Как да намерим точка, симетрична спрямо права.

Правата линия в пространството винаги може да се определи като пресечната линия на две неуспоредни равнини. Ако уравнението на една равнина е уравнението на втората равнина, тогава уравнението на правата е дадено като

Тук неколинеарни
. Тези уравнения се наричат общи уравнения право в космоса.

Канонични уравнения на правата

Всеки ненулев вектор, лежащ на дадена права или успореден на нея, се нарича насочващ вектор на тази права.

Ако точката е известна
права линия и нейния насочващ вектор
, тогава каноничните уравнения на правата имат формата:

. (9)

Параметрични уравнения на права

Нека са дадени каноничните уравнения на правата

.

От тук получаваме параметричните уравнения на линията:

(10)

Тези уравнения са полезни за намиране на пресечната точка на права и равнина.

Уравнение на права, минаваща през две точки
И
има формата:

.

Ъгъл между прави

Ъгъл между прави

И

равен на ъгъла между техните насочващи вектори. Следователно може да се изчисли по формула (4):

Условие за успоредни прави:

.

Условие равнините да са перпендикулярни:

Разстояние на точка от права

П да кажем, че точката е дадена
и прав

.

От каноничните уравнения на правата знаем точката
, принадлежаща на права, и нейния насочващ вектор
. След това разстоянието на точката
от права линия е равна на височината на успоредник, изграден върху вектори И
. следователно

.

Условие за пресичане на прави

Две неуспоредни прави

,

се пресичат тогава и само ако

.

Относителното положение на права и равнина.

Нека е дадена правата линия
и самолет. Ъгъл между тях може да се намери по формулата

.

Задача 73.Напишете каноничните уравнения на правата

(11)

Решение. За да се запишат каноничните уравнения на правата (9), е необходимо да се знае всяка точка, принадлежаща на правата, и векторът на посоката на правата.

Нека намерим вектора , успоредна на тази права. Тъй като тя трябва да е перпендикулярна на нормалните вектори на тези равнини, т.е.

,
, Че

.

От общите уравнения на правата линия имаме това
,
. Тогава

.

Тъй като точката
всяка точка на линия, тогава нейните координати трябва да отговарят на уравненията на линията и едно от тях може да бъде посочено, например,
, намираме другите две координати от система (11):

Оттук,
.

Така каноничните уравнения на желаната линия имат формата:

или
.

Задача 74.

И
.

Решение.От каноничните уравнения на първия ред са известни координатите на точката
принадлежащи на правата, и координатите на вектора на посоката
. От каноничните уравнения на втория ред са известни и координатите на точката
и координати на вектора на посоката
.

Разстоянието между успоредните прави е равно на разстоянието на точката
от втората права линия. Това разстояние се изчислява по формулата

.

Нека намерим координатите на вектора
.

Нека изчислим векторното произведение
:

.

Задача 75.Намерете точка симетрична точка
относително прав

.

Решение. Нека запишем уравнението на равнина, перпендикулярна на дадена права и минаваща през точка . Като негов нормален вектор можете да вземете насочващия вектор на права линия. Тогава
. следователно

Да намерим точка
точката на пресичане на тази права и равнината P. За да направим това, ние записваме параметричните уравнения на правата, използвайки уравнения (10), получаваме

следователно
.

Позволявам
точка, симетрична на точка
спрямо тази линия. След това точка
средна точка
. За намиране на координатите на точка Използваме формулите за координатите на средата на сегмента:

,
,
.

Така,
.

Задача 76.Напишете уравнението на равнина, минаваща през права
И

а) през точка
;

б) перпендикулярна на равнината.

Решение.Нека запишем общите уравнения на тази линия. За да направите това, разгледайте две равенства:

Това означава, че желаната равнина принадлежи на сноп от равнини с образуващи и нейното уравнение може да се запише във формата (8):

а) Да намерим
И от условието, че равнината минава през точката
, следователно нейните координати трябва да отговарят на уравнението на равнината. Нека заместим координатите на точката
в уравнението на куп равнини:

Намерена стойност
Нека го заместим в уравнение (12). получаваме уравнението на желаната равнина:

б) Да намерим
И от условието желаната равнина да е перпендикулярна на равнината. Нормалният вектор на дадена равнина
, нормален вектор на желаната равнина (вижте уравнението на куп равнини (12).

Два вектора са перпендикулярни тогава и само ако техният точков продукт е нула. следователно

Нека заместим намерената стойност
в уравнението на куп равнини (12). Получаваме уравнението на желаната равнина:

Проблеми за самостоятелно решаване

Задача 77.Доведете до каноничната форма на уравнението на линиите:

1)
2)

Задача 78.Напишете параметрични уравнения на линия
, ако:

1)
,
; 2)
,
.

Задача 79. Напишете уравнението на равнината, минаваща през точката
перпендикулярно на права линия

Задача 80.Напишете уравненията на права, минаваща през точка
перпендикулярна на равнината.

Задача 81.Намерете ъгъла между прави линии:

1)
И
;

2)
И

Задача 82.Докажете успоредни прави:

И
.

Задача 83.Докажете перпендикулярността на правите:

И

Задача 84.Изчислете разстоянието на точката
от права линия:

1)
; 2)
.

Задача 85.Изчислете разстоянието между успоредни прави:

И
.

Задача 86. В уравненията на линията
дефинирайте параметър така че тази права да се пресича с правата и да се намери точката на тяхното пресичане.

Задача 87. Покажете, че е права
успоредна на равнината
, и правата линия
лежи в тази равнина.

Задача 88. Намерете точка симетрична точка спрямо самолета
, ако:

1)
, ;

2)
, ;.

Задача 89.Напишете уравнението на перпендикуляр, пуснат от точка
директно
.

Задача 90. Намерете точка симетрична точка
относително прав
.

О-о-о-о-о-о... е, трудно е, сякаш си четеше изречение =) Но релаксът ще помогне по-късно, особено след като днес купих подходящите аксесоари. Затова нека да продължим към първия раздел, надявам се, че до края на статията ще поддържам весело настроение.

Относителното положение на две прави линии

Такъв е случаят, когато публиката пее в хор. Две прави линии могат:

1) мач;

2) да са успоредни: ;

3) или се пресичат в една точка: .

Помощ за манекени : Моля, запомнете математическия знак за пресичане, той ще се появява много често. Нотацията означава, че правата се пресича с правата в точка .

Как да определим относителната позиция на две линии?

Да започнем с първия случай:

Две прави съвпадат тогава и само тогава, когато съответните им коефициенти са пропорционални, тоест има число „ламбда“, така че равенствата да са изпълнени

Нека разгледаме правите линии и съставим три уравнения от съответните коефициенти: . От всяко уравнение следва, че следователно тези линии съвпадат.

Наистина, ако всички коефициенти на уравнението умножете по –1 (променете знаците) и всички коефициенти на уравнението намалено с 2, получавате същото уравнение: .

Вторият случай, когато линиите са успоредни:

Две прави са успоредни тогава и само ако техните коефициенти на променливите са пропорционални: , Но.

Като пример разгледайте две прави линии. Проверяваме пропорционалността на съответните коефициенти за променливите:

Съвсем очевидно е обаче, че.

И третият случай, когато линиите се пресичат:

Две прави се пресичат тогава и само ако техните коефициенти на променливите НЕ са пропорционални, тоест НЯМА такава стойност на „ламбда“, че равенствата да са изпълнени

И така, за прави линии ще създадем система:

От първото уравнение следва, че , а от второто уравнение: , което означава системата е непоследователна(няма решения). Следователно коефициентите на променливите не са пропорционални.

Заключение: линиите се пресичат

При практически задачи можете да използвате току-що обсъдената схема за решение. Между другото, много напомня на алгоритъма за проверка на вектори за колинеарност, който разгледахме в клас Концепцията за линейна (не)зависимост на векторите. Основа на векторите. Но има по-цивилизована опаковка:

Пример 1

Разберете относителната позиция на линиите:

Решениевъз основа на изследването на насочващите вектори на прави линии:

а) От уравненията намираме насочващите вектори на правите: .

, което означава, че векторите не са колинеарни и правите се пресичат.

За всеки случай ще сложа камък със знаци на кръстопътя:

Останалите прескачат камъка и следват по-нататък, право към Кашчей Безсмъртния =)

б) Намерете насочващите вектори на правите:

Правите имат еднакъв насочващ вектор, което означава, че са успоредни или съвпадащи. Тук няма нужда да броим детерминантата.

Очевидно е, че коефициентите на неизвестните са пропорционални и .

Нека разберем дали равенството е вярно:

По този начин,

в) Намерете насочващите вектори на правите:

Нека изчислим детерминантата, съставена от координатите на тези вектори:
, следователно векторите на посоката са колинеарни. Правите са или успоредни, или съвпадащи.

Коефициентът на пропорционалност „ламбда“ е лесно да се види директно от съотношението на колинеарните вектори на посоката. Но може да се намери и чрез коефициентите на самите уравнения: .

Сега нека разберем дали равенството е вярно. И двата безплатни термина са нула, така че:

Получената стойност удовлетворява това уравнение (всяко число като цяло го удовлетворява).

Така линиите съвпадат.

Отговор:

Много скоро ще се научите (или дори вече сте се научили) да решавате устно обсъждания проблем буквално за секунди. В тази връзка не виждам смисъл да предлагам нещо за независимо решение, по-добре е да поставите друга важна тухла в геометричната основа:

Как да построим права, успоредна на дадена?

За незнание на тази най-проста задача Славеят Разбойник наказва сурово.

Пример 2

Правата линия е дадена от уравнението. Напишете уравнение за успоредна права, която минава през точката.

Решение: Нека означим неизвестния ред с буквата . Какво казва състоянието за нея? Правата минава през точката. И ако линиите са успоредни, тогава е очевидно, че векторът на посоката на правата линия "tse" също е подходящ за конструиране на правата линия "de".

Изваждаме вектора на посоката от уравнението:

Отговор:

Примерната геометрия изглежда проста:

Аналитичното тестване се състои от следните стъпки:

1) Проверяваме дали линиите имат еднакъв насочващ вектор (ако уравнението на правата не е опростено правилно, тогава векторите ще бъдат колинеарни).

2) Проверете дали точката удовлетворява полученото уравнение.

В повечето случаи аналитичното изследване може лесно да се извърши устно. Погледнете двете уравнения и много от вас бързо ще определят успоредността на линиите без никакъв чертеж.

Примерите за независими решения днес ще бъдат креативни. Защото все пак ще трябва да се състезавате с Баба Яга, а тя, знаете, е любител на всякакви гатанки.

Пример 3

Напишете уравнение за права, минаваща през точка, успоредна на правата, ако

Има рационален и не толкова рационален начин за решаването му. Най-краткият път е в края на урока.

Поработихме малко с успоредни прави и ще се върнем към тях по-късно. Случаят на съвпадащи линии не представлява голям интерес, така че нека разгледаме проблем, който ви е много познат от училищната програма:

Как да намерим пресечната точка на две прави?

Ако прав се пресичат в точка , тогава неговите координати са решението системи от линейни уравнения

Как да намерим пресечната точка на линиите? Решете системата.

Ето геометричен смисъл на система от две линейни уравнения с две неизвестни- това са две пресичащи се (най-често) прави в равнина.

Пример 4

Намерете пресечната точка на линиите

Решение: Има два начина за решаване - графичен и аналитичен.

Графичният метод е просто да начертаете дадените линии и да намерите пресечната точка директно от чертежа:

Ето нашата гледна точка: . За да проверите, трябва да замените координатите му във всяко уравнение на линията, те трябва да пасват и там, и там. С други думи, координатите на точка са решение на системата. По същество разгледахме графично решение системи от линейни уравненияс две уравнения, две неизвестни.

Графичният метод, разбира се, не е лош, но има забележими недостатъци. Не, въпросът не е, че седмокласниците решават по този начин, въпросът е, че ще отнеме време, за да се създаде правилен и ТОЧЕН чертеж. Освен това някои прави линии не са толкова лесни за конструиране, а самата пресечна точка може да се намира някъде в тридесетото царство извън листа на тетрадката.

Следователно е по-целесъобразно пресечната точка да се търси с помощта на аналитичния метод. Нека решим системата:

За решаване на системата е използван методът на почленно събиране на уравнения. За да развиете подходящи умения, вземете урок Как се решава система от уравнения?

Отговор:

Проверката е тривиална - координатите на пресечната точка трябва да удовлетворяват всяко уравнение на системата.

Пример 5

Намерете пресечната точка на правите, ако се пресичат.

Това е пример, който можете да решите сами. Удобно е задачата да се раздели на няколко етапа. Анализът на състоянието предполага, че е необходимо:
1) Запишете уравнението на правата линия.
2) Запишете уравнението на правата линия.
3) Намерете относителната позиция на линиите.
4) Ако линиите се пресичат, намерете пресечната точка.

Разработването на алгоритъм за действие е типично за много геометрични задачи и аз многократно ще се фокусирам върху това.

Пълно решение и отговор в края на урока:

Дори чифт обувки не бяха износени, преди да стигнем до втория раздел на урока:

Перпендикулярни линии. Разстояние от точка до права.
Ъгъл между прави

Да започнем с една типична и много важна задача. В първата част се научихме как да изградим права линия, успоредна на тази, а сега колибата на пилешките крака ще се обърне на 90 градуса:

Как да построим права, перпендикулярна на дадена?

Пример 6

Правата линия е дадена от уравнението. Напишете уравнение, перпендикулярно на правата, минаваща през точката.

Решение: По условие е известно, че . Би било хубаво да се намери насочващият вектор на правата. Тъй като линиите са перпендикулярни, трикът е прост:

От уравнението „премахваме“ нормалния вектор: , който ще бъде насочващият вектор на правата линия.

Нека съставим уравнението на права линия, използвайки точка и насочващ вектор:

Отговор:

Нека разширим геометричната скица:

Хммм... Оранжево небе, оранжево море, оранжева камила.

Аналитична проверка на решението:

1) Изваждаме векторите на посоката от уравненията и с помощта скаларно произведение на вектористигаме до извода, че правите наистина са перпендикулярни: .

Между другото, можете да използвате нормални вектори, дори е по-лесно.

2) Проверете дали точката удовлетворява полученото уравнение .

Тестът отново е лесен за изпълнение устно.

Пример 7

Намерете пресечната точка на перпендикулярни прави, ако уравнението е известно и точка.

Това е пример, който можете да решите сами. В проблема има няколко действия, така че е удобно решението да се формулира точка по точка.

Нашето вълнуващо пътешествие продължава:

Разстояние от точка до линия

Пред нас е права ивица от реката и нашата задача е да стигнем до нея по най-краткия път. Няма препятствия и най-оптималният маршрут ще бъде да се движите по перпендикуляра. Тоест разстоянието от точка до права е дължината на перпендикулярния сегмент.

Разстоянието в геометрията традиционно се означава с гръцката буква “rho”, например: – разстоянието от точката “em” до правата линия “de”.

Разстояние от точка до линия изразено с формулата

Пример 8

Намерете разстоянието от точка до права

Решение: всичко, което трябва да направите, е внимателно да замените числата във формулата и да извършите изчисленията:

Отговор:

Да направим чертежа:

Намереното разстояние от точката до правата е точно дължината на червения сегмент. Ако начертаете чертеж върху карирана хартия в мащаб 1 единица. = 1 см (2 клетки), тогава разстоянието може да се измери с обикновена линийка.

Нека разгледаме друга задача, базирана на същия чертеж:

Задачата е да се намерят координатите на точка, която е симетрична на точката спрямо правата . Предлагам сами да изпълните стъпките, но ще очертая алгоритъма за решение с междинни резултати:

1) Намерете права, която е перпендикулярна на правата.

2) Намерете пресечната точка на линиите: .

И двете действия са разгледани подробно в този урок.

3) Точката е средата на отсечката. Знаем координатите на средата и единия от краищата. от формули за координатите на средата на отсечканамираме .

Би било добра идея да проверите дали разстоянието също е 2,2 единици.

Тук могат да възникнат трудности при изчисленията, но микрокалкулаторът е голяма помощ в кулата, позволявайки ви да изчислявате обикновени дроби. Съветвал съм ви много пъти и ще ви препоръчам отново.

Как да намерим разстоянието между две успоредни прави?

Пример 9

Намерете разстоянието между две успоредни прави

Това е още един пример, който можете да решите сами. Ще ви дам малък намек: има безкрайно много начини за решаване на това. Разбор в края на урока, но е по-добре да се опитате да познаете сами, мисля, че вашата изобретателност е добре развита.

Ъгъл между две прави

Всеки ъгъл е преграда:


В геометрията ъгълът между две прави линии се приема за ПО-МАЛКИ ъгъл, от което автоматично следва, че той не може да бъде тъп. На фигурата ъгълът, обозначен с червената дъга, не се счита за ъгъл между пресичащи се линии. И неговият „зелен“ съсед или противоположно ориентираникът "малина".

Ако правите са перпендикулярни, тогава всеки от 4-те ъгъла може да се приеме за ъгъл между тях.

Как се различават ъглите? Ориентация. Първо, от основно значение е посоката, в която ъгълът се „превърта“. Второ, отрицателно ориентиран ъгъл се записва със знак минус, например ако .

Защо ти казах това? Изглежда, че можем да се справим с обичайната концепция за ъгъл. Факт е, че формулите, по които ще намираме ъгли, лесно могат да дадат отрицателен резултат и това не трябва да ви изненадва. Ъгъл със знак минус не е по-лош и има много специфично геометрично значение. На чертежа, за отрицателен ъгъл, не забравяйте да посочите ориентацията му със стрелка (по часовниковата стрелка).

Как да намерим ъгъла между две прави?Има две работни формули:

Пример 10

Намерете ъгъла между линиите

РешениеИ Метод първи

Нека разгледаме две прави линии, определени от уравнения в общ вид:

Ако прав не перпендикулярно, Че ориентиранЪгълът между тях може да се изчисли по формулата:

Нека обърнем внимание на знаменателя - това е точно така скаларно произведениенасочващи вектори на прави линии:

Ако , тогава знаменателят на формулата става нула и векторите ще бъдат ортогонални и линиите ще са перпендикулярни. Ето защо беше направена резерва за неперпендикулярността на правите линии във формулировката.

Въз основа на горното е удобно решението да се формализира в две стъпки:

1) Нека изчислим скаларното произведение на насочващите вектори на линиите:
, което означава, че линиите не са перпендикулярни.

2) Намерете ъгъла между прави линии по формулата:

С помощта на обратната функция е лесно да се намери самият ъгъл. В този случай използваме нечетността на арктангенса (вижте. Графики и свойства на елементарни функции):

Отговор:

Във вашия отговор ние посочваме точната стойност, както и приблизителна стойност (за предпочитане както в градуси, така и в радиани), изчислена с помощта на калкулатор.

Е, минус, минус, нищо страшно. Ето геометрична илюстрация:

Не е изненадващо, че ъгълът се оказа с отрицателна ориентация, тъй като в постановката на задачата първото число е права линия и "отвиването" на ъгъла започва точно с него.

Ако наистина искате да получите положителен ъгъл, трябва да размените линиите, тоест да вземете коефициентите от второто уравнение и вземете коефициентите от първото уравнение. Накратко, трябва да започнете с директен .

Формулиране на проблема. Намерете координатите на точка, симетрична на точка спрямо самолета.

План за решение.

1. Намерете уравнението на права линия, която е перпендикулярна на дадена равнина и минава през точката . Тъй като правата линия е перпендикулярна на дадена равнина, тогава нормалният вектор на равнината може да се приеме за неин насочващ вектор, т.е.

.

Следователно уравнението на правата линия ще бъде

.

2. Намерете точката пресечна точка на права линия и равнини (вижте задача 13).

3. Точка е средата на сегмента, където точката е точка, симетрична на точката , Ето защо

Проблем 14. Намерете точка, симетрична на точката спрямо равнината.

Уравнението на права линия, която минава през точка, перпендикулярна на дадена равнина, ще бъде:

.

Нека намерим пресечната точка на правата и равнината.

Където – пресечната точка на права и равнина е средата на отсечката, следователно

Тези. .

Хомогенни равнинни координати. Афинни трансформации на равнината.

Позволявам М хИ при

М(х, приМей (х, при, 1) в пространството (фиг. 8).

Мей (х, при

Мей (х, при ху.

(hx, hy, h), h  0,

Коментирайте

ч(Например, ч

Всъщност, като се има предвид ч

Коментирайте

Пример 1.

b) до ъгъл (фиг. 9).

1-ва стъпка.

2-ра стъпка.Завъртете под ъгъл 

матрица на съответното преобразуване.

3-та стъпка.Прехвърляне към вектор A(a, б)

матрица на съответното преобразуване.

Пример 3

 по оста x и

1-ва стъпка.

матрица на съответното преобразуване.

2-ра стъпка.

3-та стъпка.

ще го получим най-накрая

Коментирайте

[R], [D], [M], [T],

Позволявам М- произволна точка от равнината с координати хИ при, изчислена спрямо дадена праволинейна координатна система. Еднородните координати на тази точка са всяка тройка от едновременно ненулеви числа x 1, x 2, x 3, свързани с дадените числа x и y със следните отношения:

При решаване на задачи с компютърна графика хомогенните координати обикновено се въвеждат по следния начин: до произволна точка М(х, при) на равнината е приписана точка Мей (х, при, 1) в пространството (фиг. 8).

Обърнете внимание, че произволна точка на линията, свързваща началото, точка 0(0, 0, 0), с точката Мей (х, при, 1), може да бъде дадено от тройка числа от вида (hx, hy, h).

Векторът с координати hx, hy е насочващият вектор на правата, свързваща точки 0 (0, 0, 0) и Мей (х, при, 1). Тази права пресича равнината z = 1 в точката (x, y, 1), която уникално определя точката (x, y) на координатната равнина ху.

Така между произволна точка с координати (x, y) и набор от тройки числа от вида

(hx, hy, h), h  0,

се установява (едно към едно) съответствие, което ни позволява да разглеждаме числата hx, hy, h като новите координати на тази точка.

Коментирайте

Широко използвани в проективната геометрия, хомогенните координати позволяват ефективно да се опишат така наречените неправилни елементи (по същество тези, в които проективната равнина се различава от познатата Евклидова равнина). Повече подробности за новите възможности, предоставени от въведените хомогенни координати, са разгледани в четвъртия раздел на тази глава.

В проективната геометрия за хомогенни координати се приема следната нотация:

x:y:1 или по-общо x1:x2:x3

(не забравяйте, че тук е абсолютно задължително числата x 1, x 2, x 3 да не се обръщат към нула едновременно).

Използването на хомогенни координати се оказва удобно дори при решаване на най-простите задачи.

Помислете например за въпроси, свързани с промени в мащаба. Ако устройството за показване работи само с цели числа (или ако трябва да работите само с цели числа), тогава за произволна стойност ч(Например, ч= 1) точка с хомогенни координати

невъзможно да си представим. Въпреки това, с разумен избор на h, е възможно да се гарантира, че координатите на тази точка са цели числа. По-специално, за h = 10 за разглеждания пример имаме

Да разгледаме друг случай. За да предотвратите резултатите от трансформацията да доведат до аритметично препълване, за точка с координати (80000 40000 1000) можете да вземете например h=0,001. В резултат на това получаваме (80 40 1).

Дадените примери показват полезността на използването на хомогенни координати при извършване на изчисления. Въпреки това, основната цел на въвеждането на хомогенни координати в компютърната графика е безспорното им удобство при прилагане към геометрични трансформации.

Използвайки тройки от хомогенни координати и матрици от трети ред, всяка афинна трансформация на равнина може да бъде описана.

Всъщност, като се има предвид ч= 1, сравнете два записа: маркирани със символа * и следната матрица:

Лесно се вижда, че след умножаването на изразите от дясната страна на последното съотношение се получават както формулите (*), така и правилното числово равенство 1=1.

Коментирайте

Понякога в литературата се използва друга нотация - колонна нотация:

Тази нотация е еквивалентна на горната нотация ред по ред (и се получава от нея чрез транспониране).

Елементите на матрицата на произволна афинна трансформация нямат изрично геометрично значение. Следователно, за да се приложи това или онова картографиране, т.е. да се намерят елементите на съответната матрица според дадено геометрично описание, са необходими специални техники. Обикновено изграждането на тази матрица, в съответствие със сложността на разглеждания проблем и описаните по-горе специални случаи, се разделя на няколко етапа.

На всеки етап се търси матрица, която съответства на един или друг от горните случаи A, B, C или D, които имат добре дефинирани геометрични свойства.

Нека запишем съответните матрици от трети ред.

A. Матрица на въртене

Б. Дилатационна матрица

Б. Отражателна матрица

Г. Трансферна матрица (превод)

Нека разгледаме примери за афинни трансформации на равнината.

Пример 1.

Конструирайте ротационна матрица около точка A (a,b) до ъгъл (фиг. 9).

1-ва стъпка.Прехвърляне към вектор – A (-a, -b) за подравняване на центъра на въртене с началото на координатите;

матрица на съответното преобразуване.

2-ра стъпка.Завъртете под ъгъл 

матрица на съответното преобразуване.

3-та стъпка.Прехвърляне към вектор A(a, б)за връщане на центъра на въртене в предишното му положение;

матрица на съответното преобразуване.

Нека умножим матриците в същия ред, в който са записани:

В резултат откриваме, че желаната трансформация (в матрична нотация) ще изглежда така:

Елементите на получената матрица (особено в последния ред) не са толкова лесни за запомняне. В същото време всяка от трите умножени матрици може лесно да бъде конструирана от геометричното описание на съответното картографиране.

Пример 3

Конструирайте матрица на разтягане с коефициенти на разтягане по оста x и по ординатната ос и с център в точка A(a, b).

1-ва стъпка.Прехвърлете към вектор -A(-a, -b), за да подравните центъра на разтягане с началото на координатите;

матрица на съответното преобразуване.

2-ра стъпка.Разтягане по координатните оси съответно с коефициенти  и ; трансформационната матрица има формата

3-та стъпка.Прехвърлете към вектор A(a, b), за да върнете центъра на опън в предишната му позиция; матрица на съответното преобразуване –

Умножение на матрици в същия ред

ще го получим най-накрая

Коментирайте

Разсъждение по подобен начин, тоест разбиване на предложената трансформация на етапи, поддържани от матрици[R], [D], [M], [T], може да се конструира матрица на всяка афинна трансформация от нейното геометрично описание.

Преместването се осъществява чрез добавяне, а мащабирането и завъртането се осъществяват чрез умножение.

Мащабираща трансформация (дилатация) спрямо произхода има формата:

или в матрична форма:

Където дх,дгса коефициентите на мащабиране по осите, и

- матрица за мащабиране.

Когато D > 1, се получава разширение, когато 0<=D<1- сжатие

Трансформация на ротация спрямо произхода има формата:

или в матрична форма:

където φ е ъгълът на въртене и

- ротационна матрица.

коментар:Колоните и редовете на ротационната матрица са взаимно ортогонални единични вектори. Всъщност квадратите на дължините на редовите вектори са равни на едно:

cosφ cosφ+sinφ sinφ = 1 и (-sinφ) (-sinφ)+cosφ cosφ = 1,

а скаларното произведение на редови вектори е

cosφ (-sinφ) + sinφ cosφ= 0.

Тъй като скаларното произведение на векторите А · б = |А| ·| б| ·cosψ, където | А| - дължина на вектора А, |б| - дължина на вектора б, а ψ е най-малкият положителен ъгъл между тях, тогава от равенството 0 на скаларното произведение на два вектора ред с дължина 1 следва, че ъгълът между тях е 90 °.

Нека ни е дадена определена права линия, дефинирана от линейно уравнение, и точка, дефинирана от нейните координати (x0, y0) и не лежаща на тази права. Необходимо е да се намери точка, която би била симетрична на дадена точка спрямо дадена права линия, т.е. би съвпаднала с нея, ако равнината е мислено огъната наполовина по тази права линия.

Инструкции

1. Ясно е, че и двете точки - дадената и желаната - трябва да лежат на една права и тази права да е перпендикулярна на дадената. По този начин, първата част от проблема е да се открие уравнението на права, която би била перпендикулярна на дадена права и в същото време минава през дадена точка.

2. Правата линия може да бъде определена по два начина. Каноничното уравнение на права изглежда така: Ax + By + C = 0, където A, B и C са константи. Можете също да определите права линия, като използвате линейна функция: y = kx + b, където k е ъгловата степен, b е изместването. Тези два метода са взаимозаменяеми и можете да преминавате от един към друг. Ако Ax + By + C = 0, тогава y = – (Ax + C)/B. С други думи, в линейна функция y = kx + b, ъгловата експонента k = -A/B и изместването b = -C/B. За настоящата задача е по-удобно да се разсъждава въз основа на каноничното уравнение на правата линия.

3. Ако две прави са перпендикулярни една на друга и уравнението на първата линия е Ax + By + C = 0, тогава уравнението на втората линия трябва да изглежда като Bx – Ay + D = 0, където D е константа. За да се открие определена стойност на D, е необходимо допълнително да се знае през коя точка минава перпендикулярната линия. В този случай това е точката (x0, y0).Следователно D трябва да удовлетворява равенството: Bx0 – Ay0 + D = 0, тоест D = Ay0 – Bx0.

4. След откриването на перпендикуляра е необходимо да се изчислят координатите на пресечната му точка с дадената. За да направите това, трябва да решите система от линейни уравнения: Ax + By + C = 0, Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0. Нейното решение ще даде числата (x1, y1), които служат като координати на точката на пресичане на линиите.

5. Желаната точка трябва да лежи върху откритата линия и нейното разстояние до пресечната точка трябва да е равно на разстоянието от пресечната точка до точката (x0, y0). Така координатите на точка, симетрична на точката (x0, y0), могат да бъдат намерени чрез решаване на системата от уравнения: Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0,?((x1 – x0)^2 + (y1 – y0) ^2 = ?((x – x1)^2 + (y – y1)^2).

6. Но можете да го направите по-лесно. Ако точките (x0, y0) и (x, y) са на равни разстояния от точка (x1, y1) и всичките три точки лежат на една и съща права линия, тогава: x – x1 = x1 – x0,y – y1 = y1 – y0 Следователно x = 2×1 – x0, y = 2y1 – y0. Чрез заместване на тези стойности във второто уравнение на първата система и опростяване на изразите е лесно да се уверите, че дясната му страна става същата като лявата. Освен това няма смисъл да се разглежда допълнително първото уравнение, тъй като е известно, че точките (x0, y0) и (x1, y1) го удовлетворяват, а точката (x, y) очевидно лежи на същата права .