Помислете сега за решението на Пример 3.2.1 в Excel.

За да изчислите корелацията с помощта на Excel, можете да използвате функцията =correl(), указващ адресите на две колони с числа, както е показано на фиг. 3.2.2. Отговорът се поставя в D8 и е равен на 0,816.

Ориз. 3.2.2.

(Забележка: Аргументи на функцията корелите трябва да са числа или имена, масиви или препратки, съдържащи числа. Ако аргументът, който е масив или връзка, съдържа текст, булеви стойности или празни клетки, тогава тези стойности се игнорират; обаче клетките, които съдържат нулеви стойности, се броят.

Ако масив! и array2 имат различен брой точки от данни, отколкото функцията correl връща стойността за грешка #n/a.

Ако array1 или array2 е празен или ако o (стандартното отклонение) на техните стойности е нула, тогава функцията correl връща стойността на грешка #div/0 !.)

Критичната стойност на /-статистиката на Студент също може да бъде получена с помощта на функцията steudrasprobr 1 Excel пакет. Като аргументи на функцията трябва да посочите броя на степените на свобода, равен на П- 2 (в нашия пример 16 - 2= 14) и ниво на значимост a (в нашия пример a = 0,1) (фиг. 3.2.3). Ако истинска стойност/-статистика, взета по модул, повече критичен,тогава с вероятност (1 - а) коефициентът на корелация е значително различен от нула.

Ориз. 3.2.3. Критичната стойност на /-статистиката е 1,7613

Excel включва набор от инструменти за анализ на данни (т.нар. пакет за анализ), предназначени за решаване на различни статистически проблеми. Да се ​​изчисли матрицата на двойните корелационни коефициенти Ризползвайте инструмента Корелация (фиг. 3.2.4) и задайте параметрите на анализа в съответния диалогов прозорец. Отговорът ще бъде поставен на нов работен лист (фиг. 3.2.5).

1 В Excel 2010, името на функцията steudrasprobr променен на steu-

DENT.ORD.2X.

Ориз. 3.2.4.

Ориз. 3.2.5.

• За основоположници на корелационната теория се смятат английските статистици Ф. Галтън (1822-1911) и К. Пиърсън (1857-1936). Терминът "корелация" е заимстван от естествените науки и означава "съотношение, съответствие". Концепцията за корелация като взаимозависимост между случайни величини е в основата на математико-статистическата теория на корелацията.

За териториите на Южния федерален окръг на Руската федерация са дадени данни за 2011 г

• 1. Изчислете матрицата на сдвоените коефициенти на корелация; оценете статистическата значимост на корелационните коефициенти.
• 2. Изградете корелационното поле на резултантната характеристика и най-тясно свързания фактор.
• 3. Изчислете параметрите на регресията на линейната двойка за всеки фактор X.
• 4. Оценете качеството на всеки модел чрез коефициента на детерминация, средната апроксимационна грешка и F-теста на Fisher. Изберете най-добрия модел.

ще бъде 80% от максималната си стойност. Представете графично: действителни и моделни стойности, прогнозни точки.

• 6. Използвайки поетапна множествена регресия (метод на изключване или метод на включване), изградете модел на формиране на цената на апартамента поради значими фактори. Дайте икономическа интерпретация на коефициентите на регресионния модел.
• 7. Оценете качеството на изградения модел. Подобри ли се качеството на модела в сравнение с еднофакторния модел? Дайте оценка на влиянието на значимите фактори върху резултата, като използвате коефициенти на еластичност, в - и -? коефициенти.

При решаването на този проблем ще извършим изчисления и ще начертаем графики и диаграми с помощта на настройките на Excel Анализ на данните.

1. Изчислете матрицата на сдвоените корелационни коефициенти и оценете статистическата значимост на корелационните коефициенти

В диалоговия прозорец Корелация, в полето Интервал на въвеждане въведете диапазона от клетки, съдържащи изходните данни. Тъй като избрахме и заглавията на колоните, поставяме отметка в квадратчето Етикети в първия ред.

Получихме следните резултати:

Таблица 1.1 Матрица на коефициентите на двойна корелация

Анализът на матрицата на двойните корелационни коефициенти показва, че зависимата променлива Y, т.е. брутният регионален продукт, има по-тясна връзка с X1 (инвестиции в основен капитал). Коефициентът на корелация е 0,936. Това означава, че зависимата променлива Y (брутен регионален продукт) е 93,6% зависима от X1 (инвестиции в дълготрайни активи).

Статистическата значимост на коефициентите на корелация ще бъде определена с помощта на t-теста на Student. Таблицата се сравнява с изчислените стойности.

Нека изчислим стойността на таблицата с помощта на функцията STUDRIST.

t таблица = 0,129 с ниво на достоверност равно на 0,9 и степен на свобода (n-2).

Факторът X1 е статистически значим.

2. Нека изградим полето на корелация на ефективния признак (брутен регионален продукт) и най-тясно свързания фактор (инвестиции в основен капитал)

За целта ще използваме инструмента за конструиране на точкова диаграма в Excel.

В резултат на това получаваме полето на корелация на цената на брутния регионален продукт, милиарди рубли. и инвестиции в основен капитал, милиарди рубли. (Фигура 1.1.).

Фигура 1.1

3. Изчислете параметрите на линейната двойка регресия за всеки фактор X

За да изчислим параметрите на линейна регресия по двойки, ще използваме инструмента за регресия, включен в настройката за анализ на данни.

В диалоговия прозорец Регресия в полето Интервал на въвеждане Y въведете адреса на диапазона от клетки, който представлява зависимата променлива. В полето

Въведете интервал X, въвеждаме адреса на диапазона, който съдържа стойностите на независимите променливи. Нека изчислим параметрите на двойната регресия за фактор X.

За X1 бяха получени следните данни, представени в таблица 1.2:

Таблица 1.2

Регресионното уравнение за зависимостта на цената на брутния регионален продукт от инвестициите в основен капитал има вида:

4. Да оценим качеството на всеки модел чрез коефициента на детерминация, средната апроксимационна грешка и F-критерия на Фишер. Нека да разберем кой модел е най-добрият.

Коефициентът на определяне, средната грешка на приближаване, получихме в резултат на изчисленията, извършени в параграф 3. Получените данни са представени в следните таблици:

Данни за X1:

Таблица 1.3а

Таблица 1.4b

А) Коефициентът на детерминация определя каква част от вариацията на атрибута Y се взема предвид в модела и се дължи на влиянието върху него на фактора X. Колкото по-голяма е стойността на коефициента на детерминация, толкова по-тясна е връзката между атрибутите в изградения математически модел.

В Excel се обозначава R-квадрат.

Въз основа на този критерий най-адекватният модел е регресионното уравнение на зависимостта на цената на брутния регионален продукт от инвестициите в дълготрайни активи (Х1).

B) Изчислете средната грешка на приближението по формулата:

където числителят е сумата от квадратите на отклоненията на изчислените стойности от действителните. В таблиците той е в колоната SS, ред Остатъци.

Изчисляваме средната стойност на цената на апартамент в Excel с помощта на функцията AVERAGE. = 24,18182 милиарда рубли

При извършване на икономически изчисления моделът се счита за достатъчно точен, ако средната грешка на приближението е по-малка от 5%, моделът се счита за приемлив, ако средната грешка на приближението е по-малка от 15%.

По този критерий най-адекватен е математическият модел за регресионното уравнение на зависимостта на цената на брутния регионален продукт от инвестициите в дълготрайни активи (Х1).

C) F-тест се използва за тестване на значимостта на регресионния модел. За това се прави и сравнение на критичните (таблични) стойности на F-теста на Фишер.

Изчислените стойности са дадени в таблици 1.4b (обозначени с буквата F).

Табличната стойност на F-теста на Fisher се изчислява в Excel с помощта на функцията FDISP. Приемаме вероятността равна на 0,05. Получено: = 4.75

Изчислените стойности на F-теста на Фишер за всеки фактор са сравними с табличната стойност:

71.02 > = 4.75 моделът е адекватен по този критерий.

След като анализираме данните и за трите критерия, можем да заключим, че най-добър е изграденият математически модел за фактора брутен регионален продукт, който се описва с линейното уравнение

5. За избрания модел на зависимостта на цената от брутния регионален продукт

ще прогнозираме средната стойност на индикатора на ниво значимост, ако прогнозираната стойност на фактора е 80% от максималната му стойност. Да представим графично: действителни и моделни стойности, прогнозни точки.

Изчислете прогнозираната стойност на X, според условието тя ще бъде 80% от максималната стойност.

Изчислете X max в Excel с помощта на функцията MAX.

0,8 *52,8 = 42,24

За да получим прогнозни оценки на зависимата променлива, заместваме получената стойност на независимата променлива в линейното уравнение:

5,07 + 2,14 * 42,24 \u003d 304,55 милиарда рубли.

Нека определим доверителния интервал на прогнозата, който ще има следните граници:

За да изчислим доверителния интервал за прогнозираната стойност, изчисляваме отклонението от регресионната линия.

За сдвоен регресионен модел стойността на отклонението се изчислява:

тези. стойността на стандартната грешка от таблица 1.5a.

(Тъй като броят на степените на свобода е една, знаменателят ще бъде равен на n-2). корелационна двойна регресионна прогноза

За да изчислим коефициента, ще използваме функцията на Excel STUDRASP, вероятността ще бъде приета равна на 0,1, броят на степените на свобода е 38.

Изчисляваме стойността с помощта на Excel, получаваме 12294.

Нека дефинираме горната и долната граница на интервала.

• 304,55+27,472= 332,022
• 304,55-27,472= 277,078

По този начин прогнозната стойност = 304,55 хиляди долара ще бъде между долната граница, равна на 277,078 хиляди долара. и горна граница, равна на 332,022 милиарда рубли. Разтрийте.

Действителните и моделните стойности, прогнозните точки са представени графично на Фигура 1.2.

Фигура 1.2

6. Чрез стъпаловидна множествена регресия (метод на изключване) ще изградим модел за формиране на цената на брутния регионален продукт от значими фактори

За да изградим множествена регресия, ще използваме функцията Excel Regression, включвайки всички фактори в нея. В резултат на това получаваме таблици с резултати, от които се нуждаем от t-теста на Student.

Таблица 1.8а

Таблица 1.8б

Таблица 1.8c.

Получаваме модела на изгледа:

Тъй като< (4,75 < 71,024), уравнение регрессии следует признать адекватным.

Нека изберем най-малката модулна стойност на t-теста на Стюдънт, тя е равна на 8,427, сравним я с табличната стойност, която изчисляваме в Excel, вземем нивото на значимост равно на 0,10, броят на степените на свобода n-m-1=12- 4=8: =1,8595

Тъй като 8.427>1.8595 моделът трябва да се признае за адекватен.

7. За да оценим значимия фактор на получения математически модел, изчисляваме коефициентите на еластичност и - коефициентите

Коефициентът на еластичност показва с колко процента ще се промени резултатният знак, когато знакът на фактора се промени с 1%:

E X4 \u003d 2,137 * (10,69 / 24,182) \u003d 0,94%

Тоест при увеличение на инвестициите в основен капитал с 1% себестойността се увеличава средно с 0,94%.

Коефициентът показва с каква част от стойността на стандартното отклонение се променя средната стойност на зависимата променлива с промяна на независимата променлива с едно стандартно отклонение.

2,137* (14.736/33,632) = 0,936.

Данните за стандартното отклонение се вземат от таблици, получени с помощта на инструмента за описателна статистика.

Таблица 1.11 Описателни статистики (Y)

Таблица 1.12 Описателни статистики (X4)

Коефициентът определя дела на влиянието на фактора в общото влияние на всички фактори:

За да изчислим коефициентите на корелация на двойки, ние изчисляваме матрицата на коефициентите на корелация на двойки в Excel с помощта на инструмента за корелация на настройките за анализ на данни.

Таблица 1.14

(0,93633*0,93626) / 0,87 = 1,00.

Заключение: Въз основа на получените изчисления можем да заключим, че ефективният атрибут Y (брутен регионален продукт) е силно зависим от фактор X1 (инвестиции в основен капитал) (със 100%).

Библиография

• 1. Магнус Я.Р., Катишев П.К., Пересецки А.А. Иконометрия. Първоначален курс. Урок. 2-ро изд. - М.: Дело, 1998. - с. 69 - 74.
• 2. Семинар по иконометрия: Учебник / I.I. Елисеева, С.В. Куришева, Н.М. Gordeenko и други 2002. - p. 49 - 105.
• 3. Дъгърти К. Въведение в иконометрията: пер. от английски. - М.: ИНФРА-М, 1999. - XIV, с. 262 - 285.
• 4. Aivyzyan S.A., Mikhtiryan V.S. Приложна математика и основи на иконометрията. -1998., стр. 115-147.
• 5. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Иконометрия. -2007. от 175-251.

Анализът на матрицата на сдвоените корелационни коефициенти показва, че показателят за ефективност е най-тясно свързан с показателя х(4) - количеството използвани торове на 1 ха ().

В същото време връзката между признаци-аргументи е доста тясна. Така че практически има функционална зависимост между броя на колесните трактори ( х(1)) и броя на инструментите за повърхностна обработка на почвата .

Наличието на мултиколинеарност се доказва и от корелационните коефициенти и . Предвид тясната връзка на показателите х (1) , х(2) и х(3) , само един от тях може да влезе в регресионния модел на добива.

За да демонстрирате отрицателното въздействие на мултиколинеарността, помислете за модел на регресия на доходността, включващ всички входни данни:

Фобове = 121.

В скоби са стойностите на коригираните оценки на стандартните отклонения на оценките на коефициентите на уравнението .

Под уравнението на регресията са представени следните параметри на адекватност: множествен коефициент на детерминация; коригирана оценка на остатъчната дисперсия, средна относителна апроксимационна грешка и изчислена стойност на -критерия Fobs = 121.

Уравнението на регресията е важно, защото F obl = 121 > F kp = 2,85 намира се от таблицата Е- разпределения при a=0,05; n 1 =6 и n 2 =14.

От това следва, че Q¹0, т.е. и поне един от коефициентите на уравнението q й (й= 0, 1, 2, ..., 5) не е равно на нула.

За проверка на хипотезата за значимостта на индивидуалните регресионни коефициенти H0: q j =0, където й=1,2,3,4,5, сравнете критичната стойност T kp = 2,14, установено от табл T-разпределения при ниво на значимост a=2 Q=0,05 и броя на степените на свобода n=14, с изчислената стойност . От уравнението следва, че регресионният коефициент е статистически значим само когато х(4) от ½ T 4½=2,90 > T kp=2,14.

Отрицателните знаци на регресионните коефициенти при х(1) и х(5) . От отрицателните стойности на коефициентите следва, че увеличаването на насищането на селското стопанство с колесни трактори ( х(1)) и продукти за растителна защита ( х(5)) се отразява негативно на добива. Следователно полученото регресионно уравнение е неприемливо.

За да получим регресионно уравнение със значими коефициенти, използваме алгоритъм за регресионен анализ стъпка по стъпка. Първоначално използваме алгоритъм стъпка по стъпка с елиминиране на променливи.

Изключете променлива от модела х(1) , което съответства на минималната абсолютна стойност от ½ T 1½=0,01. За останалите променливи отново ще изградим регресионното уравнение:

Полученото уравнение е значимо, т.к F obs = 155 > F kp = 2,90, намерено при ниво на значимост a=0,05 и брой степени на свобода n 1 =5 и n 2 =15 съгласно таблицата Е-разпределения, т.е. вектор q¹0. Въпреки това, само коефициентът на регресия е значим в уравнението при х(4) . Изчислени стойности ½ T j ½ за други коефициенти, по-малки от T kr = 2,131 се намира в таблицата T-разпределения за a=2 Q=0,05 и n=15.

Изключване на променлива от модела х(3) , което съответства на минималната стойност T 3 =0,35 и получете регресионното уравнение:

(2.9)

В полученото уравнение той не е статистически значим и не можем да интерпретираме икономически коефициента при х(5) . Изключвайки х(5) получаваме регресионното уравнение:

(2.10)

Получихме значимо регресионно уравнение със значими и интерпретируеми коефициенти.

Въпреки това, полученото уравнение не е единственият „добър“ или „най-добър“ модел на доходност в нашия пример.

Нека покажем това в условията на мултиколинеарност алгоритъмът стъпка по стъпка с включване на променливи е по-ефективен.Първата стъпка в модела на доходността гвключва променлива х(4) , който има най-висок коефициент на корелация с г, обяснено с променливата - r(г,х(4))=0,58. Във втората стъпка, включително уравнението заедно с х(4) променливи х(1) или х(3) , ще получим модели, които са по-добри от (2.10) по икономически причини и статистически характеристики:

(2.11)

(2.12)

Включването на която и да е от трите останали променливи в уравнението влошава неговите свойства. Вижте например уравнение (2.9).

Така имаме три „добри“ модела на доходност, от които един трябва да бъде избран по икономически и статистически причини.

По статистически критерии модел (2.11) е най-адекватен. Съответства на минималните стойности на остатъчната дисперсия = 2,26 и средната относителна грешка на приближаване и най-големите стойности и Fobs = 273.

Модел (2.12) има малко по-лоши показатели за адекватност, а след това модел (2.10).

Сега ще изберем най-добрия от моделите (2.11) и (2.12). Тези модели се различават един от друг по променливи х(1) и х(3) . Въпреки това, в моделите на доходност, променливата х(1) (брой колесни трактори на 100 ха) е за предпочитане пред променлив х(3) (брой оръдия за повърхностна обработка на 100 ха), което е донякъде второстепенно (или произлиза от х (1)).

В тази връзка по икономически причини следва да се даде предпочитание на модел (2.12). По този начин, след прилагане на алгоритъма за поетапен регресионен анализ с включване на променливи и като се вземе предвид фактът, че само една от трите свързани променливи трябва да влезе в уравнението ( х (1) , х(2) или х(3)) изберете крайното регресионно уравнение:

Уравнението е значимо при a=0,05, тъй като F obl = 266 > F kp = 3,20 намира се от таблицата Е-разпределения за a= Q=0,05; n 1 =3 и n 2 =17. Всички регресионни коефициенти също са значими в уравнение ½ T j½> T kp (a=2 Q=0,05; n=17)=2,11. Коефициентът на регресия q 1 трябва да се признае за значим (q 1 ¹0) по икономически причини, докато T 1 =2,09 само малко по-малко T kp = 2,11.

От уравнението на регресията следва, че увеличението на единица в броя на тракторите на 100 хектара обработваема земя (с фиксирана стойност х(4)) води до повишаване на добивите на зърно средно с 0,345 ц/ха.

Приблизителното изчисление на коефициентите на еластичност e 1 "0,068 и e 2" 0,161 показва, че с увеличаване на показателите х(1) и х(4) с 1% добивът на зърно се повишава средно съответно с 0,068% и 0,161%.

Множественият коефициент на детерминация показва, че само 46,9% от вариацията на добива се обяснява с индикаторите, включени в модела ( х(1) и х(4)), тоест насищането на растениевъдството с трактори и торове. Останалата част от вариацията се дължи на действието на неотчетени фактори ( х (2) , х (3) , х(5), метеорологични условия и др.). Средната относителна апроксимационна грешка характеризира адекватността на модела, както и стойността на остатъчната дисперсия. При интерпретирането на уравнението на регресията стойностите на относителните грешки на приближението са от интерес . Спомнете си, че - моделната стойност на ефективния индикатор характеризира средната стойност на производителността за съвкупността от разглежданите области, при условие че стойностите на обяснителните променливи х(1) и х(4) фиксирани на същото ниво, а именно х (1) = x i(1) и х (4) = x i(4) . Тогава за стойностите на d аздобивите могат да се сравняват. Области, които съответстват на d стойности аз>0, имат добив над средния и d аз<0 - ниже среднего.

В нашия пример растениевъдството е най-ефективно в района, съответстващ на d 7 \u003d 28%, където добивът е с 28% по-висок от средния за региона, а най-малко ефективен - в района с d 20 =-27,3%.

Задачи и упражнения

2.1. От общата популация ( г, х (1) , ..., х(p)), където гима нормален закон на разпределение с условно математическо очакване и дисперсия s 2, произволна извадка от обем н, остави ( y i, x i (1) , ..., x i(p)) - резултат азтото наблюдение ( аз=1, 2, ..., н). Определете: a) математическото очакване на оценката на вектора чрез най-малките квадрати р; б) ковариационната матрица на оценката на вектора чрез метода на най-малките квадрати р; в) математическото очакване на оценката.

2.2. Съгласно условието на задача 2.1, намерете математическото очакване на сумата от квадратите на отклоненията, дължащи се на регресия, т.е. EQ R, Където

.

2.3. Съгласно условието на задача 2.1, определете математическото очакване на сумата от квадратите на отклоненията, дължащи се на остатъчната вариация спрямо регресионните линии, т.е. Еквалайзерост къде

2.4. Докажете, че при хипотеза Н 0: q=0 статистиката

има F-разпределение със степени на свобода n 1 =p+1 и n 2 =n-p-1.

2.5. Докажете, че когато хипотезата H 0: q j =0 е изпълнена, статистиката има t-разпределение с брой степени на свобода n=n-p-1.

2.6. Въз основа на данните (Таблица 2.3) за зависимостта на свиването на фуражния хляб ( г) относно продължителността на съхранение ( х) намерете точкова оценка на условното математическо очакване при допускането, че общото регресионно уравнение е линейно.

Таблица 2.3.

Изисква се: а) да се намерят оценки и остатъчна дисперсия s 2 при допускането, че общото регресионно уравнение има формата ; б) проверете за a=0,05 значимостта на регресионното уравнение, т.е. хипотеза H 0: q=0; в) с надеждност g=0,9 определят интервалните оценки на параметрите q 0 , q 1 ; г) с надеждност g=0,95 определя интервалната оценка на условното математическо очакване за х 0=6; д) определете при g=0,95 доверителния интервал на прогнозиране в точката х=12.

2.7. Въз основа на данните за динамиката на темпа на нарастване на цената на акциите за 5 месеца, дадени в табл. 2.4.

Таблица 2.4.

и предположението, че общото регресионно уравнение има формата , се изисква: а) да се определят оценките и параметрите на регресионното уравнение и остатъчната дисперсия s 2 ; б) проверете при a=0,01 значимостта на регресионния коефициент, т.е. хипотези H 0: q 1 =0;

в) с надеждност g=0,95 намират интервални оценки на параметрите q 0 и q 1 ; г) с надеждност g = 0,9 установете интервална оценка на условното математическо очакване за х 0=4; д) определете при g=0,9 доверителния интервал на прогнозиране в точката х=5.

2.8. Резултатите от изследването на динамиката на наддаване на тегло при млади животни са дадени в таблица 2.5.

Таблица 2.5.

Ако приемем, че общото регресионно уравнение е линейно, се изисква: а) да се определят оценките и параметрите на регресионното уравнение и остатъчната дисперсия s 2 ; б) проверете за a=0,05 значимостта на регресионното уравнение, т.е. хипотези H 0: q=0;

в) с надеждност g=0,8 намират интервални оценки на параметрите q 0 и q 1 ; г) с надеждност g=0,98 определят и сравняват интервалните оценки на условното математическо очакване за х 0 =3 и х 1 =6;

д) определете при g=0,98 доверителния интервал на прогнозиране в точката х=8.

2.9. Себестойност ( г) един екземпляр от книгата в зависимост от тиража ( х) (хиляда екземпляра) се характеризира с данни, събрани от издателството (Таблица 2.6). Определете оценките на най-малките квадрати и параметрите на уравнението на хиперболичната регресия, с надеждност g=0,9 изградете доверителни интервали за параметрите q 0 и q 1, както и условното математическо очакване при х=10.

Таблица 2.6.

Определете оценките и параметрите на регресионното уравнение от вида х=20.

2.11. В табл. 2.8 отчетени темпове на растеж (%) на следните макроикономически показатели н\u003d 10 развити страни в света за 1992 г.: БНП - х(1) , промишлено производство - х(2) , ценови индекс - х (3) .

Таблица 2.8.