Изучаването на точния предмет: естествените числа са какви числа, примери и свойства. Неестествени числа

В математиката има няколко различни набора от числа: реални, комплексни, цели, рационални, ирационални, ... В нашата Ежедневиетоние най-често използваме естествени числа, тъй като ги срещаме при броене и при търсене, обозначавайки броя на предметите.

Във връзка с

Кои числа се наричат ​​естествени

От десет цифри можете да запишете абсолютно всяка съществуваща сума от класове и рангове. Природните ценности са тези които се използват:

• При броене на всякакви елементи (първи, втори, трети, ... пети, ... десети).
• При посочване на броя на елементите (един, два, три ...)

N стойностите винаги са цели и положителни. Няма най-голямо N, тъй като наборът от цели числа не е ограничен.

внимание!Естествените числа се получават чрез преброяване на предмети или чрез обозначаване на тяхното количество.

Абсолютно всяко число може да бъде разложено и представено като битови членове, например: 8.346.809=8 милиона+346 хиляди+809 единици.

Комплект N

Множеството N е в множеството реални, цели и положителни. В диаграмата на набора те биха били един в друг, тъй като наборът от естествени е част от тях.

Множеството от естествени числа се обозначава с буквата N. Това множество има начало, но няма край.

Има и разширено множество N, където е включена нула.

най-малкото естествено число

В повечето математически училища най-малката стойност на N се брои като единица, тъй като липсата на обекти се счита за празна.

Но в чуждестранните математически училища, например на френски език, това се счита за естествено. Наличието на нула в редицата улеснява доказателството някои теореми.

Набор от стойности N, който включва нула, се нарича разширен и се обозначава със символа N0 (нулев индекс).

Редица от естествени числа

N ред е поредица от всички N набора цифри. Тази поредица няма край.

Особеността на естествената серия е, че следващото число ще се различава с единица от предишното, тоест ще се увеличава. Но значенията не може да бъде отрицателен.

внимание!За удобство на броенето има класове и категории:

• Единици (1, 2, 3),
• Десетки (10, 20, 30),
• Стотици (100, 200, 300),
• Хиляди (1000, 2000, 3000),
• Десетки хиляди (30 000),
• Стотици хиляди (800 000),
• Милиони (4000000) и т.н.

Всички Н

Всички N са в множеството от реални, цели числа, неотрицателни стойности. Техни са интегрална част.

Тези стойности отиват до безкрайност, те могат да принадлежат към класовете милиони, милиарди, квинтилиони и т.н.

Например:

• Пет ябълки, три котенца,
• Десет рубли, тридесет молива,
• Сто килограма, триста книги,
• Милион звезди, три милиона души и т.н.

Последователност в N

В различни математически школи могат да се намерят два интервала, към които принадлежи редицата N:

от нула до плюс безкрайност, включително краищата, и от едно до плюс безкрайност, включително краищата, т.е. цели положителни отговори.

N набора от цифри могат да бъдат четни или нечетни. Помислете за концепцията за странност.

Нечетни (всички нечетни завършват с числата 1, 3, 5, 7, 9.) с две имат остатък. Например 7:2=3,5, 11:2=5,5, 23:2=11,5.

Какво означава дори N?

Всички четни суми от класове завършват с числа: 0, 2, 4, 6, 8. При деление на четно N на 2 няма да има остатък, тоест резултатът е цял отговор. Например 50:2=25, 100:2=50, 3456:2=1728.

важно!Цифровата поредица от N не може да се състои само от четни или нечетни стойности, тъй като те трябва да се редуват: четното число винаги е последвано от нечетно число, след това отново четно число и т.н.

N свойства

Както всички други множества, N има свои собствени специални свойства. Разгледайте свойствата на серията N (неразширена).

• Стойността, която е най-малка и не следва никоя друга, е единица.
• N са последователност, т.е. една естествена стойност следва друг(с изключение на един - той е първият).
• Когато извършваме изчислителни операции върху N суми от цифри и класове (събиране, умножение), тогава отговорът винаги излиза естественозначение.
• При изчисленията можете да използвате пермутация и комбинация.
• Всяка следваща стойност не може да бъде по-малка от предишната. Също така в серията N ще действа следният закон: ако числото A е по-малко от B, тогава в числовата серия винаги ще има C, за което е вярно равенството: A + C \u003d B.
• Ако вземем два естествени израза, например A и B, тогава един от изразите ще бъде верен за тях: A \u003d B, A е по-голямо от B, A е по-малко от B.
• Ако A е по-малко от B и B е по-малко от C, тогава следва, че че А е по-малко от С.
• Ако A е по-малко от B, тогава следва, че: ако добавим същия израз (C) към тях, тогава A + C е по-малко от B + C. Също така е вярно, че ако тези стойности се умножат по C, тогава AC е по-малко от AB.
• Ако B е по-голямо от A, но по-малко от C, тогава B-A е по-малко от C-A.

внимание!Всички горни неравенства са валидни и в обратна посока.

Как се наричат ​​компонентите на умножението?

В много прости и дори сложни задачи намирането на отговор зависи от способността на учениците

Цели числамного познато и естествено за нас. И това не е изненадващо, тъй като запознаването с тях започва от първите години от живота ни на интуитивно ниво.

Информацията в тази статия създава основно разбиране за естествените числа, разкрива тяхното предназначение, внушава умения за писане и четене на естествени числа. За по-добро усвояване на материала са дадени необходимите примери и илюстрации.

Навигация в страницата.

Естествените числа са общо представяне.

Следното мнение не е лишено от здрава логика: появата на проблема с преброяването на обекти (първи, втори, трети обект и т.н.) и проблемът с посочване на броя на обектите (един, два, три обекта и т.н.) доведе до до създаването на инструмент за неговото решение, този инструмент беше цели числа.

Това предложение показва основно предназначение на естествените числа- носят информация за броя на артикулите или за серийния номер на даден артикул в разглеждания набор от артикули.

За да може човек да използва естествените числа, те трябва да са достъпни по някакъв начин, както за възприятие, така и за възпроизвеждане. Ако озвучите всяко естествено число, то ще се възприема на ухо, а ако изобразите естествено число, то може да се види. Това са най-естествените начини за предаване и възприемане на естествените числа.

И така, нека се захванем с придобиването на умения за изобразяване (писане) и умения за изговаряне (четене) на естествени числа, като същевременно научим тяхното значение.

Десетичен запис на естествено число.

Първо, трябва да решим върху какво ще надграждаме, когато записваме естествени числа.

Нека запомним изображенията на следните знаци (показваме ги разделени със запетаи): 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Показаните изображения са запис на т.нар числа. Нека веднага да се съгласим да не обръщаме, накланяме или по друг начин изкривяваме числата при писане.

Сега ние сме съгласни, че само посочените цифри могат да присъстват в нотацията на всяко естествено число и не могат да присъстват други символи. Също така сме съгласни, че цифрите в записа на естественото число са с еднаква височина, подредени са в ред една след друга (почти без отстъпи), а отляво има цифра, която е различна от цифрата 0 .

Ето няколко примера за правилно записване на естествени числа: 604 , 777 277 , 81 , 4 444 , 1 001 902 203, 5 , 900 000 (забележка: отстъпите между числата не винаги са еднакви, повече за това ще бъде обсъдено при прегледа). От горните примери може да се види, че естественото число не съдържа непременно всички цифри 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ; някои или всички цифри, участващи в писането на естествено число, могат да се повтарят.

Вписвания 014 , 0005 , 0 , 0209 не са записи на естествени числа, тъй като отляво има цифра 0 .

Извиква се запис на естествено число, извършен, като се вземат предвид всички изисквания, описани в този параграф десетичен запис на естествено число.

Освен това няма да правим разлика между естествените числа и тяхното записване. Нека изясним това: по-нататък в текста фрази като „дадено естествено число 582 “, което ще означава, че е дадено естествено число, чийто запис има формата 582 .

Естествени числа в смисъла на броя на предметите.

Време е да се занимаем с количественото значение, което носи записаното естествено число. Значението на естествените числа от гледна точка на номерирането на обекти се разглежда в статията сравнение на естествените числа.

Да започнем с естествените числа, чиито записи съвпадат с записите на цифрите, т.е. с числата 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 И 9 .

Представете си, че отворихме очи и видяхме някакъв обект, например, като този. В този случай можем да напишем това, което виждаме 1 вещ. Естественото число 1 се чете като " един"(склонението на числото "един", както и други числа, ще дадем в параграф), за числото 1 прие друго име - " мерна единица».

Въпреки това, терминът "единица" е многозначен, в допълнение към естественото число 1 , се нарича нещо, което се разглежда като цяло. Например всеки един елемент от техния набор може да се нарече единица. Например всяка ябълка от много ябълки е една, всяко ято птици от много ята също е едно и т.н.

Сега отваряме очи и виждаме: Тоест виждаме един обект и друг обект. В този случай можем да напишем това, което виждаме 2 предмет. Естествено число 2 , се чете като " две».

По същия начин, - 3 тема (прочетете " три" предмет), - 4 (« четири"") на темата, - 5 (« пет»), - 6 (« шест»), - 7 (« седем»), - 8 (« осем»), - 9 (« девет“) елементи.

И така, от разглежданата позиция, естествените числа 1 , 2 , 3 , …, 9 посочвам количествоелементи.

Число, чиято нотация съвпада със записа на цифра 0 , Наречен " нула". Числото нула НЕ е естествено число, но обикновено се разглежда заедно с естествените числа. Запомнете: нула означава липса на нещо. Например нула елементи не е един елемент.

В следващите параграфи на статията ще продължим да разкриваме значението на естествените числа по отношение на обозначаването на количеството.

едноцифрени естествени числа.

Очевидно записът на всяко от естествените числа 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 се състои от един знак - една цифра.

Определение.

Едноцифрени естествени числаса естествени числа, чийто запис се състои от един знак – една цифра.

Нека изброим всички едноцифрени естествени числа: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Има девет едноцифрени естествени числа.

Двуцифрени и трицифрени естествени числа.

Първо, даваме дефиниция на двуцифрени естествени числа.

Определение.

Двуцифрени естествени числа- това са естествени числа, чийто запис е два знака - две цифри (различни или еднакви).

Например естествено число 45 - двуцифрени, числа 10 , 77 , 82 също двуцифрен 5 490 , 832 , 90 037 - не двуцифрено.

Нека да разберем какво значение носят двуцифрените числа, докато ние ще започнем от количественото значение на вече познатите ни едноцифрени естествени числа.

Първо, нека представим концепцията десет.

Представете си такава ситуация - отворихме очи и видяхме комплект, състоящ се от девет предмета и още един предмет. В този случай се говори за 1 десет (една дузина) предмета. Ако се разглеждат заедно една десетка и още една десетка, тогава се говори за 2 десетици (две десетки). Ако добавим още една десетица към две десетици, ще имаме три десетици. Продължавайки този процес, ще получим четири десетици, пет десетици, шест десетици, седем десетици, осем десетици и накрая девет десетици.

Сега можем да преминем към същността на двуцифрените естествени числа.

За да направите това, разгледайте едно двуцифрено число като две едноцифрени числа - едното е отляво в записа на двуцифрено число, другото е отдясно. Числото отляво показва броя на десетиците, а числото отдясно показва броя на единиците. Освен това, ако в записа на двуцифрено число има цифра отдясно 0 , тогава това означава липса на единици. Това е целият смисъл на двуцифрените естествени числа по отношение на посочване на сумата.

Например двуцифрено естествено число 72 отговаря 7 десетки и 2 единици (т.е. 72 ябълки е набор от седем дузини ябълки и още две ябълки) и числото 30 отговори 3 десетки и 0 няма единици, тоест единици, които не са обединени в десетици.

Нека отговорим на въпроса: „Колко двуцифрени естествени числа съществуват“? Отговори им 90 .

Обръщаме се към дефиницията на трицифрените естествени числа.

Определение.

Естествени числа, чийто запис се състои от 3 знаци - 3 се извикват цифри (различни или повтарящи се). трицифрен.

Примери за естествени трицифрени числа са 372 , 990 , 717 , 222 . Цели числа 7 390 , 10 011 , 987 654 321 234 567 не са трицифрени.

За да разберем значението, присъщо на трицифрените естествени числа, се нуждаем от концепцията стотици.

Набор от десет десетици е 1 сто (сто). Сто и сто е 2 стотици. Двеста и друга сто са триста. И така нататък, имаме четиристотин, петстотин, шестстотин, седемстотин, осемстотин и накрая деветстотин.

Сега нека разгледаме едно трицифрено естествено число като три едноцифрени естествени числа, вървящи едно след друго отдясно наляво в записа на трицифрено естествено число. Числото вдясно показва броя на единиците, следващото число показва броя на десетиците, следващото число показва броя на стотиците. Числа 0 в записа на трицифрено число означава липса на десетки и (или) единици.

По този начин, трицифрено естествено число 812 отговаря 8 стотици 1 топ десет и 2 единици; номер 305 - триста 0 десетки, тоест десетки, които не са комбинирани в стотици, не) и 5 единици; номер 470 - четиристотин и седем десетици (няма единици, които да не са комбинирани в десетици); номер 500 - петстотин (десетици, които не са комбинирани в стотици, и единици, които не са комбинирани в десетици, не).

По същия начин може да се дефинират четирицифрени, петцифрени, шестцифрени и т.н. естествени числа.

Многозначни естествени числа.

И така, ние се обръщаме към дефиницията на многозначни естествени числа.

Определение.

Многозначни естествени числа- това са естествени числа, чийто запис се състои от две или три или четири и т.н. знаци. С други думи, многоцифрените естествени числа са двуцифрени, трицифрени, четирицифрени и т.н. числа.

Нека кажем веднага, че комплектът, състоящ се от десет стотин, е хиляда, хиляда хиляди е един милион, хиляда милиона е един милиард, хиляда милиарда е един трилион. Хиляда трилиона, хиляда хиляди трилиона и така нататък също могат да получат собствени имена, но няма особена нужда от това.

И така, какво е значението зад многозначните естествени числа?

Нека разгледаме едно многоцифрено естествено число като едноцифрени естествени числа, следващи едно след друго отдясно наляво. Числото вдясно показва броя на единиците, следващото число е числото на десетиците, следващото е числото на стотиците, следващото е числото на хилядите, следващото е числото на десетките хиляди, следващото е числото на стотиците от хиляди, следващото е числото милиони, следващото е числото десетки милиони, следващото е стотици милиони, следващото - числото милиарди, след това - числото десетки милиарди, след това - стотици милиарди , след това - трилиони, след това - десетки трилиони, след това - стотици трилиони и т.н.

Например многоцифрено естествено число 7 580 521 отговаря 1 мерна единица, 2 десетки, 5 стотици 0 хиляди 8 десетки хиляди 5 стотици хиляди и 7 милиони.

Така се научихме да групираме единици в десетици, десетици в стотици, стотици в хиляди, хиляди в десетки хиляди и т.н. и открихме, че числата в записа на многоцифрено естествено число показват съответния номер на по-горе групи.

Четене на естествени числа, кл.

Вече споменахме как се четат едноцифрени естествени числа. Нека научим наизуст съдържанието на следващите таблици.

А как се четат другите двуцифрени числа?

Нека обясним с пример. Четене на естествено число 74 . Както разбрахме по-горе, това число съответства на 7 десетки и 4 единици, т.е. 70 И 4 . Обръщаме се към току-що написаните таблици и номера 74 четем като: „Седемдесет и четири“ (не произнасяме съюза „и“). Ако искате да прочетете номер 74 в изречението: „Не 74 ябълки" (родителен падеж), тогава ще звучи така: "Няма седемдесет и четири ябълки." Друг пример. Номер 88 - Това 80 И 8 , следователно четем: "Осемдесет и осем." И ето пример за изречение: "Той мисли за осемдесет и осем рубли."

Да преминем към четене на трицифрени естествени числа.

За целта ще трябва да научим още няколко нови думи.

Остава да покажем как се четат останалите трицифрени естествени числа. В случая ще използваме вече придобитите умения за четене на едноцифрени и двуцифрени числа.

Да вземем пример. Да прочетем числото 107 . Този номер съответства 1 сто и 7 единици, т.е. 100 И 7 . Обръщайки се към таблиците, четем: „Сто и седем“. Сега да кажем числото 217 . Този номер е 200 И 17 , следователно четем: „Двеста и седемнадесет“. по същия начин, 888 - Това 800 (осемстотин) и 88 (осемдесет и осем), четем: "Осемстотин осемдесет и осем."

Преминаваме към четене на многоцифрени числа.

За четене записът на многоцифрено естествено число се разделя, започвайки отдясно, на групи от по три цифри, като в най-лявата такава група може да има или 1 , или 2 , или 3 числа. Тези групи се наричат класове. Класът отдясно се извиква единица клас. Извиква се следващият клас (от дясно на ляво). хиляден клас, следващият клас е милионна класа, следващия - клас милиарди, след това отива трилион клас. Можете да дадете имената на следните класове, но естествени числа, чийто запис се състои от 16 , 17 , 18 и т.н. знаците обикновено не се четат, тъй като са много трудни за възприемане на ухо.

Вижте примери за разделяне на многоцифрени числа в класове (за по-голяма яснота класовете са разделени един от друг с малък отстъп): 489 002 , 10 000 501 , 1 789 090 221 214 .

Нека поставим записаните естествени числа в таблица, по която лесно да се научим да ги четем.

За да прочетем естествено число, извикваме от ляво на дясно числата, които го съставят по класове и добавяме името на класа. В същото време не произнасяме името на класа единици и пропускаме тези класове, които съставляват три цифри 0 . Ако записът на класа има цифра отляво 0 или две цифри 0 , тогава игнорирайте тези числа 0 и прочетете числото, получено чрез изхвърляне на тези цифри 0 . напр. 002 прочетете като "две" и 025 - като "двадесет и пет".

Да прочетем числото 489 002 според дадените правила.

Четем отляво надясно,

• прочетете номера 489 , представляващ класа на хилядите, е "четиристотин осемдесет и девет";
• добавете името на класа, получаваме "четиристотин осемдесет и девет хиляди";
• по-нататък в класа единици, които виждаме 002 , нулите са отляво, затова ги игнорираме 002 чете се като "две";
• не е необходимо да се добавя името на класа единица;
• в резултат имаме 489 002 - четиристотин осемдесет и девет хиляди и две.

Нека започнем да четем числото 10 000 501 .

• Отляво в класа на милионите виждаме числото 10 , четем "десет";
• добавете името на класа, имаме "десет милиона";
• след това виждаме записа 000 в класа на хилядите, тъй като и трите цифри са цифри 0 , тогава прескачаме този клас и преминаваме към следващия;
• единица клас представлява число 501 , което четем "петстотин и едно";
• По този начин, 10 000 501 десет милиона петстотин и едно.

Нека го направим без подробни обяснения: 1 789 090 221 214 - "един трилион седемстотин осемдесет и девет милиарда деветдесет милиона двеста двадесет и една хиляди двеста четиринадесет."

И така, в основата на умението за четене на многоцифрени естествени числа е способността да се разделят многоцифрените числа на класове, познаването на имената на класовете и способността да се четат трицифрени числа.

Цифрите на естествено число, стойността на цифрата.

При записване на естествено число стойността на всяка цифра зависи от нейната позиция. Например естествено число 539 отговаря 5 стотици 3 десетки и 9 единици, оттук и фигурата 5 в записа на номера 539 определя броя на стотиците, цифра 3 е броят на десетиците и цифрата 9 - брой единици. Говори се, че броят 9 стои вътре единици цифраи номер 9 е единица цифрена стойност, номер 3 стои вътре десетки мястои номер 3 е стойност на десетките места, и числото 5 - В стотици мястои номер 5 е стотици място стойност.

По този начин, освобождаване от отговорност- това е, от една страна, позицията на цифрата в нотацията на естествено число, а от друга страна, стойността на тази цифра, определена от нейната позиция.

На ранговете са дадени имена. Ако погледнете числата в записа на естествено число отдясно наляво, тогава ще им съответстват следните цифри: единици, десетки, стотици, хиляди, десетки хиляди, стотици хиляди, милиони, десетки милиони и скоро.

Имената на категориите са удобни за запомняне, когато са представени под формата на таблица. Нека напишем таблица, съдържаща имена от 15 цифри.

Обърнете внимание, че броят на цифрите на дадено естествено число е равен на броя знаци, включени в записа на това число. Така записаната таблица съдържа имената на цифрите на всички естествени числа, чийто запис съдържа до 15 знака. Следните цифри също имат свои имена, но се използват много рядко, така че няма смисъл да ги споменаваме.

С помощта на таблицата с цифри е удобно да се определят цифрите на дадено естествено число. За да направите това, трябва да запишете това естествено число в тази таблица, така че във всяка цифра да има една цифра, а най-дясната цифра да е в цифрата на единиците.

Да вземем пример. Нека напишем естествено число 67 922 003 942 в таблицата, докато цифрите и стойностите на тези цифри ще станат ясно видими.

В записа на това число, цифрата 2 стои на мястото на единиците, цифра 4 - в десетиците, цифра 9 - на стотното място и др. Обърнете внимание на числата 0 , които са в цифри от десетки хиляди и стотици хиляди. Числа 0 в тези цифри означава липсата на единици от тези цифри.

Трябва да споменем и така наречената най-ниска (най-ниска) и най-висока (най-висока) категория на многозначно естествено число. Долен (младши) рангвсяко многозначно естествено число е цифрата на единиците. Най-високата (най-високата) цифра на естествено числое цифрата, съответстваща на най-дясната цифра в записа на това число. Например най-малката цифра на естественото число 23004 е цифрата на единиците, а най-голямата цифра е цифрата на десетките хиляди. Ако в записа на естествено число се движим по цифри отляво надясно, то всяка следваща цифра по-нисък (по-млад)предишния. Например, цифрата на хилядите е по-малка от цифрата на десетките хиляди, особено цифрата на хилядите е по-малка от цифрата на стотици хиляди, милиони, десетки милиони и т.н. Ако в записа на естествено число преместваме цифрите отдясно наляво, то всяка следваща цифра по-висок (по-стар)предишния. Например, цифрата на стотиците е по-стара от цифрата на десетиците и още повече, че е по-стара от цифрата на единиците.

В някои случаи (например при събиране или изваждане) се използва не самото естествено число, а сумата от битовите членове на това естествено число.

Накратко за десетичната бройна система.

И така, ние се запознахме с естествените числа, с присъщото им значение и начина на записване на естествени числа с помощта на десет цифри.

Като цяло се нарича методът за писане на числа с помощта на знаци бройна система. Стойността на цифра в запис на число може или не може да зависи от нейната позиция. Наричат ​​се бройни системи, в които стойността на цифрата в числов запис зависи от нейната позиция позиционен.

По този начин естествените числа, които разгледахме, и методът на записването им показват, че използваме позиционна бройна система. Трябва да се отбележи, че специално място в тази бройна система има числото 10 . Наистина резултатът се поддържа в десетки: десет единици се комбинират в десетка, десет десетки се комбинират в сто, десет стотици в хиляда и т.н. Номер 10 Наречен базададена бройна система, а самата бройна система се нарича десетичен знак.

Освен десетичната бройна система има и други, например в информатиката се използва двоично-позиционната бройна система, а при измерване на времето срещаме шестдесетичната система.

Библиография.

• Математика. Всякакви учебници за 5 класа на учебни заведения.

Цели числа- числа, които се използват за броене на обекти . Всяко естествено число може да се запише с десет цифри: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Такъв запис на числа се нарича десетичен знак.

Редицата от всички естествени числа се нарича естествено рамо до рамо .

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ...

Повечето малъкестествено число е едно (1). В естествения ред всяко следващо число е с 1 повече от предходното. естествени серии безкраенняма най-голямо число.

Значението на цифрата зависи от нейното място в записа на числото. Например числото 4 означава: 4 единици, ако е на последно място в числовия запис (в единици място); 4 десет,ако е на последно място (на мястото на десетиците); 4 стотици,ако е на трето място от края (В стотици място).

Цифрата 0 означава липса на единици от тази категорияв десетичния запис на число. Той също така служи за означаване на числото " нула". Това число означава "няма". Резултат 0:3 от футболен мач показва, че първият отбор не е отбелязал нито един гол срещу противника.

Нула не включваткъм естествени числа. И наистина броенето на елементи никога не започва от нулата.

Ако едно естествено число има само една цифра – една цифра, тогава се нарича недвусмислен.Тези. недвусмисленестествено число- естествено число, чийто запис се състои от един знак – една цифра. Например числата 1, 6, 8 са едноцифрени.

двуцифренестествено число- естествено число, чийто запис се състои от два знака - две цифри.

Например числата 12, 47, 24, 99 са двуцифрени.

Също така според броя на знаците в дадено число се дават имена на други числа:

числа 326, 532, 893 - трицифрен;

числа 1126, 4268, 9999 - четирицифрени т.н.

Две цифри, три цифри, четири цифри, пет цифри и т.н. номера се наричат многоцифрени числа .

За да се четат многоцифрени числа, те се разделят, започвайки отдясно, на групи от по три цифри (най-лявата група може да се състои от една или две цифри). Тези групи се наричат класове.

Милионе хиляда хиляди (1000 хиляди), пише се 1 милион или 1 000 000.

Милиарде 1000 милиона. Записан е от 1 милиард или 1 000 000 000.

Първите три цифри вдясно съставляват класа единици, следващите три - класа хиляди, след това има класове милиони, милиарди и т.н. (Фиг. 1).

Ориз. 1. Клас милиони, клас хиляди и клас единици (отляво надясно)

В битовата мрежа (фиг. 2) е записано числото 15389000286.

Ориз. 2. Решетка с цифри: число 15 милиарда 389 милиона 286

Това число има 286 единици в клас единица, нула единици в клас хиляди, 389 единици в клас милиони и 15 единици в клас милиарди.

Определение

Естествени числа се наричат ​​числа, предназначени за броене на предмети. За записване на естествени числа се използват 10 арабски цифри (0–9), които са в основата на десетичната бройна система, общоприета за математически изчисления.

Редица от естествени числа

Естествените числа образуват поредица, започваща от 1 и покриваща множеството от всички положителни цели числа. Такава редица се състои от числа 1,2,3, ... . Това означава, че в естествената серия:

1. Има най-малко число и няма най-голямо.
2. Всяко следващо число е по-голямо от предходното с 1 (изключение прави самата единица).
3. Тъй като числата отиват до безкрайност, те растат за неопределено време.

Понякога в поредица от естествени числа се въвежда и 0. Това е допустимо и тогава се говори за удълженестествени серии.

Класове естествени числа

Всяка цифра от естествено число изразява определена цифра. Последното винаги е броят на единиците в числото, предното е числото на десетиците, третото от края е числото на стотиците, четвъртото е числото на хилядите и т.н.

• 276: 2 стотици, 7 десетици, 6 единици
• в числото 1098: 1 хиляда, 9 десетици, 8 единици; тук няма стотици, тъй като се изразява като нула.

За големи и много големи числа можете да видите постоянна тенденция (ако разгледате числото отдясно наляво, т.е. от последната цифра до първата):

• последните три цифри в числото са единици, десетици и стотици;
• предходните три са единици, десетици и стотици хиляди;
• трите пред тях (т.е. 7-ма, 8-ма и 9-та цифра на числото, като се брои от края) са единици, десетки и стотици милиони и т.н.

Тоест, всеки път, когато имаме работа с три цифри, което означава единици, десетки и стотици от по-голямо име. Такива групи образуват класове. И ако трябва да се справяте с първите три класа в ежедневието повече или по-рядко, тогава други трябва да бъдат изброени, защото не всеки помни имената им наизуст.

• Четвъртият клас, следващ класа на милионите и представляващ числа от 10-12 цифри, се нарича милиард (или милиард);
• 5 клас - трилион;
• 6 клас - квадрилион;
• 7 клас - квинтилион;
• 8 клас - секстилион;
• 9 клас - септилион.

Събиране на естествени числа

Събирането на естествени числа е аритметична операция, която ви позволява да получите число, което съдържа толкова единици, колкото има в събраните числа.

Знакът за събиране е знакът "+". Добавените числа се наричат ​​членове, резултатът се нарича сбор.

Малките числа се добавят (сумират) устно, писмено такива действия се записват в ред.

Многоцифрените числа, които трудно се събират на ум, обикновено се добавят в колона. За целта числата се записват едно под друго, подравнени с последната цифра, т.е. записват цифрата на единиците под цифрата на единиците, цифрата на стотните под цифрата на стотните и т.н. След това трябва да добавите цифрите по двойки. Ако добавянето на цифри става с преход през десетка, тогава тази десетка се фиксира като единица над цифрата отляво (т.е. след нея) и се добавя заедно с цифрите на тази цифра.

Ако в колоната не се добавят 2, а повече числа, тогава при сумиране на цифрите на категорията не 1 дузина, а няколко може да са излишни. В този случай броят на тези десетки се прехвърля към следващата цифра.

Изваждане на естествени числа

Изваждането е аритметична операция, обратна на събирането, която се свежда до факта, че при дадена сума и един от членовете трябва да намерите друг - неизвестен член. Числото, от което се изважда, се нарича умалено; числото, което се изважда, е субтрахенд. Резултатът от изваждането се нарича разлика. Знакът, който обозначава операцията изваждане е "-".

При прехода към събиране изваждаемото и разликата се превръщат в членове, а намаленото в сбор. Събирането обикновено проверява правилността на извършеното изваждане и обратно.

Тук 74 е умаляваното, 18 е изважданото, 56 е разликата.

Предпоставка за изваждане на естествени числа е следното: умаляваното задължително трябва да е по-голямо от изважданото. Само в този случай получената разлика също ще бъде естествено число. Ако действието на изваждане се извършва за разширен естествен ред, тогава е позволено умаляваното да е равно на изважданото. И резултатът от изваждането в този случай ще бъде 0.

Забележка: ако изваждането е равно на нула, тогава операцията за изваждане не променя стойността на умаляваното.

Изваждането на многоцифрени числа обикновено се извършва в колона. Запишете числата по същия начин, както при събирането. Изваждането се извършва за съответните цифри. Ако се окаже, че умаляваното е по-малко от изваждаемото, тогава от предходната (разположена вляво) цифра се взема единица, която след прехвърлянето естествено се превръща в 10. Тази десетица се сумира с цифрата на намалената дадена цифра и след това извадена. Освен това при изваждане на следващата цифра е необходимо да се вземе предвид, че намаленото е станало с 1 по-малко.

Произведение на естествени числа

Произведението (или умножението) на естествени числа е аритметична операция, която е намиране на сумата от произволен брой еднакви членове. За да запишете операцията на умножение, използвайте знака "·" (понякога "×" или "*"). Например: 3 5=15.

Действието умножение е незаменимо, когато е необходимо да се добавят голям брой членове. Например, ако трябва да добавите числото 4 7 пъти, тогава умножаването на 4 по 7 е по-лесно, отколкото да направите това събиране: 4+4+4+4+4+4+4.

Числата, които се умножават, се наричат ​​множители, резултатът от умножението е произведението. Съответно терминът „работа“ може, в зависимост от контекста, да изразява както процеса на умножение, така и неговия резултат.

Многоцифрените числа се умножават в колона. За това число се записва по същия начин, както за събиране и изваждане. Препоръчително е първо (отгоре) да напишете кое от 2-те числа кое е по-дълго. В този случай процесът на умножение ще бъде по-прост и следователно по-рационален.

При умножение в колона цифрите на всяка от цифрите на второто число се умножават последователно по цифрите на 1-вото число, като се започне от неговия край. След като са намерили първата такава работа, те записват броя на единиците и имат предвид броя на десетиците. При умножаване на цифрата на 2-рото число по следващата цифра на 1-вото число към произведението се добавя числото, което се има предвид. И отново записват броя на единиците на получения резултат и запомнят броя на десетиците. При умножение по последната цифра на 1-вото число, полученото по този начин число се записва изцяло.

Резултатите от умножаването на цифрите на 2-рата цифра на второто число се записват във втория ред, като се изместват с 1 клетка надясно. И така нататък. В резултат на това ще се получи "стълба". Всички получени редове от числа трябва да бъдат добавени (според правилото за събиране в колона). Празните клетки трябва да се считат за пълни с нули. Получената сума е крайният продукт.

Забележка

1. Произведението на всяко естествено число по 1 (или 1 по число) е равно на самото число. Например: 376 1=376; 1 86=86.
2. Когато един от множителите или и двата множителя са равни на 0, тогава произведението е равно на 0. Например: 32·0=0; 0 845=845; 0 0=0.

Деление на естествени числа

Деление се нарича аритметично действие, с помощта на което според известно произведение и един от множителите може да се намери друг - неизвестен - множител. Делението е обратното на умножението и се използва за проверка дали умножението е извършено правилно (и обратно).

Числото, което се дели, се нарича делимо; числото, на което се дели, е делител; резултатът от деление се нарича частно. Знакът за разделяне е ":" (понякога, по-рядко - "÷").

Тук 48 е дивидентът, 6 е делителят, а 8 е частното.

Не всички естествени числа могат да бъдат разделени помежду си. В този случай делението се извършва с остатък. Състои се в това, че за делителя се избира такъв коефициент, че произведението му от делителя да бъде число, което е възможно най-близко по стойност до дивидента, но по-малко от него. Делителят се умножава по този коефициент и се изважда от дивидента. Разликата ще бъде остатъкът от делението. Произведението на делител с фактор се нарича непълно частно. Внимание: остатъкът трябва да е по-малък от избрания множител! Ако остатъкът е по-голям, това означава, че множителят е избран неправилно и трябва да се увеличи.

Избираме коефициент за 7. В този случай това число е 5. Намираме непълно частно: 7 5 \u003d 35. Изчислете остатъка: 38-35=3. От 3<7, то это означает, что число 5 было подобрано верно. Результат деления следует записать так: 38:7=5 (остаток 3).

Многоцифрените числа са разделени в колона. За да направите това, дивидентът и делителят се изписват един до друг, разделяйки делителя с вертикална и хоризонтална линия. В дивидентът се избира първата цифра или първите няколко цифри (вдясно), които трябва да са число, което е минимално достатъчно за деление на делител (т.е. това число трябва да е по-голямо от делителя). За това число е избрано непълно частно, както е описано в правилото за деление с остатък. Номерът на множителя, използван за намиране на частичното частно, е записан под делителя. Непълното частно се записва под числото, което е разделено, подравнено вдясно. Намерете тяхната разлика. Следващата цифра на дивидента се премахва, като се записва до тази разлика. За полученото число отново се намира непълно частно, като се записва цифрата на избрания множител, до предишния под делителя. И така нататък. Такива действия се извършват до изчерпване на числата на дивидента. След това делбата се счита за завършена. Ако дивидентът и делителят са разделени изцяло (без остатък), тогава последната разлика ще даде нула. В противен случай ще бъде върнат остатъкът.

степенуване

Степенуването е математическа операция, която се състои в умножаване на произволен брой еднакви числа. Например: 2 2 2 2.

Такива изрази се записват като: a x,

Където ае число, умножено по себе си хе броят на тези фактори.

Прости и съставни естествени числа

Всяко естествено число, с изключение на 1, може да бъде разделено най-малко на 2 числа - единица и себе си. Въз основа на този критерий естествените числа се делят на прости и съставни.

Простите числа са числа, които се делят само на 1 и на себе си. Числата, които се делят на повече от тези 2 числа, се наричат ​​съставни числа. Единица, делима само на себе си, не е нито проста, нито съставна.

Числата са прости: 2,3,5,7,11,13,17,19 и т.н. Примери за съставни числа: 4 (делимо на 1,2,4), 6 (делимо на 1,2,3,6), 20 (делимо на 1,2,4,5,10,20).

Всяко съставно число може да се разложи на прости множители. В този случай простите множители се разбират като неговите делители, които са прости числа.

Пример за разлагане на прости множители:

Делители на естествени числа

Делителят е число, на което дадено число може да бъде разделено без остатък.

В съответствие с тази дефиниция простите естествени числа имат 2 делителя, съставните числа имат повече от 2 делителя.

Много числа имат общи делители. Общият делител е числото, на което дадените числа се делят без остатък.

• Числата 12 и 15 имат общ делител 3
• Числата 20 и 30 имат общи делители 2,5,10

От особено значение е най-големият общ делител (НОД). По-специално, това число е полезно да можете да намерите за намаляване на дроби. За да го намерим, се изисква да разложим дадените числа на прости множители и да ги представим като произведение на техните общи прости множители, взети в най-малките им степени.

Изисква се да се намери НОД на числата 36 и 48.

Делимост на естествените числа

Далеч не винаги е възможно да се определи "на око" дали едно число се дели на друго без остатък. В такива случаи е полезен съответният тест за делимост, т.е. правилото, чрез което за няколко секунди можете да определите дали е възможно да разделите числа без остатък. Знакът "" се използва за обозначаване на делимост.

Най-малко общо кратно

Тази стойност (означена като LCM) е най-малкото число, което се дели на всяко от дадените. LCM може да се намери за произволен набор от естествени числа.

LCM, подобно на GCD, има значително приложно значение. И така, трябва да се намери LCM чрез редуциране на обикновените дроби до общ знаменател.

LCM се определя чрез разлагане на дадените числа на прости множители. За образуването му се взема произведение, състоящо се от всеки от срещащите се (поне за 1 число) прости множители, представени в максимална степен.

Изисква се да се намери LCM на числата 14 и 24.

Средно аритметично

Средната аритметична стойност на произволен (но краен) брой естествени числа е сумата от всички тези числа, разделена на броя на членовете:

Средната аритметична стойност е някаква средна стойност за набор от числа.

Дадени са числата 2,84,53,176,17,28. Необходимо е да се намери тяхното средно аритметично.