Условни екстремуми и метод на умножителя на Лагранж. Метод на умножителя на Лагранж

Кратка теория

Методът на умножителя на Лагранж е класически метод за решаване на задачи по математическо програмиране (по-специално изпъкнали). За съжаление, практическото приложение на метода може да срещне значителни изчислителни затруднения, стесняващи обхвата на неговото използване. Тук разглеждаме метода на Лагранж главно защото това е апарат, който се използва активно за обосноваване на различни съвременни числени методи, които се използват широко в практиката. Що се отнася до функцията на Лагранж и множителите на Лагранж, те играят независима и изключително важна роля в теорията и приложенията не само на математическото програмиране.

Помислете за класически оптимизационен проблем:

Сред ограниченията на тази задача няма неравенства, няма условия за неотрицателност на променливите, тяхната дискретност, а функциите са непрекъснати и имат частни производни поне от втори ред.

Класическият подход за решаване на проблема предоставя система от уравнения (необходими условия), които трябва да бъдат удовлетворени от точката, която осигурява на функцията локален екстремум върху множеството от точки, които удовлетворяват ограниченията (за проблем с изпъкнало програмиране, намерената точка ще бъде и глобалната екстремна точка).

Да приемем, че в точка функция (1) има локален условен екстремум и рангът на матрицата е равен на . Тогава необходимите условия ще бъдат записани във формата:

има функция на Лагранж; – Множители на Лагранж.

Съществуват и достатъчни условия, при които решението на системата от уравнения (3) определя точката на екстремума на функцията. Този въпрос се решава въз основа на изследването на знака на втория диференциал на функцията на Лагранж. Достатъчните условия обаче представляват предимно теоретичен интерес.

Можете да зададете следната процедура за решаване на задача (1), (2) с помощта на метода на умножителя на Лагранж:

1) съставете функцията на Лагранж (4);

2) намерете частичните производни на функцията на Лагранж по отношение на всички променливи и ги приравнете

нула. Така ще се получи система (3), състояща се от уравнения Решете получената система (ако това се окаже възможно!) и така намерете всички стационарни точки на функцията на Лагранж;

3) от стационарни точки, взети без координати, изберете точки, в които функцията има условни локални екстремуми при наличие на ограничения (2). Този избор се прави, например, като се използват достатъчни условия за локален екстремум. Често изследването се опростява, ако се използват специфични условия на проблема.

Пример за решение на проблем

Задачата

Фирмата произвежда два вида стоки в количества и . Функцията на полезните разходи се определя от отношението. Цените на тези стоки на пазара са еднакви и съотв.

Определете при какви обеми на продукцията се постига максимална печалба и на каква е тя, ако общите разходи не надвишават

Имате проблеми с разбирането на напредъка на дадено решение? Уебсайтът предлага услуга Решаване на проблеми с помощта на методи за оптимални решения по поръчка

Решението на проблема

Икономически и математически модел на задачата

Функция печалба:

Ограничения на разходите:

Получаваме следния икономико-математически модел:

Освен това според смисъла на задачата

Метод на умножителя на Лагранж

Нека съставим функцията на Лагранж:

Намираме частичните производни от 1-ви ред:

Нека създадем и решим система от уравнения:

От тогава

Максимална печалба:

Отговор

По този начин е необходимо да се освободи храна. стоки от 1-ви вид и бр. стоки от 2-ри вид. В този случай печалбата ще бъде максимална и ще възлиза на 270.
Даден е пример за решаване на задача от квадратично изпъкнало програмиране с помощта на графичен метод.

Решаване на линейна задача по графичен метод
Разгледан е графичен метод за решаване на задача с линейно програмиране (LPP) с две променливи. Използвайки примера на проблем, е дадено подробно описание на конструирането на чертеж и намирането на решение.

Моделът на Уилсън за управление на запасите
Използвайки примера за решаване на проблема, се разглежда основният модел за управление на запасите (модел на Уилсън). Бяха изчислени такива показатели на модела като оптималния размер на партидата на поръчката, годишните разходи за съхранение, интервала между доставките и точката на поставяне на поръчката.

Матрица на съотношението на директните разходи и матрица на входно-изходните данни
Използвайки примера за решаване на проблем, се разглежда междусекторният модел на Леонтиев. Показано е изчисляването на матрицата на коефициентите на преките материални разходи, матрицата на „вложените ресурси“, матрицата на коефициентите на непреките разходи, векторите на крайното потребление и брутната продукция.

СЪССъщността на метода на Лагранж е да сведе проблема с условния екстремум до решаване на проблема с безусловния екстремум. Разгледайте модела на нелинейното програмиране:

(5.2)

Където
– известни функции,

А
– дадени коефициенти.

Обърнете внимание, че при тази формулировка на проблема ограниченията се определят от равенства и няма условие променливите да са неотрицателни. Освен това смятаме, че функциите
са непрекъснати с техните първи частни производни.

Нека трансформираме условията (5.2), така че от лявата или дясната страна на равенствата да има нула:

(5.3)

Нека съставим функцията на Лагранж. Той включва целевата функция (5.1) и десните страни на ограниченията (5.3), взети съответно с коефициентите
. Ще има толкова коефициенти на Лагранж, колкото са ограниченията в проблема.

Точките на екстремум на функция (5.4) са точките на екстремум на първоначалния проблем и обратно: оптималният план на проблем (5.1)-(5.2) е глобалната точка на екстремум на функцията на Лагранж.

Наистина, нека се намери решение
задачи (5.1)-(5.2), тогава условията (5.3) са изпълнени. Нека заместим плана
във функция (5.4) и проверете валидността на равенството (5.5).

По този начин, за да се намери оптималният план за първоначалния проблем, е необходимо да се изследва функцията на Лагранж за екстремума. Функцията има екстремни стойности в точки, където нейните частни производни са равни нула. Такива точки се наричат стационарен.

Нека дефинираме частните производни на функцията (5.4)

,

.

След изравняване нулапроизводни получаваме системата m+nуравнения с m+nнеизвестен

,(5.6)

В общия случай системата (5.6)-(5.7) ще има няколко решения, които ще включват всички максимуми и минимуми на функцията на Лагранж. За да се подчертае глобалният максимум или минимум, стойностите на целевата функция се изчисляват във всички намерени точки. Най-голямата от тези стойности ще бъде глобалният максимум, а най-малката ще бъде глобалният минимум. В някои случаи е възможно да се използва достатъчни условия за строг екстремумнепрекъснати функции (вижте проблем 5.2 по-долу):

нека функционира
е непрекъсната и два пъти диференцируема в някаква околност на стационарната си точка (тези.
)). Тогава:

А ) Ако
, (5.8)

Че – точка на строг максимум на функцията
;

б) Ако
, (5.9)

Че – точка на строг минимум на функцията
;

Ж ) Ако
,

тогава въпросът за наличието на екстремум остава открит.

В допълнение, някои решения на системата (5.6)-(5.7) могат да бъдат отрицателни. Което не е в съответствие с икономическото значение на променливите. В този случай трябва да помислите за замяна на отрицателните стойности с нулеви стойности.

Икономически смисъл на множителите на Лагранж.Оптимална стойност на множителя
показва колко ще се промени стойността на критерия З когато ресурсът се увеличава или намалява йс една единица, тъй като

Методът на Лагранж може да се използва и в случаите, когато ограниченията са неравенства. По този начин, намирането на екстремума на функцията
при условия

,

извършва се на няколко етапа:

1. Определят стационарни точки на целевата функция, за които решават система от уравнения

.

2. От стационарните точки изберете тези, чиито координати отговарят на условията

3. Използвайки метода на Лагранж, решете задачата с ограничения за равенство (5.1)-(5.2).

4. Точките, открити във втория и третия етап, се изследват за глобалния максимум: стойностите на целевата функция в тези точки се сравняват - най-голямата стойност съответства на оптималния план.

Задача 5.1Нека решим задача 1.3, разгледана в първия раздел, като използваме метода на Лагранж. Оптималното разпределение на водните ресурси се описва с математически модел

.

Нека съставим функцията на Лагранж

Нека намерим безусловния максимум на тази функция. За да направим това, изчисляваме частните производни и ги приравняваме към нула

,

Така получихме система от линейни уравнения от вида

Решението на системата от уравнения представлява оптимален план за разпределение на водните ресурси в напояваните площи

, .

Количества
измерено в стотици хиляди кубични метри.
- размерът на нетния доход от сто хиляди кубични метра вода за напояване. Следователно пределната цена на 1 m 3 вода за напояване е равна на
бърлога единици

Максималният допълнителен нетен доход от напояване ще бъде

160·12.26 2 +7600·12.26-130·8.55 2 +5900·8.55-10·16.19 2 +4000·16.19=

172391.02 (ден. единици)

Задача 5.2Решаване на проблем с нелинейно програмиране

Нека представим ограничението във формата:

.

Нека съставим функцията на Лагранж и да определим нейните частни производни

.

За да се определят стационарните точки на функцията на Лагранж, нейните частни производни трябва да бъдат равни на нула. В резултат на това получаваме система от уравнения

.

От първото уравнение следва

. (5.10)

Изразяване нека заместим във второто уравнение

,

което предполага две решения за :

И
. (5.11)

Като заместим тези решения в третото уравнение, получаваме

,
.

Стойности на множителя на Лагранж и неизвестното Нека изчислим с помощта на изрази (5.10)-(5.11):

,
,
,
.

Така получихме две екстремни точки:

;
.

За да разберем дали тези точки са максимални или минимални, използваме достатъчни условия за строг екстремум (5.8)-(5.9). Предварителен израз за , получено от ограничението на математическия модел, ние го заместваме в целевата функция

,

. (5.12)

За да проверим условията на строг екстремум, трябва да определим знака на втората производна на функция (5.11) в екстремните точки, които намерихме
И
.

,
;

.

По този начин, (·)
е минималната точка на първоначалния проблем (
), A (·)
– максимална точка.

Оптимален план:

,
,
,

.

Днес в урока ще се научим да намираме условноили както още ги наричат, относителни крайностифункции на няколко променливи и, на първо място, ще говорим, разбира се, за условни екстремуми функции на двеИ три променливи, които се срещат в по-голямата част от тематичните проблеми.

Какво трябва да знаете и да можете в момента? Въпреки факта, че тази статия е „в покрайнините“ на темата, не е необходимо много за успешното овладяване на материала. На този етап трябва да сте наясно с основните повърхности на пространството, можете да намерите частични производни (поне на средно ниво)и, както повелява безмилостната логика, да разберем безусловни крайности. Но дори и да имате ниско ниво на подготовка, не бързайте да си тръгвате - всички липсващи знания/умения наистина могат да бъдат „прибрани по пътя“ и без часове на мъчение.

Първо, нека анализираме самата концепция и в същото време извършим бързо повторение на най-често срещаните повърхности. И така, какво е условен екстремум? ...Логиката тук е не по-малко безпощадна =) Условният екстремум на функция е екстремум в обичайния смисъл на думата, който се постига при изпълнение на определено условие (или условия).

Представете си произволен "наклонен" самолет V Декартова система. Нито един екстремумтук няма и следа от него. Но това е за момента. Нека помислим елиптичен цилиндър, за простота - безкрайна кръгла „тръба“, успоредна на оста. Очевидно тази „тръба“ ще „изреже“ нашия самолет елипса, в резултат на което в горната му точка ще има максимум, а в долната – минимум. С други думи, функцията, определяща равнината, достига екстремуми предвид товаче е пресечен от даден кръгъл цилиндър. Точно "предоставено"! Друг елиптичен цилиндър, пресичащ тази равнина, почти сигурно ще произведе различни минимални и максимални стойности.

Ако не е много ясно, тогава ситуацията може да се симулира реалистично (макар и в обратен ред): вземете брадва, излезте на улицата и посечете... не, Грийнпийс няма да ви прости по-късно - по-добре е да изрежете дренажната тръба с мелница =). Условният минимум и условният максимум ще зависят от това на каква височина и под какво (нехоризонтален)разрезът се прави под ъгъл.

Дойде време да облечем изчисленията в математически одежди. Нека помислим елипсовиден параболоид, която има абсолютен минимумв точка . Сега нека намерим екстремума предвид това. Това самолетуспореден на оста, което означава, че "изрязва" параболоида парабола. Върхът на тази парабола ще бъде условният минимум. Освен това равнината не минава през началото на координатите, следователно точката ще остане без значение. Не сте предоставили снимка? Нека веднага последваме връзките! Ще отнеме още много, много пъти.

Въпрос: как да намеря този условен екстремум? Най-простият начин за решаване е да използвате уравнението (което се нарича - състояниеили уравнение на връзката) изразете, например: – и го заменете във функцията:

Резултатът е функция на една променлива, която дефинира парабола, чийто връх се „изчислява“ със затворени очи. Да намерим критични точки:

- критична точка.

Следващото най-лесно за използване нещо е второто достатъчно условие за екстремум:

По-специално: това означава, че функцията достига минимум в точка . Може да се изчисли директно: , но ние ще поемем по-академичен път. Нека намерим координатата на „играта“:
,

запишете условната минимална точка, уверете се, че тя наистина лежи в равнината (удовлетворява уравнението на свързване):

и изчислете условния минимум на функцията:
предвид това („добавката“ е задължителна!!!).

Разглежданият метод може да се използва на практика без сянка на съмнение, но има редица недостатъци. Първо, геометрията на проблема не винаги е ясна, и второ, често е неизгодно да се изрази „x“ или „y“ от уравнението на връзката (ако изобщо може да се изрази нещо). А сега ще разгледаме универсален метод за намиране на условни екстремуми, т.нар Метод на умножителя на Лагранж:

Пример 1

Намерете условните екстремуми на функцията с посоченото уравнение на връзка с аргументите.

Разпознавате ли повърхностите? ;-) ...радвам се да ви видя щастливите лица =)

Между другото, от формулировката на този проблем става ясно защо условието се нарича уравнение на връзката– аргументи на функцията свързандопълнително условие, тоест намерените точки на екстремум трябва задължително да принадлежат на кръгов цилиндър.

Решение: в първата стъпка трябва да представите уравнението на връзката във формата и да съставите Функция на Лагранж:
, където е така нареченият множител на Лагранж.

В нашия случай и:

Алгоритъмът за намиране на условни екстремуми е много подобен на схемата за намиране на „обикновени“ крайности. Да намерим частични производниЛагранж функции, докато "ламбда" трябва да се третира като константа:

Нека съставим и решим следната система:

Плетеница се разплита стандартно:
от първото уравнение, което изразяваме ;
от второто уравнение изразяваме .

Нека заместим връзките в уравнението и извършим опростения:

В резултат на това получаваме две стационарни точки. Ако , тогава:

ако , тогава:

Лесно се вижда, че координатите на двете точки удовлетворяват уравнението . Скрупулните хора също могат да извършат пълна проверка: за това трябва да замените в първото и второто уравнения на системата и след това направете същото с набора . Всичко трябва да се „събере“.

Нека проверим изпълнението на условието за достатъчен екстремум за намерените стационарни точки. Ще обсъдя три подхода за решаване на този проблем:

1) Първият метод е геометрична обосновка.

Нека изчислим стойностите на функцията в стационарни точки:

След това записваме фраза с приблизително следното съдържание: сечение на равнина от кръгов цилиндър е елипса, в горния връх на която се достига максимумът, а в долния връх - минимумът. Така по-голямата стойност е условен максимум, а по-малката стойност е условен минимум.

Ако е възможно, по-добре е да използвате този метод - той е прост и това решение се отчита от учителите (голям плюс е, че показахте разбиране на геометричния смисъл на задачата). Въпреки това, както вече беше отбелязано, не винаги е ясно какво се пресича с какво и къде и тогава на помощ идва аналитичната проверка:

2) Вторият метод се основава на използването на диференциални признаци от втори ред. Ако се окаже, че в неподвижна точка, тогава функцията достига максимум там, но ако го направи, тогава тя достига минимум.

Да намерим частични производни от втори ред:

и създайте този диференциал:

Когато , това означава, че функцията достига своя максимум в точка ;
при , което означава, че функцията достига минимум в точката .

Разгледаният метод е много добър, но има недостатъка, че в някои случаи е почти невъзможно да се определи знакът на 2-рия диференциал (обикновено това се случва, ако и/или са различни знаци). И тогава на помощ идва „тежката артилерия“:

3) Нека разграничим уравнението на връзката с "X" и "Y":

и съставете следното симетричен матрица:

Ако в стационарна точка, тогава функцията достига там ( внимание!) минимум, ако – тогава максимум.

Нека напишем матрицата за стойността и съответната точка:

Нека го изчислим детерминант:
, следователно функцията има максимум в точка .

По същия начин за стойност и точка:

По този начин функцията има минимум в точка .

Отговор: предвид това :

След задълбочен анализ на материала, просто няма как да не ви предложа няколко типични задачи за самопроверка:

Пример 2

Намерете условния екстремум на функцията, ако нейните аргументи са свързани с уравнението

Пример 3

Намерете екстремумите на функцията при дадено условие

И отново силно препоръчвам да се разбере геометричната същност на задачите, особено в последния пример, където аналитична проверка на достатъчно условие не е подарък. Спомнете си какво 2-ра линия за поръчказадава уравнението и какво повърхносттази линия генерира в пространството. Анализирайте по коя крива цилиндърът ще пресече равнината и къде на тази крива ще има минимум и къде ще има максимум.

Решения и отговори в края на урока.

Разглежданият проблем се използва широко в различни области, по-специално - няма да отидем далеч - в геометрията. Нека решим любимия на всички проблем с бутилката от половин литър (вижте Пример 7 от статиятаЕкстремни предизвикателства ) втори начин:

Пример 4

Какви трябва да бъдат размерите на цилиндрична тенекиена кутия, така че да се използва най-малко материал за направата на кутията, ако обемът на кутията е равен на

Решение: разгледайте променлив основен радиус, променлива височина и съставете функция на площта на общата повърхност на кутията:
(площ на две корици + странична повърхност)

Име на параметъра	Значение
Тема на статията:	Метод на Лагранж.
Рубрика (тематична категория)	Математика

Намирането на полином означава определяне на стойностите на неговия коефициент . За да направите това, като използвате условието за интерполация, можете да формирате система от линейни алгебрични уравнения (SLAE).

Детерминантата на този SLAE обикновено се нарича детерминанта на Вандермонд. Детерминантата на Vandermonde не е равна на нула за за , т.е. в случая, когато няма съвпадащи възли в справочната таблица. Въпреки това може да се твърди, че SLAE има решение и това решение е уникално. След решаване на SLAE и определяне на неизвестните коефициенти можете да конструирате интерполационен полином.

Полином, който отговаря на условията за интерполация, когато се интерполира по метода на Лагранж, се конструира под формата на линейна комбинация от полиноми от n-та степен:

Обикновено се наричат ​​полиноми основенполиноми. За да Полином на Лагранжудовлетворява условията за интерполация, изключително важно е следните условия да са изпълнени за неговите базисни полиноми:

За .

Ако тези условия са изпълнени, тогава за всеки имаме:

Освен това, изпълнението на посочените условия за базисните полиноми означава, че условията за интерполация също са изпълнени.

Нека определим вида на базисните полиноми въз основа на ограниченията, наложени върху тях.

1-во условие:при .

2-ро условие: .

И накрая, за основния полином можем да напишем:

След това, замествайки получения израз за базовите полиноми в оригиналния полином, получаваме крайната форма на полинома на Лагранж:

Конкретна форма на полинома на Лагранж при обикновено се нарича формула за линейна интерполация:

.

Полиномът на Лагранж, взет при обикновено се нарича формула за квадратична интерполация:

Метод на Лагранж. - понятие и видове. Класификация и характеристики на категорията "метод на Лагранж". 2017 г., 2018 г.

- Метод на Лагранж (метод на вариация на произволна константа).

Линейни дистанционни управления. Определение. тип DU, т.е. линейна по отношение на неизвестна функция и нейната производна се нарича линейна. За решение от този тип ще разгледаме два метода: метода на Лагранж и метода на Бернули. Помислете за хомогенно диференциално уравнение. Това уравнение е с разделими променливи. Решението на уравнението е общо... .

- Линейни системи за управление, хомогенни и разнородни. Понятието общо решение. Метод на Лагранж за изменение на производствените константи.

Определение. Системата за управление се нарича хомогенна, ако функцията може да бъде представена като връзката между нейните аргументи. F-то се нарича хомогенно f-то измерване, ако Примери: 1) - 1-ви ред на хомогенност. 2) - 2-ри ред на хомогенност. 3) - нулев порядък на хомогенност (просто хомогенен... .

- Лекция 8. Приложение на частни производни: екстремни задачи. Метод на Лагранж.

Екстремалните проблеми са от голямо значение в икономическите изчисления. Това е изчислението, например, на максимален доход, печалба, минимални разходи в зависимост от няколко променливи: ресурси, производствени активи и др. Теорията за намиране на екстремуми на функции... .

- Т.2.3. DE от по-висок порядък. Уравнение в общите диференциали. Т.2.4. Линейни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти. Метод на Лагранж.

3. 2. 1. DE с разделими променливи S.R. 3. В природните науки, технологиите и икономиката често трябва да се работи с емпирични формули, т.е. формули, съставени въз основа на обработка на статистически данни или...

Разгледайте линейно нехомогенно диференциално уравнение от първи ред:
(1) .
Има три начина за решаване на това уравнение:

• метод на вариация на константата (Лагранж).

Нека разгледаме решаването на линейно диференциално уравнение от първи ред с помощта на метода на Лагранж.

Метод на вариация на константата (Лагранж)

При вариацията на константния метод ние решаваме уравнението в две стъпки. В първата стъпка опростяваме оригиналното уравнение и решаваме хомогенно уравнение. На втория етап заместваме константата на интегриране, получена на първия етап от решението, с функция. След това търсим общо решение на първоначалното уравнение.

Разгледайте уравнението:
(1)

Стъпка 1 Решаване на хомогенно уравнение

Търсим решение на хомогенното уравнение:

Това е разделимо уравнение

Разделяме променливите - умножение по dx, деление на y:

Нека интегрираме:

Интеграл върху y - табличен:

Тогава

Нека потенцираме:

Нека заменим константата e C с C и премахнем знака за модул, което се свежда до умножаване по константа ±1, които ще включим в C:

Стъпка 2 Заменете константата C с функцията

Сега нека заменим константата C с функция от x:
C → u (х)
Тоест ще търсим решение на първоначалното уравнение (1) като:
(2)
Намиране на производната.

Според правилото за диференциране на сложна функция:
.
Според правилото за диференциране на продукта:

.
Заместете в оригиналното уравнение (1) :
(1) ;

.
Двама членове са намалени:
;
.
Нека интегрираме:
.
Заместник в (2) :
.
В резултат на това получаваме общо решение на линейно диференциално уравнение от първи ред:
.

Пример за решаване на линейно диференциално уравнение от първи ред по метода на Лагранж

Решете уравнението

Решение

Решаваме хомогенното уравнение:

Разделяме променливите:

Умножете по:

Нека интегрираме:

Таблични интеграли:

Нека потенцираме:

Нека заменим константата e C с C и премахнем знаците за модула:

Оттук:

Нека заменим константата C с функция от x:
C → u (х)

Намиране на производната:
.
Заместете в оригиналното уравнение:
;
;
Или:
;
.
Нека интегрираме:
;
Решение на уравнението:
.