Абсолютни и относителни грешки при измерване. Абсолютна грешка при измерване
Грешка в измерването- оценка на отклонението на измерената стойност на величина от истинската й стойност. Грешката на измерване е характеристика (мярка) за точност на измерване.
Тъй като е невъзможно да се установи с абсолютна точност истинската стойност на което и да е количество, също е невъзможно да се посочи големината на отклонението на измерената стойност от истинската. (Това отклонение обикновено се нарича грешка при измерване. В редица източници, например във Великата съветска енциклопедия, термините грешка при измерванеи грешка при измерванесе използват като синоними, но според RMG 29-99 терминът грешка при измерванене се препоръчва като по-малко успешен). Възможно е само да се оцени големината на това отклонение, например чрез използване на статистически методи. На практика вместо истинската стойност използваме истинска стойност x d, т.е. стойността на физическа величина, получена експериментално и толкова близка до истинската стойност, че може да се използва вместо нея в поставената задача за измерване. Такава стойност обикновено се изчислява като средна стойност, получена чрез статистическа обработка на резултатите от поредица от измервания. Тази получена стойност не е точна, а само най-вероятната. Затова е необходимо в измерванията да се посочи каква е тяхната точност. За да направите това, заедно с получения резултат се посочва грешката на измерването. Например вписването Т=2,8±0,1° С. означава, че истинската стойност на количеството Tлежи в интервала от 2.7 sпреди 2.9 sс някаква определена вероятност
През 2004 г. на международно ниво беше приет нов документ, който диктува условията за извършване на измервания и установява нови правила за сравняване на държавни стандарти. Понятието "грешка" остаря, вместо това беше въведено понятието "несигурност на измерването", но GOST R 50.2.038-2004 позволява използването на термина грешказа документи, използвани в Русия.
Има следните видове грешки:
Абсолютната грешка
Относителна грешка
намалената грешка;
Основната грешка
Допълнителна грешка
· систематична грешка;
Случайна грешка
Инструментална грешка
· методическа грешка;
· лична грешка;
· статична грешка;
динамична грешка.
Грешките при измерване се класифицират според следните критерии.
· Според метода на математическото изразяване грешките се делят на абсолютни грешки и относителни грешки.
· Според взаимодействието на промените във времето и входната стойност, грешките се разделят на статични грешки и динамични грешки.
По естеството на възникване грешките се делят на систематични грешки и случайни грешки.
· Според характера на зависимостта на грешката от въздействащите величини грешките се делят на основни и допълнителни.
· Според характера на зависимостта на грешката от входната величина грешките се делят на адитивни и мултипликативни.
Абсолютна грешкае стойността, изчислена като разлика между стойността на количеството, получено по време на процеса на измерване, и реалната (действителната) стойност на даденото количество. Абсолютната грешка се изчислява по следната формула:
AQ n =Q n /Q 0 , където AQ n е абсолютната грешка; Qn- стойността на определена величина, получена в процеса на измерване; Q0- стойността на същото количество, взето като база за сравнение (реална стойност).
Абсолютна грешка на мяркатае стойността, изчислена като разлика между числото, което е номиналната стойност на мярката, и реалната (действителната) стойност на количеството, възпроизведено от мярката.
Относителна грешкае число, което отразява степента на точност на измерването. Относителната грешка се изчислява по следната формула:
Където ∆Q е абсолютната грешка; Q0е реалната (действителната) стойност на измерената величина. Относителната грешка се изразява като процент.
Намалена грешкае стойността, изчислена като отношение на стойността на абсолютната грешка към нормализиращата стойност.
Нормализиращата стойност се определя, както следва:
За средствата за измерване, за които е одобрена номинална стойност, тази номинална стойност се приема като нормализираща стойност;
· за средства за измерване, при които нулевата стойност се намира на ръба на скалата на измерване или извън скалата, нормализиращата стойност се приема равна на крайната стойност от диапазона на измерване. Изключение правят измервателните уреди със значително неравномерна скала на измерване;
· за измервателни уреди, в които нулевата маркировка се намира в обхвата на измерване, нормализиращата стойност се приема равна на сумата от крайните числени стойности на обхвата на измерване;
За измервателни уреди (измервателни уреди) с неравномерна скала нормализиращата стойност се приема равна на цялата дължина на измервателната скала или дължината на тази част от нея, която съответства на обхвата на измерване. След това абсолютната грешка се изразява в единици за дължина.
Грешката при измерване включва инструментална грешка, методологична грешка и грешка при четене. Освен това грешката при четене възниква поради неточността при определяне на фракциите на делене на скалата за измерване.
Инструментална грешка- това е грешката, възникваща поради грешки, допуснати в производствения процес на функционалните части на уредите за измерване на грешки.
Методическа грешкае грешка поради следните причини:
· неточност при изграждане на модел на физическия процес, върху който се основава измервателният уред;
Неправилно използване на измервателни уреди.
Субективна грешка- това е грешка, произтичаща от ниската степен на квалификация на оператора на измервателния уред, както и поради грешката на зрителните органи на човека, т.е човешкият фактор е причина за субективната грешка.
Грешките във взаимодействието на промените във времето и входната стойност се разделят на статични и динамични грешки.
Статична грешка- това е грешката, която възниква в процеса на измерване на постоянна (не променяща се във времето) стойност.
Динамична грешка- това е грешка, числената стойност на която се изчислява като разликата между грешката, която възниква при измерване на непостоянна (променлива във времето) величина, и статична грешка (грешката в стойността на измерената величина при определен момент от време).
Според характера на зависимостта на грешката от въздействащите величини грешките се делят на основни и допълнителни.
Основна грешкае грешката, получена при нормални условия на работа на измервателния уред (при нормални стойности на влияещите величини).
Допълнителна грешка- това е грешката, която възниква, когато стойностите на влияещите величини не съответстват на техните нормални стойности или ако влияещата величина излиза извън границите на зоната на нормалните стойности.
Нормални условияса условията, при които всички стойности на влияещите величини са нормални или не излизат извън границите на диапазона на нормалните стойности.
Условията на труд- това са условия, при които изменението на въздействащите величини има по-широк диапазон (стойностите на въздействащите не излизат извън границите на работния диапазон от стойности).
Работен обхват на стойностите на въздействащото количествое диапазонът от стойности, в който се нормализират стойностите на допълнителната грешка.
Според характера на зависимостта на грешката от входната стойност грешките се разделят на адитивни и мултипликативни.
Допълнителна грешка- това е грешката, която възниква поради сумирането на числови стойности и не зависи от стойността на измереното количество, взето по модул (абсолютно).
Мултипликативна грешка- това е грешка, която се променя заедно с промяната в стойностите на измерваното количество.
Трябва да се отбележи, че стойността на абсолютната адитивна грешка не е свързана със стойността на измерваната величина и чувствителността на измервателния уред. Абсолютните адитивни грешки са непроменени в целия диапазон на измерване.
Стойността на абсолютната адитивна грешка определя минималната стойност на величината, която може да бъде измерена от измервателния уред.
Стойностите на мултипликативните грешки се променят пропорционално на промените в стойностите на измереното количество. Стойностите на мултипликативните грешки също са пропорционални на чувствителността на измервателния уред.Множителната грешка възниква поради влиянието на влияещите величини върху параметричните характеристики на елементите на уреда.
Грешките, които могат да възникнат по време на процеса на измерване, се класифицират според естеството на тяхното възникване. Разпределете:
систематични грешки;
случайни грешки.
Груби грешки и пропуски също могат да се появят в процеса на измерване.
Систематична грешка- това е неразделна част от цялата грешка на резултата от измерването, която не се променя или се променя естествено при многократни измервания на същата стойност. Обикновено систематичната грешка се опитва да бъде елиминирана с възможни средства (например чрез използване на методи за измерване, които намаляват вероятността от нейното възникване), но ако системната грешка не може да бъде изключена, тогава тя се изчислява преди началото на измерванията и подходящо се правят корекции на резултата от измерването. В процеса на нормализиране на системната грешка се определят границите на нейните допустими стойности. Систематичната грешка определя правилността на измерванията на средствата за измерване (метрологично свойство). Систематичните грешки в някои случаи могат да бъдат определени експериментално. След това резултатът от измерването може да бъде прецизиран чрез въвеждане на корекция.
Методите за елиминиране на систематични грешки са разделени на четири вида:
отстраняване на причините и източниците на грешки преди началото на измерванията;
· Отстраняване на грешки в процеса на вече започнато измерване чрез методи на заместване, компенсиране на грешки в знака, опозиции, симетрични наблюдения;
Корекция на резултатите от измерването чрез корекция (отстраняване на грешки чрез изчисления);
Определяне на границите на системната грешка в случай, че тя не може да бъде отстранена.
Отстраняване на причините и източниците на грешки преди началото на измерванията. Този метод е най-добрият вариант, тъй като използването му опростява по-нататъшния ход на измерванията (няма нужда да се отстраняват грешки в процеса на вече започнало измерване или да се коригира полученият резултат).
За отстраняване на систематични грешки в процеса на вече започнало измерване се използват различни методи.
Метод на изменениесе основава на познаване на систематичната грешка и текущите модели на нейното изменение. При използване на този метод резултатът от измерването, получен със систематични грешки, подлежи на корекции, равни по големина на тези грешки, но противоположни по знак.
метод на заместванесе състои в това, че измерената стойност се заменя с мярка, поставена в същите условия, при които се намира обектът на измерване. Методът на заместване се използва при измерване на следните електрически параметри: съпротивление, капацитет и индуктивност.
Метод за компенсиране на грешката на знакасе състои в това, че измерванията се извършват два пъти по такъв начин, че грешката, неизвестна по големина, се включва в резултатите от измерването с обратен знак.
Контрастен методподобно на компенсация, базирана на знаци. Този метод се състои в това, че измерванията се извършват два пъти по такъв начин, че източникът на грешка при първото измерване има обратен ефект върху резултата от второто измерване.
случайна грешка- това е компонент на грешката на резултата от измерването, който се променя произволно, неравномерно при многократни измервания на една и съща стойност. Появата на случайна грешка не може да бъде предвидена и предвидена. Случайната грешка не може да бъде напълно елиминирана; тя винаги до известна степен изкривява крайните резултати от измерването. Но можете да направите резултата от измерването по-точен, като правите многократни измервания. Причината за случайна грешка може да бъде например случайна промяна на външни фактори, влияещи върху процеса на измерване. Случайна грешка при множество измервания с достатъчно висока степен на точност води до разсейване на резултатите.
Пропуски и гафовеса грешки, които са много по-големи от систематичните и случайни грешки, очаквани при дадените условия на измерване. Недостатъци и груби грешки могат да се появят поради груби грешки в процеса на измерване, техническа неизправност на измервателния уред и неочаквани промени във външните условия.
Нека някаква случайна променлива аизмерено нпъти при същите условия. Резултатите от измерването дадоха набор нразлични числа
Абсолютна грешка- размерна стойност. Между нстойностите на абсолютните грешки задължително отговарят както на положителни, така и на отрицателни.
За най-вероятната стойност на количеството аобикновено вземат средно аритметичнозначението на резултатите от измерването
.
Колкото по-голям е броят на измерванията, толкова по-близо е средната стойност до истинската стойност.
Абсолютна грешкааз
.
Относителна грешкаазтова измерение се нарича количество
Относителната грешка е безразмерна величина. Обикновено относителната грешка се изразява като процент за това e iумножете по 100%. Стойността на относителната грешка характеризира точността на измерване.
Средна абсолютна грешкасе определя така:
.
Подчертаваме необходимостта от сумиране на абсолютните стойности (модули) на величините D и аз .В противен случай ще се получи идентичен нулев резултат.
Средна относителна грешкасе нарича количеството
.
За голям брой измервания.
Относителната грешка може да се разглежда като стойността на грешката за единица от измереното количество.
Точността на измерванията се оценява въз основа на сравнение на грешките на резултатите от измерванията. Следователно грешките на измерването се изразяват в такава форма, че за да се оцени точността, би било достатъчно да се сравнят само грешките на резултатите, без да се сравняват размерите на измерените обекти или да се знаят тези размери много приблизително. От практиката е известно, че абсолютната грешка при измерване на ъгъла не зависи от стойността на ъгъла, а абсолютната грешка при измерване на дължината зависи от стойността на дължината. Колкото по-голяма е стойността на дължината, толкова по-голяма е абсолютната грешка за този метод и условията на измерване. Следователно според абсолютната грешка на резултата е възможно да се прецени точността на измерването на ъгъла, но е невъзможно да се прецени точността на измерването на дължината. Изразяването на грешката в относителна форма позволява да се сравни в определени случаи точността на ъгловите и линейните измервания.
Основни понятия на теорията на вероятностите. Случайна грешка.
Случайна грешка наречен компонент на грешката на измерване, който се променя произволно при многократни измервания на едно и също количество.
Когато се извършват многократни измервания на едно и също постоянно, непроменливо количество с еднаква грижа и при едни и същи условия, ние получаваме резултати от измерването - някои от тях се различават един от друг, а някои от тях съвпадат. Такива несъответствия в резултатите от измерванията показват наличието на случайни компоненти на грешката в тях.
Случайната грешка възниква от едновременното действие на много източници, всеки от които сам по себе си има незабележим ефект върху резултата от измерването, но общият ефект на всички източници може да бъде доста силен.
Случайните грешки са неизбежна последица от всяко измерване и се дължат на:
а) неточни показания на скалата на инструменти и инструменти;
б) неидентични условия за повторни измервания;
в) случайни промени във външните условия (температура, налягане, силово поле и др.), които не могат да бъдат контролирани;
г) всички други влияния върху измерванията, чиито причини са неизвестни за нас. Големината на случайната грешка може да бъде сведена до минимум чрез многократно повторение на експеримента и подходяща математическа обработка на резултатите.
Случайна грешка може да приеме различни абсолютни стойности, които не могат да бъдат предвидени за даден акт на измерване. Тази грешка може еднакво да бъде както положителна, така и отрицателна. В експеримента винаги присъстват случайни грешки. При липса на систематични грешки, те причиняват разсейване на повтарящите се измервания около истинската стойност.
Да приемем, че с помощта на хронометър измерваме периода на трептене на махалото и измерването се повтаря многократно. Грешки при стартиране и спиране на хронометъра, грешка в стойността на еталонната стойност, малко неравномерно движение на махалото - всичко това причинява разсейване в резултатите от многократните измервания и следователно може да се класифицира като случайни грешки.
Ако няма други грешки, тогава някои резултати ще бъдат донякъде надценени, докато други ще бъдат леко подценени. Но ако в допълнение към това часовникът изостава, тогава всички резултати ще бъдат подценени. Това вече е системна грешка.
Някои фактори могат да причинят както систематични, така и случайни грешки едновременно. Така че, като включваме и изключваме хронометъра, можем да създадем малък неравномерен спред в моментите на стартиране и спиране на часовника спрямо движението на махалото и по този начин да въведем случайна грешка. Но ако освен това всеки път, когато бързаме да включим хронометъра и закъсняваме с изключването му, това ще доведе до системна грешка.
Случайните грешки се дължат на грешка на паралакса при отчитане на деленията на скалата на инструмента, разклащане на основата на сградата, влияние на леко движение на въздуха и др.
Въпреки че е невъзможно да се изключат случайни грешки на отделните измервания, математическата теория на случайните явления ни позволява да намалим влиянието на тези грешки върху крайния резултат от измерването. По-долу ще бъде показано, че за това е необходимо да се направят не едно, а няколко измервания, като колкото по-малка стойност на грешката искаме да получим, толкова повече измервания трябва да бъдат направени.
Поради факта, че възникването на случайни грешки е неизбежно и неизбежно, основната задача на всеки измервателен процес е да сведе грешките до минимум.
Теорията за грешките се основава на две основни допускания, потвърдени от опита:
1. При голям брой измервания често се срещат случайни грешки със същата величина, но с различен знак, т.е. грешки в посока на увеличаване и намаляване на резултата.
2. Големите абсолютни грешки са по-рядко срещани от малките, така че вероятността за грешка намалява с увеличаване на нейната стойност.
Поведението на случайните величини се описва от статистически закономерности, които са предмет на теорията на вероятностите. Статистическа дефиниция на вероятността w iразработки азе отношението
където н- общ брой експерименти, n i- броя на експериментите, в които събитието азсе случи. В този случай общият брой на експериментите трябва да бъде много голям ( н®¥). При голям брой измервания случайните грешки се подчиняват на нормално разпределение (разпределение на Гаус), основните характеристики на което са следните:
1. Колкото по-голямо е отклонението на стойността на измерената стойност от истинската стойност, толкова по-малка е вероятността за такъв резултат.
2. Еднакво вероятни са отклонения и в двете посоки от истинската стойност.
От горните предположения следва, че за да се намали влиянието на случайните грешки, е необходимо това количество да се измери няколко пъти. Да предположим, че измерваме някаква стойност x. Нека произведени низмервания: x 1, x 2, ... x n- по същия метод и със същата грижа. Може да се очаква, че броят днполучени резултати, които се намират в доста тесен интервал от хпреди x + dx, трябва да бъде пропорционално на:
Стойността на взетия интервал dx;
Общ брой измервания н.
Вероятност dw(х), че някаква стойност хлежи в интервала от хпреди x+dx,определени по следния начин :
(с броя на измерванията н ®¥).
функция f(х) се нарича функция на разпределение или плътност на вероятността.
Като постулат на теорията на грешките се приема, че резултатите от преките измервания и техните случайни грешки, с голям брой от тях, се подчиняват на закона за нормалното разпределение.
Функцията на разпределение на непрекъсната случайна променлива, намерена от Гаус хима следната форма:
, където mis -
параметри на разпространение .
Параметърът m на нормалното разпределение е равен на средната стойност á х– случайна величина, която за произволна известна функция на разпределение се определя от интеграла
.
По този начин, стойността m е най-вероятната стойност на измерената стойност x, т.е. нейната най-добра оценка.
Параметърът s 2 на нормалното разпределение е равен на дисперсията D на случайната променлива, която обикновено се определя от следния интеграл
.
Корен квадратен от дисперсията се нарича стандартно отклонение на случайната променлива.
Средното отклонение (грешка) на случайната променлива ásñ се определя с помощта на функцията на разпределение, както следва
Средната грешка на измерване ásñ, изчислена от функцията на разпределение на Гаус, е свързана със стойността на стандартното отклонение s, както следва:
< с > = 0,8 s.
Параметрите s и m са свързани по следния начин:
.
Този израз ви позволява да намерите стандартното отклонение s, ако има нормална крива на разпределение.
Графиката на функцията на Гаус е показана на фигурите. функция f(х) е симетричен по отношение на ординатата, начертана в точката x= m; преминава през максимума в точката x= m и има инфлексия в точките m ±s. По този начин дисперсията характеризира ширината на функцията на разпределение или показва колко широко са разпръснати стойностите на случайна променлива спрямо истинската й стойност. Колкото по-точни са измерванията, толкова по-близо до истинската стойност са резултатите от отделните измервания, т.е. стойността на s е по-малка. Фигура A показва функцията f(х) за три стойности s .
Площ на фигура, ограничена от крива f(х) и вертикални линии, начертани от точки х 1 и х 2 (фиг. B) , е числено равно на вероятността резултатът от измерването да попадне в интервала D х = х 1 -х 2, което се нарича ниво на доверие. Площ под цялата крива f(х) е равна на вероятността случайна променлива да попадне в интервала от 0 до ¥, т.е.
,
тъй като вероятността за определено събитие е равна на единица.
Използвайки нормалното разпределение, теорията на грешките поставя и решава два основни проблема. Първият е оценка на точността на измерванията. Вторият е оценка на точността на средноаритметичната стойност на резултатите от измерването.5. Доверителен интервал. Студентски коефициент.
Теорията на вероятностите ви позволява да определите размера на интервала, в който с известна вероятност wса резултатите от индивидуалните измервания. Тази вероятност се нарича ниво на уверености съответния интервал (<х>±D х)wНаречен доверителен интервал.Нивото на доверителност също е равно на относителния дял на резултатите, които попадат в доверителния интервал.
Ако броят на измерванията не достатъчно голям, тогава доверителната вероятност изразява съотношението на общия брой нтези измервания, при които измерената стойност е в рамките на доверителния интервал. Всяко ниво на увереност wсъответства на неговия доверителен интервал w 2 80%. Колкото по-широк е доверителният интервал, толкова по-вероятно е да получите резултат в рамките на този интервал. В теорията на вероятностите се установява количествена връзка между стойността на доверителния интервал, доверителната вероятност и броя на измерванията.
Ако изберем интервала, съответстващ на средната грешка като доверителен интервал, т.е. D а = AD аñ, тогава за достатъчно голям брой измервания съответства на доверителната вероятност w 60%. Тъй като броят на измерванията намалява, доверителната вероятност, съответстваща на такъв доверителен интервал (á аñ ± AD аñ) намалява.
По този начин, за да се оцени доверителният интервал на случайна променлива, може да се използва стойността на средната грешкаáD аñ .
За да се характеризира величината на случайна грешка, е необходимо да се зададат две числа, а именно величината на доверителния интервал и величината на вероятността за доверие . Посочването само на големината на грешката без съответната доверителна вероятност е до голяма степен безсмислено.
Ако средната грешка на измерване ásñ е известна, доверителният интервал, записан като (<х> ±asñ) w, определена с доверителна вероятност w= 0,57.
Ако стандартното отклонение s е известно разпределение на резултатите от измерването, посоченият интервал има формата (<х>± twс) w, където tw- коефициент, зависещ от стойността на доверителната вероятност и изчислен съгласно разпределението на Гаус.
Най-често използваните количества D хса показани в таблица 1.
Страница 1
Абсолютната грешка на определяне не надвишава 0,01 μg фосфор. Този метод беше използван от нас за определяне на фосфор в азотна, оцетна, солна и сярна киселини и ацетон с тяхното предварително изпаряване.
Абсолютната грешка на определяне е 0 2 - 0 3 mg.
Абсолютната грешка при определяне на цинк в цинк-манганови ферити по предложения метод не надвишава 0,2 % отн.
Абсолютната грешка при определяне на въглеводородите С2 - С4, когато съдържанието им в газа е 0 2 - 50%, е съответно 0 01 - 0 2%.
Тук Ay е абсолютната грешка в дефиницията на r/, която е резултат от грешката Yes в дефиницията на a. Например относителната грешка на квадрата на число е два пъти по-голяма от грешката при определяне на самото число, а относителната грешка на числото под кубичния корен е само една трета от грешката при определяне на числото.
По-сложни съображения са необходими при избора на мярка за сравнение на абсолютните грешки при определяне на времето на началото на аварията TV - Ts, където Tv и Ts са съответно времето на възстановената и реалната авария. По аналогия тук можем да използваме средното време за достигане на пика на замърсяване от реално заустване до онези точки за мониторинг, които са регистрирали авария по време на преминаване на замърсяване Tsm. Изчисляването на надеждността на определяне на мощността на авариите се основава на изчисляването на относителната грешка MV - Ms / Mv, където Mv и Ms са съответно възстановената и реалната мощност. И накрая, относителната грешка при определяне на продължителността на аварийно изпускане се характеризира със стойността rv - rs / re, където rv и rs са съответно реконструираната и реалната продължителност на авариите.
По-сложни съображения са необходими при избора на мярка за сравнение на абсолютните грешки при определяне на времето на началото на аварията TV - Ts, където Tv и Ts са съответно времето на възстановената и реалната авария. По аналогия тук можем да използваме средното време за достигане на пика на замърсяване от реално заустване до онези точки за мониторинг, които са регистрирали авария по време на преминаване на замърсяване Tsm. Изчисляването на надеждността на определяне на мощността на авариите се основава на изчисляването на относителната грешка Mv - Ms / Ms, където Mv и Ms са съответно възстановената и реалната мощност. И накрая, относителната грешка при определяне на продължителността на аварийно изпускане се характеризира със стойността rv - rs / rs, където rv и rs са съответно реконструираната и реалната продължителност на авариите.
При същата абсолютна грешка на измерване ay, абсолютната грешка при определяне на количеството на брадвата намалява с увеличаване на чувствителността на метода.
Тъй като грешките се основават не на случайни, а на систематични грешки, крайната абсолютна грешка при определяне на вендузи може да достигне 10% от теоретично необходимото количество въздух. Само при неприемливо разхлабени пещи (A 0 25) общоприетият метод дава повече или по-малко задоволителни резултати. Описаното е добре известно на регулаторите, които при намаляване на въздушния баланс на плътните пещи често получават отрицателни стойности на засмукване.
Анализът на грешката при определяне на стойността на pet показа, че тя се състои от 4 компонента: абсолютната грешка при определяне на масата на матрицата, капацитета на пробата, претеглянето и относителната грешка, дължаща се на колебания в масата на пробата около равновесната стойност.
При спазване на всички правила за подбор, преброяване на обемите и анализ на газове с помощта на газов анализатор GKhP-3, общата абсолютна грешка при определяне на съдържанието на CO2 и O2 не трябва да надвишава 0 2 - 0 4% от истинската им стойност.
От табл. 1 - 3 можем да заключим, че данните, които използваме за изходните вещества, взети от различни източници, имат относително малки разлики, които се намират в рамките на абсолютните грешки при определяне на тези количества.
Случайните грешки могат да бъдат абсолютни или относителни. Случайната грешка, която има размерността на измерената стойност, се нарича абсолютна грешка на определяне. Средната аритметична стойност на абсолютните грешки на всички отделни измервания се нарича абсолютна грешка на метода за анализ.
Стойността на допустимото отклонение или доверителния интервал не се задава произволно, а се изчислява от конкретни данни от измерване и характеристиките на използваните инструменти. Отклонението на резултата от отделно измерване от истинската стойност на дадено количество се нарича абсолютна грешка на определяне или просто грешка. Съотношението на абсолютната грешка към измерената стойност се нарича относителна грешка, която обикновено се изразява в проценти. Познаването на грешката на отделно измерване няма независимо значение и при всеки сериозен експеримент трябва да се извършат няколко паралелни измервания, от които се изчислява грешката на експеримента. Грешките в измерването, в зависимост от причините за възникването им, се делят на три вида.
Практически е невъзможно да се определи истинската стойност на една физическа величина абсолютно точно, т.к всяка измервателна операция е свързана с редица грешки или, в противен случай, грешки. Причините за грешките могат да бъдат много различни. Появата им може да се дължи на неточности в производството и настройката на измервателния уред, поради физическите характеристики на обекта, който се изследва (например при измерване на диаметъра на проводник с нехомогенна дебелина резултатът произволно зависи от избора на зоната на измерване), случайни причини и др.
Задачата на експериментатора е да намали тяхното влияние върху резултата, както и да посочи колко близо е резултатът до истинския.
Има концепции за абсолютна и относителна грешка.
Под абсолютна грешкаизмерването ще разбере разликата между резултата от измерването и истинската стойност на измереното количество:
∆x i =x i -x и (2)
където ∆x i е абсолютната грешка на i-тото измерване, x i _ е резултатът от i-тото измерване, x i е истинската стойност на измерената стойност.
Резултатът от всяко физическо измерване обикновено се записва като:
където е средната аритметична стойност на измереното количество, най-близка до истинската стойност (валидността на x и ≈ ще бъде показана по-долу), е абсолютната грешка на измерване.
Равенството (3) трябва да се разбира по такъв начин, че истинската стойност на измерената стойност се намира в интервала [ - , + ].
Абсолютната грешка е размерна стойност, тя има същото измерение като измерената стойност.
Абсолютната грешка не характеризира напълно точността на направените измервания. Наистина, ако измерваме със същата абсолютна грешка от ± 1 mm сегменти с дължина 1 m и 5 mm, точността на измерването ще бъде несравнима. Следователно наред с абсолютната грешка на измерване се изчислява и относителната грешка.
Относителна грешкаизмерванията е отношението на абсолютната грешка към самата измерена стойност:
Относителната грешка е безразмерна величина. Изразява се като процент:
В горния пример относителните грешки са 0,1% и 20%. Те се различават значително един от друг, въпреки че абсолютните стойности са еднакви. Относителната грешка дава информация за точността
Грешки при измерване
Според характера на проявата и причините за възникването на грешката тя може условно да се раздели на следните класове: инструментална, систематична, случайна и пропуски (груби грешки).
Пропуските се дължат или на неизправност на устройството, или на нарушение на методологията или условията на експеримента, или са от субективен характер. На практика те се определят като резултати, които се различават рязко от останалите. За да се премахне появата им, е необходимо да се спазва точността и задълбочеността при работа с устройства. Резултати, съдържащи пропуски, трябва да бъдат изключени от разглеждане (отхвърлени).
инструментални грешки. Ако измервателният уред е изправен и настроен, тогава измерванията с него могат да се извършват с ограничена точност, определена от вида на уреда. Приема се, че инструменталната грешка на стрелковия уред се счита за равна на половината от най-малкото деление на неговата скала. При устройства с цифрово отчитане грешката на инструмента се приравнява към стойността на една най-малка цифра на скалата на инструмента.
Систематичните грешки са грешки, чиято величина и знак са постоянни за цялата поредица от измервания, извършени по един и същи метод и с едни и същи измервателни уреди.
При извършване на измервания е важно не само да се вземат предвид системните грешки, но също така е необходимо да се постигне тяхното елиминиране.
Системните грешки условно се разделят на четири групи:
1) грешки, чието естество е известно и тяхната величина може да се определи доста точно. Такава грешка е например промяна в измерената маса във въздуха, която зависи от температурата, влажността, атмосферното налягане и др.;
2) грешки, чието естество е известно, но величината на самата грешка е неизвестна. Такива грешки включват грешки, причинени от измервателното устройство: неизправност на самото устройство, несъответствие на скалата с нулева стойност, клас на точност на това устройство;
3) грешки, за чието съществуване може да не се подозира, но тяхната величина често може да бъде значителна. Такива грешки възникват най-често при сложни измервания. Прост пример за такава грешка е измерването на плътността на някаква проба, съдържаща кухина вътре;
4) грешки, дължащи се на характеристиките на самия обект на измерване. Например, когато се измерва електрическата проводимост на метал, от последния се взема парче тел. Грешки могат да възникнат, ако има някакъв дефект в материала - пукнатина, удебеляване на проводника или нееднородност, която променя съпротивлението му.
Случайните грешки са грешки, които се променят произволно по знак и големина при еднакви условия за повтарящи се измервания на едно и също количество.
Подобна информация.
Абсолютна грешка при измерваненарича стойността, определена от разликата между резултата от измерването хи истинската стойност на измереното количество х 0:
Δ х = |х - х 0 |.
Стойността δ, равна на отношението на абсолютната грешка на измерване към резултата от измерването, се нарича относителна грешка:
Пример 2.1.Приблизителната стойност на числото π е 3,14. Тогава неговата грешка е 0,00159. Абсолютната грешка може да се счита за равна на 0,0016, а относителната грешка е равна на 0,0016/3,14 = 0,00051 = 0,051%.
Значителни числа.Ако абсолютната грешка на стойността a не надвишава една единица от последната цифра на числото a, тогава се казва, че числото има всички знаци правилни. Трябва да се запишат приблизителни числа, като се запазят само правилните знаци. Ако например абсолютната грешка на числото 52400 е равна на 100, то това число трябва да се запише например като 524·10 2 или 0,524·10 5 . Можете да оцените грешката на приблизително число, като посочите колко истински значими цифри съдържа то. При броене на значещи цифри нулите от лявата страна на числото не се броят.
Например числото 0,0283 има три валидни значещи цифри, а 2,5400 има пет валидни значещи цифри.
Правила за закръгляване на числа. Ако приблизителното число съдържа допълнителни (или неправилни) знаци, то трябва да бъде закръглено. При закръгляване възниква допълнителна грешка, която не надвишава половината от единицата на последната значима цифра ( д) закръглено число. При закръгляване се запазват само правилните знаци; допълнителните знаци се изхвърлят и ако първата изхвърлена цифра е по-голяма или равна на д/2, тогава последната запаметена цифра се увеличава с единица.
Допълнителните цифри в целите числа се заменят с нули, а в десетичните дроби се изхвърлят (както и допълнителните нули). Например, ако грешката на измерване е 0,001 mm, тогава резултатът 1,07005 се закръгля до 1,070. Ако първата от модифицираните с нула и изхвърлени цифри е по-малка от 5, останалите цифри не се променят. Например, числото 148935 с точност на измерване 50 има закръгляване от 148900. Ако първата цифра, която трябва да бъде заменена с нули или изхвърлена, е 5 и е последвана от никакви цифри или нули, тогава закръгляването се извършва до най-близката четна номер. Например числото 123,50 се закръгля нагоре до 124. Ако първата цифра, която трябва да бъде заменена с нули или изхвърлена, е по-голяма от 5 или равна на 5, но е последвана от значима цифра, тогава последната оставаща цифра се увеличава с единица. Например числото 6783,6 се закръгля до 6784.
Пример 2.2. При закръгляване на числото 1284 до 1300 абсолютната грешка е 1300 - 1284 = 16, а при закръгляване до 1280 абсолютната грешка е 1280 - 1284 = 4.
Пример 2.3. При закръгляване на числото 197 до 200 абсолютната грешка е 200 - 197 = 3. Относителната грешка е 3/197 ≈ 0,01523 или приблизително 3/200 ≈ 1,5%.
Пример 2.4. Продавачът претегля динята на кантар. В комплекта тежести най-малката е 50 г. Претеглянето даде 3600 г. Това число е приблизително. Точното тегло на динята не е известно. Но абсолютната грешка не надвишава 50 г. Относителната грешка не надвишава 50/3600 = 1,4%.
Грешки при решаването на проблема на настолен компютър
Три вида грешки обикновено се считат за основни източници на грешки. Това са така наречените грешки при отрязване, грешки при закръгляване и грешки при разпространение. Например, когато се използват итеративни методи за намиране на корените на нелинейни уравнения, резултатите са приблизителни, за разлика от директните методи, които дават точно решение.
Грешки при отрязване
Този тип грешка е свързана с грешката, присъща на самия проблем. Може да се дължи на неточност в дефинирането на първоначалните данни. Например, ако в условието на задачата са посочени някакви размери, то на практика за реални обекти тези размери винаги са известни с известна точност. Същото важи и за всички други физически параметри. Това включва и неточността на изчислителните формули и включените в тях числови коефициенти.
Грешки при разпространение
Този тип грешки са свързани с използването на един или друг метод за решаване на проблема. В хода на изчисленията неизбежно възниква натрупване или, с други думи, разпространение на грешката. В допълнение към факта, че самите оригинални данни не са точни, възниква нова грешка, когато те се умножават, събират и т.н. Натрупването на грешката зависи от естеството и броя на аритметичните операции, използвани при изчислението.
Грешки при закръгляване
Този тип грешка се дължи на факта, че истинската стойност на числото не винаги се съхранява точно от компютъра. Когато реално число се съхранява в паметта на компютъра, то се записва като мантиса и експонента почти по същия начин, както числото се показва на калкулатор.
