η λύση του συστήματος.

Ας εξετάσουμε ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο μεταβλητές. (Επισημαίνω το σύστημα που είναι γραμμένο σε γενική μορφή .)

Διατυπώστε αυτό που ονομάζεται λύση στο σύστημα. Συγκρίνετε την έκδοσή σας με τον ορισμό του σχολικού βιβλίου. (Εργασία με τον ορισμό του σχολικού βιβλίου .) Ποιανού έκδοση επιβεβαιώθηκε;

Λύση συστήματος γραμμικές εξισώσεις με δύο μεταβλητές ονομάζονται ζεύγος μεταβλητών τιμών(ένα ζευγάρι αριθμών ), αντιστρέφονταςκαθε εξίσωση του συστήματος στη σωστή ισότητα.

Εργαστείτε με τον ορισμόΜε γνωστό σε σένααλγόριθμος : ανάγνωση, επισήμανση λέξεων-κλειδιών, προφορά του ορισμού σε ζευγάρια.

Ας ελέγξουμε πώς καταλαβαίνουμε: - Τι σημαίνει να «λύνεις μια εξίσωση»;

Ποια είναι η λύση της πρώτης (δεύτερης) εξίσωσης;

Είναι αυτά τα δύο διαφορετικά ζεύγη αριθμών;

Τι σημαίνει «λύνεις το σύστημα»; Διατυπώστε έναν ορισμό και δοκιμάστε τον εαυτό σας με παρόμοιο τρόπο. (Εργασία με τον ορισμό από αλγόριθμος )

Λύστε το σύστημα εξισώσεις - σημαίνει να βρεις όλες τις λύσεις τουή να αποδείξει ότι δεν υπάρχουν λύσεις.

Ας δούμε πώς καταλαβαίνουμε:Πόσες λύσεις μπορεί να έχει το σύστημα: 0,1,2 ή περισσότερες; Μπορείτε να ελέγξετε την ορθότητα της απάντησής σας διαβάζοντας την παράγραφο μέχρι το τέλος.

Στάδιο 3. Πρωτογενής εμπέδωση νέας γνώσης

Ας λύσουμε το Νο 1056 (προφορικά) Ποιος κατάλαβε;

Ποιος μπορεί να λύσει έναν παρόμοιο αριθμό. Οι οποίες? Επιλέξτε ένα από τα δύο: Νο. 1057 ή Νο. 1058.

Συναισθηματική παύση. Κανείς περίεργος; Κοίτα κάτω από την καρέκλα σου. Δεν υπάρχει τίποτα? Παράξενος. Τι ήθελες να δεις; Τι ήθελα να δω; Σωστά, ήθελα να δωτρόπους κοιτάζοντας κάτω από την καρέκλα. Δείξτε το ξανά και αφήστε τους άλλους να το δουν. Προς τι όλα αυτά; Αυτή η λέξη βρίσκεται στον τίτλο του επόμενου σταδίου του μαθήματός μας:

Στάδιο 4. Απόκτηση νέων γνώσεων

α) Μέθοδοι επίλυσης συστημάτων...

Μιλήσαμε ήδη για την ύπαρξή τους στην αρχή του μαθήματος. Πόσοι είναι εκεί? Ποια είναι τα ονόματά τους?

Είναι υπέροχο να έχεις περίεργους ανθρώπους στην τάξη σου. Ποια είναι η διαφορά μεταξύ περίεργου και περίεργου;

Ας δούμε το σχολικό βιβλίο και ας βρούμε την απάντηση στην ερώτηση σχετικά με τις μεθόδους. (Κύλιση ή παρακολούθηση στον πίνακα περιεχομένων ). Ας γράψουμε μεθόδους επίλυσης συστημάτων στον πίνακα και σε ένα σημειωματάριο.

Μέθοδοι επίλυσης συστημάτων γραμμικές εξισώσεις με δύο μεταβλητές: γραφική μέθοδος; μέθοδος αντικατάστασης; μέθοδος προσθήκης.

- Ας εξετάσουμε μια μέθοδο για την επίλυση συστημάτων που βασίζεται στο υλικό από το προηγούμενο μάθημα.Να σας υπενθυμίσω ότι το αποτέλεσμα ομαδικής ανεξάρτητης εργασίας ήταν γραφήματα των σχετικών θέσεων γραμμικών εξισώσεων με δύο μεταβλητές. Επιπλέον, καταλήξαμε σε αρκετά συμπεράσματα σχετικά με τη σχετική θέση των γραφημάτων· σημειώσατε τη διατύπωσή τους στο τετράδιό σας.

- Υπάρχει μια υπόδειξη κρυμμένη στο ίδιο το όνομα της μεθόδου. Τι είναι αυτή η μέθοδος; Ας το γράψουμε.

Γραφική μέθοδος.

Στην αρχή του μαθήματος θυμηθήκαμε μια σειρά από όρους. (Επιστρέφοντας στη λίστα των όρων )

Τι γνώσεις χρειαζόμαστε τώρα; (Απαντάει ο μαθητής ):

Η γραφική παράσταση μιας γραμμικής εξίσωσης με 2 μεταβλητές είναι ευθεία γραμμή.

Το σύστημα περιέχει δύο τέτοιες εξισώσεις, που σημαίνει ότι πρέπει να κατασκευάσετε δύο ευθείες γραμμές.

Δύο ευθείες σε ένα επίπεδο μπορούν να τέμνονται, να μην τέμνονται ή να συμπίπτουν.(Οδηγώ τα παιδιά στο συμπέρασμα για την ουσία της γραφικής μεθόδου)

Σε κατάλαβα καλά;ουσία γραφική μέθοδος λύσεις συστημάτων είναι ότι: Η γραφική λύση ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων με δύο μεταβλητές ανάγεται στην εύρεσησυντεταγμένες κοινών σημείων γραφήματα εξισώσεων (δηλαδή ευθείες).

Πως να το κάνεις? (Κάνω έκκληση σε όλους, ακούστε όλες τις εκδόσεις, υποστηρίζοντας όσους βρίσκονται στο σωστό δρόμο - δημιουργώντας έναν αλγόριθμο.).

Οι γραφικές παραστάσεις δύο γραμμικών εξισώσεων ενός συστήματος είναι δύο ευθείες γραμμές. Κάθε ένα απαιτεί δύο σημεία για να κατασκευαστεί. Εάν οι ευθείες τέμνονται, τότε θα υπάρχει ένα κοινό σημείο (μία λύση στο σύστημα), εάν οι γραμμές δεν τέμνονται, δεν υπάρχουν κοινά σημεία (δεν υπάρχουν λύσεις στο σύστημα) και εάν οι γραμμές συμπίπτουν, όλα τα σημεία θα είναι κοινές (άπειρες λύσεις στο σύστημα).

Στάδιο 5. Πρωτογενής ενοποίηση νέου υλικού

Ας δοκιμάσουμε τη μέθοδο επίλυσης συστημάτων που ανακαλύψατε στο πρόβλημα που λύσατε με επιλογή στην αρχή του μαθήματος, γιατί γνωρίζουμε ήδη την απάντησή του. Οι λύσεις μπορεί να είναι διαφορετικές, αλλά η απάντηση είναι η ίδια. (Λύνουμε το σύστημα γραφικά, σχολιάζοντας τη λύση με φράσεις από τις οποίες αργότερα θα συνθέσουμε έναν αλγόριθμο.)

Αλγόριθμος για την επίλυση συστήματος γραμμικών εξισώσεων με δύο μεταβλητές γραφικά

Φυλλάδια με γραφική λύση του συστήματος είναι προσαρτημένα στον πίνακα.

Στάδιο 6. Εμπέδωση και πρωταρχικός έλεγχος της γνώσης

α) Κατάρτιση αλγορίθμου ( Ομαδική δουλειά )

Ενημέρωση : Ενωθείτε σε ομάδες των 4 ατόμων, πάρτε ένα φάκελο με έναν αλγόριθμο για την επίλυση συστημάτων κομμένο σε κομμάτια γραφικά. Χρειάζεσαι:

1) συναρμολογήστε τον αλγόριθμο σε ένα κομμάτι χαρτί, αριθμώντας τα μέρη του.

2) χρησιμοποιήστε έναν έτοιμο αλγόριθμο κατά την επίλυση του συστήματος που σας προτείνεται (Αρ. 1060, 1061)

3) ελέγξτε την ορθότητα των εργασιών - στη διαφάνεια

Ο χρόνος για την ολοκλήρωση της εργασίας για μια ομάδα είναι 10 λεπτά (μετά την ολοκλήρωση της εργασίας, η ομάδα ελέγχει τον αλγόριθμο και τη λύση του συστήματος, αξιολογεί την εργασία της ομάδας, σχολιάζοντας την αξιολόγησή της ).

Το αποτέλεσμα της εργασίας της ομάδας θα είναι ένας συγκεντρωμένος αλγόριθμος της ακόλουθης μορφής:

Αλγόριθμος για την επίλυση ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων με δύο μεταβλητές γραφικά:

1. Χτίζουμε στο επίπεδο συντεταγμένωνγραφήματα κάθε εξίσωσης συστήματα, δηλ.δύο ευθείες (βασισμένο σε αλγόριθμο γραφικής παράστασης γραμμικής εξίσωσης με 2 μεταβλητές).

2. Εύρεσησημείο τομής γραφικές παραστάσεις. Ας το γράψουμεσυντεταγμένες .

3. Βγάζουμε συμπέρασμα γιααριθμός λύσεων συστήματος .

4. Γράψτε τοαπάντηση .

Αυτή η μέθοδος επίλυσης συστημάτων ονομάζεται γραφική. Έχει ένα μειονέκτημα. Για ποιο μειονέκτημα μιλάμε;

Συνοψίζοντας τη δουλειά των ομάδων, μιλάμε για άλλη μια φορά στα στάδια του αλγορίθμου (μοιράζοντας υπενθυμίσεις με τον αλγόριθμο )

Φορητοί υπολογιστές (μάθημα-έρευνα)

β) Λύση με σχόλια Αρ. 1060, α, β, γ, δ και 1061 α), β) – κατά ομάδες).

Ποιος καταλαβαίνει πώς εκτελούνται τέτοιες εργασίες;( Αυτοεκτίμηση )

Στάδιο 7. Λύστε συστήματα εξισώσεων γραφικά και μελετήστε τα χρησιμοποιώντας τον καθορισμένο αλγόριθμο

όταν λύνετε ένα σύστημα εξισώσεων, να εκφράσετε τη μεταβλητή σε καθεμία από τις εξισώσειςyδιά μέσουΧκαι να δημιουργήσετε γραφήματα σε ένα σύστημα συντεταγμένων).

συγκρίνετε για κάθε σύστημα την αναλογία των συντελεστών σεΧ, στο

Τότε το σύστημα δεν έχει λύσεις

Τότε το σύστημα έχει πολλές λύσεις

Στάδιο 8. Εργασία για το σπίτι

(Παράρτημα 3.)

1.Λύστε δοκιμαστικές εργασίες και συμπληρώστε τον πίνακα:

ΑΡΙΘΜΟΣ δουλειας

Πιθανή απάντηση

1. Ποιο ζεύγος αριθμών είναι η λύση στο σύστημα των εξισώσεων:έχει άπειρες λύσεις; . Να συνθέσετε μια άλλη εξίσωση έτσι ώστε μαζί με τη δεδομένη να σχηματίσει ένα σύστημα:

α) έχοντας άπειρες λύσεις.

β) δεν έχει λύσεις.

Απάντηση: α) β)

Η δυνατότητα να διατυπώνουμε τις ίδιες δηλώσεις τόσο σε γεωμετρικές όσο και σε αλγεβρικές γλώσσες μας δίνει ένα σύστημα συντεταγμένων, η εφεύρεση του οποίου, όπως ήδη γνωρίζετε, ανήκει στον Ρενέ Ντεκάρτ, Γάλλο φιλόσοφο, μαθηματικό και φυσικό. Ήταν αυτός που δημιούργησε τα θεμέλια της αναλυτικής γεωμετρίας, εισήγαγε την έννοια της γεωμετρικής ποσότητας, ανέπτυξε ένα σύστημα συντεταγμένων και καθιέρωσε τη σύνδεση μεταξύ άλγεβρας και γεωμετρίας.

Ως πρόσθετη εργασία, σας ζητείται να ετοιμάσετε ένα μήνυμα και μια παρουσίαση για τη ζωή και το έργο του Rene Descartes. Η παρουσίασή σας μπορεί να περιέχει ιστορικές πληροφορίες και επιστημονικά δεδομένα. Μπορείτε να το αφιερώσετε σε οποιαδήποτε εργασία ή πρόβλημα που σχετίζεται με τον Rene Descartes. Η βασική προϋπόθεση είναι το μήνυμά σας να μην υπερβαίνει τα 10-12 λεπτά. Η προθεσμία για αυτή την εργασία είναι 1 εβδομάδα. Σου εύχομαι επιτυχία!

Κριτήρια με τα οποία θα αξιολογηθεί η παρουσίαση:

κριτήρια για το περιεχόμενο της παρουσίασης (5-7 βαθμοί).

κριτήρια σχεδιασμού παρουσίασης (5-7 βαθμοί).

συμμόρφωση με τα πνευματικά δικαιώματα (2-3 βαθμοί).

9 στάδιο. Συνοψίζοντας το μάθημα

- Ας θυμηθούμε τα βασικά σημεία του μαθήματος - νέοι όροι (αποδοχή ημιτελών προτάσεων: I Αρχίζω μια φράση και τα παιδιά την τελειώνουν ) σύστημα, λύσεις...

Αντανάκλαση - φύλλα. Βαθμολογίες μετά το τεστ

Επιγραφή-αποτέλεσμα. Το να βλέπεις τον διπλανό σου να λύνει μαθηματικά προβλήματα δεν θα σε μάθει ποτέ πώς να τα λύνεις μόνος σου.

Σε αυτό το μάθημα θα εξετάσουμε την επίλυση συστημάτων δύο εξισώσεων σε δύο μεταβλητές. Αρχικά, ας δούμε τη γραφική λύση ενός συστήματος δύο γραμμικών εξισώσεων και τις ιδιαιτερότητες του συνόλου των γραφημάτων τους. Στη συνέχεια, θα λύσουμε πολλά συστήματα χρησιμοποιώντας τη γραφική μέθοδο.

Θέμα: Συστήματα εξισώσεων

Μάθημα: Γραφική μέθοδος επίλυσης συστήματος εξισώσεων

Σκεφτείτε το σύστημα

Ένα ζεύγος αριθμών που είναι ταυτόχρονα λύση και στην πρώτη και στη δεύτερη εξίσωση του συστήματος ονομάζεται επίλυση συστήματος εξισώσεων.

Η επίλυση ενός συστήματος εξισώσεων σημαίνει την εύρεση όλων των λύσεών του ή τη διαπίστωση ότι δεν υπάρχουν λύσεις. Εξετάσαμε τα γραφήματα των βασικών εξισώσεων, ας προχωρήσουμε στην εξέταση συστημάτων.

Παράδειγμα 1. Λύστε το σύστημα

Λύση:

Αυτές είναι γραμμικές εξισώσεις, η γραφική παράσταση καθεμιάς από αυτές είναι μια ευθεία γραμμή. Η γραφική παράσταση της πρώτης εξίσωσης διέρχεται από τα σημεία (0; 1) και (-1; 0). Η γραφική παράσταση της δεύτερης εξίσωσης διέρχεται από τα σημεία (0; -1) και (-1; 0). Οι ευθείες τέμνονται στο σημείο (-1; 0), αυτή είναι η λύση στο σύστημα των εξισώσεων ( Ρύζι. 1).

Η λύση του συστήματος είναι ένα ζεύγος αριθμών.Αντικαθιστώντας αυτό το ζεύγος αριθμών σε κάθε εξίσωση, προκύπτει η σωστή ισότητα.

Έχουμε λάβει μια μοναδική λύση στο γραμμικό σύστημα.

Θυμηθείτε ότι κατά την επίλυση ενός γραμμικού συστήματος, είναι δυνατές οι ακόλουθες περιπτώσεις:

το σύστημα έχει μια μοναδική λύση - οι γραμμές τέμνονται,

το σύστημα δεν έχει λύσεις - οι γραμμές είναι παράλληλες,

το σύστημα έχει άπειρο αριθμό λύσεων - οι ευθείες συμπίπτουν.

Θεωρήσαμε μια ειδική περίπτωση του συστήματος όταν τα p(x; y) και q(x; y) είναι γραμμικές εκφράσεις των x και y.

Παράδειγμα 2. Λύστε ένα σύστημα εξισώσεων

Λύση:

Η γραφική παράσταση της πρώτης εξίσωσης είναι μια ευθεία γραμμή, η γραφική παράσταση της δεύτερης εξίσωσης είναι ένας κύκλος. Ας φτιάξουμε το πρώτο γράφημα ανά σημεία (Εικ. 2).

Το κέντρο του κύκλου βρίσκεται στο σημείο O(0; 0), η ακτίνα είναι 1.

Οι γραφικές παραστάσεις τέμνονται στο σημείο A(0; 1) και στο σημείο B(-1; 0).

Παράδειγμα 3. Λύστε το σύστημα γραφικά

Λύση: Ας φτιάξουμε μια γραφική παράσταση της πρώτης εξίσωσης - είναι ένας κύκλος με κέντρο στο t.O(0; 0) και ακτίνα 2. Η γραφική παράσταση της δεύτερης εξίσωσης είναι παραβολή. Μετατοπίζεται προς τα πάνω κατά 2 σε σχέση με την αρχή, δηλ. Η κορυφή του είναι το σημείο (0; 2) (Εικ. 3).

Τα γραφήματα έχουν ένα κοινό σημείο - δηλαδή A(0; 2). Είναι η λύση στο σύστημα. Ας συνδέσουμε μερικούς αριθμούς στην εξίσωση για να ελέγξουμε αν είναι σωστός.

Παράδειγμα 4. Λύστε το σύστημα

Λύση: Ας κατασκευάσουμε ένα γράφημα της πρώτης εξίσωσης - αυτός είναι ένας κύκλος με κέντρο στο t.O(0; 0) και ακτίνα 1 (Εικ. 4).

Ας σχεδιάσουμε τη συνάρτηση Αυτή είναι μια διακεκομμένη γραμμή (Εικ. 5).

Τώρα ας το μετακινήσουμε 1 προς τα κάτω κατά μήκος του άξονα oy. Αυτό θα είναι το γράφημα της συνάρτησης

Ας τοποθετήσουμε και τα δύο γραφήματα στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων (Εικ. 6).

Παίρνουμε τρία σημεία τομής - σημείο A(1; 0), σημείο B(-1; 0), σημείο C(0; -1).

Εξετάσαμε τη γραφική μέθοδο επίλυσης συστημάτων. Εάν μπορείτε να σχεδιάσετε ένα γράφημα κάθε εξίσωσης και να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων τομής, τότε αυτή η μέθοδος είναι αρκετά επαρκής.

Αλλά συχνά η γραφική μέθοδος καθιστά δυνατή την εύρεση μόνο μιας κατά προσέγγιση λύσης του συστήματος ή την απάντηση στην ερώτηση σχετικά με τον αριθμό των λύσεων. Επομένως, χρειάζονται άλλες μέθοδοι, πιο ακριβείς, και θα τις αντιμετωπίσουμε στα επόμενα μαθήματα.

1. Mordkovich A.G. και άλλα.Άλγεβρα 9η τάξη: Σχολικό βιβλίο. Για γενική εκπαίδευση Ιδρύματα.- 4η έκδ. - Μ.: Μνημοσύνη, 2002.-192 σελ.: εικ.

2. Mordkovich A.G. και άλλα Άλγεβρα 9η τάξη: Βιβλίο προβλημάτων για μαθητές ιδρυμάτων γενικής εκπαίδευσης / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina, κ.λπ. - 4η έκδ. - Μ.: Μνημοσύνη, 2002.-143 σελ.: εικ.

3. Makarychev Yu. N. Algebra. 9η τάξη: εκπαιδευτικά. για μαθητές γενικής εκπαίδευσης. ιδρύματα / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. — 7η έκδ., αναθ. και επιπλέον - Μ.: Μνημοσύνη, 2008.

4. Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V. Αλγεβρα. 9η τάξη. 16η έκδ. - Μ., 2011. - 287 σελ.

5. Mordkovich A. G. Άλγεβρα. 9η τάξη. Σε 2 ώρες Μέρος 1. Εγχειρίδιο για μαθητές ιδρυμάτων γενικής εκπαίδευσης / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. — 12η έκδ., σβησμένο. - M.: 2010. - 224 σελ.: ill.

6. Άλγεβρα. 9η τάξη. Σε 2 μέρη. Μέρος 2. Βιβλίο προβλημάτων για μαθητές ιδρυμάτων γενικής εκπαίδευσης / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina και άλλοι. Εκδ. A. G. Mordkovich. — 12η έκδ., αναθ. - Μ.: 2010.-223 σελ.: αρ.

1. Τμήμα College.ru για τα μαθηματικά ().

2. Έργο Διαδικτύου "Εργασίες" ().

3. Εκπαιδευτική πύλη «ΘΑ ΛΥΣΩ την Ενιαία Κρατική Εξέταση» ().

1. Mordkovich A.G. και άλλα Άλγεβρα 9η τάξη: Βιβλίο προβλημάτων για μαθητές ιδρυμάτων γενικής εκπαίδευσης / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina, κ.λπ. - 4η έκδ. - Μ.: Μνημοσύνη, 2002.-143 σελ.: εικ. Νο. 105, 107, 114, 115.