Математически модели на най-простите системи за масово обслужване. Функциите p0(t) и p1(t) определят преходния процес в едноканална QS и описват процеса на експоненциално приближаване на QS към нейното гранично състояние с характерна времеконстанта d

23 октомври 2013 г. в 14:22 ч

Squeak: Моделиране на системи за опашка

• програмиране,
• ООП,
• Паралелно програмиране

В Habré има много малко информация за такъв език за програмиране като Squeak. Ще се опитам да говоря за това в контекста на моделирането на системи за масово обслужване. Ще ви покажа как да напишете прост клас, да обясня структурата му и да го използвате в програма, която ще обслужва заявки през няколко канала.

Няколко думи за Squeak

Squeak е отворена, междуплатформена реализация на езика за програмиране Smalltalk-80 с динамично писане и събиране на отпадъци. Интерфейсът е доста специфичен, но доста удобен за отстраняване на грешки и анализ. Squeak напълно отговаря на концепцията на OOP. Всичко е съставено от обекти, дори структури ако-тогава-иначе, за, докатореализирани с тяхна помощ. Целият синтаксис се свежда до изпращане на съобщение до обекта във формата:

<объект> <сообщение>

Всеки метод винаги връща обект и към него може да бъде изпратено ново съобщение.
Squeak често се използва за моделиране на процеси, но може да се използва и като инструмент за създаване на мултимедийни приложения и различни образователни платформи.

Системи за масово обслужване

Системите за опашка (QS) съдържат един или повече канали, които обработват заявки, идващи от няколко източника. Времето за обслужване на всяка заявка може да бъде фиксирано или произволно, както и интервалите между тяхното постъпване. Това може да е телефонна централа, пералня, касиерки в магазин, машинописно бюро и т.н. Изглежда по следния начин:

QS включва няколко източника, които влизат в обща опашка и се изпращат за обслужване, когато каналите за обработка се освободят. В зависимост от специфичните характеристики на реалните системи, моделът може да съдържа различен брой източници на приложения и канали за обслужване и да има различни ограничения за дължината на опашката и свързаната с това възможност за загуба на приложения (откази).

При моделирането на QS обикновено се решават проблемите с оценката на средната и максималната дължина на опашката, честотата на отказите на услугата, средното натоварване на каналите и определянето на техния брой. В зависимост от задачата моделът включва програмни блокове за събиране, натрупване и обработка на необходимите статистически данни за поведението на процесите. Най-често използваните модели на потока от събития в QS анализа са регулярни и Poisson. Редовните се характеризират с едно и също време между настъпването на събитията, а поасоновите се характеризират със случайни.

Малко математика

За поток на Поасон, броят на събитията х, попадащи в интервала на дължина τ (тау), съседен на точката T, разпределени според закона на Поасон:
Където a(t, τ)- среден брой събития, настъпили през интервал от време τ .
Средният брой събития, случващи се за единица време, е λ(t). Следователно средният брой събития за интервал от време τ , съседен на момент от време T, ще бъде равно на:

време Tмежду две събития λ(t) = const = λразпределени съгласно закона:
Плътност на разпределение на случайна величина Tима формата:
За получаване на псевдослучайни поасонови последователности от времеви интервали t iреши уравнението:
Където r i- произволно число, равномерно разпределено в интервала.
В нашия случай това дава израза:

Цели томове могат да бъдат написани чрез генериране на произволни числа. Тук, за да генерираме цели числа, равномерно разпределени в интервала, използваме следния алгоритъм:
Където R i- друго произволно цяло число;
Р- някое голямо просто число (например 2311);
Q- цяло число - горната граница на интервала, например 2 21 = 2097152;
рем- операция за получаване на остатък от деление на цели числа.

Първоначална стойност R0обикновено се задават произволно, например, като се използват показанията на таймера:
Общо време секунди
За да получим числа, равномерно разпределени в интервал, използваме езиковия оператор:

Ранд клас

За да получим случайни числа, равномерно разпределени в интервал, създаваме клас - генератор на реални числа:

Float variableWordSubclass: #Rand "име на клас" instanceVariableNames: "" "променливи на екземпляр" classVariableNames: "R" "променливи на клас" poolDictionaries: "" "общи речници" категория: "Пример" "име на категория"
Методи:

"Инициализация" init R:= Time totalSeconds.next "Следващо псевдослучайно число" next R:= (R * 2311 + 1) rem: 2097152. ^(R/2097152) asFloat
За да зададете първоначалното състояние на сензора, изпратете съобщение Rand инициал.
За да получите следващото произволно число, което изпращаме ранд следващ.

Програма за обработка на заявления

И така, като прост пример, нека направим следното. Да предположим, че трябва да моделираме обслужване на редовен поток от заявки от един източник с случаен интервал от време между заявките. Има два канала с различна производителност, които ви позволяват да обслужвате заявки съответно за 2 и 7 единици време. Необходимо е да се регистрира броя на заявките, обслужени от всеки канал за интервал от 100 времеви единици.

Код за Squeak

„Деклариране на временни променливи“ | proc1 proc2 t1 t2 s1 s2 sysPriority опашка продължи r | "Първоначални настройки на променлива" Rand инициал. SysTime:= 0. s1:= 0. s2:= 0. t1:= -1. t2:= -1. продължи:= вярно. sysPriority:= Приоритет на активния процес на процесора. Опашка "Текущ приоритет":= Семафор нов. „Модел на опашка за заявка“ „Създаване на процес – модел на канал 1“ (Процес за Контекст: [ proc1:= Процесор activeProcess. whileTrue: „Цикъл на обслужване“ [ чакане на опашка. „Изчакване на заявка“ t1:= SysTime + 2. „Следващо активиране време" s1:= s1 + 1. proc1 спиране. "Суспендиране на процеса, докато чака края на услугата" ] proc1:= нула. "Премахване на препратката към процес 1" ] приоритет: (sysPriority + 1)) възобновяване. „Новият приоритет е по-голям от фона“ „Създаване на процес – модел на канал 2“ (Process forContext: [ proc2:= Processor activeProcess.. whileTrue: [ queue wait. t2:= SysTime + 7. s2:= s2 + 1 .proc2 спиране.] .proc2:= нула.] приоритет: (sysPriority + 1)) възобновяване. „Продължение на описанието на основния процес и изходния модел“ whileTrue: [ r:= (Rand next * 10) закръглено. (r = 0) ifTrue: . ((SysTime rem: r) = 0) ifTrue: . „Изпращане на заявка“ „Превключване на процеса на обслужване“ (t1 = SysTime) ifTrue: . (t2 = SysTime) ifTrue: . SysTime:= SysTime + 1. „Времето на модела тиктака“ ]. „Показване на състоянието на брояча на поръчки“ Изскачащото меню информира: „proc1: „,(s1 printString),“, proc2: „,(s2 printString). продължи:= невярно.

При стартиране виждаме, че процес 1 успя да обработи 31 заявки, а процес 2 само 11:

Класификация, основни понятия, елементи на модела, изчисляване на основни характеристики.

При решаване на проблемите на рационалната организация на търговията, потребителското обслужване, складирането и др. Много полезно е дейностите на производствената структура да се интерпретират като системи за масово обслужване, т.е. система, в която, от една страна, постоянно има заявки за извършване на някаква работа, а от друга страна, тези заявки непрекъснато се удовлетворяват.

Всеки QS включва четири елемента: входящ поток, опашка, сървър, изходящ поток.

Изискване(клиент, приложение) в QS е всяка отделна заявка за извършване на каквато и да е работа.

Обслужване- това е извършването на работа за задоволяване на полученото изискване. Обектът, който извършва обслужване на заявки, се нарича обслужващо устройство (устройство) или обслужващ канал.

Времето за услуга е периодът, през който е удовлетворена заявка за услуга, т.е. периодът от началото на услугата до нейното завършване. Периодът от момента на постъпване на заявка в системата до началото на услугата се нарича време на изчакване на услугата. Времето за изчакване за услуга, заедно с времето за услуга, представлява времето, през което заявката остава в системата.

SMO се класифицират според различни критерии.

1. Въз основа на броя на обслужващите канали QS се разделят на едноканални и многоканални.

2. В зависимост от условията на изчакване и изискването за започване на обслужване се прави разлика между QS със загуби (откази) и QS с изчакване.

IN QS с изисквания за загуба, получени в момент, когато всички устройства са заети с обслужване, се отхвърлят, те се губят за тази система и нямат ефект върху по-нататъшния процес на обслужване. Класически пример за неизправна система е телефонната централа - отказва се заявка за връзка, ако виканият абонат е зает.

За система с повреди, основната характеристика на оперативната ефективност е вероятността от повреда или средната част от приложенията, които остават необслужени.

IN QS с очакване на изискване, пристигайки в момент, когато всички устройства са заети с обслужване, не напуска системата, а се нарежда на опашка и чака, докато един от каналите се освободи. Когато следващото устройство стане достъпно, една от заявките в опашката незабавно се приема за обслужване.

За QS с изчакване основните характеристики са математическите очаквания на дължината на опашката и времето на изчакване.

Пример за система на изчакване е процесът на възстановяване на телевизори в сервиз.

Между тези две групи има системи ( смесен SMO). Те се характеризират с наличието на някои междинни условия: ограниченията могат да бъдат ограничения на времето за изчакване за начало на услугата, на дължината на опашката и др.

Характеристиките на производителността могат да бъдат приложени към вероятността от повреда както в системи със загуба (или характеристики на латентност), така и в системи за изчакване.

3. Според дисциплината за поддръжка QS системите се разделят на системи с приоритет в поддръжката и системи без приоритет в поддръжката.

Заявките могат да се обслужват в реда, в който са получени, на случаен принцип или въз основа на установени приоритети.

4. SMO може да бъде еднофазен и многофазен.

IN монофазнисистеми, изискванията се обслужват от канали от един тип (например работници от една и съща професия), без да се прехвърлят от един канал в друг, в многофазенсистеми такива трансфери са възможни.

5. Въз основа на местоположението на източника на изискванията QS системите се делят на отворени (когато източникът на изискването е извън системата) и затворени (когато източникът е в самата система).

ДА СЕ затворенТе включват системи, в които входящият поток от заявки е ограничен. Например майсторът, чиято задача е да настрои машините в цеха, трябва периодично да ги обслужва. Всяка коригирана машина се превръща в потенциален източник на изисквания за настройка в бъдеще. В такива системи общият брой на циркулиращите изисквания е краен и най-често постоянен.

Ако източникът на доставка има безкраен брой изисквания, тогава се извикват системите отворен. Примери за такива системи включват магазини, билетни каси на гари, пристанища и др. За тези системи входящият поток от заявки може да се счита за неограничен.

Методите и моделите за изследване на QS могат да бъдат разделени на аналитични и статистически (симулационно моделиране на процеси на масово обслужване).

Аналитичните методи позволяват да се получат характеристиките на системата като някои функции на параметрите на нейното функциониране. Благодарение на това става възможно да се извърши качествен анализ на влиянието на отделните фактори върху ефективността на QS.

За съжаление само сравнително ограничен набор от проблеми в теорията на масовото обслужване могат да бъдат решени аналитично. Въпреки продължаващото развитие на аналитичните методи, в много реални случаи аналитично решение или е невъзможно да се получи, или получените зависимости се оказват толкова сложни, че анализът им се превръща в трудна задача сама по себе си. Следователно, за да можем да използваме аналитични методи за решаване, трябва да прибягваме до различни опростяващи допускания, което до известна степен се компенсира от възможността за използване на качествен анализ на крайните зависимости (в този случай, разбира се, това е необходимо направените предположения да не изкривяват реалната картина на процеса).

Понастоящем най-теоретично разработените и удобни в практическите приложения са методите за решаване на проблеми с опашката, при които потокът от изисквания е най-простият ( Поасон).

За най-простия поток честотата на пристигане на изисквания в системата се подчинява на закона на Поасон, т.е. вероятността за пристигане във време t, равно на k изисквания, се дава по формулата:

където λ е параметърът на потока (виж по-долу).

Най-простият поток има три основни свойства: обикновен, стационарен и липса на последействие.

Обикновеностпоток означава практическата невъзможност за едновременно пристигане на две или повече искания. Например, вероятността е доста малка от група машини, обслужвани от екип от майстори, няколко машини да се повредят едновременно.

СтационаренНаречен поток, за които математическото очакване на броя заявки, постъпващи в системата за единица време (означено с λ), не се променя с времето. По този начин вероятността определен брой искания да постъпят в системата през даден период от време Δt зависи от неговата стойност и не зависи от началото на отчитането му по времевата ос.

Без последействиеозначава, че броят на заявките, получени в системата преди времето t, не определя колко искания ще влязат в системата по време на време t + Δt.

Например, ако се скъса нишка на тъкачен стан в даден момент и тя бъде поправена от тъкача, тогава това не определя дали ще се появи ново скъсване на този стан в следващия момент или не, още по-малко влияят върху вероятността от счупване на други станове.

Важна характеристика на QS е времето, необходимо за обслужване на изискванията в системата. Времето за обслужване по правило е случайна променлива и следователно може да се опише със закон за разпределение. Най-широко използваният в теорията и особено в практическите приложения е експоненциалният закон. За този закон функцията на разпределение на вероятностите има формата:

F(t) = 1 – e -μt,

тези. вероятността времето за обслужване да не надвишава определена стойност t се определя по формулата (1 – e -μt), където μ е параметърът на експоненциалния закон на времето за обслужване за изискванията в системата - реципрочната стойност на средната услуга време, т.е. .

Нека разгледаме аналитичните модели на QS с очакване(най-разпространеният QS, при който заявките, получени, когато всички обслужващи единици са заети, се поставят на опашка и се обслужват като обслужващи единици се освобождават).

Задачите с опашки са типични в производствени среди, например при организиране на настройка и ремонт, по време на поддръжка на няколко машини и др.

Общата постановка на проблема е следната.

Системата се състои от n обслужващи канала. Всеки от тях може да обслужва само едно изискване в даден момент. Системата получава прост (поасонов) поток от заявки с параметър λ. Ако към момента на пристигането на следващата заявка в системата вече има поне n заявки за обслужване (т.е. всички канали са заети), тогава тази заявка се поставя на опашка и чака обслужването да започне.

Времето за обслужване на всяка заявка t about е случайна променлива, която се подчинява на експоненциален закон на разпределение с параметър μ.

Както беше отбелязано по-горе, QS с очакване може да се раздели на две големи групи: затворени и отворени.

Особеностите на функциониране на всеки от тези два вида системи налагат своя нюанс върху използвания математически апарат. Изчисляването на работните характеристики на различни видове QS може да се извърши въз основа на изчисляване на вероятностите на QS състояния (формули на Erlang).

Тъй като системата е затворена, към изложението на проблема трябва да се добави условие: потокът от входящи изисквания е ограничен, т.е. в обслужващата система не може да има едновременно повече от m изисквания (m е броят на обслужваните обекти).

Като основни критерии, характеризиращи качеството на функциониране на разглежданата система, ще изберем: 1) съотношението на средната дължина на опашката към най-големия брой заявки, разположени едновременно в обслужващата система - скоростта на престой на обслужвания обект; 2) съотношението на средния брой неактивни обслужващи канали към общия им брой - коефициентът на празен ход на обслужвания канал.

Нека разгледаме изчисляването на необходимите вероятностни характеристики (показатели за ефективност) на затворена QS.

1. Вероятността в системата да има k изисквания, при условие че техният брой не надвишава броя на сервизните устройства n:

P k = α k P 0 , (1 ≤ k ≤ n),

Където

λ е честотата (интензивността) на изискванията, постъпващи в системата от един източник;

Средна продължителност на обслужване на една заявка;

m е възможно най-големият брой изисквания, разположени в обслужващата система едновременно;

n - брой сервизни устройства;

P 0 е вероятността всички сервизни устройства да са свободни.

2. Вероятността в системата да има k заявки, при условие че техният брой е по-голям от броя на обслужващите устройства:

P k = α k P 0, (n ≤ k ≤ m),

Където

3. Вероятността всички сервизни устройства да са свободни се определя от условието

следователно,

4. Среден брой заявки, чакащи да започне услугата (средна дължина на опашката):

5. Заявете процент на престой в очакване на услуга:

6. Вероятност всички обслужващи устройства да са заети:

7. Среден брой изисквания в системата за обслужване (обслужени и чакащи услуги):

8. Степен на пълен престой на изискванията за поддръжка и чакаща поддръжка:

9. Средно време на престой на заявка в опашката за услуга:

10. Среден брой устройства за безплатно обслужване:

11. Коефициент на престой на сервизните устройства:

12. Вероятността броят на заявките, чакащи за услуга, да е по-голям от определено число B (вероятността да има повече от B заявки в опашката за услуга):

В много области на икономиката, финансите, производството и ежедневието, системите, които изпълняват многократно изпълнение на подобни задачи, играят важна роля. Такива системи се наричат системи за опашка ( SMO ). Примери за QS са: различни видове банки, застрахователни организации, данъчни инспекции, одиторски служби, различни комуникационни системи, товаро-разтоварни комплекси, бензиностанции, различни предприятия и обслужващи организации.

3.1.1 Обща информация за системите за масово обслужване

Всеки QS е проектиран да обслужва (изпълнява) определен поток от приложения (изисквания), които пристигат на входа на системата, най-често не редовно, а в произволни моменти. Обслужването на приложения също не продължава постоянно, предварително определено време, а случайно, което зависи от много случайни, понякога неизвестни за нас причини. След обслужване на заявката каналът се освобождава и е готов да приеме следваща заявка. Случайният характер на потока от приложения и времето на тяхното обслужване води до неравномерно натоварване на QS. В някои интервали от време заявките могат да се натрупват на входа на QS, което води до претоварване на QS; в други интервали от време, когато има свободни канали (обслужващи устройства) на входа на QS, няма да има заявки, което води до недотоварване на QS, т.е. до бездействието на каналите му. Приложенията, които се натрупват на входа на QS, или се „присъединяват“ към опашката, или по някаква причина не могат да продължат да остават в опашката, те оставят QS необслужен.

Фигура 3.1 показва QS диаграмата.

Основните елементи (характеристики) на системите за масово обслужване са:

Сервизна единица (блок),

Поток от приложения

Опашкадокато чакате за обслужване (дисциплина на опашка).

Сервизна единицапредназначени да извършват действия според изискванията на влизащите в системата приложения.

Ориз. 3.1 Диаграма на системата за масово обслужване

Вторият компонент на системите за масово обслужване е входът поток от приложения.Заявленията се въвеждат в системата на случаен принцип. Обикновено се приема, че входният поток се подчинява на някакъв вероятностен закон за продължителността на интервалите между две последователно пристигащи заявки и се приема, че законът за разпределение остава непроменен за известно доста дълго време. Източникът на приложения е неограничен.

Третият компонент е дисциплина на опашката. Тази характеристика описва реда на заявките за обслужване, пристигащи на входа на системата. Тъй като обслужващият блок по правило има ограничен капацитет и приложенията пристигат нередовно, периодично се създава опашка от приложения, чакащи за обслужване, а понякога обслужващата система е неактивна в очакване на приложения.

Основната характеристика на процесите на опашка е случайността. В този случай има две взаимодействащи страни: обслужваната и обслужващата. Случайното поведение на поне една от страните води до случайния характер на процеса на обслужване като цяло. Източниците на случайност във взаимодействието на тези две страни са случайни събития от два вида.

1. Поява на заявление (изискване) за услуга. Причината за случайността на това събитие често е масовият характер на нуждата от услуга.

2. Край на обслужването на следващото приложение. Причините за случайността на това събитие са както случайността на стартиране на услугата, така и произволната продължителност на самата услуга.

Тези случайни събития представляват система от два потока в QS: входен поток от приложения за услуга и изходен поток от обслужвани приложения.

Резултатът от взаимодействието на тези потоци от случайни събития е броят на приложенията в момента в QS, който обикновено се нарича състояние на системата.

Всяка QS, в зависимост от своите параметри на естеството на потока от приложения, броя на обслужващите канали и тяхната производителност и правилата за организация на работа, има определена оперативна ефективност (производителност), която му позволява успешно да се справя с потока от приложения.

Специална област на приложната математика теория на масатаподдръжка (TMO)– занимава се с анализ на процеси в системи за масово обслужване. Предмет на изучаване на теорията на масовото обслужване е QS.

Целта на теорията на масовото обслужване е да разработи препоръки за рационално изграждане на QS, рационална организация на тяхната работа и регулиране на потока от заявки, за да се осигури висока ефективност на работата на QS. За постигането на тази цел се поставят задачите на теорията на масовото обслужване, които се състоят в установяване на зависимостите на ефективността на функциониране на QS от нейната организация.

Проблемите на теорията на опашките са от оптимизационен характер и в крайна сметка са насочени към определяне на версия на системата, която ще осигури минимални общи разходи от чакане за обслужване, загуба на време и ресурси за обслужване и престой на обслужващия блок. Познаването на такива характеристики предоставя на мениджъра информация за разработване на целенасочено влияние върху тези характеристики за управление на ефективността на процесите на опашка.

Като характеристики на ефективността на QS системата обикновено се избират следните три основни групи (обикновено средни) показатели:

Индикатори за ефективност на използването на QS:

Абсолютният капацитет на QS е средният брой заявки, които QS може да обслужи за единица време.

Относителният капацитет на QS е съотношението на средния брой заявления, обслужени от QS за единица време, към средния брой заявки, получени през същото време.

Средна продължителност на периода на заетост на ООП.

Степента на използване на QS е средният дял от времето, през което QS е зает с обслужване на заявки и т.н.

Индикатори за качество на заявките за обслужване:

Средно време за изчакване на приложение на опашката.

Средно време, през което едно приложение остава в CMO.

Вероятността заявката да бъде отказана услуга без изчакване.

Вероятността полученото заявление да бъде незабавно прието за обслужване.

Законът за разпределение на времето, през което една заявка стои на опашката.

Законът за разпределение на времето, през което едно приложение остава в QS.

Средният брой приложения в опашката.

Среден брой заявления в ООП и др.

Индикатори за ефективността на двойката „SMO - потребител“, където „потребител“ се разбира като целия набор от приложения или някои от тях

Операциите или ефективността на системата за масово обслужване са както следва.

За QS с неуспехи:

За SMO с неограничено чаканекакто абсолютната, така и относителната пропускателна способност губят значението си, тъй като всяка входяща заявка рано или късно ще бъде обслужена. За такъв QS важните показатели са:

За Смесен тип QSизползват се и двете групи показатели: и относителни, и абсолютна производителности характеристики на очакванията.

В зависимост от целта на операцията за масова обработка, всеки от дадените индикатори (или набор от индикатори) може да бъде избран като критерий за ефективност.

Аналитичен модел QS е набор от уравнения или формули, които позволяват да се определят вероятностите от състояния на системата по време на нейната работа и да се изчислят показатели за ефективност въз основа на известните характеристики на входящия поток и каналите за обслужване.

Няма общ аналитичен модел за произволна QS. Разработени са аналитични модели за ограничен брой специални случаи на QS. Аналитичните модели, които повече или по-малко точно отразяват реални системи, обикновено са сложни и трудни за визуализиране.

Аналитичното моделиране на QS е значително улеснено, ако процесите, протичащи в QS, са марковски (потоците от заявки са прости, времето за обслужване се разпределя експоненциално). В този случай всички процеси в QS могат да бъдат описани с обикновени диференциални уравнения, а в граничния случай, за стационарни състояния, с линейни алгебрични уравнения и след тяхното решаване могат да се определят избраните показатели за ефективност.

Нека да разгледаме примери за някои QS.

2.5.1. Многоканален QS с повреди

Пример 2.5. Трима пътни инспектори проверяват пътните листи на шофьорите на камиони. Ако поне един инспектор е свободен, преминаващият камион се спира. Ако всички инспектори са заети, камионът минава без да спира. Потокът от камиони е прост, времето за проверка е произволно с експоненциално разпределение.

Тази ситуация може да се моделира чрез триканален QS с откази (без опашка). Системата е отворена, с хомогенни заявки, монофазна, с абсолютно надеждни канали.

Описание на състоянията:

Всички инспектори са безплатни;

Един инспектор е зает;

Двама инспектори са заети;

Трима инспектори са заети.

Графиката на състоянието на системата е показана на фиг. 2.11.

Ориз. 2.11.

На графиката: - интензивност на товарния поток; - интензивност на проверките на документи от един пътен инспектор.

Провежда се симулация, за да се определи частта от превозните средства, които няма да бъдат тествани.

Решение

Необходимата част от вероятността е вероятността за наемане на работа и на тримата инспектори. Тъй като графиката на състоянието представлява типична схема за „смърт и размножаване“, ще намерим с помощта на зависимости (2.2).

Може да се характеризира пропускателната способност на този инспекторски пост относителна производителност:

Пример 2.6. За приемане и обработка на донесенията от разузнавателната група в разузнавателния отдел на сдружението е назначена група от трима офицери. Очакваната интензивност на потока от сигнали е 15 сигнала на час. Средното време за обработка на един доклад от един служител е . Всеки офицер може да получава доклади от всяка разузнавателна група. Освободеният служител обработва последния от получените доклади. Входящите доклади трябва да бъдат обработени с вероятност най-малко 95%.

Определете дали назначеният екип от трима офицери е достатъчен за изпълнение на възложената задача.

Решение

Група служители работи като CMO с повреди, състояща се от три канала.

Поток от доклади с интензивност може да се счита за най-простият, тъй като е съвкупност от няколко разузнавателни групи. Интензивност на услугата . Законът за разпределение е неизвестен, но това е маловажно, тъй като е доказано, че за системи с повреди той може да бъде произволен.

Описанието на състоянията и графиката на състоянието на QS ще бъдат подобни на тези, дадени в пример 2.5.

Тъй като графиката на състоянието е схема „смърт и размножаване“, за нея има готови изрази за граничните вероятности на състоянието:

Отношението се нарича дадена интензивност на потока от приложения. Физическият му смисъл е следният: стойността представлява средния брой заявки, пристигащи в QS за средното време на обслужване на една заявка.

В примера .

В разглеждания QS повреда възниква, когато и трите канала са заети, т.е. Тогава:

защото вероятност за провалпри обработката на отчетите е повече от 34% (), тогава е необходимо да се увеличи персоналът на групата. Нека удвоим състава на групата, т.е. CMO вече ще има шест канала и изчислим:

По този начин само група от шест служители ще могат да обработват входящите доклади с 95% вероятност.

2.5.2. Многоканален QS с изчакване

Пример 2.7. В прелезния участък на реката има 15 подобни прелезни съоръжения. Потокът от оборудване, пристигащо на прелеза, е средно 1 единица/мин, средното време за преминаване на една единица техника е 10 минути (включително връщането на преминаващото превозно средство).

Оценете основните характеристики на пресичането, включително вероятността за незабавно пресичане веднага след пристигането на единицата оборудване.

Решение

Абсолютна производителност, т.е всичко, което се доближи до прелеза, практически се пресича веднага.

Среден брой действащи прелезни съоръжения:

Коефициенти на използване на ферибота и престой:

Разработена е и програма за решаване на примера. Приема се, че интервалите от време за пристигането на оборудването на прелеза и времето за преминаване са разпределени по експоненциален закон.

Степента на използване на кръстовището след 50 пробега е почти същата: .

ВЪВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ФОРМУЛИРАНЕ НА ПРОБЛЕМИ ЗА ОБСЛУЖВАНЕ НА ОПАШКА

1.1 Обща концепция на теорията на масовото обслужване

1.2 Моделиране на системи за масово обслужване

1.3 QS графики на състоянието

1.4 Случайни процеси

Глава II. УРАВНЕНИЯ, ОПИСВАЩИ СИСТЕМИ ЗА ОПАШКИ

2.1 Уравнения на Колмогоров

2.2 Процеси на "раждане - смърт"

2.3 Икономическо и математическо формулиране на проблемите с масовото обслужване

Глава III. МОДЕЛИ НА СИСТЕМИ ЗА ОПАКОВКА

3.1 Едноканален QS с отказ на обслужване

3.2 Многоканален QS с отказ на услуга

3.3 Модел на многофазова система за туристическо обслужване

3.4 Едноканален QS с ограничена дължина на опашката

3.5 Едноканален QS с неограничена опашка

3.6 Многоканален QS с ограничена дължина на опашката

3.7 Многоканален QS с неограничена опашка

3.8 Анализ на системата за опашки в супермаркетите

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Въведение

В момента се появи голямо количество литература, посветена директно на теорията на масовото обслужване, развитието на нейните математически аспекти, както и различни области на нейното приложение - военна, медицинска, транспортна, търговска, авиационна и др.

Теорията на опашките се основава на теорията на вероятностите и математическата статистика. Първоначалното развитие на теорията на масовото обслужване се свързва с името на датския учен А.К. Ерланг (1878-1929), с неговите трудове в областта на проектирането и експлоатацията на телефонни централи.

Теорията на опашките е област от приложната математика, която се занимава с анализ на процеси в системите за производство, услуги и управление, в които хомогенни събития се повтарят много пъти, например в предприятия за потребителски услуги; в системи за приемане, обработка и предаване на информация; автоматични производствени линии и др. Голям принос за развитието на тази теория направиха руските математици А.Я. Хинчин, Б.В. Гнеденко, А.Н. Колмогоров, Е.С. Wentzel и др.

Предметът на теорията на опашките е да се установят зависимости между естеството на потока от заявки, броя на обслужващите канали, производителността на отделен канал и ефективната услуга, за да се намерят най-добрите начини за управление на тези процеси. Проблемите на теорията на опашките са от оптимизационно естество и в крайна сметка включват икономическия аспект на определяне на вариант на системата, който ще осигури минимум общи разходи от чакане за обслужване, загуба на време и ресурси за обслужване и прекъсване на каналите за обслужване.

В търговските дейности приложението на теорията на масовото обслужване все още не е намерило желаното разпространение.

Това се дължи главно на трудността при поставяне на задачи, необходимостта от задълбочено разбиране на съдържанието на търговските дейности, както и надеждни и точни инструменти, които позволяват да се изчислят различни варианти за последиците от управленските решения в търговските дейности.

Глава аз . Задаване на задачи за опашка

1.1 Обща концепция на теорията на масовото обслужване

Природата на масовите услуги в различни области е много фина и сложна. Търговската дейност е свързана с извършването на много операции на етапите на движение, например масата на стоките от сферата на производство към сферата на потребление. Такива операции са товарене на стоки, транспортиране, разтоварване, съхранение, обработка, опаковане и продажба. В допълнение към тези основни операции, процесът на движение на стоките е съпроводен от голям брой предварителни, подготвителни, съпътстващи, паралелни и последващи операции с платежни документи, контейнери, пари, автомобили, клиенти и др.

Изброените фрагменти от търговската дейност се характеризират с масово пристигане на стоки, пари и посетители в произволно време, след което тяхното последователно обслужване (задоволяване на искания, заявки, заявления) чрез извършване на подходящи операции, чието време за изпълнение също е произволно. Всичко това създава неравномерност в работата, поражда недотоварвания, престои и претоварвания в търговската дейност. Опашките причиняват много проблеми например на посетителите в кафенета, столове, ресторанти или шофьорите на автомобили в складовете за стоки, чакащи за разтоварване, товарене или документация. В тази връзка възникват задачите за анализиране на съществуващите възможности за извършване на целия набор от операции, например търговски етаж на супермаркет, ресторант или в цехове за производство на собствени продукти с цел оценка на тяхната работа, идентифициране на слаби звена и резерви за окончателно разработване на препоръки, насочени към повишаване на ефективността на търговските дейности.

Освен това възникват други задачи, свързани със създаването, организирането и планирането на нова икономична, рационална възможност за извършване на много операции в рамките на търговския етаж, сладкарския цех, всички нива на обслужване в ресторант, кафене, столова, планов отдел, счетоводство, отдел персонал и др.

Задачите за организиране на масови услуги възникват в почти всички сфери на човешката дейност, например продавачи, обслужващи клиенти в магазини, обслужване на посетители в заведения за обществено хранене, обслужване на клиенти в предприятия за потребителски услуги, осигуряване на телефонни разговори на телефонна централа, предоставяне на медицинска помощ на пациенти в клиника и др. Във всички горепосочени примери е необходимо да се задоволят нуждите на голям брой потребители.

Изброените проблеми могат да бъдат успешно решени с помощта на специално създадени за тези цели методи и модели на теорията на масовото обслужване (QST). Тази теория обяснява, че е необходимо да се обслужва някого или нещо, което се дефинира от понятието „заявка за услуга (търсене)“, а операциите по обслужване се извършват от някой или нещо, наречено канали за обслужване (възли). Ролята на заявки в търговската дейност играят стоки, посетители, пари, одитори, документи, а ролята на канали за обслужване - продавачи, администратори, готвачи, сладкари, сервитьори, касиери, стокови експерти, товарачи, търговско оборудване и др. , Важно е да се отбележи, че в едно изпълнение, например, готвач в процеса на приготвяне на ястия е обслужващ канал, а в друг той действа като заявка за услуга, например към ръководителя на производството за получаване на стоки.

Заявленията, поради големия брой разписки за обслужване, формират потоци, които се наричат ​​входящи преди извършване на сервизни операции и след евентуално изчакване за началото на обслужването, т.е. време на престой в опашката форма услугата протича в каналите и след това се формира изходящ поток от заявки. Като цяло, комбинацията от елементи на входящия поток от заявки, опашка, обслужващи канали и изходящ поток от заявки образува най-простата едноканална система за опашка - QS.

Системата се разбира като набор от взаимосвързани системи. целенасочено взаимодействащи си части (елементи). Примери за такива прости QS в търговските дейности са места за получаване и обработка на стоки, центрове за плащане за клиенти в магазини, кафенета, столове, работни места за икономисти, счетоводители, търговци, готвачи и др.

Сервизната процедура се счита за завършена, когато заявката за услуга напусне системата. Продължителността на интервала от време, необходим за изпълнение на сервизната процедура, зависи главно от естеството на заявката за услуга, състоянието на самата сервизна система и канала за обслужване.

Всъщност продължителността на престоя на купувача в супермаркет зависи, от една страна, от личните качества на купувача, неговите искания, от гамата стоки, които той ще закупи, и от друга страна, от формата на организацията на обслужването и обслужващия персонал, което може значително да повлияе на престоя на купувача в супермаркета и интензивността на обслужване. Например, овладяването на „слепия“ метод на работа на каса от касиери-контрольори позволи да се увеличи пропускателната способност на платежните възли с 1,3 пъти и да се спести времето, прекарано за сетълменти с клиенти на всяка каса с повече от 1,5 часа на ден. Въвеждането на единен център за плащане в супермаркет осигурява осезаеми ползи за купувача. Така, ако при традиционната форма на плащане времето за обслужване на един клиент е средно 1,5 минути, то при въвеждането на единична платежна единица то е 67 секунди. От тях 44 секунди се изразходват за извършване на покупка в секцията и 23 секунди директно за плащания за покупки. Ако купувачът направи няколко покупки в различни секции, тогава загубата на време се намалява при закупуване на две покупки с 1,4 пъти, три с 1,9, пет с 2,9 пъти.

Под обслужване на заявки имаме предвид процеса на задоволяване на потребност. Услугите са разнообразни по характер. Във всички примери обаче получените заявки изискват обслужване от някакво устройство. В някои случаи услугата се извършва от един човек (обслужване на купувач от един продавач, в други - от група хора (обслужване на пациент от лекарска комисия в клиника), а в някои случаи - с технически средства (продажба на газирана вода, сандвичи от вендинг машини) Набор от средства, които заявяват услуги, се нарича канал за обслужване.

Ако каналите за обслужване са в състояние да задоволят идентични заявки, тогава каналите за обслужване се наричат ​​хомогенни. Набор от хомогенни канали за обслужване се нарича система за обслужване.

Системата за опашка получава голям брой заявки в произволни моменти, чиято продължителност на услугата също е случайна променлива. Последователното пристигане на приложения в обслужващата система се нарича входящ поток от приложения, а последователността от приложения, напускащи обслужващата система, се нарича изходящ поток.