Даден е законът за разпределение на случайна величина x. Дискретна случайна величина и нейната функция на разпределение

Дискретно произволнопроменливите се наричат ​​​​случайни променливи, които приемат само стойности, които са отдалечени една от друга, които могат да бъдат изброени предварително.
разпределителен закон
Законът за разпределение на случайна променлива е връзка, която установява връзка между възможните стойности на случайна променлива и съответните им вероятности.
Диапазонът на разпределение на дискретна случайна променлива е списък от нейните възможни стойности и съответните им вероятности.
Функцията на разпределение на дискретна случайна променлива се нарича функцията:
,
което определя за всяка стойност на аргумента x вероятността случайната променлива X да приеме стойност, по-малка от това x.

Математическо очакване на дискретна случайна променлива
,
където е стойността на дискретна случайна променлива; - вероятността за приемане на случайна променлива X стойности.
Ако една случайна променлива приеме изброим набор от възможни стойности, тогава:
.
Математическо очакване на броя на случванията на събитие в n независими опита:
,

Дисперсия и стандартно отклонение на дискретна случайна променлива
Дисперсия на дискретна случайна променлива:
или .
Дисперсия на броя на появяванията на събитие в n независими опити
,
където p е вероятността събитието да се случи.
Стандартно отклонение на дискретна случайна променлива:
.

Пример 1
Съставете закона за разпределение на вероятностите за дискретна случайна променлива (d.r.v.) X – числото k на поне една „шестица“ в n = 8 хвърляния на чифт зарове. Начертайте полигона на разпределението. Намерете числените характеристики на разпределението (режим на разпределение, математическо очакване M(X), дисперсия D(X), стандартно отклонение s(X)). Решение:Нека въведем обозначението: събитие А - "по време на хвърлянето на чифт зарове шестицата се появи поне веднъж." За да се намери вероятността P(A) = p на събитието A, е по-удобно първо да се намери вероятността P(Ā) = q на противоположното събитие Ā – „при хвърляне на чифт зарове шестицата не се появи дори веднъж".
Тъй като вероятността да не се появи „шестица“ при хвърляне на един зар е 5/6, тогава по теоремата за умножение на вероятностите
P(Ā) = q = = .
съответно
P(A) = p = 1 – P(Ā) = .
Тестовете в задачата се провеждат по схемата на Бернули, следователно d.r.v. величина х- номер котпадането на поне една шестица при хвърляне на два зара се подчинява на биномния закон за разпределение на вероятностите:

където = е броят на комбинациите от нот к.

Удобно е да подредите изчисленията, извършени за този проблем, под формата на таблица:
Вероятностно разпределение на d.r.v. х º к (н = 8; стр = ; р = )

к
PN(к)

Многоъгълник (многоъгълник) на вероятностното разпределение на дискретна случайна променлива хпоказано на фиг.:

Ориз. Многоъгълник на вероятностното разпределение на d.r.v. х=к.
Вертикалната линия показва математическото очакване на разпределението М(х).

Нека намерим числените характеристики на вероятностното разпределение на d.r.v. х. Режимът на разпространение е 2 (тук П 8(2) = 0,2932 максимум). Математическото очакване по дефиниция е:
М(х) = = 2,4444,
Където xk = ке стойността, приета от д.р.в. х. дисперсия д(х) намираме разпределенията по формулата:
д(х) = = 4,8097.
Стандартно отклонение (RMS):
с( х) = = 2,1931.

Пример2
Дискретна случайна променлива хдадено от закона за разпределение

Намерете функцията на разпределение F(x) и я начертайте.

Решение.Ако , тогава (трето свойство).
Ако, тогава. Наистина ли, хможе да приеме стойност 1 с вероятност 0,3.
Ако, тогава. Наистина, ако удовлетворява неравенството
, тогава е равна на вероятността за събитие, което може да се осъществи, когато хще приеме стойност 1 (вероятността за това събитие е 0,3) или стойност 4 (вероятността за това събитие е 0,1). Тъй като тези две събития са несъвместими, тогава, съгласно теоремата за събиране, вероятността за събитие е равна на сбора от вероятностите 0,3 + 0,1=0,4. Ако, тогава. Действително събитието е сигурно, следователно вероятността му е равна на единица. И така, функцията на разпределение може да бъде аналитично написана, както следва:

Графика на тази функция:
Нека намерим вероятностите, съответстващи на тези стойности. По условието вероятностите за повреда на устройствата са равни: тогава вероятностите устройствата да работят по време на гаранционния период са равни на:




Законът за разпределение има формата:

Определение 2.3. Случайна променлива, означена с X, се нарича дискретна, ако приема краен или изброим набор от стойности, т.е. множеството е крайно или изброимо множество.

Разгледайте примери за дискретни случайни променливи.

1. Две монети се хвърлят веднъж. Броят на гербовете в този експеримент е случайна променлива х. Възможните му стойности са 0,1,2, т.е. е крайно множество.

2. Записва се броят на повикванията на линейка за даден период от време. Случайна стойност х– брой обаждания. Възможните му стойности са 0, 1, 2, 3, ..., т.е. =(0,1,2,3,...) е изброимо множество.

3. В групата има 25 ученика. В даден ден се записва броят на учениците, дошли на занятия - случайна променлива х. Възможните му стойности са: 0, 1, 2, 3, ..., 25 т.е. =(0, 1, 2, 3, ..., 25).

Въпреки че всичките 25 души в пример 3 не могат да пропуснат часовете, но случайната променлива хможе да приеме тази стойност. Това означава, че стойностите на една случайна променлива имат различни вероятности.

Да разгледаме математически модел на дискретна случайна променлива.

Нека бъде проведен случаен експеримент, който съответства на крайно или изброимо пространство от елементарни събития. Нека разгледаме преобразуването на това пространство върху множеството от реални числа, т.е. ние свързваме всяко елементарно събитие с някакво реално число , . Наборът от числа в този случай може да бъде краен или изброим, т.е. или

Системата от подмножества, която включва всяко подмножество, включително едноточково, образува -алгебра на числено множество (-крайно или изброимо).

Тъй като всяко елементарно събитие е свързано с определени вероятности p i(в случай на крайни всички ), и , тогава можем да присвоим определена вероятност на всяка стойност на случайната променлива p i, така че .

Позволявам хе произволно реално число. Обозначете R X (x)вероятността случайната променлива хвзе стойност, равна на х, т.е. P X (x) \u003d P (X \u003d x). След това функцията R X (x)може да приема положителни стойности само за тези стойности х, които принадлежат към крайно или изброимо множество , а за всички други стойности, вероятността за тази стойност P X (x)=0.

И така, дефинирахме набора от стойности, -алгебра като система от всякакви подмножества и за всяко събитие ( X=x) сравнява вероятността за всякакви, т.е. изгради вероятностно пространство.

Например, пространството на елементарни събития на експеримент, състоящ се в хвърляне на симетрична монета два пъти, се състои от четири елементарни събития: , където

Когато една монета беше хвърлена два пъти, две решетки изпаднаха; при два пъти хвърляне на монета изпадали два герба;

При първото хвърляне на монета изпадна решетка, а при второто - герб;

При първото хвърляне на монета изпадаше гербът, а при второто - решетката.

Нека случайната променлива хе броят на отпаданията на решетката. Той е дефиниран върху и множеството от неговите стойности . Всички възможни подмножества, включително едноточковите, образуват - алгебра, т.е. =(Ø, (1), (2), (0,1), (0,2), (1,2), (0,1,2)).

Вероятност за събитие ( X=x i}, і = 1,2,3, ние го дефинираме като вероятността за възникване на събитие, което е негов прототип:

По този начин, върху елементарни събития ( X = x i) задайте числова функция R X, Така .

Определение 2.4. Законът за разпределение на дискретна случайна променлива е набор от двойки числа (x i, p i), където x i са възможните стойности на случайната променлива, а p i са вероятностите, с които тя приема тези стойности и .

Най-простата форма за определяне на закона за разпределение на дискретна случайна променлива е таблица, която изброява възможните стойности на случайна променлива и съответните вероятности:

			…		…
			…		…

Такава таблица се нарича ред за разпределение. За да се направи серията на разпределение по-нагледна, тя е изобразена графично: на оста опоставяйте точки x iи начертайте от тях перпендикуляри на дължина p i. Получените точки се свързват и се получава многоъгълник, който е една от формите на закона за разпределение (фиг. 2.1).

По този начин, за да зададете дискретна случайна променлива, трябва да зададете нейните стойности и съответните вероятности.

Пример 2.2.Пароприемникът на машината се задейства всеки път, когато се пусне монета с вероятност Р. След като работи, монетите не се спускат. Позволявам х- броя на монетите, които трябва да бъдат спуснати, преди да се задейства касетоприемникът на машината. Конструирайте серия от разпределение на дискретна случайна променлива х.

Решение.Възможни стойности на случайна променлива х: x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2, ..., x k \u003d k, ...Нека намерим вероятностите за тези стойности: стр. 1е вероятността чекмеджето за пари да работи при първото спускане, и p 1 =p; стр 2 -вероятността да бъдат направени два опита. За да направите това, е необходимо: 1) при първия опит приемникът на пари да не работи; 2) при втория опит - получи се. Вероятността за това събитие е (1–r)r. по същия начин и така нататък, . Диапазон на разпространение хще приеме формата

	1	2	3	…	Да се	…
	Р	qp	q 2 p		q r -1 p

Обърнете внимание, че вероятностите r къмобразуват геометрична прогресия със знаменател: 1–p=q, р<1, така че това разпределение на вероятностите се нарича геометричен.

Нека освен това приемем, че е конструиран математически модел експеримент, описан от дискретна случайна променлива хи разгледайте изчисляването на вероятностите за възникване на произволни събития.

Нека произволно събитие съдържа краен или изброим набор от стойности x i: А= {x 1, x 2,..., x i, ...).Събитие Аможе да се представи като обединение на несъвместими събития от вида : . След това, прилагайки аксиомата 3 на Колмогоров , получаваме

тъй като сме определили вероятностите за възникване на събитията да бъдат равни на вероятностите за възникване на събития, които са техни прототипи. Това означава, че вероятността от всяко събитие , , може да се изчисли по формулата , тъй като това събитие може да бъде представено като обединение на събития , където .

След това разпределителната функция F(х) = Р(–<Х<х) се намира по формулата. От това следва, че функцията на разпределение на дискретна случайна променлива хе прекъсната и нараства със скокове, т.е. това е стъпкова функция (фиг. 2.2):

Ако множеството е крайно, тогава броят на членовете във формулата е краен; ако е изброимо, тогава броят на членовете също е изброим.

Пример 2.3.Техническото средство се състои от два елемента, които работят независимо един от друг. Вероятността за повреда на първия елемент за време T е 0,2, а вероятността за повреда на втория елемент е 0,1. Случайна стойност х- броят на неуспешните елементи за време T. Намерете функцията на разпределение на случайна променлива и изградете нейната графика.

Решение.Пространството на елементарните събития на експеримента, който се състои в изследване на надеждността на два елемента от техническо средство, се определя от четири елементарни събития , , , : – двата елемента са в добро състояние; - първият елемент е изправен, вторият е дефектен; - първият елемент е дефектен, вторият е изправен; – и двата елемента са дефектни. Всяко от елементарните събития може да бъде изразено чрез елементарните събития на пространствата И , където – първият елемент е изправен; - първият елемент е неизправен; – вторият елемент е изправен; - Вторият елемент не работи. Тогава , и тъй като елементите на техническото устройство работят независимо един от друг, тогава

8. Каква е вероятността стойностите на дискретна случайна променлива да принадлежат към интервала?

х; значение Е(5); вероятността случайната променлива хще вземе стойности от интервала. Построете многоъгълник на разпределение.

1. Известна е функцията на разпределение F(x) на дискретна случайна променлива х:

Посочете закона за разпределение на случайна променлива хпод формата на таблица.

1. Даден е законът за разпределение на случайна променлива х:

х	–28	–20	–12	–4
стр	0,22	0,44	0,17	0,1	0,07

1. Вероятността магазинът да има сертификати за качество за цялата гама продукти е 0,7. Комисията провери наличието на сертификати в четири магазина в областта. Направете закон за разпределение, изчислете математическото очакване и дисперсията на броя на магазините, в които не са намерени сертификати за качество по време на проверката.

1. За да се определи средното време на горене на електрическите лампи в партида от 350 еднакви кутии, от всяка кутия е взета за изпитване по една електрическа лампа. Оценете отдолу вероятността средното време на горене на избраните електрически лампи да се различава от средното време на горене на цялата партида с абсолютна стойност по-малка от 7 часа, ако е известно, че стандартното отклонение на времето на горене на електрическите лампи във всяка кутия е по-малко от 9 часа.

1. На телефонната централа възниква неправилна връзка с вероятност 0,002. Намерете вероятността сред 500 връзки да има:

Намерете функцията на разпределение на случайна променлива х. Начертайте функциите и . Изчислете средната стойност, дисперсията, модата и медианата на случайна променлива х.

1. Автоматичната машина прави ролки. Смята се, че диаметърът им е нормално разпределена случайна величина със средна стойност 10 mm. Какво е стандартното отклонение, ако с вероятност от 0,99 диаметърът е в диапазона от 9,7 mm до 10,3 mm.

Проба А: 6 9 7 6 4 4

Проба Б: 55 72 54 53 64 53 59 48

42 46 50 63 71 56 54 59

54 44 50 43 51 52 60 43

50 70 68 59 53 58 62 49

59 51 52 47 57 71 60 46

55 58 72 47 60 65 63 63

58 56 55 51 64 54 54 63

56 44 73 41 68 54 48 52

52 50 55 49 71 67 58 46

50 51 72 63 64 48 47 55

Вариант 17.

1. Сред 35-те части 7 са нестандартни. Намерете вероятността две произволно избрани части да са стандартни.

1. Хвърли три зара. Намерете вероятността сумата от точките върху изпуснатите лица да е кратна на 9.

1. Думата „ПРИКЛЮЧЕНИЕ“ е съставена от карти, всяка с по една буква. Картите се разбъркват и изваждат една по една, без да се връщат. Намерете вероятността извадените по реда на появяване букви да образуват дума: а) ПРИКЛЮЧЕНИЕ; б) УЛАВЯНЕ.

1. Една урна съдържа 6 черни и 5 бели топки. На случаен принцип се теглят 5 топки. Намерете вероятността сред тях да има:
1. 2 бели топки;
2. по-малко от 2 бели топки;
3. поне една черна топка.

1. Ав един тест е 0,4. Намерете вероятностите за следните събития:
1. събитие Аще се появи 3 пъти в серия от 7 независими опита;
2. събитие Аще се появи поне 220 и не повече от 235 пъти в серия от 400 предизвикателства.

1. Заводът изпрати 5000 висококачествени продукта в базата. Вероятността за повреда на всеки продукт при транспортиране е 0,002. Намерете вероятността не повече от 3 продукта да бъдат повредени по пътя.

1. Първата урна съдържа 4 бели и 9 черни топки, а втората урна съдържа 7 бели и 3 черни топки. От първата урна произволно се изтеглят 3 топки, а от втората урна - 4. Намерете вероятността всички изтеглени топки да са от един и същи цвят.

1. Даден е законът за разпределение на случайна променлива х:

Изчислете неговото математическо очакване и дисперсия.

1. В кутията има 10 молива. Изтеглени са произволно 4 молива. Случайна стойност хе броят на сините моливи сред избраните. Намерете закона за неговото разпределение, началните и централните моменти на 2-ри и 3-ти ред.

1. Отделът за технически контрол проверява за дефекти 475 продукта. Вероятността даден продукт да е дефектен е 0,05. Намерете с вероятност 0,95 границите, които ще съдържат броя на дефектните продукти сред тестваните.

1. На телефонната централа възниква неправилна връзка с вероятност 0,003. Намерете вероятността сред 1000 връзки да има:
1. поне 4 неправилни връзки;
2. повече от две неправилни връзки.

1. Случайната променлива се дава от функцията за плътност на разпределението:

Намерете функцията на разпределение на случайна променлива х. Начертайте функциите и . Изчислете математическото очакване, дисперсията, модата и медианата на случайна променлива X.

1. Случайната променлива се дава от функцията на разпределение:

1. По проба Ареши следните задачи:
1. направете вариационна серия;

средната стойност на извадката;

Дисперсията на извадката

Мода и медиана;

Проба А: 0 0 2 2 1 4

1. изчисляване на числените характеристики на вариационния ред:

средната стойност на извадката;

Дисперсията на извадката

· стандартно отклонение;

режим и медиана;

Проба Б: 166 154 168 169 178 182 169 159

161 150 149 173 173 156 164 169

157 148 169 149 157 171 154 152

164 157 177 155 167 169 175 166

167 150 156 162 170 167 161 158

168 164 170 172 173 157 157 162

156 150 154 163 143 170 170 168

151 174 155 163 166 173 162 182

166 163 170 173 159 149 172 176

Вариант 18.

1. От 10 лотарийни билета 2 са печеливши. Намерете вероятността един от петте произволно изтеглени билета да бъде печеливш.

1. Хвърли три зара. Намерете вероятността сумата от хвърлените точки да е по-голяма от 15.

1. Думата "ПЕРИМЕТЪР" е съставена от карти, на всяка от които е написана по една буква. Картите се разбъркват и изваждат една по една, без да се връщат. Намерете вероятността извадените букви да образуват дума: а) ПЕРИМЕТЪР; б) МЕТЪР.

1. Една урна съдържа 5 черни и 7 бели топки. На случаен принцип се теглят 5 топки. Намерете вероятността сред тях да има:
1. 4 бели топки;
2. по-малко от 2 бели топки;
3. поне една черна топка.

1. Вероятност за събитие Ав един тест е 0,55. Намерете вероятностите за следните събития:
1. събитие Аще се появи 3 пъти в серия от 5 предизвикателства;
2. събитие Аще се появи поне 130 и не повече от 200 пъти в серия от 300 предизвикателства.

1. Вероятността за изтичане в кутия с консервирана храна е 0,0005. Намерете вероятността два от 2000 буркана да изтекат.

1. Първата урна съдържа 4 бели и 8 черни топки, а втората урна съдържа 7 бели и 4 черни топки. 2 топки се изтеглят на случаен принцип от първата урна и 3 топки се изтеглят на случаен принцип от втората урна. Намерете вероятността всички изтеглени топки да са от един и същи цвят.

1. От постъпилите за монтаж части от първата машина 0,1% са дефектни, от втората - 0,2%, от третата - 0,25%, от четвъртата - 0,5%. Производителността на машините се отнася съответно като 4:3:2:1. Произволно взета част се оказа стандартна. Намерете вероятността артикулът да е направен на първата машина.

1. Даден е законът за разпределение на случайна променлива х:

Изчислете неговото математическо очакване и дисперсия.

1. Електротехникът има три електрически крушки, всяка от които има дефект с вероятност 0,1 .. Електрическите крушки се завинтват в гнездото и токът се включва. При включване на тока дефектната крушка веднага изгаря и се заменя с друга. Намерете закона за разпределение, математическото очакване и дисперсията на броя на тестваните крушки.

1. Вероятността за попадение в целта е 0,3 за всеки от 900 независими изстрела. Използвайки неравенството на Чебишев, изчислете вероятността целта да бъде ударена най-малко 240 пъти и най-много 300 пъти.

1. На телефонната централа възниква неправилна връзка с вероятност 0,002. Намерете вероятността сред 800 връзки да има:
1. поне три неправилни връзки;
2. повече от четири неправилни връзки.

1. Случайната променлива се дава от функцията за плътност на разпределението:

Намерете функцията на разпределение на случайната величина X. Постройте графики на функциите и . Изчислете средната стойност, дисперсията, модата и медианата на случайна променлива Х.

1. Случайната променлива се дава от функцията на разпределение:

1. По проба Ареши следните задачи:
1. направете вариационна серия;
2. изчисляване на относителни и натрупани честоти;
3. съставят емпирична функция на разпределение и построят нейна графика;
4. изчисляване на числените характеристики на вариационния ред:

средната стойност на извадката;

Дисперсията на извадката

· стандартно отклонение;

режим и медиана;

Проба А: 4 7 6 3 3 4

1. За проба B решете следните задачи:
1. направете групирана вариационна серия;
2. изграждат хистограма и полигон от честоти;
3. изчисляване на числените характеристики на вариационния ред:

средната стойност на извадката;

Дисперсията на извадката

· стандартно отклонение;

режим и медиана;

Проба Б: 152 161 141 155 171 160 150 157

154 164 138 172 155 152 177 160

168 157 115 128 154 149 150 141

172 154 144 177 151 128 150 147

143 164 156 145 156 170 171 142

148 153 152 170 142 153 162 128

150 146 155 154 163 142 171 138

128 158 140 160 144 150 162 151

163 157 177 127 141 160 160 142

159 147 142 122 155 144 170 177

Вариант 19.

1. В обекта работят 16 жени и 5 мъже. На случаен принцип бяха избрани 3 души по численост. Намерете вероятността всички избрани хора да са мъже.

2. Хвърлят се четири монети. Намерете вероятността само две монети да имат герб.

3. Думата "ПСИХОЛОГИЯ" е съставена от карти, на всяка от които е изписана по една буква. Картите се разбъркват и изваждат една по една, без да се връщат. Намерете вероятността извадените букви да образуват дума: а) ПСИХОЛОГИЯ; б) ПЕРСОНАЛ.

4. Една урна съдържа 6 черни и 7 бели топки. На случаен принцип се теглят 5 топки. Намерете вероятността сред тях да има:

а. 3 бели топки;

b. по-малко от 3 бели топки;

° С. поне една бяла топка.

5. Вероятност на събитието Ав един тест е 0,5. Намерете вероятностите за следните събития:

а. събитие Аще се появи 3 пъти в серия от 5 независими опита;

b. събитие Аще се появи поне 30 и не повече от 40 пъти в серия от 50 предизвикателства.

6. Има 100 машини с еднаква мощност, работещи независимо една от друга в един и същ режим, при който задвижването им е включено за 0,8 работни часа. Каква е вероятността във всеки един момент между 70 и 86 машини да бъдат включени?

7. Първата урна съдържа 4 бели и 7 черни топки, а втората урна съдържа 8 бели и 3 черни топки. На случаен принцип се изтеглят 4 топки от първата урна и 1 топка от втората урна. Намерете вероятността сред изтеглените топки да има само 4 черни топки.

8. Всеки ден в автокъщата се доставят обемно три марки автомобили: Москвич - 40%; "Ока" - 20%; "Волга" - 40% от всички внесени автомобили. Сред автомобилите от марката Москвич 0,5% имат устройство против кражба, Ока - 0,01%, Волга - 0,1%. Намерете вероятността взетата за тест кола да има устройство против кражба.

9. Числата и се избират на случаен принцип върху сегмента. Намерете вероятността тези числа да удовлетворяват неравенствата.

10. Даден е законът за разпределение на случайна величина х:

х
стр	0,1	0,2	0,3	0,4

Намерете функцията на разпределение на случайна променлива х; значение Е(2); вероятността случайната променлива хще вземе стойности от интервала. Построете многоъгълник на разпределение.

ЗАКОН ЗА РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ И ХАРАКТЕРИСТИКИ

СЛУЧАЙНИ СТОЙНОСТИ

Случайни величини, тяхната класификация и методи за описание.

Случайна стойност е величина, която в резултат на експеримент може да приеме една или друга стойност, но коя точно не е известна предварително. Следователно за случайна променлива могат да се посочат само стойности, една от които тя задължително ще вземе в резултат на експеримента. Тези стойности ще бъдат посочени като възможни стойности на случайната променлива. Тъй като случайната променлива количествено характеризира случайния резултат от експеримент, тя може да се разглежда като количествена характеристика на случайно събитие.

Случайните променливи обикновено се обозначават с главни букви на латинската азбука, например X..Y..Z, а възможните им стойности със съответните малки букви.

Има три вида случайни променливи:

отделен; Непрекъснато; Смесени.

Отделенсе нарича такава случайна променлива, чийто брой възможни стойности образува изброимо множество. От своя страна изброимо множество е множество, чиито елементи могат да бъдат номерирани. Думата "дискретен" идва от латинското discretus, което означава "прекъснат, състоящ се от отделни части".

Пример 1. Дискретна случайна променлива е броят на дефектните части X в партида от nfl. Наистина, възможните стойности на тази случайна променлива са поредица от цели числа от 0 до n.

Пример 2. Дискретна случайна променлива е броят на изстрелите преди първото попадение в целта. Тук, както в пример 1, възможните стойности могат да бъдат номерирани, въпреки че в ограничаващия случай възможната стойност е безкрайно голямо число.

непрекъснатосе нарича случайна променлива, чиито възможни стойности непрекъснато запълват определен интервал от числовата ос, понякога наричан интервал на съществуване на тази случайна променлива. По този начин, на всеки краен интервал на съществуване, броят на възможните стойности на непрекъсната случайна променлива е безкрайно голям.

Пример 3. Непрекъсната случайна променлива е потреблението на електроенергия в предприятието за един месец.

Пример 4. Непрекъсната случайна променлива е грешката при измерване на височина с алтиметър. Нека от принципа на работа на висотомера е известно, че грешката е в диапазона от 0 до 2 м. Следователно интервалът на съществуване на тази случайна величина е интервалът от 0 до 2 м.

Закон за разпределение на случайни величини.

Случайна променлива се счита за напълно определена, ако нейните възможни стойности са посочени на цифровата ос и е установен законът за разпределение.

Законът за разпределение на случайна величина се нарича връзка, която установява връзка между възможните стойности на случайна променлива и съответните вероятности.

За случайна променлива се казва, че е разпределена според даден закон или подчинена на даден закон за разпределение. Като закони за разпределение се използват редица вероятности, функция на разпределение, плътност на вероятността, характеристична функция.

Законът за разпределение дава пълно вероятно описание на случайна променлива. Според закона за разпределение е възможно да се прецени преди опита кои възможни стойности на случайна променлива ще се появяват по-често и кои по-рядко.

За дискретна случайна величина законът за разпределение може да бъде даден под формата на таблица, аналитично (под формата на формула) и графично.

Най-простата форма за определяне на закона за разпределение на дискретна случайна променлива е таблица (матрица), която изброява във възходящ ред всички възможни стойности на случайна променлива и съответните им вероятности, т.е.

Такава таблица се нарича серия от разпределение на дискретна случайна променлива. 1

Събитията X 1 , X 2 ,..., X n , състоящи се в това, че в резултат на теста случайната променлива X ще приеме стойностите съответно x 1 , x 2 ,... x n , са непоследователни и единствените възможни (защото в таблицата са изброени всички възможни стойности на случайна променлива), т.е. образуват пълна група. Следователно сумата от техните вероятности е равна на 1. По този начин за всяка дискретна случайна променлива

(Тази единица по някакъв начин е разпределена между стойностите на случайната променлива, оттук и терминът „разпределение“).

Серия на разпределение може да бъде показана графично, ако стойностите на случайна променлива са нанесени по абсцисната ос, а съответните им вероятности по ординатната ос. Връзката на получените точки образува прекъсната линия, наречена многоъгълник или многоъгълник на вероятностното разпределение (фиг. 1).

ПримерИграе се лотарията: кола на стойност 5000 ден. бр., 4 телевизора на стойност 250 ден. единица, 5 видеорекордера на стойност 200 ден. единици Продадени са общо 1000 билета за 7 den. единици Съставете закона за разпределение на нетните печалби, получени от участника в лотарията, закупил един билет.

Решение. Възможните стойности на случайната променлива X - нетни печалби на билет - са 0-7 = -7 den. единици (ако билетът не е спечелил), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 ден. единици (ако билетът спечели съответно видеорекордер, телевизор или кола). Като се има предвид, че от 1000 билета броят на непечелившите е 990, а посочените печалби са съответно 5, 4 и 1 и използвайки класическата дефиниция на вероятността, получаваме.

На тази страница сме събрали примери за решаване на образователни задачи върху дискретни случайни променливи. Това е доста обширен раздел: изучават се различни закони за разпределение (биномиални, геометрични, хипергеометрични, Поасон и други), свойства и числени характеристики, могат да бъдат изградени графични изображения за всяка серия на разпределение: многоъгълник (многоъгълник) на вероятностите, разпределение функция.

По-долу ще намерите примери за решения относно дискретни случайни променливи, при които се изисква да се приложат знания от предишните раздели на теорията на вероятностите, за да се състави закон за разпределение и след това да се изчисли математическото очакване, дисперсията, стандартното отклонение, да се изгради функция на разпределение , отговаряйте на въпроси относно DSV и др. P.

Примери за популярни закони за разпределение на вероятностите:

Калкулатори за характеристиките на DSV

• Изчисляване на математическото очакване, дисперсията и стандартното отклонение на DSV.

Решени проблеми относно DSV

Разпределения, близки до геометричните

Задача 1.По пътя на автомобила има 4 светофара, всеки от които забранява по-нататъшното движение на автомобила с вероятност 0,5. Намерете броя на разпределението на броя светофари, преминали от автомобила преди първата спирка. Какво е математическото очакване и дисперсията на тази случайна променлива?

Задача 2.Ловецът стреля по дивеча преди първото попадение, но успява да направи не повече от четири изстрела. Запишете закона за разпределение на броя пропуски, ако вероятността за попадение в целта с един изстрел е 0,7. Намерете дисперсията на тази случайна променлива.

Задача 3.Стрелецът с 3 патрона стреля по целта до първото попадение. Вероятностите за уцелване на първия, втория и третия изстрел са съответно 0,6, 0,5, 0,4. С.В. $\xi$ - брой оставащи касети. Съберете серия на разпределение на случайна променлива, намерете математическото очакване, дисперсията, стандартното отклонение на r.v., конструирайте функцията на разпределение на r.v., намерете $P(|\xi-m| \le \sigma$.

Задача 4.Кутията съдържа 7 стандартни и 3 дефектни части. Частите се изваждат последователно до появата на стандартната, без да се връщат обратно. $\xi$ - брой извлечени дефектни части.
Съставете закон на разпределение за дискретна случайна променлива $\xi$, изчислете нейното математическо очакване, дисперсия, стандартно отклонение, начертайте многоъгълник на разпределение и графика на функцията на разпределение.

Задачи с независими събития

Задача 5.На пореден изпит по теория на вероятностите се явиха 3 студенти. Вероятността първият да издържи изпита е 0,8, вторият - 0,7, третият - 0,9. Намерете серията на разпределение на случайната променлива $\xi$ на броя издържали изпита студенти, изградете графика на функцията на разпределение, намерете $M(\xi), D(\xi)$.

Задача 6.Вероятността за попадение в целта с един изстрел е 0,8 и намалява с всеки изстрел с 0,1. Начертайте закона за разпределение на броя на попаденията в мишената при три изстрела. Намерете математическото очакване, дисперсията и S.K.O. тази случайна променлива. Начертайте функцията на разпределение.

Задача 7.Произвеждат се 4 изстрела по мишената. В този случай вероятността за попадение се увеличава, както следва: 0,2, 0,4, 0,6, 0,7. Намерете закона за разпределение на случайната променлива $X$ - броят на попаденията. Намерете вероятността $X \ge 1$.

Задача 8.Хвърлят се две симетрични монети, брои се броят на гербовете от двете горни страни на монетите. Разглеждаме дискретна случайна променлива $X$ - броят на гербовете на двете монети. Запишете закона за разпределение на случайната променлива $X$, намерете нейното математическо очакване.

Други задачи и закони на разпространение на DSV

Задача 9.Двама баскетболисти правят три удара към коша. Вероятността за попадение за първия баскетболист е 0,6, за втория - 0,7. Нека $X$ е разликата между броя на успешните хвърляния на първия и втория баскетболист. Намерете реда на разпределение, режима и функцията на разпределение на случайната променлива $X$. Построете многоъгълник на разпределение и начертайте функцията на разпределение. Изчислете математическото очакване, дисперсията и стандартното отклонение. Намерете вероятността за събитието $(-2 \lt X \le 1)$.

Задача 10.Броят чуждестранни кораби, пристигащи ежедневно за товарене в определено пристанище, е произволна стойност $X$, дадена както следва:
0 1 2 3 4 5
0,1 0,2 0,4 0,1 0,1 0,1
A) уверете се, че серията за разпространение е зададена,
B) намерете функцията на разпределение на случайната променлива $X$,
В) ако повече от три кораба пристигнат в даден ден, пристанището поема отговорността за разходите поради необходимостта от наемане на допълнителни шофьори и товарачи. Каква е вероятността пристанището да понесе допълнителни разходи?
Г) намерете математическото очакване, дисперсията и стандартното отклонение на случайната променлива $X$.

Задача 11.Хвърлете 4 зара. Намерете математическото очакване на сбора от точките, които ще паднат на всички лица.

Задача 12.Двама играчи се редуват да хвърлят монета до първото появяване на герба. Играчът, чийто герб е паднал, получава 1 рубла от друг играч. Намерете математическото очакване на печалбата на всеки играч.