Основни формули на планиметрията. Как да намерите площта на геометричните фигури

Площите на геометричните фигури са числени стойности, характеризиращи техния размер в двумерно пространство. Тази стойност може да бъде измерена в системни и несистемни единици. Така, например, несистемна единица площ е стотна, хектар. Такъв е случаят, ако повърхността, която се измерва, е парче земя. Системната единица за площ е квадратът на дължината. В системата SI единицата за плоска повърхност е квадратен метър. В GHS единицата за площ се изразява като квадратен сантиметър.

Формулите за геометрия и площ са неразривно свързани. Тази връзка се състои в това, че изчисляването на площите на равнинните фигури се основава именно на тяхното приложение. За много фигури се извличат няколко опции, от които се изчисляват техните квадратни размери. Въз основа на данните от постановката на задачата можем да определим най-простото възможно решение. Това ще улесни изчислението и ще намали до минимум вероятността от грешки в изчисленията. За да направите това, помислете за основната област на фигурите в геометрията.

Формулите за намиране на площта на всеки триъгълник са представени в няколко варианта:

1) Площта на триъгълник се изчислява от основата a и височината h. Основата е страната на фигурата, върху която се спуска височината. Тогава площта на триъгълника е:

2) Площта на правоъгълен триъгълник се изчислява по същия начин, ако хипотенузата се счита за основа. Ако вземем крака като основа, тогава площта на правоъгълния триъгълник ще бъде равна на произведението на краката наполовина.

Формулите за изчисляване на площта на всеки триъгълник не свършват дотук. Друг израз съдържа страните a,b и синусоидалната функция на ъгъла γ между a и b. Стойността на синуса се намира в таблиците. Може да се намери и с помощта на калкулатор. Тогава площта на триъгълника е:

Използвайки това равенство, можете също да се уверите, че площта на правоъгълен триъгълник се определя чрез дължините на краката. защото ъгъл γ е прав ъгъл, така че площта на правоъгълен триъгълник се изчислява без умножаване по функцията синус.

3) Да разгледаме частен случай - правилен триъгълник, чиято страна a е известна по условие или дължината му може да бъде намерена при решаване. Нищо повече не се знае за фигурата в геометричната задача. Тогава как да намерим площта при това условие? В този случай се прилага формулата за площта на правилен триъгълник:

Правоъгълник

Как да намерим площта на правоъгълник и да използваме размерите на страните, които имат общ връх? Изразът за изчисление е:

Ако трябва да използвате дължините на диагоналите, за да изчислите площта на правоъгълник, тогава ще ви трябва функция на синуса на ъгъла, образуван при пресичането им. Тази формула за площта на правоъгълник е:

Квадрат

Площта на квадрат се определя като втора степен на дължината на страната:

Доказателството следва от определението, че квадратът е правоъгълник. Всички страни, които образуват квадрат, имат еднакви размери. Следователно изчисляването на площта на такъв правоъгълник се свежда до умножаване един по друг, т.е. до втората степен на страната. И формулата за изчисляване на площта на квадрат ще приеме желаната форма.

Площта на квадрат може да се намери по друг начин, например, ако използвате диагонала:

Как да изчислим площта на фигура, която е образувана от част от равнина, ограничена от кръг? За да изчислите площта, формулите са:

Успоредник

За успоредник формулата съдържа линейните размери на страната, височината и математическата операция - умножение. Ако височината е неизвестна, тогава как да намерите площта на паралелограма? Има и друг начин за изчисляване. Ще бъде необходима определена стойност, която ще бъде взета от тригонометричната функция на ъгъла, образуван от съседните страни, както и тяхната дължина.

Формулите за площта на успоредник са:

Ромб

Как да намерим площта на четириъгълник, наречен ромб? Площта на ромба се определя с помощта на проста математика с диагонали. Доказателството се основава на факта, че диагоналните отсечки в d1 и d2 се пресичат под прав ъгъл. Таблицата на синусите показва, че за прав ъгъл тази функция е равна на единица. Следователно площта на ромба се изчислява, както следва:

Площта на ромба може да се намери и по друг начин. Това също не е трудно да се докаже, като се има предвид, че страните му са еднакви по дължина. След това заменете техния продукт в подобен израз за успоредник. В края на краищата, специален случай на тази конкретна фигура е ромб. Тук γ е вътрешният ъгъл на ромба. Площта на ромба се определя, както следва:

Трапец

Как да намерим площта на трапец през основите (a и b), ако задачата показва техните дължини? Тук, без известна стойност на дължината на височината h, няма да е възможно да се изчисли площта на такъв трапец. защото тази стойност съдържа израза за изчисление:

Квадратният размер на правоъгълен трапец също може да се изчисли по същия начин. Взема се предвид, че в правоъгълен трапец се комбинират понятията височина и страна. Следователно за правоъгълен трапец трябва да посочите дължината на страничната страна вместо височината.

Цилиндър и паралелепипед

Помислете какво е необходимо за изчисляване на повърхността на целия цилиндър. Площта на тази фигура е двойка кръгове, наречени основи и странична повърхност. Кръговете, образуващи окръжности, имат дължини на радиуса, равни на r. За площта на цилиндър се извършва следното изчисление:

Как да намерим площта на паралелепипед, който се състои от три чифта лица? Измерванията му съответстват на конкретна двойка. Противоположните лица имат еднакви параметри. Първо намерете S(1), S(2), S(3) - квадратни размери на неравни лица. Тогава повърхността на паралелепипеда е:

Пръстен

Две окръжности с общ център образуват пръстен. Те също така ограничават площта на пръстена. В този случай и двете формули за изчисление вземат предвид размерите на всеки кръг. Първият от тях, изчисляващ площта на пръстена, съдържа по-големия R и по-малкия r радиус. По-често те се наричат ​​външни и вътрешни. Във втория израз площта на пръстена се изчислява чрез по-големия D и по-малкия d диаметър. По този начин площта на пръстена въз основа на известни радиуси се изчислява, както следва:

Площта на пръстена, като се използват дължините на диаметрите, се определя, както следва:

Многоъгълник

Как да намерим площта на многоъгълник, чиято форма не е правилна? Няма обща формула за площта на такива фигури. Но ако е изобразен на координатна равнина, например може да е карирана хартия, тогава как да намерим повърхността в този случай? Тук те използват метод, който не изисква приблизително измерване на фигурата. Те правят това: ако намерят точки, които попадат в ъгъла на клетката или имат цели координати, тогава само те се вземат предвид. За да разберете каква е площта, използвайте формулата, доказана от Peake. Необходимо е да добавите броя на точките, разположени вътре в прекъснатата линия с половината точки, лежащи върху нея, и да извадите една, т.е. изчислява се по следния начин:

където B, G - броят на точките, разположени съответно вътре и върху цялата прекъсната линия.

Всички формули за площта на равнинни фигури

Площ на равнобедрен трапец

1. Формула за площта на равнобедрен трапец, използвайки страни и ъгли

а - долна основа

b - горна основа

c - равни страни

α - ъгъл при долната основа

Формула за площта на равнобедрен трапец през страните, (S):

Формула за площта на равнобедрен трапец, използвайки страни и ъгли, (S):

2. Формула за площта на равнобедрен трапец по отношение на радиуса на вписания кръг

R - радиус на вписаната окръжност

D - диаметър на вписаната окръжност

O - център на вписаната окръжност

H - височина на трапец

α, β - ъгли на трапец

Формула за площта на равнобедрен трапец по отношение на радиуса на вписаната окръжност, (S):

FAIR, за вписана окръжност в равнобедрен трапец:

3. Формула за площта на равнобедрен трапец през диагоналите и ъгъла между тях

d- диагонал на трапец

α,β- ъгли между диагоналите

Формула за площта на равнобедрен трапец през диагоналите и ъгъла между тях, (S):

4. Формула за площта на равнобедрен трапец през средната линия, страничната страна и ъгъла в основата

c- страна

m - средна линия на трапец

α, β - ъгли при основата

Формула за площта на равнобедрен трапец, използвайки средната линия, страничната страна и основния ъгъл,

(С):

5. Формула за площта на равнобедрен трапец, използвайки основи и височина

а - долна основа

b - горна основа

h - височина на трапеца

Формула за площта на равнобедрен трапец, използвайки основи и височина, (S):

Площ на триъгълник, базиран на страна и два ъгъла, формула.

a, b, c - страни на триъгълника

α, β, γ - противоположни ъгли

Площ на триъгълник през страна и два ъгъла (S):

Формула за площта на правилен многоъгълник

a - страна на многоъгълника

n - брой страни

Площ на правилен многоъгълник, (S):

Формула (Heron) за площта на триъгълник през полупериметъра (S):

Площта на равностранен триъгълник е:

Формули за изчисляване на площта на равностранен триъгълник.

a - страна на триъгълника

h – височина

Как да изчислим площта на равнобедрен триъгълник?

b - основа на триъгълника

а - равни страни

h – височина

3. Формула за площта на трапец с четири страни

а - долна основа

b - горна основа

c, d - страни

Радиус на описаната окръжност на трапец по страните и диагоналите

a - странични страни на трапеца

c - долна основа

b - горна основа

d - диагонал

h - височина

Формула за кръгов радиус на трапец, (R)

намерете радиуса на описаната около него равнобедрен триъгълник, като използвате страните

Познавайки страните на равнобедрен триъгълник, можете да използвате формулата, за да намерите радиуса на описаната окръжност около този триъгълник.

a, b - страни на триъгълника

Радиус на обкръжението на равнобедрен триъгълник (R):

Радиус на вписаната окръжност в шестоъгълник

a - страна на шестоъгълника

Радиус на вписана окръжност в шестоъгълник, (r):

Радиус на вписана окръжност в ромб

r - радиус на вписаната окръжност

a - страна на ромба

D, d - диагонали

h - височина на ромба

Радиус на вписаната окръжност в равностранен трапец

c - долна основа

b - горна основа

а - страни

h - височина

Радиус на вписаната окръжност в правоъгълен триъгълник

a, b - катети на триъгълника

c - хипотенуза

Радиус на вписаната окръжност в равнобедрен триъгълник

a, b - страни на триъгълника

Докажете, че лицето на вписан четириъгълник е

\/(р - а)(р - b) (р - с) (р - d),

където p е полупериметърът, а a, b, c и d са страните на четириъгълника.

Докажете, че площта на четириъгълник, вписан в окръжност, е равна на

1/2 (ab + cb) · sin α, където a, b, c и d са страните на четириъгълника, а α е ъгълът между страните a и b.

S = √[ a ƀ c d] sin ½ (α + β). - Прочетете повече на FB.ru:

Площта на произволен четириъгълник (фиг. 1.13) може да бъде изразена чрез неговите страни a, b, c и сумата от двойка противоположни ъгли:

където p е полупериметърът на четириъгълника.

Площта на четириъгълник, вписан в кръг () (фиг. 1.14, а) се изчислява по формулата на Брахмагупта

и описан (фиг. 1.14, b) () - съгласно формулата

Ако четириъгълникът е вписан и описан едновременно (фиг. 1.14, c), тогава формулата става много проста:

Пикова формула

За да оцените площта на многоъгълник върху карирана хартия, достатъчно е да преброите колко клетки покрива този многоъгълник (приемаме площта на клетката като една). По-точно, ако S е площта на многоъгълника, е броят на клетките, които лежат изцяло вътре в многоъгълника, и е броят на клетките, които имат поне една обща точка с вътрешността на многоъгълника.

По-долу ще разгледаме само онези многоъгълници, чиито върхове лежат във възлите на карираната хартия - тези, където линиите на мрежата се пресичат. Оказва се, че за такива полигони можете да посочите следната формула:

където е площта, r е броят на възлите, които лежат строго вътре в многоъгълника.

Тази формула се нарича "формула на избор" - на името на математика, който я открива през 1899 г.

Какво е площ?

Площта е характеристика на затворена геометрична фигура (кръг, квадрат, триъгълник и др.), която показва нейния размер. Площта се измерва в квадратни сантиметри, метри и т.н. Означава се с буквата С(квадрат).

Как да намерите площта на триъгълник?

S= а ч

Където а– дължина на основата, ч– височината на триъгълника, начертана към основата.

Освен това основата не трябва да е отдолу. Това също ще свърши работа.

Ако триъгълник тъп, тогава височината се понижава до продължението на основата:

Ако триъгълник правоъгълен, тогава основата и височината са неговите крака:

2. Друга формула, която е не по-малко полезна, но по някаква причина винаги се забравя:

S= a b sinα

Където аИ b- две страни на триъгълника, sinαе синусът на ъгъла между тези страни.

Основното условие е ъгълът да е взет между две известни страни.

3. Формула за площ от три страни (формула на Херон):

S=

Където а, bИ сса страните на триъгълника и R -полупериметър стр = (a+b+c)/2.

4. Формула за площта на триъгълник по отношение на радиуса на описаната окръжност:

S=

Където а, bИ сса страните на триъгълника и R –радиус на описаната окръжност.

5. Формула за площта на триъгълник по отношение на радиуса на вписания кръг:

S= p · r

Където R -полупериметър на триъгълник и r –радиус на вписаната окръжност.

Как да намерите площта на правоъгълник?

1. Площта на правоъгълник се намира доста просто:

S=а b

Без трикове.

Как да намерите площта на квадрат?

1. Тъй като квадратът е правоъгълник с равни страни, за него се прилага същата формула:

S=а · а = а 2

2. Също така, площта на квадрат може да се намери чрез неговия диагонал:

S= д 2

Как да намерите площта на успоредник?

1. Площта на успоредник се намира по формулата:

S=а ч

Това се дължи на факта, че ако изрежете правоъгълен триъгълник от него отдясно и го поставите отляво, ще получите правоъгълник:

2. Също така площта на успоредник може да се намери чрез ъгъла между двете страни:

S=а · b · sinα

Как да намерите площта на ромб?

Ромбът по същество е успоредник с равни страни. Следователно за него се прилагат същите формули за площ.

1. Площ на ромб през височина:

S=а ч

За да решавате геометрични задачи, трябва да знаете формули - като площта на триъгълник или площта на успоредник - както и прости техники, които ще разгледаме.

Първо, нека научим формулите за площите на фигурите. Специално сме ги събрали в удобна таблица. Отпечатайте, научете и прилагайте!

Разбира се, не всички геометрични формули са в нашата таблица. Например, за решаване на задачи по геометрия и стереометрия във втората част на профилния Единен държавен изпит по математика се използват други формули за площта на триъгълник. Определено ще ви разкажем за тях.

Но какво ще стане, ако трябва да намерите не площта на трапец или триъгълник, а площта на някаква сложна фигура? Има универсални начини! Ще ги покажем с помощта на примери от банката задачи на FIPI.

1. Как да намерите площта на нестандартна фигура? Например произволен четириъгълник? Проста техника - нека разделим тази фигура на тези, за които знаем всичко, и да намерим нейната площ - като сумата от площите на тези фигури.

Разделете този четириъгълник с хоризонтална линия на два триъгълника с обща основа, равна на . Височините на тези триъгълници са равни на и . Тогава площта на четириъгълника е равна на сумата от площите на двата триъгълника: .

Отговор: .

2. В някои случаи площта на фигура може да бъде представена като разлика на някои области.

Не е толкова лесно да се изчисли на какво са равни основата и височината на този триъгълник! Но можем да кажем, че неговата площ е равна на разликата между площите на квадрат със страна и три правоъгълни триъгълника. Виждате ли ги на снимката? Получаваме: .

Отговор: .

3. Понякога в задача трябва да намерите площта не на цялата фигура, а на част от нея. Обикновено говорим за площта на сектор - част от окръжност Намерете площта на сектор от окръжност с радиус, чиято дължина на дъгата е равна на .

На тази снимка виждаме част от кръг. Площта на целия кръг е равна на. Остава да разберете коя част от кръга е изобразена. Тъй като дължината на цялата окръжност е равна (тъй като ), а дължината на дъгата на даден сектор е равна на , следователно дължината на дъгата е няколко пъти по-малка от дължината на цялата окръжност. Ъгълът, под който се намира тази дъга, също е коефициент по-малък от пълен кръг (т.е. градуси). Това означава, че площта на сектора ще бъде няколко пъти по-малка от площта на целия кръг.