Конструиране на доверителен интервал за математическото очакване на генералната съвкупност. Доверителни интервали за математическо очакване, дисперсия, вероятност

Нека една случайна променлива (може да говорим за генерална съвкупност) е разпределена по нормален закон, за който е известна дисперсията D = 2 (> 0). От генералната съвкупност (на набор от обекти, от които се определя случайна променлива) се прави извадка с размер n. Извадката x 1 , x 2 ,..., x n се разглежда като набор от n независими случайни променливи, разпределени по същия начин като (подхода, обяснен по-горе в текста).

Следните равенства също бяха обсъдени и доказани по-рано:

Mx 1 = Mx 2 = ... = Mx n = M;

Dx 1 = Dx 2 = ... = Dx n = D;

Достатъчно е просто да докажем (пропускаме доказателството), че случайната променлива в този случай също е разпределена по нормалния закон.

Нека означим неизвестното количество M с a и изберем, въз основа на дадената надеждност, числото d > 0, така че да е изпълнено условието:

P(- a< d) = (1)

Тъй като случайната променлива е разпределена по нормалния закон с математическо очакване M = M = a и дисперсия D = D /n = 2 /n, получаваме:

P(- a< d) =P(a - d < < a + d) =

Остава да изберем d така, че да е в сила равенството

За всяко едно можете да използвате таблицата, за да намерите число t, така че (t)= / 2. Това число t понякога се нарича квантил.

Сега от равенството

нека определим стойността на d:

Получаваме крайния резултат, като представяме формула (1) във формата:

Значението на последната формула е следното: с надеждност, доверителният интервал

обхваща неизвестния параметър a = M от популацията. Можем да го кажем по различен начин: точковата оценка определя стойността на параметъра M с точност d= t / и надеждност.

Задача. Нека има генерална съвкупност с определена характеристика, разпределена по нормален закон с дисперсия, равна на 6,25. Взет е размер на извадката от n = 27 и е получена средната извадкова стойност на характеристиката = 12. Намерете доверителен интервал, покриващ неизвестното математическо очакване на изследваната характеристика на генералната съвкупност с надеждност = 0,99.

Решение. Първо, използвайки таблицата за функцията на Лаплас, намираме стойността на t от равенството (t) = / 2 = 0,495. Въз основа на получената стойност t = 2,58 определяме точността на оценката (или половината от дължината на доверителния интервал) d: d = 2,52,58 / 1,24. От тук получаваме желания доверителен интервал: (10.76; 13.24).

статистическа хипотеза обща вариационна

Доверителен интервал за математическото очакване на нормално разпределение с неизвестна дисперсия

Нека е случайна променлива, разпределена по нормален закон с неизвестно математическо очакване M, което означаваме с буквата a. Нека направим извадка от обем n. Нека определим средната извадка и коригираната дисперсия на извадката s 2, като използваме известни формули.

Случайна стойност

разпределени по закона на Стюдънт с n - 1 степени на свобода.

Задачата е да се намери число t за дадена надеждност и броя на степените на свобода n - 1, така че равенството

или еквивалентно равенство

Тук в скоби е изписано условието стойността на неизвестния параметър a да принадлежи към определен интервал, който е доверителният интервал. Неговите граници зависят от надеждността, както и от параметрите на вземане на проби и s.

За да определим стойността на t по големина, трансформираме равенството (2) във формата:

Сега, използвайки таблицата за случайна променлива t, разпределена според закона на Стюдънт, използвайки вероятност 1 - и броя на степените на свобода n - 1, намираме t. Формула (3) дава отговор на поставения проблем.

Задача. При контролни тестове на 20 електрически лампи средната продължителност на тяхната работа е равна на 2000 часа със стандартно отклонение (изчислено като корен квадратен от коригираната дисперсия на извадката) равно на 11 часа. Известно е, че времето на работа на лампата е нормално разпределена случайна променлива. Определете с надеждност 0,95 доверителен интервал за математическото очакване на тази случайна променлива.

Решение. Стойност 1 - в този случай е равна на 0,05. Според таблицата за разпределение на Стюдънт, при брой степени на свобода, равен на 19, намираме: t = 2,093. Нека сега изчислим точността на оценката: 2,093121/ = 56,6. От тук получаваме необходимия доверителен интервал: (1943.4; 2056.6).

И др.. Всички те са оценки на техните теоретични аналози, които биха могли да бъдат получени, ако не беше налична извадка, а генерална съвкупност. Но уви, общото население е много скъпо и често недостъпно.

Концепцията за интервална оценка

Всяка примерна оценка има известно разпространение, защото е случайна променлива в зависимост от стойностите в конкретна проба. Следователно, за по-надеждни статистически заключения, трябва да се знае не само точковата оценка, но и интервалът, който с голяма вероятност γ (гама) обхваща оценявания индикатор θ (тета).

Формално това са две такива стойности (статистика) T 1 (X)И T 2 (X), Какво Т 1< T 2 , за които при дадено ниво на вероятност γ условието е изпълнено:

Накратко, вероятно е γ или повече истинският индикатор е между точките T 1 (X)И T 2 (X), които се наричат ​​долна и горна граница доверителен интервал.

Едно от условията за конструиране на доверителни интервали е неговата максимална стеснимост, т.е. трябва да е възможно най-кратък. Желанието е съвсем естествено, защото... изследователят се опитва да локализира по-точно местоположението на желания параметър.

От това следва, че доверителният интервал трябва да покрива максималните вероятности на разпределението. а самата оценка да е в центъра.

Тоест вероятността за отклонение (на истинския показател от оценката) нагоре е равна на вероятността за отклонение надолу. Трябва също да се отбележи, че за асиметричните разпределения интервалът отдясно не е равен на интервала отляво.

Фигурата по-горе ясно показва, че колкото по-голяма е вероятността за доверие, толкова по-широк е интервалът - пряка връзка.

Това беше кратко въведение в теорията за интервално оценяване на неизвестни параметри. Нека да преминем към намирането на доверителни граници за математическото очакване.

Доверителен интервал за математическо очакване

Ако оригиналните данни са разпределени върху , тогава средната стойност ще бъде нормална стойност. Това следва от правилото, че линейна комбинация от нормални стойности също има нормално разпределение. Следователно, за да изчислим вероятностите, можем да използваме математическия апарат на нормалния закон за разпределение.

Това обаче ще изисква познаване на два параметъра - очакване и дисперсия, които обикновено са неизвестни. Можете, разбира се, да използвате оценки вместо параметри (средно аритметично и), но тогава разпределението на средната стойност няма да бъде съвсем нормално, то ще бъде леко изравнено надолу. Този факт беше умело отбелязан от гражданина Уилям Госет от Ирландия, публикувайки откритието си в изданието от март 1908 г. на списание Biometrica. За целите на секретността Госет се е подписал Студент. Така се появи t-разпределението на Стюдънт.

Но нормалното разпределение на данните, използвано от К. Гаус при анализиране на грешките в астрономическите наблюдения, е изключително рядко в земния живот и е доста трудно да се установи (необходими са около 2 хиляди наблюдения за висока точност). Следователно най-добре е да се отхвърли предположението за нормалност и да се използват методи, които не зависят от разпространението на оригиналните данни.

Възниква въпросът: какво е разпределението на средноаритметичното, ако се изчислява от данните на неизвестно разпределение? Отговорът дава добре познатата в теорията на вероятностите Централна гранична теорема(CPT). В математиката има няколко негови варианта (формулировките са усъвършенствани през годините), но всички те, грубо казано, се свеждат до твърдението, че сумата от голям брой независими случайни променливи се подчинява на нормалния закон за разпределение.

При изчисляване на средноаритметичното се използва сумата от случайни променливи. Оттук се оказва, че средноаритметичното има нормално разпределение, в което очакването е очакването на оригиналните данни, а дисперсията е .

Умните хора знаят как да докажат CLT, но ние ще проверим това с помощта на експеримент, проведен в Excel. Нека симулираме извадка от 50 равномерно разпределени случайни променливи (с помощта на функцията на Excel RANDBETWEEN). След това ще направим 1000 такива проби и ще изчислим средноаритметичната стойност за всяка. Нека разгледаме тяхното разпространение.

Вижда се, че разпределението на средната е близко до нормалния закон. Ако размерът и броят на извадката са още по-големи, сходството ще бъде още по-добро.

Сега, след като видяхме със собствените си очи валидността на CLT, можем, използвайки , да изчислим доверителни интервали за средната аритметична стойност, които покриват истинската средна стойност или математическото очакване с дадена вероятност.

За да установите горната и долната граница, трябва да знаете параметрите на нормалното разпределение. По правило няма такива, така че се използват оценки: средноаритметичноИ дисперсия на извадката. Повтарям, този метод дава добро приближение само при големи проби. Когато извадките са малки, често се препоръчва да се използва разпределението на Student. да не повярвате! Разпределението на Стюдънт за средната стойност възниква само когато оригиналните данни са нормално разпределени, тоест почти никога. Ето защо е по-добре незабавно да зададете минимална лента за количеството необходими данни и да използвате асимптотично правилни методи. Казват, че 30 наблюдения са достатъчни. Вземете 50 - няма да сбъркате.

T 1.2– долна и горна граница на доверителния интервал

– средноаритметично извадково

s 0– стандартно отклонение на извадката (безпристрастно)

н – размер на извадката

γ – вероятност за доверие (обикновено равна на 0,9, 0,95 или 0,99)

c γ =Φ -1 ((1+γ)/2)– обратната стойност на стандартната функция на нормалното разпределение. Просто казано, това е броят на стандартните грешки от средната аритметична стойност до долната или горната граница (тези три вероятности съответстват на стойности от 1,64, 1,96 и 2,58).

Същността на формулата е, че се взема средноаритметичното и след това от него се отделя определена сума ( с γ) стандартни грешки ( s 0 /√n). Всичко е известно, вземете го и го помислете.

Преди широкото използване на персонални компютри те се използваха за получаване на стойностите на функцията на нормалното разпределение и нейната обратна функция. Те се използват и днес, но е по-ефективно да се използват готови формули на Excel. Всички елементи от горната формула ( , и ) могат лесно да бъдат изчислени в Excel. Но има готова формула за изчисляване на доверителния интервал - ДОВЕРИЕ.НОРМА. Синтаксисът му е следният.

CONFIDENCE.NORM(алфа;стандартно_изключено;размер)

алфа– ниво на значимост или ниво на достоверност, което в приетото по-горе означение е равно на 1- γ, т.е. вероятността математическитеочакването ще бъде извън доверителния интервал. При ниво на сигурност от 0,95, алфа е 0,05 и т.н.

standard_off– стандартно отклонение на извадкови данни. Няма нужда да изчислявате стандартната грешка; самият Excel ще раздели на корен от n.

размер– размер на извадката (n).

Резултатът от функцията CONFIDENCE NORM е вторият член от формулата за изчисляване на доверителния интервал, т.е. полуинтервал Съответно долната и горната точка са средната ± получената стойност.

По този начин е възможно да се конструира универсален алгоритъм за изчисляване на доверителните интервали за средноаритметичното, което не зависи от разпределението на оригиналните данни. Цената за универсалността е нейната асимптотична природа, т.е. необходимостта от използване на относително големи проби. В ерата на модерните технологии обаче събирането на необходимото количество данни обикновено не е трудно.

Тестване на статистически хипотези с помощта на доверителни интервали

(модул 111)

Един от основните проблеми, решавани в статистиката, е. Същността му е накратко следната. Прави се например предположение, че очакванията на общата съвкупност са равни на някаква стойност. След това се конструира разпределението на извадкови средни, които могат да бъдат наблюдавани за дадено очакване. След това те гледат къде в това условно разпределение се намира реалната средна стойност. Ако надхвърли допустимите граници, тогава появата на такава средна е много малко вероятна, а ако експериментът се повтори веднъж, това е почти невъзможно, което противоречи на изложената хипотеза, която е успешно отхвърлена. Ако средната стойност не надхвърля критичното ниво, тогава хипотезата не се отхвърля (но също така не се доказва!).

Така че с помощта на доверителни интервали, в нашия случай за очакване, можете също да тествате някои хипотези. Много лесно се прави. Да кажем, че средноаритметичната стойност за определена извадка е равна на 100. Тества се хипотезата, че очакваната стойност е да речем 90. Тоест, ако поставим въпроса примитивно, той звучи така: може ли да е така, че с истинската стойност на средната стойност, равна на 90, наблюдаваната средна стойност се оказва 100?

За да отговорите на този въпрос, ще ви трябва допълнително информация за стандартното отклонение и размера на извадката. Да приемем, че стандартното отклонение е 30 и броят на наблюденията е 64 (за лесно извличане на корена). Тогава стандартната грешка на средната стойност е 30/8 или 3,75. За да изчислите 95% доверителен интервал, ще трябва да добавите две стандартни грешки към всяка страна на средната стойност (по-точно 1,96). Доверителният интервал ще бъде приблизително 100±7,5 или от 92,5 до 107,5.

По-нататъшното разсъждение е следното. Ако тестваната стойност попада в доверителния интервал, това не противоречи на хипотезата, тъй като попада в границите на случайни флуктуации (с вероятност 95%). Ако проверяваната точка попада извън доверителния интервал, тогава вероятността за такова събитие е много малка, във всеки случай под приемливото ниво. Това означава, че хипотезата се отхвърля като противоречаща на наблюдаваните данни. В нашия случай хипотезата за очакваната стойност е извън доверителния интервал (тестваната стойност от 90 не е включена в интервала 100±7,5), така че трябва да бъде отхвърлена. Отговаряйки на примитивния въпрос по-горе, трябва да се каже: не, не може, във всеки случай това се случва изключително рядко. Често те показват конкретната вероятност за погрешно отхвърляне на хипотезата (p-ниво), а не определеното ниво, на което е конструиран доверителният интервал, но повече за това друг път.

Както можете да видите, конструирането на доверителен интервал за средната (или математическото очакване) не е трудно. Основното е да схванете същността и тогава нещата ще тръгнат. На практика в повечето случаи се използва 95% доверителен интервал, който е с ширина приблизително две стандартни грешки от двете страни на средната стойност.

Това е всичко за сега. Всичко най-хубаво!