Намерете минимума на дадената функция. Най-голямата и най-малката стойност на функция в затворена област

Определение1: За функция се казва, че има локален максимум в точка, ако има околност на точката, така че за всяка точка Мс координати (x, y)важи неравенството: . В този случай, т.е. нарастването на функцията< 0.

Определение2: За функция се казва, че има локален минимум в точка, ако има околност на точката, така че за всяка точка Мс координати (x, y)важи неравенството: . В този случай, т.е. нарастването на функцията > 0.

Определение 3: Извикват се точките на локален минимум и максимум екстремни точки.

Условни крайности

При търсене на екстремуми на функция на много променливи често възникват проблеми, свързани с т.нар условен екстремум.Тази концепция може да бъде обяснена с помощта на примера на функция на две променливи.

Нека са дадени функция и права Лна повърхността 0xy. Задачата е да се качите на линията Лнамери такава точка P(x, y),в която стойността на функция е най-голямата или най-малката в сравнение със стойностите на тази функция в точки на линията Л, разположен в близост до пункта П. Такива точки Пса наречени условни точки на екстремумфункции онлайн Л. За разлика от обичайната точка на екстремум, стойността на функцията в условната точка на екстремум се сравнява със стойностите на функцията не във всички точки от нейната околност, а само в тези, които лежат на линията Л.

Абсолютно ясно е, че точката на обичайния екстремум (те също казват безусловен екстремум) също е условна точка на екстремум за всяка права, минаваща през тази точка. Обратното, разбира се, не е вярно: условната точка на екстремум може да не е обикновената точка на екстремум. Нека обясня казаното с един прост пример. Графиката на функцията е горната полусфера (Приложение 3 (фиг. 3)).

Тази функция има максимум в началото; върхът съответства на него Мполукълба. Ако линията Лима права, минаваща през точките АИ IN(нейното уравнение x+y-1=0), тогава геометрично е ясно, че за точките на тази линия най-голямата стойност на функцията се постига в точката, разположена в средата между точките АИ IN.Това е точката на условния екстремум (максимум) на функцията на тази права; тя съответства на точка М 1 на полусферата и от фигурата става ясно, че тук не може да се говори за обикновен екстремум.

Имайте предвид, че в последната част на задачата за намиране на най-големите и най-малките стойности на функция в затворена област, трябва да намерим екстремните стойности на функцията на границата на тази област, т.е. на някаква линия и по този начин решаване на проблема с условния екстремум.

Нека сега преминем към практическото търсене на условните точки на екстремум на функцията Z= f(x, y), при условие че променливите x и y са свързани с уравнението (x, y) = 0. Ще наречем тази връзка уравнение на връзката. Ако от свързващото уравнение y може да бъде изразено явно чрез x: y=(x), получаваме функция на една променлива Z= f(x, (x)) = Ф(x).

След като намерихме стойността x, при която тази функция достига екстремум, и след това определихме от уравнението на връзката съответните стойности на y, получаваме желаните точки на условния екстремум.

И така, в горния пример от уравнението на връзката x+y-1=0 имаме y=1-x. Оттук

Лесно се проверява, че z достига своя максимум при x = 0,5; но тогава от уравнението на връзката y = 0,5 и получаваме точно точката P, намерена от геометрични съображения.

Проблемът с условния екстремум може да бъде решен много просто, когато уравнението на връзката може да бъде представено чрез параметрични уравнения x=x(t), y=y(t). Замествайки изрази за x и y в тази функция, отново стигаме до проблема за намиране на екстремума на функция на една променлива.

Ако уравнението на свързване има по-сложна форма и ние не сме в състояние нито да изразим изрично една променлива по отношение на друга, нито да я заменим с параметрични уравнения, тогава задачата за намиране на условен екстремум става по-трудна. Ще продължим да приемаме, че в израза на функцията z= f(x, y) променливата (x, y) = 0. Общата производна на функцията z= f(x, y) е равна на:

Където производната y` се намира с помощта на правилото за диференциране на неявната функция. В точките на условния екстремум намерената обща производна трябва да бъде равна на нула; това дава едно уравнение, свързващо x и y. Тъй като те също трябва да удовлетворяват уравнението за свързване, получаваме система от две уравнения с две неизвестни

Нека трансформираме тази система в много по-удобна, като напишем първото уравнение под формата на пропорция и въведем ново спомагателно неизвестно:

(знакът минус отпред е за удобство). От тези равенства лесно се преминава към следната система:

f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),

което заедно с уравнението на връзката (x, y) = 0 образува система от три уравнения с неизвестни x, y и.

Тези уравнения (*) са най-лесни за запомняне, като се използва следното правило: за да се намерят точки, които могат да бъдат точки на условния екстремум на функцията

Z= f(x, y) с уравнението на връзката (x, y) = 0, трябва да формирате спомагателна функция

F(x,y)=f(x,y)+(x,y)

Къде е някаква константа и създайте уравнения, за да намерите екстремните точки на тази функция.

Посочената система от уравнения осигурява по правило само необходимите условия, т.е. не всяка двойка стойности x и y, която удовлетворява тази система, е непременно условна точка на екстремум. Няма да давам достатъчни условия за точките на условен екстремум; много често конкретното съдържание на проблема подсказва каква е намерената точка. Описаната техника за решаване на задачи върху условен екстремум се нарича метод на умножителя на Лагранж.

Достатъчно условие за екстремум на функция на две променливи

1. Нека функцията е непрекъснато диференцируема в някаква околност на точката и има непрекъснати частни производни от втори ред (чисти и смесени).

2. Нека означим с детерминанта от втори ред

екстремна променлива лекционна функция

Теорема

Ако точката с координати е неподвижна точка за функцията, тогава:

А) При него е точка на локален екстремум, а при локален максимум е локален минимум;

В) в точката не е локална точка на екстремум;

В) ако, може и двете.

Доказателство

Нека напишем формулата на Тейлър за функцията, като се ограничим до два члена:

Тъй като според условията на теоремата точката е неподвижна, частните производни от втори ред са равни на нула, т.е. И. Тогава

Нека обозначим

Тогава увеличението на функцията ще приеме формата:

Поради непрекъснатостта на частичните производни от втори ред (чисти и смесени), съгласно условията на теоремата в точка, можем да запишем:

Къде или; ,

1. Нека и, т.е. или.

2. Умножете увеличението на функцията и разделете на, получаваме:

3. Нека добавим израза във къдрави скоби към пълния квадрат на сумата:

4. Изразът във фигурни скоби е неотрицателен, тъй като

5. Следователно, ако a означава и, тогава и, следователно, според дефиницията, точката е локална минимална точка.

6. Ако a означава и, тогава според дефиницията точката с координати е точка на локален максимум.

2. Разгледайте квадратния трином, неговия дискриминант, .

3. Ако, тогава има такива точки, че полиномът

4. Записваме общото увеличение на функцията в точка в съответствие с израза, получен в I като:

5. Поради непрекъснатостта на частните производни от втори ред, съгласно условията на теоремата в точка, можем да напишем, че

Следователно има околност на точка, така че за всяка точка квадратният трином е по-голям от нула:

6. Разгледайте околността на точка.

Нека изберем произволна стойност, така че точка. Ако приемем, че във формулата за нарастване на функцията

Какво получаваме:

7. От тогава.

8. Като спорим по подобен начин за корена, откриваме, че във всяка -околост на точка има точка, за която следователно в околността на точката не се запазва знак, следователно няма екстремум в точката.

Условен екстремум на функция на две променливи

При намиране на екстремуми на функция на две променливи често възникват проблеми, свързани с така наречения условен екстремум. Тази концепция може да бъде обяснена с помощта на примера на функция на две променливи.

Нека функция и права L са дадени в равнината 0xy. Задачата е да се намери точка P (x, y) на линия L, в която стойността на функцията е най-голямата или най-малката в сравнение със стойностите на тази функция в точки на линия L, разположени близо до точка P. Такива точки P се наричат ​​условни екстремални точки функции на линия L. За разлика от обичайната екстремна точка, стойността на функцията в условната екстремална точка се сравнява със стойностите на функцията не във всички точки от нейния съсед, а само в тези, които лежат на линия L.

Абсолютно ясно е, че точката на обикновен екстремум (те казват още безусловен екстремум) е и точка на условен екстремум за всяка права, минаваща през тази точка. Обратното, разбира се, не е вярно: условната точка на екстремум може да не е обикновената точка на екстремум. Нека илюстрираме това с пример.

Пример №1.Графиката на функцията е горната полусфера (фиг. 2).

Ориз. 2.

Тази функция има максимум в началото; той съответства на върха М на полукълбото. Ако линията L е права линия, минаваща през точки A и B (нейното уравнение), тогава е геометрично ясно, че за точките на тази права най-голямата стойност на функцията се постига в точката, разположена по средата между точките A и B , Това е точката на условния екстремум (максимум) на тази линия; тя съответства на точка М 1 на полусферата и от фигурата става ясно, че тук не може да се говори за обикновен екстремум.

Имайте предвид, че в последната част на задачата за намиране на най-големите и най-малките стойности на функция в затворена област, трябва да намерим екстремните стойности на функцията на границата на тази област, т.е. на някаква линия и по този начин решаване на проблема с условния екстремум.

Определение 1.Те казват, че където има в точка, удовлетворяваща уравнението, условен или относителен максимум (минимум): ако за всяка точка, удовлетворяваща уравнението, неравенството

Определение 2.Уравнение от формата се нарича уравнение на ограничение.

Теорема

Ако функциите и са непрекъснато диференцируеми в околността на точка и частната производна и точката е условна точка на екстремум на функцията по отношение на уравнението на ограничението, тогава детерминантата от втори ред е равна на нула:

Доказателство

1. Тъй като според условията на теоремата, частната производна и стойността на функцията, тогава в определен правоъгълник

дефинирана неявна функция

Сложна функция на две променливи в точка ще има локален екстремум, следователно, или.

2. Действително, според свойството за инвариантност на диференциалната формула от първи ред

3. Уравнението на връзката може да бъде представено в тази форма, което означава

4. Умножете уравнение (2) по и (3) по и ги добавете

Следователно, когато

произволен. и т.н.

Последица

Търсенето на условни точки на екстремум на функция на две променливи на практика се извършва чрез решаване на система от уравнения

И така, в горния пример № 1 от уравнението на връзката имаме. От тук е лесно да се провери при какво достига максимум. Но тогава от комуникационното уравнение. Получаваме точка P, намерена геометрично.

Пример №2.Намерете условните точки на екстремум на функцията спрямо уравнението на свързване.

Нека намерим частните производни на дадената функция и уравнението за свързване:

Нека създадем детерминанта от втори ред:

Нека напишем система от уравнения за намиране на условни точки на екстремум:

Това означава, че има четири точки от условния екстремум на функцията с координати: .

Пример №3.Намерете точките на екстремума на функцията.

Приравнявайки частните производни на нула: , намираме една неподвижна точка - началото. Тук,. Следователно точката (0, 0) не е точка на екстремум. Уравнението е уравнението на хиперболичен параболоид (фиг. 3) от фигурата се вижда, че точката (0, 0) не е точка на екстремум.

Ориз. 3.

Най-голямата и най-малката стойност на функция в затворена област

1. Нека функцията е дефинирана и непрекъсната в ограничена затворена област D.

2. Нека функцията има крайни частни производни в тази област, с изключение на отделни точки от областта.

3. В съответствие с теоремата на Вайерщрас в тази област има точка, в която функцията приема най-големи и най-малки стойности.

4. Ако тези точки са вътрешни точки на областта D, тогава очевидно те ще имат максимум или минимум.

5. В този случай точките, които ни интересуват, са сред подозрителните точки в екстремума.

6. Функцията обаче може също да приеме най-голямата или най-малката стойност на границата на област D.

7. За да намерите най-голямата (най-малката) стойност на функция в област D, трябва да намерите всички вътрешни точки, подозрителни за екстремум, да изчислите стойността на функцията в тях, след което да сравните със стойността на функцията в гранични точки на региона и най-голямата от всички намерени стойности ще бъде най-голямата в затворения регион D.

8. Методът за намиране на локален максимум или минимум беше обсъден по-рано в раздел 1.2. и 1.3.

9. Остава да разгледаме метода за намиране на най-големите и най-малките стойности на функцията на границата на региона.

10. В случай на функция на две променливи, областта обикновено е ограничена от крива или няколко криви.

11. По такава крива (или няколко криви) променливите и или зависят една от друга, или и двете зависят от един параметър.

12. Така на границата функцията се оказва зависима от една променлива.

13. Методът за намиране на най-голямата стойност на функция на една променлива беше обсъден по-рано.

14. Нека границата на област D е дадена чрез параметрични уравнения:

Тогава върху тази крива функцията на две променливи ще бъде комплексна функция на параметъра: . За такава функция най-големите и най-малките стойности се определят с помощта на метода за определяне на най-големите и най-малките стойности за функция на една променлива.

Нека функцията z - /(x, y) е дефинирана в някаква област D и нека Mo(xo, Vo) е вътрешна точка на тази област. Определение. Ако има такова число, че за всички, които отговарят на условията, неравенството е вярно, тогава точката Mo(xo, yo) се нарича локална максимална точка на функцията /(x, y); ако за всички Dx, Du, отговарящи на условията | тогава точката Mo(xo,yo) се нарича тънък локален минимум. С други думи, точката M0(x0, y0) е точка на максимум или минимум на функцията f(x, y), ако съществува 6-околност на точката A/o(x0, y0), така че изобщо точки M(x, y) от това в околността, нарастването на функцията запазва своя знак. Примери. 1. За функционалната точка - точка на минимум (фиг. 17). 2. За функцията точка 0(0,0) е максималната точка (фиг. 18). 3. За функция точка 0(0,0) е локална максимална точка. 4 Наистина, има околност на точката 0(0, 0), например окръжност с радиус j (виж фиг. 19), във всяка точка от която, различна от точката 0(0,0), стойност на функцията /(x,y) по-малка от 1 = Ще разглеждаме само точки на строг максимум и минимум на функциите, когато строго неравенство или строго неравенство е изпълнено за всички точки M(x) y) от някои пробити 6-околности на точката Mq. Стойността на функцията в точката на максимума се нарича максимум, а стойността на функцията в точката на минимум се нарича минимум на тази функция. Точките на максимума и минимума на функцията се наричат ​​точки на екстремум на функцията, а самите максимуми и минимуми на функцията се наричат ​​нейни екстремуми. Теорема 11 (необходимо условие за екстремум). Ако една функция е екстремум на функция на няколко променливи Понятието екстремум на функция на няколко променливи. Необходими и достатъчни условия за екстремум Условен екстремум Най-големите и най-малките стойности на непрекъснати функции имат екстремум в точката, тогава в тази точка всяка частична производна u или изчезва, или не съществува. Нека в точката M0(x0, yо) функцията z = f(x) y) има екстремум. Нека дадем на променливата y стойността yo. Тогава функцията z = /(x, y) ще бъде функция на една променлива x\ Тъй като при x = xo тя има екстремум (максимум или минимум, фиг. 20), тогава нейната производна по отношение на x = “o, | (*o,l>)" Равно на нула или не съществува. По същия начин сме убедени, че) е или равно на нула, или не съществува. Точките, в които = 0 и χ = 0 или не съществуват, се наричат ​​критични точки на функцията z = Dx, y). Точките, в които $£ = φ = 0, се наричат ​​още стационарни точки на функцията. Теорема 11 изразява само необходими условия за екстремум, които не са достатъчни. Пример: Функция Фиг. 18 Фиг. 20 производни на immt, които се обръщат към нула при. Но тази функция е тънка на имвата на струята. Действително функцията е равна на нула в точка 0(0,0) и приема положителни и отрицателни стойности в точки M(x,y), произволно близки до точката 0(0,0). За нея, така че в точки в точки (0, y) за произволно малка точка 0(0,0) от посочения тип се нарича мини-макс точка (фиг. 21). Достатъчните условия за екстремум на функция на две променливи се изразяват със следната теорема. Теорема 12 (достатъчни условия за екстремум на две променливи). Нека точката Mo(xo»Yo) е стационарна точка на функцията f(x, y) и в някаква околност на точката /, включително самата точка Mo, функцията f(z, y) има непрекъснати частични производни до втори ред включително. Тогава". в точката Mo(xo, V0) функцията /(xo, y) няма екстремум, ако D(xo, yo)< 0. Если же то в точке Мо(жо> Екстремумът на функцията f(x, y) може да съществува или да не съществува. В този случай са необходими допълнителни изследвания. m Нека се ограничим до доказването на твърдения 1) и 2) от теоремата. Нека напишем формулата на Тейлър от втори ред за функцията /(i, y): където. Съгласно условието е ясно, че знакът на нарастването D/ се определя от знака на тричлена от дясната страна на (1), т.е. знакът на втория диференциал d2f. Нека го обозначим за краткост. Тогава равенството (l) може да се запише по следния начин: Нека в точката MQ(so, V0) имаме... Тъй като по условие частните производни от втори ред на функцията f(s, y) са непрекъснати, тогава неравенство (3) ще е валидно и в някаква околност на точката M0(s0,yo). Ако условието е изпълнено (в точката А/0 и по силата на непрекъснатостта производната /,z(s,y) ще запази знака си в някаква околност на точката Af0. В областта, където А Ф 0, имаме , От това става ясно, че ако LS - В2 > 0 в някаква околност на точката M0(x0) y0), тогава знакът на тринома AAx2 -I- 2BAxAy + CDy2 съвпада със знака на A в точката (така че , V0) (както и със знака на C, тъй като за AC - B2 > 0 A и C не могат да имат различни знаци). Тъй като знакът на сумата AAAs2 + 2BAxAy + CAy2 в точката (s0 + $ Ax, y0 + 0 Du) определя знака на разликата, стигаме до следното заключение: ако за функцията /(s,y) при условието за стационарна точка (s0, V0), тогава за достатъчно малък || неравенството ще бъде удовлетворено. Така в точката (sq, V0) функцията /(s, y) има максимум. Ако условието е изпълнено в стационарната точка (s0, y0), тогава за всички достатъчно малки |Dr| и |Du| неравенството е вярно, което означава, че в точката (so,yo) функцията /(s, y) има минимум. Примери. 1. Изследване на функцията за екстремум 4 Използвайки необходимите условия за екстремум, търсим стационарни точки на функцията. За да направим това, намираме частните производни u и ги приравняваме на нула. Получаваме система от уравнения от където - неподвижна точка. Нека сега използваме теорема 12. Имаме Това означава, че има екстремум в точка Ml. Защото това е минимумът. Ако трансформираме функцията r във форма, лесно се вижда, че дясната страна (“) ще бъде минимална, когато е абсолютният минимум на тази функция. 2. Изследваме функцията за екстремум. Намираме стационарни точки на функцията, за които съставяме система от уравнения. Следователно, така че точката да е неподвижна. Тъй като по силата на теорема 12 няма екстремум в точка M. * 3. Изследване на екстремума на функцията Намерете стационарните точки на функцията. От системата от уравнения получаваме това, така че точката е неподвижна. След това имаме, че теорема 12 не отговаря на въпроса за наличието или отсъствието на екстремум. Нека го направим по този начин. За функция относно всички точки, различни от точката so, по дефиниция, и точката A/o(0,0) функцията r има абсолютен минимум. Чрез подобни изчисления установяваме, че функцията има максимум в точката, но функцията няма екстремум в точката. Нека функция от n независими променливи е диференцируема в точка Точка Mo се нарича стационарна точка на функцията, ако Теорема 13 (до достатъчни условия за екстремум). Нека функцията е дефинирана и има непрекъснати частични производни от втори ред в някои околности на фината Mt(xi..., която е стационарна фина функция, ако квадратичната форма (вторият диференциал на функцията f във фината е положителна определена (отрицателно определена), минималната точка (съответно фин максимум) на функцията f е фина Ако квадратичната форма (4) е с променлив знак, тогава няма екстремум във фината LG0.За да се установи дали квадратичната форма форма (4) ще бъде положително или отрицателно определена, можете да използвате например критерия на Силвестър за положителна (отрицателна) сигурност на квадратичната форма 15.2 Условни екстремуми Досега търсихме локални екстремуми на функция в цялата си област на дефиниране, когато аргументите на функцията не са обвързани с никакви допълнителни условия. Такива екстремуми се наричат ​​безусловни. Въпреки това често се срещат проблеми с намирането на така наречените условни екстремуми. Нека функцията z = /(x, y ) са дефинирани в домейна D. Да приемем, че в този домейн е дадена крива L и трябва да намерим екстремумите на функцията f(x> y) само сред тези от нейните стойности, които съответстват на точките на кривата L. Същите екстремуми се наричат ​​условни екстремуми на функцията z = f(x) y) върху кривата L. Дефиниция Казват, че в точка, разположена на кривата L, функцията f(x, y) има условен максимум (минимум), ако неравенството е изпълнено във всички точки M (s, y) y) крива L, принадлежаща към някаква околност на точката M0(x0, V0) и различна от точката M0 (Ако кривата L е дадена от уравнение, тогава проблемът е да се намери условният екстремум на функцията r - f(x,y) върху кривата! може да се формулира по следния начин: намерете екстремумите на функцията x = /(z, y) в областта D, при условие че По този начин, когато намирате условните екстремуми на функцията z = y), аргументите на гну вече не могат да бъдат разглеждани като независими променливи: те са свързани помежду си чрез връзката y ) = 0, която се нарича уравнение на свързване. За да изясним разграничението между безусловен и условен екстремум, нека да разгледаме един пример, безусловния максимум на функция (фиг. 23) е равно на единица и се постига в точка (0,0). Съответства на точка M - върха на pvvboloid.Нека добавим уравнението на връзката y = j. Тогава условният максимум очевидно ще бъде равен на него.Той се достига в точката (o,|) и съответства на върха Afj на топката, който е пресечната линия на топката с равнината y = j. В случай на безусловен mvximum, имаме mvximum applicate сред всички vpplicvt на повърхността * = 1 - l;2 ~ y1; summvv условно - само сред vllikvt точките pvraboloidv, съответстващи на точката* на правата y = j, а не на равнината xOy. Един от методите за намиране на условния екстремум на функция при наличие и връзка е следният. Нека уравнението на връзката y) - O дефинира y като уникална диференцируема функция на аргумента x: Замествайки функция вместо y във функцията, получаваме функция на един аргумент, в който условието за връзка вече е взето предвид. (Безусловният) екстремум на функцията е желаният условен екстремум. Пример. Намерете екстремума на функция при условие Екстремум на функция на няколко променливи Концепцията за екстремум на функция на няколко променливи. Необходими и достатъчни условия за екстремум Условен екстремум Най-големите и най-малките стойности на непрекъснатите функции A От уравнението на връзката (2") намираме y = 1-x. Замествайки тази стойност y в (V), получаваме функция на един аргумент x: Нека го разгледаме за екстремума: откъдето x = 1 е критичната точка; , така че той доставя условния минимум на функцията r (фиг. 24). Нека посочим друг начин за решаване на проблема с условното екстремум, наречен метод на множителя на Лагранж. Нека има точка на условния екстремум на функцията при наличие на връзка. Да приемем, че уравнението на връзката дефинира уникална непрекъснато диференцируема функция в определена околност на точката xx. Ако приемем, че че получаваме, че производната по отношение на x на функцията /(r, ip(x)) в точката xq трябва да бъде равна на нула или, което е еквивалентно на това, диференциала на f(x, y) в точка Mo" O) От уравнението на връзката имаме (5) Умножавайки последното равенство по все още неопределен числов фактор A и добавяйки член по член с равенство (4), ще имаме (приемаме, че). Тогава, поради произволността на dx, получаваме Равенства (6) и (7) изразяват необходимите условия за безусловен екстремум в точката на функцията, която се нарича функция на Лагранж. По този начин условната точка на екстремум на функцията /(x, y), ако, е задължително стационарна точка на функцията на Лагранж, където А е определен числов коефициент. Оттук получаваме правило за намиране на условни екстремуми: за да намерим точки, които могат да бъдат точки на конвенционалния екстремум на функция при наличие на връзка, 1) съставяме функцията на Лагранж, 2) като приравняваме производните на тази функция до нула и добавяне на уравнението на връзката към получените уравнения, получаваме система от три уравнения, от които намираме стойностите на A и координатите x, y на възможните точки на екстремум. Въпросът за съществуването и естеството на условния екстремум се решава въз основа на изследване на знака на втория диференциал на функцията на Лагранж за разглежданата система от стойности x0, V0, A, получена от (8), при условие че Ако , то в точката (x0, V0) функцията /(x, y ) има условен максимум; ако d2F > 0 - тогава условен минимум. По-специално, ако в стационарна точка (xo, J/o) детерминантата D за функцията F(x, y) е положителна, тогава в точката (®o, V0) има условен максимум на функцията f( x, y), ако и условен минимум на функцията /(x, y), ако Пример. Нека се обърнем отново към условията на предишния пример: намерете екстремума на функцията при условие, че x + y = 1. Ще решим проблема, като използваме метода на умножителя на Лагранж. Функцията на Лагранж в този случай има формата За да намерим стационарни точки, съставяме система.От първите две уравнения на системата получаваме, че x = y. Тогава от третото уравнение на системата (уравнението на връзката) намираме, че x - y = j са координатите на възможната точка на екстремум. В този случай (посочено е, че A = -1. По този начин функцията на Лагранж. е условната минимална точка на функцията * = x2 + y2 при условието Няма безусловен екстремум за функцията на Лагранж. P(x, y ) все още не означава липса на условен екстремум за функцията /(x, y) при наличие на връзка Пример: Намерете екстремума на функция при условие y 4 Съставяме функцията на Лагранж и записваме система за определяне на A и координатите на възможните точки на екстремум: От първите две уравнения получаваме x + y = 0 и стигаме до системата, откъдето x = y = A = 0. Така съответната функция на Лагранж има формата В точката (0,0) функцията F(x, y; 0) няма безусловен екстремум, но условният екстремум на функцията r = xy. Когато y = x, има ". Наистина, в този случай r = х2.От тук става ясно, че в точката (0,0) има условен минимум.“Методът на множителите на Лагранж се пренася към случая на функции с произволен брой аргументи/ Да търсим екстремума на функцията при наличие на уравнения на връзка Съставете функцията на Лагранж, където A|, Az,..., A„, са неопределени постоянни множители. Приравнявайки на нула всички частични производни от първи ред на функцията F и добавяйки уравнения за връзка (9) към получените уравнения, получаваме система от n + m уравнения, от които определяме Ab A3|..., At и координатите x \) x2). » xn възможни точки на условен екстремум. Въпросът дали точките, намерени с помощта на метода на Лагранж, всъщност са точки на условен екстремум, често може да бъде решен въз основа на съображения от физическо или геометрично естество. 15.3. Най-големите и най-малките стойности на непрекъснати функции Нека е необходимо да се намери най-голямата (най-малката) стойност на функция z = /(x, y), непрекъсната в някаква затворена ограничена област D. Съгласно теорема 3 в тази област има точка (xo, V0), в която функцията приема най-голямата (най-малката) стойност. Ако точката (xo, y0) лежи вътре в областта D, тогава функцията / има максимум (минимум) в нея, така че в този случай точката, която ни интересува, се съдържа сред критичните точки на функцията /(x, y). Функцията /(x, y) обаче може да достигне най-голямата си (най-малката) стойност на границата на региона. Следователно, за да намерите най-голямата (най-малката) стойност, взета от функцията z = /(x, y) в ограничена затворена област 2), трябва да намерите всички максимуми (минимуми) на функцията, постигнати вътре в тази област, както и най-голямата (най-малката) стойност на функцията в границата на тази област. Най-голямото (най-малкото) от всички тези числа ще бъде желаната най-голяма (най-малка) стойност на функцията z = /(x,y) в област 27. Нека покажем как се прави това в случай на диференцируема функция. Prmmr. Намерете най-голямата и най-малката стойност на функцията на област 4. Намираме критичните точки на функцията вътре в област D. За да направим това, съставяме система от уравнения. От тук получаваме x = y « 0, така че точка 0 (0,0) е критичната точка на функцията x. Тъй като Нека сега намерим най-големите и най-малките стойности на функцията на границата Г на областта D. На част от границата имаме, че y = 0 е критична точка, и тъй като = тогава в тази точка функцията z = 1 + y2 има минимум, равен на единица. В краищата на сегмента Г", в точки (, имаме. Използвайки съображения за симетрия, получаваме същите резултати за други части на границата. Накрая получаваме: най-малката стойност на функцията z = x2+y2 в областта "B е равно на нула и се постига във вътрешната точка 0( 0, 0) област, а максималната стойност на тази функция, равна на две, се постига в четири точки на границата (фиг. 25) Фиг. 25 Упражнения Намерете областта на дефиниране на функциите: Постройте линиите на ниво на функциите: 9 Намерете повърхнините на нивото на функциите на три независими променливи: Изчислете граничните функции: Намерете частни производни на функции и техните пълни диференциали: Намерете производни на комплекс функции: 3 Намерете J. Екстремум на функция на няколко променливи Понятие за екстремум на функция на няколко променливи Необходими и достатъчни условия за екстремум Условен екстремум Максимални и минимални стойности на непрекъснати функции 34. Използване на формулата за производната на a комплексна функция две променливи, намиране и функции: 35. Използвайки формулата за производна на комплексна функция на две променливи, намерете |J и функции: Намерете jj функции, дадени имплицитно: 40. Намерете наклона на допирателната в точката на пресечната му точка с правата x = 3. 41. Намерете точките, в които тангентата на кривата x е успоредна на оста Ox. . В следните задачи намерете и T: Напишете уравненията на допирателната равнина и нормалата на повърхността: 49. Напишете уравненията на допирателните равнини на повърхността x2 + 2y2 + 3z2 = 21, успоредна на равнината x + 4y + 6z = 0. Намерете първите три или четири члена на разширението, като използвате формулата на Тейлър: 50. y в близост до точката (0, 0). Използвайки определението за екстремум на функция, разгледайте следните функции за екстремум:). Използвайки достатъчни условия за екстремума на функция на две променливи, изследвайте екстремума на функцията: 84. Намерете най-голямата и най-малката стойност на функцията z = x2 - y2 в затворен кръг 85. Намерете най-голямата и най-малката стойност ​​на функцията * = x2y(4-x-y) в триъгълник, ограничен от прави линии x = 0, y = 0, x + y = b. 88. Определете размерите на правоъгълен открит басейн, който има най-малката повърхност, при условие че обемът му е равен на V. 87. Намерете размерите на правоъгълен паралелепипед, който има максимален обем при обща повърхност 5. Отговори 1. и | Квадрат, образуван от отсечки x, включително страните му. 3. Семейство от концентрични пръстени 2= 0,1,2,... .4. Цялата равнина с изключение на точките на правите линии. Част от равнината, разположена над параболата y = -x?. 8. Точки от окръжността x. Цялата равнина с изключение на прави линии x Радикалният израз е неотрицателен в два случая j * ^ или j x ^ ^, което е еквивалентно съответно на безкрайна поредица от неравенства Областта на дефиниция е защриховани квадрати (фиг. 26); l, което е еквивалентно на безкрайна серия Функцията е дефинирана в точки. а) Прави, успоредни на права линия x б) концентрични окръжности с център в началото. 10. а) параболи у) параболи у а) параболи б) хиперболи | .Самолети xc. 13.Prime - хиперболоиди с една кухина на въртене около оста Oz; когато и са двуслойни хиперболоиди на въртене около оста Oz, двете семейства повърхности са разделени от конус; Няма граница, b) 0. 18. Нека зададем y = kxt, след това z lim z = -2, така че дадената функция в точка (0,0) няма граница. 19. а) Точка (0,0); б) точка (0,0). 20. а) Прекъсната линия - окръжност x2 + y2 = 1; б) линията на прекъсване е правата линия y = x. 21. а) Линии на прекъсване - координатни оси Ox и Oy; б) 0 (празно множество). 22. Всички точки (m, n), където и n са цели числа

УСЛОВЕН ЕКСТРЕМ

Минималната или максималната стойност, постигната от дадена функция (или функционал), при условие че някои други функции (функционали) приемат стойности от даден допустим набор. Ако няма условия, ограничаващи промените в независимите променливи (функции) в посочения смисъл, тогава говорим за безусловен екстремум.
Класически задача по U. e. е проблемът за определяне на минимума на функция на няколко променливи

При условие, че някои други функции приемат дадените стойности:

В тази задача G, на когото трябва да принадлежат стойностите на векторната функция g=(g 1, ...,g m), включени в допълнителни условия (2), има фиксирана точка c=(c 1, ..., с т) в m-мерно евклидово пространство
Ако в (2) заедно със знака за равенство се допускат знаци за неравенство

След това това води до проблема нелинейно програмиране(13). В задача (1), (3) множеството G от допустимите стойности на векторната функция g е определена криволинейна, принадлежаща към (n-m 1)-мерната хиперповърхност, определена от m 1 , м 1 условия като равенство (3). Границите на посочения криволинеен полиедър са конструирани, като се вземат предвид p-m 1 неравенства, включени в (3).
Специален случай на задача (1), (3) на U.V. е задачата линейно програмиране,в който всички функции f и g iса линейни по x l , ... , x p.В задача за линейно програмиране, множеството G от допустимите стойности на векторната функция g,включени в условията, ограничаващи областта на промяна на променливите x 1, .....x n,представлява , принадлежащ на (n-t 1)-мерната хиперравнина, определена от m 1 условия от типа равенство в (3).
По същия начин, повечето проблеми на оптимизацията на функционалите представляват практически интересът се свежда до проблеми на U. e. (см. Изопериметричен проблем, проблем на пръстена, проблем на Лагранж, проблем на Манер). Същото като в математиката. програмиране, основните проблеми на вариационното смятане и теорията на оптималното управление са проблеми в електронните системи.
При решаване на задачи в електронни системи, особено при разглеждане на теоретични такива. въпроси, свързани с проблеми в електронните системи, използването на неопределен множители на Лагранж,което ни позволява да намалим проблема до U. e. към проблема за безусловното и опростете необходимите условия за оптималност. Използването на множителите на Лагранж е в основата на повечето класически изследвания. методи за решаване на проблеми в електронни системи.

Лит.: Хедли Дж., Нелинейно и, прев. от англ., М., 1967; Блис Г. А., Лекции по вариационното смятане, прев. от англ., М., 1950; Понтрягин Л. С. [и др.], Математически оптимални процеси, 2 изд., М., 1969.
И. Б. Вапнярски.

Математическа енциклопедия. - М.: Съветска енциклопедия. И. М. Виноградов. 1977-1985 г.

Вижте какво е "CONDITIONAL EXTREME" в други речници:

Относителен екстремум, екстремум на функция f (x1,..., xn + m) от n + m променливи при предположението, че тези променливи също са обект на m уравнения на връзка (условия): φk (x1,..., xn + m) = 0, 1≤ k ≤ m (*) (вижте екстремума).… …

Нека множеството е отворено и функциите са дадени. Нека бъде. Тези уравнения се наричат ​​уравнения на ограничения (терминологията е заимствана от механиката). Нека една функция е дефинирана в G... Wikipedia

- (от латинското extremum extreme) стойността на непрекъсната функция f (x), която е максимум или минимум. По-точно: функция f (x), непрекъсната в точка x0, има максимум (минимум) в x0, ако има околност (x0 + δ, x0 δ) на тази точка,... ... Велика съветска енциклопедия

Този термин има други значения, вижте Екстремум (значения). Екстремум (лат. extremum extreme) в математиката е максималната или минималната стойност на функция върху дадено множество. Точката, в която се достига екстремума... ... Wikipedia

Функция, използвана при решаване на проблеми с условния екстремум на функции на много променливи и функционали. С помощта на L. f. записват се необходимите условия за оптималност при задачи върху условен екстремум. В този случай не е необходимо да се изразяват само променливи... Математическа енциклопедия

Математическа дисциплина, посветена на намирането на екстремни (най-големи и най-малки) стойности на функционали на променливи, които зависят от избора на една или повече функции. В и. е естествено развитие на тази глава... ... Велика съветска енциклопедия

Променливи, с помощта на които се конструира функцията на Лагранж при изследване на задачи върху условен екстремум. Използването на линейни методи и функцията на Лагранж ни позволява да получим необходимите условия за оптималност в проблеми, включващи условен екстремум по еднакъв начин... Математическа енциклопедия

Вариационното смятане е клон на функционалния анализ, който изучава вариациите на функционалите. Най-типичният проблем в вариационното смятане е да се намери функция, върху която даден функционал постига... ... Wikipedia

Клон на математиката, посветен на изучаването на методи за намиране на екстремуми на функционали, които зависят от избора на една или няколко функции при различни видове ограничения (фазови, диференциални, интегрални и т.н.), наложени на тези... ... Математическа енциклопедия

Вариационното смятане е дял от математиката, който изучава вариациите на функционалите. Най-типичният проблем при вариационното смятане е да се намери функцията, при която функционалът достига екстремна стойност. Методи... ...Уикипедия

Книги

• Лекции по теория на управлението. Том 2. Оптимално управление, В. Бос. Разглеждат се класическите проблеми на теорията на оптималното управление. Презентацията започва с основните концепции за оптимизация в крайномерни пространства: условен и безусловен екстремум,...

Първо, нека разгледаме случая на функция на две променливи. Условният екстремум на функция $z=f(x,y)$ в точка $M_0(x_0;y_0)$ е екстремумът на тази функция, постигнат при условие, че променливите $x$ и $y$ в околностите на тази точка отговарят на уравнението за връзка $\ varphi (x,y)=0$.

Името „условен“ екстремум се дължи на факта, че върху променливите е наложено допълнително условие $\varphi(x,y)=0$. Ако една променлива може да бъде изразена от уравнението на връзката чрез друга, тогава проблемът за определяне на условния екстремум се свежда до проблема за определяне на обичайния екстремум на функция на една променлива. Например, ако уравнението на връзката предполага $y=\psi(x)$, тогава замествайки $y=\psi(x)$ в $z=f(x,y)$, получаваме функция на една променлива $z =f\left (x,\psi(x)\right)$. В общия случай обаче този метод е малко полезен, така че се налага въвеждането на нов алгоритъм.

Метод на умножителя на Лагранж за функции на две променливи.

Методът на умножителя на Лагранж се състои от конструиране на функция на Лагранж за намиране на условен екстремум: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (параметърът $\lambda$ се нарича множител на Лагранж). Необходимите условия за екстремума се определят от система от уравнения, от които се определят стационарните точки:

$$ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0. \end(aligned) \right. $$

Достатъчно условие, от което може да се определи естеството на екстремума, е знакът $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy) ^("" )dy^2$. Ако в стационарна точка $d^2F > 0$, тогава функцията $z=f(x,y)$ има условен минимум в тази точка, но ако $d^2F< 0$, то условный максимум.

Има и друг начин да се определи естеството на екстремума. От уравнението на свързване получаваме: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, следователно във всяка неподвижна точка имаме:

$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("") \вдясно)$$

Вторият фактор (разположен в скоби) може да бъде представен в следната форма:

Елементите на детерминантата $\left| са маркирани в червено. \begin(масив) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (масив)\right|$, което е хесианът на функцията на Лагранж. Ако $H > 0$, тогава $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0$, т.е. имаме условен минимум на функцията $z=f(x,y)$.

Бележка относно записа на детерминанта $H$. Покажи скрий

$$ H=-\left|\begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ край (масив) \right| $$

В тази ситуация правилото, формулирано по-горе, ще се промени, както следва: ако $H > 0$, тогава функцията има условен минимум и ако $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

Алгоритъм за изследване на функция на две променливи за условен екстремум

1. Съставете функцията на Лагранж $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
2. Решете системата $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi (x,y)=0. \end(aligned) \right.$
3. Определете естеството на екстремума във всяка от стационарните точки, намерени в предходния параграф. За да направите това, използвайте някой от следните методи:
   • Съставете детерминантата на $H$ и намерете знака му
   • Като вземете предвид уравнението за свързване, изчислете знака на $d^2F$

Метод на множителя на Лагранж за функции на n променливи

Да кажем, че имаме функция от $n$ променливи $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ и $m$ уравнения за свързване ($n > m$):

$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$

Означавайки множителите на Лагранж като $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$, съставяме функцията на Лагранж:

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

Необходимите условия за наличие на условен екстремум се дават от система от уравнения, от които се намират координатите на стационарни точки и стойностите на множителите на Лагранж:

$$\left\(\begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(aligned) \right.$$

Можете да разберете дали функцията има условен минимум или условен максимум в намерената точка, както преди, като използвате знака $d^2F$. Ако в намерената точка $d^2F > 0$, тогава функцията има условен минимум, но ако $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

Детерминанта на матрицата $\left| \begin(масив) (ccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F )(\partial x_(2)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_(n))\\ \frac(\partial^2F )(\partial x_(3) \partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( масив) \right|$, подчертано в червено в матрицата $L$, е Хесианът на функцията на Лагранж. Използваме следното правило:

• Ако знаците на ъгловите минори $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ матрици $L$ съвпадат със знака на $(-1)^m$, тогава изследваната стационарна точка е условната минимална точка на функцията $ z=f(x_1,x_2 ,x_3,\ldots,x_n)$.
• Ако знаците на ъгловите минори $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ се редуват и знакът на второстепенното $H_(2m+1)$ съвпада със знака на числото $(-1)^(m+1 )$, тогава стационарната точка е условната максимална точка на функцията $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.

Пример №1

Намерете условния екстремум на функцията $z(x,y)=x+3y$ при условие $x^2+y^2=10$.

Геометричната интерпретация на тази задача е следната: изисква се да се намерят най-голямата и най-малката стойност на апликацията на равнината $z=x+3y$ за точките на нейното пресичане с цилиндъра $x^2+y ^2=10$.

Донякъде е трудно да изразим една променлива чрез друга от уравнението за свързване и да я заместим във функцията $z(x,y)=x+3y$, така че ще използваме метода на Лагранж.

Означавайки $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$, съставяме функцията на Лагранж:

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial F)(\partial x)=1+2\lambda x; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$

Нека напишем система от уравнения за определяне на стационарните точки на функцията на Лагранж:

$$ \left \( \begin(aligned) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (подравнено)\вдясно.$$

Ако приемем $\lambda=0$, тогава първото уравнение става: $1=0$. Полученото противоречие показва, че $\lambda\neq 0$. При условието $\lambda\neq 0$, от първото и второто уравнение имаме: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. Замествайки получените стойности в третото уравнение, получаваме:

$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(aligned) \right.\\ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\край (подравнено) $$

И така, системата има две решения: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ и $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. Нека разберем природата на екстремума във всяка стационарна точка: $M_1(1;3)$ и $M_2(-1;-3)$. За да направим това, ние изчисляваме детерминантата на $H$ във всяка точка.

$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\ламбда;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\left| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \ляво| \begin(масив) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(масив) \right|= 8\cdot\left| \begin(масив) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(масив) \right| $$

В точка $M_1(1;3)$ получаваме: $H=8\cdot\left| \begin(масив) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(масив) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(array) \right|=40 > 0$, така че при точка $M_1(1;3)$ функцията $z(x,y)=x+3y$ има условен максимум, $z_(\max)=z(1;3)=10$.

По същия начин в точка $M_2(-1,-3)$ намираме: $H=8\cdot\left| \begin(масив) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(масив) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(array) \right|=-40$. От $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

Отбелязвам, че вместо да се изчислява стойността на детерминантата $H$ във всяка точка, е много по-удобно да се разшири в общ вид. За да не претрупвам текста с подробности, ще скрия този метод под бележка.

Записване на детерминантата $H$ в общ вид. Покажи скрий

$$ H=8\cdot\left|\begin(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(array)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right). $$

По принцип вече е очевидно какъв знак има $H$. Тъй като нито една от точките $M_1$ или $M_2$ не съвпада с началото, то $y^2+x^2>0$. Следователно знакът на $H$ е противоположен на знака на $\lambda$. Можете да завършите изчисленията:

$$ \begin(aligned) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\right)=-40. \end(подравнено) $$

Въпросът за природата на екстремума в стационарните точки $M_1(1;3)$ и $M_2(-1;-3)$ може да бъде решен без използване на детерминантата $H$. Нека намерим знака на $d^2F$ във всяка неподвижна точка:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\right) $$

Нека отбележа, че записът $dx^2$ означава точно $dx$, повдигнат на втора степен, т.е. $\left(dx \right)^2$. Следователно имаме: $dx^2+dy^2>0$, следователно с $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ получаваме $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

Отговор: в точка $(-1;-3)$ функцията има условен минимум, $z_(\min)=-10$. В точка $(1;3)$ функцията има условен максимум, $z_(\max)=10$

Пример №2

Намерете условния екстремум на функцията $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ при условие $x+y=0$.

Първи метод (метод на умножителя на Лагранж)

Означавайки $\varphi(x,y)=x+y$, съставяме функцията на Лагранж: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+ 4x^2 -xy+\lambda(x+y)$.

$$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(aligned) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ ламбда=0; \\ & x+y=0. \end(подравнено) \right. $$

След като решихме системата, получаваме: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ и $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)( 9)$ , $\lambda_2=-10$. Имаме две стационарни точки: $M_1(0;0)$ и $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. Нека открием природата на екстремума във всяка стационарна точка, като използваме детерминантата $H$.

$$H=\ляво| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \ляво| \begin(масив) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(масив) \right|=-10-18y $$

В точка $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, следователно в тази точка функцията има условен максимум, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.

Ние изследваме природата на екстремума във всяка точка, използвайки различен метод, базиран на знака на $d^2F$:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$

От уравнението на връзката $x+y=0$ имаме: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

Тъй като $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, тогава $M_1(0;0)$ е условната минимална точка на функцията $z(x,y)=3y^3+ 4x^ 2-xy$. По същия начин $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

Втори начин

От уравнението на връзката $x+y=0$ получаваме: $y=-x$. Замествайки $y=-x$ във функцията $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, получаваме някаква функция на променливата $x$. Нека означим тази функция като $u(x)$:

$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$

Така сведохме проблема за намиране на условния екстремум на функция на две променливи до проблема за определяне на екстремума на функция на една променлива.

$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ ; y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);\; y_2=-x_2=-\frac(10)(9). $$

Получихме точки $M_1(0;0)$ и $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$. Допълнителни изследвания са известни от курса на диференциалното смятане на функциите на една променлива. Като изследваме знака на $u_(xx)^("")$ във всяка неподвижна точка или проверяваме промяната в знака на $u_(x)^(")$ в намерените точки, получаваме същите заключения, както когато решаване на първия метод. Например ще проверим знака $u_(xx)^("")$:

$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$

Тъй като $u_(xx)^("")(M_1)>0$, тогава $M_1$ е минималната точка на функцията $u(x)$ и $u_(\min)=u(0)=0 $ . Тъй като $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

Стойностите на функцията $u(x)$ за дадено условие на свързване съвпадат със стойностите на функцията $z(x,y)$, т.е. намерените екстремуми на функцията $u(x)$ са търсените условни екстремуми на функцията $z(x,y)$.

Отговор: в точката $(0;0)$ функцията има условен минимум, $z_(\min)=0$. В точката $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ функцията има условен максимум, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.

Нека разгледаме друг пример, в който ще изясним природата на екстремума чрез определяне на знака на $d^2F$.

Пример №3

Намерете най-голямата и най-малката стойност на функцията $z=5xy-4$, ако променливите $x$ и $y$ са положителни и удовлетворяват уравнението за свързване $\frac(x^2)(8)+\frac( y^2)(2) -1=0$.

Нека съставим функцията на Лагранж: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. Нека намерим стационарните точки на функцията на Лагранж:

$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \left \( \begin(aligned) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; \;y > 0. \end(aligned) \right. $$

Всички следващи трансформации се извършват, като се вземе предвид $x > 0; \; y > 0$ (това е посочено в формулировката на проблема). От второто уравнение изразяваме $\lambda=-\frac(5x)(y)$ и заместваме намерената стойност в първото уравнение: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)(4 )=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Като заместим $x=2y$ в третото уравнение, получаваме: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y =1$.

Тъй като $y=1$, тогава $x=2$, $\lambda=-10$. Ние определяме природата на екстремума в точката $(2;1)$ въз основа на знака на $d^2F$.

$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\ламбда. $$

Тъй като $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, тогава:

$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$

По принцип тук можете веднага да замените координатите на стационарната точка $x=2$, $y=1$ и параметъра $\lambda=-10$, получавайки:

$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \right)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$

Въпреки това, в други задачи на условен екстремум може да има няколко стационарни точки. В такива случаи е по-добре да представите $d^2F$ в общ вид и след това да замените координатите на всяка от намерените неподвижни точки в получения израз:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$

Замествайки $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$, получаваме:

$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$

Тъй като $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

Отговор: в точка $(2;1)$ функцията има условен максимум, $z_(\max)=6$.

В следващата част ще разгледаме приложението на метода на Лагранж за функции на по-голям брой променливи.