Екстремуми, максимални и минимални стойности на функциите. Етикет: локален екстремум

$E \подмножество \mathbb(R)^(n)$. Казва се, че $f$ има локален максимумв точката $x_(0) \in E$, ако съществува околност $U$ на точката $x_(0)$, така че за всички $x \in U$ неравенството $f\left(x\right) \leqslant f \left(x_(0)\right)$.

Локалният максимум се нарича строг , ако околността $U$ може да бъде избрана по такъв начин, че за всички $x \in U$, различни от $x_(0)$, има $f\left(x\right)< f\left(x_{0}\right)$.

Определение
Нека $f$ е реална функция върху отворено множество $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Казва се, че $f$ има местен минимумв точката $x_(0) \in E$, ако съществува околност $U$ на точката $x_(0)$, така че за всички $x \in U$ неравенството $f\left(x\right) \geqslant f \left(x_(0)\right)$.

Казва се, че локалният минимум е строг, ако околността $U$ може да бъде избрана така, че за всички $x \in U$, различни от $x_(0)$ $f\left(x\right) > f\left(x_ ( 0)\вдясно)$.

Локален екстремум съчетава концепциите за локален минимум и локален максимум.

Теорема (необходимо условие за екстремум на диференцируема функция)
Нека $f$ е реална функция върху отворено множество $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Ако в точката $x_(0) \in E$ функцията $f$ има локален екстремум и в тази точка, тогава $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0. $$ Равенството на диференциала на нула е еквивалентно на факта, че всички са равни на нула, т.е. $$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x_(i))\left(x_(0)\right)=0.$$

В едномерния случай това е . Означаваме $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$, където $h$ е произволен вектор. Функцията $\phi$ е дефинирана за достатъчно малки модулни стойности на $t$. Освен това по отношение на , той е диференцируем и $(\phi)’ \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$.
Нека $f$ има локален максимум при x $0$. Следователно функцията $\phi$ при $t = 0$ има локален максимум и според теоремата на Ферма $(\phi)' \left(0\right)=0$.
И така, получихме, че $df \left(x_(0)\right) = 0$, т.е. функция $f$ в точката $x_(0)$ е равна на нула върху всеки вектор $h$.

Определение
Точките, в които диференциалът е равен на нула, т.е. тези, при които всички частни производни са равни на нула, се наричат ​​стационарни. критични точкифункциите $f$ са онези точки, в които $f$ не е диференцируемо или е равно на нула. Ако точката е неподвижна, тогава все още не следва, че функцията има екстремум в тази точка.

Пример 1
Нека $f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$. Тогава $\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial y) = 3 \cdot y^(2 )$, така че $\left(0,0\right)$ е стационарна точка, но функцията няма екстремум в тази точка. Наистина, $f \left(0,0\right) = 0$, но е лесно да се види, че във всяка околност на точката $\left(0,0\right)$ функцията приема както положителни, така и отрицателни стойности.

Пример 2
Функцията $f \left(x,y\right) = x^(2) − y^(2)$ има начало на координатите като стационарна точка, но е ясно, че в тази точка няма екстремум.

Теорема (достатъчно условие за екстремум).
Нека функция $f$ е два пъти непрекъснато диференцируема върху отворено множество $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Нека $x_(0) \in E$ е неподвижна точка и $$\displaystyle Q_(x_(0)) \left(h\right) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1 ) ^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_(j)) \left(x_(0)\right)h^(i)h^(j).$ $ Тогава

1. ако $Q_(x_(0))$ е , тогава функцията $f$ в точката $x_(0)$ има локален екстремум, а именно минимум, ако формата е положително определена, и максимум, ако формата е отрицателно-определени;
2. ако квадратичната форма $Q_(x_(0))$ е неопределена, тогава функцията $f$ в точката $x_(0)$ няма екстремум.

Нека използваме разширението по формулата на Тейлър (12.7 стр. 292) . Като вземем предвид, че частичните производни от първи ред в точката $x_(0)$ са равни на нула, получаваме $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0) )\right) = \ frac(1)(2) \sum_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \ частично x_(j)) \left(x_(0)+\theta h\right)h^(i)h^(j),$$ където $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$ и $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ за $h \rightarrow 0$, тогава дясната страна е положителна за всеки вектор $h$ с достатъчно малка дължина.
Така стигнахме до заключението, че в някаква околност на точката $x_(0)$ неравенството $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$ е изпълнено, ако само $ x \neq x_ (0)$ (поставяме $x=x_(0)+h$\right). Това означава, че в точката $x_(0)$ функцията има строг локален минимум и по този начин първата част от нашата теорема е доказана.
Да предположим сега, че $Q_(x_(0))$ е неопределена форма. Тогава има вектори $h_(1)$, $h_(2)$, така че $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \left(h_(2)\right)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0$. Тогава получаваме $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right] = \frac(1)(2) t^(2) \ left[ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right].$$ За достатъчно малък $t>0$ дясната страна е положителен. Това означава, че във всяка близост на точката $x_(0)$ функцията $f$ приема стойности $f \left(x\right)$, по-големи от $f \left(x_(0)\right)$.
По същия начин получаваме, че във всяка околност на точката $x_(0)$ функцията $f$ приема стойности, по-малки от $f \left(x_(0)\right)$. Това заедно с предходното означава, че функцията $f$ няма екстремум в точката $x_(0)$.

Нека разгледаме конкретен случай на тази теорема за функция $f \left(x,y\right)$ от две променливи, дефинирани в някаква околност на точката $\left(x_(0),y_(0)\right) $ и имащи непрекъснати частични производни от първи и втори ред. Нека $\left(x_(0),y_(0)\right)$ е неподвижна точка и нека $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^( 2)) \left(x_(0) ,y_(0)\right), a_(12)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(x_( 0) , y_(0)\right), a_(22)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(x_(0), y_(0)\right ). $$ Тогава предишната теорема приема следната форма.

Теорема
Нека $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) − a_(12)^2$. Тогава:

1. ако $\Delta>0$, тогава функцията $f$ има локален екстремум в точката $\left(x_(0),y_(0)\right)$, а именно минимум, ако $a_(11)> 0$ и максимум, ако $a_(11)<0$;
2. ако $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Примери за решаване на проблеми

Алгоритъм за намиране на екстремума на функция на много променливи:

1. Намираме стационарни точки;
2. Намираме диференциала от 2-ри ред във всички стационарни точки
3. Използвайки достатъчното условие за екстремума на функция на няколко променливи, разглеждаме диференциала от втори ред във всяка стационарна точка

1. Изследвайте функцията до екстремума $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$.
   Решение

   Намерете частични производни от първи ред: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) — 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x.$$ Съставете и решете системата: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x ) = 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \ cdot y^(2) - 6 \cdot x = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)x^(2) - 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) - x = 0 \end(cases)$$ От второто уравнение изразяваме $x=4 \cdot y^(2)$ — заместваме в първото уравнение: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2)\ надясно )^(2)-2 \cdot y=0$$ $$16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $$ y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ В резултат се получават 2 стационарни точки:
   1) $y=0 \Дясна стрелка x = 0, M_(1) = \left(0, 0\right)$;
   2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Rightarrow y^(3)=\frac(1)(8) \Rightarrow y = \frac(1)(2) \Rightarrow x=1 , M_(2) = \left(\frac(1)(2), 1\right)$
   Нека проверим изпълнението на достатъчното екстремално условие:
   $$\displaystyle \frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2))=6 \cdot x; \frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y)=-6; \frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2))=48 \cdot y$$
   1) За точка $M_(1)= \left(0,0\right)$:
   $$\displaystyle A_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(0,0\right)=0; B_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(0,0\right)=-6; C_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(0,0\right)=0;$$
   $A_(1) \cdot B_(1) - C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
   2) За точка $M_(2)$:
   $$\displaystyle A_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=6; B_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(1,\frac(1)(2)\right)=-6; C_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=24;$$
   $A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$, така че има екстремум в точката $M_(2)$ и тъй като $A_(2)>0 $, тогава това е минимумът.
   Отговор: Точката $\displaystyle M_(2) \left(1,\frac(1)(2)\right)$ е минималната точка на функцията $f$.
   

2. Изследвайте функцията за екстремума $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$.
   Решение

   Намерете неподвижни точки: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=2 \cdot y + 2 \cdot x — 2.$$
   Съставете и решете системата: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x)= 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \ Rightarrow \begin(cases)2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases) y = 2\\y + x = 1\end(cases) \Rightarrow x = -1$$
   $M_(0) \left(-1, 2\right)$ е неподвижна точка.
   Нека проверим изпълнението на условието за достатъчен екстремум: $$\displaystyle A=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(-1,2\right)=0; B=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(-1,2\right)=2; C=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(-1,2\right)=2;$$
   $A \cdot B - C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
   Отговор: няма крайности.
   

Времево ограничение: 0

Навигация (само номера на задания)

0 от 4 изпълнени задачи

Информация

Направете този тест, за да проверите знанията си по темата, която току-що прочетохте, Локални екстремуми на функции на много променливи.

Вече сте правили теста преди. Не можете да го стартирате отново.

Тестът се зарежда...

Трябва да влезете или да се регистрирате, за да започнете теста.

Трябва да завършите следните тестове, за да започнете този:

резултати

Верни отговори: 0 от 4

Твоето време:

Времето изтече

Постигнахте 0 от 0 точки (0 )

Вашият резултат е записан в класацията

1. С отговор
2. Проверих

Задача 1 от 4

1 .

Брой точки: 1

Изследвайте функцията $f$ за екстремуми: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$

вярно


погрешно


1. Задача 2 от 4

   2 .

   Брой точки: 1

   Дали функцията $f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$

>> Крайности

Функция екстремум

Определение за екстремум

функция y = f(x) се извиква повишаване на (намаляващ) в някакъв интервал, ако за x 1< x 2 выполняется неравенство (f (x 1) < f (x 2) (f (x 1) >f(x2)).

Ако диференцируема функция y \u003d f (x) на сегмент нараства (намалява), тогава нейната производна на този сегмент f " (х )> 0

(е"(х)< 0).

Точка х О Наречен локална максимална точка (минимум) на функцията f (x ), ако има околност на точката x o, за всички точки от които неравенството f (x)≤ f (x o) (f (x)≥ f (x o )).

Извикват се максималните и минималните точки екстремни точки, а стойностите на функцията в тези точки са нейни екстремуми.

екстремни точки

Необходими условия за екстремум . Ако точка х О е точка на екстремум на функцията f (x), тогава или f " (x o ) = 0, или f(x o ) не съществува. Такива точки се наричат критичен,където самата функция е дефинирана в критичната точка. Екстремумите на една функция трябва да се търсят сред нейните критични точки.

Първото достатъчно условие. Позволявам х О - критична точка. Ако f" (x ) при преминаване през точката х О променя знака плюс на минус, след това в точката x oфункцията има максимум, в противен случай има минимум. Ако производната не променя знака при преминаване през критична точка, тогава в точката х О няма екстремум.

Второто достатъчно условие. Нека функцията f(x) има
е" (x ) в близост до точката х О и втората производна в самата точка x o. Ако f"(x o) = 0, >0 ( <0), то точка x oе локална минимална (максимална) точка на функцията f(x). Ако =0, тогава трябва или да се използва първото достатъчно условие, или да се включат по-високи.

На сегмент функцията y \u003d f (x) може да достигне най-малката или най-голямата стойност или в критични точки, или в краищата на сегмента.

Пример 3.22.

Решение.защото f " (

Задачи за намиране на екстремума на функция

Пример 3.23. а

Решение. хИ г г
0 ≤ х≤
> 0, докато x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение функции кв.. единици).

Пример 3.24. p ≈

Решение.стр
С"
R = 2, H = 16/4 = 4.

Пример 3.22.Намерете екстремума на функцията f (x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Решение.защото f " (x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x -2) (x - 3), тогава критичните точки на функцията x 1 \u003d 2 и x 2 \u003d 3. Екстремните точки могат да бъдат само в тези точки. Тъй като при преминаване през точката x 1 \u003d 2, производната променя знака от плюс на минус, тогава в тази точка функцията има максимум. При преминаване през точката x 2 \u003d 3, производната променя знака от минус на плюс, следователно в точката x 2 \u003d 3 функцията има минимум. Изчисляване на стойностите на функцията в точки
x 1 = 2 и x 2 = 3, намираме екстремумите на функцията: максимум f (2) = 14 и минимум f (3) = 13.

Пример 3.23.В близост до каменната стена е необходимо да се изгради правоъгълна зона, така че да бъде оградена с телена мрежа от три страни, а от четвъртата страна да граничи със стената. За това има алинейни метри от мрежата. При какво съотношение на страните сайтът ще има най-голяма площ?

Решение.Обозначете страните на сайта през хИ г. Площта на обекта е равна на S = xy. Позволявам ге дължината на страната, съседна на стената. Тогава по условие трябва да е спазено равенството 2x + y = a. Следователно y = a - 2x и S = ​​x (a - 2x), където
0 ≤ х≤ a /2 (дължината и ширината на подложката не могат да бъдат отрицателни). S "= a - 4x, a - 4x = 0 за x = a/4, откъдето
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Тъй като x = a /4 е единствената критична точка, нека проверим дали знакът на производната се променя при преминаване през тази точка. За x a /4 S "> 0, докато x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв.. единици). Тъй като S е непрекъснато включено и неговите стойности в краищата на S(0) и S(a /2) са равни на нула, тогава намерената стойност ще бъде най-голямата стойност на функцията. По този начин най-благоприятното съотношение на страните на сайта при дадените условия на проблема е y = 2x.

Пример 3.24.Необходимо е да се изработи затворен цилиндричен резервоар с вместимост V=16 p ≈ 50 м 3. Какви трябва да бъдат размерите на резервоара (радиус R и височина H), за да се използва най-малко материал за производството му?

Решение.Общата повърхност на цилиндъра е S = 2стр R(R+H). Знаем обема на цилиндъра V = p R 2 N Þ N \u003d V / p R 2 \u003d 16 p / p R 2 \u003d 16 / R 2. Така че S(R) = 2стр (R2+16/R). Намираме производната на тази функция:
С"(R) \u003d 2 p (2R- 16 / R 2) \u003d 4 p (R- 8 / R 2). С" (R) = 0 за R 3 = 8, следователно,
R = 2, H = 16/4 = 4.

МАКСИМАЛЕН И МИНИМУМ ТОЧКИ

точки, в които приема най-големите или най-малките стойности в областта на дефиницията; такива точки се наричат също точки на абсолютен максимум или абсолютен минимум. Ако f е дефинирано върху топологична интервал X, след това точката х 0Наречен точка на локален максимум (локален минимум), ако такава точка съществува х 0,че за ограничаването на разглежданата функция до тази околност, точката х 0е абсолютната максимална (минимална) точка. Разграничете точките на строг и нестрог максимум (mini m u m a) (както абсолютни, така и локални). Например точка т.нар точка на нестрог (строг) локален максимум на функцията f, ако съществува такава околност на точката х 0,което важи за всички (съответно f(x) x0). )/

За функции, дефинирани в крайномерни области, от гледна точка на диференциалното смятане, има условия и критерии дадена точка да бъде локална максимална (минимум) точка. Нека функцията f е дефинирана в определена околност на кутията x 0 на реалната ос. Ако x 0 -точка на нестрог локален максимум (минимум) и в тази точка съществува f"( x0), тогава е равно на нула.

Ако дадена функция f е диференцируема в околност на точка x 0,с изключение може би на самата тази точка, в която тя е непрекъсната, и производната f" от всяка страна на точката x0запазва постоянен знак в този квартал, то за да x0беше точка на строг локален максимум (локален минимум), е необходимо и достатъчно производната да промени знака от плюс на минус, т.е. f "(x)> 0 при x<.x0и f"(x)<0 при x>x0(съответно от минус към плюс: е"(Х) <0 при х<x0и f"(x)>0, когато x>x 0). Въпреки това, не за всяка функция, диференцируема в околност на точка x 0,може да се говори за промяна на знака на производната в този момент. . "

Ако функцията f има в точката х 0 тпроизводни, освен това, за да х 0е точка на строг локален максимум, е необходимо и достатъчно τ да е четен и f (m) ( x0)<0, и - локального минимума, чтобы m было четно и f (m) (x0)>0.

Нека функцията f( x 1 ..., x p] е дефиниран в n-мерна околност на точка и е диференцируем в тази точка. Ако x (0) е нестрога локална максимална (минимум) точка, тогава функцията f в тази точка е равна на нула. Това условие е еквивалентно на равенството на нула в тази точка на всички частни производни от 1-ви ред на функцията f. Ако една функция има 2-ри непрекъснати частични производни при x(0), всички нейни 1-ви производни се нулират при x(0) и диференциалът от 2-ри ред при x(0) е отрицателна (положителна) квадратна форма, тогава x(0) е точка на строг локален максимум (минимум). Условията са известни за М. и М. Т. диференцируеми функции, когато се налагат определени ограничения върху промените в аргументите: уравненията на ограниченията са изпълнени. Необходимите и достатъчни условия за максимум (минимум) на реална функция, която има по-сложна структура, се изучават в специални клонове на математиката: например в изпъкнал анализ, математическо програмиране(Вижте също Максимизиране и минимизиране на функцията). M. и m.t. функции, дефинирани върху многообразия се изучават в вариационно смятане като цяло,и M. и m.t. за функции, дефинирани във функционални пространства, т.е. за функционали, в вариационно смятане.Съществуват и различни методи за числено приблизително намиране на M. и m. t.

Лит.: Ильин В. А., Позня до Е. Г., Основи на математическия анализ, 3 изд., Част 1, М., 1971; КудрявцевЛ. Л. Д. Кудрявцев.

Математическа енциклопедия. - М.: Съветска енциклопедия. И. М. Виноградов. 1977-1985 г.

Вижте какво е "МАКСИМАЛНА И МИНИМАЛНА ТОЧКА" в други речници:

Дискретен максимален принцип на Понтрягин за процеси на дискретно управление. За такъв процес M. p. може да не бъде удовлетворен, въпреки че за неговия непрекъснат аналог, който се получава чрез замяна на оператора за крайна разлика с диференциален ... ... Математическа енциклопедия

Теорема, изразяваща едно от основните свойства на аналитичния модул. функции. Нека f(z) е регулярна аналитична или холоморфна функция на p-комплексни променливи в област D на комплексно числово пространство, различно от константа, M. m. s. в ... ... Математическа енциклопедия

Най-големите и съответно най-малките стойности на функция, която приема реални стойности. Извиква се точката от областта на дефиниция на въпросната функция, в която тя взема максимум или минимум. съответно максималната точка или минималната точка ... ... Математическа енциклопедия

Вижте Максимум и минимум на функция, Максимум и минимум на точка... Математическа енциклопедия

Стойността на непрекъсната функция, която е максимумът или минимумът (вижте Точки за максимум и минимум). Терминът LE ... Математическа енциклопедия

Индикатор- (Индикатор) Индикаторът е информационна система, субстанция, устройство, устройство, което показва промените във всеки параметър Индикатори на графиките на валутния пазар на Forex, какво представляват и къде могат да бъдат изтеглени? Описание на индикаторите MACD, ... ... Енциклопедия на инвеститора

Този термин има други значения, вижте Екстремни (значения). Екстремум (на латински extremum екстремен) в математиката е максималната или минималната стойност на функция върху дадено множество. Точката, в която се достига екстремума е ... ... Wikipedia

Диференциалното смятане е клон на математическия анализ, който изучава понятията производна и диференциал и как те могат да бъдат приложени към изследването на функции. Съдържание 1 Диференциално смятане на функции на една променлива ... Wikipedia

Лемниската и нейните трикове Лемниската на Бернули е плоска алгебрична крива. Дефиниран като геометрично място на точките, продукт ... Wikipedia

Разминаване- (Дивергенция) Дивергенция като индикатор Търговска стратегия с MACD дивергенция Съдържание Съдържание Раздел 1. на. Раздел 2. Дивергенция как. Дивергенцията е термин, използван в икономиката за обозначаване на движението по различни ... ... Енциклопедия на инвеститора

Промяната на функция в определена точка и се определя като границата на нарастването на функцията към нарастването на аргумента, което клони към нула. За да го намерите, използвайте таблицата с производни. Например, производната на функцията y = x3 ще бъде равна на y’ = x2.

Приравнете тази производна на нула (в този случай x2=0).

Намерете стойността на дадената променлива. Това ще бъдат стойностите, за които тази производна ще бъде равна на 0. За да направите това, заменете произволни числа в израза вместо x, при което целият израз ще стане нула. Например:

2-2x2=0
(1-x)(1+x) = 0
x1=1, x2=-1

Нанесете получените стойности върху координатната права и изчислете знака на производната за всяка от получените. На координатната права се отбелязват точки, които се приемат за начало. За да изчислите стойността в интервалите, заменете произволни стойности, които отговарят на критериите. Например за предишната функция до интервала -1 можете да изберете стойност -2. За -1 до 1 можете да изберете 0, а за стойности, по-големи от 1, изберете 2. Заменете тези числа в производната и разберете знака на производната. В този случай производната с x = -2 ще бъде равна на -0,24, т.е. отрицателен и ще има знак минус на този интервал. Ако x=0, тогава стойността ще бъде равна на 2 и върху този интервал се поставя знак. Ако x=1, тогава производната също ще бъде равна на -0,24 и се поставя минус.

Ако при преминаване през точка на координатната линия производната промени знака си от минус на плюс, тогава това е минимална точка, а ако от плюс на минус, това е максимална точка.

Подобни видеа

Полезен съвет

За да намерите производната, има онлайн услуги, които изчисляват необходимите стойности и показват резултата. На такива сайтове можете да намерите производни до 5 поръчки.

източници:

• Една от услугите за изчисляване на деривати
• максимална точка на функцията

Максималните точки на функцията заедно с минималните точки се наричат ​​точки на екстремум. В тези точки функцията променя поведението си. Екстремумите се определят на ограничени числови интервали и винаги са локални.

Инструкция

Процесът на намиране на локални екстремуми се нарича функция и се извършва чрез анализ на първата и втората производни на функцията. Преди да започнете изследването, уверете се, че зададеният диапазон от стойности на аргументи принадлежи към разрешените стойности. Например за функцията F=1/x стойността на аргумента x=0 е невалидна. Или за функцията Y=tg(x), аргументът не може да има стойност x=90°.

Уверете се, че функцията Y е диференцируема за целия даден интервал. Намерете първата производна Y". Очевидно е, че преди да достигне локалната максимална точка, функцията расте, а когато премине през максимума, функцията става намаляваща. Първата производна във физическото си значение характеризира скоростта на промяна на функцията. Докато функцията расте, скоростта на този процес е положителна стойност.При преминаване през локалния максимум функцията започва да намалява и скоростта на процеса на промяна на функцията става отрицателна.Преходът на скоростта на промяна на функцията през нула се появява в точката на локалния максимум.

За функцията се казва, че има вътрешна точка
области д локален максимум(минимум), ако има такава околност на точката
, за всяка точка
което удовлетворява неравенството

Ако функцията има в точката
локален максимум или локален минимум, тогава казваме, че има в тази точка локален екстремум(или просто крайно).

Теорема (необходимо условие за съществуването на екстремум). Ако диференцируемата функция достигне екстремум в точката
, след това всяка частична производна от първи ред на функцията изчезва в този момент.

Наричат ​​се точките, в които всички частни производни от първи ред изчезват стационарни точки на функцията
. Координатите на тези точки могат да бъдат намерени чрез решаване на системата от уравнения

.

Необходимото условие за съществуването на екстремум в случай на диференцируема функция може да се формулира накратко по следния начин:

Има случаи, когато в някои точки някои частични производни имат безкрайни стойности или не съществуват (докато останалите са равни на нула). Такива точки се наричат критични точки на функцията.Тези точки също трябва да се считат за "подозрителни" за екстремум, както и стационарни.

В случай на функция на две променливи необходимото условие за екстремум, а именно равенството на нула на частните производни (диференциала) в точката на екстремума, има геометрична интерпретация: допирателна равнина към повърхност
в крайната точка трябва да е успоредна на равнината
.

20. Достатъчни условия за съществуване на екстремум

Изпълнението на необходимото условие за съществуването на екстремум в даден момент изобщо не гарантира наличието на екстремум там. Като пример можем да вземем диференцируемата навсякъде функция
. Както нейните частни производни, така и самата функция изчезват в точката
. Във всеки квартал на тази точка обаче има и двете положителни (големи
) и отрицателни (по-малки
) стойности на тази функция. Следователно в този момент по дефиниция няма екстремум. Следователно е необходимо да се знаят достатъчни условия, при които точка, за която се предполага, че има екстремум, е екстремна точка на изследваната функция.

Разгледайте случая на функция на две променливи. Да приемем, че функцията
е дефиниран, непрекъснат и има непрекъснати частни производни до и включително втори ред в околност на някаква точка
, която е стационарната точка на функцията
, тоест отговаря на условията

,
.

Нека въведем обозначението:

Теорема (достатъчни условия за съществуване на екстремум). Нека функцията
удовлетворява горните условия, а именно: диференцируема в някаква околност на стационарната точка
и е два пъти диференцируема в самата точка
. Тогава ако

Ако
след това функцията
в точката
достига

локален максимумпри
И

местен минимумпри
.

Общо взето за функция
достатъчно условие за съществуване в точка
местенминимум(максимум) е положителен(отрицателен) определеността на втория диференциал.

С други думи, следното твърдение е вярно.

Теорема . Ако в точката
за функция

за всички, които не са равни на нула едновременно
, тогава в този момент функцията има минимум(подобен максимум, Ако
).

Пример 18.Намерете локални точки на екстремум на функция

Решение. Намерете частичните производни на функцията и ги приравнете на нула:

Решавайки тази система, намираме две възможни екстремни точки:

Нека намерим частични производни от втори ред за тази функция:

В първата стационарна точка, следователно, и
Следователно са необходими допълнителни изследвания за тази точка. Функционална стойност
в този момент е нула:
Освен това,

при

А

при

Следователно във всеки квартал на точката
функция
приема стойности като големи
, и по-малки
, а оттам и в точката
функция
, по дефиниция, няма локален екстремум.

Във втората стационарна точка



следователно, следователно, тъй като
след това в точката
функцията има локален максимум.