Разширение в ред на Тейлър на cos. Разгъване на функции в степенни редове

16.1. Развиване на елементарни функции в редове на Тейлър и

Маклорен

Нека покажем, че ако произволна функция е дефинирана върху множество
, в близост до пункта
има много производни и е сумата от степенен ред:

тогава можете да намерите коефициентите на тази серия.

Нека заместим в степенен ред
. Тогава
.

Нека намерим първата производна на функцията
:

При
:
.

За втората производна получаваме:

При
:
.

Продължаване на тази процедура нслед като получим:
.

Така получихме степенен ред от формата:

,

което се нарича до Тейлърза функция
в близост до точката
.

Специален случай на серията Тейлър е Серия Maclaurinпри
:

Останалата част от серията на Тейлър (Маклорен) се получава чрез изхвърляне на основната серия нпърви членове и се означава като
. След това функцията
може да се запише като сума нпървите членове на поредицата
и остатъка
:,

.

Остатъкът обикновено е
изразени в различни формули.

Един от тях е във форма на Лагранж:

, Където
.
.

Имайте предвид, че на практика серията Maclaurin се използва по-често. По този начин, за да напишем функцията
под формата на сума от степенни редове е необходимо:

1) намерете коефициентите на серията Maclaurin (Taylor);

2) намерете областта на конвергенция на получената степенна серия;

3) докажете, че този ред сходен към функцията
.

Теорема1 (необходимо и достатъчно условие за сходимост на реда на Маклорен). Нека радиусът на сходимост на серията
. За да се сближи този ред в интервала
да функционира
е необходимо и достатъчно, за да е изпълнено условието:
в посочения интервал.

Теорема 2.Ако производни от произволен ред на функцията
в някакъв интервал
ограничени по абсолютна стойност до същото число М, това е
, то в този интервал функцията
може да се разшири в серия Maclaurin.

Пример1 . Разгънете в серия на Тейлър около точката
функция.

Решение.

.

,;

,
;

,
;

,

.......................................................................................................................................

,
;

Област на конвергенция
.

Пример2 . Разширяване на функция в серия на Тейлър около точка
.

Решение:

Намерете стойността на функцията и нейните производни при
.

,
;

,
;

...........……………………………

,
.

Нека поставим тези стойности в ред. Получаваме:

или
.

Нека намерим областта на сходимост на тази серия. Според теста на д'Аламбер редица се събира, ако

.

Следователно, за всяка тази граница е по-малка от 1 и следователно диапазонът на сходимост на серията ще бъде:
.

Нека разгледаме няколко примера за разширение в редица на Маклорен на основни елементарни функции. Спомнете си, че серията Maclaurin:

.

се сближава на интервала
да функционира
.

Имайте предвид, че за разширяване на функция в серия е необходимо:

а) намерете коефициентите на реда на Maclaurin за тази функция;

б) изчисляване на радиуса на конвергенция за получената серия;

в) докажете, че полученият ред сходен към функцията
.

Пример 3.Помислете за функцията
.

Решение.

Нека изчислим стойността на функцията и нейните производни при
.

Тогава числените коефициенти на редицата имат формата:

за всеки н.Нека заместим намерените коефициенти в реда на Maclaurin и получаваме:

Нека намерим радиуса на сходимост на получената серия, а именно:

.

Следователно редът се събира на интервала
.

Този ред се сближава към функцията за всякакви стойности , защото на всеки интервал
функция и нейните производни на абсолютна стойност са ограничени на брой .

Пример4 . Помислете за функцията
.

Решение.

:

Лесно се вижда, че производните от четен ред
, а производните са от нечетен ред. Нека заместим намерените коефициенти в реда на Maclaurin и получим разширението:

Нека намерим интервала на сходимост на този ред. Според знака на д'Аламбер:

за всеки . Следователно редът се събира на интервала
.

Този ред се сближава към функцията
, защото всички негови производни са ограничени до единица.

Пример5 .
.

Решение.

Нека намерим стойността на функцията и нейните производни при
:

По този начин коефициентите на тази серия:
И
, следователно:

Подобно на предишния ред, зоната на конвергенция
. Редът се събира към функцията
, защото всички негови производни са ограничени до единица.

Моля, имайте предвид, че функцията
разширение на нечетни и редове в нечетни степени, функция
– четно и разширяване в редица в четни степени.

Пример6 . Биномиална серия:
.

Решение.

Нека намерим стойността на функцията и нейните производни при
:

От това се вижда, че:

Нека заместим тези стойности на коефициента в серията Maclaurin и да получим разширяването на тази функция в степенна серия:

Нека намерим радиуса на сходимост на тази серия:

Следователно редът се събира на интервала
. В граничните точки при
И
една серия може или не може да се сближи в зависимост от експонентата
.

Изследваният ред се събира на интервала
да функционира
, тоест сборът от серията
при
.

Пример7 . Нека разширим функцията в серията Maclaurin
.

Решение.

За да разширим тази функция в серия, използваме биномиалната серия при
. Получаваме:

Въз основа на свойството на степенните редове (степенен ред може да бъде интегриран в областта на неговата конвергенция), намираме интеграла на лявата и дясната страна на този ред:

Нека намерим областта на конвергенция на тази серия:
,

т.е. зоната на сближаване на тази серия е интервалът
. Нека определим сходимостта на редицата в краищата на интервала. При

. Тази серия е хармонична серия, тоест тя се разминава. При
получаваме числова серия с общ член
.

Редът се сближава според критерия на Лайбниц. По този начин областта на конвергенция на тази серия е интервалът
.

16.2. Приложение на степенни редове при приближени изчисления

При приблизителните изчисления степенните редове играят изключително важна роля. С тяхна помощ са съставени таблици на тригонометрични функции, таблици на логаритми, таблици на стойности на други функции, които се използват в различни области на знанието, например в теорията на вероятностите и математическата статистика. В допълнение, разширяването на функциите в степенен ред е полезно за тяхното теоретично изследване. Основният проблем при използване на степенни редове в приблизителни изчисления е проблемът с оценката на грешката при заместване на сумата на серия със сумата на първата нчленове.

Нека разгледаме два случая:

функцията се разширява в серия с редуващи се знаци;

функцията се разширява в серия с постоянен знак.

Изчисление с помощта на редуващи се серии

Нека функцията
разширена в променлива степенна серия. След това при изчисляване на тази функция за конкретна стойност получаваме числова серия, към която можем да приложим критерия на Лайбниц. В съответствие с този критерий, ако сумата на една серия се замени със сумата на нейната първа нтермини, тогава абсолютната грешка не надвишава първия член от остатъка от тази серия, тоест:
.

Пример8 . Изчисли
с точност до 0,0001.

Решение.

Ще използваме серията Maclaurin за
, замествайки стойността на ъгъла в радиани:

Ако сравним първия и втория член на реда с дадена точност, тогава: .

Трети срок на разширение:

по-малка от определената точност на изчисление. Следователно, за да се изчисли
достатъчно е да оставите два термина от поредицата, т.е

.

По този начин
.

Пример9 . Изчисли
с точност до 0,001.

Решение.

Ще използваме формулата на биномен ред. За да направите това, нека напишем
като:
.

В този израз
,

Нека сравним всеки от членовете на серията с посочената точност. Това е ясно
. Следователно, за да се изчисли
достатъчно е да оставите три термина от поредицата.

или
.

Изчисление с използване на положителни серии

Пример10 . Изчислете числото с точност до 0,001.

Решение.

В ред за функция
да заместим
. Получаваме:

Нека оценим грешката, която възниква при замяна на сумата на редица със сумата на първата членове. Нека запишем очевидното неравенство:

това е 2<<3. Используем формулу остаточного члена ряда в форме Лагранжа:
,
.

Според проблема трябва да намерите нтака че е в сила следното неравенство:
или
.

Лесно е да проверите кога н= 6:
.

следователно
.

Пример11 . Изчисли
с точност до 0,0001.

Решение.

Имайте предвид, че за изчисляване на логаритми може да се използва серия за функцията
, но този ред се сближава много бавно и за постигане на дадената точност ще е необходимо да се вземат 9999 члена! Следователно, за изчисляване на логаритми, като правило, се използва серия за функцията
, който се събира на интервала
.

Нека изчислим
използвайки тази серия. Позволявам
, Тогава .

следователно
,

За да се изчисли
с определена точност вземете сумата от първите четири члена:
.

Останалата част от поредицата
нека го изхвърлим. Нека оценим грешката. Очевидно е, че

или
.

По този начин в серията, която беше използвана за изчислението, беше достатъчно да се вземат само първите четири члена вместо 9999 в серията за функцията
.

Въпроси за самодиагностика

1. Какво е серия на Тейлър?

2. Каква форма имаше серията Maclaurin?

3. Формулирайте теорема за разлагането на функция в ред на Тейлър.

4. Запишете разширението на серията Maclaurin на основните функции.

5. Посочете областите на сходимост на разглежданите редове.

6. Как да оценим грешката в приблизителните изчисления с помощта на степенни редове?

Ако функцията f(x) има производни от всички порядъци на определен интервал, съдържащ точка a, тогава към нея може да се приложи формулата на Тейлър:
,
Където r n– така нареченият остатъчен член или остатък от серията, той може да бъде оценен с помощта на формулата на Лагранж:
, където числото x е между x и a.

f(x)=

в точка x 0 = Брой елементи на реда 3 4 5 6 7

Използвайте разширението на елементарни функции e x , cos(x), sin(x), ln(1+x), (1+x) m

Правила за въвеждане на функции:

Ако за някаква стойност х r n→0 при н→∞, тогава в границата формулата на Тейлър става сходяща за тази стойност Серия Тейлър:
,
По този начин функцията f(x) може да бъде разширена в серия на Тейлър в разглежданата точка x, ако:
1) има производни от всички поръчки;
2) построеният ред се събира в тази точка.

Когато a = 0, получаваме серия, наречена близо до Маклорен:
,
Разширение на най-простите (елементарни) функции в серията Maclaurin:
Експоненциални функции
, R=∞
Тригонометрични функции
, R=∞
, R=∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
Функцията actgx не се разширява по степени на x, защото ctg0=∞
Хиперболични функции


Логаритмични функции
, -1
Биномни редове
.

Пример №1. Разгънете функцията в степенен ред f(x)= 2х.
Решение. Нека намерим стойностите на функцията и нейните производни при х=0
f(x) = 2х, е( 0) = 2 0 =1;
f"(x) = 2х ln2, е"( 0) = 2 0 ln2= ln2;
f""(x) = 2хв 2 2, е""( 0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;
…
f(n)(x) = 2хвътре н 2, f(n)( 0) = 2 0 вътре н 2=в н 2.
Замествайки получените стойности на производните във формулата на серията Тейлър, получаваме:

Радиусът на конвергенция на този ред е равен на безкрайност, следователно това разширение е валидно за -∞<х<+∞.

Пример №2. Напишете реда на Тейлър в степени ( х+4) за функция f(x)=д х.
Решение. Намиране на производните на функцията e хи техните стойности в точката х=-4.
f(x)= д х, е(-4) = д -4 ;
f"(x)= д х, е"(-4) = д -4 ;
f""(x)= д х, е""(-4) = д -4 ;
…
f(n)(x)= д х, f(n)( -4) = д -4 .
Следователно търсеният ред на Тейлър на функцията има формата:

Това разширение е валидно и за -∞<х<+∞.

Пример №3. Разширяване на функция f(x)=вн хв серия от мощности ( Х- 1),
(т.е. в серията на Тейлър в близост до точката х=1).
Решение. Намерете производните на тази функция.
f(x)=lnx , , , ,

f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f (n) =(- 1) n-1 (n-1)!
Замествайки тези стойности във формулата, получаваме желаната серия на Тейлър:

Използвайки теста на d'Alembert, можете да проверите, че редът се събира при ½x-1½<1 . Действительно,

Редът се събира, ако ½ Х- 1½<1, т.е. при 0<х<2. При х=2 получаваме редуваща се серия, която удовлетворява условията на критерия на Лайбниц. Когато x=0 функцията не е дефинирана. По този начин областта на конвергенция на реда на Тейлър е полуотвореният интервал (0; 2).

Пример №4. Разгънете функцията в степенен ред.
Решение. В разширението (1) заместваме x с -x 2, получаваме:
, -∞

Пример №5. Разширете функцията в серия Maclaurin.
Решение. Ние имаме
Използвайки формула (4), можем да запишем:

замествайки –x вместо x във формулата, получаваме:

От тук намираме: ln(1+x)-ln(1-x) = -
Отваряйки скобите, пренареждайки термините на поредицата и привеждайки подобни термини, получаваме
. Тази редица се събира в интервала (-1;1), тъй като се получава от две серии, всяка от които се събира в този интервал.

Коментирайте .
Формули (1)-(5) могат също да се използват за разширяване на съответните функции в редица на Тейлър, т.е. за разширяване на функции в положителни цели числа ( ха). За да направите това, е необходимо да извършите такива идентични трансформации на дадена функция, за да получите една от функциите (1)-(5), в която вместо хструва k( ха) m , където k е постоянно число, m е положително цяло число. Често е удобно да направите промяна на променлива T=хаи разширете получената функция по отношение на t в редицата на Маклорен.

Този метод се основава на теоремата за уникалността на разлагането на функция в степенен ред. Същността на тази теорема е, че в близост до една и съща точка не могат да се получат два различни степенни реда, които биха се сближили към една и съща функция, независимо как се извършва нейното разширение.

Пример № 5а. Разгънете функцията в редица на Маклорен и посочете областта на конвергенция.
Решение. Първо намираме 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , .
до елементарно:

Дробта 3/(1-3x) може да се разглежда като сбор от безкрайно намаляваща геометрична прогресия със знаменател 3x, ако |3x|< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд

с област на конвергенция |x|< 1/3.

Пример №6. Разгънете функцията в редица на Тейлър в близост до точката x = 3.
Решение. Този проблем може да бъде решен, както преди, като се използва дефиницията на серията Тейлър, за която трябва да намерим производните на функцията и техните стойности при х=3. Въпреки това ще бъде по-лесно да използвате съществуващото разширение (5):
=
Полученият ред се събира при или –3

Пример №7. Напишете реда на Тейлър по степени (x -1) на функцията ln(x+2) .
Решение.


Серията се събира при , или -2< x < 5.

Пример № 8. Разгънете функцията f(x)=sin(πx/4) в редица на Тейлър в близост до точката x =2.
Решение. Нека направим замяната t=x-2:

Използвайки разширение (3), в което заместваме π / 4 t на мястото на x, получаваме:

Полученият ред се събира към дадената функция при -∞< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞По този начин,
, (-∞

Приблизителни изчисления с помощта на степенни редове

Степеновите редове се използват широко в приблизителните изчисления. С тяхна помощ можете да изчислите стойностите на корени, тригонометрични функции, логаритми на числа и определени интеграли с определена точност. Сериите се използват и при интегриране на диференциални уравнения.
Помислете за разширяването на функция в степенен ред:

За да се изчисли приблизителната стойност на функция в дадена точка х, принадлежащи към областта на конвергенция на посочения ред, първите са оставени в неговото разширение нчленове ( н– краен брой), а останалите членове се изхвърлят:

За да се оцени грешката на получената приблизителна стойност, е необходимо да се оцени изхвърленият остатък rn (x) . За да направите това, използвайте следните техники:

• ако получената серия се редува, тогава се използва следното свойство: за редуваща се серия, която отговаря на условията на Лайбниц, остатъкът от серията по абсолютна стойност не надвишава първия изхвърлен член.
• ако дадена серия е с постоянен знак, тогава серията, съставена от изхвърлени членове, се сравнява с безкрайно намаляваща геометрична прогресия.
• в общия случай, за да оцените остатъка от реда на Тейлър, можете да използвате формулата на Лагранж: a х ).

Пример №1. Изчислете ln(3) с точност до 0,01.
Решение. Нека използваме разширението, където x=1/2 (вижте пример 5 в предишната тема):

Нека проверим дали можем да отхвърлим остатъка след първите три члена на разширението; за да направим това, ще го оценим, като използваме сумата от безкрайно намаляваща геометрична прогресия:

Така че можем да отхвърлим този остатък и да получим

Пример №2. Изчислете с точност до 0,0001.
Решение. Нека използваме биномната редица. Тъй като 5 3 е кубът на цяло число, най-близко до 130, препоръчително е числото 130 да се представи като 130 = 5 3 +5.



тъй като вече четвъртият член на получената редуваща се серия, удовлетворяваща критерия на Лайбниц, е по-малък от необходимата точност:
, така че той и условията след него могат да бъдат отхвърлени.
Много практически необходими определени или неправилни интеграли не могат да бъдат изчислени с помощта на формулата на Нютон-Лайбниц, тъй като нейното приложение е свързано с намирането на първоизводната, която често няма израз в елементарни функции. Също така се случва намирането на антипроизводно да е възможно, но е ненужно трудоемко. Въпреки това, ако функцията интегранд се разшири в степенен ред и границите на интегриране принадлежат към интервала на сходимост на този ред, тогава е възможно приблизително изчисление на интеграла с предварително определена точност.

Пример №3. Изчислете интеграла ∫ 0 1 4 sin (x) x с точност до 10 -5 .
Решение. Съответният неопределен интеграл не може да се изрази в елементарни функции, т.е. представлява „непостоянен интеграл“. Тук не може да се приложи формулата на Нютон-Лайбниц. Нека изчислим приблизително интеграла.
Разделяне на термин по термин на серията за грях хНа х, получаваме:

Интегрирайки този ред термин по член (това е възможно, тъй като границите на интегриране принадлежат на интервала на сходимост на този ред), получаваме:

Тъй като получената серия отговаря на условията на Лайбниц и е достатъчно да се вземе сумата от първите два члена, за да се получи желаната стойност с дадена точност.
Така намираме
.

Пример №4. Изчислете интеграла ∫ 0 1 4 e x 2 с точност до 0,001.
Решение.
. Нека проверим дали можем да отхвърлим остатъка след втория член на получената поредица.
0,0001<0.001. Следовательно, .

Разширяване на функция в серия Тейлър, Маклорен и Лоран на сайт за обучение на практически умения. Това серийно разширение на функция позволява на математиците да оценят приблизителната стойност на функцията в някакъв момент от нейната област на дефиниция. Много по-лесно е да се изчисли такава стойност на функцията в сравнение с използването на таблицата Bredis, която е толкова неуместна в ерата на компютърните технологии. Развиването на функция в серия на Тейлър означава да се изчислят коефициентите на линейните функции на тази серия и да се запише в правилната форма. Учениците бъркат тези две серии, като не разбират кое е общият случай и кое е частният случай на втория. Нека ви напомним веднъж завинаги, че серията Maclaurin е частен случай на серия Тейлър, тоест това е серия Тейлър, но в точката x = 0. Всички кратки записи за разширяване на добре познати функции, като e^x, Sin(x), Cos(x) и други, това са разширения в ред на Тейлър, но в точка 0 за аргумента. За функциите на сложен аргумент серията на Лоран е най-често срещаният проблем в TFCT, тъй като представлява двустранна безкрайна серия. Това е сумата от две серии. Предлагаме ви да разгледате пример за разлагане директно на уебсайта; това е много лесно да се направи, като щракнете върху „Пример“ с произволен номер и след това върху бутона „Решение“. Точно това разширяване на функция в серия, която е свързана с мажорна серия, която ограничава оригиналната функция в определена област по ординатната ос, ако променливата принадлежи към областта на абсцисата. Векторният анализ се сравнява с друга интересна дисциплина в математиката. Тъй като всеки термин трябва да бъде разгледан, процесът изисква доста време. Всеки ред на Тейлър може да бъде свързан с ред на Маклорен чрез замяна на x0 с нула, но за ред на Маклорен понякога не е очевидно да се представи редът на Тейлър в обратна посока. Сякаш това не е задължително да се прави в чист вид, интересно е за общото саморазвитие. Всяка серия на Лоран съответства на двустранен безкраен степенен ред в цели степени на z-a, с други думи, серия от същия тип на Тейлър, но малко по-различна в изчисляването на коефициентите. Ще говорим за областта на сближаване на серията на Лоран малко по-късно, след няколко теоретични изчисления. Както през миналия век, поетапно разширяване на функция в серия едва ли може да се постигне просто чрез привеждане на членовете към общ знаменател, тъй като функциите в знаменателите са нелинейни. При формулирането на задачите се изисква приблизително изчисляване на функционалната стойност. Помислете за факта, че когато аргументът на редица на Тейлър е линейна променлива, тогава разширяването се извършва на няколко стъпки, но картината е напълно различна, когато аргументът на функцията, която се разширява, е сложна или нелинейна функция, тогава процесът на представянето на такава функция в степенен ред е очевидно, тъй като по този начин е лесно да се изчисли, макар и приблизителна стойност, във всяка точка от областта на дефиницията, с минимална грешка, която има малък ефект върху по-нататъшните изчисления. Това важи и за серията Maclaurin. когато е необходимо да се изчисли функцията в нулевата точка. Въпреки това, самата серия на Лоран е представена тук чрез разширение в равнината с въображаеми единици. Също така правилното решение на проблема по време на цялостния процес няма да бъде без успех. Този подход не е познат в математиката, но обективно съществува. В резултат на това можете да стигнете до извода за така наречените поточкови подмножества и при разширяването на функция в серия трябва да използвате методи, известни за този процес, като например прилагането на теорията на производните. За пореден път се убеждаваме, че учителят е бил прав, който е направил своите предположения за резултатите от следизчислителните изчисления. Нека отбележим, че серията Тейлър, получена според всички канони на математиката, съществува и е дефинирана по цялата числена ос, но, скъпи потребители на услугата на сайта, не забравяйте вида на оригиналната функция, защото може да се окаже че първоначално е необходимо да се установи областта на дефиниция на функцията, тоест да се напишат и изключат от по-нататъшно разглеждане онези точки, в които функцията не е дефинирана в областта на реалните числа. Така да се каже, това ще покаже вашата ефективност при решаването на проблема. Изграждането на ред на Маклорен с нулева стойност на аргумента няма да бъде изключение от казаното. Процесът на намиране на областта на дефиниране на функция не е отменен и трябва да подходите към тази математическа операция с цялата сериозност. В случай на серия на Лоран, съдържаща основната част, параметърът "а" ще се нарича изолирана особена точка, а серията на Лоран ще бъде разширена в пръстен - това е пресечната точка на областите на сближаване на неговите части, следователно ще последва съответната теорема. Но не всичко е толкова сложно, колкото може да изглежда на пръв поглед на неопитен ученик. След като сте изучавали серията Тейлър, можете лесно да разберете серията Лоран - обобщен случай за разширяване на пространството на числата. Всяко серийно разширение на функция може да се извърши само в точка от областта на дефиниране на функцията. Следва да се вземат предвид свойства на функции като периодичност или безкрайна диференцируемост. Също така ви предлагаме да използвате таблицата с готови разширения в редове на Тейлър на елементарни функции, тъй като една функция може да бъде представена от до десетки различни степенни редове, както може да се види от използването на нашия онлайн калкулатор. Онлайн серията Maclaurin е толкова лесна за определяне, ако използвате уникалната услуга на уебсайта, трябва само да въведете правилната писмена функция и ще получите представения отговор след няколко секунди, той е гарантирано точен и в стандартна писмена форма. Можете да копирате резултата директно в чисто копие за изпращане на учителя. Би било правилно първо да се определи аналитичността на въпросната функция в пръстени и след това недвусмислено да се каже, че тя е разширима в серия на Лоран във всички такива пръстени. Важно е да не изпускате от поглед условията на серията на Лоран, съдържащи отрицателни сили. Съсредоточете се върху това колкото е възможно повече. Използвайте добре теоремата на Лоран за разлагането на функция в цели степени.

В теорията на функционалните серии централно място заема разделът, посветен на разлагането на функция в серия.

Така се поставя задачата: за дадена функция трябва да намерим такъв степенен ред

който се сближава на определен интервал и сумата му е равна на
, тези.

= ..

Тази задача се нарича проблемът за разширяване на функция в степенен ред.

Необходимо условие за разложимостта на функция в степенен реде неговата диференцируемост безкраен брой пъти - това следва от свойствата на сходните степенни редове. Това условие е изпълнено, като правило, за елементарни функции в тяхната област на дефиниране.

Така че нека приемем, че функцията
има производни от всякакъв ред. Възможно ли е да се разшири в степенна серия? Ако е така, как можем да намерим тази серия? Втората част от проблема е по-лесна за решаване, така че нека започнем с нея.

Да приемем, че функцията
може да се представи като сбор от степенен ред, събиращ се в интервала, съдържащ точката х 0 :

= .. (*)

Където А 0 ,А 1 ,А 2 ,...,А П ,... – неизвестни (все още) коефициенти.

Нека поставим в равенство (*) стойността х = х 0 , тогава получаваме

.

Нека диференцираме степенните редове (*) член по член

= ..

и вярвайки тук х = х 0 , получаваме

.

При следващото диференциране получаваме редицата

= ..

вярвайки х = х 0 , получаваме
, където
.

След П-множествена диференциация, която получаваме

Ако приемем в последното равенство х = х 0 , получаваме
, където

И така, коефициентите са намерени

,
,
, …,
,….,

замествайки което в серията (*), получаваме

Получената серия се нарича до Тейлър за функция
.

Така установихме, че ако функцията може да бъде разширена в степенен ред по степени (x - x 0 ), тогава това разширение е уникално и получената серия непременно е серия на Тейлър.

Имайте предвид, че серията на Тейлър може да бъде получена за всяка функция, която има производни от всякакъв ред в точката х = х 0 . Но това не означава, че между функцията и получената серия може да се постави знак за равенство, т.е. че сумата от редицата е равна на оригиналната функция. Първо, такова равенство може да има смисъл само в областта на конвергенция и серията на Тейлър, получена за функцията, може да се разминава, и второ, ако серията на Тейлър се сближава, тогава нейната сума може да не съвпада с оригиналната функция.

3.2. Достатъчни условия за разложимостта на функция в ред на Тейлър

Нека формулираме твърдение, с помощта на което ще бъде решена задачата.

Ако функцията
в някаква околност на точка x 0 има производни до (н+ 1) от ред включително, тогава в този квартал имамеформула Тейлър

КъдетоР н (х)-остатъчният член на формулата на Тейлър – има формата (форма на Лагранж)

Където точкаξ се намира между x и x 0 .

Имайте предвид, че има разлика между реда на Тейлър и формулата на Тейлър: формулата на Тейлър е крайна сума, т.е. П -фиксиран номер.

Припомнете си, че сумата от сер С(х) може да се дефинира като граница на функционална последователност от частични суми С П (х) на някакъв интервал х:

.

Според това, да се разшири функция в серия на Тейлър означава да се намери серия такава, че за всяко хх

Нека запишем формулата на Тейлър във формата където

забележи това
дефинира грешката, която получаваме, заменете функцията f(х) полином С н (х).

Ако
, Че
,тези. функцията се разширява в серия на Тейлър. Обратно, ако
, Че
.

Така доказахме критерий за разложимостта на функция в ред на Тейлър.

За да може функциятаf(x) се разширява в серия на Тейлър, е необходимо и достатъчно на този интервал
, КъдетоР н (х) е остатъчният член на реда на Тейлър.

Използвайки формулирания критерий, може да се получи достатъчноусловия за разложимостта на функция в ред на Тейлър.

Ако внякаква околност на точка x 0 абсолютните стойности на всички производни на функцията са ограничени до едно и също число М≥ 0, т.е.

, To в тази близост функцията се разширява в серия на Тейлър.

От горното следва алгоритъмразширяване на функцията f(х) в серията Тейлърв близост до точка х 0 :

1. Намиране на производни на функции f(х):

f(x), f’(x), f”(x), f’”(x), f (н) (х),…

2. Изчислете стойността на функцията и стойностите на нейните производни в точката х 0

f(x 0 ), f’(x 0 ), f”(x 0 ), f’”(x 0 ), е (н) (х 0 ),…

3. Формално записваме редицата на Тейлър и намираме областта на сходимост на получената степенна редица.

4. Проверяваме изпълнението на достатъчни условия, т.е. установяваме за кои хот областта на конвергенция, остатъчен член Р н (х) клони към нула като
или
.

Развиването на функции в ред на Тейлър с помощта на този алгоритъм се нарича разширяване на функция в ред на Тейлър по дефиницияили директно разграждане.

Сред функционалните редове най-важно място заемат степенните редове.

Степенен ред е ред

чиито членове са степенни функции, подредени в нарастващи неотрицателни цели числа х, А ° С0 , ° С 1 , ° С 2 , ° Сн - постоянни стойности. Числа ° С1 , ° С 2 , ° Сн - коефициенти на членовете на серията, ° С0 - безплатен член. Членовете на степенния ред са определени на цялата числова ос.

Нека се запознаем с концепцията области на сходимост на степенния ред. Това е набор от променливи стойности х, за които серията се сближава. Степеновите редове имат доста проста област на сближаване. За стойности на реални променливи хобластта на конвергенция се състои или от една точка, или е определен интервал (интервал на конвергенция), или съвпада с цялата ос вол .

При заместване на стойностите в степенната серия х= 0 ще доведе до числова серия

° С0 +0+0+...+0+... ,

който се сближава.

Следователно, когато х= 0 всеки степенен ред се сближава и следователно, нейната зона на конвергенция не може да бъде празното множество. Структурата на областта на сближаване на всички степенни редове е еднаква. Може да се установи с помощта на следната теорема.

Теорема 1 (теорема на Абел). Ако степенен ред се сближава при някаква стойност х = х 0 , различен от нула, тогава той се сближава и освен това абсолютно за всички стойности |х| < |х 0 | . Моля, обърнете внимание: както началната стойност „X е нула“, така и всяка стойност на „X“, която се сравнява с началната стойност, се вземат по модул - без да се взема предвид знакът.

Последица. Ако степенните редове се разминават на някаква стойност х = х 1 , тогава се разминава за всички стойности |х| > |х 1 | .

Както вече разбрахме по-рано, всеки степенен ред се сближава при стойността х= 0. Има степенни редове, които се събират само когато х= 0 и се разминават за други стойности х. Като изключим този случай от разглеждане, приемаме, че степенният ред се сближава при някаква стойност х = х 0 , различен от нула. Тогава, съгласно теоремата на Абел, тя се събира във всички точки от интервала ]-| х0 |, |х 0 |[ (интервал, чиито лява и дясна граница са стойностите x, при които степенната редица се сближава, взети съответно със знак минус и знак плюс), симетричен по отношение на произхода.

Ако степенният ред се разминава при определена стойност х = х 1 , тогава, въз основа на следствие от теоремата на Абел, тя се разминава във всички точки извън сегмента [-| х1 |, |х 1 |] . От това следва, че за всеки степенен ред съществува интервал, симетричен спрямо началото, т.нар интервал на конвергенция , във всяка точка на която редицата се събира, на границите може да се събира или може да се разминава и не е задължително по едно и също време, а извън отсечката редицата се разминава. Номер Рсе нарича радиус на сходимост на степенния ред.

В специални случаи интервал на сходимост на степенни редове може да се изроди до точка (тогава серията се сближава само когато х= 0 и се счита, че Р= 0) или представлява цялата числова линия (тогава редът се събира във всички точки на числовата линия и се приема, че ).

По този начин определянето на областта на сближаване на степенен ред се състои в определяне на неговата радиус на конвергенция Ри изследване на сходимостта на серията в границите на интервала на сходимост (при ).

Теорема 2.Ако всички коефициенти на степенна серия, започвайки от определена, са различни от нула, тогава нейният радиус на конвергенция е равен на границата при съотношението на абсолютните стойности на коефициентите на общите следващи членове на серията , т.е.

Пример 1. Намерете областта на сходимост на степенния ред

Решение. Тук

Използвайки формула (28), намираме радиуса на конвергенция на тази серия:

Нека изследваме сходимостта на реда в краищата на интервала на сходимост. Пример 13 показва, че този ред се събира при х= 1 и се отклонява при х= -1. Следователно областта на конвергенция е полуинтервалът.

Пример 2. Намерете областта на сходимост на степенния ред

Решение. Коефициентите на реда са положителни и

Нека намерим границата на това отношение, т.е. радиус на сходимост на степенния ред:

Нека изследваме сходимостта на редицата в краищата на интервала. Подмяна на стойности х= -1/5 и х= 1/5 в този ред дава:

Първата от тези серии се сближава (виж Пример 5). Но тогава, по силата на теоремата в раздела „Абсолютна конвергенция“, вторият ред също се сближава и областта на нейното сближаване е сегментът

Пример 3. Намерете областта на сходимост на степенния ред

Решение. Тук

Използвайки формула (28), намираме радиуса на сходимост на серията:

Нека проучим сходимостта на реда за стойности на . Замествайки ги в тази серия, получаваме съответно

И двата реда се разминават, защото необходимото условие за сходимост не е изпълнено (общите им членове не клонят към нула при ). И така, в двата края на интервала на конвергенция тази редица се разминава и областта на нейната конвергенция е интервалът.

Пример 5. Намерете областта на сходимост на степенния ред

Решение. Намираме връзката, където , и :

Според формула (28), радиусът на конвергенция на тази серия

,

т.е. серията се сближава само когато х= 0 и се разминава за други стойности х.

Примерите показват, че в края на интервала на конвергенция редовете се държат различно. В пример 1 в единия край на интервала на сходимост редицата се събира, а в другия се разминава; в пример 2 тя се събира в двата края; в пример 3 се разминава в двата края.

Формулата за радиуса на сходимост на степенен ред се получава при допускането, че всички коефициенти на членовете на реда, започващи от определена точка, са различни от нула. Следователно използването на формула (28) е допустимо само в тези случаи. Ако това условие е нарушено, тогава радиусът на конвергенция на степенния ред трябва да се търси с помощта на знак на д'Аламбер, или чрез заместване на променливата, трансформиране на серията във форма, в която определеното условие е изпълнено.

Пример 6. Намерете интервала на сходимост на степенния ред

Решение. Тази серия не съдържа термини с нечетни степени х. Затова трансформираме поредицата, настройка . Тогава получаваме сериала

за да намерим чийто радиус на конвергенция можем да приложим формула (28). Тъй като , a , тогава радиусът на сходимост на тази серия

Следователно от равенството, което получаваме, този ред се събира на интервала.

Сума от степенни редове. Диференциране и интегриране на степенни редове

Нека за степенния ред

радиус на конвергенция Р> 0, т.е. тази серия се събира на интервала.

След това всяка стойност хот интервала на сходимост съответства на определен сбор от реда. Следователно сборът от степенните редове е функция на хна интервала на конвергенция. Означавайки го с f(х), можем да запишем равенството

разбирайки го в смисъл, че сумата от серията във всяка точка хот интервала на сходимост е равна на стойността на функцията f(х) в този момент. В същия смисъл ще кажем, че степенният ред (29) сходен към функцията f(х) върху интервала на конвергенция.

Извън интервала на конвергенция равенството (30) няма смисъл.

Пример 7.Намерете сумата на степенния ред

Решение. Това е геометрична серия, за която а= 1, а р= х. Следователно неговата сума е функция . Серия се сближава, ако , и е нейният интервал на сближаване. Следователно равенство

е валиден само за стойности, въпреки че функцията определени за всички стойности х, с изключение х= 1.

Може да се докаже, че сумата от степенния ред f(х) е непрекъснат и диференцируем на всеки интервал в рамките на интервала на сближаване, по-специално във всяка точка от интервала на сближаване на реда.

Нека представим теореми за член по член диференциране и интегриране на степенни редове.

Теорема 1.Степенен ред (30) в интервала на неговата сходимост може да се диференцира член по член неограничен брой пъти, като получените степенни редове имат същия радиус на сходимост като оригиналния ред и сумите им съответно са равни на .

Теорема 2.Степенен ред (30) може да се интегрира член по член неограничен брой пъти в диапазона от 0 до х, ако , и получените степенни редове имат същия радиус на сходимост като оригиналния ред и сумите им съответно са равни

Разгъване на функции в степенни редове

Нека функцията е дадена f(х), който трябва да бъде разширен в степенен ред, т.е. представя във формата (30):

Задачата е да се определят коефициентите ред (30). За да направим това, диференцирайки равенството (30) термин по термин, ние последователно намираме:

……………………………………………….. (31)

Приемайки в равенства (30) и (31) х= 0, намираме

Замествайки намерените изрази в равенство (30), получаваме

(32)

Нека намерим разширение в редица на Маклорен на някои елементарни функции.

Пример 8.Разширете функцията в серия Maclaurin

Решение. Производните на тази функция съвпадат със самата функция:

Следователно, когато х= 0 имаме

Замествайки тези стойности във формула (32), получаваме желаното разширение:

(33)

Този ред се събира на цялата числова ос (нейния радиус на сходимост).