Конструирайте матрица от двойни коефициенти на корелация. Проверете за мултиколинеарност

Нека сега разгледаме решението на пример 3.2.1 в Excel.

За да изчислите корелацията с помощта на Excel, можете да използвате функцията =correl(), определящ адресите на две колони с числа, както е показано на фиг. 3.2.2. Отговорът се поставя в D8 и е равен на 0,816.

Ориз. 3.2.2.

(Забележка: Аргументи на функцията корелите трябва да са числа или имена, масиви или препратки, съдържащи числа. Ако аргументът, който е масив или препратка, съдържа текст, булеви стойности или празни клетки, тогава такива стойности се игнорират; обаче се броят клетки, които съдържат нулеви стойности.

Ако масив! и array2 имат различен брой точки от данни, след това функцията correl връща стойността на грешката #n/a.

Ако array1 или array2 е празен или ако o (стандартното отклонение) на техните стойности е нула, тогава функцията correl връща стойността на грешка #div/0!.)

Критичната стойност на t-статистиката на Стюдънт също може да бъде получена с помощта на функцията студийно разпространение на 1 пакет Excel. Като аргументи на функцията трябва да посочите броя на степените на свобода, равни на П- 2 (в нашия пример 16 - 2= 14) и ниво на значимост a (в нашия пример a = 0,1) (фиг. 3.2.3). Ако истинска стойност/-статистиката, взета по модул е ​​по-голяма критичен,тогава с вероятност (1 - а) коефициентът на корелация е значително различен от нула.

Ориз. 3.2.3. Критичната стойност на /-статистиката е 1,7613

Excel включва набор от инструменти за анализ на данни (т.нар. пакет за анализ), предназначени за решаване на различни статистически проблеми. Да се ​​изчисли матрицата на двойните корелационни коефициенти Ртрябва да използвате инструмента Корелация (фиг. 3.2.4) и да зададете параметрите на анализа в съответния диалогов прозорец. Отговорът ще бъде поставен на нов работен лист (фиг. 3.2.5).

1 В Excel 2010 името на функцията studrasprobr променен на stu-

ДЕНТ.ОБР.2Х.

Ориз. 3.2.4.

Ориз. 3.2.5.

• За основоположници на теорията на корелацията се считат английските статистици Ф. Галтън (1822-1911) и К. Пиърсън (1857-1936). Терминът „корелация“ е заимстван от естествените науки и означава „съотношение, съответствие“. Идеята за корелацията като взаимозависимост между случайни променливи е в основата на математико-статистическата теория на корелацията.

Задача 2

1. Постройте матрица от двойни корелационни коефициенти. Проверете за мултиколинеарност. Обосновете избора на фактори в модела.

2. Конструирайте уравнение на множествена регресия в линейна форма с избрани фактори.

3. Оценете статистическата значимост на регресионното уравнение и неговите параметри с помощта на тестовете на Fisher и Student.

4. Съставете регресионно уравнение със статистически значими фактори. Оценете качеството на регресионното уравнение, като използвате коефициента на определяне R2. Оценете точността на изградения модел.

5. Оценете прогнозата за обема на производството, ако прогнозните стойности на факторите са 75% от техните максимални стойности.

Проблемни условия (Вариант 21)

Според данните, представени в таблица 1 (n = 17), се изследва зависимостта на обема на производството Y (млн. рубли) от следните фактори (променливи):

X 1 – брой на промишлено производствения персонал, души.

X 2 - средна годишна цена на дълготрайните активи, милиона рубли.

Х 3 – амортизация на ДМА, %

X 4 – захранване, kWh.

X 5 - техническо оборудване на един работник, милиони рубли.

X 6 - производство на продаваема продукция на работник, rub.

Таблица 1. Данни за пускане на продукта

Конструирайте матрица от двойни коефициенти на корелация. Проверете за мултиколинеарност. Обосновете избора на фактори в модела

Таблица 2 показва матрица на коефициента на корелация на двойки за всички променливи, включени в разглеждането. Матрицата е получена с помощта на инструмента Корелацияот опаковката Анализ на данни V Excel.

Таблица 2. Матрица на корелационните коефициенти на двойки

Визуалният анализ на матрицата ви позволява да установите:

1) Uима доста високи двойни корелации с променливи X1, X2 (>0,5) и ниско с променливи X3,X4,X5,X6 (<0,5);

2) Анализните променливи X1, X2 демонстрират доста високи двойни корелации, което налага проверка на факторите за наличие на мултиколинеарност между тях. Освен това едно от условията на класическия регресионен модел е допускането за независимост на обяснителните променливи.

За да идентифицираме мултиколинеарността на факторите, ние изпълняваме Тест на Фарар-Глоубер по фактори X1, X2, X3,X4,X5,X6.

Проверката на теста на Farrar-Glouber за мултиколинеарност на факторите включва няколко етапа.

1) Проверка за мултиколинеарност на целия масив от променливи .

Едно от условията на класическия регресионен модел е допускането за независимост на обяснителните променливи. За да се идентифицира мултиколинеарността между факторите, матрицата на междуфакторните корелации R се изчислява с помощта на пакета за анализ на данни (Таблица 3).

Таблица 3. Матрица на междуфакторните корелации R

Съществува силна зависимост (>0,5) между факторите X1 и X2, X5 и X4, X6 и X5.

Детерминантата det (R) = 0,001488 се изчислява с помощта на функцията MOPRED. Детерминантата на матрицата R клони към нула, което ни позволява да направим предположение за общата мултиколинеарност на факторите.

2) Проверка за мултиколинеарност на всяка променлива с други променливи:

· Нека изчислим обратната матрица R -1 с помощта на функцията на Excel MOBR (Таблица 4):

Таблица 4. Обратна матрица R -1

· Изчисляване на F-критерии, където са диагоналните елементи на матрицата, n=17, k = 6 (Таблица 5).

Таблица 5. Стойности на F-тест

· Действителните стойности на F-теста се сравняват с табличната стойност F таблица = 3,21(FDIST(0.05;6;10)) с n1= 6 и n2 = n - k – 1=17-6-1=10 степени на свобода и ниво на значимост α=0.05, където k е броят на факторите.

· Стойностите на F-критериите за фактори X1 и X2 са по-големи от табличните, което показва наличието на мултиколинеарност между тези фактори. Фактор X3 има най-малък ефект върху общата мултиколинеарност на факторите.

3) Проверка за мултиколинеарност на всяка двойка променливи

· Нека изчислим частичните коефициенти на корелация по формулата , където са елементите на матрицата (Таблица 6)

Таблица 6. Матрица на частичните коефициенти на корелация

· Изчисляване T-критерии по формулата (Таблица 7)

n - брой данни = 17

K - брой фактори = 6

Таблица 7.t-тестове за частични коефициенти на корелация

t таблица = STUDARSOBR(0.05;10) = 2.23

Действителните стойности на t-тестовете се сравняват с табличните стойности със степени на свобода n-k-1 = 17-6-1=10 и ниво на значимост α=0,05;

t21 > tтаблица

t54 > ttable

От таблици 6 и 7 става ясно, че две двойки фактори X1 и X2, X4 и X5 имат висока статистически значима частична корелация, т.е. те са мултиколинеарни. За да се отървете от мултиколинеарността, можете да изключите една от променливите на колинеарната двойка. В двойката X1 и X2 оставяме X2, в двойката X4 и X5 оставяме X5.

По този начин, в резултат на проверката на теста на Farrar-Glouber, остават следните фактори: X2, X3, X5, X6.

При завършване на процедурите за корелационен анализ е препоръчително да се разгледат частичните корелации на избраните фактори с резултата Y.

Нека изградим матрица от сдвоени коефициенти на корелация въз основа на данните в таблица 8.

Таблица 8. Изходни данни за продукта с избрани фактори X2, X3, X5, X6.

Последната колона на таблица 9 представя стойностите на t-теста за колоната Y.

Таблица 9. Матрица на частичните коефициенти на корелация с резултата Y

От таблица 9 става ясно, че променливата Yима висока и в същото време статистически значима частична корелация с фактор X2.

Анализ интерфакториален(между „X“!) коефициентите на корелация показват, че стойността от 0,8 надвишава в абсолютна стойностсамо коефициента на корелация между двойка фактори х 1 –х 3 (с удебелен шрифт). Фактори х 1 –х 3 се разпознават като колинеарни.

2. Както е показано в параграф 1, фактори х 1 –х 3 са колинеарни, което означава, че те на практика са дубликати един на друг и включването им едновременно в модела ще доведе до неправилна интерпретация на съответните регресионни коефициенти. Ясно е, че факторът х 3 има по-голям по модулкоефициент на корелация с резултата Yотколкото фактор х 1: r y , х 1 =0,519; r y , х 3 =0,610; (см. маса 1). Това говори за по-силно влияние на фактора х 3 на промяна Y. Фактор х 1 следователно се изключва от разглеждане.

За да се състави регресионно уравнение, стойностите на използваните променливи ( Y,х 2 , х 3 , х 4 , х 5 , х 6) копирайте в празен работен лист ( прил. 3). Изграждаме регресионното уравнение с помощта на добавката „ Анализ на данни...Регресия" (меню " Обслужване"® « Анализ на данни…» ® « Регресия"). Панелът за регресионен анализ с попълнени полета е показан в ориз. 2.

Резултатите от регресионния анализ са дадени в прил. 4и се премести в маса 2. Регресионното уравнение има формата (вижте „ Коефициенти" V маса 2):

Регресионното уравнение се счита за статистически значимо, тъй като вероятността за случайното му формиране във формата, в която е получено, е 8,80 × 10 -6 (вж. "Значение F" V маса 2), което е значително по-ниско от приетото ниво на значимост от a=0,05.

х 3 , х 4 , х 6 под приетото ниво на значимост a=0,05 (виж „ P-стойност" V маса 2), което показва статистическата значимост на коефициентите и значителното влияние на тези фактори върху промяната в годишната печалба Y.

Вероятност за случайно образуване на коефициенти за фактори х 2 и х 5 надвишава приетото ниво на значимост a=0,05 (виж „ P-стойност" V маса 2), и тези коефициенти не се считат за статистически значими.

ориз. 2. Панел за регресионен анализ на модела Y(х 2 , х 3 , х 4 , х 5 , х 6)

таблица 2

Y(х 2 , х 3 , х 4 , х 5 , х 6)

3. Въз основа на резултатите от проверката на статистическата значимост на коефициентите на регресионното уравнение, извършена в предходния параграф, ние изграждаме нов регресионен модел, съдържащ само информативни фактори, които включват:

· фактори, чиито коефициенти са статистически значими;

фактори, чиито коефициенти T- статистиката надвишава единица по абсолютна стойност (с други думи, абсолютната стойност на коефициента е по-голяма от неговата стандартна грешка).

Първата група включва фактори х 3 , х 4 , х 6, към втория - фактор х 2. Фактор х 5 се изключва от разглеждане като неинформативен и крайният регресионен модел ще съдържа фактори х 2 , х 3 , х 4 , х 6 .

За да съставите регресионно уравнение, копирайте стойностите на използваните променливи в празен работен лист ( прил. 5)и извършване на регресионен анализ ( ориз. 3). Резултатите от него са дадени в прил. 6и се премести в маса 3. Регресионното уравнение е:

(см. " Коефициенти" V маса 3).

ориз. 3. Панел за регресионен анализ на модела Y(х 2 , х 3 , х 4 , х 6)

Таблица 3

Резултати от регресионен анализ на модела Y(х 2 , х 3 , х 4 , х 6)

Регресионното уравнение е статистически значимо: вероятността за случайното му образуване е под приемливото ниво на значимост от a=0,05 (вижте „ Значение F" V маса 3).

Коефициентите за факторите също се считат за статистически значими х 3 , х 4 , х 6: вероятността за произволното им образуване е под приемливото ниво на значимост a=0,05 (виж „ P-стойност" V маса 3). Това показва значително влияние на годишните застрахователни премии х 3, годишен размер на осигурителните вноски х 4 и форми на собственост х 6 за промяна в годишната печалба Y.

Коефициент на фактор х 2 (годишен размер на застрахователните резерви) не е статистически значим. Въпреки това, този фактор все още може да се счита за информативен, тъй като T- статистиката на неговия коефициент надвишава по модулединица, въпреки че допълнителни заключения относно фактора х 2 трябва да се третира с известна предпазливост.

4. Нека оценим качеството и точността на последното регресионно уравнение, като използваме някои статистически характеристики, получени по време на регресионния анализ (вж. . « Регресионна статистика" В маса 3):

множествен коефициент на детерминация

показва, че регресионният модел обяснява 75,1% от вариацията в годишната печалба Yи тази вариация се дължи на промени във факторите, включени в регресионния модел х 2 , х 3 , х 4 и х 6 ;

стандартна грешка на регресия

хиляди рубли.

показва, че стойностите на годишната печалба, предвидени от регресионното уравнение Yсе различават от действителните стойности средно с 237,6 хиляди рубли.

Средната относителна грешка на приближението се определя по приблизителната формула:

Където хиляди рубли. - средна годишна печалба (определена с помощта на вградената функция “ СРЕДНО АРИТМЕТИЧНО»; прил. 1).

д rel показва, че стойностите на годишната печалба, предвидени от регресионното уравнение Yсе различават от действителните стойности средно с 26,7%. Моделът е с незадоволителна точност (при - точността на модела е висока, при - добър с - задоволително, с - незадоволително).

5. За икономическото тълкуване на коефициентите на регресионното уравнение ние таблицираме средните стойности и стандартните отклонения на променливите в изходните данни ( маса 4) . Средните стойности бяха определени с помощта на вградената функция " СРЕДНО АРИТМЕТИЧНО", стандартни отклонения - с помощта на вградената функция " СТАНДАРТНО ОТКЛОНЕНИЕ" (см. прил. 1).

Данните за 2011 г. са предоставени за териториите на Южния федерален окръг на Руската федерация

• 1. Изчислете матрицата на двойните корелационни коефициенти; оценете статистическата значимост на корелационните коефициенти.
• 2. Конструирайте поле на корелация между ефективната характеристика и най-тясно свързания с нея фактор.
• 3. Изчислете параметрите на регресията на линейната двойка за всеки фактор X.
• 4. Оценете качеството на всеки модел чрез коефициента на детерминация, средната грешка на приближението и F теста на Фишер. Изберете най-добрия модел.

ще бъде 80% от максималната си стойност. Представете графично: действителни и моделни стойности, прогнозни точки.

• 6. Използвайки поетапна множествена регресия (метод на изключване или метод на включване), изградете модел на формиране на цената на апартамента поради значими фактори. Дайте икономическа интерпретация на коефициентите на регресионния модел.
• 7. Оценете качеството на изградения модел. Качеството на модела подобри ли се в сравнение с еднофакторния модел? Оценете влиянието на значимите фактори върху резултата, като използвате коефициентите на еластичност, в - и -? коефициенти

При решаването на този проблем ще извършим изчисления и ще изградим графики и диаграми, като използваме настройките за анализ на данни в Excel.

1. Изчислете матрицата на коефициентите на корелация на двойки и оценете статистическата значимост на коефициентите на корелация

В диалоговия прозорец Корелация, в полето Интервал на въвеждане въведете диапазона от клетки, съдържащи изходните данни. Тъй като сме избрали и заглавията на колоните, поставяме отметка в квадратчето Етикети на първия ред.

Получихме следните резултати:

Таблица 1.1 Матрица на корелационните коефициенти на двойки

Анализът на матрицата на коефициентите на двойна корелация показва, че зависимата променлива Y, т.е. брутният регионален продукт, има по-тясна връзка с X1 (инвестиции в основен капитал). Коефициентът на корелация е 0,936. Това означава, че 93,6% от зависимата променлива Y (брутен регионален продукт) зависи от показателя X1 (инвестиции в основен капитал).

Ще определим статистическата значимост на корелационните коефициенти с помощта на t-теста на Стюдънт. Сравняваме табличната стойност с изчислените стойности.

Нека изчислим стойността на таблицата с помощта на функцията STUDISCOVER.

t таблица = 0,129 с ниво на достоверност 0,9 и степени на свобода (n-2).

Фактор X1 е статистически значим.

2. Нека изградим поле на корелация между ефективния атрибут (брутен регионален продукт) и фактора, който е най-тясно свързан с него (инвестиция в основен капитал)

За да направим това, ще използваме инструмента за точкова диаграма на Excel.

В резултат на това получаваме корелационното поле на цената на брутния регионален продукт, милиарди рубли. и инвестиции в дълготрайни активи, милиарди рубли. (Фигура 1.1.).

Фигура 1.1

3. Изчислете параметрите на линейната двойка регресия за всеки фактор X

За да изчислим параметрите на линейната регресия по двойки, ще използваме инструмента за регресия, включен в настройката за анализ на данни.

В диалоговия прозорец Регресия в полето Интервал на въвеждане Y въведете адреса на диапазона от клетки, които зависимата променлива представлява. В полето

Въведете интервал X, въвеждаме адреса на диапазона, който съдържа стойностите на независимите променливи. Нека изчислим параметрите на сдвоената регресия за фактор X.

За X1 получихме следните данни, представени в таблица 1.2:

Таблица 1.2

Регресионното уравнение за зависимостта на цената на брутния регионален продукт от инвестициите в основен капитал има формата:

4. Нека оценим качеството на всеки модел чрез коефициента на детерминация, средната грешка на приближението и F-теста на Fisher. Нека да определим кой модел е най-добрият.

Получихме коефициента на определяне, средната грешка на приближаване, в резултат на изчисленията, извършени в параграф 3. Получените данни са представени в следните таблици:

X1 данни:

Таблица 1.3а

Таблица 1.4b

А) Коефициентът на детерминация определя каква част от вариацията на признака Y се взема предвид в модела и се дължи на влиянието върху него на фактор X. Колкото по-голяма е стойността на коефициента на детерминация, толкова по-тясна е връзката между черти в изградения математически модел.

Excel се отнася за R-квадрат.

Въз основа на този критерий най-адекватният модел е регресионното уравнение на зависимостта на цената на брутния регионален продукт от инвестициите в основен капитал (Х1).

Б) Изчисляваме средната грешка на приближението по формулата:

където числителят е сумата от квадратите на отклонението на изчислените стойности от действителните. В таблиците той се намира в колоната SS, редът Remaining.

Изчисляваме средната цена на апартамент в Excel с помощта на функцията AVERAGE. = 24,18182 милиарда рубли.

При извършване на икономически изчисления моделът се счита за достатъчно точен, ако средната грешка на приближението е по-малка от 5%; моделът се счита за приемлив, ако средната грешка на приближението е по-малка от 15%.

По този критерий най-адекватен е математическият модел за регресионното уравнение на зависимостта на цената на брутния регионален продукт от инвестициите в основен капитал (Х1).

C) F-тестът се използва за тестване на значимостта на регресионния модел. За да направите това, се прави сравнение и на критичните (таблични) стойности на F-теста на Fisher.

Изчислените стойности са дадени в таблици 1.4b (обозначени с буквата F).

Ще изчислим табличната стойност на F теста на Fisher в Excel с помощта на функцията FDIST. Нека вземем вероятността равна на 0,05. Получено: = 4.75

Изчислените стойности на F теста на Fisher за всеки фактор са сравними със стойността на таблицата:

71.02 > = 4.75 моделът е адекватен по този критерий.

След като анализираме данните и по трите критерия, можем да заключим, че най-добрият математически модел е изграден за фактора брутен регионален продукт, който се описва с линейното уравнение

5. За избрания модел на зависимост на цената на брутния регионален продукт

Ще прогнозираме средната стойност на индикатора на ниво на значимост, ако прогнозираната стойност на фактора е 80% от максималната му стойност. Нека го представим графично: действителни и моделни стойности, прогнозни точки.

Нека изчислим прогнозираната стойност на X; според условието тя ще бъде 80% от максималната стойност.

Нека изчислим X max в Excel с помощта на функцията MAX.

0,8 *52,8 = 42,24

За да получим прогнозни оценки на зависимата променлива, заместваме получената стойност на независимата променлива в линейното уравнение:

5,07+2,14*42,24 = 304,55 милиарда рубли.

Нека определим доверителния интервал на прогнозата, който ще има следните граници:

За да изчислим доверителния интервал за прогнозираната стойност, изчисляваме отклонението от регресионната линия.

За сдвоен регресионен модел стойността на отклонението се изчислява:

тези. стойност на стандартната грешка от таблица 1.5a.

(Тъй като броят на степените на свобода е равен на едно, знаменателят ще бъде равен на n-2). корелационна двойка регресионна прогноза

За да изчислим коефициента, ще използваме функцията на Excel STUDISCOVER, ще вземем вероятността равна на 0,1 и броя на степените на свобода 38.

Изчисляваме стойността с помощта на Excel и получаваме 12294.

Да определим горната и долната граница на интервала.

• 304,55+27,472= 332,022
• 304,55-27,472= 277,078

По този начин прогнозната стойност = 304,55 хиляди долара ще бъде между долната граница, равна на 277,078 хиляди долара. и горна граница, равна на 332,022 милиарда. Разтрийте.

Действителните и моделните стойности, прогнозните точки са представени графично на Фигура 1.2.

Фигура 1.2

6. Използвайки поетапна множествена регресия (метод на елиминиране), ще изградим модел за формиране на цената на брутния регионален продукт поради значими фактори

За да изградим множествена регресия, ще използваме функцията за регресия на Excel, включително всички фактори. В резултат на това получаваме таблиците с резултати, от които се нуждаем от t-теста на Student.

Таблица 1.8а

Таблица 1.8б

Таблица 1.8c.

Получаваме модел като:

Тъй като< (4,75 < 71,024), уравнение регрессии следует признать адекватным.

Нека изберем най-малката абсолютна стойност на t-теста на Стюдънт, тя е равна на 8.427, сравняваме я с табличната стойност, която изчисляваме в Excel, приемаме нивото на значимост равно на 0.10, броят на степените на свобода n-m-1= 12-4=8: =1,8595

Тъй като 8.427>1.8595 моделът трябва да се счита за адекватен.

7. За да оценим значимия фактор на получения математически модел, изчисляваме коефициентите на еластичност и - коефициентите

Коефициентът на еластичност показва с какъв процент ще се промени ефективният атрибут, когато факторният атрибут се промени с 1%:

E X4 = 2,137 * (10,69/24,182) = 0,94%

Тоест, при увеличение на инвестициите в основен капитал от 1%, себестойността се увеличава средно с 0,94%.

Коефициентът показва с каква част от стандартното отклонение се променя средната стойност на зависимата променлива с промяна на независимата променлива с едно стандартно отклонение.

2,137* (14.736/33,632) = 0,936.

Данните за стандартното отклонение се вземат от таблици, получени с помощта на инструмента за описателна статистика.

Таблица 1.11 Описателни статистики (Y)

Таблица 1.12 Описателни статистики (X4)

Коефициентът определя дела на влиянието на фактора в общото влияние на всички фактори:

За да изчислим коефициентите на корелация на двойки, ние изчисляваме матрицата на коефициентите на корелация на двойки в Excel с помощта на инструмента за корелация в настройките за анализ на данни.

Таблица 1.14

(0,93633*0,93626) / 0,87 = 1,00.

Заключение: От получените изчисления можем да заключим, че ефективният атрибут Y (брутен регионален продукт) има голяма зависимост от фактор X1 (инвестиции в основен капитал) (със 100%).

Библиография

• 1. Магнус Ю.Р., Катишев П.К., Пересецки А.А. Иконометрия. Курс за начинаещи. Урок. 2-ро изд. - М.: Дело, 1998. - с. 69 - 74.
• 2. Семинар по иконометрия: Учебник / I.I. Елисеева, С.В. Куришева, Н.М. Гордеенко и др., 2002. - стр. 49 - 105.
• 3. Дохърти К. Въведение в иконометрията: Прев. от английски - М.: ИНФРА-М, 1999. - XIV, с. 262 - 285.
• 4. Айвизян С.А., Михтирян В.С. Приложна математика и основи на иконометрията. -1998., стр. 115-147.
• 5. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Иконометрия. -2007. от 175-251.

Анализът на матрицата на сдвоените коефициенти на корелация показва, че ефективният показател е най-тясно свързан с индикатора х(4) - количеството на консумирания тор на 1 хектар ().

В същото време връзката между атрибутите-аргументи е доста тясна. По този начин има практически функционална връзка между броя на колесните трактори ( х(1)) и броя на инструментите за повърхностна обработка на почвата .

Наличието на мултиколинеарност се показва и от корелационните коефициенти и . Отчитайки тясната връзка между показателите х (1) , х(2) и х(3), само един от тях може да бъде включен в регресионния модел на добива.

За да демонстрирате отрицателното въздействие на мултиколинеарността, помислете за регресионен модел на доходността, включително всички входни индикатори:

F obs = 121.

Стойностите на коригираните оценки на стандартните отклонения на оценките на коефициентите на уравнението са посочени в скоби .

В уравнението на регресията са представени следните параметри на адекватност: множествен коефициент на детерминация; коригирана оценка на остатъчната дисперсия, средна относителна грешка на апроксимация и изчислена стойност на критерия F obs = 121.

Уравнението на регресията е важно, защото F obs = 121 > F kp = 2,85 намерено от таблицата Е-разпределения при a=0,05; n 1 =6 и n 2 =14.

От това следва, че Q¹0, т.е. и поне един от коефициентите на уравнението q й (й= 0, 1, 2, ..., 5) не е нула.

За проверка на хипотезата за значимостта на индивидуалните регресионни коефициенти H0: q j =0, където й=1,2,3,4,5, сравнете критичната стойност T kp = 2,14, установено от табл T-разпределения при ниво на значимост a=2 Q=0,05 и броя на степените на свобода n=14, с изчислената стойност . От уравнението следва, че регресионният коефициент е статистически значим само когато х(4) от ½ T 4 ½=2,90 > T kp =2,14.

Отрицателните знаци на регресионните коефициенти не се поддават на икономическа интерпретация, когато х(1) и х(5) . От отрицателните стойности на коефициентите следва, че увеличаването на наситеността на селското стопанство с колесни трактори ( х(1)) и продукти за растителна защита ( х(5)) има отрицателен ефект върху добива. Следователно полученото регресионно уравнение е неприемливо.

За да получим регресионно уравнение със значими коефициенти, използваме алгоритъм за регресионен анализ стъпка по стъпка. Първоначално използваме алгоритъм стъпка по стъпка с елиминиране на променливи.

Нека изключим променливата от модела х(1) , което съответства на минималната абсолютна стойност от ½ T 1 ½=0,01. За останалите променливи отново изграждаме регресионното уравнение:

Полученото уравнение е важно, защото F наблюдавано = 155 > F kp = 2,90, намерено при ниво на значимост a = 0,05 и броя на степените на свобода n 1 = 5 и n 2 = 15 съгласно таблицата Е-разпределение, т.е. вектор q¹0. Въпреки това, само коефициентът на регресия при х(4) . Прогнозни стойности ½ T j ½ за други коефициенти е по-малко T kr = 2.131, намерено от табл T-разпределения при a=2 Q=0,05 и n=15.

Чрез изключване на променливата от модела х(3) , което съответства на минималната стойност T 3 =0,35 и получаваме регресионното уравнение:

(2.9)

В полученото уравнение коефициентът at х(5) . Чрез изключване х(5) получаваме регресионното уравнение:

(2.10)

Получихме значимо регресионно уравнение със значими и интерпретируеми коефициенти.

Въпреки това, полученото уравнение не е единственият „добър“ и не е „най-добрият“ модел на доходност в нашия пример.

Нека покажем това в условието на мултиколинеарност поетапният алгоритъм с включване на променливи е по-ефективен.Първата стъпка в модела на доходността гвключена променлива х(4) , който има най-висок коефициент на корелация с г, обяснено с променливата - r(г,х(4))=0,58. Във втората стъпка, включително уравнението заедно с х(4) променливи х(1) или х(3), ще получим модели, които по икономически причини и статистически характеристики надвишават (2.10):

(2.11)

(2.12)

Включването на която и да е от трите останали променливи в уравнението влошава свойствата му. Вижте например уравнение (2.9).

Така имаме три „добри“ модела на доходност, от които трябва да изберем един по икономически и статистически причини.

По статистически критерии най-адекватен е модел (2.11). Съответства на минималните стойности на остатъчната дисперсия = 2,26 и средната относителна грешка на приближението и най-големите стойности и Fob = 273.

Модел (2.12) е с малко по-лоши показатели за адекватност, следван от модел (2.10).

Сега ще изберем най-добрия от моделите (2.11) и (2.12). Тези модели се различават един от друг по отношение на променливите х(1) и х(3) . Въпреки това, в моделите на доходност променливата х(1) (брой колесни трактори на 100 ха) е по-предпочитан от променлив х(3) (брой оръдия за повърхностна обработка на 100 ха), което до известна степен е вторично (или произлиза от х (1)).

В тази връзка по икономически причини следва да се даде предпочитание на модел (2.12). По този начин, след прилагане на алгоритъма за поетапен регресионен анализ с включване на променливи и като се вземе предвид фактът, че само една от трите свързани променливи трябва да влезе в уравнението ( х (1) , х(2) или х(3)) изберете крайното регресионно уравнение:

Уравнението е значимо при a=0,05, тъй като F obs = 266 > F kp = 3,20, намерено от таблицата Е-разпределения при a= Q=0,05; n 1 =3 и n 2 =17. Всички регресионни коефициенти в уравнение ½ също са значими T j½> T kp(a=2 Q=0,05; n=17)=2,11. Коефициентът на регресия q 1 трябва да се счита за значим (q 1 ¹0) по икономически причини, докато T 1 =2,09 само малко по-малко T kp = 2,11.

От уравнението на регресията следва, че увеличение с един на броя на тракторите на 100 хектара обработваема земя (при фиксирана стойност х(4)) води до повишаване на добивите на зърно средно с 0,345 ц/ха.

Приблизителното изчисление на коефициентите на еластичност e 1 »0,068 и e 2 »0,161 показва, че с увеличаване на показателите х(1) и х(4) с 1%, добивът на зърно се увеличава средно съответно с 0,068% и 0,161%.

Множественият коефициент на детерминация показва, че само 46,9% от вариацията на добива се обяснява с индикаторите, включени в модела ( х(1) и х(4)), тоест насищането на растениевъдството с трактори и торове. Останалата част от вариацията се дължи на действието на неотчетени фактори ( х (2) , х (3) , х(5), метеорологични условия и др.). Средната относителна грешка на апроксимацията характеризира адекватността на модела, както и стойността на остатъчната дисперсия. При интерпретирането на уравнението на регресията са от интерес стойностите на относителните грешки на приближението . Нека припомним, че - моделната стойност на ефективния индикатор характеризира средната стойност на добива за съвкупността от разглежданите региони, при условие че стойностите на обяснителните променливи х(1) и х(4) са фиксирани на едно и също ниво, а именно х (1) = x i(1) и х (4) = xi(4) . След това, според стойностите на d азМожете да сравнявате региони по добив. Области, на които съответстват стойностите на d аз>0, имат добив над средния и d аз<0 - ниже среднего.

В нашия пример, по отношение на добива, растениевъдството е най-ефективно в площта, съответстваща на d 7 =28%, където добивът е с 28% по-висок от средния за региона, а най-малко ефективен е в зоната с d 20 =-27,3%.

Задачи и упражнения

2.1. От общата популация ( г, х (1) , ..., х(p)), където гима нормален закон на разпределение с условно математическо очакване и дисперсия s 2, произволна извадка от н, остави ( y i, x i (1) , ..., x i(p)) - резултат азтото наблюдение ( аз=1, 2, ..., н). Определете: a) математическото очакване на оценката на вектора чрез най-малките квадрати р; б) ковариационна матрица на оценката на вектора чрез метода на най-малките квадрати р; в) математическо очакване на оценката.

2.2. Съгласно условията на задача 2.1, намерете математическото очакване на сумата от квадратите на отклоненията, дължащи се на регресия, т.е. EQ R, Където

.

2.3. Съгласно условията на задача 2.1, определете математическото очакване на сумата от квадратите на отклоненията, причинени от остатъчната вариация спрямо регресионните линии, т.е. Еквалайзерост, къде

2.4. Докажете, че когато хипотезата H 0 е изпълнена: q=0 статистика

има F-разпределение със степени на свобода n 1 =p+1 и n 2 =n-p-1.

2.5. Докажете, че когато хипотезата H 0: q j =0 е изпълнена, статистиката има t-разпределение с брой степени на свобода n=n-p-1.

2.6. Въз основа на данните (Таблица 2.3) за зависимостта на свиването на фуражния хляб ( г) върху продължителността на съхранение ( х) намерете точкова оценка на условното очакване при допускането, че общото регресионно уравнение е линейно.

Таблица 2.3.

Изисква се: а) да се намерят оценки на остатъчната дисперсия s 2 при допускането, че общото регресионно уравнение има формата ; б) проверете при a=0,05 значимостта на регресионното уравнение, т.е. хипотеза H 0: q=0; в) с надеждност g=0,9 определят интервални оценки на параметрите q 0, q 1; г) с надеждност g=0,95 определя интервалната оценка на условното математическо очакване при х 0 =6; д) определя се при g=0,95 доверителният интервал на прогнозата в точката х=12.

2.7. Въз основа на данни за динамиката на темпа на нарастване на цените на акциите за 5 месеца, дадени в табл. 2.4.

Таблица 2.4.

и предположението, че общото регресионно уравнение има формата , се изисква: а) да се определят оценки както на параметрите на регресионното уравнение, така и на остатъчната дисперсия s 2 ; б) проверете при a=0,01 значимостта на регресионния коефициент, т.е. хипотези H 0: q 1 =0;

в) с надеждност g=0,95 да се намерят интервални оценки на параметрите q 0 и q 1; г) с надеждност g=0,9 установете интервална оценка на условното математическо очакване при х 0 =4; д) определя се при g=0,9 доверителният интервал на прогнозата в точката х=5.

2.8. Резултатите от изследването на динамиката на наддаване на тегло на млади животни са дадени в таблица 2.5.

Таблица 2.5.

Ако приемем, че общото регресионно уравнение е линейно, се изисква: а) да се определят оценки както на параметрите на регресионното уравнение, така и на остатъчната дисперсия s 2 ; б) проверете при a=0,05 значимостта на регресионното уравнение, т.е. хипотези H 0: q=0;

в) с надеждност g=0,8 да се намерят интервални оценки на параметрите q 0 и q 1; г) с надеждност g=0,98 определят и сравняват интервалните оценки на условното математическо очакване при х 0 =3 и х 1 =6;

д) определя се при g=0,98 доверителният интервал на прогнозата в точката х=8.

2.9. Цена ( г) един екземпляр от книгата в зависимост от тиража ( х) (хиляда екземпляра) се характеризира с данни, събрани от издателството (Таблица 2.6). Определяне на оценки на най-малките квадрати и параметри на уравнение на хиперболична регресия с надеждност g=0,9, конструиране на доверителни интервали за параметри q 0 и q 1, както и условното очакване при х=10.

Таблица 2.6.

Определете оценките и параметрите на регресионното уравнение на формата , тествайте хипотезата H 0 при a = 0,05: q 1 = 0 и конструирайте доверителни интервали с надеждност g = 0,9 за параметрите q 0 и q 1 и условното математическо очакване при х=20.

2.11. В табл 2.8 са представени данни за темпове на растеж (%) на следните макроикономически показатели н=10 развити страни в света за 1992 г.: БНП - х(1) , промишлено производство - х(2) , ценови индекс - х (3) .

Таблица 2.8.