Ирина 25 Правилни и неправилни дроби. Правилни и неправилни дроби

Делят се на правилни и грешни.

Правилни дроби

Правилна дробе обикновена дроб, чийто числител е по-малък от знаменателя.

За да разберете дали една дроб е правилна, трябва да сравните нейните членове един с друг. Членовете на дробта се сравняват по правилото за сравняване на естествени числа.

Пример.Помислете за дроб:

7

8

Пример:

8	= 1	1
7		7

Правила за превод и допълнителни примери можете да намерите в темата Преобразуване на неправилна дроб в смесено число. Можете също да използвате онлайн калкулатора, за да конвертирате неправилна дроб в смесено число.

Сравнение на правилни и неправилни дроби

Всяка неправилна обикновена дроб е по-голяма от правилната, тъй като правилната дроб винаги е по-малка от единица, а неправилната е по-голяма или равна на единица.

Пример:

3	>	99
2		100

Правила за сравнение и допълнителни примери можете да намерите в темата Сравнение на обикновени дроби. Също така за сравняване на дроби или проверка на сравнението, което можете да използвате

Обикновените дроби се делят на \textit (правилни) и \textit (неправилни) дроби. Това разделение се основава на сравняване на числителя и знаменателя.

Правилни дроби

Правилна дробе обикновена дроб $\frac(m)(n)$, чийто числител е по-малък от знаменателя, т.е. $ млн

Пример 1

Например дробите $\frac(1)(3)$, $\frac(9)(123)$, $\frac(77)(78)$, $\frac(378567)(456298)$ са правилни , така че във всеки от тях числителят е по-малък от знаменателя, което отговаря на определението за правилна дроб.

Има определение за правилна дроб, което се основава на сравняване на дроб с единица.

правилноако е по-малко от едно:

Пример 2

Например обикновената дроб $\frac(6)(13)$ е правилна, защото състояние $\frac(6)(13)

Неправилни дроби

Неправилна дробе обикновена дроб $\frac(m)(n)$, чийто числител е по-голям или равен на знаменателя, т.е. $m\ge n$.

Пример 3

Например дробите $\frac(5)(5)$, $\frac(24)(3)$, $\frac(567)(113)$, $\frac(100001)(100000)$ са неправилни , така че как във всеки от тях числителят е по-голям или равен на знаменателя, което отговаря на определението за неправилна дроб.

Нека дадем дефиницията на неправилна дроб, която се основава на нейното сравнение с единицата.

Обикновената дроб $\frac(m)(n)$ е грешноако е равно на или по-голямо от едно:

\[\frac(m)(n)\ge 1\]

Пример 4

Например обикновената дроб $\frac(21)(4)$ е неправилна, защото условието $\frac(21)(4) >1$ е изпълнено;

обикновената дроб $\frac(8)(8)$ е неправилна, защото условието $\frac(8)(8)=1$ е изпълнено.

Нека разгледаме по-подробно понятието неправилна дроб.

Нека вземем $\frac(7)(7)$ като пример. Стойността на тази дроб се приема като седем части от обект, който е разделен на седем равни части. Така от седемте налични споделяния можете да съставите цялата тема. Тези. неправилната дроб $\frac(7)(7)$ описва целия обект и $\frac(7)(7)=1$. И така, неправилните дроби, в които числителят е равен на знаменателя, описват един цял обект и такава дроб може да бъде заменена с естествено число $1$.

$\frac(5)(2)$ -- доста очевидно е, че тези пет секунди части могат да направят $2$ цели елемента (един цял елемент ще направи $2$ части, а за да направите два цели елемента, ви трябват $2+2=4$ дял) и остава един втори дял. Тоест неправилната дроб $\frac(5)(2)$ описва $2$ от елемент и $\frac(1)(2)$ от този елемент.

$\frac(21)(7)$ -- двадесет и една седми могат да направят $3$ цели елементи ($3$ елемента с $7$ дялове всеки). Тези. дробта $\frac(21)(7)$ описва $3$ цели числа.

От разгледаните примери може да се направи следното заключение: неправилна дроб може да бъде заменена с естествено число, ако числителят се дели напълно на знаменателя (например $\frac(7)(7)=1$ и $\ frac(21)(7)=3$) или сумата от естествено число и правилна дроб, ако числителят дори не се дели на знаменателя (например $\ \frac(5)(2)=2+ \frac(1)(2)$). Следователно такива дроби се наричат грешно.

Определение 1

Процесът на представяне на неправилна дроб като сума от естествено число и правилна дроб (например $\frac(5)(2)=2+\frac(1)(2)$) се нарича извличане на цяла част от неправилна дроб.

При работа с неправилни дроби има тясна връзка между тях и смесените числа.

Неправилната дроб често се записва като смесено число, число, което се състои от цяло число и дробна част.

За да напишете неправилна дроб като смесено число, трябва да разделите числителя на знаменателя с остатък. Частното ще бъде цялата част от смесеното число, остатъкът ще бъде числителят на дробната част, а делителят ще бъде знаменателят на дробната част.

Пример 5

Запишете неправилната дроб $\frac(37)(12)$ като смесено число.

Решение.

Разделете числителя на знаменателя с остатък:

\[\frac(37)(12)=37:12=3\ (остатък\ 1)\] \[\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)\]

Отговор.$\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)$.

За да напишете смесено число като неправилна дроб, трябва да умножите знаменателя по цялата част на числото, да добавите числителя на дробната част към получения продукт и да запишете получената сума в числителя на дробта. Знаменателят на неправилната дроб ще бъде равен на знаменателя на дробната част на смесеното число.

Пример 6

Запишете смесеното число $5\frac(3)(7)$ като неправилна дроб.

Решение.

Отговор.$5\frac(3)(7)=\frac(38)(7)$.

Събиране на смесено число и правилна дроб

Добавяне на смесено число$a\frac(b)(c)$ и правилна дроб$\frac(d)(e)$ изпълнява чрез добавяне на дробната част от даденото смесено число към дадената дроб:

Пример 7

Добавете правилната дроб $\frac(4)(15)$ и смесеното число $3\frac(2)(5)$.

Решение.

Нека използваме формулата за събиране на смесено число и правилна дроб:

\[\frac(4)(15)+3\frac(2)(5)=3+\left(\frac(2)(5)+\frac(4)(15)\right)=3+\ ляво(\frac(2\cdot 3)(5\cdot 3)+\frac(4)(15)\дясно)=3+\frac(6+4)(15)=3+\frac(10)( 15)\]

По критерия за деление на числото \textit(5 ) може да се определи, че дробта $\frac(10)(15)$ е редуцируема. Извършете редукцията и намерете резултата от добавянето:

И така, резултатът от събирането на правилната дроб $\frac(4)(15)$ и смесеното число $3\frac(2)(5)$ е $3\frac(2)(3)$.

Отговор:$3\frac(2)(3)$

Събиране на смесено число и неправилна дроб

Събиране на неправилна дроб и смесено числосвеждат до добавяне на две смесени числа, за което е достатъчно да изберете цялата част от неправилна дроб.

Пример 8

Изчислете сумата от смесеното число $6\frac(2)(15)$ и неправилната дроб $\frac(13)(5)$.

Решение.

Първо извличаме цялата част от неправилната дроб $\frac(13)(5)$:

Отговор:$8\frac(11)(15)$.

Разрязват тортата на 8 равни части (фиг. 122, а) и слагат 3 части в чиния.

На него имаше пирога (фиг. 122, б). Ако поставите всичките 8 части, тогава на чинията ще има пай, тоест целият пай (фиг. 122, в).

Ориз. 122

Значи = 1.

Нека вземем друг подобен пай и също го нарежем на 8 равни части (фиг. 123, а). Ако поставите например 11 части в чиния, тогава ще има пай (фиг. 123, b).

Ориз. 123

В дроб числителят е по-малък от знаменателя. Такива дроби се наричат ​​правилни. В дроб числителят е равен на знаменателя, а в дроб числителят е по-голям от знаменателя. Такива дроби се наричат ​​неправилни.

Ориз. 124

Например,< 1, = 1, > 1.

Въпроси за самопроверка

• Какво е правилна дроб?
• Какво е неправилна дроб?
• Може ли правилната дроб да бъде по-голяма от 1?
• Неправилната дроб винаги ли е по-голяма от 1?
• Коя дроб е по-голяма, ако едната от тях е вярна, а другата е неправилна?

Правете упражненията

974. Дължината на отсечката AB е 8 см. Начертайте отсечка с дължина:

975. Маркирайте точки на гредата с координати:

За един сегмент вземете дължината на 12 клетки от тетрадката.

976. Напишете:

• а) всички правилни дроби със знаменател 6;
• б) всички неправилни дроби с числител 5.

977. За какви стойности на a е дроб:

978. Една машина може да изкопае канавка с дължина 1 м за 6 мин. Каква дължина на канавката може да изкопае машината за 1 мин.; 5 минути; 7 минути; 11 минути?

979. Един килограм боя може да боядиса 5 m2 повърхност. Колко боя е необходима за боядисване на 3 m 2; 6 m 2; 13 m2 повърхност?

980. Строителният екип построи фермата за 48 дни. Планът изискваше това време. Колко дни бяха предвидени за изграждането на фермата според плана?

981. Стругарят завъртя 135 части на струг за 3 часа, изпълнявайки дневната норма. Колко части е трябвало да шлайфа за един работен ден (8 часа) според нормата? Колко детайла ще обработва за един работен ден, ако работи със същата производителност?

982. Стругарят стругова на струг 135 части, изпълнявайки дневната норма. Каква е дневната му издръжка?

983. Концертът на младите музиканти, вместо предвидените 3 часа, този път продължи, като публиката поиска да повтори някои от любимите си изпълнения. Колко време продължи концертът? Колко минути бяха бисовете?

984. Пресметнете устно:

985. Колко минути за един час? Каква част от час е 1 минута? 7 минути; 15 минути?

986. Колко пъти центнер е повече от килограм? Каква част от центнер е килограм? Колко центнера са повече от килограм?

987. Колко минути

988. Съберете числата 40 и числата 60. Извадете числата 81 от числото 72.

989. Половината от числото е 18. Намерете това число. Една трета от числото е 27. Намерете това число. Три четвърти от числото е 60. Намерете това число.

990. Коя част от четириъгълника ABCD (фиг. 125) е защрихована? Коя част е останала небоядисана?

Ориз. 125

991. Изразете в грамове:

• а) 3 кг 400 г;
• б) 2 кг 30 г;
• в) 15 кг.

992. Сортирайте дробите във възходящ ред:

Подредете тези дроби в низходящ ред.

993. Назовете четири дроби, които са по-малки от

994. Назовете 5 дроби, които са по-големи от .

995. Начертайте квадрат със страна 4 см. Покажете на чертежа: квадрат, квадрат. Намерете лицата на тези части от квадрата и обяснете резултата.

996. През първия ден бригадата е събрала 5 тона 400 кг картофи, а през втория ден - с 1 тон 200 кг по-малко от първия. На третия ден бригадата събра 2 пъти повече картофи, отколкото на втория. Колко картофа са събрани от бригадата през тези три дни?

997. Напишете задача според уравнението:

• а) (y + 6) - 2 = 15;
• б) 2(а - 5) = 24;
• в) 3(25 + b) + 15 = 135.

998. В първата кола е имало един човек, а във втората - b души. На спирката c хора слязоха от първия вагон, а d души слязоха от втория вагон. Какво е значението на следните изрази:

• a + b;
• а - в;
• c + d;
• б-г;
• (a + b) - (c + d);
• (a - c) + (b - d)?

Обясни защо

(a + b) - (c + d) = (a - c) + (b - d)

за a > c, b > d.

Проверете това равенство с a = 45, b = 39, c = 14, d = 12.

Използвайки полученото равенство, изчислете стойността на израза:

• а) (548 + 897) - (148 + 227);
• б) (391 + 199) - (181 + 79).

999. Помислете за пет дроби, чийто числител е с 3 по-малък от знаменателя. Запишете пет дроби, чийто числител е 3 пъти по-голям от знаменателя.

1000. За какви стойности на x дробта ще бъде неправилна?

1001. Фермерът планирал да събере 12 тона зеленчуци от нивата, но събрал това количество. Колко тона зеленчуци е събрал фермерът?

1002. Туристът е изминал 18 км през първия ден, което е пътят, който трябва да измине през втория ден. Колко километра трябва да измине един турист за тези два дни?

1003. Товарен влак тръгна от Санкт Петербург за Москва със скорост 48 км/ч, а час по-късно бърз влак тръгна от Москва за Санкт Петербург със скорост 82 км/ч. Намерете разстоянието между влаковете:

• а) 1 час след излизането на бързия влак;
• б) 3 часа след заминаването на товарния влак;
• в) 5 часа след излизането на бързия влак.

Разстоянието от Москва до Санкт Петербург е 650 км.

1004. Намерете стойността на израза:

• а) 8060 -45 - 45 150: 75 105;
• б) (2 254 175 + 94 447): 414 - 1329;
• в) (123 - 93): (12 - 9);
• г) (62 + Z2)2.