Методът на интегриране по части се използва главно когато подинтегралната функция се състои от произведението на два фактора от определен тип. Формулата за интегриране по части е:

Той дава възможност да се намали изчисляването на даден интеграл
към изчисляването на интеграла
, което се оказва по-просто от даденото.

Повечето от интегралите, изчислени чрез метода на интегриране по части, могат да бъдат разделени на три групи:

1. Интеграли на формата
,
,
, Където
- полином,
- число не равно на нула

В този случай чрез обозначават полином

.

2. Интеграли на формата
,
,
,
,
, Където
е полином.

В този случай чрез
обозначавам
, а останалата част от интегранта през :

3. Интеграли на формата
,
, Където
- числа.

В този случай чрез обозначавам
и приложете формулата за интегриране по части два пъти, връщайки като резултат първоначалния интеграл, след което оригиналният интеграл се изразява от равенството.

Коментирайте: В някои случаи, за да се намери даден интеграл, формулата за интегриране по части трябва да се приложи няколко пъти. Също така методът на интегриране по части се комбинира с други методи.

Пример 26.

Намерете интеграли по метода по части: а)
; б)
.

Решение.

б)

3.1.4. Интегриране на дробни рационални функции

Дробно-рационална функция(рационална дроб) е функция, равна на отношението на два полинома:
, Където
е полином на степен
,
е полином на степен .

Рационалната дроб се нарича правилно, ако степента на полинома в числителя е по-малка от степента на полинома в знаменателя, т.е.
в противен случай (ако
) се нарича рационална дроб грешно.

Всяка неправилна рационална дроб може да бъде представена като сбор от полином
и правилна рационална дроб чрез разделяне на числителя на знаменателя съгласно правилото за деление на полиноми:

Където
е цялата част от делението, е правилна рационална дроб,
- остатък от делението.

Правилни рационални дроби от вида:

аз ;

II.
;

III.
;

IV.
,

Където ,,
,
,,,
са реални числа и
(т.е. квадратният трином в знаменателя III и IV на дроби няма корени - дискриминантът е отрицателен) се наричат най-простите рационални дроби I, II, III и IV видове.

Интегриране на прости дроби

Интегралите на най-простите дроби от четири вида се изчисляват, както следва.

аз)
.

II),
.

III) За да се интегрира най-простата фракция от тип III, в знаменателя се избира пълен квадрат, прави се замяна
. Интегралът след заместването се разделя на два интеграла. Първият интеграл се изчислява чрез извличане на производната на знаменателя в числителя, което дава табличен интеграл, а вторият интеграл се трансформира във формата
, защото
, което също дава табличен интеграл.

;

IV) За да се интегрира най-простата фракция от тип IV, в знаменателя се избира пълен квадрат, прави се замяна
. Интегралът след заместването се разделя на два интеграла. Първият интеграл се изчислява чрез заместване
, а вторият с помощта на рекурентни отношения.

Пример 27.

Намерете интеграли на прости дроби:

а)
; б)
; V)
.

Решение.

а)
.

Всяка правилна рационална дроб, чийто знаменател може да бъде факторизиран, може да бъде представена като сбор от прости дроби. Развиването в сумата на простите дроби се извършва по метода на неопределените коефициенти. Той е както следва:

съответства на една част от формата ;

- всеки множител на знаменателя
съответната сума дроби от формата

съответства на част от формата
;

- към всеки квадратен множител на знаменателя
съответната сума дроби от формата

където са недефинирани коефициенти.

За да се намерят неопределени коефициенти, дясната страна под формата на сумата от прости дроби се свежда до общ знаменател и се преобразува. Резултатът е дроб със същия знаменател като в лявата страна на уравнението. След това изхвърлете знаменателите и приравнете числителите. Резултатът е равенство на идентичност, в което лявата страна е полином с известни коефициенти, а дясната страна е полином с неопределени коефициенти.

Има два начина за определяне на неизвестни коефициенти: методът на несигурните коефициенти и методът на частичните стойности.

Метод на неопределените коефициенти.

защото полиномите са идентично равни, тогава коефициентите са равни при еднакви степени . Приравняване на коефициентите при едни и същи степени в полиномите на лявата и дясната част, получаваме система от линейни уравнения. Решавайки системата, ние определяме несигурните коефициенти.

Метод на частична стойност.

защото полиномите са идентично равни, след това замествайки вместо от лявата и дясната страна на всяко число, получаваме правилното равенство, което е линейно по отношение на неизвестните коефициенти. Подмяна на толкова много стойности , колко неизвестни коефициента, получаваме система от линейни уравнения. Вместо всякакви числа могат да бъдат заменени в лявата и дясната част, но е по-удобно да се заменят корените на знаменателите на дроби.

След намиране на стойностите на неизвестните коефициенти, първоначалната фракция се записва като сума от най-простите дроби в интегранта и се извършва разгледаната по-рано интеграция върху всяка проста дроб.

Интеграционна схема рационални дроби:

1. Ако интегралното изражение е неправилно, тогава е необходимо да го представите като сбор от полином и правилна рационална дроб (т.е. разделете полинома на числителя на полинома на знаменателя с остатък). Ако интегралната функция е правилна, веднага преминаваме към втория параграф на схемата.

2. Извадете знаменателя на правилна рационална дроб, ако е възможно.

3. Разложете правилна рационална дроб на сбора от прости рационални дроби, като използвате метода на неопределените коефициенти.

4. Интегрирайте получената сума от полинома и простите дроби.

Пример 28.

Намерете интеграли на рационални дроби:

а)
; б)
; V)
.

Решение.

а)
.

защото интегранд е неправилна рационална дроб, тогава избираме целочислената част, т.е. го представи като сбор от полином и правилна рационална дроб. Разделете полинома в числителя на полинома в знаменателя с ъгъл.

Оригиналният интеграл ще приеме формата:
.

Ние разширяваме правилна рационална дроб в сбор от прости дроби, използвайки метода на неопределените коефициенти:

, получаваме:

Решавайки система от линейни уравнения, получаваме стойностите на несигурните коефициенти: А = 1; IN = 3.

Тогава желаното разширение има формата:
.

=
.

б)
.

Изхвърляме знаменателите и приравняваме лявата и дясната страна:

Приравняване на коефициентите при едни и същи степени , получаваме системата:

Решавайки система от пет линейни уравнения, намираме несигурни коефициенти:

Нека намерим първоначалния интеграл, като вземем предвид полученото разширение:

V)
.

Ние разширяваме интегранта (правилната рационална дроб) в сумата от прости дроби, използвайки метода на неопределените коефициенти. Търсим разлагане във формата:

Привеждайки до общ знаменател, получаваме:

Изхвърляме знаменателите и приравняваме лявата и дясната страна:

За намиране на несигурни коефициенти използваме метода на частичните стойности. Да дадем частични стойности, при които факторите изчезват, т.е. заместваме тези стойности в последния израз и получаваме три уравнения:

;
;

;
.

Тогава желаното разширение има формата:

Нека намерим първоначалния интеграл, като вземем предвид полученото разширение:

определен интеграл от непрекъсната функция f(х) на крайния интервал [ а, b] (където ) е нарастването на някои от неговите примитивенна този сегмент. (Като цяло разбирането ще бъде значително по-лесно, ако повторите темата неопределен интеграл) В този случай използваме нотацията

Както може да се види на графиките по-долу (увеличаването на антипроизводната функция е обозначено с), Определеният интеграл може да бъде положителен или отрицателен.(Изчислява се като разликата между стойността на антипроизводното в горната граница и нейната стойност в долната граница, т.е. като Е(b) - Е(а)).

Числа аИ bсе наричат съответно долна и горна граница на интегриране, а интервалът [ а, b] е сегментът на интеграция.

По този начин, ако Е(х) е някаква противопроизводна функция за f(х), тогава според определението,

(38)

Равенството (38) се нарича Формула на Нютон-Лайбниц . Разлика Е(b) – Е(а) се записва накратко така:

Следователно формулата на Нютон-Лайбниц ще бъде написана, както следва:

(39)

Нека докажем, че определеният интеграл не зависи от това коя първоизводна на подинтегралната функция е взета при изчисляването му. Позволявам Е(х) и F( х) са произволни първоизводни на интегранта. Тъй като това са антипроизводни на една и съща функция, те се различават с постоянен член: Ф( х) = Е(х) + ° С. Ето защо

Така се установява, че на отсечката [ а, b] увеличения на всички първоизводни на функцията f(х) съвпада.

По този начин, за да се изчисли определеният интеграл, е необходимо да се намери всяка антипроизводна на интегранта, т.е. Първо трябва да намерите неопределения интеграл. Константа СЪС изключени от следващите изчисления. След това се прилага формулата на Нютон-Лайбниц: стойността на горната граница се замества в антипроизводната функция b , по-нататък - стойността на долната граница а и изчислете разликата F(b) - F(a) . Полученото число ще бъде определен интеграл..

При а = bприети по дефиниция

Пример 1

Решение. Нека първо намерим неопределения интеграл:

Прилагане на формулата на Нютон-Лайбниц към първоизводната

(при СЪС= 0), получаваме

Въпреки това, когато изчислявате определен интеграл, е по-добре да не намирате първоизводната отделно, а веднага да напишете интеграла във формата (39).

Пример 2Изчислете определен интеграл

Решение. Използване на формулата

Свойства на определения интеграл

Теорема 2.Стойността на определения интеграл не зависи от обозначението на интегриращата променлива, т.е.

(40)

Позволявам Е(х) е противопроизводно на f(х). За f(T) антипроизводното е същата функция Е(T), в които независимата променлива е обозначена по различен начин. следователно

Въз основа на формула (39) последното равенство означава равенство на интегралите

Теорема 3.Постоянният фактор може да бъде изваден от знака на определен интеграл, т.е.

(41)

Теорема 4.Определеният интеграл на алгебричната сума на краен брой функции е равен на алгебричната сума на определените интеграли на тези функции, т.е.

(42)

Теорема 5.Ако интеграционният сегмент е разделен на части, тогава определеният интеграл върху целия сегмент е равен на сумата от определените интеграли върху неговите части, т.е. Ако

(43)

Теорема 6.При пренареждане на границите на интегриране абсолютната стойност на определения интеграл не се променя, а само знакът му, т.е.

(44)

Теорема 7(теорема за средната стойност). Определеният интеграл е равен на произведението от дължината на интегралния сегмент и стойността на интегралното изражение в дадена точка вътре в него, т.е.

(45)

Теорема 8.Ако горната граница на интегриране е по-голяма от долната и подинтегралната функция е неотрицателна (положителна), то определеният интеграл също е неотрицателен (положителен), т.е. Ако

Теорема 9.Ако горната граница на интегриране е по-голяма от долната граница и функциите и са непрекъснати, тогава неравенството

може да се интегрира термин по термин, т.е.

(46)

Свойствата на определения интеграл ни позволяват да опростим директното изчисляване на интегралите.

Пример 5Изчислете определен интеграл

Използване на теореми 4 и 3 и при намиране на антипроизводни - таблични интеграли(7) и (6), получаваме

Определен интеграл с променлива горна граница

Позволявам f(х) е непрекъснат на интервала [ а, b] функция и Е(х) е негов прототип. Разгледайте определения интеграл

(47)

и чрез Tинтеграционната променлива е означена, за да не се бърка с горната граница. Когато се промени хопределеният интеграл (47) също се променя, т.е. това е функция на горната граница на интегриране х, което означаваме с Е(х), т.е.

(48)

Нека докажем, че функцията Е(х) е противопроизводно на f(х) = f(T). Наистина, диференциране Е(х), получаваме

защото Е(х) е противопроизводно на f(х), А Е(а) е постоянна стойност.

функция Е(х) е един от безкрайния набор от антипроизводни за f(х), а именно този, който х = аотива на нула. Това твърдение се получава, ако в равенството (48) поставим х = аи използвайте теорема 1 от предишния раздел.

Изчисляване на определени интеграли чрез метода на интегриране по части и метода на промяна на променлива

където по дефиниция Е(х) е противопроизводно на f(х). Ако в интегранта направим промяната на променливата

тогава, в съответствие с формула (16), можем да запишем

В този израз

антипроизводна функция за

Действително нейната производна, според правилото за диференциране на сложна функция, е равно на

Нека α и β са стойностите на променливата T, за които функцията

приема съответно стойностите аИ b, т.е.

Но според формулата на Нютон-Лайбниц разликата Е(b) – Е(а) Има

Примери за определен интеграл по части. Решаване на интеграли онлайн

Преди това за дадена функция, ръководейки се от различни формули и правила, намерихме нейната производна. Производната има множество приложения: това е скоростта на движение (или по-общо скоростта на всеки процес); наклон на допирателната към графиката на функцията; използвайки производната, можете да изследвате функцията за монотонност и екстремуми; Помага за решаване на проблеми с оптимизацията.

Но наред с проблема за намиране на скоростта по известен закон за движение, има и обратен проблем - проблемът за възстановяване на закона за движение по известна скорост. Нека разгледаме един от тези проблеми.

Пример 1Материална точка се движи по права линия, скоростта на нейното движение в момент t се дава по формулата v=gt. Намерете закона за движение.
Решение. Нека s = s(t) е желаният закон на движение. Известно е, че s"(t) = v(t). Така че, за да решите проблема, трябва да изберете функция s = s(t), чиято производна е равна на gt. Лесно е да се досетите, че $ s(t) = \frac(gt^ 2)(2) $ Наистина
$s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t=gt$
Отговор: $s(t) = \frac(gt^2)(2) $

Веднага отбелязваме, че примерът е решен правилно, но непълно. Получаваме $s(t) = \frac(gt^2)(2) $. Всъщност проблемът има безкрайно много решения: всяка функция от вида $s(t) = \frac(gt^2)(2) + C $, където C е произволна константа, може да служи като закон на движение, тъй като $\left (\frac(gt^2)(2) +C \right)" = gt $

За да направим проблема по-конкретен, трябваше да коригираме първоначалната ситуация: да посочим координатата на движещата се точка в даден момент от времето, например при t = 0. Ако, да речем, s(0) = s 0 , тогава от равенството s(t) = (gt 2)/2 + C получаваме: s(0) = 0 + C, т.е. C = s 0 . Сега законът на движението е еднозначно дефиниран: s(t) = (gt 2)/2 + s 0 .

В математиката на взаимно обратните операции се присвояват различни имена, излизат със специални обозначения, например: повдигане на квадрат (x 2) и извличане на квадратен корен ($\sqrt(x) $), синус (sin x) и арксинус ( arcsin x) и т.н. Процесът на намиране на производната по отношение на дадена функция се нарича диференциация, и обратната операция, т.е. процесът на намиране на функция по дадена производна, - интеграция.

Самият термин "производна" може да бъде оправдан "по светски начин": функцията y \u003d f (x) "произвежда в света" нова функция y" \u003d f "(x). Функцията y \u003d f (x) действа сякаш като „родител“, но математиците, разбира се, не го наричат „родител“ или „производител“, те казват, че това е, по отношение на функцията y " = f" (x), първичното изображение или антипроизводното.

Определение.Функция y = F(x) се нарича първоизводна за функция y = f(x) на интервал X, ако $x \in X $ удовлетворява равенството F"(x) = f(x)

На практика интервалът X обикновено не се посочва, а се подразбира (като естествен домейн на функцията).

Да дадем примери.
1) Функцията y \u003d x 2 е антипроизводна за функцията y \u003d 2x, тъй като за всяко x равенството (x 2)" \u003d 2x е вярно
2) Функцията y \u003d x 3 е антипроизводна за функцията y \u003d 3x 2, тъй като за всяко x равенството (x 3)" \u003d 3x 2 е вярно
3) Функцията y \u003d sin (x) е антипроизводна за функцията y \u003d cos (x), тъй като за всяко x равенството (sin (x)) "= cos (x) е вярно

При намирането на антипроизводни, както и на производни, се използват не само формули, но и някои правила. Те са пряко свързани със съответните правила за изчисляване на производни.

Знаем, че производната на даден сбор е равна на сбора на производните. Това правило генерира съответното правило за намиране на антипроизводни.

Правило 1Първопроизводната на сбор е равна на сбора от първопроизводните.

Знаем, че постоянният множител може да бъде изваден от знака на производната. Това правило генерира съответното правило за намиране на антипроизводни.

Правило 2Ако F(x) е антипроизводно за f(x), тогава kF(x) е антипроизводно за kf(x).

Теорема 1.Ако y = F(x) е първоизводната за функцията y = f(x), тогава първоизводната за функцията y = f(kx + m) е функцията $y=\frac(1)(k)F (kx+m) $

Теорема 2.Ако y = F(x) е първоизводна за функция y = f(x) на интервал X, тогава функцията y = f(x) има безкрайно много първоизводни и всички те имат формата y = F(x) + C.

Интеграционни методи

Метод на заместване на променливи (метод на заместване)

Методът на интегриране на заместването се състои във въвеждането на нова променлива на интегриране (т.е. заместване). В този случай даденият интеграл се свежда до нов интеграл, който е табличен или сводим към него. Няма общи методи за избор на замествания. Способността за правилно определяне на заместването се придобива с практика.
Нека се изисква да се изчисли интегралът $\textstyle \int F(x)dx $. Нека направим заместване $x= \varphi(t) $, където $\varphi(t) $ е функция, която има непрекъсната производна.
Тогава $dx = \varphi " (t) \cdot dt $ и въз основа на свойството за инвариантност на формулата за неопределена интегрална интеграция, получаваме формулата за интегриране на заместване:
$\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt $

Интегриране на изрази като $\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx $

Ако m е нечетно, m > 0, тогава е по-удобно да се направи заместването sin x = t.
Ако n е нечетно, n > 0, тогава е по-удобно да се направи заместването cos x = t.
Ако n и m са четни, тогава е по-удобно да се направи заместването tg x = t.

Интеграция по части

Интегриране по части - прилагане на следната формула за интегриране:
$\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du $
или:
$\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx $

Таблица с неопределени интеграли (антипроизводни) на някои функции

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch )x+C $$

Интеграция по части. Примери за решения

Здравей отново. Днес в урока ще научим как да интегрираме по части. Методът на интегриране по части е един от крайъгълните камъни на интегралното смятане. На теста, изпита почти винаги се предлага на студента да реши интеграли от следните видове: най-простият интеграл (виж статията)или интеграл за промяна на променливата (виж статията)или интеграла само на метод на интегриране по части.

Както винаги, под ръка трябва да има: Таблица на интегралитеИ Производна таблица. Ако все още ги нямате, моля, посетете склада на моя сайт: Математически формули и таблици. Няма да се уморя да повтарям - по-добре е да отпечатате всичко. Ще се опитам да представя целия материал последователно, просто и достъпно, няма особени затруднения при интегрирането по части.

Какъв проблем решава интегрирането по части? Методът на интегриране по части решава много важен проблем, той ви позволява да интегрирате някои функции, които не са в таблицата, работафункции, а в някои случаи - и частни. Както си спомняме, няма удобна формула: . Но има и този: е формулата за интегриране по части лично. Знам, знам, ти си единственият - с нея ще работим целия урок (вече е по-лесно).

И веднага списъкът в студиото. Интегралите от следните видове се вземат по части:

1) , , - логаритъм, логаритъм, умножен по някакъв полином.

2) ,е експоненциална функция, умножена по някакъв полином. Това включва и интеграли като - експоненциална функция, умножена по полином, но на практика това е 97 процента, красива буква "e" се перчи под интеграла. ... статията се получава нещо лирично, о да ... пролетта дойде.

3) , , са тригонометрични функции, умножени по някакъв полином.

4) , - обратни тригонометрични функции („арки“), „арки“, умножени по някакъв полином.

Също така някои фракции се вземат на части, ние също ще разгледаме съответните примери подробно.

Интеграли от логаритми

Пример 1

Класически. От време на време този интеграл може да се намери в таблици, но е нежелателно да се използва готов отговор, тъй като учителят има авитаминоза през пролетта и той ще се кара много. Защото разглежданият интеграл в никакъв случай не е табличен - той се взема на части. Ние решаваме:

Прекъсваме решението за междинни обяснения.

Използваме формулата за интегриране по части:

Формулата се прилага отляво надясно

Гледаме лявата страна:. Очевидно в нашия пример (и във всички останали, които ще разгледаме) нещо трябва да се обозначи с , а нещо с .

В интегралите от разглеждания тип винаги означаваме логаритъм.

Технически дизайнът на решението се изпълнява, както следва, пишем в колоната:

Тоест, защото обозначихме логаритъма, а за - останалата частинтегрант.

Следваща стъпка: намерете диференциала:

Диференциалът е почти същият като производната, вече обсъдихме как да го намерим в предишните уроци.

Сега намираме функцията. За да се намери функцията е необходимо да се интегрира правилната странапо-ниско равенство:

Сега отваряме нашето решение и конструираме дясната страна на формулата: .
Между другото, ето пример за окончателно решение с няколко бележки:

Единственият момент в продукта, веднага пренаредих и, тъй като е обичайно да пиша множителя преди логаритъма.

Както можете да видите, прилагането на формулата за интегриране по части по същество намали нашето решение до два прости интеграла.

Моля, имайте предвид, че в някои случаи веднага следприлагане на формулата, задължително се извършва опростяване под оставащия интеграл - в разглеждания пример намалихме интегранта с "x".

Да направим проверка. За да направите това, трябва да вземете производната на отговора:

Оригиналният интеграл е получен, което означава, че интегралът е решен правилно.

По време на проверката използвахме правилото за диференциране на продукта: . И това не е случайно.

Формула за интегриране по части и формула Това са две взаимно обратни правила.

Пример 2

Намерете неопределения интеграл.

Интегрантът е произведението на логаритъма и полинома.
Ние решаваме.

Още веднъж ще опиша подробно процедурата за прилагане на правилото, в бъдеще примерите ще бъдат направени по-кратко и ако имате затруднения при решаването му сами, трябва да се върнете към първите два примера от урока .

Както вече споменахме, за е необходимо да се обозначи логаритъм (фактът, че е в степен, няма значение). Ние обозначаваме останалата частинтегрант.

Пишем в колона:

Първо намираме диференциала:

Тук използваме правилото за диференциране на сложна функция . Неслучайно още на първия урок от темата Неопределен интеграл. Примери за решенияСъсредоточих се върху факта, че за да овладеете интегралите, трябва да "хванете ръка" върху производните. Дериватите ще трябва да се изправят повече от веднъж.

Сега намираме функцията, за това интегрираме правилната странапо-ниско равенство:

За интегриране приложихме най-простата таблична формула

Сега сте готови да приложите формулата . Отваряме го със "звездичка" и "проектираме" решението в съответствие с дясната страна:

Под интеграла отново имаме полином върху логаритъма! Следователно решението се прекъсва отново и правилото за интегриране по части се прилага втори път. Не забравяйте, че в подобни ситуации логаритъмът винаги се обозначава.

Би било хубаво, ако в този момент можете да намерите най-простите интеграли и производни устно.

(1) Не се бъркайте в знаците! Много често тук се губи минус, имайте предвид също, че минусът важи за всичкискоба и тези скоби трябва да бъдат отворени правилно.

(2) Разгънете скобите. Опростяваме последния интеграл.

(3) Взимаме последния интеграл.

(4) „Сресване“ на отговора.

Необходимостта от прилагане на правилото за интегриране по части два пъти (или дори три пъти) не е необичайна.

А сега няколко примера за независимо решение:

Пример 3

Намерете неопределения интеграл.

Този пример се решава чрез промяна на метода на променливата (или подреждане под диференциалния знак)! И защо не - можете да опитате да го вземете на части, получавате смешно нещо.

Пример 4

Намерете неопределения интеграл.

Но този интеграл е интегриран с части (обещаната дроб).

Това са примери за самостоятелно решаване, решения и отговори в края на урока.

Изглежда, че в примери 3,4 интеграндите са подобни, но методите за решаване са различни! Именно това е основната трудност при овладяването на интегралите - ако изберете грешен метод за решаване на интеграла, тогава можете да си играете с него с часове, като с истински пъзел. Следователно, колкото повече решавате различни интеграли, толкова по-добре, толкова по-лесно ще бъде тестът и изпитът. Освен това през втората година ще има диференциални уравнения, а без опит в решаването на интеграли и производни няма какво да се прави там.

С логаритми може би повече от достатъчно. За лека закуска мога да си спомня и че студентите по техника наричат женските гърди логаритми =). Между другото, полезно е да знаете наизуст графиките на основните елементарни функции: синус, косинус, аркутангенс, експонента, полиноми от трета, четвърта степен и др. Не, разбира се, презерватив на земното кълбо
Няма да дърпам, но сега ще запомните много от раздела Графики и функции =).

Интеграли на степента, умножена по полинома

Общо правило:

Пример 5

Намерете неопределения интеграл.

Използвайки познат алгоритъм, ние интегрираме по части:

Ако имате някакви затруднения с интеграла, трябва да се върнете към статията Метод на промяна на променлива в неопределен интеграл.

Единственото друго нещо, което трябва да направите, е да "срешете" отговора:

Но ако техниката ви на изчисление не е много добра, тогава оставете най-печелившата опция като отговор. или дори

Тоест примерът се счита за решен, когато се вземе последният интеграл. Няма да е грешка, друг е въпросът, който учителят може да поиска, за да опрости отговора.

Пример 6

Намерете неопределения интеграл.

Това е пример за „направи си сам“. Този интеграл се интегрира два пъти по части. Особено внимание трябва да се обърне на знаците - лесно е да се объркате в тях, ние също помним това - сложна функция.

Няма какво повече да се каже за изложителя. Мога само да добавя, че експонентата и натуралният логаритъм са взаимно обратни функции, това съм аз в темата за занимателните графики на висшата математика =) Спри-стоп, не се притеснявай, лекторът е трезвен.

Интеграли на тригонометрични функции, умножени по полином

Общо правило: винаги означава полином

Пример 7

Намерете неопределения интеграл.

Интегриране по части:

Хм... и няма какво да коментираме.

Пример 8

Намерете неопределения интеграл

Това е пример за решение „направи си сам“.

Пример 9

Намерете неопределения интеграл

Още един пример с дроб. Както в предишните два примера, полиномът се означава с.

Интегриране по части:

Ако имате затруднения или недоразумения при намирането на интеграла, тогава препоръчвам да посетите урока Интеграли на тригонометрични функции.

Пример 10

Намерете неопределения интеграл

Това е пример за „направи си сам“.

Съвет: преди да използвате метода на интегриране по части, трябва да приложите някаква тригонометрична формула, която превръща произведението на две тригонометрични функции в една функция. Формулата може да се използва и при прилагане на метода на интегриране по части, на които е по-удобно.

Това може би е всичко в този параграф. По някаква причина си спомних ред от химна на катедрата по физика и математика „И синусоидалната графика вълна след вълна тече по абсцисната ос“ ....

Интеграли на обратни тригонометрични функции.
Интеграли на обратни тригонометрични функции, умножени по полином

Общо правило: винаги означава обратната тригонометрична функция.

Напомням ви, че обратните тригонометрични функции включват арксинус, аркосинус, арктангенс и арккотангенс. За краткост ще ги наричам "арки"

КАТЕГОРИИ

Прожекция

Ултразвук на крайници

Видове ултразвук

ултразвук на корема

ултразвук на гръдния кош

ПОПУЛЯРНИ СТАТИИ

	Отрицанието не с глаголи (в лична форма, в инфинитив, под формата на герундий) се пише отделно: не вземай, не беше, без да знае, бавно
	Презентация, доклад основните характеристики на философията на Ренесанса
	Художествен стил
	Децата на земята Презентация ние сме децата на земята за градината
	Презентация по темата за бариерите в комуникацията, работата беше извършена от ученици. Без комуникация ние се затваряме в себе си.