Екстремуми, най-големи и най-малки стойности на функции. Етикет: локален екстремум

$E \подмножество \mathbb(R)^(n)$. Казват, че $f$ има локален максимумв точката $x_(0) \in E$, ако има околност $U$ на точката $x_(0)$ такава, че за всички $x \in U$ неравенството $f\left(x\right ) \leqslant f е изпълнено \left(x_(0)\right)$.

Локалният максимум се нарича строг , ако околността $U$ може да бъде избрана така, че за всички $x \in U$, различни от $x_(0)$, да има $f\left(x\right)< f\left(x_{0}\right)$.

Определение
Нека $f$ е реална функция в отвореното множество $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Казват, че $f$ има местен минимумв точката $x_(0) \in E$, ако има околност $U$ на точката $x_(0)$, така че неравенството $f\left(x\right) \geqslant f е валидно за всички $ x \in U$ \left(x_(0)\right)$.

Локален минимум се нарича строг, ако квартал $U$ може да бъде избран така, че за всички $x \in U$, различни от $x_(0)$, да има $f\left(x\right) > f\left(x_ ( 0)\вдясно)$.

Локалният екстремум съчетава понятията локален минимум и локален максимум.

Теорема (необходимо условие за екстремума на диференцируема функция)
Нека $f$ е реална функция в отвореното множество $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Ако в точката $x_(0) \in E$ функцията $f$ има локален екстремум в тази точка, тогава $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0.$$ Равен на нула диференциал е еквивалентен на факта, че всички са равни на нула, т.е. $$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x_(i))\left(x_(0)\right)=0.$$

В едномерния случай това е – . Нека обозначим $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$, където $h$ е произволен вектор. Функцията $\phi$ е дефинирана за стойности на $t$, които са достатъчно малки по абсолютна стойност. В допълнение, той е диференцируем по отношение на и $(\phi)’ \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$.
Нека $f$ има локален максимум в точка x $0$. Това означава, че функцията $\phi$ при $t = 0$ има локален максимум и според теоремата на Ферма $(\phi)' \left(0\right)=0$.
И така, получихме, че $df \left(x_(0)\right) = 0$, т.е. функция $f$ в точка $x_(0)$ е равна на нула върху всеки вектор $h$.

Определение
Точки, в които диференциалът е нула, т.е. тези, при които всички частни производни са равни на нула, се наричат ​​стационарни. Критични точкифункции $f$ са тези точки, в които $f$ не е диференцируемо или е равно на нула. Ако точката е неподвижна, тогава от това не следва, че функцията има екстремум в тази точка.

Пример 1.
Нека $f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$. Тогава $\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial y) = 3 \cdot y^(2 )$, така че $\left(0,0\right)$ е стационарна точка, но функцията няма екстремум в тази точка. Наистина, $f \left(0,0\right) = 0$, но е лесно да се види, че във всяка околност на точката $\left(0,0\right)$ функцията приема както положителни, така и отрицателни стойности.

Пример 2.
Функцията $f \left(x,y\right) = x^(2) − y^(2)$ има стационарна точка в началото си, но е ясно, че в тази точка няма екстремум.

Теорема (достатъчно условие за екстремум).
Нека функцията $f$ е два пъти непрекъснато диференцируема върху отвореното множество $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Нека $x_(0) \in E$ е неподвижна точка и $$\displaystyle Q_(x_(0)) \left(h\right) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1 ) ^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_(j)) \left(x_(0)\right)h^(i)h^(j).$ $ Тогава

1. ако $Q_(x_(0))$ – , тогава функцията $f$ в точката $x_(0)$ има локален екстремум, а именно минимум, ако формата е положително определена, и максимум, ако формата е отрицателно определено;
2. ако квадратичната форма $Q_(x_(0))$ е недефинирана, тогава функцията $f$ в точката $x_(0)$ няма екстремум.

Нека използваме разширението по формулата на Тейлър (12.7 стр. 292). Като се има предвид, че частичните производни от първи ред в точката $x_(0)$ са равни на нула, получаваме $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0)\ дясно) = \ frac(1)(2) \sum_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_ (j)) \left(x_(0)+\theta h\right)h^(i)h^(j),$$ където $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$ и $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ за $h \rightarrow 0$, тогава дясната страна ще бъде положителна за всеки вектор $h$ с достатъчно малка дължина.
И така, стигнахме до заключението, че в определена околност на точката $x_(0)$ неравенството $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$ е в сила, ако само $ x \neq x_ (0)$ (поставяме $x=x_(0)+h$\right). Това означава, че в точката $x_(0)$ функцията има строг локален минимум и по този начин първата част от нашата теорема е доказана.
Нека сега приемем, че $Q_(x_(0))$ е неопределена форма. Тогава има вектори $h_(1)$, $h_(2)$, така че $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \left(h_(2)\right)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>$0. Тогава получаваме $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right] = \frac(1)(2) t^(2) \ left[ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right].$$ За достатъчно малък $t>0$, дясната страна е положителна. Това означава, че във всяка близост на точката $x_(0)$ функцията $f$ приема стойности $f \left(x\right)$, по-големи от $f \left(x_(0)\right)$.
По същия начин откриваме, че във всяка околност на точката $x_(0)$ функцията $f$ приема стойности, по-малки от $f \left(x_(0)\right)$. Това заедно с предходното означава, че в точката $x_(0)$ функцията $f$ няма екстремум.

Нека разгледаме специален случай на тази теорема за функцията $f \left(x,y\right)$ на две променливи, дефинирани в някаква околност на точката $\left(x_(0),y_(0)\right )$ и имащи непрекъснати частични производни от първи и втори ред. Да приемем, че $\left(x_(0),y_(0)\right)$ е стационарна точка и обозначаваме $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^ (2)) \left(x_(0) ,y_(0)\right), a_(12)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(x_( 0) ), y_(0)\right), a_(22)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(x_(0), y_(0)\right ) .$$ Тогава предишната теорема приема следната форма.

Теорема
Нека $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) − a_(12)^2$. Тогава:

1. ако $\Delta>0$, тогава функцията $f$ има локален екстремум в точката $\left(x_(0),y_(0)\right)$, а именно минимум, ако $a_(11)> 0$ и максимум, ако $a_(11)<0$;
2. ако $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Примери за решаване на проблеми

Алгоритъм за намиране на екстремума на функция на много променливи:

1. Намиране на стационарни точки;
2. Намерете диференциала от 2-ри ред във всички неподвижни точки
3. Използвайки достатъчното условие за екстремума на функция от много променливи, ние разглеждаме диференциала от 2-ри ред във всяка стационарна точка

1. Изследвайте функцията за екстремум $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$.
   Решение

   Нека намерим частичните производни от първи ред: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x.$$ Нека съставим и решим системата: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x) = 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)x^(2) — 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) — x = 0 \end(cases)$$ От второто уравнение изразяваме $x=4 \cdot y^(2)$ - заместваме го в първото уравнение: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2) \right )^(2)-2 \cdot y=0$$ $$16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $ $y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ В резултат се получават 2 стационарни точки:
   1) $y=0 \Дясна стрелка x = 0, M_(1) = \left(0, 0\right)$;
   2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Rightarrow y^(3)=\frac(1)(8) \Rightarrow y = \frac(1)(2) \Rightarrow x=1 , M_(2) = \left(\frac(1)(2), 1\right)$
   Нека проверим дали е изпълнено достатъчното условие за екстремум:
   $$\displaystyle \frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2))=6 \cdot x; \frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y)=-6; \frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2))=48 \cdot y$$
   1) За точката $M_(1)= \left(0,0\right)$:
   $$\displaystyle A_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(0,0\right)=0; B_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(0,0\right)=-6; C_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(0,0\right)=0;$$
   $A_(1) \cdot B_(1) — C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
   2) За точка $M_(2)$:
   $$\displaystyle A_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=6; B_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(1,\frac(1)(2)\right)=-6; C_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=24;$$
   $A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$, което означава, че в точка $M_(2)$ има екстремум и тъй като $A_(2)> 0$, тогава това е минимумът.
   Отговор: Точката $\displaystyle M_(2)\left(1,\frac(1)(2)\right)$ е минималната точка на функцията $f$.
   

2. Изследвайте функцията за екстремума $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$.
   Решение

   Нека намерим неподвижни точки: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=2 \ cdot y + 2 \cdot x — 2.$$
   Нека съставим и решим системата: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x)= 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases ) \ Rightarrow \begin(cases)2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases) y = 2\\y + x = 1\end(cases) \Rightarrow x = -1$$
   $M_(0) \left(-1, 2\right)$ е неподвижна точка.
   Нека проверим дали е изпълнено достатъчното условие за екстремума: $$\displaystyle A=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(-1,2\right)=0 ; B=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(-1,2\right)=2; C=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(-1,2\right)=2;$$
   $A \cdot B — C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
   Отговор: няма крайности.
   

Времево ограничение: 0

Навигация (само номера на задания)

0 от 4 изпълнени задачи

Информация

Направете този тест, за да проверите знанията си по темата, която току-що прочетохте: Локални екстремуми на функции на множество променливи.

Вече сте правили теста преди. Не можете да го започнете отново.

Тестът се зарежда...

Трябва да влезете или да се регистрирате, за да започнете теста.

Трябва да завършите следните тестове, за да започнете този:

резултати

Верни отговори: 0 от 4

Твоето време:

Времето изтече

Постигнахте 0 от 0 точки (0)

Вашият резултат е записан в класацията

1. С отговор
2. С маркировка за гледане

Задача 1 от 4

1 .

Брой точки: 1

Изследвайте функцията $f$ за екстремуми: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$

вярно


погрешно


1. Задача 2 от 4

   2 .

   Брой точки: 1

   Функцията $f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$ има ли екстремум

>> Екстрема

Екстремум на функцията

Определение за екстремум

функция y = f(x) се извиква повишаване на (намаляващи) в определен интервал, ако за x 1< x 2 выполняется неравенство (f (x 1) < f (x 2) (f (x 1) >f (x 2)).

Ако диференцируемата функция y = f (x) нараства (намалява) на интервал, тогава нейната производна на този интервал f " (х)> 0

(е"(х)< 0).

Точка х О Наречен локална максимална точка (минимум) функция f (x), ако има околност на точката x o, за всички точки, от които е вярно неравенството f (x).≤ f (x o ) (f (x )≥ f (x o )).

Извикват се максималните и минималните точки екстремни точки, а стойностите на функцията в тези точки са нейни крайности.

Екстремни точки

Необходими условия за екстремум . Ако точката х О е екстремалната точка на функцията f (x), тогава или f " (x o ) = 0, или f(x o ) не съществува. Такива точки се наричат критичен,а самата функция е дефинирана в критичната точка. Екстремумите на една функция трябва да се търсят сред нейните критични точки.

Първото достатъчно условие. Позволявам х О - критична точка. Ако f" (x ) при преминаване през точка х О променя знака плюс на минус, след това в точката x oфункцията има максимум, в противен случай има минимум. Ако при преминаване през критичната точка производната не променя знака, тогава в точката х О няма крайност.

Второ достатъчно условие. Нека функцията f(x) има
е" (x ) в близост до точката х О и втората производна в самата точка x o. Ако f"(x o) = 0, >0 ( <0), то точка x oе локалната минимална (максимална) точка на функцията f (x). Ако =0, тогава трябва или да използвате първото достатъчно условие, или да включите по-високи.

На сегмент функцията y = f (x) може да достигне своята минимална или максимална стойност или в критични точки, или в краищата на сегмента.

Пример 3.22.

Решение.защото f " (

Задачи за намиране на екстремума на функция

Пример 3.23. а

Решение. хИ г г
0 ≤ х≤
> 0 и кога x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение функции кв. единици).

Пример 3.24. p ≈

Решение. p p
С"
R = 2, H = 16/4 = 4.

Пример 3.22.Намерете екстремума на функцията f (x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Решение.защото f " (x ) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x ​​​​-2)(x - 3), тогава критичните точки на функцията x 1 = 2 и x 2 = 3. Екстремумите могат да бъдат само в тези точки. Тъй като при преминаване през точката x 1 = 2 производната променя знака от плюс на минус, то в тази точка функцията има максимум. При преминаване през точката x 2 = 3 производната сменя знака си от минус на плюс, така че в точката x 2 = 3 функцията има минимум. След като изчислите стойностите на функцията в точките
x 1 = 2 и x 2 = 3, намираме екстремумите на функцията: максимум f (2) = 14 и минимум f (3) = 13.

Пример 3.23.В близост до каменната стена е необходимо да се изгради правоъгълна зона, така че да бъде оградена от три страни с телена мрежа, а четвъртата страна да е в непосредствена близост до стената. За това има алинейни метри мрежа. При какво съотношение на страните сайтът ще има най-голяма площ?

Решение.Нека означим страните на платформата с хИ г. Площта на сайта е S = xy. Позволявам г- това е дължината на страната, съседна на стената. Тогава по условие трябва да е изпълнено равенството 2x + y = a. Следователно y = a - 2x и S = ​​x (a - 2x), където
0 ≤ х≤ a /2 (дължината и ширината на областта не могат да бъдат отрицателни). S " = a - 4x, a - 4x = 0 при x = a/4, откъдето
y = a - 2 × a/4 = a/2. Тъй като x = a /4 е единствената критична точка; нека проверим дали знакът на производната се променя при преминаване през тази точка. При x a /4 S "> 0 и кога x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. единици). Тъй като S е непрекъснато включено и неговите стойности в краищата S(0) и S(a /2) са равни на нула, тогава намерената стойност ще бъде най-голямата стойност на функцията. По този начин най-благоприятното съотношение на страните на сайта при дадените условия на проблема е y = 2x.

Пример 3.24.Необходимо е да се изработи затворен цилиндричен резервоар с вместимост V=16 p ≈ 50 м 3. Какви трябва да бъдат размерите на резервоара (радиус R и височина H), така че да се използва най-малко материал за производството му?

Решение.Общата повърхност на цилиндъра е S = 2стр R(R+H). Знаем обема на цилиндъра V = p R 2 Н Þ Н = V/ p R 2 =16 p / p R2 = 16/R2. Така че S(R) = 2стр (R 2 +16/R). Намираме производната на тази функция:
С"(R) = 2 p (2R- 16/R 2) = 4 p (R- 8/R 2). С" (R) = 0 при R 3 = 8, следователно,
R = 2, H = 16/4 = 4.

МАКСИМАЛЕН И МИНИМУМ ТОЧКИ

точки, в които приема най-голямата или най-малката стойност в областта на дефиницията; такива точки се наричат също точки на абсолютен максимум или абсолютен минимум. Ако f е дефинирано върху топологична интервал X, след това точката х 0Наречен точка на локален максимум (локален минимум), ако такава точка съществува х 0,че за ограничаването на разглежданата функция в тази околност точката х 0е абсолютната максимална (минимална) точка. Има точки на строг и нестрог максимум (минимум) (както абсолютни, така и локални). Например точка извика точка на нестрог (строг) локален максимум на функция f, ако съществува такава близост на точката х 0,което важи за всички (съответно f(x) х 0). )/

За функции, дефинирани в крайномерни области, от гледна точка на диференциалното смятане, има условия и признаци дадена точка да бъде точка на локален максимум (минимум). Нека функцията f е дефинирана в определена околност на точката x 0 от числовата ос. Ако x 0 -точка на нестрог локален максимум (минимум) и в тази точка съществува f"( х 0), тогава е равно на нула.

Ако дадена функция f е диференцируема в околност на точка x 0,освен може би самата тази точка, в която е непрекъсната, и производната f" от всяка страна на точката х 0в този квартал запазва постоянен знак, след това, за да х 0беше точка на строг локален максимум (локален минимум), е необходимо и достатъчно производната да промени знака от плюс на минус, т.е. за f" (x)>0 при x<.х 0и f"(x)<0 при x>х 0(съответно от минус към плюс: е"(Х) <0 при х<х 0и f"(x)>0 при x>x 0). Въпреки това, не за всяка функция, диференцируема в околност на точка x 0,можем да говорим за промяна на знака на производната в този момент. . "

Ако функцията f има в точка х 0 тпроизводни, а след това, за да х 0беше точка на строг локален максимум, е необходимо и достатъчно te да бъде четен и f (m) ( х 0)<0, и - локального минимума, чтобы m было четно и f (m) (х 0)>0.

Нека функцията f( x 1 ..., x n] е дефиниран в n-мерна околност на точка и е диференцируем в тази точка. Ако x (0) е точка на нестрог локален максимум (минимум), тогава функцията f в тази точка е равна на нула. Това условие е еквивалентно на равенството на нула в тази точка на всички частни производни от 1-ви ред на функцията f. Ако една функция има 2-ри непрекъснати частични производни при x(0), всички нейни 1-ви производни при x(0) изчезват и диференциалът от 2-ри ред при x(0) е отрицателна (положителна) квадратна форма, тогава x (0) е точка на строг локален максимум (минимум). Известни са условията за диференцируеми функции на M. и M.T., когато се налагат определени ограничения върху промените в аргументите: уравненията на връзката са изпълнени. Необходимите и достатъчни условия за максимум (минимум) на реална функция, която има по-сложна структура, се изучават в специални клонове на математиката: например в изпъкнал анализ, математическо програмиране(Вижте също Максимизиране и минимизиране на функциите). M. и m.t. функции, дефинирани върху многообразия се изучават в вариационно смятане като цяло, a M. и m.t. за функции, дефинирани във функционални пространства, т.е. за функционали в вариационно смятане.Съществуват и различни методи за числено приблизително определяне на магнетизма и м.т.

Лит.: Il'in V.A., Позня до E.G., Основи на математическия анализ, 3-то издание, част 1, М., 1971; КудрявцевЛ. Л. Д. Кудрявцев.

Математическа енциклопедия. - М.: Съветска енциклопедия. И. М. Виноградов. 1977-1985 г.

Вижте какви са "МАКСИМАЛНИ И МИНИМАЛНИ ТОЧКИ" в други речници:

Дискретният максимален принцип на Понтрягин за времеви дискретни процеси на управление. За такъв процес операторът на крайната разлика може да не е валиден, въпреки че за неговия непрекъснат аналог, получен чрез замяна на оператора на крайната разлика с диференциален... ... Математическа енциклопедия

Теорема, изразяваща едно от основните свойства на аналитичния модул. функции. Нека f(z) е регулярна аналитична или холоморфна функция на комплексни променливи в област на D-комплексно числово пространство, различна от константа, M.m.p. в... ... Математическа енциклопедия

Най-големите и съответно най-малките стойности на функция, която приема реални стойности. Нарича се точката в областта на дефиниране на разглежданата функция, в която тя приема максимум или минимум. съответно максимална точка или минимална точка... ... Математическа енциклопедия

Вижте максимум и минимум на функция, максимум и минимум на точка... Математическа енциклопедия

Стойността на непрекъсната функция, която е максимумът или минимумът (вижте Точки за максимум и минимум). Терминът lE... Математическа енциклопедия

Индикатор- (Индикатор) Индикаторът е информационна система, субстанция, устройство, устройство, което показва промените във всеки параметър Индикатори на диаграмата на валутния пазар Forex, какво представляват и къде могат да бъдат изтеглени? Описание на индикаторите MACD,... ... Енциклопедия на инвеститора

Този термин има други значения, вижте Екстремум (значения). Екстремум (лат. extremum extreme) в математиката е максималната или минималната стойност на функция върху дадено множество. Точката, в която се достига екстремума... ... Wikipedia

Диференциалното смятане е клон на математическия анализ, който изучава понятията производна и диференциал и как те се прилагат при изучаването на функции. Съдържание 1 Диференциално смятане на функции на една променлива ... Wikipedia

Лемниската и нейните фокуси Лемниската на Бернули е плоска алгебрична крива. Дефиниран като геометрично място на точките, продукт ... Wikipedia

Разминаване- (Дивергенция) Дивергенция като индикатор Търговска стратегия с MACD дивергенция Съдържание Съдържание Раздел 1. на. Раздел 2. Дивергенция как. Дивергенцията е термин, използван в икономиката за обозначаване на движение по различни... ... Енциклопедия на инвеститора

Промяната във функция в определена точка се дефинира като границата на увеличението на функцията спрямо увеличението на аргумента, което клони към нула. За да го намерите, използвайте таблицата с производни. Например, производната на функцията y = x3 ще бъде равна на y’ = x2.

Приравнете тази производна на нула (в този случай x2=0).

Намерете стойността на дадената променлива. Това ще бъдат стойностите, при които дадената производна ще бъде равна на 0. За да направите това, заместете произволни числа в израза вместо x, при което целият израз ще стане нула. Например:

2-2x2= 0
(1-x)(1+x) = 0
x1= 1, x2 = -1

Нанесете получените стойности върху координатната линия и изчислете знака на производната за всяка от получените стойности. На координатната права се отбелязват точки, които се приемат за начало. За да изчислите стойността в интервалите, заменете произволни стойности, които отговарят на критериите. Например, за предишната функция преди интервала -1, можете да изберете стойност -2. За стойности от -1 до 1 можете да изберете 0, а за стойности, по-големи от 1, изберете 2. Заменете тези числа в производната и разберете знака на производната. В този случай производната с x = -2 ще бъде равна на -0,24, т.е. отрицателен и ще има знак минус на този интервал. Ако x=0, тогава стойността ще бъде равна на 2 и върху този интервал се поставя знак. Ако x=1, тогава производната също ще бъде равна на -0,24 и се поставя минус.

Ако при преминаване през точка на координатната линия производната промени знака си от минус на плюс, тогава това е минимална точка, а ако от плюс на минус, това е максимална точка.

Видео по темата

Полезен съвет

За да намерите производната, има онлайн услуги, които изчисляват необходимите стойности и показват резултата. На такива сайтове можете да намерите производни до 5-ти ред.

източници:

• Една от услугите за изчисляване на деривати
• максимална точка на функцията

Максималните точки на функция, заедно с минималните точки, се наричат ​​точки на екстремум. В тези точки функцията променя поведението си. Екстремумите се определят на ограничени числови интервали и винаги са локални.

Инструкции

Процесът на намиране на локални екстремуми се нарича функция и се извършва чрез анализ на първата и втората производни на функцията. Преди да започнете проучването, уверете се, че зададеният диапазон от стойности на аргументи принадлежи към валидните стойности. Например за функцията F=1/x аргументът x=0 не е валиден. Или за функцията Y=tg(x) аргументът не може да има стойност x=90°.

Уверете се, че функцията Y е диференцируема в целия даден интервал. Намерете първата производна на Y." Очевидно, преди да достигне точката на локалния максимум, функцията расте, а когато премине през максимума, функцията става намаляваща. Първата производна, във физическото си значение, характеризира скоростта на промяна на докато функцията расте, скоростта на този процес е положителна стойност. По време на прехода през локален максимум функцията започва да намалява и скоростта на промяна на функцията става отрицателна. Преходът на скоростта на промяна на функцията през нула се появява в точката на локалния максимум.

Казва се, че функцията има във вътрешната точка
регион д локален максимум(минимум), ако има такава близост на точката
, за всяка точка
която поддържа неравенството

Ако една функция има в точка
локален максимум или локален минимум, тогава казваме, че има в тази точка локален екстремум(или просто крайност).

Теорема (необходимо условие за съществуването на екстремум). Ако диференцируемата функция достигне екстремум в точката
, след това всяка частична производна от първи ред на функцията в този момент става нула.

Наричат ​​се точките, в които всички частни производни от първи ред изчезват стационарни точки на функцията
. Координатите на тези точки могат да бъдат намерени чрез решаване на системата от уравнения

.

Необходимото условие за съществуването на екстремум в случай на диференцируема функция може да се формулира накратко по следния начин:

Има случаи, когато в отделни точки някои частични производни имат безкрайни стойности или не съществуват (докато останалите са равни на нула). Такива точки се наричат критични точки на функцията.Тези точки също трябва да се считат за „подозрителни“ за екстремум, точно както стационарните.

В случай на функция на две променливи необходимото условие за екстремума, а именно равенството на нула на частните производни (диференциала) в точката на екстремума, има геометрична интерпретация: допирателна равнина към повърхността
в крайната точка трябва да е успоредна на равнината
.

20. Достатъчни условия за съществуване на екстремум

Изпълнението на необходимото условие за съществуване на екстремум в даден момент изобщо не гарантира наличието на екстремум там. Като пример можем да вземем диференцируемата навсякъде функция
. И двете нейни частни производни, и самата функция изчезват в точката
. Въпреки това във всеки квартал на тази точка има и двете положителни (големи
) и отрицателни (по-малки
) стойности на тази функция. Следователно в този момент по дефиниция не се наблюдава екстремум. Следователно е необходимо да се знаят достатъчни условия, при които точка, за която се подозира, че е екстремум, е екстремна точка на изследваната функция.

Нека разгледаме случая на функция на две променливи. Да приемем, че функцията
дефиниран, непрекъснат и има непрекъснати частни производни до втори ред включително в околността на някаква точка
, която е стационарната точка на функцията
, тоест отговаря на условията

,
.

Нека въведем следната нотация:

Теорема (достатъчни условия за съществуване на екстремум). Нека функцията
удовлетворява горните условия, а именно: тя е диференцируема в някаква околност на неподвижна точка
и е два пъти диференцируема в самата точка
. Тогава ако

Ако
след това функцията
в точката
достига

локален максимумпри
И

местен минимумпри
.

Като цяло за функцията
достатъчно условие за съществуване в точката
местенминимум(максимум) е положителен(отрицателен) сигурност на втория диференциал.

С други думи, следното твърдение е вярно.

Теорема . Ако в точката
за функция

за всички, които не са равни на нула едновременно
, тогава в този момент функцията има минимум(подобен на максимум, Ако
).

Пример 18.Намерете локални точки на екстремум на функция

Решение. Нека намерим частните производни на функцията и ги приравним към нула:

Решавайки тази система, намираме две възможни екстремни точки:

Нека намерим частичните производни от втори ред за тази функция:

Следователно в първата неподвижна точка и
Следователно на този етап са необходими допълнителни изследвания. Функционална стойност
в този момент е нула:
Освен това,

при

А

при

Следователно във всеки квартал на точката
функция
приема стойности като големи
, и по-малки
, и, следователно, в точката
функция
, по дефиниция, няма локален екстремум.

Във втората стационарна точка



следователно, следователно, тъй като
след това в точката
функцията има локален максимум.